integração numérica – regras de newton-cotes · integração numérica – regras de...
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Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes
primitivaro polinómio
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
n h
a a
I f f x d x p x d x I f
= ≈ =
Aproximar a função integranda por um polinómio interpolador, utilizando para nós deinterpolação os extremos do intervalo e nós igualmente espaçados no interior do intervalo
n=0 (interpolação grau zero) – regras do rectângulo à esquerda, à direita e do ponto médio
( )( ) ( )hI f b a f a= − ⋅
a b
f(x)
Ih(f)
a b
f(x)
Ih(f)
( )( ) ( )hI f b a f b= − ⋅ ( ) ( )2h
a bI f b a f + = − ⋅
a b
f(x)
Ih(f)
(a+b)/2
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração Numérica – Regras de Newton-Cotesn=1 (interpolação linear) – regra do trapézio
[ ]( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2h
f a f b b aI f b a f a f b+ − = − ⋅ = ⋅ +
a b
f(x)
Ih(f)
(a+b)/2
p(x)
a b
f(x)
Ih(f)
p(x)
n=2 (interpolação quadrática) – regra de Simpson
( ) 4 (( ) / 2) ( )( ) ( )6
( ) 4 ( )6 2
hf a f a b f bI f b a
b a a bf a f f b
+ ⋅ + + = − ⋅ − + = ⋅ + ⋅ +
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Integração Numérica – Dedução da regra de Simpsonn=2 (interpolação quadrática) – Formula de Lagrange
0 2 0 11 22 0 1 2
0 1 0 2 1 0 1 2 2 0 2 1
2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )h hh h h h
x x x x x x x xx x x xp x y y yx x x x x x x x x x x x
−− −
− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= + +− ⋅ − − ⋅ − − ⋅ −
x0IIa
x2IIb
f(x)
Ih(f)
x1
p(x)
h h
0 2 0 11 22 0 1 22 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )2 2
b b b b
h
a a a a
x x x x x x x xx x x xI f p x dx y dx y dx y dxh h h
− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= = + +−
0 2 0 11 22 0 1 22 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )2 2
x x x x x x x xx x x xp x y y yh h h
− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= + +−
0 2 0 11 22 2 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
? ? ?b b b
a a a
x x x x x x x xx x x x dx dx dxh h h
− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ − = = =−
= ⋅ + ⋅ + ⋅2 0 0 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )p x y L x y L x y L x
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Integração Numérica – Dedução da regra de SimpsonIntroduzindo a variável auxiliar z = x – x1 (z é a distância a x1)
x0IIa
x2IIb
x1
h h
3 2 321 2
2 2 2 2 2
3 32 2 20 2
2 2 2 2 2
0 12
( ) ( ) ( ) 1 1 1 2( ) ( )
2 2 2 2 3 2 2 3 3
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 4 4( ) ( )
3 3 3
( ) ( )2
b h h h
ha h h
b h h h
ha h h
x x x x z z h z z h h hdx dz z zh dzh h h h h
x x x x z h z h z h hdx dz z h dz zhh h h h h
x x x x dxh
+
−− −
+
−− −
− ⋅ − ⋅ −= = − = × − = × =
− ⋅ − + ⋅ −= = − = − × − = × =− − −
− ⋅ − =
3 2 3
22 2 2 2
( ) 1 1 1 2( ) ( )
2 2 2 3 2 2 3 3
b h h h
ha h h
z h z z z h h hdz z zh dzh h h h
+
−− −
+ ⋅ = + = × + = × =
0 1 01 1
2 1 2
x x z x x z hz x x x z x
x x z x x z h− = + − = +
= − = + − = + − = −
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Integração Numérica – Dedução da regra de SimpsonPelo que
x0IIa
x2IIb
f(x)
Ih(f)
x1
p(x)
h h
= = =
− ⋅ − − ⋅ −− ⋅ −= = + +−
0 2 0 11 22 0 1 22 2 2
/3 4 /3 /3
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
2 2
b b b b
h
a a a a
h h h
x x x x x x x xx x x xI f p x dx y dx y dx y dxh h h
2 0 1 24
( ) ( )3 3 3
b
h
a
h h hI f p x dx y y y= = + +
0 1 24 ( )
( )6 6 6
( ) ( ) 4 ( )6 2
h
h
b a b a b aI f y y y
b a a bI f f a f f b
− × − −= + +
− + ⇔ = × + × +
Finalmente, atendendo a que h=(b – a)/2, resulta
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Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes
0 1
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ,..., , ] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ , ,..., , ] ( ) ( )
n n n nb b b b b
n h n n n
a a a a a
f x p x E x f x p x f x x x x W x
f x d x p x d x E f x d x p x d x f x x x x W x d x
≈ → = − = ⋅
≈ → = − = ⋅
Para calcularmos o erro associado a cada regra de Newton-Cotes podemos integrar o erro daaproximação efectuada
Em face do valor deste integral é possível deduzir uma expressão específica para cada umadas regras
Trapézio:
Ponto médio:
Simpson:
31''( ) ( )
24hE f b aξ= ⋅ ⋅ −
31''( ) ( )
12hE f b aξ= − ⋅ ⋅ −
51''''( ) ( )
2880hE f b aξ= − ⋅ ⋅ −
ξ ∈[ , ]a b
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Tabela com algumas regras de Newton-Cotes
Ponto médio ( )= − × +( ) ( ) ( ) / 2hI f b a f a b 3 (2)1( ) ( )
24hE b a f ξ= ⋅ − ⋅
Trapézio
Simpson
3/8 (de Simpson)
Boole
3 (2)1( ) ( )
12hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
5 (4)1( ) ( )
2880hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
7 (6)1( ) ( )
1935360hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
−= + × =, ( )i i ib aa a i f f a
na0 a1 a2 an•••
a bn+1 pontos
[ ] ( )− × + ×= −= +0 1( ) ( )2
( )2h
b aI f fb a f a b ff
( )−= × + +0 1 2( ) 46h
b aI f f f f
5 (4)1( ) ( )
6480hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅( )−= × + + +0 1 2 3( ) 3 38h
b aI f f f f f
( )−= × + + + +0 1 2 3 4( ) 7 32 12 32 790h
b aI f f f f f f
21( ) '( )
2hE b a f ξ= ± ⋅ − ⋅Rectânguloà esquerda, à direita = − × = − ×( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )h hI f b a f a I f b a f b
Nota: Algumas formulas de ordem superior exibem pesos negativos, facto considerado indesejável
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Regra do trapézio corrigidaO polinómio interpolador pode interpolar também derivada(s) da função. O caso mais usualé considerar uma interpolação de Hermite utilizando para nós os extremos do intervalo [a,b]
Aproximando a função a integrar por um polinómio de Hermite, com informação da funçãoe da primeira derivada, considerando para nós de interpolação os pontos extremos dointervalo resulta,
5 (4)1( ) ( )
720hE b a f ξ= ⋅ − ⋅
A formula possui dois termos: um termo que tem os valores dafunção, e que é idêntico à regra do trapézio, e um termo que têm osvalores das derivadas. O termo das derivadas pode ser entendidocomo uma correcção ao termo que têm os valores da função. Poressa razão a regra designa-se por regra do trapézio corrigida
Regra do Trapézio corrigida (polinómio interpolador de grau 3)
a b
f(x)
Ih(f)
p(x)[ ] [ ]2
( ) ( ) (( )
( ) ( )12
)2
' 'hb aI f f a b a f a ff b b−+ ⋅ −−= ⋅ +
A expressão do erro correspondente é,
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Regras de Integração
Mudança de variável para o intervalo [–h, +h]: ( )ξ
ξ ξ ξ+
−
= = ⋅ II( ) ( ) ( ) ( )
dxd
b h
a h
I f f x dx f x J d
Transformação linear:
ξ ξξ
− + −= + = =( ) ,2 2 2
b a b a dx b ax Jh h d ha b x-h +h ξ
Se o Jacobiano for constante: ( )ξ ξ+
−
−= = ( ) ( ) ( )2
b h
a h
b aI f f x dx f x dh
Se f(x) for um polinómio de grau ≤ n, i.e., f(x) = pn(x),então f(x(ξ )) também é um polinómio de grau ≤ n(na variável ξ ), i.e., f(x(ξ )) = pn(ξ )
( )ξ ξ+
−
−= = ( ) ( )2
b h
n n
a h
b aI f p x dx p dh
Exemplo: ( ) ( )ξ ξ ξ ξ ξ+ +
− −
− −= = + = + + 5 1 1
22 2
1 1 1
5 1 5 1( ) 2 3 4 12 9
2 2I f x dx d d
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Regras de Integração com pontos dispostos simetricamente
Num intervalo simétrico (em relação à origem) se a função for impar (anti-simétrica):
Se a função for impar e se a regra de integração tiver pontos dispostos simetricamente emrelação à origem e se os pesos dos pontos dispostos simetricamente forem iguais:
( )ξ ξ+
−
= =( ) 0
h
h
I f f d
ξ ξ ξ ξ= − + − + +1 1 2 2 2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )hI f A f A f A f A f
[ ] [ ]ξ ξ ξ ξ= × − + + × − +1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )A f f A f f
= × + × =1 20 0 0A A
Ou seja, se a função for impar e se a regra tiver pesos iguais para os pontos dispostossimetricamente, então o valor obtido pela regra é igual ao valor exacto
-h
-ξ1 ξ2
h
ξ1
0
-ξ2
-h
h0
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Integração Numérica – Grau de uma regraUma regra diz-se de grau n se integrar sem erro todos os polinómios de grau ≤n e existirpelo menos um polinómio de grau n+1 que não é integrado exactamente.
ξ= − ⋅ − ⋅31( ) ''( )
12hE b a f
Exemplos:
Da análise (da ordem da derivada) da expressão doerro, constata-se que funções de grau 1 (logo comsegunda derivada nula) são integradas sem erro e quefunções de grau 2 (logo com segunda derivada nãonula) são integradas com erro, logo a regra do trapéziotem grau 1
a b
f(x)
Ih(f)
p(x)
Regra do Trapézio (polinómio interpolador de grau 1)
Atendendo ao grau do polinómio interpolador, a regraintegra (pelo menos) funções lineares.
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Integração Numérica – Grau de uma regra
Regra do ponto médio (polinómio interpolador de grau 0)
Contudo, da análise (da ordem da derivada) daexpressão do erro, constata-se que funções de grau 1(logo com segunda derivada nula) são integradas semerro e que funções de grau 2 (logo com segundaderivada não nula) são integradas com erro, logo aregra do ponto médio tem grau 1
Exemplos (cont.):
ξ= ⋅ − ⋅3 (2)1( ) ( )
24hE b a f a b
f(x)
Ih(f)
(a+b)/2
a b
f(x)
Ih(f)
(a+b)/2
Atendendo ao grau do polinómio interpolador, a regraintegra (pelo menos) funções constantes.
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Integração Numérica – Grau de uma regra
Regra de Simpson (polinómio interpolador de grau 2)
Contudo, da análise (da ordem da derivada) daexpressão do erro, constata-se que funções de grau 3(logo com quarta derivada nula) são integradas semerro e que funções de grau 4 (logo com quartaderivada não nula) são integradas com erro, logo aregra do ponto médio tem grau 3
Exemplos (cont.):
ξ= − ⋅ − ⋅5 (4)1( ) ( )
2880hE b a fa b
f(x)
Ih(f)
(a+b)/2
p(x)Atendendo ao grau do polinómio interpolador, a regraintegra (pelo menos) funções quadráticas.
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Dedução alternativa da regra de Simpson
1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( )
h
h
h
I f f x d x A f h A f A f h I f
+
−
= ≈ ⋅ − + ⋅ + ⋅ =
Nota: Devido à linearidade do operador integral, se a regra integrarsem erro os monómios 1, x, x2, ..., xn, então integra sem erro todosos polinómios de grau ≤ n
Exercício: a) Deduzir o valor dos pesos Ai de modo à regra seguinte ter o maior grau possível.
Resolução:
Temos 3 incógnitas (A1, A2, A3)
→ necessitamos de 3 equações
2 20 1 2 0 1 2( ) ... 1 ...n n
n n np x dx a a x a x a x dx a dx a x dx a x dx a x dx= + + + + = + + + +
b) Indicar o grau da regra e a expressão do erro.
1 2 3
( ) ( ) ( )
( ) ( ) (0) ( )
h
h
h
I f f x d x
I f A f h A f A f h
+
−
=
= ⋅ − + ⋅ + ⋅
–h h
f(x)
Ih(f)
0
p(x)
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Dedução alternativa da regra de Simpson
( ) 1f x = →
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2
( ) ( ) (0) ( )
h h
h
h
h h
h
I f f x d x d x x h
I f A f h A f A f h A A A
+ +
+
−
− −
= = = = = ⋅ − + ⋅ + ⋅ = + +
1 2 3 2A A A h + + =
( )f x x= →
2
1 2 3
1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) 02
( ) ( ) (0) ( )( ) 0
h h h
hh h
h
xI f f x d x x d x
I f A f h A f A f hA h A A h
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + ⋅ + ⋅
= ⋅ − + ⋅ + ⋅
1 3 1 30A h A h A A − ⋅ + ⋅ = =
2( )f x x= →
32 3
1 2 32 2 2
1 2 3
2( ) ( ) ( ) ( )3 3
( ) ( ) (0) ( )
( ) 0
h h h
hh h
h
xI f f x d x x d x h
I f A f h A f A f h
A h A A h
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + ⋅ + ⋅= ⋅ − + ⋅ + ⋅
2 2 3
1 3 1 32 23 3
A h A h h A A h ⋅ + ⋅ = + =
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Dedução alternativa da regra de SimpsonResulta o sistema de 3 equações lineares (a 3 incógnitas)
1 2 3
1 3
1 3
2
23
A A A h
A A
A A h
+ + =
=
+ =
Solução 1 3
2
26
246
hA A
hA
= = = ×
Ou seja,
3( )f x x= →
( ) ( ) ( )
43
3 3
( ) ( ) ( ) ( ) 04
2( ) 4 06
2 4 0 06
h h h
hh h
h
xI f f x d x x d x
hI f f h f f h
h h h
+ + +
−− −
= = = =
= × − + × +
= × − + × + =
Grau da regra de Simpson
Pelo modo como foi construída, a regra tem (pelo menos) grau 2. Terá grau 3?
( ) ( ) ( )
1 2 3( ) ( ) (0) (
2(
)
) 4 06
h
hhI f f h f
I f A f h A f A f h
f h
= ⋅ − +
= − + × +
⋅ + ⋅
( ) 0 ( )hI f I f = = , pelo que tem grau 3
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Dedução alternativa da regra de Simpson
4( )f x x= →
( ) ( ) ( )
5 54
54 4
2( ) ( ) ( ) ( )5 5
2( ) 4 06
2 44 06 6
h h h
hh h
h
x hI f f x d x x d x
hI f f h f f h
h hh h
+ + +
−− −
= = = =
= − + × +
= + × + =
5 52 4( ) ( )5 6 hh hI f I f = =≠
Terá grau 4?
pelo que não tem grau 4, ouseja a regra de Simpson temgrau 3
Qual a expressão do erro?
A aplicação da regra a um polinómio de grau 3 não origina erro, mas a um polinómio degrau 4 já origina. Então a expressão do erro será do tipo, E = C . f(4)(ξ)
Qual o valor de C?
Se f(x)=x4, então f(4)=24, pelo que E = 24C.5 5
52 4 4Por outro lado, ( ) ( )5 6 15hh hE I f I f h= − = − = −
5 54 1Então, 24 (2 )15 2880
C h C h= − = − 5 (4)1resultando, (2 ) ( )2880
E h f ξ= −
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Tabela com algumas regras de Newton-Cotes
Ponto médio ( )= − × +( ) ( ) ( ) / 2hI f b a f a b 3 (2)1( ) ( )
24hE b a f ξ= ⋅ − ⋅
Trapézio
Simpson
3/8 (de Simpson)
Boole
3 (2)1( ) ( )
12hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
5 (4)1( ) ( )
2880hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
7 (6)1( ) ( )
1935360hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅
−= + × =, ( )i i ib aa a i f f a
na0 a1 a2 an•••
a bn+1 pontos
[ ] ( )− × + ×= −= +0 1( ) ( )2
( )2h
b aI f fb a f a b ff
( )−= × + +0 1 2( ) 46h
b aI f f f f
5 (4)1( ) ( )
6480hE b a f ξ= − ⋅ − ⋅( )−= × + + +0 1 2 3( ) 3 38h
b aI f f f f f
( )−= × + + + +0 1 2 3 4( ) 7 32 12 32 790h
b aI f f f f f f
21( ) '( )
2hE b a f ξ= ± ⋅ − ⋅Rectânguloà esquerda, à direita = − × = − ×( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )h hI f b a f a I f b a f b
Nota: Algumas formulas de ordem superior exibem pesos negativos, facto considerado indesejável
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Integração Numérica – Regras de Gauss
nós deinterpola ão
1ç
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b N
n i i h
ia a
I f f x d x p x d x A f x I f↑
=
= ≈ = ⋅ = Em Newton-Cotes os nós de interpolação estão definidos “à partida” (nós equidistantes), oque limita o grau de exactidão da regra de integração
Regras de integração
Regras de integração de Gauss - Nas regras de Gauss a posição dos nós de interpolação éescolhida “do melhor modo possível”
Dispomos de 2N parâmetros (os valores dos pesos Ai e a localização dos pontos xi)
Os pesos e a localização são parâmetros
a definir
1
( ) ( )i
i
N
h i i
i Ax
I f A f x=
= ⋅
→ a regra terá grau 2N – 1
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Regra de Gauss com 2 pontos
1
1 1 2 2
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )hI f f x d x A f x A f x I f
+
−
= ≈ ⋅ + ⋅ =
Nota: Devido à linearidade do operador integral, se a regra integrar sem erro os monómios1, x, x2, ..., xn, então integra sem erro todos os polinómios de grau ≤ n
Exercício: a) Deduzir o valor dos pesos Ai e a localização das abcissas xi de modo à regraseguinte ter o maior grau possível.
Resolução:
Temos 4 incógnitas (A1, A2, x1, x2)
→ necessitamos de 4 equações
2 20 1 2 0 1 2( ) ... 1 ...n n
n n np x dx a a x a x a x dx a dx a x dx a x dx a x dx= + + + + = + + + +
b) Indicar o grau da regra.
1
1
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )h
I f f x d x
I f A f x A f x
+
−
=
= ⋅ + ⋅
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regra de Gauss com 2 pontos
( ) 1f x = →
1 1
1
1
1 1
1 1 2 2 1 2
( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2
( ) ( ) ( )h
I f f x d x d x x
I f A f x A f x A A
+ +
+
−
− −
= = = = = ⋅ + ⋅ = +
1 2 2A A + =
( )f x x= →
1 1 12
11 1
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 02
( ) ( ) ( )h
xI f f x d x x d x
I f A f x A f x A x A x
+ + +
−− −
= = = = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
1 1 2 2 0A x A x ⋅ + ⋅ =
2( )f x x= →
1 1 132
11 1
2 21 1 2 2 1 1 2 2
2( ) ( ) ( ) ( )
3 3
( ) ( ) ( ) ( ) ( )h
xI f f x d x x d x
I f A f x A f x A x A x
+ + +
−− −
= = = = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
2 21 1 2 2
2( ) ( )
3A x A x ⋅ + ⋅ =
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regra de Gauss com 2 pontos
3( )f x x= →
1 1 143
11 1
3 31 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) 04
( ) ( ) ( ) ( ) ( )h
xI f f x d x x d x
I f A f x A f x A x A x
+ + +
−− −
= = = = = ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅
3 31 1 2 2( ) ( ) 0A x A x ⋅ + ⋅ =
Resulta o sistema de 4 equações não lineares (a 4 incógnitas)
1 2
1 1 2 2
2 21 1 2 2
3 31 1 2 2
2
0
2( ) ( )
3
( ) ( ) 0
A A
A x A x
A x A x
A x A x
+ =
⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ =
Solução 1 2
1 2
1
13
A A
x x
= =
− = =
Ou seja, = × − + × += ⋅ + ⋅
1 1 2 2( ) ( ) ( )1 1
( ) 1 13 3hh I fI f A f x A ff x f
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regra de Gauss com 2 pontos
4( )f x x= →
1 1 154
11 1
4 4
2( ) ( ) ( ) ( )
5 5
1 1 1 1 1 1 2( ) 1 1
9 9 93 3 3 3h
xI f f x d x x d x
I f f f
+ + +
−− −
= = = =
= × − + × = − + = + =
2 2( ) ( )
5 9 hI f I f = =≠
Grau da regra de Gauss com 2 pontos
Pelo modo como foi construída, a regra tem (pelo menos) grau 3.
Terá grau 4?
pelo que não tem grau 4, ou seja a regrade Gauss com 2 pontos tem grau 3
→ as regras de Gauss com N pontos tem grau 2N – 1
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Comparação da regra do trapézio com regra de GaussTrapézio (2 pontos)
[ ]( ) ( ) ( )2h
b aI f f a f b−= ⋅ +
a b
f(x)
Ih(f)
a b
f(x)
Ih(f)
x1 x2
Gauss com 2 pontos1 1 2 2( ) ( ) ( )hI f A f x A f x= ⋅ + ⋅
Para [ , ] [ 1, 1]
1 1( ) 1 1
3 3h
a b
I f f f
= − +
= × − + × +
Grau 1
Grau 3
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regras de Gauss-Legendre
Para Gauss-Legendre os pesos Ai e a localização dos pontos xi encontra-se tabelado para ointervalo [a,b]=[–1,+1].
1
( ) ( ) ( ) ( )
b N
i i h
ia
I f f x dx A f x I f=
= ≈ ⋅ =
( )I
1 1
11 1
(
I
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx
b N
i i h
a
F
di
I f f x dx f x J d F d A F I f
ξ
ξ
ξ ξ ξ ξ ξ ξ+ +
=− −
= = ⋅ = ≈ ⋅ =
Para utilizarmos a informação das tabelas é necessário efectuar uma mudança de variávelpara o intervalo [–1,+1],
Mudança de variável para o intervalo [–1,+1]
1 1( ) ,
2 2 2dx b ax a b Jd
ξ ξξξ
− + −= × + × = =a b x-1 +1 ξ
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regras de Gauss-Legendre no intervalo [-1,+1]
Nº de pontos, N
1
( ) ( )N
h i i
i
I f A F ξ=
= ⋅
O erro associado às formulas de Gauss-Legendre (com N pontos) é,
Abcissas ξi Pesos Ai
1 0 2
2 1 3± 1
3 ±
0
3 / 58 95 9
η η+= × − × = ∈+ ×
42 1 (2 )
3
( !)( ) ( ) , , [ , ]
(2 1) ((2 )!)N N
h N NNE C b a f C a b
N N
4(3 2 6 / 5) / 7
(3 2 6 / 5) / 7
± −
± +
(18 30) 36
(18 30) 36
+
−
ξ ξ+
−
= 1
1
( ) ( )I f F d
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regras de Gauss – regra de Gauss-LobattoAs regras de Gauss são uma família de regras, à qual a regra de Gauss-Legendre pertence.
↑=
= ≈ ⋅ =escolher a melhor
localização poss v l1
í e
( ) ( ) ( ) ( )
b N
i i h
ia
I f f x dx A f x I f
Existem outras regras de Gauss, pertencentes a esta família
Gauss-Legendre
Gauss-Legendre-Lobatto – regra de Gauss-Legendre que inclui os nós extremos do intervalo
↑=
⋅= ≈ × =+ ⋅ +escolher a melhor
loca1
lização possível
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
b N
i i h
ia
I f f x dx A f x IA a B f b ff
Os coeficientes A, B, Ai e a posição dos pontos xi são parâmetros a determinar
Nota: Para 2 pontos a regra de Gauss-Lobatto é idêntica à regra do trapézio e para 3 pontosé idêntica à regra de Simpson
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
[ ] [ ]ξ ξ+
−
⋅ − + + ⋅ − + += ≈ + =1
1
10 ( 1) ( 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )) hI f f x d x IA A f ff ff
Exercício: a) Deduzir o valor dos pesos A0 e A1 e a localização da abcissa ξ de modo à regraseguinte ter o maior grau possível.
Resolução:Temos 3 incógnitas (A0, A1, ξ )
→ necessitamos de 3 equações
b) Indicar o grau da regra.
[ ] [ ]ξ ξ
+
−
=
= ⋅ − + + ⋅ − +
1
1
0 1
( ) ( ) ( )
( ) ( 1) (1) ( ) ( )h
I f f x d x
I f A f f A f f
( ) 1f x = →[ ] [ ]ξ ξ
+ +
+
−
− −
= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ + + ⋅ + = +
1 1
1
1
1 1
0 1
0 1 0 1
( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2
( ) ( 1) (1) ( ) ( )
(1 1) (1 1) 2 2h
I f f x d x d x x
I f A f f A f f
A A A A
1 2 1A A + =
Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
2( )f x x= →
( )f x x= →
[ ] [ ]
1 1 12
11 1
0 1
0 1
( ) ( ) ( ) ( ) 02
( ) ( 1) (1) ( ) ( )
( 1 1) ( ) 0h
xI f f x d x x d x
I f A f f A f f
A A
ξ ξξ ξ
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ − + + ⋅ − + =
0 0 =
[ ] [ ]
1 1 132
11 1
0 1
2 2 20 1 0 1
2( ) ( ) ( ) ( )
3 3
( ) ( 1) (1) ( ) ( )
(1 1) (( ) ) 2 2h
xI f f x d x x d x
I f A f f A f f
A A A A
ξ ξ
ξ ξ ξ
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ + + ⋅ − + = + ⋅
2
1 213
A A ξ + ⋅ =
3( )f x x= →
[ ] [ ]
1 1 143
11 1
0 1
3 30 1
( ) ( ) ( ) ( ) 04
( ) ( 1) (1) ( ) ( )
( 1 1) ( ) 0h
xI f f x d x x d x
I f A f f A f f
A A
ξ ξ
ξ ξ
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ − + + ⋅ − + =
0 0 =
Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
4( )f x x= →
[ ] [ ]
1 1 154
11 1
0 1
4 4 40 1 0 1
2( ) ( ) ( ) ( )
5 5
( ) ( 1) (1) ( ) ( )
(1 1) (( ) ) 2 2h
xI f f x d x x d x
I f A f f A f f
A A A A
ξ ξ
ξ ξ ξ
+ + +
−− −
= = = == ⋅ − + + ⋅ − + == ⋅ + + ⋅ − + = + ⋅
4
1 215
A A ξ + ⋅ =
Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
Resulta o sistema de 3 equações não lineares (a 3 incógnitas)
0 1
20 1
40 1
1
13
15
A A
A A
A A
ξ
ξ
+ =
+ ⋅ = + ⋅ =
Solução
0
1
16
56
15
A
A
ξ
= = = ±
Ou seja,
[ ] [ ] [ ]0 1( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( 1)1 5 1 1
5 56 6hI f A f f A f f f f f fξ ξ = ⋅ − + + + ⋅ − + + = ⋅ − + + + ⋅ + −
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
5( )f x x= →
[ ]
1 1 165
11 1
5/2 5/2
1 5 1 15 56 6
( ) ( ) ( ) ( ) 06
( ) ( 1) ( 1)
1 5 1 1( 1 1) ( ) 0 0 0
6 6 5 5
h
xI f f x d x x d x
I f f f f f
+ + +
−− −
= = = =
= × − + + + × + =
= × − + + × − + =
−
+ =
0 0, ou seja, ( ) ( )hI f I f = =
Grau da regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
Pelo modo como foi construída, a regra tem (pelo menos) grau 4.
Terá grau 5?
pelo que a regra de Gauss-Lobattocom 4 pontos tem grau 5
Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
6( )f x x= →
[ ]
1 1 176
11 1
6/2 6/2 3
1 5 1 15 5
2( ) ( ) ( ) ( )
7 7
( ) ( ) ( 1) ( 1)
1 5 1 1 1 5 2 1 1 26(1 1) ( ) 2
6 6 5 5 6 6 5 3 7
6
7
6
5 5
h h
xI f f x d x x d x
I f I f f f f f
+ + +
−− −
= = = =
= = × − + + + × + =
= × + + × + = × + × = + =
−
2 26( ) ( )
7 75 hI f I f = =≠
Terá grau 6?
pelo que não tem grau 6, ou seja a regra deGauss-Lobatto com 4 pontos tem grau 5
→ as regras de Gauss-Lobatto com N pontos tem grau 2N – 3
Regra de Gauss-Lobatto com 4 pontos
O erro associado às formulas de Gauss-Lobatto (com N pontos) é,3 4
2 1 (2 2)3
( 1) (( 2)!)( ) ( ) , , [ , ]
(2 1) ((2 2)!)N N
h N NN N NE C b a f C a b
N Nη η− − − ⋅ − ⋅ −= × − × = ∈
− × −
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regras compostasUm modo de reduzir o erro cometido no cálculo aproximado do integral é subdividir ointervalo [a,b] em N subintervalos e aplicar as regras “básicas” anteriormente estudadas.
Em termos genéricos a regra do trapézio compostapode ser apresentado como
Ex: Regra do trapézio composta com 3 subintervalos iguais (N=3)
[ ] [ ] [ ]≈ ⋅ + + ⋅ + + ⋅ +1 1 20 32( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2h h hf a f f f f fa a aa a
−
=
= + +
1
1
1
1 1( )( ) )( ()2 2
N
i
h f a f bf aI f h
f(x)
a0IIa
a1 a2 a3IIb
h=(b – a)/Nh=
=
= = + + 31 2
0 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
a ba ab
a a a a a
I f f x dx f x dx f x dx f x dx
= + = + +
1 2( ) ( )1 1( ) (
2( ))
2 hf ah If bf a a ff
= + + +
0 3II II
1 21 1( ) ( ) ( ) ( )2 2
a b
af f aah f a f
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Regras compostasPara determinarmos o erro cometido podemos somar a contribuição do erro cometido emcada um dos subintervalos.
Resumindo, o erro da regra do rectângulo composta é
ξ ξ ξ= + + = − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅0 1 1 2 2 3
3 3 3[ , ] [ , ] [ , ] [ , ] 1 0 1 2 1 2 3 2 3
1 1 1( ) ''( ) ( ) ''( ) ( ) ''( )
12 12 12a b a a a a a aE E E E a a f a a f a a f
ξ ξ−= − ⋅ ⋅ ∈2( ) ''( ) , [ , ]12h
b aE f h a b
f(x)
a0IIa
a1 a2 a3IIb
h = − − = ⋅
( ) /h b a Nb a N h
ξ ξ ξ= − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅3 3 31 2 3
1 1 1''( ) ''( ) ''( )
12 12 12h f h f h f
ξ=
=
= − ⋅ ⋅3
3
1
1''( )
12
N
i
i
h f
ξ−= − ⋅ ⋅2( )''( )
12b a h f
ξ= − ⋅ ⋅ ⋅31''( )
12h N f
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Tabela com algumas regras compostas
Ponto médio composta −
=
= × + 1
1
( ) ( 2)N
h i
i
I f h f a h ξ−= ⋅ ⋅ 2''( )24h
b aE f h
Trapézio composta
Simpson composta
Trapéziocorrigidacomposta
ξ−= − ⋅ ⋅ 2''( )12h
b aE f h
ξ−= − ⋅ ⋅(4) 4( )2880hb aE f h
−= = + ×, ib ah a a i h
Na0 a1 a2 an•••
a bN intervalos
−
=
= × + +
1
1
1 1( ) ( ) ( ) ( )
2 2
N
h i
i
I f h f a f a f b
−
−
= =
= × + + × + × +
1
1
1 1
( ) ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( 2)6
N N
h i i
i i
hI f f a f b f a f a h
ξ−= ± ⋅ ⋅'( )2h
b aE f hRectângulo
à esquerda, à direita composta
−
= =
= × = × 1
1 1
( ) ( ) , ( ) ( )N N
h i h i
i i
I f h f a I f h f a
[ ]−
=
= × + + + −
1 2
1
1 1( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( )
2 2 12
N
h i
i
hI f h f a f a f b f a f b ξ−= ⋅ ⋅(4) 4( )720hb aE f h
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração com splines – integração com splines cúbicos• Um modo de obter regras de integração semelhante às compostas é utilizando splines.
• A utilização de splines de grau zero conduz às regras do rectângulo compostas, enquantoa integração com spline de grau 1 conduz à regra do trapézio composta.
• A utilização de splines de grau superior conduz a regras diferentes das regras compostasanteriormente estudadas.
Integração com splines cúbicos
No troço i o spline cúbico é dado por
11
( ) ( ) ( ) ( ) ( )i
i
xb b N
i
ia a x
I f f x dx S x dx S x dx I S
−=
= ≈ = =
3 31
1
2 21
1 1
( ) ( )( )
6 6
6 6
i ii i i
i i
i i i ii i i i
i i
x x x xS x M Mh h
h x x h x xy M y Mh h
−−
−− −
− −= + +
− −+ − + −
S1(x)
x0IIa
x1 x2 x3IIb
hi = xi – xi-1hi
S3(x)S2(x)
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração com splines – integração com splines cúbicosPrimitivando
1 1
3 3 2 21 1
1 1 1( ) ( )
( )6 6 6 6
i i
i i
x x
i i i i i ii i i i i i i
i i i ix x
x x x x h x x h x xS x dx M M y M y M dxh h h h
− −
− −− − −
− − − −= + + − + −
1
4 4 2 2 2 21 1
1 1 1( ) ( ) ( ) ( )
24 24 6 2 6 2
i
i
x
i i i i i ii i i i i i
i i i i x
x x x x h x x h x xM M y M y Mh h h h
−
− −− − −
− − − −= + − + −
− −
3 3 2 2
1 1 124 24 6 2 6 2i i i i i i
i i i i i ih h h h h hM M y M y M− − −
= + + − + −
( ) ( )3
1 12 24i i
i i i ih hy y M M− −= + +−
Somando a contribuição de todos os troços resulta
( ) ( )3
1 1
1
( ) ( )2 24
b N
i ii i i i
ia
h hI S S x dx y y M M− −
=
= = + +
−
Nota: a expressão tem umaparte idêntica à regra dotrapézio composta mais umtermo correctivo com base nos“momentos” (2as derivadas)
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa
Há 2 variantes da integração adaptativa:
• não iterativa – o número de vezes que se efectuam subdivisões é de apenas uma
• iterativa – o número de vezes que se efectuam subdivisões não é definida à partida (é resultado da verificação do critério do erro)
• Considerar uma subdivisão inicial do intervalo [a,b]
• Distribuir a tolerância disponível pelos troços
• Tendo em conta a expressão teórica do erro,estimar para cada troço a correspondente derivada
• Estimar o erro cometido em cada troço
• No caso do erro exceder a tolerância atribuída aesse troço, então subdividir devidamente o troço
ξ ξ= ⋅ ⋅ ≈( ) )( ) (( ) ( ),pk k ki i i if DfE C h
O método tenderá a colocar mais subintervalos onde a correspondente derivada for maior
aIIa0 a1 a2
bIIa3
ε1 ε2 ε3
ε ii
hb a
ε ε=−
≈ ⋅ ⋅( )ki
piE DC h
Integração adaptativa – método que procura que o resultado obtido tenha um erro inferior auma tolerância ε especificada pelo utilizador
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa não iterativaExemplo: Utilizando a regra do trapézio composta
Para o troço [ai-1, ai] de dimensão hi
31 ''( )12h i iE f hξ= − ⋅ ⋅
Na integração adaptativa não iterativa, geralmente, aderivada é aproximada por uma diferença finita apropriada
( )1 1
2
( ) 2 ( 2) ( )''( )2
i i ii i
i
f a f a h f af Dh
ξ − −− ⋅ + +≈ =I I
A estimativa de erro para o troço i é obtida através de
3112i i iE D h= − ⋅ ⋅I I
f(x)
a0IIa
a1 a2 a3IIb
ai-1 ai-1+h/2 ai
hi
[ ]1
1
( ) ( ) ( )2
N
ih i i
i
hI f f a f a−
=
= +
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa não iterativaSe a estimativa de erro |Ei| for superior à tolerância εi que está disponível para esse troço,então esse troço é subdividido em mi subintervalos de modo ao erro nesse troço passar aser inferior à tolerância disponível.
Erro para o troço i após a subdivisão em mi subintervalos
3112i i i iE m D h = × − ⋅ ⋅
I I ai-1 ai
hi
mi subintervalos
i i ih h m=ih
31
12i
i i ii
hE m Dm
= × − ⋅ ⋅
I I 32
1 112
i
i i ii
E
E D hm
= × − ⋅ ⋅
I I2
1i i
i
E Em
= ×
Pretendemos que, após a subdivisão do troço i, o erro nesse troço seja inferior à tolerânciadisponível para esse troço,
2
1i i i i
i
E Em
ε ε< × < 2 ii
i
Em
ε >
Recuperando a expressão do erro para o intervalo i resulta 3112i i i im D h ε> ⋅ ⋅I I
expressão onde se admitiu que aderivada em cada subintervalo éaproximada por Di’’
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa não iterativaA expressão anterior pode ser reescrita em termos da tolerância “total” ε
ε ε
εεε
= ⋅ ⋅− − > = ⋅ ⋅> ⋅ ⋅ −
3
2
3
112
12112
ii
i i
i i ii
i i i i
hD hb a b am D hh
m D h b a
I I
I I
I Iε
− > ⋅ ×
12i i ib am D hI I
1DI I
m1 subintervalos
2DI I
m2 subintervalos
3DI I
m3 subintervalos
a0 a1 a2 a3
aIIa0 a1 a2
bIIa3troço 1 troço 2 troço 3Subdivisão inicial
Subdivisão final
calcular I1 calcular I2 calcular I3
Ih=I1+I2+I3
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaComparativamente ao método não iterativo, o algoritmo iterativo descrito em seguidapossui as seguintes diferenças:
• se a estimativa do erro for superior à tolerânciapermitida a esse troço, então o troço é divididoao meio
• o número de vezes que se efectuam subdivisõesnão é definido à partida (é resultado daverificação do critério do erro)
• a estimativa de erro é actualizada para os novostroços
• a estimativa do erro não recorre a diferençasfinitas – em cada troço o erro é estimadorecorrendo a 2 aproximações do integral paraesse troço
ai bitroço em avaliação
subdivisão em 2 troços
2 1( )iE I Iα≈ ⋅ −
2 1( )E I Iα≈ ⋅ −
subdivisão em 2 troços
troço em avaliação
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaExemplo: Calcular I(f) utilizando a regra do trapézioadaptativa iterativa com um tolerância ε = 10–2
Regra do trapézio – dedução da estimativa do erro
3
1 1 2
( ) 1''( )12 1
b aE f ξ−= − ⋅ ⋅
3
2 2 2
( ) 1''( )12 2
b aE f ξ−= − ⋅ ⋅
1
3
1 1'' ''( )
( ) '' 112
D f
b aE I I Dξ≈
− = − ≈ − ⋅ ⋅
32
2
( ) 1''( ) ''( )
12 12h hb ahN
b a b aE f h E fN
ξ ξ−=
− −= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅a b
N subintervalos
a b
1 subintervalo
a bc
2 subintervalos
2
3
2 2'' ''( )
( ) 1''12 4
D f
b aE I I Dξ≈
− = − ≈ − ⋅ ⋅
3
2 1( ) 1
(*) (**) '' 112 4
b aI I D− − − ≈ − ⋅ ⋅ −
2 13''
( ) 1112 4
I IDb a
− ≈
− − ⋅ −
Para 1 subintervalo, N=1
Para 2 subintervalos, N=2
Subtraindo as 2 expressões
(*)
(**)
1
0
exp(5 )( ) ( ) , ( )
90xI f f x dx f x= =
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
11 1( ) ( )2 2i iI h f a f b = +
Substituindo a aproximação da derivada na expressão do erro para 2 troços
ai bi
1 subintervalo
h
ai bi
2 subintervalos
h/2
ci
h/2
21 1( ) ( ) ( )
2 2 2i i ihI f a f c f b = + +
3
3
2 13
2 12
3
2
( ) 3( )
( )121
112 43 4
( ) 1 4
''
22
1''
4
D
D
I Ib a
I IE
b aE
b ab a
− ≈ −− ⋅ − ≈ ⋅ ⋅ ⋅− ≈ − ⋅ ⋅
−−−−
( )2 2 113
E I I ≈ ⋅ −
Resumindo, para um troço de dimensão h, o valor da regrado trapézio com 1 e com 2 subintervalos é
( )2 2 113
E I I≈ ⋅ −e o erro (para 2 subintervalos) pode ser estimado por
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
Opção: divisão inicial em 2 troços ii
hb a
ε ε=−
0IIa
1IIb
tolerância ε = 1x10–2
h=1
1/20 tolerância εi = 5x10–3
h=1/2
11/2 tolerância εi = 5x10–3
h=1/2
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [0, 1/2] , h=1/2 , tolerância εi = 5x10–3
1
0
exp(5 )( ) ( ) , ( )
90xI f f x dx f x= =
0 1/2
1 subintervalo
0 1/21/4
2 subintervalos
11 1 1(0) (1 2) 0.0366182 2 2
I f f = + =
21 1 1(0) (1 4) (1 2) 0.0280044 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.002871 3 10
3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro
3 32 3 10 5 10 iE ε− −= × < × = OK
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [1/2, 1] , h=1/2 , tolerância εi = 5x10–3
1
0
exp(5 )( ) ( ) , ( )
90xI f f x dx f x= =
1/2 1
1 subintervalo
1/2 13/4
2 subintervalos
11 1 1(1 2) (1) 0.4460992 2 2
I f f = + =
21 1 1
(1 2) (3 4) (1) 0.3411644 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.034978 35 10
3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro
ε− −= × > × =
3 32 35 10 5 10 iE
dividir o troço [1 2 , 1] em dois troços
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
0IIa
1IIb
tolerância ε = 1x10–2
h=1
13/4 εi = 2.5x10–3
h=1/4
3/41/2 εi = 2.5x10–3
h=1/4
1/20 tolerância εi = 5x10–3
h=1/2
erro |E2|= 3x10–311/2 tolerância εi = 5x10–3
h=1/2
erro |E2|= 35x10–3
ii
hb a
ε ε=−
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [1/2, 3/4] , h=1/4 , tolerância εi = 2.5x10–3
1/2 3/4
1 subintervalo
1/2 3/45/8
2 subintervalos
11 1 1
(1 2) (3 4) 0.0759774 2 2
I f f = + =
21 1 1
(1 2) (5 8) (3 4) 0.0696008 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.002126 2.1 10
3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro
3 32 2.1 10 2.5 10 iE ε− −= × < × = OK
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [3/4, 1] , h=1/4 , tolerância εi = 2.5x10–3
3/4 1
1 subintervalo
3/4 17/8
2 subintervalos
11 1 1
(3 4) (1) 0.2651864 2 2
I f f = + =
21 1 1
(3 4) (7 8) (1) 0.2429268 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.007420 7.4 10
3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro
ε− −= × > × =
3 32 7.4 10 2.5 10 iE
dividir o troço [3 4 , 1] em dois troços
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
0 1tolerância ε = 1x10–2
1/20 εi = 5x10–3
|E2|= 3x10–311/2 εi = 5x10–3
|E2|= 35x10–3
3/41/2 εi = 2.5x10–3
h=1/4
|E2|= 2.3x10–313/4 εi = 2.5x10–3
h=1/4
|E2|= 7.4x10–3
17/8 εi = 1.25x10–3
h=1/8
7/83/4 εi = 1.25x10–3
h=1/8
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [3/4, 7/8] , h=1/8 , tolerância εi = 1.25x10–3
3/4 7/8
1 subintervalo
3/4 7/813/16
2 subintervalos
11 1 1
(3 4) (7 8) 0.0846958 2 2
I f f = + =
21 1 1
(3 4) (13 16) (7 8) 0.08270816 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.000662 0.7 10
3E I I E −= ⋅ − = − = ×Estimativa de erro
3 32 0.7 10 1.25 10 iE ε− −= × < × = OK
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativaTroço [7/8, 1] , h=1/8 , tolerância εi = 1.25x10–3
7/8 1
1 subintervalo
7/8 115/16
2 subintervalos
11 1 1
(7 8) (1) 0.1582318 2 2
I f f = + =
21 1 1
(7 8) (15 16) (1) 0.15451916 2 2
I f f f = + + =
( ) 32 2 1 2
10.001237 1.24 10
3E I I E −= ⋅ − = − ×Estimativa de erro
3 32 1.24 10 1.25 10 iE ε− −= × < × = OK
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
0 1tolerância ε = 1x10–2
1/20 εi = 5x10–3
|E2|= 3x10–311/2 εi = 5x10–3
|E2|= 35x10–3
3/41/2 εi = 2.5x10–3
|E2|= 2.3x10–313/4 εi = 2.5x10–3
|E2|= 7.4x10–3
17/8 εi = 1.25x10–37/83/4 εi = 1.25x10–3
|E2|= 0.7x10–3 |E2|= 1.24x10–3
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
0 1I[0, 1]= ?
1/20I[0, 1/2]= 0.028004
11/2
3/41/2
I[1/2, 3/4]= 0.069600 13/4
17/8
I[7/8, 1]= 0.154519
7/83/4
I[3/4, 7/8]= 0.082708
Valor obtido para o integral
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Integração adaptativa iterativa
→ = 0.334832hI
0 1/2 13/4 7/8
Valor exacto ( )1
5 15 5
0
0
e 1 1( ) e e 1 0.327585
90 5 90 450
xxI f dx= = = − =
×Erro efectivo
[0, 1] [0, 1 2] [1 2, 3 4] [3 4, 7 8] [7 8, 1]
0.028004 0.069600 0.082708 0.154519 0.334832
I I I I I= + + + =
= + + + =
efectivo exacto 0.327585 0.334832 0.007247aproximadoE I I= − = − = −
2 2efectivo 0.7 10 1 10 (tolerância)E ε− −× < × =
Valor obtido para o integral
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
[ ]1 2
1
(4) 4
1 1( ) ( ) ( ) ( ) '( ) '( )2 2 12
( )720
N
h i
ih h
h h
hI f h f a f a f b f a f bI I E
b aE I I f hξ
−
=
= × + + + − → = +− = − = ⋅ ⋅
Para a regra do trapézio corrigida composta
[ ]2 4
1,0
( )
1 2(4) 4
1
1 1( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( )2 2 12 720
h
C h hT
N
h h i
i
h b aI I E h f a f a f b f a f b f hξ−
=
− = + = ⋅ + + + − + ⋅ ⋅
O
2 2Se ( ) é possível demonstrar quenf x C +∈
regrado
trap
2 4 6 2 2 2,0 1
éz
2
i
3
o
( )n nh nI T C h C h C h C h h +
↑
= + + + + + +… O
regrado
tr
2 4,0
apézio
1ou seja, ( )hI T C h h↑
= + +O
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg0Considere-se uma sequência = e aplique-se a regra do trapézio
2k k
hh
06
22
, 14 ( ) (*)kk k kkh I T C h C h h+→ += + O
2 46
1 1,0 1 2 ( )2 2 2
k k kk k k
h h hh I T C C h+ + = → = + + +
O
Eliminando o termo h2 do erro da aproximação
4 622
21,0 1
1 ( )4
**1 (4
)k kk k C hI T C h h+ = + ++ O
1,0 ,4 6
204 (**) (*)4
4 1 1 )4 (k k k kI I T h hT C+ + − +
−
− = − O
,1
1,0 4 6,2
0 1 ( )4
44 1
k
kk k
k
T
T TC h hI + −
− =
−+
O
1,0 ,0,1
4,
4 1k k
k
T TT + −
=−
Ou seja, a aproximação do integral com erro de ordem h4 é
4 62,1
1 ( )4 kk kI T C h h− += O
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
2 46
2 1,0 1 2 ( )4 4 4
k k kk k k
h h hh I T C C h+ + = → = + + +
O
Eliminando o termo h2 do erro da aproximação
4 622
21,0 1
1 ( )4
(*14
)k kk k C hT C h hI + + = ++ O
2,0 1,04 6
23 2
14 (**) (* 1) 44 4
4 ( )k k k kI h hI CT T+ + + − +
− =− − O
1,1
2,0 63
1 42
,044
1 ( )41
k
kk
kk
T
T TI C h h
+
+ + − +−
=−
O
De modo análogo ao anterior, considerando agora hk+1 e hk+2
2 46
1 1,0 1 2 ( )2 2 2
k k kk k k
h h hh I T C C h+ + = → = + + +
O
22,0 12
4 624
1 ( )1 **4
(4
)k kk k C hI T C h h+ = + ++ O
Ou seja, a aproximação do integral com erro de ordem h4 é
2,0 1,01,1
4,
4 1k k
k
T TT + +
+
−=
−1,14 6
23
1 ( )4k k kC hI T h+ −= +O
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
Eliminando o termo h4 do erro da aproximação
2 2 61,1 ,
2144 (**) ) (4 )(* kk kI I T T h+ − =− +− O
,2
22,0 1, 602
44 1
( )
kT
k kk
T ThI + +−
=−
+
O
Combinando as expressões de Tk,1 e de Tk+1,1, com o intuito de eliminar o termo h4,
Ou seja, a aproximação do integral com erro de ordem h6 é
21,1 ,1
,2 2
4,
4 1k k
k
T TT + −
=−,2
6( )k kI T h+= O
164
1, 23
14
( *)( *)k k kI T C h h+= +− O
164
, 2 ((14
) *)k k kI T C h h+= − O
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
O procedimento efectuado pode ser generalizado, de modo a eliminar-se os sucessivostermos de h2m, conseguindo-se assim aproximações com erro de ordem h2m+2.
1, 1 , 1,
4,
4 1
mk m k m
k m m
T TT + − −−
=−,
2 2( )mkk mI T h ++= O
A formula de recorrência para Tk,m surge por vezes escrita na forma
1, 1 , 1, 1, 1 4 1
k m k mk m k m m
T TT T + − −
+ −
−= +
−
O método de Romberg é normalmente aplicado com a regra do trapézio, mas também podeser aplicado com outras regras tais como a regra do ponto médio ou de Simpson (esteúltimo caso requereria uma redefinição da formula de recorrência)
A formula de recorrência poderia ter sido deduzida através da formula de Aitken-Neville(tal como se efectuou para o método de Richardson)
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de RombergFormula de recorrência
1, 1 , 1,
44 1
mk m k m
k m m
T TT + − −−
=−
Tabela
0,2
1
0 0,0
1 1,0
2 2,0
3 3,0
0,3
,2
0,1
1,1
2,1
TT
h T
h T
h T
h
T
T
T
T
T
Erro de ordem h2
Regra dos trapézios
Erro deordem h4
Erro deordem h6
Erro deordem h8
Formula de recorrência
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
Ex: Aplicar método de Romberg (utilizando a regra do trapézio) ao cálculo do integral2
1
0
xI e dx−=
Regra dos trapézios
Opção: iniciar processo com 2 subintervalos Nota: resolução em precisão simples
1
0 0
1
,01 1 1, , ( ) ( ) ( )
2 2 2 2k
N
k ik
i
hh h T h f a f a f b−
=
= = = × + +
0 0,01 1 1 1 10, 2, , (0) (1) 0.73137002 2 2 2 2
k N h T f f f = = = = × + + =
1 1,01 1 1 1 1 3 11, 4, , (0) (1) 0.74298384 4 2 4 2 4 2
k N h T f f f f f = = = = × + + + + =
2,0212, 8, , 0.74586538
k N h T= = = = =…
3 3,013, 16, , 0.7465842
16k N h T= = = = =…
0 11/2
0 11/2 3/41/4
0 11/2 3/41/4
0 11/2 3/41/4
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
Formula de recorrência 1, 1 , 1,
44 1
mk m k m
k m m
T TT + − −−
=−
Tabela
Para m=1
11,0 ,0
,1 1
44 1k k
k
T TT + −
=−
1,0 0,00,1
4 4 0.7429838 0.7313700 0.74685514 1 4 1T T
T× − × −= = =
− −
2,0 1,01,1
4 4 0.7458653 0.7429838 0.74682584 1 4 1T T
T× − × −= = =
− −
3,0 2,02,1
40.7468238
4 1T T
T× −
= = =−
0,1
1,1
0 0,0
1 1,0
2 2,0
3 3,
2
0
,1
0.7468551
0.7
1 2 0.7313700
1 4 0.7429838
1 8 0.7
468258
0.7468238458653
1 16 0.7465842
h T
h T
h T
h
T
T
T
T
== =
= =
=
=
==
=
=
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
Formula de recorrência 1, 1 , 1,
44 1
mk m k m
k m m
T TT + − −−
=−
Tabela
Para m=2
21,1 ,1
,2 2
44 1k k
k
T TT + −
=−
1,1 0,10,2
16 16 0.7468258 0.7468551 0.746823816 1 16 1T T
T× − × −= = =
− −
2,1 1,11,2
16 16 0.7468238 0.7468258 0.746823716 1 16 1T T
T× − × −= = =
− −
0,10 0,0
1 1,0
2 2,0
3 3,0
0
1,1
,2
1,2
2,1
0.7468551
0.7
1 2 0.7313 0.7468238
0.74
700
1 4 0.7429838
1 8 0.7458653
1 16 0.7465842
468258
0.7468
6
238
8237
h T
h T
h T
T
T
T
h
T
T
T
= =
= =
= =
= =
=
=
=
=
=
Matemática Computacional, MEMec, LEAN, MEAer
Método de Romberg
Formula de recorrência 1, 1 , 1,
44 1
mk m k m
k m m
T TT + − −−
=−
Tabela
Para m=3
31,1 ,1
,3 3
44 1k k
k
T TT + −
=−
1,2 0,20,3
64 64 0.7468237 0.7468238 0.746823764 1 64 1T T
T× − × −= = =
− −
0 0,0
1 1,0
2 2,0
3 3
0,1
1,1
0,2 0,3
1,
0
2
1
,
2,
1 2 0.7313700
1 4 0.74
0.7468551
0.746825
0.7468238
0.74682378
0.746823
29838
1 8 0.7458653
1 16 0.746584
0.746 7
8
23
2
8T
T
h T
h T
h T
h T
T
T
T
T
= =
= =
= =
=
=
=
=
=
=
=
=