números naturais

Os números naturais: o conjunto NN = {1,2,3,4,5,6, ... , 19,20, ... , 1001, 1002, ... , 10000001, ... }

Notas elucidativas: 

a) os números naturais surgiram da necessidade de contagem dos elementos de um conjunto pelo homem primitivo e, neste sentido, o zero ( 0 ) não seria um número natural.

b) por volta do ano 458 DC,  o zero foi introduzido pelos hindus, para representar a coluna vazia dos ábacos, daí sua denominação original de sunya (vazio).Ábaco - segundo o dicionário Melhoramentos - 7ª edição: calculador manual para aritmética, formado de um quadro com vários fios paralelos em que deslizam botões ou bolas móveis.Veja a ilustração a seguir, obtida no Museo Pedagógico José Pedro Varela - poeta e educador uruguaio   1845 - 1879. Caso você visite o site acima, para retornar à esta página, clique em VOLTAR no seu browser.

Nota: observe acima à direita, a linha vazia no ábaco, significando o zero.

c) no entanto, como o zero atende às propriedades básicas dos números naturais, ele pode ser considerado um número natural, não obstante a premissa contrária não conflitar a teoria. Assim, não deveremos estranhar quando aparecer em provas de vestibulares o conjunto N como sendo N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ... }, definindo-se um outro conjunto sem o zero:N* = N - {0} = {1,2,3,4, ... }. Como esta forma de abordagem é a mais usual, consideraremos o zero como sendo um número natural, no que se segue.

d) o conjunto dos números naturais é infinito.

Propriedades:

1 – Todo número natural n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por  suc(n) = n + 1. Exemplo: suc(32) = 32 + 1 = 33.

2 – Dados dois números naturais m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições :m = n : m igual a n (igualdade)m > n : m maior do que n (desigualdade)m < n : m menor do que n (desigualdade). Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.

Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ³ ou £ os quais possuem a seguinte leitura:a ³ b : a maior do que b ou a = b.a £ b : a menor do que b ou a = b

Assim por exemplo, x £ 3, significa que x poderá assumir em N, os valores 3,2,1 ou 0. Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1 ou 0.

Operações em N

1 – Adição: a + b = a mais b.a + b = a mais b.

Propriedades:

Dados os números naturais a, b, c, em N, são válidas as seguintes propriedades:

1.1 – Fechamento: a soma de dois números naturais é sempre um número natural. Diz-se então que o conjunto N dos números naturais é fechado em relação à adição.

1.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

1.3 – Comutativa: a + b = b + a

1.4 – Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.

1.5 – Unívoca: o resultado da adição de dois números naturais é único.

1.6 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número natural aambos os membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.

2 – Subtração: Observa-se que a subtração (diferença) é uma operação inversa da adição. Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto N não é fechado em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números naturais, nem sempre é um outro número natural. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais. Das seis propriedades do item anterior, verifica-se que a operação subtração possui apenas aquelas dos sub-itens (1.5) e (1.6).

3 – Multiplicação: é um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número natural a si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x nNa igualdade a . n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.

Propriedades:

Dados os números naturais a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

3.1 – Fechamento: a multiplicação de dois números naturais é sempre outro número natural. Dizemos então que o conjunto N dos números naturais é fechado em relação à operação de multiplicação.

3.2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c

3.3 – Comutativa: a x b = b x a

3.4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

3.5 – Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números naturais é único.

3.6 – Monotônica: : Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo número natural, ou seja, se a > b então a x c > b x c.

3.7 – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

4 – Potenciação: é um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número natural a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a n , onde a será denominado base e n expoente. Assim é que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.

5 – Divisão: é um caso particular da subtração, senão vejamos: o que significa dividir 17 por 3? Significa descobrir, quantas vezes o número 3 cabe em 17, ou seja: 17 – 3 – 3 – 3 – 3 - 3 e restam 2. Podemos escrever a expressão anterior como:17 = 5 . 3 + 2 . O número 17 é denominado dividendo, o número 3 é denominado divisor, o número 5 é denominado quociente e o número 2 é denominado resto. De uma maneira geral, dados os números naturais D, d, q e r, poderemos escrever a relação  D = d.q + r com 0 £ r < d. Se r = 0, dizemos que a divisão é exata, ou seja, não deixa resto. A demonstração da existência e da unicidade dos números D, d, q e r, pode ser vista nos compêndios de Teoria dos Números e não cabe aqui nestas notas introdutórias. A relação vista acima é conhecida como Teorema de Euclides.

5.1 – Exercícios resolvidos

Dividindo-se o número 245 por um número natural b, obtém-se quociente 5 e resto r. Determine o valor da soma dos valores possíveis para b.

Solução:

Pela exposição anterior, poderemos escrever:245 = 5.b + r com 0 £ r < b .

Da primeira expressão, tiramos: r = 245 – 5bSubstituindo na segunda, vem:0 £ 245 – 5b < b

Podemos desmembrar a dupla desigualdade acima em duas, a saber:

0 £ 245 – 5b e 245 – 5b < b

Resolvendo a primeira: 0 £ 245 – 5b \ 5b £ 245 \ b £ 49.

Resolvendo a segunda: 245 – 5b < b \ 245 < 6b \ 6b > 245 \b > 40, 83...

Ora, sendo b um número natural maior do que 40,83 e menor ou igual a 49, vem que os valores possíveis para b serão: 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48 e 49.A soma dos valores possíveis para b será então,S = 41 + 42 + 43 + 44 + 45 + 46 + 47 + 48 + 49 = 405.

Resposta: 405

UNICAMP 1994 – 2ª fase – A divisão de um certo número inteiro N por 1994 deixa resto 148. Calcule o resto da divisão de N + 2000 pelo mesmo número 1994.

Solução:

Pelo Teorema de Euclides visto acima, poderemos escrever:

N = 1994.q + 148, onde q é o quociente.

Analogamente, para N + 2000, teremos:

N + 2000 = 1994.Q + r, onde Q é o novo quociente e r é o novo resto.

Podemos escrever: N = 1994.Q – 2000 + r

N = 1994.Q – (1994 + 6) + rN = 1994.Q – 1994 – 6 + rN = 1994(Q - 1) + r - 6 N – 1994(Q – 1) - r + 6 = 0

Substituindo o valor de N fica:

1994.q + 148 – 1994(Q – 1) - r + 6 = 0

1994(q – Q +1) + (154 – r) = 0

Ora, sendo Q, q e r naturais, a soma acima será nula, se e somente se ocorrerq – Q + 1 = 0, ou seja, Q = q + 1 e 154 - r  = 0. Como estamos interessados no novo resto r, vem imediatamente que: r = 154.

Resposta: 154

Outra maneira de resolver o problema, talvez mais simples, seria:

Temos pelo enunciado:

N = 1994.q + 148

Adicionando 2000 a ambos os membros, vem:

N + 2000 = 1994.q + 2000 + 148

N + 2000 = 1994.q + 2000 + 148

Decompondo 2000 na soma equivalente 1994 + 6, fica:

N + 2000 = 1994.q + 1994 + 6 + 148

N + 2000 = 1994.(q + 1) + 154

Logo, o novo quociente é q + 1 e o novo resto é igual a 154.

Os números inteiros: o conjunto Z

Z = {... , – 4, – 3, – 2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... }O conjunto dos números inteiros é infinito. A escolha da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros, deve-se ao fato da palavra Zahl em alemão, significar número.

É trivial entender que o conjunto dos números naturais N é um subconjunto do conjunto dos números inteiros Z, ou seja: N Ì Z.

Define-se o módulo de um número inteiro como sendo o número sem o seu sinal algébrico. Assim é que , representando-se o módulo de um número inteiro x qualquer por |x|, poderemos citar como exemplos:| –7 | = 7; | – 32 | = 32; | 0 | = 0; etcO módulo de um número inteiro é, então, sempre positivo ou nulo.

Chama-se oposto (ou simétrico aditivo) de um número inteiro a ao número – a.

Propriedades dos números inteiros:

1 – Todo número inteiro n, possui um sucessor indicado por suc(n), dado por suc(n) = n + 1. Exemplos: suc(– 3) = – 3 + 1 = - 2; suc(3) = 3 + 1 = 4.

2 – Dados dois números inteiros m e n, ocorrerá uma e somente uma das condições :m = n  [ m igual a n ] (igualdade)m > n  [ m maior do que n ] (desigualdade)m < n  [ m menor do que n] (desigualdade).Esta propriedade é conhecida como Tricotomia.

Nota: Às vezes teremos que recorrer aos símbolos ³ ou £ os quais possuem a seguinte leitura:a ³ b [ a maior do que b  ou a = b ].a £ b [ a menor do que b ou a = b ]

Assim por exemplo, x £ 3, significa que x poderá assumir em Z os valores3, 2, 1, 0, -1, -2, -3, - 4, ...

Já x < 3, teríamos que x seria 2, 1, 0, -1, -2, -3, -4, ...

É óbvio que o zero é maior do que qualquer número negativo ou na sua forma equivalente, qualquer número negativo é menor do que zero.

... –10, – 9, – 8, – 7, – 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

Operações em Z

1 – Adição: a + b = a mais b.

A adição de dois números inteiros obedece às seguintes regras:

a ) números de mesmo sinal : somam-se os módulos e conserva-se o sinal comum.

Exemplos:

(-3) + (-5) + (-2) = - 10(-7) + (-6) = - 13

b) números de sinais opostos: subtraem-se os módulos e conserva-se o sinal do maior em módulo.

Exemplos:

(-3) + (+7) = + 4(-12) + (+5) = -7

Propriedades:

Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

1.1 – Fechamento: a soma de dois números inteiros é sempre um número inteiro. Diz-se então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à adição.

1.2 – Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c

1.3 – Comutativa: a + b = b + a

1.4 – Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a . Zero é o elemento neutro da adição.

1.5 – Unívoca: o resultado da adição de dois números inteiros é único.

1.6 – Monotônica: Uma desigualdade não se altera, se somarmos um mesmo número inteiro a ambos os membros, ou seja, se a > b então a + c > b + c.

2 – Subtração: Observa-se que a subtração (diferença) é uma operação inversa da adição.Se a + b = c então dizemos que a = c – b ( c menos b). É óbvio que o conjunto Z é fechado em relação à subtração, pois a subtração (diferença) entre dois números inteiros, sempre será um outro número inteiro. Por exemplo, a operação 3 – 10 não teria resultado no conjunto N dos números naturais, mas possui resultado no conjunto Z dos números inteiros, ou seja -7.

A subtração de dois números inteiros será feita de acordo com a seguinte regra:

a – b = a + (-b)

Exemplos:

10 – (-3) = 10 + (+3) = 13(-5) – (- 10) = (-5) + (+10) = +5 = 5(-3) – (+7) = (-3) + (-7) = - 10

3 – Multiplicação: é um caso particular da adição (soma), pois somando-se um número inteiro a si próprio n vezes, obteremos a + a + a + ... + a = a . n = a x nNa igualdade a . n = b, dizemos que a e n são os fatores e b é o produto.

A multiplicação de números inteiros, dar-se-á segundo a seguinte regra de sinais:

(+) x (+) = +

(+) x (-) = -

(-) x (+) = -

(-) x (-) = +

Apresentaremos uma justificativa para a regra acima, mais adiante neste capítulo, ou seja, o porquê de MENOS x MENOS ser MAIS!

Exemplos:

(-3) x (-4) = +12 = 12(-4) x (+3) = -12

Propriedades:

Dados os números inteiros a, b e c, são válidas as seguintes propriedades:

3.1 – Fechamento: a multiplicação de dois números inteiros é sempre outro número inteiro. Dizemos então que o conjunto Z dos números inteiros é fechado em relação à operação de multiplicação.

3.2 – Associativa: a x (b x c) = (a x b) x c ou a . (b . c) = (a . b) . c

3.3 – Comutativa: a x b = b x a

3.4 – Elemento neutro: a x 1 = 1 x a = a. O número 1 é o elemento neutro da multiplicação.

3.5 – Unívoca: o resultado da multiplicação de dois números inteiros é único.

3.6 – Uma desigualdade não se altera, se multiplicarmos ambos os membros, por um mesmo número inteiro positivo, ou seja, se a > b então a . c > b . c

3.7 - Uma desigualdade muda de sentido, se multiplicarmos ambos os membros por um mesmo número inteiro negativo, ou seja: a > b então a . c < b . c

Exemplo:  10 > 5. Se multiplicarmos ambos os membros por  (-1) fica  - 10 < - 5. Observe que o sentido da desigualdade mudou.

3.8 – Distributiva: a x (b + c) = (a x b) + (a x c).

A propriedade distributiva acima, nos permite apresentar uma justificativa simples, através de um exemplo, para o fato do produto de dois números negativos resultar positivo, conforme mostraremos a seguir:

Considere o seguinte produto:A = (7 – 5) x (10 – 6) cujo resultado já sabemos ser 2 x 4 = 8.Desenvolvendo o primeiro membro, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição,vem:A = (7x10) + [7x(-6)] +[(-5)x10] + [(-5)x(-6)]A = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]Como já sabemos que A = 8, substituindo fica:8 = 70 – 42 – 50 + [(-5)x(-6)]Isolando o produto [(-5)x(-6)], vem:[(-5)x(-6)] = 8 – 70 + 42 + 50 = 8 + 42 + 50 – 70 = 100 – 70 = 

30

Observa-se então que realmente 

[(- 5)x(- 6)] = 30 = + 30.

4 – Potenciação: é um caso particular da multiplicação, onde os fatores são iguais. Assim é que multiplicando-se um número inteiro a por ele mesmo n vezes, obteremos a x a x a x a x ... x a que será indicado pelo símbolo a n , onde a será denominado base e n expoente. Assim é que, por exemplo, 53 = 5.5.5 = 125, 71 = 7, 43 = 4.4.4 = 64, etc.

Com base nas regras de multiplicação de números inteiros, é fácil concluir que:

a) Toda potencia de base negativa e expoente par não nulo, tem como resultado um número positivo.

Exemplos:

(-2)4 = +16 = 16(-3)2 = +9 = 9(-5)4 = +625 = 625(-1)4 = + 1 = 1

b) Toda potencia de base negativa e expoente ímpar, tem como resultado um número negativo.

Exemplos:

(-2)3 = - 8(-5)3 = - 125(-1)13 = - 1

5 – Divisão: O conjunto Z dos números inteiros não é fechado em relação à divisão, pois o quociente de dois números inteiros nem sempre é um inteiro.

A divisão de números inteiros, no que concerne à regra de sinais, obedece às mesmas regras vistas para a multiplicação, ou seja:

(+) : (+) = +

(+) : (-) = -

(-) : (+) = -

(-) : (-) = +

Exemplos:

(–10) : (– 2) = + 5 = 5(– 30) : (+ 5) = – 6

Para finalizar, vamos mostrar duas regras de eliminação de parêntesis ( ), que poderão ser bastante úteis:

R1) Todo parêntese precedido do sinal + pode ser eliminado, mantendo-se os sinais das parcelas interiores.

Exemplo:

+ (3 + 5 – 7) = 3 + 5 – 7 = 1

R2) Todo parêntese precedido do sinal – pode ser eliminado, desde que sejam trocados os sinais das parcelas interiores.

Exemplos:

– (3 + 4 – 7) = – 3 – 4 + 7 = 0– (–10 – 8 + 5 – 6 ) = 10 + 8 – 5 + 6 = 19– (–8 – 3 – 5 ) = 8 + 3 + 5 = 16

Exercícios resolvidos

1 – A temperatura de um corpo variou de – 20º C para 20º C. Qual a variação total da temperatura do corpo?

Solução: Sendo DT a variação total da temperatura, vem:DT = Tfinal – Tinicial = 20 – (– 20) = 20 + 20 = 40 º C.

2 – Um veículo movendo-se a uma velocidade de 20 m/s, parou após 50 m. Qual a variação da velocidade até o veículo parar?

Solução: Sendo Dv a variação total da velocidade, vem:

DV = vfinal – vinicial = 0 – 20 = – 20 m/s.

Os números racionais: o conjunto Q

I – Introdução

Sendo a e b dois números inteiros, com a condição de b não nulo, chama-se número racional ao quociente a / b .

Assim, são exemplos de números racionais:

2/3, -3/5, 87/95, ... , etc

O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q . O uso da letra Q deriva da palavra inglesa quotient , que significa quociente, já que a forma geral de um número racional é um quociente de dois números inteiros.

Como todo número inteiro a pode ser escrito na forma a / 1 = a , concluímos que todo número inteiro é também um número racional. Assim, é trivial perceber que o conjunto dos números inteiros está contido ou é um subconjunto do conjunto dos números racionais, ou seja: Z Ì Q .

Os números racionais podem também ser representados na forma de um número decimal, ou seja, na forma i,d onde i é a parte inteira e d a parte decimal.

Por exemplo, 4/5 = 0,8 ; 3/5 = 0,6 ; 2/3 = 0,6666... ; 20/3 = 6,3333... ; etc

Observe que todas as dízimas periódicas (também conhecidas como números decimais periódicos) são números racionais, uma vez que elas podem ser escritas na forma a / b com b ¹ 0.

Exemplos:

1 – Escreva na forma a / b o número racional r = 1,25252525...

Sendo r = 1,252525... , multiplicando ambos os membros por 100, teremos:100.r = 125,252525...

Subtraindo estas igualdades membro a membro, fica:

100r – r = 125,252525... – 1,252525... , de onde tiramos:99.r = 124 , e, portanto, r = 124 / 99.

2 – Escreva na forma a / b a dízima periódica s = 2,0353535...

Sendo s = 2,0353535... , multiplicando ambos os membros por 10, teremos:10.s = 20,353535...

Multiplicando ambos os membros da igualdade anterior por 100, teremos:100.10s = 100.20,353535...

1000.s = 2035,353535...

Subtraindo membro a membro a segunda da primeira igualdade, vem:

1000.s – 10.s = 2035,353535... - 20,353535...990.s = 2015, e, portanto, s = 2015 / 990

Quando o número racional está representado na forma a / b onde a e b são inteiros, com b não nulo, costumamos denominar a de numerador e b de denominador, sendo o número a / b conhecido como fração ordinária.

Propriedade fundamental das frações:

Uma fração ordinária não se altera, se multiplicarmos o seu numerador e denominador, por um mesmo número diferente de zero.

Assim é que:

a / b = a . n / b . n para n diferente de zero.

Exemplo: 2/3 = 4/6 = 8/18 = 24/54 = ... , etc

Notas:

1 – Se o denominador de uma fração ordinária for igual a 10 (ou a uma potencia de dez), ela é conhecida como fração decimal.

Exemplos: 3 / 10; 625 / 1000.

2 – Um número racional da forma a / 100 é conhecido como porcentagem e indicado simbolicamente por a % .

Exemplos:

a) 25 / 100 = 25 %b) 75 / 100 = 75 %c) 1 / 100 = 1 %

Usando uma terminologia comumente aceita, se a < b, dizemos que a fração é própria e se a > b , dizemos que a fração é imprópria. Se a for um múltiplo de b, a fração a / b será um número inteiro e a fração é dita aparente.

Assim, por exemplo, 5 / 7 é uma fração própria, 9 / 5 é uma fração imprópria e10 / 5 = 2 é uma fração aparente. Saliente-se que trata-se apenas de uma terminologia consagrada pelo uso, sem nenhum sentido prático e, eu diria, talvez até inútil.

É importante acrescentar que o conjuntos dos números racionais é denso e infinito, ou seja, dados dois números racionais r1 e r2, sempre existirá um número racional r

tal que r1 < r < r2 .

Por exemplo, entre os números inteiros 7 e 8 não existe nenhum outro número inteiro, porém existe um número infinito de números racionais entre eles. 7,1; 7,9; 7,0045; 7,999; .. etc são apenas alguns dos infinitos exemplos possíveis.

II – Operações com números racionais

a) Adição e subtração

Sejam os números racionais a / b e c / d onde a, b, c e d são números inteiros com b e d diferentes de zero.

A soma e a subtração destes números racionais, obedecem à seguinte regra:

(a / b) ± (c / d) = (ad ± bc) / (bd)

Observe que se os denominadores b e d forem iguais, a igualdade acima se reduz a:

(a / b) ± (c / b) = (a ± c) / b

que é um caso particular da expressão geral.

Ou seja: para somar duas frações de mesmo denominador, adicionam-se os numeradores e mantém-se o denominador comum.

Exemplos:

a) (2 / 5) - (1 / 5) = (2 - 1) / 5 = 1 / 5

b) (4 / 3) + (8 / 3) = (4 + 8) / 3 = 12 / 3 = 4

c) (2 / 5) + (3 / 4) = (2 . 4 + 5 . 3) / (5 . 4) = 23 / 20

d) (5 / 3) – (3 / 4) = (5 . 4 – 3 . 3) / (3 . 4) = 11 / 12

b) Multiplicação

Sejam os números racionais a / b e c / d onde a, b, c e d são números inteiros com b e d diferentes de zero.

A multiplicação obedece à seguinte regra geral:

(a / b) . (c / d) = (a . c) / (b . d)

Ou seja, para multiplicar duas frações, multiplicamos entre si, os numeradores e os denominadores.

Exemplos:

a) (2 / 3) . (5 / 7) = (2 . 5) / (3 . 7) = 10 / 21

b) (3 / 4) . (7 / 6) = (3 . 7) / (4 . 6) = 21 / 24

Observe que a fração 21 / 24, pode ser simplificada, dividindo-se numerador e denominador por 3, resultando 7 / 8.

c) Divisão

Sejam os números racionais a / b e c / d onde a, b, c e d são números inteiros com b e d diferentes de zero.

A divisão obedece à seguinte regra geral:

(a / b) : (c / d) = (a / b) . (d / c) = (a . d) / (b . c)

A regra é então comumente enunciada como: para dividir uma fração por outra, basta multiplicar a primeira pelo inverso da segunda.

Justificativa:

Seja a fração F = (a / b) : (c / d)

Pela propriedade fundamental das frações, vista no início do texto, poderemos multiplicar o numerador e denominador por (d / c), resultando:

F = (a / b) . (d / c) : (c / d) . (d / c)

Simplificando a expressão acima, lembrando que (c / d) . (d / c) = 1, vem, finalmente que F = (a / b) . (d / c) = (a . d) / (b . c), conforme indicado na fórmula acima.

Exemplos:

a) (2 / 3) : (4 / 5) = (2 /3) . (5 / 4) = (2 . 5) / (3 . 4) = 10 / 12 = 5 / 6.

b) (3 / 7) : (2 / 9) = (3 / 7) . (9 / 2) = (3 . 9) / (7 . 2) = 27 / 14

d) Potenciação

(a / b)n = an / bn para b diferente de zero.

Exemplo: (2 / 5)3 = 23 / 53 = 8 / 125

III - Exercícios

1 – Calcule 3/5 de 60.

Solução: 3/5 de 60 = (3/5) . 60 = (3 . 60) / 5 = 180 / 5 = 36.

2 – Calcule 3/5 de 2/3.

Solução: 3/5 de 2/3 = (3/5) . (2/3) = (3.2) / (3.5) = 6 / 15 = 2 / 5.

3 – Calcule 2/5 dos 3/4 de 40.

Solução: 2/5 dos 3/4 de 40 = (2/5).(3/4) . 40 = (2.3.40) / (5.4) = 240 / 20 = 12.

4 – Calcule 30 % de 70.

Solução: 30 % de 70 = (30 / 100) . 70 = (30.70) / 100 = 2100 / 100 = 21.

5 – Calcule 15 % de 60 %.

Solução: 15 % de 60 % = (15/100) . (60 / 100) = (15.60) / (100.100) = 900 / 10000. Mas, 900 / 10000 = 9 / 100 = 9 % .

6 – Calcule 3/2 dos 0,121212 ... de 33 % de 2400. RESPOSTA 144

OS NUMEROS RACIONAIS

Vimos na aula anterior , os números racionais, aqueles que podem ser escritos na forma de uma fração a / b onde a e b são dois números inteiros, com a condição de que b seja diferente de zero, uma vez que sabemos da impossibilidade matemática da divisão por zero.

Vimos também, que todo número racional pode ser escrito na forma de um número decimal periódico, também conhecido como dízima periódica. 

Vejam os exemplos de números racionais a seguir:

3 / 4 = 0,75 = 0,750000...

- 2 / 3 = - 0,666666...

1 / 3 = 0,333333...

2 / 1 = 2 = 2,0000...

4 / 3 = 1,333333...

- 3 / 2 = - 1,5 = - 1,50000...

0 = 0,000... etc

Existe entretanto, uma outra classe de números que não podem ser escritos na forma de fraçãoa / b , conhecidos como números irracionais , os quais serão abordados de uma forma elementar neste capítulo.

2 – Os números irracionais

Assim como existem as dízimas periódicas, também existem as dízimas não periódicas que são justamente os números irracionais, uma vez que elas nunca poderão ser expressas como uma fração do tipo a / b .

Exemplos de dízimas não periódicas ou números irracionais:

a) 1,01001000100001000001...

b) 3,141592654...

c) 2,7182818272...

d) 6,54504500450004... etc

Existem dois tipos de números irracionais: os algébricos e os transcendentes.Os números irracionais algébricos, são as raízes inexatas dos números racionais, a exemplo de Ö2 , Ö5 , Ö17 , Ö103 , ... etc, ou qualquer outra raiz inexata. Já os números irracionais transcendentes complementam aqueles irracionais algébricos, sendo os exemplos mais famosos de números irracionais transcendentes, o número p (pi), o número de Euler e , cujos valores aproximados com duas decimais são respectivamente 3,14 e 2,72 .

O número p representa a razão do comprimento de qualquer circunferência dividido pelo diâmetro da mesma circunferência e o número e é a base do sistema de logaritmos neperianos.

É interessante comentar, que ao tratarmos na prática, dos números irracionais, deveremos sempre adotar os seus valores aproximados, uma vez que , por serem dízimas não periódicas, os valores adotados serão sempre aproximações.

Um exemplo clássico de não racionalidade de um número, é o caso da raiz quadrada de dois. O valor aproximado da raiz quadrada de dois ( Ö2 ) é igual a 1,414. Vamos analisar o porquê do número Ö2 não ser racional:

Para isto , vamos utilizar o método da redução ao absurdo, que consiste em negar a tese, e concluir pela negação da hipótese.

Vamos supor inicialmente, por absurdo, que Ö2 seja um número racional.Ora, neste caso, e se isto fosse verdadeiro, o número Ö2 poderia ser escrito na forma de uma fração irredutível a / b , ou seja, com a e b primos entre si , e, portanto, teríamos:

Ö2 = a / b , onde a e b são inteiros, com b diferente de zero.

Quadrando ambos os membros da igualdade anterior, teremos:

2 = a2 / b2 , de onde tiramos a2 = 2.b2 .

Ora, como a2 é o dobro de b2, é correto afirmar que a é um número par.Sendo a um número par, podemos escreve-lo na forma a = 2k, onde k é um número inteiro. Daí, vem que: (2k)2 = 2b2 ou 4k2 = 2b2 , de onde tiramos queb2 = 2k2 , ou seja, b também é par. Ora, sendo a e b pares, o quociente a / b não seria uma fração irredutível, já que o quociente de dois números pares é outro número par. Vemos portanto que isto nega a hipótese inicial de que a fração a / b seja irredutível, ou seja, de que a e b sejam primos entre si. Logo, concluímos que afirmar que Ö2 é racional , é falso , ou seja, Ö2 não é um número racional, e, portanto, Ö2 é um número irracional.

Nota: dois números inteiros são ditos primos entre si, se o máximo divisor comum(MDC) destes números for igual à unidade, ou seja: MDC (a,b) = 1.

3 – Identificação de números irracionais

Fundamentado nas explanações anteriores, podemos afirmar que:

3.1 – todas as dízimas periódicas são números racionais.

3.2 – todos os números inteiros são racionais.

3.3 – todas as frações ordinárias são números racionais.

3.4 – todas a s dízimas não periódicas são números irracionais.

3.5 – todas as raízes inexatas são números irracionais.

3.6 – a soma de um número racional com um número irracional é sempre um número irracional.

3.7 – a diferença de dois números irracionais, pode ser um número racional.Exemplo: Ö5 - Ö5 = 0 e 0 é um número racional.

3.8 – o quociente de dois números irracionais, pode ser um número racional.Exemplo: Ö8 : Ö2 = Ö4 = 2 e 2 é um número racional.

3.9 – o produto de dois números irracionais, pode ser um número racional.Exemplo: Ö5 . Ö5 = Ö25 = 5 e 5 é um número racional.

3.10 – a união do conjunto dos números irracionais com o conjunto dos números racionais, resulta num conjunto denominado conjunto R dos números reais.

3.11 – a interseção do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais, não possui elementos comuns e, portanto, é igual ao conjunto vazio (

Æ ).

Simbolicamente, teremos:

Q U I = R

Q Ç I = Æ

uas equações irracionais bastante interessantes: a segunda , muito mais que a primeira.

1 - Resolva a seguinte equação irracional em R:Nota:  R = conjunto dos números reais

Solução:

A raiz quadrada no denominador do primeiro membro nos indica claramente que x é um número real positivo, pois não existe raiz quadrada real de número negativo e o denominador de uma expressão não pode ser nulo, pois não existe divisão por zero. A equação acima é dita irracional porque contém uma incógnita sob radical, no caso o Öx .

Posto isto, façamos Öx = y , de onde tiramos x = y2 .Substituindo na equação dada fica:

50y2 / y = (y2 / 2) + 500

Simplificando, lembrando que y > 0, pois y = Öx , vem:

50y = y2 / 2 + 500

Multiplicando ambos os membros por 2, teremos:

100y = y2 + 1000

Arrumando convenientemente, vem:

y2 – 100y + 1000 = 0

Trata-se de uma equação do segundo grau em y , do tipo ay2 + by + c = 0, cujaresolução pode ser feita pela aplicação da fórmula de Bhaskara:y = (-b ± Öa onde b2 – 4ac, termo conhecido como discriminante.No nosso caso temos: a = 1, b = -100 e c = 1000.Aplicando a fórmula acima teremos então:y = (100 ± 20Ö15) / 2 = 50 ± 10Ö15

Lembrando que y > 0, observe que ambas raízes servem ao problema, já que tanto 50 + 10Ö15 como 50 - 10Ö15 são números positivos.

Lembrando que x = y2   vem, substituindo:

x = (50 ± 10Ö15)2 = 502 ± 2.50.10Ö15 + (10Ö15)2 = 4000 ± 1000Ö15

Portanto, as raízes procuradas são:

x = 4000 + 1000Ö15    ou   x = 4000 - 1000Ö15

Portanto, as raízes da equação dada são dois números irracionais, cujos valores aproximados são :

x1 = 4000 + 1000Ö15 = 1000(4 + Ö15) 7872,9833x2 = 4000 - 1000Ö15 = 1000(4 - Ö15)  127,0167

Por simples substituição dos valores na equação original, confirmamos que os valores acima são realmente as soluções da equação proposta.

2 - Agora resolva esta equação irracional em R :

Veja a solução desta equação AQUI.

Solução:

Façamos 

de onde vem  t3 = 2x - 1

Substituindo o valor de t na equação original fica:  x3 + 1 = 2t

Temos então o sistema de equações:x3 + 1 = 2tt3 = 2x - 1Subtraindo membro a membro as duas igualdades, teremos:x3 - t3 + 1 = 2t - 2x + 1  que é equivalente a  x3 - t3 = 2t - 2x

Fatorando ambos os membros, teremos:(x - t)(x2 + tx + t2) = 2(t - x) = -2(x - t)Igualando a zero, vem: (x - t)(x2 + tx + t2) + 2(x - t) = 0Colocando (x - t) em evidencia, teremos:(x - t) (x2 + tx + t2 + 2) = 0

Daí infere-se imediatamente que x - t = 0, de onde vem x = t.

Como já sabemos que x3 + 1 = 2t vem, substituindo t = x:  x3 + 1 = 2x  ou x3 - 2x + 1 = 0.

Ora, é fácil verificar que 1 é raiz desta equação pois 13 - 2.1 + 1 = 0. Então, vamos dividir a equação por x - 1 , aplicando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, obtendo a seguinte equação do segundo grau x2 + x - 1 = 0,  que resolvida nos dará as raízes:

  e que juntamente com a raiz 1, compõem a solução da equação proposta.

IntroduçãoO Princípio da Indução

Consultando um Dicionário você encontrará a seguinte definição para Indução : ato ou efeito de induzir ; raciocínio em que de casos particulares se tira uma conclusão genérica .O Princípio da Indução – PI , nos fornecerá um método seguro para comprovar propriedades envolvendo números naturais, obtidas pela observação de casos particulares.Este tópico, infelizmente, não é abordado na maioria dos livros de Matemática do segundo grau, o que é uma pena, pois ele é uma ótima oportunidade de familiarizar o aluno desde o início, com as demonstrações de propriedades, que geralmente são aceitas sem nenhum tipo de prova. A simples apresentação de fórmulas aos alunos, sem demonstrar a sua origem, pode inclusive ser a responsável pela quase ojeriza e até aversão que muitos estudantes tem em relação à Matemática.Ainda que o Princípio de Indução se aplique tão somente às demonstrações de propriedades envolvendo números naturais, ainda assim é um bom comêço.

II – O Princípio da Indução

Seja N = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... , n , ... } o conjunto dos números naturais.Seja P(n) uma determinada propriedade relativa aos números naturais.O Princípio da Indução – PI – afirma que:

Se P(1) for verdadeira e o fato de P(n) ser verdadeira implicar em P(n + 1) também ser verdadeira então a propriedade P(n) é verdadeira para todo número natural n.

Em resumo e simbolicamente:(a) P(1) é verdadeiro(b) P(n) é verdadeiro Þ P(n + 1) é verdadeiro,

Ou simplificadamente P(n) Þ P(n + 1)

\ P é verdadeira para todo número natural.

P(1) é conhecido como Condição Inicial .P(n) é conhecido como Hipótese de Indução .

O PI – Princípio da Indução é uma poderosa ferramenta para a demonstração de propriedades relativas aos números naturais.

Vamos a seguir dar exemplos simples de uso do Princípio da Indução :

1) Prove por indução que a soma dos n primeiros números naturais é dada porS(n) = n (n+1) / 2

Temos: S(n) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n = n (n + 1) / 2

(a) É óbvio que S(1) se verifica pois, S(1) = 1 (1 + 1) / 2 = 1

(b) Supondo que S(n) é verdadeira, vamos desenvolver S(n + 1) :

S(n + 1) = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n + (n + 1)Usando a hipótese de indução, vamos substituir na expressão acima, o valor de S(n).Teremos:S(n + 1) = n (n + 1) / 2 + (n + 1)Desenvolvendo o segundo membro, fica:S(n +1) = [n (n + 1) + 2(n + 1)] / 2 = [(n + 1) (n + 2)] / 2 = [(n+1) [(n+1) + 1] / 2que é a mesma fórmula para (n+1).Logo, S(n) = n (n+1) / 2 é verdadeira para todo n natural.

2) Prove por indução que a soma dos n primeiros números ímpares é dada porS(n) = 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n – 1) = n2

(a) S(1) = 12 = 1 é verdadeira.(b) Partindo da veracidade de S(n) vamos obter S(n +1):S(n+1) = 1 + 3 + 5 + 7 + (2n – 1) + [2(n+1) – 1]Usando a hipótese de indução S(n) = n2 e substituindo na expressão acima fica:S(n+1) = n2 + [2(n+1) – 1] = n2 + 2n + 2 – 1 = n2 + 2n + 1 = (n + 1)2

Ora, S(n+1) = (n + 1)2 é a mesma fórmula para (n + 1).Logo, a fórmula dada é válida para todo n natural.

3) Prove por indução a seguinte igualdade válida em N.

S(n) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n (n + 1) = [n (n +1) (n + 2) / 3]

(a) S(1) é verdadeira pois S(1) = [1 (1 +1) (1 + 2) / 3] = 2Ora, se você calcular S(1) usando a expressão do primeiro membro também encontrará o resultado 2 poisS(1) = 1.2 = 2.

(b) Vamos agora supor a veracidade de S(n) e concluir pela veracidade de S(n + 1).Com efeito,S(n+1) = 1.2 + 2.3 + 3.4 + n (n+1) + (n+1) (n+2)Usando a hipótese de indução e substituindo o valor conhecido de S(n) vem:S(n+1) = [n (n +1) (n + 2) / 3] + (n+1) (n +2)Desenvolvendo e simplificando a expressão acima fica:S(n+1) = [n (n+1) (n+2) + 3(n+1) (n +2)] / 3Colocando (n+2) em evidencia, fica:

S(n + 1) = [(n+2) [n (n + 1) + 3(n + 1)]] / 3Colocando agora (n + 1) em evidencia, vem finalmente:S(n+1) = [(n+1) (n +2) (n +3) ] / 3 que é a mesma fórmula para (n +1). Logo, fica provada a veracidade da fórmula dada para todo n natural.

III – Princípio da Indução Generalizado

O Princípio da Indução pode ser também enunciado de uma forma generalizada como segue:

Se P(k) com k Î N , n Î N e k < n , for verdadeira e o fato de P(n) ser verdadeira implicar em P(n + 1) também ser verdadeira então a propriedade P(n) é verdadeira para todo número natural n.

Em resumo e simbolicamente:(a) P(k) é verdadeiro(b) P(n) é verdadeiro Þ P(n + 1) é verdadeiroOu simplificadamente,P(n) Þ P(n + 1)\ P é verdadeira para todo número natural maior ou igual a k.

P(k) é conhecido como Condição Inicial .P(n) é conhecida como Hipótese de Indução .

Observe que a única diferença em relação ao parágrafo ( I ) acima é que consideramos na condição inicial um valor k não necessariamente igual a 1 embora k possa assumir também este valor unitário.

Vamos a seguir dar exemplos simples de uso do Princípio da Indução Generalizado:

1 – Prove por indução que 3n2 – n > 23 para todo n > 2.

(a) P(3) = 3.32 – 3 = 24 > 23 e portanto P(3) é verdadeira.

(b) Admitindo a validade de 3n2 – n > 23 para todo n > 2 (hipótese de indução) , vamos provar que ela é também válida para (n +1).Com efeito,3(n +1)2 – (n + 1) = 3 (n2 + 2n + 1) – n – 1 = 3n2 + 6n + 3 – n – 1 = (3n2 – n ) + 6n + 2

Usando a hipótese de indução 3n2 – n > 23 para todo n > 2 e substituindo na expressão acima, vem:

3(n +1)2 – (n + 1) = (3n2 – n ) + 6n + 2 > 23 + 6n + 2 = 25 + 6n > 23

Logo a propriedade P(n) é válida para todo n > 2.

2 – Prove por indução que 2 n > n 2 para todo natural n > 4.

(a) P(5) é verdadeira pois 2 5 > 5 2 ou 32 > 25.

(b) Admitindo a validade da hipótese de indução 2 n > n 2 para todo natural n > 4, vamos provar que ela também é válida para (n + 1).Com efeito,2 n + 1 = 2 n . 2 > n 2 . 2 > n 2

Adicionando (1 + 2n) a ambos os membros da desigualdade, o que não altera o seu sentido, vem:2n2 + (1 + 2n) > n2 + (1 + 2n)Podemos então escrever:n2 + n2 + 2n + 1 > n2 + 2n + 1Observando que n2 + 2n + 1 = (n + 1)2, vem substituindo:n2 + (n + 1)2 > (n + 1)2 = (n + 1)2

Portanto, P(n) Þ P(n + 1) e a propriedade está demonstrada, pois partimos deP(n) : 2n > n2 e chegamos a P(n + 1) : 2n+1 > (n + 1)2 ou seja: P(n) Þ P(n +1).

IV – Considerações finais

O Princípio da Indução – PI embora seja um instrumento poderoso para provar se uma determinada propriedade P entre números naturais é ou não verdadeira, ele entretanto não é capaz de fornecer ou deduzir uma propriedade se ela for desconhecida. Na maioria dos casos, a intuição e a observação de casos particulares pode levar ao estabelecimento de uma determinada fórmula ou propriedade entre números naturais, a qual deverá ser provada ou demonstrada. Aí é que entra o Princípio da Indução para que através da sua utilização, seja efetuada a demonstração da propriedade.

Outro aspecto muito importante a ser considerado é que nem sempre uma propriedade válida para alguns valores da variável envolvida n é válida para todo número natural n. Um exemplo clássico é a expressãon2 + n + 41 com n Î N , que representa números primos para n variando de 1 a 40. Já para n = 41 teríamos:412 + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1) = 41.43 = 1763 que não é número primo pois é divisível por 1, 41, 43 e 1763.Ou seja, a propriedade: [P(n) = n2 + n + 41 é um número primo com n Î N ], é válida para n = 1, 2, 3, 4, ... , 37, 38, 39 e 40 mas falha para n = 41, o que nos mostra claramente que admitir a veracidade de uma propriedade baseada apenas na verificação de alguns casos particulares é uma temeridade.

Agora resolva estes:

1 - Prove por indução que 4n2 – 3n > 2 para n > 1.

2 - Prove por indução que 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2n = n (n +1) para todo n Î N.Lembretes:a) lembre-se que o número par que vem após 2n é 2n + 2.b) observe que n2 + 3n + 2 = (n + 1) (n + 2)

- Quantos são os divisores positivos de 120 ?

Os divisores positivos de um número natural n são todos os números naturais p > 0 tais que n dividido por p resulta num outro número natural m. Diz-se então que p divide n e indica-se p | n . É claro que n = p.m .Exemplos: os divisores positivos de 2 são 1 e 2.; os divisores positivos de 3 são 1 e 3; os divisores positivos de 4 são 1, 2 e 4; os divisores positivos de 5 são 1 e 5; os divisores positivos de 6 são 1, 2, 3 e 6; os divisores positivos de 7 são 1 e 7; os divisores positivos de 8 são 1,2.4 e 8; os divisores positivos de 9 são 1,3 e 9; os divisores positivos de 10 são 1, 2, 5 e 10; os divisores positivos de 11 são 1 e 11; os divisores positivos de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12, e assim sucessivamente.

Notas: 1 – quando um número natural só possui como divisores, ele próprio e a unidade (1), ele é dito um número primo. Assim, são números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ... Existem infinitos números primos e isto pode ser demonstrado. A primeira demonstração deste fato singular deve-se a Euclides (matemático grego que viveu no ano 300 DC).2 – fatorar um número natural significa escrevê-lo como um produto de fatores primos com expoentes naturais.Exemplo: 12 = 4.3 = 2 2 . 3 . Então 2 2 . 3 é a forma fatorada de 12.

Retornando ao problema proposto:Os divisores positivos de 120 serão: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 e 120, num total de 16 divisores.

Vamos mostrar uma forma de encontrar o número de divisores positivos de 120, utilizando um raciocínio conhecido com Princípio Fundamental da Contagem:

Fatorando o número 120, teremos: 120 = 8 . 3 . 5 = 2 3 . 3 . 5 = 2 3 . 3 1 . 5 1

Observe que sendo 120 = 2 3 . 3 1 . 5 1 , é claro que os divisores de 120 terão que necessariamente serem números da forma 2 x . 3 y . 5 z onde x = 0, 1, 2 ou 3; y = 0 ou 1 ; z = 0 ou 1.

Portanto, existem 4 valores possíveis para x, 2 valores possíveis para y e 2 valores possíveis para z. Pelo Princípio Fundamental da Contagem, o número total de possibilidades será então dada pelo produto 4.2.2 = 16.Resposta: 120 possui 16 divisores positivos.

2 – Determine o número de divisores positivos de 1800.

Inicialmente devemos fatorar o número 1800.1800 = 2 3 . 3 2 . 5 2 Os divisores de 1800 serão então da forma 2 x . 3 y . 5 z , onde x = 0, 1, 2 ou 3; y = 0, 1 ou 2; z = 0, 1 ou 2. Existem então 4 valores possíveis para x, 3 valores possíveis para y e 3 valores possíveis para z .Pelo Princípio Fundamental da Contagem , o número total de possibilidades será então igual a 4.3.3 = 36. Portanto, o número 1800 possui 36 divisores positivos.

O uso do raciocínio acima, nos permite enunciar a seguinte regra prática:Dado um número natural n cuja forma fatorada é n = 2 x . 3 y . 5 z . ... ,

o número de divisores positivos de n será igual ao produto (x + 1).(y + 1) . (z + 1) . ...

Exemplos:a) 12 = 2 2 . 3 1 \ número de divisores positivos de 12 = (2+1).(1+1) = 6b) 150 = 2 1 . 3 1 . 5 2 \número de divisores positivos de 150 = (1+1).(1+1).(2+1) = 12

3 – Qual o número de divisores positivos de 1.000.000 ?

1.000.000 = 10 6 = (2 . 5) 6 = 2 6 . 5 6 . Logo, teremos:Número de divisores positivos de 1000000 = (6+1).(6+1) = 49Portanto, 1.000.000 possui 49 divisores positivos.

4 – Qual o número de divisores de 5.000.000 ?

5.000.000 = 5 . 10 6 = 5 . (2 . 5) 6 = 5 . 2 6 . 5 6 = 2 6 . 5 7

Portanto, o número de divisores positivos de 5.000.000 será igual a:

n = (6+1) . (7+1) = 7 . 8 = 56Portanto, 5.000.000 possui 56 divisores positivos.

5 - Qual o número de divisores positivos de 100.000.000 ?

100.000.000 = 10 8 = (2 . 5) 8 = 2 8 . 5 8

Portanto, o número de divisores positivos de 100.000.000 será igual a:n = (8+1) . (8+1) = 9.9 = 81Portanto, 100.000.000 possui 81 divisores positivos.

Agora resolva este:

Qual o número de divisores positivos de 7.200.000 ? Resposta: 162 divisores positivos.

Achando o último algarismo

1) Qual o último algarismo de 32000 ?

Solução:

Observe que 32000 = (32)1000 = 91000

Ocorre que toda potência inteira de 9 termina em 1, se o expoente for par, ou em 9 se o expoente for ímpar.

Exemplos:90 = 1, 91 = 9 , 92 = 81 , 93 = 729 , 94 = 6561 , ... , e assim sucessivamente.Logo, como 32000 = 91000 , sendo 1000 um número par, concluímos que o último algarismo de 32000 , ou seja, o seu algarismo das unidades é igual a 1.

2) Qual o último algarismo de 32003 ?

Solução:

Observe que 32003 = 32002 . 3 = (32)1001 . 3 = 91001 . 3Já sabemos do exercício 1 que 91001 termina em 9, pois 1001 é ímpar. Logo, ao multiplicar um número terminado em 9 por 3, é evidente que o último algarismo será 7, pois 3x9 = 27. Logo, o último algarismo de 32003 é igual a 7.

3) Qual o último algarismo de 4.32002 ?

Solução:

Observe que 4.32002 = 4.(32)1001 = 4.91001

Como 91001 termina em 9 porque 1001 é ímpar (veja o exercício 1 acima), ao multiplica-lo por 4, resultará em um número terminado em 6, pois 4x9 = 36. Logo, o último algarismo de 4.32002 é igual a 6.

4) Qual o último algarismo de 7.340000 ?

Solução:

Observe que 7.340000 = 7.(32)20000 = 7.920000

Como 920000 termina em 1 porque 20000 é par, é óbvio que ao multiplica-lo por 7, resultará num número terminado em 7, pois 7x1 = 7. Logo, o último algarismo de 7.340000 é igual a 7.

5) Qual o último algarismo de 22000 ?

Solução:

Observe que 22000 = (22)1000 = 41000

Ocorre que toda potência inteira de 4 termina em 4 se o expoente for ímpar ou em 6 se o expoente for par, para expoentes inteiros maiores do que 1. Veja os exemplos a seguir:42 = 16 , 43 = 64 , 44 = 256 , 45 = 1024 , ... , e assim sucessivamente.Portanto, como 22000 = 41000 e 1000 é par, concluímos que o último algarismo de 22000  é igual a 6.

6) Qual o último algarismo de 22003 ?

Solução:

Observe que 22003 = 2.22002 = 2.(22)1001 = 2.41001

Como 41001 termina em 4, pois 1001 é ímpar, concluímos que 22003 = 2.41001 termina em 8, pois 2x4 = 8. Logo, 22003 tem 8 como seu último algarismo, ou seja, termina em 8.

7) Qual o último algarismo de 22000 + 22003 ?

Solução:

Observe que 22000 + 22003 = 22000 (1 + 23) = 9.22000 = 9.(22)1000 = 9.41000

Como 41000 termina em 6 pois o expoente 1000 é par (veja exercício 5), concluímos que  9.41000 = 22000 + 22003 irá terminar em 4 pois 9x6 = 54.

8) Qual o último algarismo de 31998 + 32000 ?

Solução:

Observe que: 31998 + 32000 = 31998(1+32) = 31998.10 = (32)999.10 =10.9999

Logo 31998 + 32000 vai terminar em 0, pois todo número inteiro multiplicado por 10 termina em zero.

Agora resolva estes:

a) Qual o algarismo das unidades de 22004 ?Resposta: 6

b) Qual o último algarismo de 51000000 ?Resposta: 5

c) Qual o algarismo das unidades de 21998 + 32000

Resposta: 5

Notas:

1 - o algarismo das unidades de um número inteiro é também o seu último algarismo.

Compondo equações quadráticas

A equação do segundo grau cujas raízes x1 e x2 satisfazem às condições2x1 + 3(x2 – 4x1) – 10 = 0 e 4x1 + 3x2 – 12 = 0 é:a)  147x2 – 581x + 80 = 0b)  147x2 + 581x – 80 = 0c)  149x2 – 567x + 80 = 0d)  149x2 – 567x – 80 = 0e)  741x2 – 756x + 18 = 0

Solução:

Neste tipo de problema, devemos partir da forma (S,P) da equação do segundo grau, ou seja: x2 – Sx + P = 0, onde S é a soma das raízes e P o produto das raízes, ou seja:

x1 + x2 = S e x1 . x2 = P.

Portanto, desenvolvendo as igualdades do enunciado, vem:2x1 + 3(x2 – 4x1) – 10 = 0 \ 2x1 + 3x2 – 12x1 – 10 = 0Reduzindo os termos semelhantes para simplificar, fica:3x2 – 10x1 – 10 = 0 Þ 3x2 – 10 x1 = 10

Analogamente,4x1 + 3x2 – 12 = 0 \ 4x1 + 3x2 = 12

Temos então, o seguinte sistema de equações do primeiro grau:– 10 x1 + 3x2 = 104x1 + 3x2 = 12

Vejam que tranquilidade: os termos em x2 podem ser eliminados apenas subtraindo uma equação da outra, uma propriedade válida, uma vez que se

A = BeC = DentãoA – C = B – D.

Portanto, subtraindo membro a membro as igualdades acima, fica:– 10x1 – 4x1 + 3x2 – 3x2 = 10 – 12–14x1 = -2 \ x1 = -2 / -14 = 2/14 = 1/7

Ora, sendo x1 = 1/7, substituindo este valor em qualquer das duas equações do sistema acima, vem:4(1/7) + 3x2 = 12 \ 4/7 + 3x2 = 12 \ 3x2 = 12 – 4/7 = 84/7 – 4/7 = (84-4)/7 = 80/7 de onde vem x2 = 80 / 21.

Logo, x1 = 1/7 e x2 = 80/21

Ora, como a equação procurada é da forma x2 – Sx + P = 0 eS = x1 + x2 e P = x1 . x2 teremos:S = 1/7 + 80/21 = 3/21 + 80/21 = 83/21P = (1/7).(80/21) = (1.80) / (7.21) = 80/147Então, a equação procurada será: x2 – (83 / 21)x + (80 / 147) = 0Para eliminar os denominadores 21 e 147, vamos multiplicar ambos os membros da equação acima por 147, pois 147 é o mínimo múltiplo comum (MMC) de 21 e 147. MMC(21,147) = 147.Fica então:147x2 –147.(83x / 21) + 147(80 / 147) = 0Efetuando as operações indicadas, vem:147x2 – 581x + 80 = 0

Portanto, a alternativa correta é a de letra A.

Agora resolva esta:

Escreva uma equação do segundo grau cujas raízes x1 e x2 satisfazem às condições2x1 – 3x2 – 3(x1 – x2) – 14 = 0 e 4x1 – 6(x1 – 2x2) – 52 = 0.

Resposta: x2 +12x – 28 = 0

Operando com números inteiros: dois problemas interessantes

Nota: os enunciados dos dois problemas a seguir, foram enviados por um visitante do site. Como nem sempre tenho tempo de responder a todos os e-mails que recebo, normalmente publico as soluções solicitadas na forma de arquivo. Tenho procedido assim já há muito tempo pois, entendo que universalizando as soluções no site, estarei ajudando a um número maior de pessoas. Este é o 310º arquivo publicado no site, que este ano estará completando 10 anos! Sim, os primeiros arquivos foram publicados em 1995, embora em outro provedor! Lembrem-se que em 1995 a INTERNET estava apenas começando no BRASIL.

1 Determine o menor número inteiro positivo que dividido por 39 dá resto 16 e dividido por 37, dá resto 36.

Solução:

Sendo D o dividendo , d o divisor, q o quociente e r o resto, sabemos que D = d.q + r , onde D, d , q e r são números naturais com 0 £ r < d . Esta relação é conhecida como Teorema de Euclides (filósofo e matemático grego do século III A.C.).

Podemos então escrever, sendo D o número inteiro positivo procurado:

D = 39q + 16D = 37q' + 36,  onde D é o dividendo procurado e q e q' são os respectivos quocientes.

Observe que as expressões acima são da forma y = ax + b cuja representação gráfica dos pontos (x,y) no plano cartesiano é uma reta para a, b, x e y reais. Como as igualdades acima estão definidas em N   – conjunto dos naturais , evidentemente que as representações gráficas não serão retas (contínuas), porém os pontos determinados pelos pares ordenados (q, D) ou (q',D) serão pontos colineares ou seja, alinhados.

Posto isto, podemos considerar q e q' como sendo a variável independente x (por analogia com a equação da reta y = ax + b) e, D como a variável dependente y e escrever o seguinte sistema de equações:

y = 39x + 16y = 37x + 36

lembrando que estamos considerando aqui apenas os valores inteiros positivos das variáveis x e y. 

Agora, basta resolver o sistema acima e achar o valor de y = D.

Subtraindo membro a membro as igualdades acima, fica:

y – y = (39x + 16) – (37x + 36)0 = 39x + 16 – 37x – 360 = 2x – 20, de onde tiramos x = 10. Substituindo em qualquer uma das equações, teremos finalmente:

y = 39x + 16 = 39.10 + 16 = 390 + 16 = 406.

Ora, já sabemos que y = D e, portanto, o número procurado é igual a 406.

Verifique que de fato, 406 dividido por 39 dá 10 e resto 16 e que também 406 dividido por 37 dá 10 e resto 36.

Nota: uma vez entendida a metodologia acima, poderemos resolver o mesmo problema usando a seguinte forma prática:

Como D = 39q + 16  e  D = 37q' + 36Podemos escrever D = 39q + 16 = 37q' + 36

Fazendo q = q' e substituindo: 39q + 16 = 37q + 36 de onde vem q = 10.Nota: fazendo q = q' , obteremos apenas uma solução do problema, ou seja, a menor solução inteira positiva pedida no enunciado.

Substituindo, vem finalmente D = 39.10 + 16 = 406 , que é o menor número inteiro positivo que satisfaz ao problema proposto.

Generalizando ...Se a pergunta fosse: quais os números naturais que divididos por 39 deixam resto 16 e divididos por 37, deixam  resto 36 , o problema

teria infinitas soluções. Veja a seguir, a solução apresentada para este caso generalizado, pelo ilustre visitante do site, Hélio M. Fragoso, publicada com a devida permissão:

Seja N o número procurado. Chamemos de q1 e q2 os quocientes da divisão de N por 39 e 37, respectivamente. Segundo o enunciado do problema, teremos:

Sendo q1 um número inteiro, o numerador da fração acima deve ser múltiplo do denominador. Logo,

onde  n   é um número inteiro.

Como q2 é um número inteiro, a expressão entre parêntesis deve também ser um número inteiro, que chamaremos de k.

Substituindo (B) em (A) resulta:

Substituindo q1 da expressão (D) na igualdade inicial

Fazendo k = 0, k = 1, k = 2 etc. obtemos os valores de N que satisfazem às condições do problema.

2 Resolver a equação 8x + 12y = 23, de modo que x e y sejam positivos e sua soma, um número inteiro.

Solução:

Tirando o valor de y fica: y = (23 – 8x) / 12

O problema pede que x + y seja um número inteiro com a condição de que x e y sejam positivos. Teremos então, substituindo o valor de y:

x + (23 – 8x) / 12 = (12x) / 12 + (23 – 8x) / 12 = (4x + 23) / 12

O problema impõe a condição que a soma acima seja um número inteiro. Portanto, o numerador 4x + 23 deve ser um múltiplo de 12 ou seja: 4x + 23 = 12k onde k é um inteiro. Daí tiramos x = (12k – 23) / 4 . Lembrando que x deve ser positivo, conforme dito no enunciado da questão, deveremos também ter x = (12k – 23) / 4 > 0 , o que resulta 12k – 23 > 0 ou 12k > 23 ou k > 23/12 ou seja k > 1,916... . Como k é inteiro, os valores possíveis para k serão k = 2, 3, 4, 5, 6, ...

Como y = (23 – 8x) / 12 , vem substituindo o valor de x obtido acima:

y = [23 – 8(12k – 23)/4] / 12 = [(23 – 24k + 46)] / 12 = (69 – 24k) / 12

Lembrando que o problema impõe que y deve ser positivo, deveremos ter:

y = (69 – 24k) / 12 > 0, o que resulta 69 – 24k > 0 ou 69 > 24k ou 24k < 69, o que resulta k < 2,875. Como k é inteiro, deveremos ter k = 2, 1, 0, -1, -2, -3, ... .

Portanto para que x seja positivo vimos acima que k = 2, 3, 4, 5, ... e para que y seja positivo vimos também que k = 2, 1, 0, -1, -2, -3, ... . Para que ambos sejam positivos, deveremos ter evidentemente k = 2, que é o único valor de k que atende simultaneamente às duas condições.

Portanto, como k = 2, os números procurados serão obtidos substituindo o valor de k nas expressões obtidas acima:

x = (12k – 23) / 4 = (12.2 – 23) / 4 = (24 – 23) / 4 = 1/4

y = (69 – 24k) / 12 = (69 – 24.2) / 12 = (69 – 48) / 12 = 21/12

Resposta: x = 1/4 e y = 21/12.

Nota: observe que x e y satisfazem ao enunciado pois são ambos positivos e a soma resulta num número inteiro, ou seja: (1/4) + (21/12) = (3/12) + (21/12) = 24/12 = 2. Além disso, substituindo x e y na equação original resulta 8(1/4) + 12(21/12) = 2 + 21 = 23.

Agora resolva estes:

1) Determinar o menor número inteiro positivo que dividido por 40 dá resto 18 e dividido por 38, dá resto 26.Resposta: 178

2) Determinar os números naturais  que divididos por 40 deixam resto 18 e divididos por 38, deixam resto 26.Resposta: números da forma  760k + 178, onde k = 0, 1, 2, 3, 4, ... .Veja a solução clicando AQUI. Para retornar à esta página, após visitar a solução, clique em retornar no seu browser (navegador). 

3) Resolver a equação 6x + 10y = 21, de modo que x e y sejam positivos e sua soma um número inteiro.

Resposta: x = 9/4 e y = 3/4.

Uma potencia de potencia e uma venda com lucro

Nota: os enunciados dos dois problemas a seguir, foram enviados a mim através e-mail de dois visitantes do site. Como nem sempre tenho tempo de responder a todos os e-mails que recebo, normalmente publico as soluções solicitadas na forma de arquivo. Tenho procedido assim já há muito tempo pois, entendo que universalizando as soluções no site, estarei ajudando a um número maior de pessoas. Este é o 320º arquivo publicado no site, que este ano estará completando 10 anos! Sim, os primeiros arquivos foram publicados em 1995, embora em outro provedor! Lembrem-se que em 1995 a INTERNET estava apenas começando no BRASIL.

1 - O número N é o número 1 seguido de 100 zeros. Nestas condições, o número N N é o número 1 seguido de:a) 100 N zeros b) N2 zeros c) 102N zeros d) NN zeros e) 110N zeros

Solução:

O número 10m , com m inteiro positivo, é um número formado por 1 seguido de m zeros.

Exemplos:101 = 10102 = 100103 = 1 000104 = 10 000105 = 100 000...................................1010 = 10 000 000 000e assim sucessivamente.

Aproveitando a oportunidade, relembramos que o número 10 – m , com m inteiro positivo, é um número formado por 1 precedido de m zeros.Exemplos:10 – 1 = 0,110 – 2 = 0,0110 – 3 = 0,00110 – 4 = 0,0001.............................10 – 8 = 0,00000001e assim sucessivamente.

Voltando à questão proposta:

Sabemos que o número 1 seguido de 100 zeros é igual a 10100 , ou seja, N = 10 100 .

Portanto, como 10100 = N, o número N N será igual a:

A conclusão acima baseia-se na seguinte propriedade das potências: (a m)n = a m.n , conhecida com potência de potência.

Ora, sabemos que o número 10 m com m inteiro positivo é um número formado por 1 seguido de m zeros. Logo, 10100N será um número formado por 1 seguido por 100N zeros, o que nos leva tranqüilamente à alternativa A.

Agora resolva este:

O número M é o número 1 seguido de 1000 zeros. Nestas condições, o número M M é o número 1 seguido de:a) 100 M zeros b)1000M zeros c) 1002M zeros d) MM zeros e) 1100M zeros

Resposta: B

2 – Um comerciante comprou dois carros de marcas A e B por um preço total deR$ 27000,00. Vendeu A com lucro de 10% e o B com prejuízo de 5%. Se no total o comerciante teve um lucro de R$ 750,00, determine os preços de aquisição dos carros.

Solução:

Sejam x e y os preços de aquisição dos carros de marcas A e B respectivamente. Naturalmente teremos que x + y = 27000.

Pelo enunciado, os carros foram vendidos da seguinte forma:A: com lucro de 10%, ou seja:ao preço de (100% + 10%).x = 110%.x = (110/100).x = 1,10x

B: com prejuízo de 5%, ou seja:ao preço de (100% - 5%).y = 95% . y = (95/100).y = 0,95yDaí, é válido escrever: 1,10 x + 0,95 y = 27750, já que o comerciante lucrou R$750,00 sobre os R$27000,00 gastos na compra dos dois carros.

Temos então um sistema de equações do primeiro grau formado pelas equações:

x + y = 270001,10x + 0,95y = 27750

Da primeira equação vem que y = 27000 – x . Substituindo na segunda, fica:

1,10x + 0,95(27000 – x) = 27750

Efetuando as operações indicadas, vem:

1,10x + 0,95.27000 – 0,95x = 27750

1,10x + 25650 – 0,95x = 27750

1,10x - 0,95x = 27750 – 256500,15x = 2100x = 2100 / 0,15 = 210000/15 = 14000

Justificando a operação acima, para aquelas milhares de pessoas que já esqueceram como dividir um número por um número decimal:

A regra básica para dividir decimais é simples: basta igualar o número de casas decimais dos dois números dados e dividir os números resultantes como se fossem inteiros. No presente caso, como 0,15 possui duas casas decimais, escrevemos 2100 como 2100,00 (igualamos o número de casas decimais) , desprezamos as vírgulas, o que resulta 210000/15 = 14000.

Exemplos:

a) 2 / 0,002 = 2,000 / 0,002 = 2000 / 2 = 1000b) 2,56 / 0, 0001 = 2,5600 / 0,0001 = 25600 / 1 = 25600c) 0,06 / 0, 003 = 0,060 / 0,003 = 60 / 3 = 20d) 0,04 / 0,0002 = 0,0400 / 0,0002 = 400 / 2 = 200

Não resisti a fazer este comentário, porque após a popularização do uso das calculadoras eletrônicas no Brasil (por volta de 1970), muita gente começou a esquecer as regras das operações elementares. Fazer contas sem usar calculadoras, ainda é um bom exercício para religar neurônios !. É conveniente ressaltar que acho muito importante e adequado o uso das calculadoras mas, não se deve nunca perder de vista também o exercício do uso do cérebro, dádiva da Natureza.

Voltando à questão:Como x = 14000 e x + y = 27000, resulta que y = 27000 – x = 27000 – 14000 = 13000.

Resposta: os preços de aquisição dos carros A e B são R$14000,00 e R$13000,00, respectivamente.

Agora resolva este:

Um comerciante comprou dois carros usados de marcas X e Y por um preço total de

R$ 30000,00. Vendeu X com lucro de 20% e Y com prejuízo de 10%. Se no total o comerciante teve um lucro de R$ 300,00, determine os preços de aquisição dos carros.

Resposta: X: R$11000,00 e Y: R$19000,00

Operando com números inteiros II

Determinar os números naturais que divididos por 40 deixam resto 18 e divididos por 38 deixam resto 26.

Solução:

Sendo D o dividendo, d o divisor e q o quociente, já sabemos que D = dq + r com 0 £ r < d.Nestas condições, poderemos escrever, sendo D o número procurado:

D = 40q1 + 18D = 38q2 + 26onde q1 e q2 são os quocientes e, portanto, números inteiros.

Podemos inferir das duas igualdades acima, que 40q1 + 18 = 38q2 + 26 . Daí, vem:40q1 = 38q2 + 26 – 18 = 38q2 + 8Então, poderemos escrever:q1 = (38q2 + 8) / 40

Como q1 é um número inteiro, o numerador 38q2 + 8 é um múltiplo de 40, ou seja:38q2 + 8 = 40n , onde n é um número inteiro.

Daí tiramos que q2 = (40n – 8) / 38 = (38n + 2n – 8) / 38 = n + 2[(n – 4) / 38]Nota: observe que substituir 40n por 38n + 2n é apenas um artifício para ajudar na simplificação, pois isto fez aparecer 38n / 38 que é igual a n. Portanto,

q2 = n + 2[(n – 4) / 38] = n + (n – 4) / 19, onde q2 e n são números inteiros.

Como a soma de dois números inteiros é um outro número inteiro, sendo n inteiro, a fração(n – 4) / 19 deverá ser também um número inteiro e, portanto, n – 4 será múltiplo de 19, o que nos permite escrever n – 4 = 19k onde k é também inteiro.

Logo, n = 19k + 4

Substituindo o valor de q2 acima, na expressão de q1 visto anteriormente e efetuando os cálculos, fica:

Portanto, q1 = n e como vimos acima que n = 19k + 4, vem imediatamente queq1 = 19k + 4.

Ora, o número natural procurado é dado por D = 40q1 + 18, conforme vimos no início desse texto. Logo, substituindo, vem finalmente:

D = 40(19k + 4) + 18 = 760k + 160 + 18 = 760k + 178 onde k é um número inteiro positivo ou nulo, ou seja, k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Resposta: os números naturais que divididos por 40 deixam resto 18 e divididos por 38 deixam resto 26 são da forma = 760k + 178 com k = 0, 1, 2, 3, 4, ...

Nota: substituindo os valores de k na solução geral, obteremos:k = 0 Þ = 178k = 1 Þ = 938k = 2 Þ = 1698k = 3 Þ = 2458k = 4 Þ = 3218e assim sucessivamente. Observem que a seqüência 178, 938. 1698, 2458, 3218, ... é uma Progressão Aritmética – PA de razão 760.

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Forma (S,P) de uma equação do segundo grau

Seja a equação ax2+bx+c = 0. Dividindo ambos os membros por a ¹ 0, vem:x2 + (b/a)x + (c/a) = 0Sendo x1 e x2 as raízes, temos as seguintes fórmulas para a soma S e o produto P das raízes.

Ora, poderemos escrever então:S = -b / a Þ -S = b/aSubstituindo os valores de b/a e c/a na equação acima, vem finalmente:

x2 – Sx + P = 0, que é a forma (S,P) da equação do 2º grau.

Esta maneira de apresentar a equação do 2º grau é bastante conveniente, uma vez que permite conhecer a soma das raízes e o produto das raízes, sem resolver a equação. Este fato, facilita até a solução mental da equação, sem aplicação da fórmula de Bhaskara.

Exemplos:

a) x2 – 5x + 6 = 0Soma das raízes = S = 5Produto das raízes = P = 6Ora, os números que somados dá 5 e multiplicados dá 6, são 2 e 3 que são as raízes da equação.

b) x2 – x – 12 = 0S = 1 e P = -12Os números que somados é igual 1 e multiplicados dá - 12 são 4 e –3 , que são as raízes da equação.

c) x2 +3x - 4 = 0S = - 3 e P = -4Os números que somados dá –3 e multiplicados dá –4 são –4 e 1, que são as raízes da equação.

d) x2 + x - 999000 = 0S = -1 e P = -999000Verifique mentalmente que as raízes são -1000 e 999.A solução pela fórmula de Bhaskara seria um pouco trabalhosa. Perceberam?

e) x2 – (1+Ö 3)x + Ö 3 = 0Verifique mentalmente que as raízes são 1 e Ö 3.

Com a prática, você será capaz de resolver muitas equações do 2º grau, sem o uso da fórmula de Bhaskara, com o uso do método acima.

Nota: a fórmula de Bhaskara – matemático hindu do século XII – é dada por:x = (-b ± Öa onde = b2 – 4ac ( é conhecido como discriminante da equação).Esta fórmula – atribuída a Bhaskara – resolve a equação do segundo grau ax2 + bx + c = 0, com a ¹ 0.Observe que se = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais; se a equação possui duas raízes reais e distintas entre si; se a equação não possui raízes reais.

Com a forma (S,P) da equação do 2º grau [x2 – Sx + P=0], podemos resolver o problema inverso da determinação das raízes, ou seja, compor a equação cujas raízes são conhecidas.Exemplo: Qual a equação do 2º grau cujas raízes são 10 e 78?Temos: S = 10+78 = 88 e P = 10.78 = 780Logo, a equação é: x2 – 88x + 780 = 0.

Qual a equação cujas raízes são -4 e 100?Temos: S = -4 + 100 = 96 e P = -4(100) = -400Logo, a equação procurada é x2 - 96x – 400 = 0.

Qual a equação cujas raízes são w -1 e w+1?Temos: S = w –1 + w + 1 = 2wP = (w –1)(w+1) = w2-1Logo, a equação procurada é:x2 – 2wx + w2 – 1 = 0.

Agora resolva mentalmente a equação x2 + 100x – 60000 = 0

Resposta: as raízes são -300 e 200

Produtos Notáveis

Vamos relembrar aqui, identidades especiais, conhecidas particularmente como Produtos Notáveis.

1 – Quadrado da soma e da diferença(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Das duas anteriores, poderemos concluir que também é válido que:(a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) ou escrevendo de uma forma conveniente:

2 – Diferença de quadrados(a + b).(a – b) = a2 – b2

3 – Cubo de uma soma e de uma diferença(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3

Para determinar o cubo da diferença, basta substituir na identidade acima, b por -b, obtendo:(a – b)3 = a3 – 3.a2.b + 3.a.b2 – b3

Uma forma mais conveniente de apresentar o cubo de soma, pode ser obtida fatorando-se a expressão como segue:

(a + b)3 = a3 + 3.a.b(a+b) + b3

Ou:

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Esta forma de apresentação, é bastante útil.

Exemplos:

1 – A soma de dois números é igual a 10 e a soma dos seus cubos é igual a 100. Qual o valor do produto desses números?

SOLUÇÃO:

Temos: a + b = 10 e a3 + b3 = 100. Substituindo diretamente na fórmula anterior, fica:103 = 100 + 3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.abDaí, vem: 900 = 30.ab, de onde concluímos finalmente que ab = 30, que é a resposta solicitada.

Nota: os números a e b que satisfazem à condição do problema acima, não são números reais e sim, números complexos. Você pode verificar isto, resolvendo o sistema formado pelas igualdades a+b = 10 e ab = 30. Verifique como exercício!Alerto para o fato de que é muito trabalhoso. Mas, vá lá, faça! É um bom treinamento sobre as operações com números complexos. Pelo menos, fica caracterizada a importância de saber a fórmula acima. Sem ela, a solução DESTE PROBLEMA SIMPLES, seria bastante penosa!

2 - Calcule o valor de F na expressão abaixo, para:a = -700, b = - 33 , x = 23,48 e y = 9,14345.

SOLUÇÃO: Com a substituição direta dos valores dados, os cálculos seriam tantos que seria inviável! Vamos desenvolver os produtos notáveis indicados:

Se você observar CUIDADOSAMENTE a expressão acima, verá que o

numerador e o denominador da fração são IGUAIS, e, portanto, F = 1, INDEPENDENTE dos valores de a, b, x e y.

Portanto, a resposta é igual a 1, independente dos valores atribuídos às variáveis a, b, x e y.

Resposta : 1

Exercícios de Aritmética I

1 – Um reservatório é alimentado por duas torneiras A e B: a primeira possui uma vazão de 38 litros por minuto e a segunda 47 litros por minuto. A saída da água dá-se através de um orifício que deixa passar 21 litros por minuto. Deixando abertas as duas torneiras e a saída da água, o reservatório se enche em 680 minutos.  Qual o volume do reservatório?

Solução:

É fácil perceber que a cada minuto:a) entram 38 litros da torneira Ab) entram  47 litros da torneira Bc) saem 21 litros do reservatório.

Portanto: 38 + 47 – 21 = 64 litros/min, é o saldo líquido da água que abastece o reservatório.Ora, se em 1 minuto são preenchidos 64 litros do reservatório, nos 680 minutos, teremos:680x64 = 43520 litros, que é o volume do reservatório.

2 – Um filho sai correndo e quando deu 200 passos o pai parte ao seu encalço. Enquanto o pai dá 3 passos, o filho dá 11 passos, porém 2 passos do pai valem 9 do filho. Quantos passos deverá dar o pai para alcançar o filho?

Solução:

Temos:2 passos do pai = 9 passos do filho. Daí, é claro que:1 passo do pai = 4,5 passos do filho3 passos do pai = 3x4,5 = 13,5 passos do filhoEm cada 3 passos, o pai se aproxima 13,5 – 11 = 2,5 passos do filho.Como a distancia entre eles é de 200 passos, o pai, para vencer a distancia, deverá dar 200/2,5 = 80 "seqüências" de 3 passos. Como cada "seqüência" é constituída de 3 passos, teremos finalmente: 80x3 = 240 passos, que é a resposta do problema.

NOTA: resolvi este probleminha, quando cursava a 1ª série ginasial. Como o tempo passa depressa! Achei em minhas anotações, e resolvi publicar aqui, como uma lembrança no tempo!

3 - Um floricultor possui 100 rosas brancas e 60 rosas vermelhas e pretende fazer o maior número possível de ramalhetes iguais entre si. Quantos serão os ramalhetes e quantas rosas de cada cor deve ter cada um deles?

Solução:

O número máximo de ramalhetes nas condições indicadas, será igual ao Máximo Divisor Comum - MDC dos números 100 e 60.Vamos então, calcular o MDC(100,60):Sendo D(n) o conjunto dos divisores positivos de n , vem:D(100) = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 50, 100}D(60) = {1, 2, 4, 5, 12, 15, 20, 30, 60}Portanto, o máximo divisor comum será: MDC(100,60) = 20Logo, serão 20 ramalhetes.Para calcular o número de rosas conforme a cor, em cada um dos 20 ramalhetes, basta efetuar: 100/20 = 5 rosas brancas e 60/20 = 3 rosas vermelhas.Resposta: 20 ramalhetes, contendo cada um, 5 rosas brancas e 3 rosas vermelhas.

4 – Numa corrida de automóveis, o primeiro piloto dá a volta completa na pista em 10 segundos, o segundo em 11 segundos e o terceiro em 12 segundos. Mantendo-se o mesmo tempo, no final de quantos segundos os três pilotos passarão juntos pela primeira vez pela linha de partida e quantas voltas terão dado cada um nesse tempo?

Solução:

Basta calcular o mínimo múltiplo comum – MMC(10, 11, 12).Sendo M(n) o conjunto dos múltiplos positivos de n, vem:M(10) = {10, 20, 30, 40, 50, 60, ... , 660, ...}M(11) = {11, 22, 33, 44, 55, 66, ... , 660, ...}M(12) = {12, 24, 36, 48, 60, 72, ... , 660, ...}Temos: MMC(10, 11, 12) = 660Portanto, os 3 pilotos passarão pela primeira vez no ponto de partida, após 660 segundos (ou 660/60 = 11 minutos).Cada piloto terá dado então:1º piloto: 660 / 10 = 66 voltas2º piloto: 660 / 11 = 60 voltas3º piloto: 660 / 12 = 55 voltas

NOTA: a determinação do MMC acima, também poderia ser feita pelo método tradicional, ou seja:

Portanto MMC(10,12,11) = 2x2x3x5x11 = 22x3x5x11 = 660

5 – Converta a velocidade de 20 m/s em km/h.

Solução:

NOTA: 1 hora = 60 min = 60.60 = 3600 segundos \ 1h = 3600s e portanto, 1s = (1/3600)h.

Exercícios propostos

1 - Um gato persegue um rato; enquanto o rato dá 5 pulos, o gato dá 3, porém 1 pulo do gato equivale a 2 pulos do rato. O rato leva uma dianteira equivalente a 50 pulos do gato. Quantos pulos o gato deverá dar para alcançar o rato?Resposta: O gato deverá dar 300 pulos.

2 - Pretende-se dividir dois rolos de arame de 36 metros e 48 metros de comprimento, em partes iguais e de maior tamanho possível. Qual deverá ser o comprimento de cada uma destas partes?Resposta: 12 metros

3 - Três despertadores são ajustados da seguinte maneira: o primeiro para despertar de 3 em 3 horas; o segundo de 2 em 2 horas e o terceiro de 5 em 5 horas. Depois da primeira vez em que os três relógios despertarem ao mesmo tempo, após quantas horas isto voltará a ocorrer?Resposta: 30 horas

4 - Converta a velocidade v = 144 km/h em m/s.

Resposta: 40 m/s

Exercícios de Aritmética II

1 – Um carpinteiro deve cortar três tábuas de madeira com 2,40 m; 2,70 m e 3 m respectivamente, em pedaços iguais e de maior comprimento possível. Qual deve ser o comprimento de cada parte?

Solução:Transformando as medidas em centímetros, vem: 240, 270 e 300 cm. Agora, basta calcular o MDC (máximo divisor comum) entre estes números. Teremos, então: MDC (240,270,300) = 30. Logo, o carpinteiro deverá cortar pedaços de madeira de 30 cm de comprimento. 

2 – Sabe-se que o MDC (máximo divisor comum) de dois números é igual a 6 e o MMC(mínimo múltiplo comum) desses mesmos números é igual a 60. Calcule o produto desses números.

Solução:Uma propriedade bastante conhecida é: Dados dois números inteiros e positivos a e b , é válido que: MMC(a,b) . MDC(a,b) = a . b Daí, vem imediatamente que: a . b = MMC(a,b) . MDC(a,b) = 6 . 60 = 360

3 – Dois cometas aparecem, um a cada 20 anos e outro a cada 30 anos. Se em 1920 tivessem ambos aparecido, pergunta-se quantas novas coincidências irão ocorrer até o ano 2500?

Solução:Trata-se de um clássico problema de MMC. MMC(20,30) = 60. Logo, a cada 60 anos haverá uma coincidência de aparições. Portanto elas ocorrerão nos anos: (a partir de 1920) 1980, 2040, 2100, 2160, 2220, 2280, 2340, 2400, 2460, 2520, ....Portanto, até o ano 2500, ocorrerão mais 09 (nove) aparições.

4 – Qual o número de divisores positivos de 3200?

Solução:Fatorando o número 3200, vem: 3200 = 27 . 52 . Portanto, o número de divisores positivos de 3200 será igual a: Nd = (7+1) . (2+1) = 8.3 = 24.Portanto, 3200 possui 24 divisores positivos. Nota: o número de divisores positivos de am . bn é dado pelo produto (m + 1).(n + 1) .Veja a justificativa desta propriedade clicando AQUI .

Agora resolva estes:

a) Um carpinteiro deve cortar três tábuas de madeira com 2,10 m; 4,20 m e 6,40 m respectivamente, em pedaços iguais e de maior comprimento possível. Qual deve ser o comprimento de cada parte?Resposta: 30 cm

b) Qual o número de divisores positivos de 5000?Resposta: 20

c) Dois cometas aparecem, um a cada 40 anos e outro a cada 50 anos. Se em 1940 tivessem ambos aparecido, pergunta-se quantas novas coincidências irão ocorrer até o ano 2100?Resposta: nenhuma. A primeira coincidência ocorrerá apenas em 2140.

d) Sabe-se que o MDC (máximo divisor comum) de dois números é igual a 10 e o MMC desses mesmos números é igual a 12. Calcule o produto desses números.

Resposta: 1200]

Números Congruentes - apenas introduzindo o conceito

1 - Introdução

O conceito de números inteiros congruentes é devido a Gauss - Karl Friedrick Gauss - físico, matemático e astrônomo alemão (1777 - 1855), um dos estudiosos da Teoria dos Números.

A Teoria dos Números estuda as propriedades dos números inteiros, usando métodos avançados. É uma disciplina obrigatória nos cursos regulares de Matemática, na Universidade.

Entre outros precursores dos estudos da Teoria dos Números, podemos citar:

Diophantus - 210 d.C./290 d.C. - matemático gregoPierre de Fermat - 1601/1665 - matemático francêsLeonhard Euler - 1707/1783 - matemático suiçoAdrien Marie Legendre - 1752/1833 - matemático francês

A Teoria dos Números, entretanto, tem os seus primórdios no mundo antigo. Por exemplo, Erathostenes (276 a.C./194 a.C - matemático norte africano - nascido em Cyrene, uma colônia grega do norte da África na época) e Euclides (325 a.C./265 a.C. - matemático grego, autor da célebre obra "Os elementos"), já tinham desenvolvido estudos sobre os números primos, assunto que é objeto da atenção especial dos matemáticos, até os dias de hoje.

2 - Definição

Sejam a e b dois números inteiros. Diremos que o número a é congruente ao número b módulo m , onde m é um número inteiro não nulo, se e somente se, a diferença  a - b for divisível por m ¹ 0.

A congruência dos números a e b módulo m, será indicada pelo símbolo a b (mod m) .

Teremos, pela definição:a b (mod m) a - b = k . m , onde k e m são números inteiros, com m não nulo.

Podemos dizer que os números a e b são côngruos ou congruentes segundo o módulo m, ou simplesmente congruentes módulo m.

Exemplos:

a) 10 2 (mod 4) porque 10 - 2 = 8, e 8 é divisível por 4.b) 35 10 (mod 5) porque 35 - 10 = 25 e 25 é divisível por 5.c) 12 2 (mod 5) porque 12 - 2 = 10 e 10 é divisível por 5.

3 - Uma aplicação prática da relação de congruência: os calendários

Vamos considerar, por exemplo, o calendário do mês de Janeiro do ano 2000:

D S T Q Q S S             12 3 4 5 6 7 8

9 10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31          

Observe que em cada coluna, estão dispostos números que são congruentes,segundo o módulo 7.

No Domingo, estão os números congruentes com 2, módulo 7.Na Segunda, estão os números congruentes com 3, módulo 7.Na Terça, estão os números congruentes com 4, módulo 7.Na Quarta, estão os números congruentes com 5, módulo 7.Na Quinta, estão os números congruentes com 6, módulo 7.Na Sexta, estão os números congruentes com 7, módulo 7.No Sábado, estão os números congruentes com 1, módulo 7

Por exemplo, em que dia da semana vai cair o dia 25/01/2000, sem consultar o calendário acima?

Basta procurarmos um número congruente com 25, módulo 7.Dividindo 25 por 7 dá 3 e resto 4.Logo, 25 4(mod 7) e como 4 corresponde a uma Terça-feira (veja na tabela acima), concluímos que o dia 25/01/2000 cairá numa Terça-feira.

Exercício Resolvido

Resolva a seguinte equação de congruência em Z.Obs.: Z = conjunto dos números inteiros.

5x 4 (mod 3)

SOLUÇÃO:

Teremos: 5x - 4 = 3.k onde k é um número inteiro.5x = 3k + 4 \ x = (3k + 4) / 5, com a condição de 3k + 4 ser múltiplo de 5 e k inteiro.Logo, como os múltiplos de 5 são 0, ± 5, ± 10, ± 15, ± 20, ... , vem:3k + 4 = 0 Þ k = -4/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).3k + 4 = 5 Þ k = 1/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).3k + 4 = -5 Þ k = -33k + 4 = 10 Þ k = 23k + 4 = -10 Þ k = -14/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).3k + 4 = 15 Þ k = 11/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).3k + 4 = -15 Þ k = -19/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).3k + 4 = 20 Þ k = 16/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).3k + 4 = -20 Þ k = - 8 3k + 4 = 25 Þ k = 73k + 4 = -25 Þ k = -29/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).3k + 4 = 30 Þ k = 26/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).3k + 4 = -30 Þ k = -34/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).3k + 4 = 35 Þ k = 31/3 (não serve pois k tem de ser inteiro).3k + 4 = -35 Þ k = -13..............................................................................

Observe que os valores de k que satisfazem ao problema, são:k = -3, 2, -8, 7, -13, ...

Podemos inferir que:Valores positivos de k: 2, 7, 12, 17, ...Valores negativos de k: -3, -8, -13, -18, ...

Então, as soluções da equação dada serão:x = (3k + 4) / 5k = 2 Þ x = 2k = 7 Þ x = 5k = 12 Þ x = 8k = 17 Þ x = 11....................................................k = -3 Þ x = -1k = -8 Þ x = -4k = -13 Þ x = -7....................................................

Os números que satisfazem à equação dada, escritos em ordem crescente, são:... , -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, ...

Portanto, o conjunto solução da equação dada é o conjunto S = {..., -7, - 4, -1, 2, 5, 8, 11, ... }Observe que S é um conjunto infinito.

Agora, resolva a seguinte equação de congruência em Z:x 2(mod 4)

Resposta: S = {..., -6, -2, 2, 6, 10, 14, ...}

Proporcionalidade entre grandezas

1 - O que é uma grandeza?

Entende-se por grandeza, como sendo qualquer entidade susceptível de ser medida.As grandezas classificam-se em dois tipos fundamentais:

Grandezas escalares - aquelas que ficam perfeitamente caracterizadas apenas pelo conhecimento de um número que expresse a sua medida numa determinada unidade.Exemplos: massa, 20 kg ; volume, 12 m3 ; comprimento, 50 m ; tempo, 60 s, etc.

Grandezas vetoriais - aquelas que para ficarem perfeitamente caracterizadas, necessitam além de um número que expresse a sua medida numa determinada unidade (o seu módulo), que sejam especificados o sentido e a direção. São representadas através Vetore s .

Exemplos: força, velocidade, aceleração, intensidade de campo elétrico, etc.

Nota: no que se segue, poderemos nos referir a grandezas vetoriais, sem levar em conta o seu aspecto vetorial. Explico: ao nos referirmos a uma velocidade (grandeza vetorial) de 80 km/h, por exemplo, não estaremos interessados , na sua direção ou no seu sentido, e sim unicamente no seu módulo, ou seja 80 km/h. O tratamento vetorial da velocidade, interessaria, se estivéssemos dando uma abordagem do ponto de vista da Física. Para uma abordagem de proporcionalidade, como nos propomos aqui, não necessitamos de tal enfoque.É conveniente ressaltar de passagem, que ao nos referirmos à velocidade, por exemplo, estaremos nos referindo sempre à velocidade média, uma vez que a velocidade instantânea de um móvel no tempo t = t0, teria que ser calculada usando-se Derivadas.

2 - Proporcionalidade direta

Sejam G1 e G2 , duas grandezas dependentes das variáveis X e W, respectivamente, que assumem valores conforme tabela abaixo:

G1 X1 X2 X3 X4 ... Xn

G2 W1 W2 W3 W4 ... Wn

Dizemos que G1 e G2 estão em proporção direta quando,

Onde k é denominado constante de proporcionalidade.

Das igualdades acima, podemos inferir que genericamente, teremos X / W = k, de onde vem, X = k . W, sendo k a constante de proporcionalidade.Dizemos então, que a variável X é diretamente proporcional à variável W, segundo a constante k.

NOTA: se Y é diretamente proporcional a X, indicamos simbolicamente isto por:Y X . ( = alfa , primeira letra do alfabeto grego).

Exemplo:Considerando que um CD custa $0,80 é razoável supor que:

Quantidade 2 5 8 10 20 30 50 100

Preço total ( $) 1,60 4,00 6,40 8,00 16,00 24,00 40,00 80,00

Observamos que as variáveis PREÇO e QUANTIDADE, são diretamente proporcionais, pois:1,60/2 = 4,00/5 = 6,40/8 = 8,00/10 = 16,00/20 = 24,00/30 = ... = 0,80, que, no caso é a constante de proporcionalidade.Podemos então concluir que a Quantidade Q e o Preço P, no exemplo acima, estão relacionados pela sentença P = 0,80 . Q . Assim, conhecido Q, determinaríamos o valor de P usando a fórmula anterior. Exemplo: 200 CDs custariam $160,00.

Cabe aqui, entretanto, um comentário:E se fossem 1.000.000.000.000 (um trilhão de CDs?). Pela fórmula, chegaríamos a: P = 1.000.000.000.000 x 0,80 = $800.000.000.000, ou seja 800 bilhões! De sã consciência, você pagaria 800 bilhões por 1 trilhão de CDs?Acho que não! Primeiro, porque 800 bilhões, são 800 bilhões e segundo, porque eu acho que nem existe 1 trilhão de CDs no mundo!

Portanto, é conveniente lembrar que ao aplicarmos um modêlo matemático para traduzir um determinado problema, temos de estar atentos aos limites de validade do modêlo. No exemplo acima, por exemplo, poderíamos considerar que talvez 1000 CDs fosse o nosso limite (talvez um pouco mais), o que nos levaria a interpretar o nosso modêlo, ou seja, a equação P = 0,80.Q com as limitações Q £ 1000 e P £ 800.

3 - Proporcionalidade inversa

Sejam G1 e G2 , duas grandezas dependentes das variáveis X e W, respectivamente, que assumem valores conforme tabela abaixo:

G1 X1 X2 X3 X4 ... Xn

G2 W1 W2 W3 W4 ... Wn

Dizemos que G1 e G2 estão em proporção inversa quando,X1.W1 = X2.W2 = X3.W3 = X4.W4 = ... = Xn.Wn = k = constanteOnde k é a constante de proporcionalidade.

Das igualdades acima, podemos inferir que genericamente, teremos X . W = k, sendo k a constante de proporcionalidade.Dizemos então, que as variáveis X e Y são inversamente proporcionais, segundo a constante k.

Exemplo:

Considerando que um carro terá de percorrer a distancia de 240 km entre duas cidades, é razoável supor que:

Velocidade (km/h) 20 40 50 80 100 125 200 240

Tempo de duração (h) 12 6 4,8 3 2,4 1,92 1,2 1

Observamos que as variáveis VELOCIDADE e TEMPO, são inversamente proporcionais, pois:20.12 = 40.6 = 50.4,8 = 80.3 = 100.2,4 = 125.1,92 = 200.1,2 = 240.1 = k , onde k no caso é a constante de proporcionalidade.

Podemos então concluir que, no exemplo acima, a VELOCIDADE V e o TEMPO T, estão relacionados pela sentença V.T = 240. Assim, conhecido V, determinaríamos o valor de T usando a fórmula anterior.

Aqui, também, vale a observação do item anterior. Por exemplo, se a velocidade fosse 100.000 km/h, obteríamos um tempo igual a 0,0024h = 8,64 segundos! Ora, isto é um absurdo no mundo material!

Portanto, é conveniente relembrar que ao aplicarmos um modêlo matemático para traduzir um determinado problema, temos de estar atentos aos limites de validade do modêlo. No exemplo acima, por exemplo, poderíamos considerar que talvez 200 km/h fosse o nosso limite (talvez um pouco mais), o que nos levaria a interpretar o nosso modêlo, ou seja, a equação V.T = 240 com as limitações V £ 200 e T £ 1,2h.

Notas:Se Y é diretamente proporcional a X, indicamos simbolicamente: Y X.Se Y é inversamente proporcional a X, podemos dizer que Y é diretamente proporcional a 1/X e indicamos : Y (1 / X).

4 - Resolvendo problemas

14 trabalhadores, trabalhando 10 dias de 8 horas, conseguem fazer 56000 metros de certo tecido. Quantos dias de 6 horas serão necessários a 9 trabalhadores para fazerem 32400 metros do mesmo tecido?

Solução:Sejam: T = número de trabalhadoresD = número de diasH = número de horas de trabalho por dia L = comprimento de tecido

é plausível supor que:D aumentando, T diminui, portanto D 1 / TD aumentando, H diminui, portanto D 1 / HD aumentando, L aumenta, portanto, D L

Assim, é que poderemos escrever:D = k.(1 / T).(1 / H) . L = k.L / T.H, ou seja: D = k . L / T . H

Para determinar o valor da constante k, substituamos D, T, H e L pelos valores conhecidos:10 = k.56000 / 14.8 . Daí tiramos k = 10.14.8 / 56000 = 0,02

Portanto, a fórmula em vermelho acima, fica:D = 0,02.L / T.H

Logo, usando os valores do enunciado, poderemos escrever:D = 0,02. 32400 / 9.6 = 648 / 54 = 12Portanto, serão necessários 12 dias.

Agora resolva este:

20 trabalhadores, em 10 dias de 8 horas, conseguem fazer 16000 metros de certo tecido. Quantos dias de 10 horas seriam necessários para 10 trabalhadores, fazerem 32000 metros do mesmo tecido?

Resposta: 32 dias

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