conjuntos numÉricos e numeros reais - sol -...

1

Departamento de Matemática, Física, Química e Engenharia de Alimentos

Projeto Calcule!

Profª: Rosimara Fachin Pela

Profª: Vanda Domingos Vieira

PARTE 1

CONJUNTOS NUMÉRICOS E NUMEROS REAIS

Um numero real e qualquer numero que pode ser escrito na forma decimal. O conjunto dos números

reais contem subconjuntos importantes:

1-Conjuntos dos números naturais: IN={1, 2, 3,...}

2-Conjunto dos números inteiros: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

3-Conjunto dos números racionais: Q

0,,, qZqpq

p=

,1,,2

1,,0,,

3

1,,

3

2,

4-Conjunto dos números irracionais: I Q, xx = ,15,,,,,,2, e

Assim podemos representar o conjunto dos números reais:

IR = Q I

OPERAÇÕES COM NÚMEROS REAIS

I – NÚMEROS INTEIROS

ADIÇÃO:

Dizemos que adicionar ou somar é a operação pela qual associamos dois números ou mais números, em

um único número, denominado soma ou total.

SUBTRAÇÃO:

A subtração é uma operação que consiste em tirar, diminuir, subtrair uma quantidade da outra.

4 + 5 = 9

1ª parcela 2ª parcela

Soma ou

total

5 - 2 = 3

minuendo subtraendo

diferença

ou resto

total

2

Regras de sinal:

Para efetuar a adição e subtração vamos obedecer as seguintes regras:

1- Os números possuem o mesmo sinal: conserva o sinal e soma os números

Ex) a) 6 + 3 = + 9

b) -2 – 4 = - 6

2- Os números possuem sinal contrario: conserva o sinal do maior e subtrai os números.

Ex) a) -5 + 2 = -3

b) 4 - 2 = 2

MULTIPLICAÇÃO:

A multiplicação é a adição de uma quantidade finita de números iguais, ou seja, a multiplicação é apenas

uma forma reduzida de se escrever a adição

3 + 3 + 3 + 3 +3 = 15

5 x 3 = 15

Ou

DIVISÃO:

A divisão é a operação aritmética que determina a quantidade de vezes que um numero esta contido

dentro do outro.

Assim temos que:

Dividendo(D) = divvisor(d) . quociente(q) + resto(r) D = d . q + r, ou

5 x =15

multiplicando multiplicador

produto

20 4

- 20 5

0

resto

quociente

divisor dividendo

3

d

rq

d

D

Regras de sinal:

Para efetuar a multiplicação e divisão vamos obedecer as seguintes regras:

1- Os dois números tem o mesmo sinal, o resultado é positivo

Ex) a) (-2) x (-3) = + 6

b) (+3) x (+4) = + 12

c) 23

6

d) 2

1

10

5

2- Os dois números possuem sinais diferentes, o resultado é um numero negativo

Ex) a) (-4) x (+3) = -12

b) (+3) x (-5) = -15

c) 2

1

6

3

d) 3

4

)3(

4

Observações:

1)Um numero não nulo multiplicado por zero é sempre igual a zero.

Ex) a) 3 x 0 = 0

b) 0 x

2

1 = 0

2)Na divisão o divisor deverá ser sempre diferente de zero.

Ex) a) 0

5( : não existe)

II – NÚMEROS FRACIONARIOS

Obs) devemos lembrar que as regras de sinais na s operações com números inteiros são validas para

fracionários, já que numeradores e denominadores são formados por números inteiros.

Adição e subtração:

Frações com denominadores:

iguais , conserva-se o denominador e somam-se os numeradores.

Ex: a)5

9

5

72

5

7

5

2

b) 14

4

4

13

4

1

4

3

diferentes, devemos reduzi-las ao mesmo denominador e então somar os numeradores.

Para reduzir as frações ao mesmo denominador

4

1. encontra-se o MMC dos denominadores das frações, que será o denominador comum procurado.

2. divide-se esse MMC pelos denominadores de cada fração, e o quociente obtido é multiplicado

respectivamente pelos numeradores de cada fração.

Ex: 12

17

12

9

12

8

4

3

3

2

Calculo MMC(3,4): 3 , 4 2

3 2 2 MMC(3,4) = 2.2.3 = 12

3 1 3

1 1

Multiplicação:

O produto de duas frações é uma fração cujo numerador é o produto dos numeradores e cujo

denominador é o produto dos denominadores das frações dadas.

Ex: 21

10

7.3

5.2

7

5.

3

2

Divisão:

Para dividir uma fração por outra, multiplica-se a primeira fração pela segunda fração invertida.

Ex: 35

24

7

6.

5

4

6

7:

5

4

III - POTENCIAÇÃO:

A potenciação é o resultado da multiplicação sucessiva de um numero por ele mesmo, ou seja,

*INn onde .... n

vezesn

aaaaaaa .

Obs:

44 :ex 0,)2

13 :ex 1)1

11

00

aaa

a

3)Todo número positivo elevado a qualquer expoente (par ou ímpar) resulta um número positivo.

Ex: 813.3.3.3)3(42.2)2( 42 ou

4)Todo número negativo elevado a um expoente par resulta um número positivo

Ex: 16)2)(2)(2)(2()2( 4

5)Todo número negativo elevado a um expoente ímpar resulta um número negativo.

Ex: 8)2)(2)(2()2( 3

na

base

expoente

5

6) Todo número diferente de zero elevado a um expoente negativo é igual a uma fração, em que o

numerador é sempre a unidade, e o denominador é o mesmo número elevado a um expoente que é o

simétrico( mesmo número de sinal trocado) do expoente inicial.

Ex: 8

1

8

1

)2(

1)2(

9

1

3

13

3

3

2

2

ou

Propriedades da potenciação:

9

4

3

2

3

2 :ex 0,)5

82(2x) :ex .).)(4

55)(5 :ex ))(3

222:2 :ex 0,:)2

333.3 :ex .)1

2

22

3333

63.232.

2114343

53232

bb

a

b

a

xxbaba

aa

aaaa

aaa

n

nn

nnn

nmnm

nmnm

nmnm

IV - RADICIAÇÂO:

Uma raiz nada mais é que uma operação inversa à potenciação, sendo assim, ela é utilizada para

representar, de maneira diferente, uma potência com expoente fracionário. Assim:

n mn

m

aa

4 34

3

22 :Ex

Obs) abbaIRaPara nn n

1

a : IRn e

33

1

22 :Ex

Propriedades da radiciação:

105.

3 22

3

2

33:ex )3

22 :ex )2

5.353 :ex )1

11

1

npp n

n ppp

n

n nn

aaa

aaa

baba

pn

n

radical índice

radicando

6

Operações com Radicais

Simplificação de Radicais.

1.Para simplificar uma raiz quadrada decompomos o número em seu fatores primos. E escrevemos

quando possível cada fator da decomposição com expoente 2 ou múltiplo de 2. Se for uma raiz cúbica,

escrevemos quando possível cada fator da decomposição com expoente 3 ou múltiplo de 3.

2. Escrevemos o número fatorado como um produto de fatores primos e aplicamos as propriedades:

.

3. Simplificamos em seguida cada raiz quadrada ou cúbica.

Ex. Decompondo o número em seus fatores primos

a) 8 8 2

= 4 2

2 2

= 2 1

c) Decompondo o número em seus fatores primos

180 = 180 2

90 2

2 45 3

15 3

5 5

1

d) 3 64 Decompondo o numero em seus fatores primos

64 = = .

64 2

32 2

16 2

8 2

4 2

2 2

1

e) Decompondo 196 em fatores primos temos:

196 2

98 2

49 7

7 7

1

7

Adição de radicais

1)Decompomos cada número em seus fatores primos

2) simplificamos os radicais

3)soma-se radicais com mesmo índice

Exemplos

a) decompõe-se os números 8 e 18 em seus fatores primos ,

b) decompõe-se os números 32 e 98 em seus fatores primos,

c) decompõe-se os números 72 e 54 em seus fatores primos e encontramos

=

=

Racionalização

Racionalizar é multiplicar o numerador e o denominador de um número irracional fracionário por um

número irracional, eliminando o radical do numerador ou denominador.

Exemplos:

1) para eliminar o radical do denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por e

aplicamos as propriedades dos radicais.

=

2) para eliminar o radical do numerador multiplicamos o numerador e o denominador por .

3) Multiplicação pela expressão conjugada

Se temos a expressão temos como expressão conjugada

Exemplos:

a) para eliminar os radicais do denominador multiplicamos, o numerador e o denominador pela

expressão conjugada do denominador que é .

Obs: o denominador é o produto notável

8

b) para eliminar o radical do numerador, multiplicamos o numerador e o denominador por

que é a expressão conjugada do numerador .

Exercicios

Para resolver expressões matemáticas devemos seguir a seguinte ordem:

1º)Potencias e raízes

2º)multiplicações e divisões

3º)adições e subtrações

Obs.: Quando aparecem parênteses ( ), colchetes[ ] e chaves{ }, resolvemos as operações contidas nos

parênteses, depois as contidas nos colchetes e finalmente, as contidas nas chaves obedecendo as ordens

anteriores.

01) - Resolva as seguintes expressões numéricas:

a)-25 + (+30) + (-2) + (-10) R :-7

b)-10) – (-7) – (+8) – (+9) + (+3) R -17

c)- (-3 + 7) + (2 - 5) - 9 R: -16

d)-[5 + (3 – 6) – (9 – 13)] R: -6

e)4 – [2 – (6 + 7)] – [(3 – 6) + 14] R: 4

f)- [(11 – 12) – (-7 + 9)] – [(3 – 6) + 14] R: -8

g){2 – [(4 – 7) + 1]} – 3 R: 1

h)– {- [7 – (2 + 5 + 7)] + 11} + 13 R: -5

i){ - (4 – 3) + [10 – (31 – 27)] + 3} R: 8

j)-2[4(3 – 8)] R: 40

k)-5[20 – (13 - 17)] R: -120

l)– [4 + 2(-5)] : (-2 – 1) R: -2

m)[(2 – 3).2 + 3(-2 + 1)] : (-1 – 4) R: 1/5

n){86 – [-(3 – 10 + 4) + (13 – 20 + 4)]} – 36 R: 50

o)-11(-3) – 5 + (-32) : 4 – [ 16 : (-2) – (-8) : 4] R: 26

p)3(-6 + 5) – 12{ - 34 + 2[7 – (-5 – 2) : 7]} R: 213

q)

3

2

2

14 R: 3

r)

2

11

5

1

20

13: R:

2

1

s)

4

31

4

22 R:

8

21

9

t)2

1

6

3

4

5

8

1

. R:

16

21

u)

2

1

8

2

8

13

5

2.: R:

5

141

v)

2

1

12

3

4

1

3

2

8

1.: R:

3

1

x)2

3

18

25

3

2

2

1

: R:

50

117

y)

2

8

2

4

3232 :: R:

11

10

w)

2

1126

2

3:. R:

2

23

z)3

1

4

3

6

1

2

1

3

4

: R:

3

7

02)Calcule o valor das expressões:

5

7:R

3

2:

5

2

5

4.

4

1f) 0:R 25:5325)1((-2)-e)

7:R 253

272--d) 17:R

3

1

3

262c)

3:R 6

14

2

1:

2

1b)

3

17:R

1

1)

323203

0

32121-

921

4

2

54

51

4

321

a

03)Aplicando propriedades de potências, simplifique as expressões:

10

4:R

10.10.3

10.10.12.10d) 625:R

25.)5(

25.125c)

9:R 243.

3.27.9b) 32:R

8

4.256)

41

943-

732

36

2

31

743

7

9

a

10

04) Efetue as operações, aplicando as propriedades da potenciação:

6n-2

3

11

3x121

qp

1-n2

2

4

23

a:R )

1 :R 5:5)

3:R 3.3)

4 :R 4:4)

3 :R 3.3.3)

-90:R 3.5.2)

284 :R 2

1.2.2)

m

xx

xx

qp

n

ag

f

e

d

c

b

a

05) Calcule o valor das expressões:

9

196 :R

3

733

3

5.

3

1)

8

23- :R

4

32:4

2

3.2)

50

27- :R 1

3

1:

5

6

10

3)

36

17:R

2

131.

2

12)

16

23:R 1

2

1.

3

22.

4

3)

2

23

22

2

2

12

2

2

3

e

d

c

b

a

4

25 :R

4

11.2)

27:R 3

3.3)

2

7

432

g

f

3

17 :R

1

1)

7- :R 3

19.310)

2

1:R 44:22)

-1:R 19:316:32.2)

4:R 4

1:52)

81

4 :R

2

3.

2

1

6

1.

3

11)

2

54

51

43

21

2

120

1133

3623

120

232

n

m

k

j

i

h

11

o) 2 1-12

3

1

3

26

R: -10

p) 3

2:

5

2

5

4.

4

132

R:

5

7

06) Efetue:

2

1-:R

39

8124d)

12

25:R

8

1

18

1

2

1)

2

15-2-:R

51

32

5-1

32b) 2:R 951816)

33

33

5 4 3

c

a

07) Calcular:

2512:R 027,020064,040,0003210) 0:R 643272)5

526:R 0001,084003641009)

51:R 0016,0)4

10:R 86324125-8)2 -1:R 1)3

-6:R 729427-7)6 2

1:R 8

1)2

-15:R 16327227-6)5 5:R 125)1

3563

44

3533

633

4333

08) Simplifique os radicais:

3

2

5b

12a:R

75b

288a) t

a:R )

x:R as) 4xy:R 1024)

82x:R 128xr) 11:R 121)

33a:R 81aq) 10x:R 100)

8a:R 64ap) 4b:R 64)

5a:R x25ao) x:R )

aba:R an) 3:R 81)

a:R am) ab:R )

a:R al) x:R )

4x:R

y

16xk) a:R )

24

22

33

6

62

26 131225 105

424 948

23 74 2

2523 6

243 29 36

34

22410 55

525 1027 14

3

2

62

48 4

bb

aj

xaxyxi

xh

axg

abf

xyyxe

bd

cbcbbac

xxxb

yzzaa

12

D(f)

x

y

Im(f

)

y=

f(x)

09) Racionalize os denominadores das frações:

ba

b

bb

ac

b

a

a:R

a

1i) 81:R

81

3f)

2b

ba:R

2)

3

25:R

25

1h)

3

3:R

9

1e)

5

55:R

5

5)

23:R 2-3

7g) 2:R

8

2d)

2

23:R

2

3)

8

8

3

3

4

4

PARTE 2

Função

Definição: Sejam A e B conjuntos reais. Chama-se função de A e B qualquer relação de A em B onde

todo elemento de A possui um único correspondente em B.

Notação: )(

:xfyx

BAf

Onde : A : domínio de f – D(f)

B : contradomínio de f – C

x : elemento do domínio - variável independente

y : imagem do elemento x D(f) – variável dependente

Conjunto imagem: conjunto de todos os valores de y, que são imagens de x pela função f.

)}(),({)Im( fDxxfyf

Gráficos:

)}()),(,{()( fDxxfxfGr

Exemplo 1) Seja IRf ]2,1:] , definida por 1)( xxf . Determine:

a)D(f).

O dominio da função é o conjunto de valores de x que será possivel efetuar as operações da lei de

formação da função. Neste exemplo a lei de formação da função é posssivel para qualquer valor de x

mas o domínio já foi especificado como o intervalo ]-1 ,2 ], assim

13

}21,{]2,1])( xIRxfD ou na representação geométrica:

D(f):

b) CD(f).

O contradomínio da função é o conjunto onde estão os correspondentes obtidos pela lei de formação da

função, neste exemplo e em todos os nossos exemplos definiremos o contradomínio como sendo o

conjunto dos números reais , ou seja CD(f) = IR

c) f(0).

Se )(0 fD e neste caso sim,calcularemos f(0) trocando x na lei de formação da função pelo valor 0, ou

seja: 1)( xxf para x=0 temos 110)0( f , assim f(0) = 1

d) Qual é o elemento do domínio que tem 0 como imagem

Estamos procurando qual o valor de )( fDx tal que f(x) = 0, assim

10101)( xxxxf mas )(1 fD , logo não existe )( fDx tal que f(x) = 0

e)Gráfico de f

O gráfico da função é como uma fotografia da função, ou seja, mostra cada correspondência da função .

Para isso montaremos uma tabela com valores do domínio e suas respectivas imagens:

x 21 0

21 1

2

3 2

y= f(x) 21 1

2

3 2 2

5 3

Formaremos com cada correspondência um par ordenado: (21 ,

21 ); (0 ,1); (

21 ,

2

3 ); (1, 2); ( ,2

3

2

5 ) e (2,

3). O grafico é o conjunto de pares ordenados com todos os valores do domínio e suas respectivas

imagens, mas como temos infinitos valores no domínio tomaremos apenas alguns e representaremos os

outros.

Como ]2,1])( fD o gráfico da função será um segmento de reta que começa em x= -1 e termina para

x = 2, mas como x = )(1 fD o par ordenado (-1, 0) não faz parte do gráfico da função, assim

representaremos o par com uma bola aberta

-1 2

y

x 2 -

1

3

14

f) Im(f)

O conjunto imagem é o conjunto dos correspondentes do domínio, para determina-lo devemos projetar

o gráfico no eixo y o intervalo determinado pelo projeção sera o conjunto imagem, assim

Im(f)= ]0, 3] = }30,{ yIRy ou na representação geométrica:

Im(f):

Exemplo 2) Seja 1)( 2 xxf , determine:

a)Dominio de f.

A lei de formação da função apresenta operações possíveis para qualquer valor de x real, assim

D(f) = IR

b)Contradomínio de f.

CD(f) = IR

c)O gráfico de f

Vamos obter pares ordenados com alguns valores do dominio:

x 0 1 -1 2 -2

y=f(x) 1 2 2 5 5

d)Conjunto imagem de f.

Projetando o gráfico no eixo y obtemos o intervalo:

Im(f) = [1, + [ = { 1, yIRy } ou na representação geométrica

Im(f)

Exemplo 3) Determine o domínio das seguintes funções:

a) 1)( xxf

Como as operações que aparecem na lei de formação estão definidas para todos valores de x, temos que

D(f) = IR

0 3

1

15

b) 1)( xxf

Como raiz quadrada de numero negativo não existe em IR para que a operação seja verdadeira devemos

ter

101 xx , assim :

D(f) = }1,{ xIRx =[-1,+ [ ou na representação geométrica

Im(f)

c) 1

1)(

xxf

Como a divisão em IR não esta definida quando o denominador (divisor) e nulo devemos ter:

101 xx , assim D(f) = IR – {-1) = }1,{ xIRx

Exercícios:

01)Seja f: IR→IR definida por f(x) = x2 – 5x + 4. Calcule:

a) f(1) R:0 b) f(2) R:-2 c) f(-1) R:10

02) Seja f: IR→IR definida por f(x) = x2 – 3x + 4. Calcule:

a) f 21 R: 4

11 b) f( 3 ) R:7-3 3

c) f( 21 ) R: 42 d) f(2p) R: 4p2 – 6P + 4

03) Seja f: IR→IR definida por f(x) = 2.3x. Calcule:

a) f(0) R:2 b) f(2) R:18 c) f(-2) R:2/9

04) Seja f: IR - {1}→IR definida por 1

2)(

xxf .Calcule:

a)f(3) + f(5) R: 3/2 b) o valor de m , tal que f(m) = -3 R:1/3

05) Seja f: IR→IR definida por7

43)(

xxf . Qual é o elemento do domínio que tem

3

2 como imagem?

R: 26/9

06)Quais são os valores do domínio da função real definida por f(x) = x2 – 5x + 9 que produzem imagem igual a

3? R: 2 ou 3

07) Seja f: IR - {1}→IR definida por 1

2)(

2

x

xxf . Determine:

a) f(2a) R:12

24 2

a

a b)f(a+2) R:

1

642

a

aa

08) Determine o domínio de cada uma das seguintes funções reais:

} xIR,{x :R 12

32)(g) IR :R 7x-f)h(x)

-4} xIR,{x :R 4x d)f(x) {1} - IR :R 1-x

1 c)h(x)

IR :R 57x- b)g(x) IR :R 54)()

21

23-3

2

xex

xxf

xxxfa

10) Esboce o gráfico das seguintes funções, determinando o domínio e conjunto imagem.

-1

16

a)f(x) = x – 1 , sendo D(f) = { 1,3,4,6} b) f(x) = x + 1 , sendo D(f) = { 30, xIRx }

c)f(x) = 2x – 1 d) g(x) = -2x

e)g(x) = x2 – 4 f) f(x) = x

2 +5x + 6

g) f(x) = - x2 h) f(x) = x

3 – 1

i) g(x) = 2

-x j) g(x) = 3

x

k)f(x) =x

1 l)g(x) =

1

1

x

PARTE 3

POLINÔMIOS

Definição :Um polinômio na variável x é qualquer expressão que pode ser escrito na forma

012

21

1 ...)( axaxaxaxaxP nn

nn

onde :

n IN

0121 ,,,...,, aaaaa nn são números reais chamados coeficientes

Obs: Se na 0 , o expoente máximo n é dito grau do polinômio

OPERAÇOES COM POLINÔMIOS:

1)Adição e Subtração: Para efetuar a adição ou subtração de polinômios reduziremos os termos

semelhantes usando propriedades distributiva.

Ex) a) )41()3()2()43()12( 223223 xxxxxxxxxx

323)43()12( 23223 xxxxxxxx

b) )31())3(5()3()33()153( 2222 xxxxxxxx

222)33()153( 222 xxxxxx

2)Multiplicação: Para efetuar multiplicação de polinômios usaremos a propriedade distributiva e depois

reduziremos os termos semelhantes.

Ex) )3(1)(1)3)(())(()3(2)(2)3)(12( 222 xxxxxxxxxx

3362)3)(12( 2232 xxxxxxxx

3252)3)(12( 2232 xxxxxxx

3) Divisão: Para efetuar a divisão do polinômio A(x) pelo polinômio B(x), com B(x) 0, devemos

determinar dois polinomios Q(x) e R(x), tais que:

A(x) B(x) A(x) = B(x) Q(x) + R(x)

R(x) Q(x)

Onde: A(x) : Dividendo

B(x) : Divisor

Q(x) : Quociente

R(x) : Resto da divisão

17

Para obter Q(x) e R(x) usaremos o método da chave, que consiste nos seguintes passos que

exemplificaremos com o seguinte exemplo:

Ex ) 2)B( e )23()( 23 xxxxxA

1º) Escrever os polinômios A(x) e B(x) (dividendo e divisor) em ordem decrescente dos seus expoentes

e completa-los, quando necessário, com termos de coeficiente zero.

203 23 xxx x - 2

2º)Dividir o termo de maior grau do dividendo A(x) pelo termo de maior grau do divisor B(x), o

resultado será um termo do quociente Q(x).

23

33

xx

x 203 23 xxx x – 2

3 2x

3º)Multiplicar o termo obtido no 2º passo pelo divisor B(x) e subtrair esse produto do dividendo A(x).

Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor, a diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui.

Caso contrário, retoma-se o 2º passo considerando a diferença como o novo dividendo.

203 23 xxx x – 2

63 23 xx 3 2x

2-0x 7 2 x

Repetindo o segundo passo:

203 23 xxx x – 2

63 23 xx 14-7x 3 2 x

2-0x 7 2 x

7x x

7 2

x

- 14x - 7 2x

2-14x

-14x

14

x 28-14x

-30

PRODUTOS NOTAVEIS:

Alguns produtos de expressões polinomiais são usuais, assim convém saber efetua-los por meio de

regras simples. Temos os seguintes casos de produtos notáveis:

1) Quadrado da soma: 222 2)).((a)(x axaxaxax

Ex) 912433)2(2)2()32).(32(3)(2x 2222 xxxxxx

2) Quadrado da diferença: 222 2)).((a)(x axaxaxax

Ex) 1211)(2)()1).(1()1(x 3623233323 xxxxxx

18

3) Produto da soma pela diferença: 22a)-a)(x(x ax

Ex) 4)2(2)-2)(x(x 222 xx

4) Cubo da soma: 32233 33))()((a)(x axaaxxaxaxax

Ex) 81262)2)((32)(3)()2).(2).(2(2)(x 246322223222232 xxxxxxxxx

5) Cubo da diferença: 32233 33))()((a)(x axaaxxaxaxax

Ex) 8242482)2)(2(32)2(3)2(2)-2).(2x-2).(2x-(2x2)-(2x 2332233 xxxxxx

FATORAÇÃO

Fatorar uma expressão polinomial e reescreve-la em forma de produtos de expressões polinomiais mais

simples. Temos os seguintes casos de fatoração:

1) Fator comum: Quando todos os termos do polinômio tem um fator comum, podemos coloca-lo em

evidencia. A forma fatorada é o produto do fator comum por um novo polinômio que se obtém dividindo cada termo do polinômio dado pelo fator comum.

Ex) )23(48124x 223 xxxxx

4x

4x3

4x

12x2

4x

8x

2) Agrupamento: Em alguns polinômios não existe um fator comum a todos os termos, no entanto, agrupando os termos dois a dois, podemos obter um fator comum em cada grupo.

Ex) )13)(2(2)2(32 3336

43x xxxxxxx

3) Diferença de quadrados: ))((x 22 axaxa

Ex) )53)(53(259 2 xxx

29x 25

3x 5

4) Diferença de cubos: ))((x 2233 axaxaxa

Ex) )42)(2(8 23 xxxx

3 3x 3 8

x 2

19

5) Soma de cubos: ))((x 2233 axaxaxa

Ex) )124)(12(18 23 xxxx

3 38x 3 1

2x 1

6) Trinomio quadrado perfeito: Um trinômio (polinômio com três termos) é um quadrado perfeito quando:

Dois de seus termos são quadrados.

O terceiro termo é igual a 2 vezes as raízes dos termos quadrados.

Ex) a) 222 )(2 axaxax

2x 2a

x a

2.x.a

b) ) 22 )23(4129 xxx

29x 4

3x 2

2.3x.2= 12x

Fatoração de polinômios: Quando trabalhamos com expressões polinomiais devemos tentar coloca-las numa forma simplificada,

assim a seguir faremos definições que nos ajudaram a fatorar qualquer polinômio.

Raiz de polinômio: Denomina-se raiz do polinômio 012

21


nn

ao

valor da variável x tal que 0)( xP .

Teorema fundamental da Álgebra: Toda equação algébrica 0)( xP , de grau n (n 1), tem pelo

menos uma raiz real ou complexa.

Teorema da decomposição: Todo polinômio 012

21


nn

(com

n 1 e 0na ) pode ser decomposto num produto de n fatores do 1º grau.Ou seja:

))...()(()( 21 nn xxxxxxaxP , onde nxxx ,...,, 21 são as n raízes do polinômio.

1º caso) Fatoração conhecendo pelo menos uma raiz do polinômio.

Considerando o polinômio 012

21


nn

e ax uma raiz. Assim P(x)

é divisível por )( ax com resto igual a zero, e teremos )().()( xqaxxP , onde q(x) é um polinômio de

grau (n – 1).

20

Ex) Seja 4242)( 23 xxxxP e 1x uma raiz de P(x). Assim:

)().1()( xqxxP

Devemos encontrar q(x) usando a relação 1

)()(

x

xpxq , logo:

4242 23 xxx 1x

23 22 xx 422 2 xx

422 2 xx

xx 22 2

44 x

44 x

0

Assim 422)( 2 xxxq , logo )422)(1()( 2 xxxxP . Como q(x) é um polinômio do 2º grau

deveremos, se possível, fazer sua fatoração. Poderemos encontrar suas raízes, neste caso, resolvendo a

equação do 2º grau correspondente a este polinômio através da formula de Báskara, ou seja:

0422 2 xx)2(2

)4)(2(4)2()2( 2 x

1

2

4

62

2

1

4

362

x

xx

Teremos: )1)(2)(1()( xxxxP

2ºcaso)Fatoração não conhecendo nenhuma raiz do polinômio.

Podemos encontrar raízes do polinômio usando a seguinte propriedade:

“Se a fração racional irredutivel q

p for raiz da equação algebrica de grau n e coeficientes inteiros

0... 012

21

1 axaxaxaxa n

nn

n , então p é um divisor de a0 e q é um divisor de an.”

Encontrando uma raiz através da propriedade retornaremos ao primeiro caso.

Ex) Seja 67)( 234 xxxxxP . As possíveis raízes do polinômio serão as soluções da equação:

067 234 xxxx

Pela equação dada, temos 160 naea

p é divisor de 6 , então 6,6,3,3,2,2,1,1 p

q é divisor de 1, então 1,1q

Pela propriedade, as possíveis raízes racionais são:

6,6,3,3,2,2,1,1 q

p, pesquisaremos qual destes valores vão satisfazer 0)( xP :

0)1(P -1 é raiz, daí teremos:

)().1()( xqxxP e assim retornaremos ao 1º caso.Vamos encontrar q(x):

21

67 234 xxxx x+1

34 xx 673 xx

67 2 xx

xx 77 2

66 x

66 x

0

Assim )67)(1()( 3 xxxxP , como q(x) é um polinômio de 3º grau devemos, se possível, fazer sua

fatoração:

Pela equação dada, temos 160 naea

p é divisor de 6 , então 6,6,3,3,2,2,1,1 p

q é divisor de 1, então 1,1q

Pela propriedade, as possíveis raízes racionais são:

6,6,3,3,2,2,1,1 q

p, pesquisaremos qual destes valores vão satisfazer 0)( xP :

12)1(P -1 não é raiz,

0)1(P 1 é raiz, daí teremos:

)().1)(1()( xqxxxP e assim retornaremos ao 1º caso.Vamos encontrar q(x):

670 23 xxx x-1

23 xx 62 xx

672 xx

xx 2

66 x

66 x

0

Assim )6).(1)(1()( 2 xxxxxP , como q(x) é um polinômio de 2º grau devemos, se possível, fazer

sua fatoração. Usando a formula de Baskara determinamos as raízes 2 e -3. Logo

)3)(2).(1)(1()( xxxxxP

Exercícios:

01)Calcule:

a) )3765()132( 2323 xxxxxx

b) )87()5128( 22 yyy

c) )785()81112( 22 xxxx

d) )553()834( 224 xxxxx

22

e) )1)(12( 23 xxxx

f) )63)(1235( 223 xxxxx

g) )3(:)627( 3 xxx

h) )12(:)94( 223 xxxx

02)Calcule usando produtos notáveis:

a) 2)42( x c) 33

1a

b) 22 )1( x d) 3)2( x

c) )12)(12( 33 xx

03) Fatore os polinômios:

a) xx 205 3 e) 2)2(16 x i) 31 x

b) yzyzyz 23 23 f) 11236 2 xx j) 3232 23 xxx

c) )3(5)3(2 xxx g) 22 32 yxyyx l) xx 3

d) 22564 y h) 643 z m) xxx 14162 23

04) Simplifique a expressão:

a) x

x

15

18 3

d) 49

2142

23

y

yyy

b) 2

2

9

3

z

zz

e)

23

23

2

632

xx

xxx

c) 12

962

2

xx

xx f)

1553

323

2

yyy

yy

05)Simplifique:

a)9

1.

1

3 2

x

x d)

9

61

3

322

xxxx

b) 8

4.

2

423

2

23

23

y

y

yy

yyy e)

4

4

2

2

6

522

xxxx

c) yx

xy

xy

yx2

2222

42

06)Simplifique a fração composta:

a)

22

11

11

yx

yx

c) h

xhx 22

1

)(

1

23

b)

3

32

5

132

x

x d) h

x

x

hx

hx

22

07) Determine as raízes dos polinômios e escreva-os na forma fatorada:

a) 306)( 23 xxxxP d) 4432)( 234 xxxxxP

b) 122)( 23 xxxxP e) 27217)( 23 xxxxP

c) 14344)( 234 xxxxxP

Respostas:

01) a) 2637 23 xxx

b) 3122 yy

c) 1537 2 xx

d) 3824 24 xxx

e) 1332 234 xxxx

f) 61317331415 2345 xxxxx

g) 189)(61217)( 2 xrexxxq

h) 73)(2)( xxrexxq

02) a) 16164 2 xx d) 271

3123 aaa

b) 4221 xx e) 326128 xxx

c) 14 6 x

03) a) )2)(2(5 xxx e) )2)(6( xx i) )1)(1( 2xxx

b) )1)(2( zzyz f) 2)16( x j) )32)(1( 2 xx

c) )3)(52( xx g) ))32([ yxxy l) )1( 2 xx

d) (8+5y)(8-5y) h) )164)(4( 2 zzz m) )1)(7(2 xxx

04) a) 5

6 2x d)

7

)3(

y

yy

b) z

z

3 e)

2

2 3

x

x

c) 4

3

x

x f)

52 y

y

05) a) 3

1x d)

3

1

x

24

b) y

1 e)

)2)(3(

52

xx

x

c) x2

06) a) xy

xy

c)

22 )(

2

hxx

hx

b) 5

3

x

x d)

)2)(2(

2

hxx

07) a) 5)-3)(x-2)(x(xP(x) d) 22 )2(1)-(xP(x) x

b) )-1)(x-1)(x2(x P(x)2

1 e) 9)-3)(x1)(x-(xP(x)

c) 22

1 )-1)(x-1)(x4(x P(x)

PARTE 4

Limites

Enunciaremos alguns teoremas propriedades que permitiram simplificar problemas que envolvam

limites.

Teorema) a) IRkkkax

,lim

b) axax

lim

Obs:Esses limites podem servir para a determinação de limites de algumas expressões.

Propriedades) Se )(lim xfax

e )(lim xgax

existem ambos, então:

a) )(lim)(lim)]()([lim xgxfxgxfaxaxax

ex)

3limlim)3(lim

111 xxxxx =(-1) + 3 = 2

b) )(lim.)(.lim xfkxfkaxax

ex) a) 10)2(5lim5)5(lim22

xx

xx

b)

1lim5lim)15(lim

000 xxxxx =

1limlim5

00 xxx =5.(0) + 1= 1

c) )(lim).(lim)]().([lim xgxfxgxfaxaxax

ex) )4(lim 2

2x

x = ).(lim4

2xx

x =

.)(lim.).(lim4

22xx

xx= 4[(-2).(-2)] = 4(-2)

2 = 4.(4)=16

Usando os teoremas anteriores




25

d) )(lim

)(lim

)(

)(lim

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

, desde que 0)(lim

xg

ax

ex) 1

32lim

0

x

x

x

Devemos primeiro calcular )1(lim0

xx

= )1(lim)(lim00

xx

x =(0) - 1= -1

Como este limite é diferente de zero , poderemos aplicar o teorema:

1

32lim

0

x

x

x=

)1(lim

)32(lim

0

0

x

x

x

x =)1(

)3(lim)2(lim00

xx

x

=)1(

)3(lim)(lim200

xx

x

= 3)1(

3

)1(

)3()0(2

Obs.: Analisando os exemplos anteriores observamos que os limites são calculados substituindo x pela

tendência que aparece no limite, ou seja, o uso dos teoremas e das propriedades dos limites demonstra

que o limite pode ser calculado através de uma substituição direta. Assim:

Propriedade: Seja f uma função definida em IRa , ou seja, existe f(a), então )()(lim afxfax

Ex1) 56

432lim

2

1

x

xx

x=

5)1(6

4)1(3)1(2 2

= 1

1

1

56

432

Ex2) 1

1lim

2

1

x

x

x, neste caso a função

1

1)(

2

x

xxf não esta definida em x = 1, assim não podemos

calcular o limite calculando f(1) pois não existe f(1). Quando fazemos x = 1 na função obtemos 0

0, que

é um caso de indeterminação, neste caso usaremos sempre artifícios algébricos para eliminar essa

indeterminação e trocar a função por outra que possui o mesmo comportamento da função original em x

= 1. Ou seja, neste caso o numerador e denominador são polinômios que se anulam para x=1, o que

significam que possuem raízes comuns, assim fatorando os polinômios encontraremos fatores comuns:

1

1lim

2

1

x

x

x=

1

)1).(1(lim

1

x

xx

x= 211)1(lim

1

x

x2

1

1lim

2

1

x

x

x

Ex3) x

x

x

11lim

0

, neste caso a função

x

xxf

11)(

não esta definida em x = 0, assim não

podemos calcular o limite calculando f(0) pois não existe f(0), e substituindo x = 0 na função obteremos

0

0(caso de indeterminação), neste caso devemos racionalizar o numerador :

x

x

x

11lim

0

=

11

11.

11lim

0

x

x

x

x

x=

)11(

11lim

22

0

xx

x

x=

)11(

11lim

0

xx

x

x=

)11(lim

0 xx

x

x

=2

1

11

1

)11(

1lim

0

xx



Usando diferença de quadrados

Usando produto da soma pela diferença

26

Ex4) 1lim1

xx

, funções com modulo são funções definidas por varias sentenças, neste caso devemos

calcular estes limites utilizando, quando necessário, limites laterais:

01)(x se 1)(x-

01)(x se )1(1

xx

-1 xse 1x-

-1 xse 11

xx

Assim como a função possui definições diferentes para valores próximos de x = -1, deveremos calcular

o limite usando limites laterais:

1lim1

xx

=

0)1(lim

0)1(lim

1

1

x

x

x

x

como os limites laterais são iguais, temos que existe o 1lim1

xx

e assim: 1lim1

xx

=0

Exercícios:

01) Calcule os seguintes limites:

a) 6

3lim

2

x

x

x

8

5:R g)

t

tt

t

11lim

0 1:R

b) 113

3lim

0 hx

2

3:R h)

21616

4lim

xx

x

x

128

1:R

c) 25

5lim

25

x

x

x

25

5lim

25

x

x

x i)

2

314lim

2

x

x

x

3

2:R

d) x

x

x

4lim

141

4

16

1:R j)

4

59lim

2

4

x

x

x

25

8:R

e) 372

9lim

2

2

3

tt

t

t

5

6:R k)

tttx 20

11lim 1:R

f) 8

2lim

32

x

x

x

12

1:R m)

h

xhx

h

33

0lim

23: xR

02) Encontre, quando existir, o limite das seguintes funções:

a) )32(lim3

xxx

6:R

b) )(lim1

xfx

se

1)2(

11)(

2

2

xsex

xsexxf 1 xem limite o existe não : R

conjuntos numÉricos e numeros reais - sol -...

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