CONJUNTOS e

CONJUNTOS NUMÉRICOS

MATEMÁTICA

Prof. Carlos Eduardo (Zico)

FEVEREIRO - 2012

http://www.zicoprofessor.blogspot.com

PARTE - 01/04

CONJUNTOS

De forma intuitiva associamos um conjunto a uma coleção de objetos. Toda coleção de objetos , animais, pessoas, ou coisas constitui um conjunto.A idéia de conjunto é a mesma de coleção. Os objetos são os elementos do conjunto.

Vejamos alguns exemplos:

1o) Uma coleção de livros escolares é um conjunto; e cada livro é um elementodesse conjunto.

2o) Os alunos do 1ºA formam um conjunto; e cada aluno é um elemento desseconjunto.

2o) Um time de voleibol é um conjunto; e cada atleta do time é um elementodesse conjunto.

CONCEITOS PRIMITIVOS.

REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO:

1) Por extenso ou escrita por extenso ou escrita por extensão ou representação tabular.

Exemplos:

Enumeram-se seus elementos, escrevendo-os entre chaves e separando-os por vírgulas.

uoieaA ,,,,

,...5,3,1B

5,4,3,2,1,0C

Vogais do nosso alfabeto.

Números naturais ímpares.

Números naturais menores que 6.

2) Por compreensão ou escrita por compreensão ou por uma propriedade característica.

REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO:

A = { x/x é vogal do nosso alfabeto } uoieaA ,,,,

B = { x/x é número natural ímpar } ,...5,3,1B

C = { x/x é número natural menor que 6 }

6/ xINxC5,4,3,2,1,0C

50/ xINxC

REPRESENTAÇÕES DE UM CONJUNTO:

3) Por figuras ou graficamente usando diagramas ou diagrama de Venn.

A

a

e

i

u

o

C

1

2

0 4

3

5

Terminologia – Tipos de conjuntos

Conjunto unitário: É aquele que possui um único

elemento.

Exemplos:

53/ xINxA

7B

1/ xINxC

4Aé o mesmo que

é o mesmo que, por exemplo: 87/ xINxB

é o mesmo que 0C

ou, é o mesmo que, por exemplo: 86/ xINxB

Podemos mostrar isto supondo que se o conjunto vazio não

está contido no conjunto em questão, então o conjunto vazio

deve possuir um elemento ao menos que não pertença a este

conjunto. Como o conjunto vazio não possui elementos, isto

não é possível. Como todos os conjuntos vazios são iguais uns

aos outros, é permissível falar de um único conjunto sem

elementos.

Exemplos: 54/ xINxCA

0/ xINxD

Conjunto vazio: Todo conjunto também possui como

subconjunto o conjunto vazio representado por:

B

OU Ø

Relação de inclusão

Relação de pertinência

Se a é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento apertence ao conjunto A e podemos escrever Aa

Se a não é um elemento de A, nós podemos dizer que o elemento anão pertence ao conjunto A e podemos escrever Aa

Exemplos:Z16 hgfedcbac ,,,,,,,

uoieac ,,,,Z4

1

Relação de inclusão

U

A é subconjunto de B

ou

BA Lê-se: A está contido em B

ou

A é parte de B

Podemos também escrever:

AB ( lê-se: B contém A )

Subconjuntos

A é um subconjunto de B

Dizemos que um conjunto A é subconjunto de outro

conjunto B quando todos os elementos

de A também pertencem a B.

Por exemplo: A = { 1,2,3 }

B = { 1,2,3,4,5,6 }

.

Nesse caso A é subconjunto de B, é indica-se: BA

Deve-se reparar que B é subconjunto de si mesmo; os

subconjuntos de B que não são iguais a B são

chamados subconjuntos próprios.

A é um subconjunto de B

Nota: O conjunto vazio { }, ou Ф (phi), é um

subconjunto de todos os conjuntos.

Operações entre conjuntos

União de A e B (em azul )

União

A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que

contém todos os elementos de A, todos os elementos

de B, e nada mais além disso. Ou então: Dado um

universo U e dois conjuntos A e B, chama-se

união de A com B ao conjunto cujos elementos

pertencem pelo menos ao conjunto A ou

ao conjunto B.

“Matematicamente”: BxAxUxBA /

ieaA ,, uoB ,

uoieaBA ,,,,

5,4,3,2C 5,3,1D

5,4,3,2,1DC

Exemplo: Dados os conjuntos , ,

e , determine

BA e DC

Resolução:

Respostas: uoieaBA ,,,,

5,4,3,2,1DC

AA

BCACBACBA

Notas sobre União de conjuntos:

•Também deve ser observado que a operação de

união é comutativa, ou seja,

•A união de um conjunto A , qualquer que seja, com o

conjunto vazio é igual ao próprio conjunto A , isto é:

Intersecção

Intersecção de A e B

(em azul mais escuro)

BxAxUxBA /

A intersecção de dois conjuntos A e B é o conjunto de

elementos que pertencem aos dois conjuntos. Ou então:

Dados dois conjuntos A e B , pertencentes a um

universo U, chama-se intersecção de A com B ao

conjunto cujos elementos pertencem tanto a A quanto a B.

“Matematicamente”:

AxUxBA / e Bxou

6,4,2C 5,4,3,2D

.DC

4,2DC

Exemplos:

1) Dados os conjuntos e , determine

Resolução:

4,2DCResposta:

ieaA ,, uoB ,

BA

BA

2) Dados os conjuntos e , determine

Resolução:

Resposta: BA

16,15,14,13,12,11,10,9,8,7,6,5E

INF FE

EFE

3) Dados os conjuntos

e , determine

Resolução:

EFEResposta:

Diferença

Dado um universo U ao qual pertencem dois

conjuntos A e B:

- chama-se diferença de A menos B ao conjunto de

elementos que pertencem a A e não pertencem a B;

- chama-se de diferença de B menos A ao conjunto

de elementos que pertencem a B e não pertencem a A.

Diferença A menos B (em azul mais escuro)

“Matematicamente”: BxAxUxBA /

AxBxUxAB /

Por exemplo, o conjunto definido pela diferença entre

os números inteiros e números naturais não nulos é

igual ao conjunto Z- (números inteiros não-positivos):

*INZ

•A subtração de um conjunto A menos um conjunto vazio

é igual ao próprio conjunto A, isto é,

A - { } = A

,...2,1,0,1,2...,Z ,...3,2,1*IN

_Z 0,1,2...,

Complementar

Complementar de B em relação a A

(em azul mais escuro)

BxAxCB

A /

Dado um universo U, diz-se complementar de um

conjunto A, em relação ao universo U, o conjunto que

contém todos os elementos presentes no universo e

que não pertençam a A. Também define-se complementar

para dois conjuntos, contanto que um deles seja subconjunto

do outro. Nesse caso, diz-se, por exemplo, complementar

de B em relação a A (sendo B um subconjunto de A)

— é o complementar relativo — e usa-se o símbolo

“Matematicamente”:

B

AC

D

AC

27,25,9,4,3D

AC

Exemplo: Dados os conjuntos A e D, determine

.A = { 3,4,9,{10,12},{25,27} } e D = { {10,12} }

Resolução:

Obs: DACD

A

Note no exemplo acima esta operação.

SUBCONJUNTOS importantes dos NATURAIS

= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,...}

= { 0, 2, 4, 6,..., 2n, ...} , com INn

Números Primos: P = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...}

*IN

PIN

IIN

1º) Naturais Não Nulos:

2º) Naturais Pares:

3º) Naturais Ímpares: = { 1, 3, 5, 7,..., 2n+1, ...} , com INn

4º)

Números Naturais na reta real

3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7

Veja onde estão os

NÚMEROS NATURAIS

na reta real

…………………….

0 1 2 3 4 5 6 7

Não esquecer, por exemplo: 7,2 2e não são números naturais

“Os números naturais são aqueles pintandos em vermelhos”.

CONJUNTOS e

CONJUNTOS NUMÉRICOS

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