apostila de introdução aos métodos numéricos de introdução aos métodos numéricos parte ii 2o...

Apostila de Introdução

Aos Métodos Numéricos

PARTE II

2o Semestre - 2002

Profa. Salete Souza de Oliveira Buffoni

2

Índice

SISTEMAS LINEARES....................................................................................................................3

INTRODUÇÃO ....................................................................................................................................3

MÉTODOS DIRETOS: ELIMINAÇÃO DE GAUSS ...................................................................................4

Sistema linear com n=3 ...............................................................................................................5

Exemplo: ......................................................................................................................................7

SISTEMAS LINEARES....................................................ERRO! INDICADOR NÃO DEFINIDO.

Minimizando erros numéricos: Estratégia de Pivoteamento.....................................................10

Avaliando os erros na solução de um sistema linear ................................................................12

QUARTA LISTA DE EXERCÍCIOS ............................................................................................15

MÉTODOS ITERATIVOS: GAUSS-SEIDEL .............................................................................16

Introdução..................................................................................................................................16

Descrição do Método.................................................................................................................17

Exemplo: ....................................................................................................................................18

CRITÉRIOS DE CONVERGÊNCIA DO MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL .............................20

Critério de Sassenfeld ................................................................................................................20

Critério das Linhas ....................................................................................................................21

QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS..............................................................................................24

SEXTA LISTA DE EXERCÍCIOS ................................................................................................25

3

Sistemas Lineares

Introdução

Um sistema linear consiste em um conjunto de n equações lineares envolvendo m variáveis (xi).

Uma equação linear é aquela que só apresenta termos que são proporcionais às variáveis (termos do

tipo ai⋅xi), isto é, não apresenta nenhuma função aplicada a variável xi, como xn, ln(x), cos(x), como

ilustrado abaixo envolvendo m variáveis (x1, x2, x3,...,xm):

bxaxaxaxa mm =⋅++⋅+⋅+⋅ L332211

Um sistema linear quadrado é aquele em que o número de variáveis é igual ao número de

equações (m=n). Portanto, um sistema linear quadrado pode ser escrito na forma:

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=⋅++⋅+⋅

=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅

L

M

L

L

2211

22222121

11212111

Resolver um sistema linear significa encontrar os valores numéricos das variáveis x1, x2,

x3,..., xn que satisfazem todas as equações do sistema.

Duas perguntas fundamentais devem ser feitas em relação a um sistema linear:

Existe solução para o sistema linear?

Em caso afirmativo, será que ela é única?

Cada sistema linear estudado deve ser analisado a fim de se obter as respostas para essas

perguntas. Três casos são possíveis:

O sistema não possui nenhuma solução (sistema impossível);

O sistema possui uma solução (sistema possível e único);

O sistema possui infinitas soluções.

É preciso manter em mente essas três possibilidades de comportamento de um sistema linear

a fim de evitar surpresas e poder interpretar a solução de um problema.

4

Sistemas de equações lineares aparecem com bastante freqüência na resolução de problemas

práticos envolvendo as mais variadas situações. Estima-se que aproximadamente 75% dos

problemas científicos envolvem a resolução de um sistema de equações lineares. Um exemplo pode

ser visto no livro texto de M. A. G. Ruggiero.

Os métodos usados na resolução de sistemas lineares podem ser de dois tipos: diretos ou

iterativos. Métodos diretos são aqueles que, a menos de erros de arredondamento, fornecem a

solução exata do sistema linear, caso ela exista. Métodos iterativos são equivalentes àqueles vistos

no módulo passado: a partir de uma estimativa inicial, repetimos determinado cálculo diversas

vezes, utilizando sempre a estimativa da etapa anterior como estimativa para a etapa seguinte.

Métodos Diretos: Eliminação de Gauss

O método direto que abordaremos no curso é o método da eliminação de Gauss. Neste método

procuramos reescrever um sistema linear quadrado como um sistema linear triangular, isto é, um

sistema da forma:

nnnn

nn

nn

bxa

bxaxa

bxaxaxa

=⋅

=⋅++⋅=⋅++⋅+⋅

M

L

L

22222

11212111

Esse sistema é de fácil resolução. Partindo-se da solução da última equação, que é dada por:

nn

nn a

bx =

obtém-se o resultados das outras equações recursivamente, isto é:

ii

n

ijjiji

i a

xab

x∑

+=

⋅−= 1

A fim de se transformar um sistema linear quadrado em um sistema linear triangular,

manipula-se as equações multiplicando-as por determinados fatores numéricos e subtraindo-as uma

5

das outras de forma a zerar os termos apropriados. Da álgebra linear, sabemos que essas operações

não alteram a solução do sistema.

Vamos verificar como essa manipulação pode ser feita para um sistema de 3 equações e 3

variáveis e depois podemos generalizar o procedimento para n dimensões.

Sistema linear com n=3

Um sistema linear quadrado com n=3 é dado pelas equações:

3333232131

2323222121

1313212111

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅=⋅+⋅+⋅

A fim de resolver esse sistema pelo método de eliminação de Gauss, vamos transforma-lo

em um sistema linear triangular, como mencionado anteriormente. Inicialmente, vamos multiplicar

a primeira equação pelo fator:

11

2121 a

am =

e subtraí-la da segunda equação. Essa primeira equação é chamada de linha pivô e o elemento a11 é

o elemento pivô. Pela expressão de m21 conclui-se que o elemento pivô não pode ser nulo. Caso isso

ocorra, essa linha deve ser trocada por outra linha que não apresente o pivô igual a zero.

Com essa operação, o sistema se transforma em:

3333232131

2323222

1313212111

0

bxaxaxa

bxaxa

bxaxaxa

=⋅+⋅+⋅

′=⋅′+⋅′+=⋅+⋅+⋅

onde,

12212222 amaa ⋅−=′

13212323 amaa ⋅−=′

12122 bmbb ⋅−=′

6

Em seguida, podemos multiplicar a primeira equação (a linha pivô) por:

11

3131 a

am =

e subtraí-la da terceira equação.


3333232

2323222

1313212111

0

0

bxaxa

bxaxa

bxaxaxa

′=⋅′+⋅′+

′=⋅′+⋅′+=⋅+⋅+⋅

onde,

12313232 amaa ⋅−=′

13313333 amaa ⋅−=′

13133 bmbb ⋅−=′

Note que, com essas operações, conseguimos transformar a segunda linha do sistema na

forma triangular. Para finalizarmos a triangulação do sistema, basta “zerar” o termo de x2 na terceira

equação. Para isso, vamos utilizar o mesmo procedimento usado anteriormente. Desta vez, a

segunda linha será a linha pivô e o elemento a’22 será o elemento pivô, que deve ser diferente de

zero. Mais uma vez, caso esse elemento seja nulo, essa linha deve ser trocada por outra linha que

não apresente um pivô igual zero. Caso isso não seja possível, ou seja, todas as outras linhas

apresentam o pivô nulo, o sistema não terá solução determinada.

Portanto, vamos multiplicar a segunda linha pelo fator:

22

3232 a

am

′′

=

e subtraí-la da terceira equação.


7

3333

2323222

1313212111

0 bxa

bxaxa

bxaxaxa

′′=⋅′′+

′=⋅′+⋅′=⋅+⋅+⋅

onde,

23323333 amaa ′⋅−′=′′

23233 bmbb ′⋅−′=′′

Com isso, obtivemos o sistema linear triangular que desejávamos. Esse sistema pode ser

resolvido de maneira recursiva, sendo o resultado dado por:

33

33 a

bx

′′′′

= ,

22

33

3232

22

32322 a

abab

a

xabx

′′′

′′⋅′−′=

′⋅′−′

=

e

11

33

313

22

33

3232

121

11

31321211 a

a

ba

a

abab

ab

a

xaxabx

′′′′

⋅−

′′′

′′⋅′−′⋅−

=⋅−⋅−

=

Esse procedimento pode ser estendido facilmente para sistemas com n>3. A única diferença

será o número maior de operações a serem realizadas.

Exemplo:

Vamos resolver o sistema de 4 equações e 4 incógnitas, dado por:

601082

48104

4111236

7532

432

4321

4321

4321

−=⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅+−⋅

=⋅+⋅+⋅−⋅−=⋅+⋅+−⋅

xxx

xxxx

xxxx

xxxx

8

Para facilitar a resolução do problema, vamos representa-lo na forma de uma matriz

aumentada, que corresponde a uma matriz cujos elementos são os fatores aii, e ela é “aumentada”

incluindo-se os fatores bi. Portanto, o sistema acima ficará na forma:

−−−−−

−−

6010820

481014

4111236

75312

A primeira linha será a linha pivô e o número 2 é o elemento pivô. Vamos utilizar essa linha

e esse elemento para zerar o primeiro elemento de cada linha seguinte. Portanto, multiplicando a

primeira linha por 6/2=3 e subtraindo-a da segunda linha, teremos:

( ) ( )

−−−−

=⋅−−−=⋅−=⋅−=⋅−−−=⋅−−−

6010820

481014

25374435113331203130326

75312

Podemos realizar a mesma operação para as outras duas linhas. Porém, vamos multiplicar a

primeira linha pelo fator 4/2=2 antes de subtraí-la da terceira linha, e no caso da quarta linha, não

precisamos realizar nenhuma operação, pois seu primeiro elemento já é igual a zero. Portanto,

teremos a matriz aumentada:

( ) ( )

−−−=⋅−−−=⋅−=⋅−=⋅−−−=⋅−

−−−

6010820

1827422584231012110224

254300

75312

Vamos continuar a triangulação do sistema zerando os elementos da segunda coluna da

terceira e quarta linha. Porém, devemos notar que a segunda linha, que seria a linha pivô desta

etapa, apresenta o elemento pivô igual a zero. Portanto, não podemos utiliza-la como linha pivô

nesta etapa. Devemos troca-la por outra linha. Vamos prosseguir, trocando a segunda linha pela

terceira. Com isso, a terceira linha passa a ser a linha pivô. Mais que isso, não precisamos realizar

nenhuma operação com a segunda linha, pois ela já apresenta o elemento da segunda coluna igual a

9

zero. Portanto, basta multiplicar a nova linha pivô por –2/1=-2 e subtrai-la da quarta linha, ou seja,

teremos:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

−=−⋅−−=−⋅−−=−⋅−−=−⋅−−−−

−−

242186062210024802120

254300

182410

75312

A próxima etapa corresponderia a operação que anularia o elemento da terceira coluna da

quarta linha. Porém, esse elemento já é nulo. Portanto, já podemos obter a solução desse sistema,

que será dada por:

x4 = -24/6 = -4

x3 = [25 – (-4)⋅(-4)]/3 = 3

x2 = [18 – (-2) ⋅(-4) – 4⋅3]/1 = -2

e

x1 = [-7 - 5⋅(-4) - 3⋅3 – (-1)⋅(-2)]/2 = 1

10

Minimizando erros numéricos: Estratégia de Pivoteamento

Um problema que pode ocorrer durante a resolução de um sistema linear pelo método da eliminação

de Gauss se refere a erros de arredondamento ou truncamento durante as operações envolvidas. A

fim de ilustrar esse problema e definirmos um procedimento que pode minimiza-lo, vamos

considerar o seguinte exemplo. Seja o sistema linear:

3814222

134311027

57524

321

321

321

=⋅+⋅+⋅=⋅−⋅+⋅

=⋅+⋅+

xxx

xxx

xxx

Antes mesmo de resolve-lo pelo método de eliminação de Gauss, podemos notar que ele

apresenta uma solução exata dada por x1=1, x2=1 e x3 =1 (substitua esses valores nas equações do

sistema acima para verificar que realmente eles correspondem à solução exata). Porém, vamos

resolve-lo utilizando esse método e, para ilustrar o problema provocado por arredondamentos,

vamos utilizar apenas 3 algarismos significativos durante todos os cálculos e comparar o resultado

obtido com essa solução exata. Ou seja, vamos supor que estamos usando uma calculadora que

representa números com apenas 3 algarismos.

Iniciamos a resolução do sistema escrevendo-o na forma de uma matriz aumentada, ou seja:

−

3814222

134311027

575241

A primeira linha será a linha pivô e devemos multiplica-la pelo fator 27/1 e subtrai-la da

segunda linha. Em seguida, multiplicamos essa linha por 22/1 e a subtraímos da terceira linha.

Portanto, teremos: (Fazendo truncamento)

×−=⋅−×−=⋅−−=⋅−=⋅−×−=⋅−×−=⋅−−=⋅−=⋅−

33

33

1021.15722381013.1522214864222012222

1041.157271341040.1522732427110012727

575241

Em seguida, a segunda linha será a linha pivô e devemos multiplica-la pelo fator –86/2=-43

e subtrai-la da terceira linha, ou seja, teremos:

11

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

×−=

=×−⋅−−×−

×−=

=×−⋅−−×−=⋅−−−

×−×−

4

33

4

33

33

1018.6

1041.1431021.1

1013.6

1040.1431013.10243860

1041.11040.120

575241

Com isso terminamos a triangulação do sistema, que será dado por:

43

4

33

32

321

106.18106.13

1014.110 40.12

57524

×−=⋅×−

×−=⋅×−⋅

=⋅+⋅+

x

xx

xxx

A partir dai, podemos calcular a solução desse sistema. A solução do sistema será dada por:

x3 = -61800/(-61300)=1.01

x2 =[ -1410 – (-1400)⋅1.01]/2 = 0.0

x1 = [57 - 52⋅1.01 -4⋅0.0]/1 = 4.5

Note que essa solução é muito diferente da solução exata que deveríamos ter encontrado. E

essa discrepância foi resultado dos arredondamentos e truncamentos que fizemos durante o cálculo

dos valores das variáveis xi.

A fim de minimizar os efeitos de arredondamento na solução de um sistema linear, utiliza-se

a chamada estratégia de pivoteamento. Nessa estratégia, no início de cada etapa em que uma coluna

da matriz aumentada deve ser zerada, escolhemos como linha pivô aquela que apresenta o elemento

pivô de maior módulo.

Portanto, no exemplo acima, iniciaríamos a solução do sistema trocando a segunda linha

pela primeira, pois a segunda linha apresenta um elemento pivô (primeiro elemento da linha) maior

que a primeira linha (27 > 1). Ou seja, teremos:

−

3814222

575241

134311027

Em seguida, multiplicamos a primeira linha (linha pivô) por 1/27 e a subtraímos da segunda

linha. Também devemos multiplica-la por 22/27 e subtrai-la da terceira linha. Com isso, teremos:

12

( )( )

−=⋅−=−⋅−−=⋅−=⋅−

=⋅−=−⋅−−=⋅−=⋅−−

711342722385.16327

22146.871102722202727

2222

52134271571.52327

15207.0110271402727

11

134311027

Mais uma vez, antes de iniciar a próxima etapa, devemos procurar pela linha que apresenta o

elemento pivô (o primeiro elemento não nulo) de maior módulo. Neste caso, será a terceira linha.

Portanto, vamos trocá-la pela segunda linha, o que resulta na matriz aumentada:

−−−

−

521.5207.00

715.166.870

134311027

Vamos agora multiplicar a linha pivô por (–0.07)/(-87.6) e subtrai-la da terceira linha, ou

seja:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

=−⋅−−−=⋅−

−−=−⋅−−−−

−−−

1.52716.8707.0521.525.166.87

07.01.5206.876.8707.007.00

715.166.870

134311027

A solução do sistema triangular que resultou dessas operações é dada por:

x1 = 52.1/52.1 = 1.0

x2 = [-71-16.5⋅1.0]/(-87.6) = 0.999

x3 = [134 – (-3)⋅1.0 – 110⋅0.999]/27 = 1.0

Portanto, obtivemos uma solução muito próxima da solução exata do sistema utilizando a

estratégia do pivoteamento.

Avaliando os erros na solução de um sistema linear

Como vimos na seção anterior, devido aos erros numéricos de arredondamento ou truncamento e

devido ao grande número de operações realizadas na resolução de sistemas lineares, o resultado que

obtemos está sujeito a erros, ou seja, pode não representar a solução exata do problema. Portanto,

precisamos sempre avaliar a solução obtida, ou seja, precisamos nos perguntar qual é o erro do

resultado que obtivemos.

13

Para facilitar a visualização de como podemos avaliar esses erros, vamos escrever um

sistema de equações lineares da forma matricial, ou seja, o sistema linear:

nnnnnn

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=⋅++⋅+⋅

=⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅

L

M

L

L

2211

22222121

11212111

pode ser escrito como,

A⋅x = b

onde,

=

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

A

L

MOMM

L

L

21

22221

11211

,

=

nx

x

x

xM2

1

e

=

nb

b

b

bM2

1

Ao resolver esse sistema devido aos erros numéricos cometidos, obtemos como solução, ao

invés dos valores x, valores que chamaremos de x’. Portanto, o erro será dado por:

Erro = x – x’.

14

Uma operação simples que podemos realizar para verificar a diferença entre o valor real (x)

e o valor que obtivemos (x’) é calcularmos:

A⋅x’ = b’

Podemos em seguida calcular a diferença entre b e b’, que chamaremos de resíduos:

Resíduo = b – b’

Quanto menor for o resíduo, menor será o erro que cometemos. Note que o resíduo não é o

erro, mas apenas uma estimativa do mesmo, pois:

Resíduo = b – b’ = A⋅x - A⋅x’ = A⋅(x – x’) = A⋅erro

15

Quarta Lista de Exercícios

1 ) O que é um sistema de equações lineares quadrado?

2 ) A fim de se poder interpretar a resolução de um sistema de equações lineares é preciso saber

quais são os possíveis tipos de soluções que podemos encontrar. Cite os três tipos de soluções

possíveis de um sistema linear e comente o que você faria em cada caso.

3 ) No método de eliminação de Gauss, um sistema linear quadrado é transformado em um sistema

triangular. Qual a vantagem de se fazer isso?

4 ) Dado o sistema linear,

72.48.26.3

15.21.4

84.24.25.1

2.822.3

41

421

431

321

=⋅+⋅=+⋅+⋅=⋅−⋅+−

=⋅++⋅

xx

xxx

xxx

xxx

Encontre sua solução através do método de eliminação de Gauss.

16

Métodos Iterativos: Gauss-Seidel

Introdução

É bastante comum encontrarmos sistemas lineares que envolvem uma grande porcentagem de

coeficientes nulos. Esses sistemas são chamados de sistemas esparsos. Para esses tipos de sistemas,

o método de Eliminação de Gauss não é o mais apropriado, pois ele não preserva essa esparsidade,

que pode nos ser útil por facilitar a resolução do sistema. Um método mais apropriado para esse tipo

de sistema é o método iterativo de Gauss-Seidel.

Este método consiste em encontrar, dada uma estimativa inicial xi0, uma seqüência de

estimativas xik que após um número suficientemente grande de iterações convirja para a solução do

sistema de equações.

nnnn x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

210

424

14

04

323

13

03

222

12

02

121

11

01

MMMM

→→→

Uma outra vantagem deste método é o fato de não estar tão suscetível ao acúmulo de erros

de arredondamento como o método de Eliminação de Gauss. Porém, como todo processo iterativo,

este método sempre apresentará um resultado aproximado, que será tão próximo do resultado real

conforme o número de iterações realizadas. Além disso, também precisamos nos preocupar com a

convergência desse método.

17

Descrição do Método

Seja o seguinte sistema de equações:

nb nx.nna 1nx.1nna ... 3x.na 2x.na 1x.na

3b nx.n3a 1nx.1n3a ... 3x.33a 2x.32a 1x.31a



1321 =+−−++++

=+−−++++

=+−−++++

=+−−++++

M

Isolando xi a partir da linha i, temos :

( )

( )

( )

( )11,21

311,3232231333

3

211,2323121222

2

111,1313212111

1

......1

....1

....1

....1

21 −−

−−

−−

−−

−−−−=

−−−−=

−−−−=

−−−−=

nnnnnnnn

n

nnnn

nnnn

nnnn

xaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

xaxaxaxaba

x

M

18

O processo iterativo é obtido a partir dessas equações, fazendo:

+

−−−−+−+−=+

−−−−−+−+−=+

−−−−−−+−=+

−−−−−−−=+

1k1nx.1n,na...1k

2x.2na1k1x.1nanb

nna

11knx

knx.n3ak

1nx.1n,3a...1k2x.32a1k

1x.31a3b33a

11k3x

knx.n2ak

1nx.1n,2a...k3x.23a1k

1x.21a2b22a

11k2x

knx.n1ak

1nx.1n,1a...k3x.13ak

2x.12a1b11a

11k1x

Como todo processo iterativo, precisamos definir um critério de parada. Podemos usar a

diferença relativa entre duas iterações consecutivas para estabelecer o critério de parada. Define-se

por diferença relativa a expressão:

≠

=

=

≠−

≤≤

=

+

+

+

+

+

=+

0 x

0 x se 1

0 x x se 0

0 x se x

kixx

.Máx ni1

d

ki

1k

i

ki

1ki

1k

i1k

i

1ki

1kR

Quando o valor de dRk+1 for pequeno o bastante para a precisão desejada, podemos para o

processo iterativo.

Exemplo:

Resolva:

19

.210.5 kRd com

0z6y3x3

6zy4x3

5zyx5

−≤

=++=++

=++

( )

( )

( ) ( )yxzyxz

zxy

zyx

+−=⇒+−=

−−=

−−=

2

133

6

1

364

1

55

1

kx kxd

ky kyd

kz kzd k

Rd

-1 - 0 - 1 - -

0,8 2,25 0,65 1 -0,725 2,379 2,379

1,015 0,212 0,92 0,293 -0,967 0,250 0,293

1,009 0,006 0,985 0,066 -0,997 0,030 0,066

1,002 0,007 0,998 0,0013 -1 0,003 0,013

x = 1,002 y = 0,998 z = -1

Verificação:

5.(1,002) + (0,998) + (-1) = 5,008 ≅ 5 ok

3.(1,002) + 4.(0,998) + (-1) = 5,998 ≅ 6 ok

3.(1,002) + 3.(0,998) + 6.(-1) = 0 ok

20

Critérios de Convergência do Método de Gauss-Seidel

Como todo processo iterativo, a sua convergência para a solução exata não é garantida para

qualquer sistema. Existem certas condições que devem ser satisfeitas por um sistema de equações

lineares para se garantir a convergência do método. Uma condição suficiente, porém não necessária,

para a convergência do método de Gauss-Seidel para um dado sistema linear, corresponde ao

Critério de Sassenfeld.

Critério de Sassenfeld

Vamos definir as quantidades βi dadas por:

∑=

⋅=n

jja

a 21

111

1β

e

+⋅⋅= ∑∑

+=

−

=

n

ijij

i

jjij

iii aa

a 1

1

1

1ββ , para i = 2, 3, ..., n.

onde n é a ordem do sistema linear que queremos resolver e aij são os coeficientes das equações que

compõem esse sistema.

O Critério de Sassenfeld garante que o método de Gauss-Seidel convergirá para um dado

sistema linear se a quantidade M, definida por:

ini

M βmax1 ≤≤

=

for menor que 1 (M<1).

Exemplo:

Mostre que a solução do sistema linear dado pelas equações:

0.1048.02.14.0

0.12.02.01.0

8.73.06.036.0

4.02.02.02

4321

4321

4321

4321

−=⋅+⋅+⋅+⋅=⋅++⋅−⋅−−=⋅−⋅−⋅+⋅

=⋅+⋅−+⋅

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

convergirá pelo método de Gauss-Seidel.

21

Para realizar essa verificação, vamos utilizar o critério de Sassenfeld. Inicialmente, é preciso

se calcular os valores das quantidades βi. No caso do sistema acima, elas serão dadas por:

( )

( )

( )

( ) 2736.0358.08.044.02.17.04.04

1

358.02.044.02.07.01.01

1

44.03.06.07.06.03

1

7.02.02.012

1

4

3

2

1

=⋅+⋅+⋅⋅=

=+⋅+⋅⋅=

=++⋅⋅=

=++⋅=

β

β

β

β

Em seguida, é preciso verificar qual dessas quantidades tem o maior valor. Neste caso, será

a quantidade β1 que é igual a 0.7 (maior valor entre todos os βi). Portanto, como:

7.0max41

==≤≤

ii

M β

é menor que 1, sabemos que a solução desse sistema irá convergir usando o método de Gauss-

Seidel.

Critério das Linhas

Existe um outro critério que pode garantir a convergência do método de Gauss-Seidel para um dado

sistema, chamado de critério das linhas. Segundo esse critério, um determinado sistema irá

convergir pelo método de Gauss-Seidel, se:

ii

n

ijj

ij aa <∑≠=1

, para i=1, 2, 3, ..., n.

Exemplo:

O sistema do exemplo acima satisfaz o critério das linhas e essa verificação pode ser feita de

maneira quase imediata, observando-se que:

22

4.28.02.14.04

5.02.02.01.01

5.13.06.06.03

4.12.02.012

43424144

34323133

24232122

14131211

=++=++>=

=++=++>=

=++=++>=

=++=++>=

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

É importante notar alguns detalhes sobre esses critérios. Ambos os critérios mencionados

acima são condições suficientes, porém não são necessárias para garantir a convergência da solução

de um sistema linear pelo método de Gauss-Seidel. Isso significa que um sistema pode não

satisfazer esses critérios e ainda convergir.

Por exemplo, um sistema pode não satisfazer o critério das linhas e satisfazer o critério de

Sassenfeld, o que garantirá sua convergência.

Exemplo:

Seja o sistema:

1826

2310

21

21

=⋅+⋅=+⋅

xx

xx

Note que esse sistema não satisfaz o critério das linhas, pois:

62 2122 =<= aa

porém, ele satisfaz o critério de Sassenfeld:

( ) 3.01.062

1

1.0110

1

2

1

=⋅⋅=

=⋅=

β

β ⇒ 13.0max

41

<==≤≤

ii

M β

que garantirá sua convergência.

Outra observação importante se refere à ordem com que as equações aparecem no sistema.

Apesar da ordem das equações não alterar a solução do sistema, ela pode alterar a convergência do

mesmo pelo método da Gauss-Seidel.

Exemplo:

Seja o sistema:

23

1535

19104

21

21

=⋅+⋅=⋅+⋅−

xx

xx

Na forma como ele está representado acima, ele não satisfaz o critério das linhas (verifique

isso), portanto sua convergência não é garantida. Porém, se trocarmos a ordem das duas equações, o

sistema satisfaz esse critério, e sua convergência pelo método de Gauss-Seidel é garantida

(verifique isso também).

24

Quinta Lista de Exercícios

1 ) No método de Gauss-Seidel, como em todo método iterativo, a convergência na

resolução do problema para a solução procurada não é sempre garantida. Que

condição um sistema linear deve satisfazer para que esse método convirja para a sua

solução?


923

1

33

321

21

31

=⋅++⋅=−=+⋅

xxx

xx

xx

Verifique se o método de Gauss-Seidel convergiria para o sistema acima:

(a) Segundo o critério das linhas;

(b) Segundo o critério de Sassenfeld;

(c) O que você pode concluir da solução dos dois itens anteriores?


12

12

12

12

43

432

21

321

=⋅+−=−⋅+−

=−⋅=−⋅+

xx

xxx

xx

xxx

(a) O sistema irá convergir pelo método iterativo de Gauss-Seidel, isto é, ele satisfaz o critério

de Sassenfeld?

(b) Se as duas primeiras linhas forem trocadas, ele satisfaz o critério de Sassenfeld? O que se

pode afirmar sobre a convergência do sistema?

(c) Encontre sua solução através do método de Gauss-Seidel usando como estimativa inicial os

valores (x1 =0, x2 =0, x3 =0, x4 =0) e utilize como critério de parada Mk < 0,5.

25

Sexta Lista de Exercícios

1 ) O que é e para que serve a estratégia de pivoteamento?

2 ) Cite três características do Método de Gauss-Seidel que é comum a todo processo iterativo.


11243

9427

32

321

321

321

=⋅−⋅+⋅=⋅+⋅−⋅

−=−−⋅

xxx

xxx

xxx

encontre sua solução através do método de eliminação de Gauss utilizando a estratégia do

pivoteamento.


79.042

57.155

94.54

321

321

321

=⋅+⋅+−=−⋅+−

=++⋅

xxx

xxx

xxx

(d) Verifique que o sistema irá convergir pelo método iterativo de Gauss-Seidel, isto é, que ele

satisfaz o critério de Sassenfeld;

(e) Encontre sua solução através do método iterativo de Gauss-Seidel usando como estimativa

inicial os valores (x1 =0, x2 =0, x3 =0) e utilize como critério de parada a condição Mk < 0,5.

26

Referências BibliográficasRUGGIERO/LOPES - Cálculo Numérico. Makron Books

CHAPRA/CARRALE - Numerical Methods for Engineers. Ed. McGrawHill

CONTE - Elementos de Análise Numérica. Ed. Globo

BARROSO - Cálculo Numérico - Ed. Harper & How do Brasil

MARCELO G. MUNHOZ- Notas de Aula - FACENS

apostila de introdução aos métodos numéricos de introdução aos métodos numéricos parte ii 2o...

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