sistemas numéricos
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Sistemas Numéricos
Sistemas Numéricos
• Existem diversos sistemas numéricos, o mais comum que utilizamos no dia-a-dia é o sistema decimal.
• O sistema decimal é chamado assim por ser baseado em 10 dígitos (de 0 a 9). Diz-se de base 10.
• Os outros sistemas numéricos são compostos de bases diferentes.
Sistema Decimal
• Para entender melhor outros sistemas numéricos, é necessário relembrar algumas regras do sistema decimal.
• Um número no sistema decimal pode ser decomposto em um somatório de produtos de potências de base 10.
• Exemplos:1234 = 1 x 1000 + 2 x 100 + 3 x 10 + 4 x 11234 = 1 x 103 + 2 x 102 + 3 x 101 + 4 x 100
16920 = 1 x 104 + 6 x 103 + 9 x 102 + 2 x 101 + 0 x 100
Sistema Decimal
• Para somar 2 números decimais basta seguir os passos dos próximos slides.– Esses passos todos já viram no ensino básico.
• Como exemplo vamos somar os números 1234 e 493.
• Os mesmos passos são utilizados para outros sistemas numéricos.
Somando 2 números decimais
1 2 3 4+ 4 9 3
Alinham-se os 2 números a direita,um abaixo do outro.
Somando 2 números decimais
1 2 3 4+ 4 9 3
7
Da direita para a esquerda, somam-se osdígitos.
Somando 2 números decimais
1 2 3 4+ 4 9 3
12 7
Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o daesquerda sobe para o próximo dígito.
Somando 2 números decimais
11 2 3 4
+ 4 9 32 7
Se a soma resultar em 2 dígitos, o da direita fica, e o daesquerda sobe para o próximo dígito.
Somando 2 números decimais
11 2 3 4
+ 4 9 37 2 7
A soma continua incluindo os dígitos quevieram de somas anteriores.
Somando 2 números decimais
11 2 3 4
+ 4 9 31 7 2 7
Em alguns casos, um dos números não possui osdígitos mais a esquerda, é só considerar zero.
Somando 2 números decimais
11 2 3 4
+ 4 9 31 7 2 7
Após somar todos os dígitos, tem-se oresultado final da soma.
Sistema Binário
• Sistema de base 2, ou seja, 2 dígitos (0 e 1).• Sistema utilizado internamente pelos
computadores.– Dígito 0 significa a ausência de corrente elétrica.– Dígito 1 significa a presença de corrente elétrica.
• Assim como no sistema decimal, vários dígitos podem formar um número maior.– Exemplo: o número 11001011 em binário
corresponde ao número 203 em decimal.
Sistema Binário
• Assim como os números decimais podem ser decompostos em potências de base 10, um número binário pode ser decomposto em potências de base 2.
• Exemplos:1110 = 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
1110 = 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 11110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14
Sistema Binário
• Tabela de alguns números binários:Decimal Binário
0 0
1 1
2 10
3 11
4 100
5 101
6 110
7 111
Decimal Binário
8 1000
9 1001
10 1010
11 1011
12 1100
13 1101
14 1110
15 1111
Decimal Binário
16 10000
17 10001
18 10010
19 10011
20 10100
21 10101
22 10110
23 10111
Sistema Binário
• Para converter um número de binário para decimal basta decompô-lo em suas bases:– Exemplo:1101101=1x26+1x25+0x24+1x23+1x22+0x21+1x20
1101101=1x64+1x32+0x16+1x8+1x4+0x2+1x11101101=1x64+1x32+1x8+1x4+1x11101101=64+32+8+4+11101101=109
Sistema Binário
• Para converter um número de decimal para binário, é preciso encontrar quais as bases binárias que o formam.
• Veremos os passos nos próximos slides.• Como exemplo vamos converter o número
233 para binário.
Sistema Binário
233 Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256
Primeiro monta-se a tabela de bases binárias
Sistema Binário
233128+105
Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256
Agora decompôe-se o resto do número (105) na maior basemenor que ele.Neste caso a base escolhida é 128.
Sistema Binário
233128+105128+64+41
Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256
Nos próximos passos decompõe-se o número decimal na maior basebinária menor que o número.Neste caso a base escolhida é 64.
Sistema Binário
233128+105128+64+41128+64+32+9
Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256
A decomposição continua até que o número inicial sejatotalmente decompostos em bases binárias.
Sistema Binário
233128+105128+64+41128+64+32+9128+64+32+8+1
Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256
A decomposição continua até que o número inicial sejatotalmente decompostos em bases binárias.
Sistema Binário
233128+64+32+8+127+26+25+23+20
Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256
Após a decomposição, os valores são convertidospara suas potências de base 2.
Sistema Binário
233128+64+32+8+127+26+25+23+20
1x27+1x26+1x25+1x23+1x20
Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256
Agora as potências utilizadas são multiplicadas por 1.
Sistema Binário
233128+64+32+8+127+26+25+23+20
1x27+1x26+1x25+1x23+1x20
1x27+1x26+1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20
Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256
Neste caso, algumas potências como 24 e 22 não aparecem.As potências faltantes são inseridas sendo multiplicadas por zero.
Sistema Binário
233128+64+32+8+127+26+25+23+20
1x27+1x26+1x25+1x23+1x20
1x27+1x26+1x25+0x24+1x23+0x22+0x21+1x20
11101001
Base Binária Valor Decimal20 121 222 423 824 1625 3226 6427 12828 256
Terminada a decomposição em potências.Base separar os multiplicadores para obter o número binário.
Somando dois números binários
• Para somar dois número binários, utiliza-se o mesmo esquema de somar dois números decimais.
• Como exemplo, vamos somar os números 10011010010 e 111101101.
Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Alinham-se os números a direita e a soma começa da direita para a esquerda.
Somando dois números binários
1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0+ 1 1 1 1 0 1 1 0 1
10 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.
Somando dois números binários
11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 10 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.
Somando dois números binários
1 11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.
Somando dois números binários
1 1 11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 10 1 0 1 1 1 1 1 1
Nos casos que a soma resultar em dois dígitos, o dígito da direita permanece,e o dígito da esquerda sobe para a próxima soma.
Somando dois números binários
1 1 11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 11 0 1 0 1 1 1 1 1 1
Em alguns casos, um dos números não possui osdígitos mais a esquerda, é só considerar zero.
Somando dois números binários
1 1 11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 11 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
Somando dois números binários
1 1 11 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0
+ 1 1 1 1 0 1 1 0 11 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1
Após somar todos os dígitos, tem-se oresultado final da soma.
Outros Sistemas Numéricos
• Sistema Hexadecimal:– Base 16– Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F– Exemplo: A12C0D4– Muito utilizado para ler números grandes de sistemas
computacionais• Sistema Octal:– Base 8:– Dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7– Exemplo: 705242– Pouco utilizado na prática
Outros Sistemas Numéricos• Se você tem um número qualquer, por exemplo, 1001, como saber
em qual sistema numérico ele está?– No caso do 1001, ele pode pertencer a qualquer um dos 4 sistemas
numéricos vistos, pois todos eles possuem os dígitos 0 e 1.• Para dizer explicitamente a base em que se encontra um número, é
só adicionar o número da base do sistema numérico no final do número:– Binário: 10012
– Decimal: 100110
– Hexadecimal: 100116
– Octal: 10018
• No caso dos números decimais, é comum não mostrar o número da base.