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PARTE II – CONJUNTOS

1

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA – UNEB

PROGRAD – DCET

CAMPUS I – SALVADOR

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

CONJUNTOS, NÚMEROS REAIS E RELAÇÕES

Georg Cantor (1845–1918)

NOTAS DE AULAS

Eron

Salvador, fevereiro de 2011.


2

APRESENTAÇÃO

Estas notas complementam os conteúdos da disciplina “Lógica”.


PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Desde já, assumo total responsabilidade por todos os erros que possa conter este material,

ainda incompleto, e agradeço a quem indicar as correções, críticas e sugerir melhorias.

No final, há uma lista com a bibliografia utilizada para confeccionar este material, você

deve procurar obter pelo menos uma delas que verse sobre o conteúdo pretendido. Observo

também que este material não substitui a consulta, leitura e estudo de textos e livros citados na

bibliografia, deve servir como um material de auxílio, principalmente no momento em que se

realizam a aulas.

Salvador, fevereiro de 2011.

Eron

[email protected]


3

Figura da capa – Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philip Cantor nasceu na cidade de São Petersburgo em 3 de março de

1845 e faleceu no hospital de doenças mentais de Halle em 1918. Passou a maior parte de sua

vida na Alemanha. Seus pais eram cristãos de ascendência judia, e Georg logo se interessou pelos

conceitos de continuidade e infinito da Teologia medieval.

Estudou em Zurich, Göttingen e Berlim, concentrando-se em Filosofia, Física e Matemática,

possuindo grande imaginação, em 1867 obteve o grau de doutor em Berlim, com uma tese sobre

Teoria dos Números.

Muito atraído pela Análise, sua preocupação estava voltada para a idéia do “infinito”, que até

1872 foi muito discutida tanto em Teologia como em Matemática, mas sem se chegar a uma

conclusão precisa. Em 1874, Cantor publicou no Journal de Crelle o mais revolucionário artigo

que até mesmo seus editores hesitaram em aceitar. Havia reconhecido a propriedade fundamental

dos conjuntos infinitos e, ao contrário de Dedekind (1831−1916), percebeu que nem todos eram

iguais, passando a construir uma hierarquia destes conjuntos conforme suas potências.

Mostrou que o conjunto dos quadrados perfeitos tem a mesma potência que o dos inteiros

positivos, pois podem ser postos em correspondência biunívoca; provou que o conjunto de todas

as frações é contável (enumerável) e que a potência, do conjunto dos pontos de um segmento de

reta unitário é igual à potência do conjunto dos pontos de um quadrado de lado unitário. Alguns

destes resultados eram tão paradoxais que o próprio Cantor, certa vez escrevendo a Dedekind,

disse: “Eu vejo isso, mas não acredito”, e pediu ao seu amigo que verificasse a demonstração. Seus

incríveis resultados levaram ao estabelecimento da Teoria dos Conjuntos como uma disciplina

matemática completamente desenvolvida, de profundos efeitos no ensino. Os matemáticos da

época duvidavam da teoria da infinidade completa de Cantor, mas este, juntando as provas,

construiu toda uma aritmética transfinita.

Cantor passou a maior parte de sua carreira na Universidade de Halle, de pouca importância,

nunca conseguindo realizar uma de suas grandes aspirações que era a de ser professor na

Universidade de Berlim, devido à perseguição de Kronecker (1823−1891).

O reconhecimento de suas realizações mereceu a exclamação de Hilbert (1862−1943):

“Ninguém nos expulsará do paraíso que Cantor criou para nós”.


4 PARTE II – CONJUNTOS

Toda a Matemática atual é formulada na linguagem de conjuntos. Portanto, a noção de

conjunto é a mais fundamental: a partir dela, todos os conceitos matemáticos podem ser

expressos. Ela é também a mais simples das idéias matemáticas.

A Matemática se ocupa primordialmente de números e do espaço. Portanto, os conjuntos

mais freqüentemente encontrados na Matemática são os conjuntos numéricos, as figuras

geométricas (que são conjuntos de pontos) e os conjuntos que se derivam destes, como os

conjuntos de funções, de matrizes etc.

A linguagem dos conjuntos, hoje universalmente adotada na apresentação da Matemática,

ganhou esta posição porque permite dar aos conceitos e às proposições desta ciência a precisão e a

generalidade que constituem sua característica básica.

Conteúdos

1. Conjuntos – um pouco de história

2. Conjunto, elemento e pertinência

3. Relação de inclusão e igualdade de conjuntos

4. Diagramas de Venn

5. Intersecção e união de conjuntos

6. Diferença simétrica e complementar

7. Quantidade de elementos de conjunto finito

8. Conjuntos nos argumentos lógicos

9. Exercícios de Aprendizagem e Fixação


5

Conjuntos

A Teoria dos conjuntos se reporta aos primórdios da Matemática. Os conceitos da teoria dos

conjuntos, tais como funções e relações, aparecem explícita ou implicitamente em cada ramo da

Matemática. Aqui, trataremos de um resumo dos conceitos de conjuntos de modo “informal” sem

discussão axiomática detalhada, que pode ser encontrada em livros da referência.

Conceitos primitivos: conjunto, elemento e relação de pertinência.

Georg Cantor: “agrupamento em um todo de objetos bem definidos da nossa intuição ou do nosso

pensamento”.

Um conjunto pode ser determinado pela

i) designação dos seus elementos;

ii) propriedade dos elementos.

Relação de pertinência. Usamos o símbolo a A∈ para indicar que o elemento a pertence ao

conjunto A . Usamos o símbolo a A∉ para indicar que o elemento a não pertence ao conjunto A .

Notação: a A∈ e a A∉ .

Exemplos

{ }1,0,1A = −

{ } { } ; 1 3 2B x x= ∈ + = =

{ } { }2; 0 C x x= ∈ < = = ∅

{ } { } ; é par 0,2,4,6,...D x x= ∈ =

Relação de inclusão (subconjunto). Um conjunto A é dito um subconjunto de um conjunto B ou

A está contido em B (denotamos A B⊂ ) ou B contém A se e somente se todo elemento que

pertence a A pertence também a B . Resumindo, ( ) A B x A x B⊂ ⇔ ∀ ∈ ⇒ ∈ .


6

Exemplos

a) { }1,3,5A = é subconjunto de { }1,2,3,4,5,6B = .

b) { } { } ; é par ; é multiplo de 6M x x x x= ∈ ⊃ ∈ .

c) Qualquer que seja o conjunto A cumpre-se: A∅ ⊂ e A A⊂ .

Observações

1) Se A B⊂ e existe um elemento em B que não está em A dizemos que A é subconjunto

próprio de B .

2) Se A B⊂ dizemos também que a é uma parte de B .

Proposição. Para qualquer conjunto A , temos que A∅ ⊂ .

Dem] Para mostrar que A∅ ⊂ temos que tomar um elemento x qualquer e mostrar que

x x A∈ ∅ ⇒ ∈ ( x x A∈ ∅ → ∈ é verdade). Como x ∈ ∅ é falso temos que a condicional

x x A∈ ∅ → ∈ é verdadeira, logo a implicação x x A∈ ∅ ⇒ ∈ vale para todo conjunto A .

Propriedades da inclusão. Dados quaisquer conjuntos , e A B C tem-se:

i) Reflexividade: A A⊂

ii) Anti-simétrica: se A B⊂ e B A⊂ então A B= .

iii) Transitividade: se A B⊂ e B C⊂ então A C⊂ .

Demonstração de iii) Se A B⊂ e B C⊂ então A C⊂ .

Hipóteses: A B⊂ e B C⊂ Tese: A C⊂ .

Dem] Seja x A∈ , por hipótese A B⊂ , logo, x B∈ . Como, por hipótese, B C⊂ temos que

x C∈ . Logo, se todo elemento x A∈ deduzimos que x C∈ , temos que A C⊂ .


7

Igualdade de conjuntos. Dados dois conjuntos A e B , dizemos que A B= se e somente se

A B⊂ e B A⊂ . De outro modo, e A B A B B A= ⇔ ⊂ ⊂ .

Exemplo – Algumas igualdades entre conjuntos

a) { }1,3,5,7A = e { }7,5,3,1B = .

b) { }2,4,2,6M = e { }4,2,6N = .

c) { }2 ; 3 2 0E x x x= ∈ − + = , { }2,1F = e { }1,2,2,1G = .

Conjunto das partes. Dado um conjunto A o conjunto de todos os subconjuntos de A é chamado

de conjunto das partes de A é indicado por { }( ) ; P A X X A= ⊂ .

Exemplos

a) Seja { }4,5A = , então { } { } { }{ }( ) , 4 , 5 , 4,5P A = ∅

b) Seja { }, ,B a b c= , então { } { } { } { } { } { } { }{ }( ) , , , , , , , , , , , ,P B a b c a b a c b c a b c= ∅ .

Observação. Em a), { }4 ( )P A∈ , assim como { }4,5 ( )P A∈ .

Diagramas de Venn–Euler. De modo simples podemos ilustrar as relações entre conjuntos

mediante os chamados “diagramas de Venn–Euler” ou simplesmente “diagramas de Venn”, que

representam um conjunto em uma região plana, limitada geralmente por círculos, quadrados,

retângulos, losangos.


8

Operações entre conjuntos

Dados dois conjuntos A e B (subconjuntos de um determinado conjunto universo U ) definimos:

União. A reunião (ou união) de A e B , indicamos por A B∪ , é o conjunto de todos os elementos

que pertencem a A ou a B ou a ambos.

{ } ; ou A B x x A x B∪ = ∈ ∈

O conectivo lógico “ou” é no sentido “inclusivo” de fato, quando dizemos que x está em A ou x

está em B , queremos dizer que x está em pelo menos um dois conjuntos com a possibilidade de

estar em ambos.

Graficamente podemos indicar a união de dois conjuntos A e B pela figura abaixo.

Propriedades da união de conjuntos

U1) Comutativa A B B A∪ = ∪

U2) Associativa ( ) ( )A B C A B C∪ ∪ = ∪ ∪

U3) Idempotente A A A∪ =

U4) Identidade A A∪∅ =

U5) A U U∪ =

U6) A B A B B⊂ ⇔ ∪ =

U7) ( ),A B C A B C⊂ ⇒ ∪ ⊂

U8) ( )A A B⊂ ∪ e ( )B A B⊂ ∪


9

Intersecção. A intersecção de A e B , indicamos por A B∩ , é o conjunto de todos os elementos

que pertencem a A e a B simultaneamente.

{ } ; e A B x x A x B∩ = ∈ ∈

Graficamente podemos indicar a intersecção de dois conjuntos A e B pela figura abaixo.

Propriedades da intersecção de conjuntos

I1) Comutativa A B B A∩ = ∩

I2) Associativa ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ = ∩ ∩

I3) Idempotente A A A∩ =

I4) Identidade A ∩∅ = ∅

I5) A U A∩ =

I6) A B A B A⊂ ⇔ ∩ =

I7) A B A∩ ⊂ e A B B∩ ⊂

Observação. Se A B∩ = ∅ dizemos que A e B são conjuntos disjuntos.

Propriedades adicionais

1) a) F∅ = b) U V=

2) a) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ ∩ = ∪ ∩ ∪


10

Exemplos – Demonstre as seguintes propriedades citadas anteriormente:

U8) ( )A A B⊂ ∪ e ( )B A B⊂ ∪

I7) A B A∩ ⊂ e A B B∩ ⊂

U6) A B B A B∪ = ⇔ ⊂

Como a demonstração envolve uma equivalência, temos que mostrar (a) “ida” e (b) “volta”:

a) A B B A B∪ = ⇒ ⊂

Dem]

Ex 1) hip

x A x A B x B∈ ⇒ ∈ ∪ ⇒ ∈ .

b) A B A B B⊂ ⇒ ∪ =

Dem] Como a tese (A B B∪ = ) envolve uma igualdade de conjuntos, temos que mostrar que

i) A B B∪ ⊂

Dem] Seja x A B∈ ∪ , então ou x A x B∈ ∈ . Se x B∈ temos A B B∪ ⊂ . Se x A∈ , por

hipótese A B⊂ também concluímos que x B∈ , logo, A B B∪ ⊂ .

ii) B A B⊂ ∪ (já foi feito, veja demonstração do exercício 2)

Portanto, de a) e b) A B B A B∪ = ⇔ ⊂ .

I6) A B A A B∩ = ⇔ ⊂

A definição abaixo só faz sentido para conjuntos A e B subconjuntos de um determinado

conjunto universo U . Assim,

Diferença. A diferença entre dois conjuntos A e B , indicamos por A B− , é o conjunto dos

elementos que pertencem a A e não pertencem a B .

{ } ; e A B x x A x B− = ∈ ∉


11

Observação. Outras notações para diferença: A B∼ , /A B .

Graficamente, representa-se pela figura abaixo.

Propriedade da diferença de conjuntos. Para todos os subconjuntos A e B de um conjunto

universal U tem-se:

D1) A A− = ∅

D2) A A−∅ =

D3) ( )A B A− ⊂

D4) Se A B⊂ então A B− = ∅ .

D5) A∅− = ∅

D6) Se A B⊂ então ( )A B A B∪ − = .

D7) Os conjuntos A B− , A B∩ e B A− são disjuntos dois a dois.

Observação. Em geral, A B B A− ≠ − .

Demonstração de algumas propriedades

D1) A A− = ∅

Dem] Suponhamos, por absurdo, que A A− ≠ ∅ . Então, existe x A A∈ − , ou seja, que

e x A x A∈ ∉ , que representa uma contradição. Logo, só podemos ter A A− = ∅ .


12

D3) ( )A B A− ⊂

Dem] ( ) e x A B x A x B x A∈ − ⇒ ∈ ∉ ⇒ ∈ .

Diferença simétrica. A diferença simétrica (ou soma booleana) entre dois conjuntos A e B (nessa

ordem), denotada por A BΔ , é definida como o conjunto

( ) ( )A B A B B AΔ = − ∪ − .

A parte sombreada mostrada na figura representa a diferença simétrica.

Complementar. Dados dois conjuntos A e B , se A B⊂ , então a diferença B A− é chamada

complementar de A em relação a B e indicamos por ABC B A= − .

Se considerarmos o complementar de A em relação a um conjunto universo U , indicamos AUC ou

A ou A′ . Outra maneira de representar { } ; AUC x U x A= ∈ ∉ , desse modo, podemos identificar

o complementar como a negação (lógica).

Propriedades do complementar de um conjunto

C1) A A=

C2) a) A B A B∪ = ∩ b) A B A B∩ = ∪

C3) a) A A U∪ = b) A A∩ = ∅

C4) a) U∅ = b) U = ∅

C5) A B A B= ⇔ =


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C6) A B B A⊂ ⇔ ⊂

C7) A B A B− = ∩

C8) ( ) ( )A B A B B AΔ = ∩ ∪ ∩

Demonstrações de algumas propriedades

C2) a) A B A B∪ = ∩

Dem] { } { } ; ( ) ; e )A B x U x A B x U x A x B A B∪ = ∈ ∉ ∪ = ∈ ∉ ∉ = ∩ .

C2) b) A B A B∩ = ∪

Dem] ( ) ou x A B x A B x A x B x A B∈ ∩ ⇔ ∉ ∩ ⇔ ∉ ∉ ⇔ ∈ ∪ .

C3) a) A A U∪ =

Dem] Supondo A A U∪ ≠ , temos que existe x U∈ tal que ou x A A x A x A∉ ∪ ⇒ ∉ ∉ ⇒

ou x A x A∉ ∈ que é uma contradição, logo, A A U∪ = .

C3) b) A A∩ = ∅

Dem]

5) A B A B= ⇔ =

Dem]

C6) A B B A⊂ ⇔ ⊂

i) A B B A⊂ ⇒ ⊂


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Dem] Seja x B∈ , isto é, x B∉ . Como A B⊂ , concluímos que x A∉ , ou seja, x A∈ .

ii) B A A B⊂ ⇒ ⊂

Dem] Seja x A∈ , isto é, x A∉ . Como B A⊂ , temos que x B∉ , logo, x B∈ .

De i) e ii) concluímos que A B B A⊂ ⇔ ⊂ .

C7) A B A B− = ∩

Dem] { } { } ; ; A B x x A x B x x A x B A B− = ∈ ∧ ∉ = ∈ ∧ ∈ = ∩ .

Exemplos Resolvidos – Mostre que

1) ( )B A B∩ − = ∅

Dem] Supondo ( )B A B∩ − ≠ ∅ existe ( )x B A B∈ ∩ − então x B x A x B∈ ∧ ∈ ∧ ∉ , isto implica

em x B x B∈ ∧ ∉ que é uma contradição. Portanto, ( )B A B∩ − = ∅ .

2) ( ) ( )A A B B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ∩ ∩ − ∩ = ∅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

Dem] Supondo ( ) ( )A A B B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ∩ ∩ − ∩ ≠ ∅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ existe { }( ) ( )x A A B B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤∈ − ∩ ∩ − ∩⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ então

( ) ( )x A A B x B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤∈ − ∩ ∧ ∈ − ∩⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ , ou seja, ( ) ( )x A x A B x B x A B∈ ∧ ∉ ∩ ∧ ∈ ∧ ∉ ∩ , daí

deduzimos que x A x B∈ ∧ ∈ , que significa ( )x A B∈ ∩ o que é uma contradição.

3) Se B A⊂ então ( )B A B A∪ − = .

Dem] Hipótese: B A⊂ Tese: ( )B A B A∪ − =

a) ( )B A B A∪ − ⊂

( ) ( ) ( ) ( )x B A B x B x A x B x B x A x B x B∈ ∪ − ⇒ ∈ ∨ ∈ ∧ ∉ ⇒ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈ ∨ ∉

( ) ( ) ( ) .x B A x U x B A U x A U x A⎡ ⎤⇒ ∈ ∪ ∧ ∈ ⇒ ∈ ∪ ∩ ⇒ ∈ ∩ ⇒ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦


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b) ( )A B A B⎡ ⎤⊂ ∪ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Seja x A∈ , como B A⊂ , temos duas alternativas a considerar

i) x B∈ . Logo, ( )x B A B∈ ∪ − .

ii) x A∈ e x B∉ , isto implica em ( )x A B∈ − , logo, ( )x B A B∈ ∪ − .

De a) e b) temos que ( )B A B A∪ − = .

Número de elementos de um conjunto finito. Dado um conjunto finito A , indicamos o número de

elementos de A por ( )n A ou card( )A ou #( )A (também chamado de cardinalidade de A ).

Observações

i) O número de elementos de um conjunto finito não muda.

ii) Por definição, ( ) 0n ∅ = .

iii) Todo subconjunto A de um conjunto finito B é finito e ( ) ( )n A n B≤ .

iv) Tem-se que ( ) ( )A B n A n B= ⇒ = .

Proposição 1. Se A B∩ = ∅ então ( ) ( ) ( )n A B n A n B∪ = + .

Dem]

Proposição 2. Se A B⊂ então ( ) ( ) ( )n B A n B n A− = − .

Dem] Se A B⊂ então ( )B A B A= ∪ − . Além disso, sabemos que ( )A B A∩ − = ∅ . Portanto,

( ) ( ) ( ) ( )n B n A B A n A n B A⎡ ⎤= ∪ − = + −⎢ ⎥⎣ ⎦ .

Proposição 3. ( ) ( ) ( ) ( )n A B n A n B n A B∪ = + − ∩ .

Dem] Utilizaremos os resultados a) e b) abaixo


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a) ( ) ( ) ( )A B A A B B A B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤∪ = − ∩ ∪ − ∩ ∪ ∩⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

De fato, A B A∩ ⊂ e A B B∩ ⊂ então pelo Exercício Resolvido 3 anterior temos que

( ) ( )A A B A B A⎡ ⎤− ∩ ∪ ∩ =⎢ ⎥⎣ ⎦ e ( ) ( )B A B A B B⎡ ⎤− ∩ ∪ ∩ =⎢ ⎥⎣ ⎦ . Desses resultados e operando

A B∪ , temos o resultado em a).

b) Os conjuntos ( )A A B⎡ ⎤− ∩⎢ ⎥⎣ ⎦ , ( )B A B⎡ ⎤− ∩⎢ ⎥⎣ ⎦ e ( )A B∩ são disjuntos dois a dois, ou seja,

podemos “ver” isso usando os Exercícios Resolvidos 1 e 2 anteriores, então

( ) ( )A A B B A B⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ∩ ∩ − ∩ = ∅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

( ) ( )A A B A B⎡ ⎤− ∩ ∩ ∩ = ∅⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )B A B A B⎡ ⎤− ∩ ∩ ∩ = ∅⎢ ⎥⎣ ⎦

De a) e b) temos que

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ).

n A B n A A B n B A B n A B

n A n A B n B n A B n A B

n A n B n A B

⎡ ⎤ ⎡ ⎤∪ = − ∩ + − ∩ + ∩⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦= − ∩ + − ∩ + ∩= + − ∩

Exemplos de Problemas envolvendo conjuntos finitos

1 – Numa escola que tem 415 alunos, 221 amam Estatística, 163 amam Lógica e 52 amam ambas

as disciplinas.

a) Quantos alunos amam Estatística ou Lógica?

b) Quantos alunos não amam essas disciplinas?

2 – Uma população consome três marcas de sucos: A, B e C. Feita uma pesquisa de mercado

nesta população, colheram-se os seguintes dados

Marca A B C A e B B e C A e S A, B e C Não bebem sucos

Nº. Consumidores 109 203 162 25 41 28 5 115


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Determine:

a) o número de pessoas consultadas;

b) o número de pessoas que só bebem a marca A;

c) o número de pessoas que não bebem as marcas A ou C;

d) o número de pessoas que consomem ao menos duas marcas.

Um pouco mais de Lógica em Conjuntos. Pelas definições vistas vemos que as operações lógicas

estão intimamente relacionadas com as operações entre conjuntos. Podemos estabelecer as relações

Lógica Conjuntos

Conjunção ∧ ∩ Intersecção

Disjunção ∧ ∪ União

Condicional → ⊂ Relação de inclusão

Bicondicional ↔ = Igualdade

Negação ∼ C Complementar

Contradição F ∅ Conjunto vazio

Tautologia V U Conjunto universo

Mais alguns exemplos de demonstrações

1) Mostrar que A∅ ⊂ .

Dem] Devemos mostrar que x x A∈ ∅ ⇒ ∈ .

Para todo x U∈ , a proposição “x ∈ ∅” é falsa e, portanto, a proposição " "x x A∈ ∅ → ∈ é

verdadeira.


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2) Mostrar que A A B⊂ ∪

Dem] Devemos mostrar que " "x A x A B∈ ⇒ ∈ ∪ .

Segue da implicação de adição p p q⇒ ∨ que " ou "x A x A x B∈ ⇒ ∈ ∈ . Portanto

" "x A x A B∈ ⇒ ∈ ∪ .

3) Mostrar que ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ ∪ = ∩ ∪ ∩ .

Dem] Devemos mostrar que ( ) ( ) ( )" "x A B C x A B A C∈ ∩ ∪ ⇔ ∈ ∩ ∪ ∩ , ou seja, que

( ) ( ) ( )" "x A x B x C x A x B x A x C∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ⇔ ∈ ∧ ∈ ∨ ∈ ∧ ∈ . Esta equivalência segue da

propriedade distributiva ( ) ( ) ( ) p q r p q p r∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧ .

Argumentos e conjuntos (Demonstração indireta). Vejamos alguns exemplos de como o método

da demonstração indireta está presente nas demonstrações matemáticas, em particular, nas

propriedades de Conjuntos.

1) Mostre que ( )A B B− ∩ = ∅ .

Dem] Suponhamos, por absurdo, que ( )A B B− ∩ ≠ ∅ . Então existe um elemento x tal que

x A B∈ − e x B∈ o que é equivalente a afirmar que x A∈ e x B∉ e x B∈ , o que é uma

contradição!

2) Mostre que: Se A B⊂ , C D⊂ e B D∩ = ∅ então A C∩ = ∅ .

Neste caso, as premissas são:

1 :P A B⊂

2 :P C D⊂

3 :P B D∩ = ∅

e a conclusão é :Q A C∩ = ∅


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Dem] Vamos negar a conclusão, isto é, supor A C∩ ≠ ∅ . Assumindo as premissas verdadeiras

vamos usar “argumentos” que nos levem a uma contradição. Se A C∩ ≠ ∅ , temos que existe um

elemento x tal que x A∈ e x C∈ . De 1P e 2P concluímos que x B∈ e x D∈ . Mas, isto contradiz

a premissa 3P .

Argumentos e diagramas de Venn. Os resultados obtidos dos conjuntos e os diagramas de Venn são

muito úteis na verificação da validade de determinados argumentos, principalmente quando as

premissas envolvem proposições quantificadas. Vamos mostrar isto apresentando alguns exemplos.

Esquematicamente, o conjunto A , constituído por todos os elementos possuidores da propriedade a ,

é representado por uma região limitada do plano, ficando fora desta região os elementos não

possuidores desta propriedade:

.y

A: conjunto dos possuidores da propriedade a ;

x : possui a propriedade a . y : não possui a propriedade a .

Temos, então, os seguintes diagramas, correspondendo às quatro proposições básicas:

Proposição Diagrama de Euler

Todo a é b . AB

Nenhum a é b . AB

Algum a é b .

(ou existe a que é b .) A

B

Algum a não é b .

(ou existe a que não é b .) A

B

A

.x


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Exemplo 1 – Consideremos o seguinte argumento

1 :P Bebês são ilógicos.

2 :P Ninguém é desprezado se pode domar crocodilos.

3 :P Pessoas ilógicas são desprezadas.

:Q Bebês não podem domar crocodilos.

Utilizando conjuntos, façamos a seguinte associação:

B =Conjunto dos bebês

I = Conjunto das pessoas ilógicas

D = Conjunto das pessoas desprezadas

C = Conjunto dos domadores de crocodilos

Podemos reinterpretar o argumento usando a associação de conjuntos acima, assim:

1 :P B I⊂

2 :P D C∩ = ∅

3 :P I D⊂

:Q B C∩ = ∅

Abaixo, vemos o diagrama correspondente. Este diagrama nos mostra que a conclusão é válida.

Exemplos 2 – Verifique a validade dos seguintes argumentos utilizando os diagramas de Venn.

Argumento 1

1 :P Alguns estudantes são preguiçosos.

D

I B

C


21

P E

2 :P Todos os homens são preguiçosos.

:Q Alguns estudantes são homens.

Sejam: E = conjunto dos estudantes; H = conjunto dos homens; P = conjunto dos preguiçosos.

Com esta notação, reescrevemos o argumento 1 como

1 :P E P∩ ≠ ∅

2 :P H P⊂

:Q E H∩ ≠ ∅

O diagrama abaixo nos mostra uma situação em que as premissas são verdadeiras com a conclusão

falsa.

O argumento não é válido, apesar de podermos construir também um diagrama onde a conclusão

é verdadeira.

Observação. Para concluirmos a validade do argumento a representação do diagrama não pode

deixar dúvida quanto a conclusão.

Argumento 2

1 :P Todo número primo é ímpar.

2 :P Nenhum número ímpar é par.

:Q Existe um número primo que é par.

1 : rP P I⊂

2 :P I P∩ = ∅

: rQ P P∩ ≠ ∅

O argumento não é válido apesar da proposição Q ser “verdadeira”. Isto porque a conclusão

não decorre das premissas.

H

rP

rP P


22

T R

U F

U F P

A P

A

Argumento 3

1 :P Todos os advogados são ricos. (A R⊂ )

2 :P Poetas são temperamentais. (P T⊂ )

3 :P Nenhuma pessoa temperamental é rica. (T R∩ = ∅ )

:Q Nenhum advogado é poeta. (A P∩ = ∅ )

A conclusão é válida.

Argumento 4

1 :P Todos os artistas são famosos. ( )1 :P A F⊂

2 :P Para ser diplomado pela universidade é suficiente ser professor. ( )2 :P P U⊂

3 :P Existem diplomados pela universidade famosos. ( )3 :P U F∩ ≠ ∅

Para cada conclusão apresentada abaixo, analise a validade do argumento quando:

1 :Q Professores não são famosos.

2 :Q Artistas não são professores.

3 :Q Se João é diplomado pela universidade então ele não é artista.

A P


23 U F

U F P

A P

A

Argumento 5

1 :P Todo matemático estudou na universidade. M U⊂

2 :P É suficiente ser biólogo para ter estudado na universidade. B U⊂

3 :P Nenhum biólogo é matemático. B M∩ = ∅

4 :P Existem matemáticos que são sábios. M S∩ ≠ ∅

5 :P Ninguém que estuda na universidade é analfabeto. A U∩ = ∅

6 :P Existem sábios analfabetos. S A∩ ≠ ∅

Para cada conclusão apresentada abaixo, analise a validade do argumento quando:

a) 1 :Q Nenhum biólogo é analfabeto.

b) 2 :Q Existem sábios que estudam na universidade.

c) 3 :Q Todos os sábios estudam na universidade.

d) 4 :Q Nenhum biólogo é sábio.

e) 5 :Q Existem pessoas que estudaram na universidade e não são sábios.


24

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAÇÃO – CONJUNTOS

1 – Considere os conjuntos:

A = conjunto dos quadriláteros planos.

{ } ; tem lados 2 a 2 paralelosP X A X= ⊂

{ } ; tem 4 lados congruentesL X A X= ⊂

{ } ; tem 4 ângulos retosR X A X= ⊂

{ } ; tem 2 lados paralelos e 2 ângulos retosQ X A X= ⊂

Determine os conjuntos abaixo:

a) L P∩ b) R P∩

c) L R∩ d) Q R∩

e) L Q∩ f) P Q∪

2 – Usando as operações entre conjuntos e suas propriedades, simplifique as seguintes expressões:

a) ( )A B∩

b) ( ) ( )A B A B∩ ∪ ∩

c) A B A B∩ ∩ ∩

d) ( ) ( ) ( )A B C A A B A A C⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∩ ∪ ∪ ∩ ∩ ∪ ∩ ∩⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

e) ( )A B A A B⎡ ⎤∪ ∩ ∪ ∪⎢ ⎥⎣ ⎦

f) ( ) ( )A B C A B C∩ ∩ ∪ ∩ ∩

3 – Verifique se a equações dadas abaixo são sempre verdadeiras, usando diagramas de Venn.

No caso de verdadeira, demonstre;


25

No caso de falsa dê contra-exemplo.

a) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∩ − = ∩ − ∩

b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ − = ∪ − ∪

c) ( ) ( ) ( )A B C A B A C− ∩ = − ∪ −

d) ( )A A B A B− ∩ = −

e) ( )A B A A B∩ = − −

f) ( )A B A B A∪ = ∪ −

g) ( ) ( ) ( )A B C A B A C∪ Δ = ∪ Δ ∪

h) ( ) ( ) ( )A B C A B A C− Δ = − Δ −

i) A B A BΔ = ∩

j) ( )A B A A B− = − −

4 – Mostre que:

a) Se B C⊂ e C A⊂ então B C A∪ ⊂ .

b) Se A B⊂ e A C⊂ então A B C⊂ ∩ .

c) ( ) ( ) ( )P A P B P A B∩ = ∩

d) Se A B∩ = ∅ então A B A∩ = .

e) Se A B∩ = ∅ então A B B∪ = .

f) A B⊂ se e somente se A B− = ∅ .

g) Se A B A∩ = e A C∩ ≠ ∅ então B C∩ ≠ ∅ .

5 – Dados os conjuntos { }1,2A = e { }1,2,3, 4B = , determine todos os conjuntos X B≠ tais que

A X B⊂ ⊂ .

Considere { }1,2,3A = e { }3,4,5B = . Então determine


26

a) ( )P A

b) ( )P B

c) ( )P A B∩

d) ( )P A B∪

6 – Determine todos os elementos dos conjuntos A , B e E sabendo-se que , ( )A B P E∈ e que

{ }1,3,8,9A B∪ = , { }4,6,9AEC = e { }3,4,6B

EC = .

7 – No relatório de uma pesquisa encomendada por uma editora, para saber sobre as preferências

dos leitores em relação a três revistas , e A B C . Observou-se as seguintes estatísticas: 90% liam

a revista A; 6% a B; 7% a C; 4% liam A e a B; 5% a A e a C; 2% a C e a B e 1% liam as três

revistas.

a) Supondo-se que as pessoas pesquisadas eram leitoras de pelo menos uma das revistas,

pergunta-se: As estatísticas do relatório são consistentes?

b) Caso no universo das pessoas consultadas nem todas lessem revistas desta editora, o que se

poderia concluir?

8 – Em um levantamento feito por 100 estudantes de uma certa universidade para verificar o

aprendizado de língua inglesa, francesa e alemã, verificou-se o seguinte:

78 estudavam pelo menos uma destas três línguas;

47 estudavam inglês, 32 francês e 21 alemão;

31 estudavam apenas inglês e 17 apenas francês;

6 estudavam francês e alemão;

5 estudavam inglês e alemão mas não estudavam francês.

a) Quantos estudavam as três línguas?

b) Quantos estudavam inglês e francês mas não estudavam alemão?


27

c) Quantos estudavam apenas alemão?

d) Quantos não estudavam qualquer das três línguas?

e) Quantos não estudavam francês?

9 – Dados os conjuntos , e A B C tais que: ( ) 25n A B C∪ ∪ = ; ( ) 1n A B C∩ ∩ = ; ( ) 10n A = ;

( ) 14n B = ; ( ) 20n A B∪ = ; ( ) 6n B A C⎡ ⎤− ∪ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ; ( ) 2n A B C⎡ ⎤− ∪ =⎢ ⎥⎣ ⎦ . Determine:

a) ( )( )n A C B∩ −

b) ( )( )n B C A∩ −

10 – Dados os conjuntos , e A B C tem-se que: ( ) 32n A BΔ = ; ( ) 35n A B∪ = ; ( ) 31n B CΔ = ;

( ) 37n B C∪ = ; ( ) 2n A B C∩ ∩ = ; ( ) 12n C A B⎡ ⎤− ∪ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ; ( ) 26n A B C⎡ ⎤∪ − =⎢ ⎥⎣ ⎦ . Determine

a) ( )( )n A C B∩ −

b) ( )( )n A B C− ∪

c) ( )( )n B A C− ∪

d) ( )( )n A B C∩ −

11 – Utilize os diagramas de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas.

a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um

girassol.

b) Alguns livros são verdes e algumas coisas verdes são comestíveis. Concluímos que alguns

livros são comestíveis.

c) Como todos os peixes são mamíferos, todos os mamíferos são aves e existem minerais que

são peixes, concluímos que existem minerais que são aves.

d) Alguns homens sabem nadar. Não existem peixes que não sabem nadar. Conclusão: os

peixes sabem nadar.


28

e) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas.

Conclusões

i) Alguns baianos são louros.

ii) Alguns professores são baianos.

iii) Alguns louros são professores.

iv) Existem professores louros.

12 – Considere as seguintes premissas:

(1) É suficiente ser artista para ser uma pessoa sensível

(2) Existem pessoas sensíveis que não são determinadas.

(3) Ser determinada é condição necessária para uma pessoa ser pragmática.

(4) Somente pessoas que não são pragmáticas se tornam artistas.

(5) Existem artistas que são pessoas determinadas.

Escreva, justificando através do diagrama de Venn, quais das seguintes conclusões são válidas e

quais as falsas:

a) Toda pessoa pragmática não é sensível.

b) Existem artistas que não são determinadas.

c) Existem pessoas determinadas que são sensíveis.

d) Nenhuma pessoa pragmática é sensível.

e) Existem pessoas determinadas que não são sensíveis e nem são artistas.


29

LEITURA COMPLEMENTAR

Axiomatização

Em um desenvolvimento axiomático de um ramo da Matemática, iniciamos com

Termos indefinidos (ou primitivos)

Relações indefinidas

Axiomas relacionando os termos indefinidos e as relações indefinidas.

Em seguida, desenvolvem-se teoremas baseados em axiomas e definições. No desenvolvimento

axiomático da Teoria dos Conjuntos, temos

“elemento” e “conjunto” são termos indefinidos;

“elemento pertencente a um conjunto” é uma relação indefinida;

Dois dos axiomas são

Axioma de extensão. Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, cada elemento de

A pertence também a B e cada elemento em B pertence a A .

Axioma de especificação. Sejam ( )P x uma proposição qualquer e A um conjunto. Existe

um conjunto { }; , ( ) é verdadeiraB a a A P a= ∈ .

Aqui, ( )P x é uma sentença em uma variável para a qual ( )P a é verdadeira ou falsa para

qualquer a A∈ . Existem outros axiomas que não estão relacionados que são utilizados para uma

discussão mais longa e detalhada da Teoria dos conjuntos.


30

Algumas Equivalências Lógicas

1

p p p

p p p

∧ ⇔∨ ⇔

7 ( )( )

p q p q

p q p q

∧ ⇔ ∨

∨ ⇔ ∧

∼ ∼ ∼∼ ∼ ∼

2

p V p

p F p

∧ ⇔∨ ⇔

8 ( ) p q p q→ ⇔ ∧∼ ∼

3

p F F

p V V

∧ ⇔∨ ⇔

9 p q p q→ ⇔ ∨∼

4

p p F

p p V

∧ ⇔∨ ⇔∼∼

10 ( ) ( ) ( ) p q p q p q↔ ⇔ ∧ ∨ ∧∼ ∼ ∼

5 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

p q r p q p r

p q r p q p r

∧ ∨ ⇔ ∧ ∨ ∧

∨ ∧ ⇔ ∨ ∧ ∨ 11 ( ) ( )p q p q q p↔ ⇔ → ∧ →

6 ( )( )

p p q p

p p q p

∧ ∨ ⇔

∨ ∧ ⇔ 12

Algumas Regras de Inferência

AD

p p q

q p q

∨∨

SIMP

p q p

p q q

∧∧

CONJ , p q p q∧

MP , p q p q→

MT , p q q p→ ∼ ∼

SH , p q q r p r→ → →


1 PARTE III – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

′

Enquanto os conjuntos constituem um meio auxiliar, os números são um dos dois objetos

principais de que se ocupa a Matemática. (O outro é o espaço, junto com as figuras geométricas

nele contidas.)

A Teoria dos conjuntos é bastante geral, no entanto, os conjuntos importantes que

encontramos em Matemática elementar são os conjuntos de números e, dentre eles, o conjunto

dos números reais.

Números são entes abstratos, desenvolvidos pelo homem como modelos que permitem

contar e medir, portanto avaliar as diferentes quantidades de uma grandeza. Nesta parte das

notas, estudaremos um pouco dos números reais e suas propriedades.

Conteúdos

1. Números – um pouco de história

2. Conjunto dos naturais, dos inteiros, racionais e dos irracionais

3. Conjunto dos números reais

4. R é corpo

5. R é ordenado

6. Módulo

7. Equações e inequações



2 Comentário sobre alguns conjuntos numéricos

O desenvolvimento formal da construção dos conjuntos numéricos será feito em outra disciplina

deste curso: Álgebra I. Aqui, faremos um breve comentário dos conjuntos numéricos naturais,

inteiros, racionais e irracionais e desenvolveremos algumas propriedades importantes dos reais

que nos ajudarão a entender conteúdos como relações e funções reais.

Números Naturais. Os números naturais constituem um modelo matemático, uma escala padrão,

que nos permite a operação de contagem. A seqüência desses números é uma livre e antiga

criação do espírito humano. Comparar conjuntos de objetos com essa escala abstrata ideal é o

processo que torna mais precisa a noção de quantidade; esse processo (a contagem) pressupõe

portanto o conhecimento da seqüência numérica. Sabemos que os números naturais são 1, 2, 3,

4, 5,… A totalidade desses números constitui um conjunto, que indicaremos com o símbolo e

que chamaremos de conjunto dos naturais. Portanto { }1,2,3,4,5,...= .

Deve-se a Giusepe Peano (1858-1932) a constatação de que o conjunto dos números naturais

possui propriedades fundamentais, das quais resultam como conseqüências lógicas, todas as

afirmações verdadeiras que se pode fazer sobre esses números, são os Axiomas de Peano. Uma

dessas propriedades fundamentais é o Princípio da Indução – um eficiente instrumento para a

demonstração de fatos referentes aos números naturais.

{ }0,1,2,3,4,5,...=

Operações definidas em :

Adição

Multiplicação

Números Inteiros. Este conjunto aparece como ampliação do conjunto dos números naturais. O

conjunto dos números inteiros, indicado pela letra , é o conjunto

{ }..., 3, 2, 1, 0,1,2,3,...= − − −

Em , podemos distinguir três subconjuntos notáveis

{ }0,1,2,3,...+ = = : conjunto dos inteiros não negativos

{ }..., 3, 2, 1, 0− = − − − : conjunto dos inteiros não positivos

{ }* ..., 3, 2, 1,1,2,3,...= − − − : conjunto dos inteiros não nulos


3 Operações definidas em . Neste conjunto também são definidas as operações de adição e

multiplicação que temos para os naturais e conservam as mesmas propriedades mais a seguinte:

Elemento simétrico aditivo (ou oposto). Para todo x ∈ , existe um único y ∈ tal que

0x y+ = (simétrico ou oposto para a operação de adição). Denotamos y x= − .

Observações

I. Devido à existência do elemento oposto, podemos definir em a operação de subtração,

estabelecendo que ( )x y x y− = + − para todos ,x y ∈ . é fechado em relação à

subtração.

II. Em temos a existência do 0 (zero), chamado elemento neutro da adição: x∀ ∈ ,

0 0x x x+ = + = .

III. A equação 4 0x + = tem solução em ( 4x = − ) mas não tem solução em .

IV. é não fechado para a operação de divisão. Por exemplo, 1− e 2 são inteiros, mas

10,5

2−

= − ∉ .

Números Racionais. Assim como o conjunto dos números inteiros podem ser vistos como uma

ampliação do conjunto dos números naturais, o conjunto dos números racionais pode ser

construído como uma ampliação do conjunto dos números inteiros.

Como não existe um inverso multiplicativo em , esta dificuldade foi superada introduzindo os

números racionais.

Sejam ,a b ∈ com 0b ≠ . Se a é múltiplo de b , então existe um único elemento r ∈ de

maneira que a b r= ⋅ . Este elemento r é chamado quociente (ou divisão) de a por b e

indicamos

ar

b= ou r a b= ÷ ou /r a b=

Também chamamos ab

de fração onde a é numerador e b é denominador. Assim, definimos

então o conjunto de todos os números que podem ser escritos na forma de fração como o

conjunto dos números racionais (ratio=razão)

; , e 0a

a b bb

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ∈ ≠⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭


4 Note que todo número inteiro x é racional, pois 1x

x = . Isto quer dizer que ⊂ .

Vamos definir alguns tipos de frações

Frações equivalentes: a acb bc= , , ,a b c ∈ e , 0b c ≠ .

Frações próprias: ab

com a b< , ,a b ∈ e 0b ≠ .

Frações impróprias: ab

com a b> , ,a b ∈ e 0b ≠ .

Frações aparentes: ab

, ,a b ∈ , 0b ≠ , ; c a bc∃ = .

Frações decimais: 10n

a, a ∈ e n ∈ .

Frações irredutíveis: ab

, ,a b ∈ , 0b ≠ , mdc( , ) 1a b = .

Exercício – Dê exemplos de cada um dos tipos de frações definidas acima.

Operações em . Podemos definir em as operações já estruturadas em : adição,

multiplicação e subtração e, além disso, definiremos uma outra, a divisão. Vejamos tais

operações:

Adição: a c ad bcb d bd

++ = , , , ,a b c d ∈ e , 0b d ≠ .

Observações

• O elemento oposto de ab

é dado por ab

− e tem a seguinte propriedade:

a a ab b b

−− = =

− para ,a b ∈ e 0b ≠ .

• Assim, podemos definir a operação de subtração entre dois números racionais:

a c a c ad bcb d b d bd

− −− = + = , , , ,a b c d ∈ e , 0b d ≠ .

Multiplicação: a c acb d bd⋅ = , , , ,a b c d ∈ e , 0b d ≠ .


5 As operações de adição e multiplicação definidas para os racionais apresentam todas as

propriedades das mesmas operações para os inteiros. Além disso, em , existe o

Elemento inverso multiplicativo. Para todo { }0ax

b= −∈ , existe um único y ∈ tal que

1xy yx= = (inverso multiplicativo). Denotamos por 1 by x

a−= = .

Por exemplo, se 34

x = , então 1 43

x− = e, portanto, 1 3 41

4 3xx− = ⋅ = .

Esta propriedade nos mostra como podemos definir a operação de divisão em . Se ,x y ∈

com 0y ≠ , a divisão de x por y , é o número racional 11xx xy

y y−= ⋅ = .

Exemplo: 45

x = e 16

y = , então 1 4 6 245 1 5

xxy

y−= = ⋅ = .

Representação decimal. Qualquer número racional pode ser escrito na forma decimal. Para isto,

basta dividir o numerador pelo inteiro denominador. Nessa divisão, podem ocorrer dois casos:

1. O número decimal tem uma quantidade finita de algarismos diferentes de zero, isto é, é uma

decimal exata.

Exemplos: 4

41=

10,5

2−

= − 4

0,1625

= −−

17

0, 001710000−

=−

2. O número decimal tem uma quantidade infinita de algarismos que se repetem periodicamente,

isto é, é uma dízima periódica.

Exemplos

a) 1

0,3333... 0, 33= = (período 3)

b) 13

2,1666... 2,166

= = (período 6)

c) 3

0,428571428571... 0, 4285717= = (período 428571)


6

Assim, dado um número decimal, decidimos se é ou não racional, se for possível representá-lo

sob a forma ab

(chamada de fração geratriz, geralmente uma fração irredutível), pois os números

racionais são caracterizados por poderem ser representados sob a forma de fração. Vejamos

alguns exemplos

1. Decimal exata: 50 1

0,0501000 20

= = 224 56

2,24100 25−

− = = −

2. Dízima periódica: alguns exemplos abaixo

a) 4

0, 4 0,444...9

= = , pois 0, 4444... 4

10 4 10 4,444... 9

xx x x

x

⎧⎪ =⎪ ⇒ − = ⇒ =⎨⎪ =⎪⎩.

b) 637

6,43 6,434343...99

= = , pois 6, 434343... 637

100 637 100 643,4343... 99

xx x x

x

⎧⎪ =⎪ ⇒ − = ⇒ =⎨⎪ =⎪⎩.

c) 25534

2,5791 2,57919191...9900

= = , pois

2,57919191...25534

100 257,919191... 10000 100 25534 9900

10000 25791,9191...

x

x x x x

x

⎧⎪ =⎪⎪⎪⎪ = ⇒ − = ⇒ =⎨⎪⎪⎪ =⎪⎪⎩

Exercício – Determine a fração geratriz de cada dízima. Observe que, em geral, a fração geratriz

de uma dízima não pode ser escrita como fração decimal (denominador uma potência de dez).

a) 5, 6 1,6666...= b) 0,371 0,371371...− =

c) 2, 0845 2,084545...= d) 0, 9 0,999...=

Ordem em . Para compararmos duas frações, elas devem ter o mesmo denominador, assim

sendo, a maior fração é aquela que possui maior numerador.

Exemplo – Complete com os símbolos de , ou = < > entre as frações:

a) 3 2

5 5

− b) 250 1

1000 4

c) 17 22

18 23

d) 3 2

5 3

−−


7 Números Irracionais. Os gregos sempre pensaram que o número é a medida de todas as coisas.

Os números medem também as áreas, os comprimentos, os lados de um triângulo, a conta

bancária de um indivíduo, etc. também foram os gregos que descobriram que nem todos os

segmentos podiam ser medidos por um número inteiro positivo ou uma fração entre números

inteiros, fato este conhecido como a descoberta de 2 pelos pitagóricos no século V a.C.

Consideremos um triângulo retângulo e isósceles, cujos catetos

sejam iguais a 1. Segundo o Teorema de Pitágoras: 2 2 21 1 2d = + =

onde d indica o comprimento da hipotenusa deste triângulo e

satisfaz a igualdade 2 2d = .

Chamamos este número de raiz quadrada de 2 e representamos pelo

símbolo 2 .

Evidentemente a hipotenusa possui um comprimento, conforme se pode observar na figura, mas

era simplesmente impossível achar o número que pudesse ser associado ao exato comprimento

expresso por 2 . O valor 32

é grande demais, 75

é um pouco menor. De qualquer maneira que

se buscasse esse número, encontra-se apenas valores aproximados, que ora excedem o valor real,

ora permanecem inferiores a ele, sempre por uma pequena diferença. Provaremos então que

2 é um número não racional. Aristóteles (384–322 a.C.), como exemplo de uma demonstração

por redução ao absurdo, demonstrou que 2 não é um número racional, isto é, não se pode

escrever como uma fração de dois inteiros.

Demonstração. Suponha que existem dois números naturais p e q primos, tais que 2pq

= [pq

é

irredutível] e 2

2pq

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠. Então, 2 22p q= , isto implica que 2p é um número par e,

conseqüentemente, p também é par [porque se fosse ímpar teríamos 2 1p k= + para algum

número natural k e ( ) ( )22 2 22 1 4 4 1 4 1p k k k k k= + = + + = + + seria ímpar]. Se p é um

número par, existe um natural n tal que 2p n= e assim 2 2 2 24 2 2n q q n= ⇔ = . Então q é

par [porque 2q é par], o que é absurdo visto que p e q são primos entre si.

Se um número é irracional a parte decimal não segue um padrão, isto é, não se repete nunca.

Com o auxílio de um computador, podemos calcular a representação decimal de 2 com muitas

casas decimais para nos convencer deste fato. Embora este número com suas aproximações


8 vistas em computador com até bilhões de casas decimais sejam convincentes, isto não basta

como uma prova matemática. Do mesmo modo que mostramos logicamente que 2 é irracional,

também podemos mostrar que os números π e e são irracionais.

Alguns exemplos de números irracionais:

2 1,4142135623730950488016887242097...= (medida da diagonal de um quadrado de

lado medindo 1 unidade)

3,1415926535897932384626433832795...π = (a letra grega “pi” representa a área e

também metade do perímetro de um círculo de raio 1)

2,7182818284590452353602874713...e = (base do sistema de logaritmos, inventado em

1617 pelo escocês John Napier)

Observações

Os números racionais têm representação decimal finita ou infinita periódica, mas os

números irracionais não têm essa representação.

Existem infinitos números irracionais, uma maneira de “ver” isto é escrevendo a

seqüência seguinte: ..., 3 2, 2 2, 2, 2, 2 2, 3 2, ...− − − .

Exercícios

1. Mostre que se { }0c −∈ então 2c é irracional.

2. Mostre que 3 é um número irracional.

3. Dê exemplo de dois irracionais tais que:

a) a soma é racional; b) o produto é racional; c) a divisão é racional.

4. Dê exemplos de um número racional e um irracional tal que o produto é racional.

Observação. Note que o exercício (3) mostra que o conjunto dos irracionais é não fechado para

as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão definidas anteriormente.


9 CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

′= ∪ ( )irracionais

= −∪ ′∩ = ∅

Número real algébrico. Um número real diz-se algébrico se ele satisfaz a uma equação do tipo

1 21 2 1 0 0n n

n na x a x a x a x a−−+ + + + + = onde os coeficientes , 0,1,2,...,ia i n∈ = .

Transcendente é um número que não é algébrico.

Exemplos

a) Todo número racional é algébrico.

b) 2 é algébrico.

c) 3,14...π = é transcendente (Lindemann, 1882)

d) 2,7182...e = é transcendente (Hermite, 1873)

Estruturação algébrica do conjunto dos números reais

é um corpo

Definimos em duas operações: Adição Multiplicação

( )

:

,x y x y

+ × →

+

( )

:

,x y x y

× →

⋅

i

Essas operações cumprem as seguintes condições:

Associatividade: , ,x y z∀ ∈ tem-se ( ) ( )x y z x y z+ + = + + e ( ) ( )x y z x y z⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ .

Comutatividade: ,x y∀ ∈ tem-se x y y x+ = + e x y y x⋅ = ⋅ .

Elementos neutros: Existem em os elementos 0 e 1 tais que x∀ ∈ , 0x x+ = e 1x x⋅ = .


10 Inversos: x∀ ∈ possui inverso aditivo x− ∈ tal que ( ) 0x x+ − =

Se 0x ≠ , existe também um inverso multiplicativo 1x− ∈ tal que 1 1x x−⋅ = .

Distributividade: , ,x y z∀ ∈ tem-se ( )x y z xy xz⋅ + = + .

Definidas a adição e multiplicação com as condições acima, caracterizamos como um corpo.

Exercícios de sala de aula

1 – Defina as operações de subtração e divisão em .

2 – Utilize a distributividade e o elemento oposto para mostrar que 0 0x ⋅ = , x∀ ∈ .

3 – ,x y∀ ∈ , mostre que se 0x y⋅ = então 0x = ou 0y = .

4 – Utilize 3 e conclua que 2 2 x y x y= ⇒ = ± .

5 – Demonstre as “regras de sinais”, ou seja, ,x y∀ ∈ tem-se

i) ( )x x−− =

ii) ( ) ( )x y xy− = −

iii) ( )x y xy− − =

é um corpo ordenado

Definimos em um subconjunto + ⊂ , chamado de conjunto dos números reais positivos,

que cumpre as seguintes condições:

P1. , e x y x y x y+ + +∀ ⇒ + ⋅∈ ∈ ∈ .

P2. Dado x ∈ ocorre uma única das alternativas: 0x = ou x +∈ ou x +− ∈ .

Indicamos { };x x +− = −∈ ∈ conjunto dos números reais negativos.


11 P2 indica que { }0+ −= ∪ ∪ tem duas uniões disjuntas.

Exercício – Mostre que todo número real 0x ≠ tem quadrado positivo.

Escrevemos x y< (x menor que y ) quando y x +− ∈ , isto significa que y x z= + onde

z +∈ .

Se x +∈ (positivo), indicaremos 0x > e

se x +− ∈ (negativo), indicaremos 0x < .

Valem as seguintes propriedades da relação de x y< em :

O1. Transitividade: x y< e y z< implica x z< .

O2. Tricotomia: Dados ,x y∀ ∈ , ocorre uma única das alternativas:

x y= ou x y> ou x y< .

O3. Monotonicidade da adição: Se x y< , z∀ ∈ temos x z y z+ < + .

O4. Monotonicidade da multiplicação: Se x y< , 0z∀ > tem-se xz yz< .

Porém, se 0z < , temos xz yz> .

Exercícios – A partir do que conhecemos até agora, mostre os seguintes resultados:

a) x y< e a b< implica que x a y b+ < + .

b) 0 x y< < e 0 a b< < implica que xa yb< .

c) Se 0 x y< < então 1 1y x− −< .


12 Intervalos (alguns tipos de subconjuntos de ). Usamos as seguintes notações para indicar

determinados subconjuntos de e chamamos intervalos.

Intervalos (subconjuntos de )

[ ],a b { }; x a x b≤ ≤∈ a b

( ],a b { }; x a x b< ≤∈ a b

[ ),a b { }; x a x b≤ <∈ a b

( ),a b { }; x a x b< <∈ a b

( ],b−∞ { }; x x b≤∈ b

( ),b−∞ { }; x x b<∈ b

),a⎡ +∞⎢⎣ { }; x a x≤∈ a

( ),a +∞ { }; x a x<∈ a

( ),−∞ +∞

Quando a b= o intervalo reduz-se a um único elemento e chamamos de intervalo degenerado.

Resolução de equações e inequações produto e quociente.

Valor absoluto (ou módulo) de um número real. Seja x ∈ , o módulo de x é definido por

se 0

se 0

x xx

x x

⎧⎪ ≥⎪= ⎨⎪− <⎪⎩.

Podemos definir o módulo de x ∈ dizendo que 2x x= .


13 Interpretação geométrica do módulo de um número real. Temos, também, que:

e

ou

x a a x a

x a x a x a

< ⇔ − < <

> ⇔ > <−

.

Teorema. Sejam ,x y∀ ∈ , mostre que:

i) x y x y+ ≤ +

ii) x y x y⋅ =

iii) Seja ε ∈ , x a a x aε ε ε− < ⇔ − < < + .

Exercícios – Resolver as seguintes equações e inequações modulares

a) 3 3 1x x− = −

b) 2 1 1x x+ − =

c) 2 1 1x x+ − >

d) 2

13

xx−

≤+

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAÇÃO – CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

1 – Prove as seguintes unicidades:


14 a) Se x xα+ = para algum x ∈ então 0α = .

b) Se x xβ = para todo x ∈ então 1β = .

c) 0 x y y x+ = ⇒ =− .

d) 11 xy y x−= ⇒ = .

2 – Usando as propriedades de ordem em , prove que:

a) Sejam x e z reais positivos. Se x y< e z w< então xz yw< .

b) Se 3 3x y= e , x y têm o mesmo sinal então x y= .

3 – Mostre que:

a) Se a b> e c d> então a c b d+ > + .

b) Se 0a b> > e 0c d> > então ac bd> .

c) Se 0a b> ≥ então 2 2a b> .

d) Se 0a > e 0b > e 2 2a b> então a b> .

e) Se 0a ≥ e 0b ≥ então a b= se e somente se 2 2a b= .

f) Se x y< então 2

x yx y

+< < .

4 – Explique, justificando, onde está o erro na demonstração a seguir:

Sejam ,a b ∈ não nulos. Suponha a b= . Então

Multiplicando os dois lados da igualdade por a temos 2a ab=

Subtraindo 2b dos dois lados da igualdade anterior temos 2 2 2a b ab b− = −

Fatorando os dois membros da igualdade acima temos ( )( ) ( )a b a b b a b+ − = −

Dividindo ambos os membros por ( )a b− temos a b b+ =


15 Como sabemos que a b= , podemos substituir a por b obtendo b b b+ =

Que implica em 2b b=

Dividindo ambos os membros por b , chegamos à conclusão de que 2 1= .

5 – Faça um esboço, na reta, dos resultados seguintes:

a) (1,2 0,3⎡ ⎤ ⎤−⎢ ⎥ ⎥⎣ ⎦ ⎦∩ b) (1,2 0,3⎡ ⎤ ⎤−⎢ ⎥ ⎥⎣ ⎦ ⎦∪

c) ( )0,1∩ d) (1,4 ,3⎡ ⎤ ⎤− −∞⎢ ⎥ ⎥⎣ ⎦ ⎦∪

e) ( )1,4 ,3⎡ ⎤− −∞⎢ ⎥⎣ ⎦ ∩ f) (1,2 2,1⎡ ⎤ ⎤−⎢ ⎥ ⎥⎣ ⎦ ⎦∩

g) )0,1 1,5⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣∩ h) ) (1, , 0⎡ ⎤+∞ −∞⎢ ⎥⎣ ⎦∪

i) { } 12 ,1

2

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∪ j) ( ), 0− −∞

6 – Determine todos os números reais que satisfazem a desigualdade. Expresse a solução com a

notação de intervalos e represente-a na reta dos reais.

a) 10 18 4x x< + b) 9 5 24 2 3

x< +

c) 2 5 3 11x≤ − < d) 1

01

xx−

>+

e) ( )( )1 3 0x x− − ≤ f) 2 1 3x x+ + >

7 – Sejam ,x y ∈ , mostre que:

a) x y x y− ≤ −

b) x y x yε ε− < ⇒ < +

c) Se x ε< , para todo 0ε > , então 0x = .

d) Para quaisquer , ,x y z ∈ , prove que x z x y y z− ≤ − + − .

e) Dados ,x y ∈ , se 2 2 0x y+ = prove que 0x y= = .

8 – Determine todos os números reais que satisfazem as equações:

a) 3 1x − = b) 5 3x x= −


16 c) 2 5 8x x x− + − = − d) 4 5 2 3x x+ = +

e) 5 8x x x+ − = − f) 2 4 4 2x x x− + = −

10 – Determine o intervalo solução das seguintes desigualdades:

a) 1

2 3x x

x x+

<− +

b) 1 2

1 3 1x x<

+ −

c) 1 4

3 7 3x x≥

− − d) 3 21x x x+ > +

e) 3 6 3x x> − f) 3 2 4x x+ < −

g) 5 1

2 1 2x x≥

− − h) 2 4 1x x+ ≥ +

i) 4 1 3x x x+ + − ≤ + j) 1 2x x x+ − > +

k) 3 1 3 1x x x− + < + l) 3 41 1

xx x

−≤

− +


1 PARTE IV – RELAÇÕES E DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

Nesta seção estudaremos a definição relação (binária), conceito que dá suporte a entender uma

função como substrato da teoria dos Conjuntos. Também é uma “preparação” para estudarmos

algumas características gerais das funções (reais) e tipos de funções elementares cujo estudo mais

detalhado faremos na disciplina chamada Fundamentos de Matemática 1.

Conteúdos

1. Produto cartesiano

2. Relações binárias

3. Domínio e imagem de uma relação

4. Representação gráfica

5. Relação inversa

6. Função

7. Gráfico de uma função

8. Igualdade, prolongamento e restrição de funções



2

Produto Cartesiano

Par ordenado. Dados dois elementos x e y pertencentes a determinados conjuntos definimos o

par ordenado como o elemento que indicaremos por ( ),x y

x é o 1º. elemento ou 1ª. coordenada

y é o 2º. elemento ou 2ª. coordenada.

Igualdade de pares ordenados. Dizemos que dois pares ordenados ( )1 1,x y e ( )2 2,x y são iguais se e

somente se 1 2x x= e 1 2y y= .

Exemplos

a)

b)

Produto cartesiano. Dados dois conjuntos não vazios A e B , o produto cartesiano ou

simplesmente produto de A por B , indicamos A B× , é o conjunto de todos os pares ordenados

( , )x y tal que x A∈ e y B∈ .

{ }( , ) ; e A B x y x A y B× = ∈ ∈

Observações

1) A×∅ = ∅ .

2) ( )n A p= e ( )n B q= então ( )n A B pq× = .

3) Se A B= então 2A B A A A× = × = .

4) Em geral, A B B A× ≠ × , ou seja, o produto cartesiano é não comutativo.


3

Representação gráfica de uma relação. Existem algumas formas de representar um produto

cartesiano graficamente.

Exemplo – Sejam { }1,2A = e { },B a b= .

a) Tabela de dupla entrada

A/B a B

1 1,a 1,b

2 2,a 2,b

b) Diagrama sagital

c) Diagrama cartesiano. Se ,A B ⊂ , então ( ), e x y A B x y∈ × ⇒ ∈ ∈ .

x

y ( , )x y

Exercício – Represente no plano cartesiano os seguintes produtos:

a) { } { }1,1 0,1− ×

b) { }1,1 0,1⎡ ⎤− × ⎢ ⎥⎣ ⎦

c) 1,1 0,1⎡ ⎤ ⎡ ⎤− ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦


4

Algumas Propriedades

1) ( ) ( ) ( )A B C A B A C× ∪ = × ∪ ×

2) ( ) ( ) ( )A B C A B A C× ∩ = × ∩ ×

3) ( ) ( ) ( )A B C A B A C× − = × − ×

4) ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D× ∩ × = × ∩ ×

5) ( ) ( )A B A C B C⊂ ⇒ × ⊂ ×

Demonstrações.

2)

3)

Generalizações

( ){ }1 2 1 2 1 1 2 2, ,..., ; , , ..., n n n nA A A x x x x A x A x A× × × = ∈ ∈ ∈

( )1 2, ,..., nx x x é chamada de n-upla.

Relação (binária). Dados os conjuntos A e B , uma relação binária (ou simplesmente, relação de

A em B ) R é qualquer subconjunto de A B× . Isto é, R é uma relação de A em B ⇔

R A B⊂ × .

Notação: ( , )xRy x y R⇔ ∈ .

Observação. ( , )x y R∈ se ( , )x y satisfaz a determinada sentença aberta que caracteriza R .

Exemplos

1 – Considere { }, ,A a b c= e { },B x y= .

a) { }1 ( , ),( , )R a x b y= é uma relação de A em B .


5

b) { }2 ( , )R c x=

2 – Sejam { }1,2,4A = e { }1,3,4,6, 8B = .

a) { }1 ( , ) ; R x y A B x y= ∈ × <

b) { }2 ( , ) ; |R x y A B x y= ∈ ×

c) { }3 ( , ) ; 2R x y A B x y= ∈ × + =

3 – Caracterize os elementos de

a) { }2 2 24 ( , ) ; 0R x y x y= ∈ + =

b) { }5 ( , ) ; 4R x y x y= ∈ × + =

Domínio de uma relação. Seja R uma relação de A em B , o domínio de R , indicamos ( )D R é o

conjunto de todos os elementos x A∈ tais que y B∈ e ( , )x y R∈ . Isto é,

{ }( ) ; e ( , )D R x A y B x y R A= ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂

Imagem de uma relação. A imagem de R , indicamos Im( )R , é o conjunto de todos os elementos

y B∈ para os quais existe x A∈ e ( , )x y R∈ . Isto é,

{ }Im( ) ; e ( , )R y B x A x y R B= ∈ ∃ ∈ ∈ ⊂

Exemplos

Representação gráfica de relações

Como R A B⊂ × temos as seguintes representações


6

Tabela de dupla entrada

Diagrama sagital

Diagrama cartesiano

Exemplos – Determine a representação gráfica no plano cartesiano das seguintes relações,

indicando para cada uma delas o domínio e a imagem.

a) { }2 21 ( , ) ; R x y y x= ∈ = ⊂

b) { }2 ( , ) ; R x y y x= ∈ × =

c) { }23 ( , ) ; R x y y x= ∈ ≥

d) { }2 2 24 ( , ) ; 1R x y x y= ∈ + ≥

e) { }25 ( , ) ; 1R x y x y= ∈ + <

f) { }26 ( , ) ; R x y y x x= ∈ > +

g) { }7 ( , ) ; R x y A B y x= ∈ × = onde 1,1A ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ e 0,2B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ .

Se R é uma relação de A em A , dizemos simplesmente que R é uma relação em A ou sobre A .


7

Propriedades das relações em A. Seja R uma relação em A , então:

i) R é reflexiva ⇔ , ( , )x A x x R∀ ∈ ∈ .

ii) R é simétrica ⇔ ( , ) ( , )x y R y x R∈ ⇒ ∈ .

iii) R é anti-simétrica ⇔ ( , ) e ( , ) x y R y x R x y∈ ∈ ⇒ = .

iv) R é transitiva ⇔ ( , ) e ( , ) ( , )x y R y z R x z R∈ ∈ ⇒ ∈ .

v) R é equivalência ⇔ R é reflexiva, simétrica e transitiva.

vi) R é ordem ⇔ R é reflexiva, anti-simétrica e transitiva.

Exemplos e classificação das propriedades

1 – { }1,2,3, 4A =

a) Em A , definimos { }1 (1,1),(2,2),(3, 4),(4,1)R = . Então

i) 1R é não reflexiva pois 1(3, 3) R∉ e 1(4, 4) R∉ .

ii) 1R é não simétrica...

iii) 1R é anti-simétrica.

b) { }2 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1),(1,3),(3,2)R =

i) 2R é reflexiva;

ii) 2R é não simétrica;

iii) 2R é não anti-simétrica.


8

Exercícios/Exemplos

Reflexiva

1 – Em { }1,2,3,4A = definimos as relações

a) { }1 (1,1),(2,2),(1, 3)R =

b) { }2 (1,1),(2,2),(3, 3),(4, 4)R =

2 – é múltiplo de xRy x y⇔ R ⊂ ×

Note que x∀ ∈ , x é múltiplo de x , ou seja, ( , )x x R∈ e, portanto, R é reflexiva.

3 – 2 ( ) >1xRy x y⇔ −

4 – xRy x y⇔ <

Simétrica

1 – Em { }1,2,3, 4A = definimos as relações

a) { }1 (1,1),(2,1),(1,2),(3,1)R =

b) { }2 (2,1),(1,2),(3,2),(2,3)R =


3 – 2 ( ) >1xRy x y⇔ −

4 – xRy x y⇔ ≤ 2R ⊂

Anti-simétrica


a) { }1 (1,1),(2, 3),(3,2)R =

b) { }2 (2,3)R =


9

c) { }3 (1,2),(2,1),(3,4)R =

d) { }4 (1,2),(3, 4)R =


3 – 2 ( ) >1xRy x y⇔ −

4 – xRy x y⇔ ≤ 2R ⊂

Transitiva


a) { }1 (1,2),(2,3)R =

b) { }2 (1,2),(3, 4)R =

c) { }3 (2,1)R =


3 – 2 ( ) >1xRy x y⇔ −

4 – xRy x y⇔ < 2R ⊂

Relação inversa. Dada a relação R A B⊂ × , a relação inversa de R , denotada por 1R− , é

definida por { }1 ( , ); ( , )R y x x y R− = ∈ .

Observações

i) 1( , ) ( , )x y R y x R−∈ ⇔ ∈ .

ii) R A B⊂ × então 1R B A− ⊂ × .

Exemplos


10

1 – Considere { }1,2,3A = , a relação definida por { }(1,1),(2,3),(1,3)R = tem relação inversa

{ }1 (1,1),(3,2),(3,1)R− = .

2 – { }2,3A = e { }5,4,6B = definimos divide xRy x y⇔ R A B⊂ × . Vemos que

{ }(2,4),(2,6),(3,6)R = ................

Propriedades da relação inversa. Seja R A B⊂ ×

i) 1 1( )R R− − =

ii) 1( ) Im( )D R R−=

iii) 1Im( ) ( )R D R−=

Exemplos

1 – Sejam { }1,2,3A = , 0,5B ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ e { }( , ) ; R x y A B x y= ∈ × < . Determine os gráficos de R e de

1R− .

−1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

x

y

−1 1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

x

y

Gráfico da relação R . Gráfico da relação inversa 1R− .

Note que: Dada uma relação R o gráfico de 1R− é o simétrico do gráfico de R em relação à 1ª.

bissetriz, isto é, ( , )x y e ( , )y x são pontos simétricos em relação à 1ª. bissetriz.


11

2 – Determine o gráfico de 1R− sabendo que o gráfico de R é dado na figura abaixo.

Função. Sejam A e B conjuntos não vazios e f uma relação de A em B . Dizemos que f é uma

função de A em B se e somente se para todo x A∈ , existe um único y B∈ tal que ( , )x y f∈ .

Isto é,

f A B⊂ × é uma função ⇔ ; ; ( , )x A y B x y f∀ ∈ ∃ ∈ ∈ .

Exemplos

a) { }1 ( , ) ; f x y y x= ∈ × =

b) { }2 ( , ) ; f x y y x+= ∈ × =

c) { }3 ( , ) ; f x y x y= ∈ × − ∈

Observações. Se f é uma função de A em B então

( )A D f= é o domínio de f ;

( )B CD f= é chamado de contra-domínio de f ;

{ }Im( ) ; , ( , )f y B x A x y f= ∈ ∃ ∈ ∈ ;

Se x A∈ então o único elemento y B∈ tal que ( , )x y f∈ é denotado por ( )y f x= e é

chamado de imagem de x pela função f .

Notação: Existem várias formas de indicarmos que f é uma função de A em B .

a) :f A B→

b) A f B

c) :

( )

f A B

x y f x

→=

d) { }( , ) ; ( )f x y A B y f x= ∈ × =


12

Os símbolos , ( ), x f x f são distintos, pois

x A∈ ( )f x B∈ f A B⊂ ×

Quando simplificamos a notação e dizemos simplesmente “considere a função ( )f x ”, fica

subentendido que f deve ser considerada no domínio e contra-domínio os mais amplos

possíveis.

Uma função deve ser identificada pelo seu domínio, contra-domínio e a lei de formação.

Assim,

:

( )

f A B

x f x

→

Exemplos

{ }a) : 1

1

1

f

xx

− →

−

)b) : 2,

1

1

g

xx

⎡ +∞ →⎢⎣

−

Algumas definições. Uma função :f A B→ tal que:

i) A ⊂ é dita uma função de uma variável real.

ii) B ⊂ é dita uma função real.

iii) A ⊂ e B ⊂ é dita uma função real de uma variável real.

Exemplos

(a) : ,2

2

f

x x

⎤−∞ →⎥⎦−

é uma função real de uma variável real.

2b) :

( , )

f

x y xy

→ é uma função real de duas variáveis reais.

c) :

100

J

citcit

+ + +× × →


13

2d) :

( , 1)

g

x x x

→

+

e) :

h

x x ix

→+

Determinação do domínio. aaa

Exemplos – Determine o domínio D das seguintes funções:

a) :f D ⊂ → , ( ) 2f x x x= − + .

b) :g D ⊂ → , 1

( )g tt t

=−

.

c) 2:h D ⊂ → , 2 2( , ) 1h x y x y= − − .

Gráfico de uma função. Considere uma função :f A B→ onde A ⊂ e B ⊂ . O gráfico de f é

uma curva no plano definido por { }2graf( ) ( , ) ; ( )f x y y f x= ∈ = .

Igualdade de funções. Dadas as funções :f A B→ e :g C D→ , dizemos que f g= se e somente

se A C= , B D= e ( ) ( ), f x g x x A= ∀ ∈ .

Exemplos

a) :

f

x x

→

2

:

g

x x

→

b) :

1

f

x x

→+

{ }

2

: 1

1

1

g

xx

x

− →

−−


14 a) { }: 1

1

f

x x

− →+

{ }

2

: 1

1

1

g

xx

x

− →

−−

Prolongamento de funções. Sejam :f A B→ e :g C D→ duas funções. Dizemos que g é

prolongamento de f se e somente se A C⊂ , B D⊂ e ( ) ( ), f x g x x A= ∀ ∈ .

Exemplos

1 – : 0,1

f

x x

⎡ ⎤ →⎢ ⎥⎣ ⎦ e :

g

x x

→

2 – Considere : 1,1 , 1f x x⎡ ⎤− → −⎢ ⎥⎣ ⎦ . Quais das seguintes funções são prolongamentos de f ?

a) : , 1g x x→ −

b) { }2 1

: 1 , 1

xh x

x−

− →+

c) : 0,2 , 1y x x⎡ ⎤ → −⎢ ⎥⎣ ⎦

Restrição de funções. Seja :f A B→ , definimos a restrição de f à parte X A⊂ como a função

:

( )

g X B

x f x

→. Assim, ( )D g X= e ( ) ( ), g x f x x X= ∀ ∈ .

Notações: X

f ou Xf .

Exemplos

1 – Seja : , f x x→ e 1,2X ⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ . Então : 1,2 , X

f x x⎡ ⎤− →⎢ ⎥⎣ ⎦ .

2 – Seja 2: , f x x→ e )0,X ⎡= +∞⎢⎣ . Então ) 2: 0, , X

f x x⎡ +∞ →⎢⎣ .


15

Comentário importante

Praticamente todos os textos escolares em uso no nosso país definem uma função :f A B→ como

um subconjunto do produto artesiano A B× com as propriedades G1 e G2 acima enunciadas.

Essa definição apresenta e o inconveniente de ser formal, estática e não transmitir a idéia

intuitiva de função como correspondência, transformação, dependência (uma grandeza função de

outra) ou resultado de um movimento. Quem pensaria numa rotação como um conjunto de pares

ordenados? Os matemáticos e (principalmente) os usuários da Matemática olham para uma

função como uma correspondência, não como um conjunto de pares ordenados. Poder-se-ia talvez

abrir uma exceção para os lógicos, quando querem mostrar que todas as noções matemáticas se

reduzem, em última análise, à idéia pura de conjunto.

EXERCÍCIOS DE APRENDIZAGEM E FIXAÇÃO – RELAÇÕES E A DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO

1 – Construa o diagrama cartesiano dos seguintes produtos:

a) ( )1,4 2,3⎤ ⎡× −⎥ ⎢⎦ ⎣ b) { } )1,4 2,3⎡× −⎢⎣

c) ( )1,4 4,⎤ ⎡× +∞⎥ ⎢⎦ ⎣ d) ( { }1,4 2,3⎤ × −⎥⎦

e) { } { }1,4 2,3× − f) ( ) ( ), 3 4,−∞ × +∞

2 – Mostre que:

a) ( ) ( ) ( )A B C A B A C× ∪ = × ∪ ×

b) ( ) ( ) ( )A B C A B A C× ∩ = × ∩ ×

c) ( ) ( ) ( )A B C A B A C× − = × − ×

d) ( ) ( ) ( ) ( )A B C D A C B D× ∩ × = × ∩ ×

e) ( ) ( )A B A C B C⊂ ⇒ × ⊂ ×

3 – Construa o diagrama cartesiano das seguintes relações. Determine 1( ), Im( ), D R R R− .


16

a) { }2( , ) ; 4 e 2, 4R x y x y ⎡ ⎤= ∈ = ∈ −⎢ ⎥⎣ ⎦

b) { }2 2 2( , ) ; 25 e 0R x y x y y= ∈ + = ≥

c) { }2( , ) ; 5 ou 2 4R x y x y x y= ∈ + = − =

d) { }2( , ) ; 5 e 2 4R x y x y x y= ∈ + = − =

e) { }2( , ) ; 3 e 2R x y x y= ∈ ≥ ≥

f) { }2( , ) ; 4R x y x y= ∈ + =

g) { }2( , ) ; R x y y x x= ∈ > +

h) { }2( , ) ; 4R x y x y= ∈ − =

i) { }2( , ) ; 3R x y x y= ∈ + =

j) { }2( , ) ; 3R x y x y= ∈ + >

4 – Considere as seguintes relações em :

{ }2 2( , ) ; S x y y x= ∈ > { }2( , ) ; 2T x y y x= ∈ ≤ +

{ }2 2 2( , ) ; 25U x y x y= ∈ + ≤ 2 24( , ) ;

9V x y y x

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ∈ ≤⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

Construa o diagrama cartesiano e determine domínio e imagem das seguintes relações:

a) S T∩ b) U V∩

c) S U∩ d) S V∩

e) T V∩ f) S T∪

g) T V∪ h) U V∪


17

5 – Verifique se as relações abaixo são reflexivas, simétricas, anti-simétricas, transitivas, de

ordem, de equivalência.

a) Relações em

i) é divisível por 5.xRy x y⇔ −

ii) é múltiplo de .xRy x y⇔

iii) 2 ( ) 1.xRy x y⇔ − >

iv) xRy x y⇔ − ∈

b) Relações em { }1,2,3, 4A =

i) { }1 (1,1),(2,2),(3, 3),(4, 4),(1,2),(2,1)R =

ii) { }2 (1,2),(2, 3)R =

iii) 3R A A= ×

iv) { }4 (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2)R =

v) { }5 (1,1),(2,2),(4, 4),(1,2)R =

c) 2 2( , ) ( , ) e x y R z t x z y t R⇔ ≤ ≤ ⊂ × .

d) 2 2( , ) ( , ) x y R z t x z R⇔ = ⊂ × .

6 – Seja E ≠ ∅ . Dados , ( )X Y P E∈ , mostre que as seguintes relações são de equivalência em

( )P E . Onde A é subconjunto fixo de E .

a) XRY X A Y A⇔ ∩ = ∩

b) XSY X A Y A⇔ ∪ = ∪


18

7 – Sejam 1R e 2R relações reflexivas, simétricas e transitivas num conjunto A . Mostre que:

a) 1 2R R∩ é reflexiva, simétrica e transitiva.

b) 1 2R R∪ é reflexiva e simétrica.

c) Dê exemplo para mostrar que 1 2R R∪ não é transitiva.

8 – Determine o domínio das funções reais definidas pelas seguintes sentenças:

a) 2( ) 4f x x= − b) 2( ) ( 3)f x x= − −

c) 3( )f x x x= − d) ( ) 1 3f x x x= + + −

e) 1

( )f xx x

=−

f) 1

( )f xx x

=+

9 – Dada a função :f + → definida por ( )f x x= , verifique quais das seguintes funções são

um prolongamento de f :

a) )1 : 2,g ⎡− +∞ →⎢⎣ definida por 1( )g x x= .

b) 2 : 1,1g ⎡ ⎤− →⎢ ⎥⎣ ⎦ definida por 2( )g x x= .

c) 3 :g → definida por 3( )g x x= .

d) 4 :g → definida por 4( )2

x xg x

+= .

10 – Sejam as funções :f B A→ e :g C A→ tais que B C B C

f g∩ ∩

= . Mostre que se h f g= ∪

então:

a) h é uma função de B C A∪ → ;

b) B

f h= e C

g h= .


19

11 – Esboce o gráfico das funções reais definidas pelas sentenças abaixo determinando domínio,

imagem.

a) ( )2

x xf x

+= b) ( ) 1

xf x

x= +

c) ( ) ( 1)( 2)f x x x= − + d) 4

2

1( )

1

xf x

x

−=

−

e) 2( ) 2 3f x x x= − − + f) 2( ) 1f x x x= − +

g) 2( ) ( 1)f x x x x= + − h) 3( ) ( 2) 1f x x= + +

i) 2( )f x x x= − j) 1

( )x

f xx−

=

k) ( )f x x x⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦ l) ( )f x x⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

m) 1

( )f xx

= n) ( ) 1 4f x x= − +

o) 3 22

( )2

x xf x

x−

=−

p) 3 2 13 3

( )3

x x xf x

x− − −

=+

q) 2

3 2 se 1( )

se 1

x xf x

x x

⎧⎪ − <⎪⎪= ⎨⎪ ≥⎪⎪⎩ r)

2 4 se 3( )

2 1 se 3

x xf x

x x

⎧⎪ − <⎪⎪= ⎨⎪ − ≥⎪⎪⎩

s) 2

2

1 / se 0

( ) se 0 4

se 4

x x

f x x x

x x

⎧⎪ <⎪⎪⎪⎪= ≤ <⎨⎪⎪⎪− ≥⎪⎪⎩

t)

3 29 27 35 4 se 5( ) 5

7 se 5

x x xxf x xx

⎧⎪ + + + −⎪⎪ ≠ −⎪= ⎨ +⎪⎪ = −⎪⎪⎩

APENDICE – RESPOSTAS DOS EXERCÍCIOS E REFERENCIAS

1

REFERÊNCIAS

Parte I – Lógica Matemática

[1] ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica Matemática. Editora Nobel, 1984.

[2] DAGHLIAN, Jacob. Lógica e Álgebra de Boole, 3ª. edição. São Paulo, Atlas, 1990.

[3] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – conjuntos e funções, vol 1.

Atual, 2005.

[4] MACHADO, Nilson José. Lógica? é Lógico! – Coleção Vivendo a Matemática.

Scipinoe, 2000.

[5] LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos – Coleção Schaum. McGraw–Hill,

1972.

[6] MACHADO, Nilson José & CUNHA, Marisa Ortega. Lógica e linguagem cotidiana –

Coleção Tendências em Educação Matemática. Autêntica Editora, 2005.

[7] CRUZ, Angela & MOURA, José Eduardo. A Lógica na Construção dos Argumentos

– Notas em de Matemática Aplicada 14. SBMAC, 2004.

[8] CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funções

computáveis, lógica e os fundamentos da Matemática. São Paulo – Editora UNESP,

2006.

[9] FOSSA, John. Introdução às Técnicas de Demonstração em Matemática. Editora

Livraria da Física, 2009.

[10] CARAÇA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemática, 4ª. edição. Editora

Gradiva, Lisboa, 2002.

[11] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática? Editora Ciência Moderna,

Rio de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).

[12] STEWART, Ian. Mania de Matemática: diversão e jogos de Lógica matemática. Rio

de Janeiro, Jorge Zahar editora, 2005.

Parte II e IV – Conjuntos e Relações


2

[1] LIPSCHUTZ, Seymour. Teoria dos Conjuntos – Coleção Schaum. McGraw–Hill,

1972.

[2] LIMA, Elon L. A Matemática do Ensino Médio, volume 1. SBM, 2000.

[3] IEZZI, Gelson. Fundamentos de Matemática Elementar – conjuntos e funções, vol 1.

Atual, 2005.

[4] HALMOS, Paul. Teoria Ingênua dos Conjuntos – Coleção Clássicos da Matemática.

Livro de 1960 reeditado pela Ciência Moderna, 2001.

[5] LIMA, Elon L. Meu professor de matemática e outras histórias. Coleção do professor

de matemática. SBM, 1991.

[6] CARAÇA, Bento. Conceitos Fundamentais da Matemática. 4a edição, Gradiva,

Lisboa, 2002.

[7] CARNIELLI, Walter A. & EPSTEIN, Richard L. Computabilidade, funções

computáveis, lógica e os fundamentos da Matemática. São Paulo – Editora UNESP,

2006.

[8] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática?. Ed. Ciência Moderna, Rio

de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).

Parte III – Conjunto dos Números Reais (ou Números e Conjuntos Numéricos)

[1] LIMA, Elon Lages. A Matemática do Ensino Médio, volume 1. SBM, 2000.

[2] RIPOLL, Jaime B., RIPOLL, Cydara C. e SILVEIRA, José Francisco P. Números

Racionais, Reais e Complexos. Editora UFRGS, 2006.

[3] LIMA, Elon L. Análise Real, vol 1 – Coleção Matemática Universitária. Rio de

Janeiro, IMPA, 1997.

[4] AVILA, Geraldo. Análise Matemática para Licenciatura. Edgard Blücher, 2006.

[5] MILIES, Cesar P. & COELHO, Sonia P. Números: uma introdução à Matemática.

EdUSP, 2001.

[6] DOMINGUES, Hygino H. Fundamentos de Aritmética. Atual Editora, 1991.


3

[7] FERNANDES, Ângela Maria V. [et al.]. Fundamentos de Álgebra. Editora UFMG,

2005.

[8] NIVEN, Ivan. Números Racionais e Irracionais. SBM, 1984.

[9] FIGUEIREDO, Djairo G. Números irracionais e transcendentes. Coleção iniciação

cientifica. SBM, 2002.

[10] MENDES, Iran Abreu. Números: o simbólico e o racional na história. São Paulo,

Editora Livraria da Física, 2006.

[11] CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos Fundamentais da Matemática, 4a edição,

Gradiva, Lisboa, 2002.

[12] COURANT, R e ROBBINS, H. O que é a Matemática?. Ed. Ciência Moderna, Rio

de Janeiro, 2000 (tradução do original What is Mathematics? 1969).

Artigos e revistas

[1] Geraldo Ávila. Cantor e a Teoria dos Conjuntos. RPM, número 43, páginas 6–14,

2000.

[2] Christian Q. Pinedo. História da Teoria dos conjuntos. Monografias em Ensino da

Matemática vol. 1(2002), No. 01, pp. 139-150. IFBA (Pato Branco, PR).

[3] Irineu Bicudo. Peri apodeixeos/de demonstratione. In Educação Matemática:

pesquisa e movimento, Maria Aparecida V. Bicudo e Marcelo C. Borba

(organizadores). São Paulo, Cortez editora, 2004.

[4] Ana Catarina P. Hellmeister. Lógica através de exemplos: vamos usar a RPM?.

RPM, número 47, páginas 32–37, 2001.

[5] Iaci Malta. Linguagem, leitura e Matemática in Disciplinas Matemáticas em cursos

superiores: reflexões, relatos, propostas. Helena Noronha Cury (organizadora).

EDPUCRS, Porto Alegre, 2004.

[6] As diferentes faces do infinito – Edição especial, Cientific American Brasil, n° 15.

[7] RPM – Revista do Professor de Matemática, diversos números, SBM.

[8] Desvendando os números reais. Cristina Cerri, USP.


4

[9] A construção dos números reais nos ensinos fundamental e médio. Cydara C. Ripoll,

UFRGS.

[10] João Carlos Sampaio e Pedro Luiz Malagutti. Mágicas, Matemáticas e outros

Mistérios – III Bienal da Sociedade Brasileira de Matemática - UFGO

Divulgação e História da Matemática

[1] EVES, Howard. Introdução à História da Matemática. Unicamp, 2002.

[2] IFRAH, Georges. Os números – a história de uma grande invenção, 2ª edição. Globo,

1989.

[3] BOYER, Carl B. História da matemática, 2ª. Edição. Edgard Blücher, 1998.

[4] GUNDLACH, Bernard H. Tópicos de história da matemática para uso em sala de

aula: Números e numerais e Computação. Atual editora, 1998.

[5] MAOR, Eli. e : a história de um número. Record, 2003.

[6] AABOE, Asger. Episódios da história antiga da matemática. SBM, 2002.

[7] KAPLAN, Robert. O nada que existe – uma história natural do zero. Editora Rocco,

2001.

[8] ACZEL, Amir O. O Mistério de Aleph – A Matemática, a cabala e a procura pelo

infinito. Rio de Janeiro, Editora Globo, 2003.

[9] GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências – um passeio histórico pelo maravilhoso

mundo da Matemática. São Paulo, Editora Livraria da Física, 2006.

[10] NETZ, Reviel & NOEL, William. Códex Arquimedes – como um livro de orações

revelou a genialidade de um dos maiores cientistas da antiguidade. Rio de Janeiro,

Record, 2009.

conjuntos nÚmeros reais e relaÇÕes - …cattai.mat.br/.../docs/logica/eron_conjuntos_reais... ·...

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