Resolução de sistemas linearesMétodos Numéricos para Engenharia I

Pedro Augusto Munari Junior [munari@icmc.usp.br]

Aula de hoje...

Introdução

Número de soluções

Métodos para resolução Eliminação de Gauss Fatoração LU

Exemplos e algoritmos

Introdução

Sistemas lineares são de grande importância para a descrição e resolução de problemas que surgem nas mais diversas áreas da ciência e engenharia.

Geometria Redes elétricas, hidráulicas, de tráfego, ... Distribuição de calor Química Economia Programação linear Estatística Jogos ...(http://aix1.uottawa.ca/~jkhoury/system.html)

Introdução

Interpretação geométrica para sistemas de duas variáveis

23

32

21

21

xx

xx

Introdução

1x 1x

1x-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

3

4

23

32

21

21

xx

xx2x

1x

Introdução

Por que utilizar um método?

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

Introdução

Notação

bAx

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

nx

x

x

x2

1

mb

b

b

b2

1

,nx ,nmA .mb

Número de soluções

Dado um sistema linear, apenas uma das situações abaixo pode ocorrer:

O sistema tem solução única O sistema tem infinitas soluções O sistema não admite solução

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

3

4

Número de soluções

23

32

21

21

xx

xx2x

1x

Solução única

-2 -1 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

2

4

6

Número de soluções

624

32

21

21

xx

xx2x

1x

Infinitas soluções

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

2

4

Número de soluções

224

32

21

21

xx

xx2x

1x

Não admite solução

Número de soluções

Graficamente... Solução única:

Retas concorrentes. A solução é o ponto onde as retas se cruzam.

Infinitas soluções: Retas coincidentes. Todos os pontos sobre

a reta são soluções do sistema. O sistema não admite solução:

Retas paralelas. As retas não se cruzam e, portanto, não existe nenhum ponto que esteja sobre as duas ao mesmo tempo.

Número de soluções

No caso geral...

Precisamos analisar o Posto e a Imagem da matriz A, de acordo com suas dimensões m e n.

,nx bAx ,nmA .mb

-0.5 0.5 1 1.5 2 2.5

-2

-1

1

2

3

4

Número de soluções

2x

2)Im( A

23

32

21

21

xx

xx

Solução única

2)( Aposto

Número de soluções

As colunas de A são Linearmente Independentes e formam uma base do R2.

b pode ser escrito como combinação linear das colunas de A.

23

32

21

21

xx

xx)Im(Ab

Sistema compatível determinadoSistema compatível determinado

-2 -1 1 2 3 4 5

-6

-4

-2

2

4

6

Número de soluções

624

32

21

21

xx

xx2x

1x

Infinitas soluções

2)Im( A

1)( Aposto

Número de soluções

As colunas de A são Linearmente Dependentes e não formam uma base do R2.

Basta uma coluna de A para escrever b.

624

32

21

21

xx

xx)Im(Ab

Sistema compatível Sistema compatível inindeterminadodeterminado

-1 -0.5 0.5 1 1.5 2

-2

2

4

Número de soluções

224

32

21

21

xx

xx

Não admite solução

2)Im( A

1)( Aposto

Número de soluções

As colunas de A são Linearmente Dependentes e não formam uma base do R2.

b não pode ser escrito como combinação das colunas de A.

224

32

21

21

xx

xx)Im(Ab

Sistema Sistema inincompatívelcompatível

Número de soluções

Essas situações se estendem para o caso geral, sempre que m = n.

Quando m ≠ n, temos: posto(A) ≤ min{m, n} se m < n o sistema nunca pode ter solução

única, pois posto(A) < n se m > n o sistema pode não ter solução

Número de soluções

Quadro-resumo...

Matriz A m = n m < n m > n

Posto completo

Posto deficienteb Im(A)

b Im(A)

Métodos de resolução

Métodos de resolução

Veremos aqui métodos para a resolução sistemas com n linhas e n variáveis (a matriz A deve ter posto completo).

Os métodos de resolução podem ser divididos em dois grupos: Métodos Diretos Métodos Iterativos

Veremos dois métodos diretos: Eliminação de Gauss e Fatoração LU

Métodos de resolução

Mas... só uma pergunta antes de começar...

Se a matriz A é quadrada, por que não

fazer x = A-1 b ?

Eliminação de Gauss

mnmn

nn

nn

dxc

dxcxc

dxcxcxc

22222

11212111

(2)

Eliminação de Gauss

Qual sistema é mais fácil de ser resolvido?

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

2211

22222121

11212111

(1)

Eliminação de Gauss

Algoritmo...

Eliminação de Gauss

Consiste em transformar o sistema a ser resolvido em um sistema triangular equivalente, por meio de operações elementares. A solução é então obtida, resolvendo-se um sistema triangular.

Eliminação de Gauss

zerar estes elementos

Eliminação de Gauss

Operações elementares: Trocar duas equações; Multiplicar uma equação por uma

constante não-nula; Adicionar um múltiplo de uma equação

a uma outra equação.

Garantem que o sistema obtido é equivalente ao original

Eliminação de Gauss

nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

2

1

21

22221

11211

Eliminação de Gauss

)1(

)1(2

)1(1

)1()1(2

)1(1

)1(2

)1(22

)1(21

)1(1

)1(12

)1(11

nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

Eliminação de Gauss

)1(

)1(2

)1(1

)1()1(2

)1(1

)1(2

)1(22

)1(21

)1(1

)1(12

)1(11

nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

Zerar esses elementosutilizando operações

elementares

Eliminação de Gauss

)1(

)1(2

)1(1

)1()1(2

)1(1

)1(2

)1(22

)1(21

)1(1

)1(12

)1(11

nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

pivô

Zerar esses elementosutilizando operações

elementares

Eliminação de Gauss

)2(

)2(2

)1(1

)2()2(2

)2(2

)2(22

)1(1

)1(12

)1(11

0

0

nnnn

n

n

b

b

b

aa

aa

aaa

Eliminação de Gauss

)2(

)2(2

)1(1

)2()2(2

)2(2

)2(22

)1(1

)1(12

)1(11

0

0

nnnn

n

n

b

b

b

aa

aa

aaa

Zerar esses elementosutilizando operações

elementares

pivô

Eliminação de Gauss

Eliminação de Gauss

)1(

)1(2

)1(1

)1()1(2

)1(1

)1(2

)1(22

)1(21

)1(1

)1(12

)1(11

nnnnn

n

n

b

b

b

aaa

aaa

aaa

)1(11

)1(1

1 a

am i

i Multiplicador

12122 LmLL

11LmLL nnn

...

Iteração 1

Eliminação de Gauss

)2(

)2(2

)1(1

)2()2(2

)2(2

)2(22

)1(1

)1(12

)1(11

0

0

nnnn

n

n

b

b

b

aa

aa

aaa

)1(1

)1()2(

)1(1

)1()2(

mbbb

maaa

ii

jijij

Obs.: devemos ter , para todo k = 1, ..., n0)( kkka

Eliminação de Gauss

Exemplo

12 5

511296

20523

31

321

321

xx

xxx

xxx

Eliminação de Gauss

Algoritmo...

Eliminação de Gauss

Estratégias de pivoteamento

O que acontece se o pivô for nulo? Pivô próximo de zero pode levar a

resultados totalmente imprecisos. Para contornar esses dois problemas

deve-se adotar uma estratégia para a escolha de um “bom” pivô.

Eliminação de Gauss

Pivoteamento parcial Escolher para pivô o elemento de maior

módulo na coluna, dentre os que ainda irão atuar no processo de eliminação.

Pivoteamento completo Escolher para pivô o elemento de maior

módulo dentre todos os elementos que ainda irão atuar no processo de eliminação

Eliminação de Gauss

601082

48104

4111236

7532

432

4321

4321

4321

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

Fatoração LU

Fatoração LU

Decompor a matriz A em um produto de dois fatores:L: matriz triangular inferiorU: matriz triangular superior

Ax = b LU x = b

A = LU

Fatoração LU

U é a matriz triangular resultante na eliminação de Gauss. Quem é L então?

Por que utilizar a fatoração LU se vamos obter a mesma matriz da eliminação de Gauss?

Fatoração LU

U é a matriz triangular resultante na eliminação de Gauss. Quem é L então?

Por que utilizar a fatoração LU se vamos obter a mesma matriz da eliminação de Gauss?

Continua na próxima aula...

Bibliografia

Ruggiero, MAG; Lopes, VLR. Cálculo numérico. 2ª edição. 1998.