nmeros reais: um corpo ordenado e reais um...  2.2.1 nmeros inteiros sobre a reta 46 ......

Download Nmeros Reais: Um Corpo Ordenado e Reais Um...  2.2.1 Nmeros inteiros sobre a reta 46 ... cole§£o

Post on 20-Jan-2019

212 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

Universidade Federal de GoisInstituto de Matemtica e Estatstica

Programa de Mestrado Profissional emMatemtica em Rede Nacional

Nmeros Reais: Um Corpo Ordenado eCompleto

Jadson da Silva Souza

Goinia2013

Jadson da Silva Souza

Nmeros Reais: Um Corpo Ordenado eCompleto

Trabalho de Concluso de Curso apresentado ao Programade PsGraduao do Instituto de Matemtica e Estatsticada Universidade Federal de Gois, como requisito parcialpara obteno do ttulo de Mestre em matemtica

rea de concentrao: Matemtica do Ensino Bsico.

Orientador: Prof. Dr. Maurlio Mrcio Melo

Goinia2013

Dados Internacionais

de Catalogao na Publicao

(CIP)

GPT/BC/UFG

S729n

Souza, Jadson da Silva.

Nmeros reais

[manuscrito]

: um corpo ordenado e

completo

/ Jadson da Silva Souza.

-

2013.

f. : figs.

Orientador: Prof. Dr.

Maurlio Mrcio Melo.

Dissertao (Mestrado)

Universidade Federal de Gois,

Instituto de Matemtica e Estatstica, 2013.

Bibliografia.

Inclui lista de figuras.

1. Nmeros reais. 2. Corpo ordenado completo. 3.

Decimais. I. Ttulo.

CDU: 517.13

61

Todos os direitos reservados. proibida a reproduo total ou parcial dotrabalho sem autorizao da universidade, do autor e do orientador(a).

Jadson da Silva Souza

Licenciado em Matemtica e Especialista em Educao Matemtica pelaUEG. Professor da Secretaria de Educao do Estado de Gois e da SecretariaMunicipal de Educao de Anpolis, atuando no ensino bsico desde 2005.

minha esposa e filhas, pelo reconhecimento dos valiosos incentivos con-cluso de mais uma etapa de minha vida.

Agradecimentos

Aos professores, tutores e coordenadores do IME-UFG pelo empenho e dedi-cao mostrados ao longo do curso, em especial ao Prof. Dr. Maurlio Mrcio Melo peladedicao durante a orientao deste, aos colegas de turma pelo apoio e compreenso nosmomentos difceis e a CAPES pelo suporte financeiro.

No h ramo da Matemtica, por mais abstrato que seja, que no possaum dia vir a ser aplicado aos fenmenos do mundo real.

Nikolai Ivanovich Lobachevsky.

Resumo

Souza, Jadson da Silva . Nmeros Reais: Um Corpo Ordenado e Completo.Goinia, 2013. 61p. Trabalho de concluso de curso. Instituto de Matemtica eEstatstica, Universidade Federal de Gois.

Este trabalho tem como objetivo ampliar os conhecimentos sobre os nmeros reais,proporcionando uma nova perspectiva sobre sua construo conceitual. Inicialmente,aborda-se alguns fatos histricos que foram de maior importncia no processo da evoluoconceitual dos nmeros reais. Posteriormente, por meio do desenvolvimento das teorias delgebra, de conjuntos e de anlise matemtica, utiliza-se de um mtodo axiomtico paraexpor uma construo do corpo ordenado e completo dos reais, enunciando e provandoalgumas de suas propriedades. Finalmente, abordam-se alguns aspectos relevantes dacorrespondncia entre o corpo dos reais e a reta, e ainda da correspondncia entre o corpodos reais e os decimais.

Palavraschave

Nmeros Reais, Corpo Ordenado Completo, Decimais, Reta

Abstract

Souza, Jadson da Silva . Real Numbers: A Complete Ordered Field. Goinia,2013. 61p. Completion of course work. Instituto de Matemtica e Estatstica,Universidade Federal de Gois.

This paper aims to expand knowledge about the real numbers, providing a new perspectiveon their conceptual construction. Initially, covers up some historical facts that were ofutmost importance in the process of conceptual evolution of the real numbers. Secondly,through the development of theories of abstract algebra, sets and mathematical analysis, isused a axiomatic method to expose the complete ordered field of real, stating and provingsome of its properties. Finally, we discuss some relevant aspects of the correspondencebetween the real field and line, and also the correspondence between the real field anddecimals.

Keywords

Real Numbers, Complete Ordered Field, Decimals, Line

Sumrio

Lista de Figuras 12

Introduo 13

1 Fundamentos Bsicos sobre Conjuntos e lgebra Abstrata 161.1 Fundamentos Bsicos sobre Conjuntos 16

1.1.1 Noes bsicas de Conjuntos 161.1.2 Operaes entre Conjuntos 181.1.3 Noes bsicas de Funes 201.1.4 Conjuntos Finitos, Infinitos e Enumerveis 21

Conjuntos Finitos 21Conjuntos Infinitos 22Conjuntos Enumerveis 23

1.2 Fundamentos Bsicos de lgebra Abstrata 261.2.1 Grupos 261.2.2 Anis e Anis de Integridade 28

Anis e Subanis 28Anis Comutativos e Anis com Unidade 29Anis de Integridade 30

1.2.3 Corpo 30Corpo 30Corpo Ordenado 32Corpo Ordenado Completo 34

2 Nmeros Reais 372.1 Nmeros Reais como um corpo ordenado e completo 37

2.1.1 O corpo dos reais 372.1.2 O corpo ordenado dos reais 412.1.3 Completeza dos reais 43

2.2 Representao na reta dos nmeros reais 462.2.1 Nmeros inteiros sobre a reta 462.2.2 Nmeros racionais sobre a reta 472.2.3 Nmeros no racionais na reta 482.2.4 Nmeros reais na reta 49

2.3 Representao decimal dos nmeros reais 522.3.1 Expresses decimais e aproximaes de nmeros reais 522.3.2 Uma funo sobrejetiva e quase injetiva. 532.3.3 Dzimas peridicas simples e compostas. 56

Concluso 58

Referncias Bibliogrficas 60

Lista de Figuras

1.1 Diagrama de Venn representando a situao A B. 181.2 Diagrama de Venn representando o conjunto AB. 181.3 Diagrama de Venn representando o conjunto A B. 191.4 Diagrama de Venn representando o conjunto diferena AB. 191.5 Enumerao do conjunto X = X1X2 ...Xn .... 251.6 Enumerao do conjunto Q+. 26

2.1 Nmeros inteiros positivos sobre a reta. 472.2 Nmeros inteiros sobre a reta. 472.3 Nmeros racionais sobre a reta. 482.4 Tringulo retngulo em . 482.5 Nmeros no racionais sobre a reta r. 482.6 Nmeros no racionais sobre a reta r. 492.7 Reta real. 492.8 Soma de dois reais positivos na reta real. 502.9 Representao geomtrica da comutatividade da adio em R+. 502.10 Representao geomtrica da multiplicao em R+. 512.11 Representao na reta do valor absoluto |x y|. 51

Introduo

Aspectos Histricos

Pode-se destacar como um dos marcos ao incio do desenvolvimento histricodos nmeros reais a crise pitagrica na Grcia, ocasionada pela descoberta dos segmentosincomensurveis, que provavelmente deve ter sido feita por um pitagrico, no perodoentre 500 e 350 a.C. Apesar de Proclus (450 d.C) parecer ter atribudo essa descobertaa Pitgoras. A prova mais antiga sobre medidas incomensurveis que se conhece foiapresentada por Aristteles, e se refere a diagonal e ao lado de um quadrado. A verificaotrata-se de uma prova indireta, baseada no teorema de Pitgoras, e no fato de que, oquadrado de um nmero par tambm um nmero par, mais detalhes dessa prova ( [9] ,p. 55).

A prova de que os lados de quadrados cujas reas so os no-quadrados3,5,7,...,17 no so comensurveis com o lado de quadrado 1 foi atribudo a Teodorode Cirene (c. 390 a.C.). Em linguagem moderna ele provou a irracionalidade de

3,

5,7, ... ,

17. Em consequncia das grandezas incomensurveis surge a necessidade de se

construir uma teoria das propores independente da comensurabilidade, tal construofoi feita por Eudoxo (c. 370 a.C.), a qual serviu como base do Livro V dos Elementosde Euclides([2], pp. 74 87), um dos livros escrito pelo matemtico grego Euclides emAlexandria por volta de 300 a.C. Os Elementos de Euclides tiveram enorme importnciapara o desenvolvimento da geometria no que se refere organizao lgica e axiomtica.

Esse processo de organizao lgica e axiomtica na lgebra foi tardio con-siderando que as primeiras tentativas nesse sentido ocorreram no incio do sculo XIXe continuaram ao longo desse sculo por meio de trabalhos diversos como, por exem-plo, os feitos pelo matemtico noruegus Niels Henrik Abel (1802-1829) que no ano de1824 provaram a impossibilidade de se obter uma frmula geral por meio de radicaisque expressasse as razes de uma equao de grau 5. Mesmo assim, ainda restava umaquesto. O que caracterizava no aspecto matemtico os casos de equaes de grau 5 quepodem ter suas razes expressas por meio de radicais atravs de uma frmula geral? Estaquesto surgiu do fato de que as equaes de grau 5 no so, de modo geral, resolveispor radicais, mas alguns tipos o so, como j se sabia bem antes de Abel. A resposta a

14

essa pergunta seria dada pelo matemtico francs Evariste Galois (1811-1832) cuja obradelineava pela primeira vez o conceito de grupo.

Apesar do conceito de corpo j estar nessa poca, implcito em trabalhos deAbel e Galois foi o matemtico alemo Richard Dedekind (1831-1916) que conseguiuexplicit-lo. Tal feito ocorreu no ano de 1879 quando publicou o livro "ber die Theorieder Ganzen Zahlen algebraischen"que definiu a noo de corpo numrico como umacoleo de nmeros que formam um grupo abeliano com relao s operaes de adioe multiplicao (com a exceo do zero), e na qual a multiplicao distributiva comrelao adio. Dedekind fez muitas contribuies importantes no campo da lgebra,especialmente, para teoria dos nmeros algbricos, nos fundamentos dos nmeros reais eteoria de anel, sua obra prima foi o "Corte de Dedekind"([2], p. 411).

Deve-se, tambm, destacar a teoria dos Conjuntos criada por Georg Cantor(1845-1918), a qual foi publicada em uma srie de artigos a partir de 1874. Em seustrabalhos Cantor estendeu a ideia de cardinal para conjuntos finitos e seu grande mrito foiperceber a existncia de uma hierarquia para os cardinais transitivos, ou seja, desenvolveuo conceito de enumervel. Cantor ainda conseguiu mostrar que os inteiros e os racionaisso enumerveis ([2], p. 414). Ainda mostrou que o conjunto dos nmeros re

Recommended

View more >