numeros reais - ufg · 2013. 10. 21. · numeros reais jairo menezes e souza ufg/cac 19/09/2013...
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Numeros Reais
Jairo Menezes e Souza
UFG/CAC
19/09/2013
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Iniciamos com o conjunto dos numeros naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Chamamos de Z o conjunto dos numeros inteiros
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Os numeros racionais sao os numeros da forma ab onde a e b sao
inteiros e b 6= 0. O conjunto dos numeros racionais e indicado porQ.
Q ={a
b|a, b ∈ Z, b 6= 0
}Observe que N ⊂ Z ⊂ Q. Todo natural e um inteiro e todo inteiroe racional.
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Iniciamos com o conjunto dos numeros naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Chamamos de Z o conjunto dos numeros inteiros
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Os numeros racionais sao os numeros da forma ab onde a e b sao
inteiros e b 6= 0. O conjunto dos numeros racionais e indicado porQ.
Q ={a
b|a, b ∈ Z, b 6= 0
}Observe que N ⊂ Z ⊂ Q. Todo natural e um inteiro e todo inteiroe racional.
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Iniciamos com o conjunto dos numeros naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Chamamos de Z o conjunto dos numeros inteiros
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Os numeros racionais sao os numeros da forma ab onde a e b sao
inteiros e b 6= 0. O conjunto dos numeros racionais e indicado porQ.
Q ={a
b|a, b ∈ Z, b 6= 0
}
Observe que N ⊂ Z ⊂ Q. Todo natural e um inteiro e todo inteiroe racional.
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Iniciamos com o conjunto dos numeros naturais
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, . . .}
Chamamos de Z o conjunto dos numeros inteiros
Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . .}
Os numeros racionais sao os numeros da forma ab onde a e b sao
inteiros e b 6= 0. O conjunto dos numeros racionais e indicado porQ.
Q ={a
b|a, b ∈ Z, b 6= 0
}Observe que N ⊂ Z ⊂ Q. Todo natural e um inteiro e todo inteiroe racional.
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Operacoes Com Racionais
Sejam ab e c
d dois racionais quaisquer. A soma e o produto destesracionais sao obtidos da seguinte forma:
ab + c
d = ad+bcbd
ab ·
cd = ac
bd
A operacao que a cada par de numeros racionais associa a suasoma chama-se adicao, e a que associa o produto chama-semultiplicacao.
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Operacoes Com Racionais
Sejam ab e c
d dois racionais quaisquer. A soma e o produto destesracionais sao obtidos da seguinte forma:
ab + c
d = ad+bcbd
ab ·
cd = ac
bd
A operacao que a cada par de numeros racionais associa a suasoma chama-se adicao, e a que associa o produto chama-semultiplicacao.
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Ortem Nos Racionais
O numero racional ab se diz positivo se a · b ∈ N \ {0}.
Definicao
Sejam r , s dois racionais; dizemos que r e menor do que s (ou ques e maior do que r) e escrevemos r < s (respectivamente s > r) seexiste um racional t positivo tal que
s = r + t.
A notacao r ≤ s (leia-se: r e menor ou igual a s) e usada paraindicar a afirmacao “r < s ou r = s”. Analogamente para s ≥ r .
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Ortem Nos Racionais
O numero racional ab se diz positivo se a · b ∈ N \ {0}.
Definicao
Sejam r , s dois racionais; dizemos que r e menor do que s (ou ques e maior do que r) e escrevemos r < s (respectivamente s > r) seexiste um racional t positivo tal que
s = r + t.
A notacao r ≤ s (leia-se: r e menor ou igual a s) e usada paraindicar a afirmacao “r < s ou r = s”. Analogamente para s ≥ r .
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Adicao
Adicao
1 (x + y) + z = x + (y + z) (associativa)
2 x + y = y + x (comutativa)
3 x + 0 = 0 + x = x , ∀ x ∈ Q (existencia de elemento neutro)
4 ∀ x ∈ Q, ∃ y ∈ Q tal que x + y = 0. (existencia de oposto).Chamamos y = −x o oposto de x .
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Adicao
Adicao
1 (x + y) + z = x + (y + z) (associativa)
2 x + y = y + x (comutativa)
3 x + 0 = 0 + x = x , ∀ x ∈ Q (existencia de elemento neutro)
4 ∀ x ∈ Q, ∃ y ∈ Q tal que x + y = 0. (existencia de oposto).Chamamos y = −x o oposto de x .
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Adicao
Adicao
1 (x + y) + z = x + (y + z) (associativa)
2 x + y = y + x (comutativa)
3 x + 0 = 0 + x = x , ∀ x ∈ Q (existencia de elemento neutro)
4 ∀ x ∈ Q, ∃ y ∈ Q tal que x + y = 0. (existencia de oposto).Chamamos y = −x o oposto de x .
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Propriedades Da Adicao
Adicao
1 (x + y) + z = x + (y + z) (associativa)
2 x + y = y + x (comutativa)
3 x + 0 = 0 + x = x , ∀ x ∈ Q (existencia de elemento neutro)
4 ∀ x ∈ Q, ∃ y ∈ Q tal que x + y = 0. (existencia de oposto).Chamamos y = −x o oposto de x .
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Multiplicacao
Multiplicacao
1 (x · y) · z = x · (y · z) (associativa)
2 x · y = y · x (comutativa)
3 x · 1 = 1 · x = x , ∀ x ∈ Q (existencia de elemento neutro)
4 ∀ x ∈ Q, x 6= 0, ∃ y ∈ Q tal que x · y = 1. (existencia deinverso). Chamamos y = x−1 o inverso de x .
Adicao e Multiplicacao
1 x · (y + z) = x · y + x · z (distributiva)
Um conjunto com uma soma e um produto que satisfazem as 9propriedades anteriores e chamado de corpo
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Multiplicacao
Multiplicacao
1 (x · y) · z = x · (y · z) (associativa)
2 x · y = y · x (comutativa)
3 x · 1 = 1 · x = x , ∀ x ∈ Q (existencia de elemento neutro)
4 ∀ x ∈ Q, x 6= 0, ∃ y ∈ Q tal que x · y = 1. (existencia deinverso). Chamamos y = x−1 o inverso de x .
Adicao e Multiplicacao
1 x · (y + z) = x · y + x · z (distributiva)
Um conjunto com uma soma e um produto que satisfazem as 9propriedades anteriores e chamado de corpo
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Multiplicacao
Multiplicacao
1 (x · y) · z = x · (y · z) (associativa)
2 x · y = y · x (comutativa)
3 x · 1 = 1 · x = x , ∀ x ∈ Q (existencia de elemento neutro)
4 ∀ x ∈ Q, x 6= 0, ∃ y ∈ Q tal que x · y = 1. (existencia deinverso). Chamamos y = x−1 o inverso de x .
Adicao e Multiplicacao
1 x · (y + z) = x · y + x · z (distributiva)
Um conjunto com uma soma e um produto que satisfazem as 9propriedades anteriores e chamado de corpo
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Multiplicacao
Multiplicacao
1 (x · y) · z = x · (y · z) (associativa)
2 x · y = y · x (comutativa)
3 x · 1 = 1 · x = x , ∀ x ∈ Q (existencia de elemento neutro)
4 ∀ x ∈ Q, x 6= 0, ∃ y ∈ Q tal que x · y = 1. (existencia deinverso). Chamamos y = x−1 o inverso de x .
Adicao e Multiplicacao
1 x · (y + z) = x · y + x · z (distributiva)
Um conjunto com uma soma e um produto que satisfazem as 9propriedades anteriores e chamado de corpo
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Multiplicacao
Multiplicacao
1 (x · y) · z = x · (y · z) (associativa)
2 x · y = y · x (comutativa)
3 x · 1 = 1 · x = x , ∀ x ∈ Q (existencia de elemento neutro)
4 ∀ x ∈ Q, x 6= 0, ∃ y ∈ Q tal que x · y = 1. (existencia deinverso). Chamamos y = x−1 o inverso de x .
Adicao e Multiplicacao
1 x · (y + z) = x · y + x · z (distributiva)
Um conjunto com uma soma e um produto que satisfazem as 9propriedades anteriores e chamado de corpo
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Ordem
Ordem
1 x ≤ x (reflexiva)
2 x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y (anti-simetrica)
3 x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z (transitiva)
4 ∀ x , y ∈ Q, x ≤ y ou y ≤ x
Ordem e Adicao
1 x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
Ordem e Multiplicacao
1 x ≤ y e 0 ≤ z ⇒ x · z ≤ y · z
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Ordem
Ordem
1 x ≤ x (reflexiva)
2 x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y (anti-simetrica)
3 x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z (transitiva)
4 ∀ x , y ∈ Q, x ≤ y ou y ≤ x
Ordem e Adicao
1 x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
Ordem e Multiplicacao
1 x ≤ y e 0 ≤ z ⇒ x · z ≤ y · z
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Ordem
Ordem
1 x ≤ x (reflexiva)
2 x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y (anti-simetrica)
3 x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z (transitiva)
4 ∀ x , y ∈ Q, x ≤ y ou y ≤ x
Ordem e Adicao
1 x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
Ordem e Multiplicacao
1 x ≤ y e 0 ≤ z ⇒ x · z ≤ y · z
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Ordem
Ordem
1 x ≤ x (reflexiva)
2 x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y (anti-simetrica)
3 x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z (transitiva)
4 ∀ x , y ∈ Q, x ≤ y ou y ≤ x
Ordem e Adicao
1 x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
Ordem e Multiplicacao
1 x ≤ y e 0 ≤ z ⇒ x · z ≤ y · z
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Da Ordem
Ordem
1 x ≤ x (reflexiva)
2 x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y (anti-simetrica)
3 x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z (transitiva)
4 ∀ x , y ∈ Q, x ≤ y ou y ≤ x
Ordem e Adicao
1 x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
Ordem e Multiplicacao
1 x ≤ y e 0 ≤ z ⇒ x · z ≤ y · z
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Propriedades Da Ordem
Ordem
1 x ≤ x (reflexiva)
2 x ≤ y e y ≤ x ⇒ x = y (anti-simetrica)
3 x ≤ y e y ≤ z ⇒ x ≤ z (transitiva)
4 ∀ x , y ∈ Q, x ≤ y ou y ≤ x
Ordem e Adicao
1 x ≤ y ⇒ x + z ≤ y + z
Ordem e Multiplicacao
1 x ≤ y e 0 ≤ z ⇒ x · z ≤ y · z
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Corpo Ordenado
Um corpo com uma relacao de ordem que satisfaca as ultimas 6propriedades e chamado de corpo ordenado.Temos que (Q, +, ·, ≤) e um corpo ordenado.
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
A Reta Numerica
Os numeros racionais podem ser representados geometricamentecomo pontos de uma reta. Para isto, escolhemos dois pontosdistintos da reta, um representando 0 e o outro (a direita)representando 1. Tomamos o segmento de extremidades 0 e 1como unidade de medida, com isso marcamos os demais numerosracionais.
−2 −1 0 12
1 2 394
32
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A Reta Numerica
Os numeros racionais podem ser representados geometricamentecomo pontos de uma reta. Para isto, escolhemos dois pontosdistintos da reta, um representando 0 e o outro (a direita)representando 1. Tomamos o segmento de extremidades 0 e 1como unidade de medida, com isso marcamos os demais numerosracionais.
−2 −1 0 12
1 2 394
32
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Todo numero racional e um ponto na reta, agora nem todo pontona reta e um numero racional.
Lema
Seja a um numero inteiro, entao a e par se e somente se a2 e par.
Teorema√
2 nao e racional. Ou seja, nao existe numero racional x comx2 = 2.
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Todo numero racional e um ponto na reta, agora nem todo pontona reta e um numero racional.
Lema
Seja a um numero inteiro, entao a e par se e somente se a2 e par.
Teorema√
2 nao e racional. Ou seja, nao existe numero racional x comx2 = 2.
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Todo numero racional e um ponto na reta, agora nem todo pontona reta e um numero racional.
Lema
Seja a um numero inteiro, entao a e par se e somente se a2 e par.
Teorema√
2 nao e racional. Ou seja, nao existe numero racional x comx2 = 2.
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Numeros Reais
Admitimos que todo ponto da reta tem uma abscissa real x . Se xnao e racional, diremos que x e irracional. O conjunto formadopelos numeros racionais e irracionais e o conjunto dos numerosreais e sera denotado por R.
Em R estao definidas duas operacoes, adicao (+) e multiplicacao(·) e uma relacao de ordem (≤). Quando restritas a Q asoperacoes e a relacao de ordem coincidem com as que tınhamos.Adimitimos que (R, +, ·, ≤) e um corpo ordenado.
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Numeros Reais
Admitimos que todo ponto da reta tem uma abscissa real x . Se xnao e racional, diremos que x e irracional. O conjunto formadopelos numeros racionais e irracionais e o conjunto dos numerosreais e sera denotado por R.Em R estao definidas duas operacoes, adicao (+) e multiplicacao(·) e uma relacao de ordem (≤). Quando restritas a Q asoperacoes e a relacao de ordem coincidem com as que tınhamos.Adimitimos que (R, +, ·, ≤) e um corpo ordenado.
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Proposicao
Quaisquer que sejam os numeros reais x , y , z , w . Se x ≤ y ez ≤ w entao x + z ≤ y + w .
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades
Para quaisquer numeros reais x , y , z , w , tem-se
1 x < y ⇔ x + z < y + z
2 z > 0⇔ z−1 > 03 z > 0⇔ −z < 04 Se z > 0, x < y ⇔ x · z < y · z5 Se z < 0, x < y ⇔ x · z > y · z6
0 ≤ x < y0 ≤ z < w
}⇒ xz < yw
7 0 < x < y ⇔ 0 < 1y < 1
x8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condicoes abaixo se
verificax < y ou x = y ou x > y
9 (Anulamento do Produto)
xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades
Para quaisquer numeros reais x , y , z , w , tem-se
1 x < y ⇔ x + z < y + z2 z > 0⇔ z−1 > 0
3 z > 0⇔ −z < 04 Se z > 0, x < y ⇔ x · z < y · z5 Se z < 0, x < y ⇔ x · z > y · z6
0 ≤ x < y0 ≤ z < w
}⇒ xz < yw
7 0 < x < y ⇔ 0 < 1y < 1
x8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condicoes abaixo se
verificax < y ou x = y ou x > y
9 (Anulamento do Produto)
xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades
Para quaisquer numeros reais x , y , z , w , tem-se
1 x < y ⇔ x + z < y + z2 z > 0⇔ z−1 > 03 z > 0⇔ −z < 0
4 Se z > 0, x < y ⇔ x · z < y · z5 Se z < 0, x < y ⇔ x · z > y · z6
0 ≤ x < y0 ≤ z < w
}⇒ xz < yw
7 0 < x < y ⇔ 0 < 1y < 1
x8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condicoes abaixo se
verificax < y ou x = y ou x > y
9 (Anulamento do Produto)
xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0
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Propriedades
Para quaisquer numeros reais x , y , z , w , tem-se
1 x < y ⇔ x + z < y + z2 z > 0⇔ z−1 > 03 z > 0⇔ −z < 04 Se z > 0, x < y ⇔ x · z < y · z
5 Se z < 0, x < y ⇔ x · z > y · z6
0 ≤ x < y0 ≤ z < w
}⇒ xz < yw
7 0 < x < y ⇔ 0 < 1y < 1
x8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condicoes abaixo se
verificax < y ou x = y ou x > y
9 (Anulamento do Produto)
xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0
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Propriedades
Para quaisquer numeros reais x , y , z , w , tem-se
1 x < y ⇔ x + z < y + z2 z > 0⇔ z−1 > 03 z > 0⇔ −z < 04 Se z > 0, x < y ⇔ x · z < y · z5 Se z < 0, x < y ⇔ x · z > y · z
60 ≤ x < y0 ≤ z < w
}⇒ xz < yw
7 0 < x < y ⇔ 0 < 1y < 1
x8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condicoes abaixo se
verificax < y ou x = y ou x > y
9 (Anulamento do Produto)
xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0
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Propriedades
Para quaisquer numeros reais x , y , z , w , tem-se
1 x < y ⇔ x + z < y + z2 z > 0⇔ z−1 > 03 z > 0⇔ −z < 04 Se z > 0, x < y ⇔ x · z < y · z5 Se z < 0, x < y ⇔ x · z > y · z6
0 ≤ x < y0 ≤ z < w
}⇒ xz < yw
7 0 < x < y ⇔ 0 < 1y < 1
x8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condicoes abaixo se
verificax < y ou x = y ou x > y
9 (Anulamento do Produto)
xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0
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Propriedades
Para quaisquer numeros reais x , y , z , w , tem-se
1 x < y ⇔ x + z < y + z2 z > 0⇔ z−1 > 03 z > 0⇔ −z < 04 Se z > 0, x < y ⇔ x · z < y · z5 Se z < 0, x < y ⇔ x · z > y · z6
0 ≤ x < y0 ≤ z < w
}⇒ xz < yw
7 0 < x < y ⇔ 0 < 1y < 1
x
8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condicoes abaixo severifica
x < y ou x = y ou x > y
9 (Anulamento do Produto)
xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0
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Propriedades
Para quaisquer numeros reais x , y , z , w , tem-se
1 x < y ⇔ x + z < y + z2 z > 0⇔ z−1 > 03 z > 0⇔ −z < 04 Se z > 0, x < y ⇔ x · z < y · z5 Se z < 0, x < y ⇔ x · z > y · z6
0 ≤ x < y0 ≤ z < w
}⇒ xz < yw
7 0 < x < y ⇔ 0 < 1y < 1
x8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condicoes abaixo se
verificax < y ou x = y ou x > y
9 (Anulamento do Produto)
xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0
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Propriedades
Para quaisquer numeros reais x , y , z , w , tem-se
1 x < y ⇔ x + z < y + z2 z > 0⇔ z−1 > 03 z > 0⇔ −z < 04 Se z > 0, x < y ⇔ x · z < y · z5 Se z < 0, x < y ⇔ x · z > y · z6
0 ≤ x < y0 ≤ z < w
}⇒ xz < yw
7 0 < x < y ⇔ 0 < 1y < 1
x8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condicoes abaixo se
verificax < y ou x = y ou x > y
9 (Anulamento do Produto)
xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0
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Propriedades
Para quaisquer numeros reais x , y , z , w , tem-se
1 x < y ⇔ x + z < y + z2 z > 0⇔ z−1 > 03 z > 0⇔ −z < 04 Se z > 0, x < y ⇔ x · z < y · z5 Se z < 0, x < y ⇔ x · z > y · z6
0 ≤ x < y0 ≤ z < w
}⇒ xz < yw
7 0 < x < y ⇔ 0 < 1y < 1
x8 (Tricotomia) Uma e somente uma das condicoes abaixo se
verificax < y ou x = y ou x > y
9 (Anulamento do Produto)
xy = 0⇔ x = 0 ou y = 0
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Modulo
Definicao
Seja x um numero real, definimos como modulo (ou valorabsoluto) de x por:
|x | =
{x se x ≥ 0−x se x < 0
Pela definicao para todo x ∈ R, |x | ≥ 0.
Exemplo
|5| = 5
| − 3| = 3
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Modulo
Definicao
Seja x um numero real, definimos como modulo (ou valorabsoluto) de x por:
|x | =
{x se x ≥ 0−x se x < 0
Pela definicao para todo x ∈ R, |x | ≥ 0.
Exemplo
|5| = 5
| − 3| = 3
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Modulo
Definicao
Seja x um numero real, definimos como modulo (ou valorabsoluto) de x por:
|x | =
{x se x ≥ 0−x se x < 0
Pela definicao para todo x ∈ R, |x | ≥ 0.
Exemplo
|5| = 5
| − 3| = 3
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Modulo
Definicao
Seja x um numero real, definimos como modulo (ou valorabsoluto) de x por:
|x | =
{x se x ≥ 0−x se x < 0
Pela definicao para todo x ∈ R, |x | ≥ 0.
Exemplo
|5| = 5
| − 3| = 3
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Proposicao
Para todo numero real x , |x |2 = x2
Demonstracao.
Se x ≤ 0 entao |x | = x e |x |2 = x2.Agora, se x < 0 entao |x | = −x e |x |2 = (−x)(−x) = x2
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Proposicao
Para todo numero real x , |x |2 = x2
Demonstracao.
Se x ≤ 0 entao |x | = x e |x |2 = x2.Agora, se x < 0 entao |x | = −x e |x |2 = (−x)(−x) = x2
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Raiz Quadrada
Lembre que√
a indica a raiz quadrada nao negativa de a (a ≥ 0).Segue da proposicao acima que
√x2 = |x | (1)
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Do Modulo
Propriedade
Seja r > 0 temos que
|x | < r ⇔ −r < x < r
Propriedade
Para quaisquer numeros reais x , y temos que
|xy | = |x ||y |
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Do Modulo
Propriedade
Seja r > 0 temos que
|x | < r ⇔ −r < x < r
Propriedade
Para quaisquer numeros reais x , y temos que
|xy | = |x ||y |
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Propriedades Do Modulo
Propriedade
Seja r > 0 temos que
|x | < r ⇔ −r < x < r
Propriedade
Para quaisquer numeros reais x , y temos que
|xy | = |x ||y |
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Propriedades Do Modulo
Proposicao (Desigualdade Triangular)
Quaisquer que sejam os reais x e y temos que
|x + y | ≤ |x |+ |y | (2)
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Intervalos
Os intervalos sao certos subconjuntos de R bastante uteis
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
a b
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
a b
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
Intervalos
Os intervalos sao certos subconjuntos de R bastante uteis
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
a b
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
a b
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Intervalos
Os intervalos sao certos subconjuntos de R bastante uteis
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}
a b
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}
a b
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
a b
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
a b
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
a b
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
a b
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
a b
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
a b
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}
a b
[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}
a b
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
a
(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}
a
Jairo Menezes e Souza Numeros Reais
(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
a
(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}
a
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(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
a
(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}
a
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(−∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}
a
(−∞, a) = {x ∈ R | x < a}
a
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[a,∞) = {x ∈ R | x ≥ a}
a
(a,∞) = {x ∈ R | x > a}
a
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[a,∞) = {x ∈ R | x ≥ a}
a
(a,∞) = {x ∈ R | x > a}
a
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[a,∞) = {x ∈ R | x ≥ a}
a
(a,∞) = {x ∈ R | x > a}
a
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[a,∞) = {x ∈ R | x ≥ a}
a
(a,∞) = {x ∈ R | x > a}
a
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Os intervalos (a, b), (−∞, a), (a,∞) e (−∞,+∞) sao chamadosde intervalos abertos. [a, b] denomina-se intervalo fechado deextremidades a e b.
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