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LÓGICAS DA INCONSISTÊNCIADEÔNTICA

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  • UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASINSTITUTO DE FILOSOFIA E CINCIAS HUMANASPROGRAMA DE PS-GRADUAO EM FILOSOFIA

    Newton Marques Peron

    LGICAS DA INCONSISTNCIADENTICA

    Dissertao de Mestrado

    Orientador: Marcelo Esteban Coniglio

    Campinas, Maro de 2009

  • FICHA CATALOGRFICA ELABORADA PELA

    BIBLIOTECA DO IFCH - UNICAMP

    Ttulo em ingls: Logics of Deontic Inconsistency.

    Palavras chaves em ingls (keywords) : rea de Concentrao: Filosofia Titulao: Mestre em Filosofia Banca examinadora:

    Data da defesa: 26-02-2009 Programa de Ps-Graduao: Filosofia

    Mathematical logic, non classical Deontic logic

    Marcelo Esteban Coniglio, Walter Alexandre Carnielli, Frank Thomas Sautter.

    Peron, Newton Marques P424L Lgicas da Inconsistncia Dentica / Newton Marques Peron.

    - - Campinas, SP : [s. n.], 2009. Orientador: Marcelo Esteban Coniglio. Dissertao (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Filosofia e Cincias Humanas.

    1. Lgica matemtica no-clssica. 2. Lgica dentica. I. Coniglio, Marcelo Esteban. II. Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Filosofia e Cincias Humanas. III.Ttulo. (msh\ifch)

  • Resumo

    Esse trabalho expe brevemente o que so as Lgicas da InconsistnciaFormal. Essas lgicas no trivializam a relao de conseqncia na presenade contradies, pois a partir de e temos simplesmente que , ou seja, no consistente, ou no seguro.

    De maneira anloga, as Lgicas da Inconsistncia Dentica so lgicasque no trivializam a relao de conseqncia na presena de obrigaesconflitantes, como e . Nesse caso teramos apenas , ou seja, deonticamente inconsistente, ou deonticamente inseguro.

    Essa abordagem parece interessante sobretudo na anlise de paradoxosdenticos, em que a partir de um conjunto de premissas intuitivamenteconsistentes, temos e . Trataremos como exemplo um nico para-doxo, a saber, o Paradoxo de Chisholm.

    iv

  • Abstract

    This work expose briefly what are the Logics of Formal Inconsistency.Those logics do not trivialize the consequence relation in the presence ofcontradictions, since from and we just derive , that is, is notconsistent, or not safe.

    Analogously, the Logics of Deontic Inconsistency are logics that do nottrivialize the consequence relation in the presence of conflicting obligations,since from and we would just obtain , that is, is not deonti-cally consistent, or not deontically safe.

    That approach seems interesting mainly for analyzing deontic parado-xes, in which from a set of intuitively consistent premises, we derive and . In order to exemplify we will regard just one paradox, namelyChisholms Paradox.

    v

  • Agradecimentos

    Agradeo ao meu orientador Marcelo Esteban Coniglio pelo minucioso acom-panhamento desse trabalho, aos professores do CLE Walter Alexandre Car-nieli e Itala M. DOtataviano que muito me contriburam no estudo de lgicaclssica e lgica modal e, por fim, aos amigos que me apoiaram.

    Agradeo ainda ao projeto temtico ConsRel da FAPESP e ao CNPq pelofinanciamento desta pesquisa.

    vi

  • Este trabalho foi financiado por uma bolsa do CNPq - Conselho Nacionalde Desenvolvimento Cientfico e Tecnolgico.

    vii

  • Sumrio

    1 LGICAS DA INCONSISTNCIA FORMAL 11.1 Paraconsistncia, Trivialidade e Exploso . . . . . . . . . . . . 11.2 mbC e C1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    2 LGICAS DA INCONSISTNCIA DENTICA 172.1 Lgica Dentica Clssica e Paraconsistncia . . . . . . . . . . 172.2 Lgicas Denticas Paraconsistentes . . . . . . . . . . . . . . . 24

    3 PARADOXOS DENTICOS 453.1 O Paradoxo de Chisholm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

    4 CONSIDERAES FINAIS 51

    5 PERSPECTIVAS 535.1 LFIs de Primeira Ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.2 A frmula de Barcan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3 Lgicas Denticas Didicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

    BIBLIOGRAFIA 58

    viii

  • Captulo 1LGICAS DA INCONSISTNCIA FORMAL

    1.1 Paraconsistncia, Trivialidade e ExplosoAs LFIs - Lgicas da Inconsistncia Formal (Logics of Formal Inconsistency)- so uma classe ampla de lgicas paraconsistentes que internalizam as no-es bsicas de consistncia e inconsistncia em nvel meta-lgico. As LFIsforam introduzidas por W. Carnielli e J. Marcos em [7] e posteriormenteanalisadas em detalhe (em particular, seus aspectos semnticos) no artigo[8], que adotamos aqui como principal referncia bibliogrfica. Refernciasadicionais a demais artigos sero explicitamente citadas.

    Uma das principais diferenas entre as lgicas do tipo clssico e as LFIs que, nas primeiras, no h distino entre contradio e outras formas deinconsistncia. A partir de uma contradio, tudo pode ser demonstrado eobtemos, assim, trivializao. J nas LFIs, no-trivialidade no pode serdefinida apenas como ausncia de contradio, pois nessa relao est pressu-posto o conceito de consistncia. O que esperamos dessas lgicas permitirinconsistncia em certas circunstncias e garantir que o sistema ainda possamanter sua capacidade de realizar inferncias razoveis na presena de con-tradies.

    Daqui em diante, trataremos essas noes em nvel meta-lgico para, emseguida, internalizar algumas delas no estudo das LFIs.

    Tomemos For como o conjunto de frmulas de uma dada linguagem.Aqui, e denotam frmulas quaisquer, enquanto e so subconjuntosde For. Assim, uma lgica L definida simplesmente como uma estruturada forma For, , que contm um conjunto de frmulas e uma relao deconseqncia definida nesse conjunto.

    1

  • Assumiremos que a linguagem de qualquer lgica L definida por umaassinatura proposicional = {n}nN, em que n o conjunto de conectivosde cardinalidade n. Assumiremos ainda que P = {pn : n N} o conjuntode variveis proposicionais (ou frmulas atmicas) tal que as frmulas sogeradas livremente a partir de P usando .

    Acrescentemos a essa lgica L as seguintes condies:

    (Con1) implica (Con2) ( e ) implica (Con3) ( e , ) implica , (Con4) implica () ()(Con5) implica fin , para algum fin A primeira condio denominada reflexividade, a segunda monotonici-dade e a terceira chamada condio de corte. A quarta denominadaestruturalidade em que o smbolo denota um endomorfismo da linguagem.A ltima denominamos compacidade e interpretamos fin como um conjunto1 qualquer finito.

    Qualquer conjunto For chamado de teoria de L. Se paratodo , dizemos que uma tese dessa lgica.

    A partir de agora lidaremos com uma lgica arbitrria L = For,em que se gera For a partir de uma assinatura que contm o conectivo (negao) e satisfaz (Con1) - (Con5).

    Seja uma teoria de L . Dizemos que uma teoria contraditria emrelao a , ou simplesmente contraditria sse:

    ( e )

    Para cada frmula acima, podemos dizer que -contraditrio. J umateoria trivial sse:

    ( )Evidentemente, a teoria For trivial, uma vez que, para todo , Fore, por (Con1), temos que For . Alm disso, como em uma teoria trivialvale para todo , ento, em particular vale para . Assim, todateoria trivial contraditria. Entretanto, veremos adiante que a recprocano verdadeira.

    1Observe que, para esta condio fazer sentido, deve ser assumido, adicionalmente, queo conjunto For uma lgebra livremente gerada a partir de uma assinatura.

    2

  • Outro conceito importante o de exploso. Uma teoria explosiva sse:

    (, , )Podemos demonstrar de acordo com noo definio de lgica trivial quese uma teoria trivial, ento explode. Ora, se trival, temos ( ),substituindo por . Tomemos = {,}. Como , por (Con2),temos que para todo , ou seja, (, , ).

    Tambm possvel demonstrar que se uma teoria contraditria e ex-plosiva, ento trivial. Se contraditrio, temos ( e ).Ainda, se explosivo, temos (, , ). Como temos e, , , temos, por (Con3) que , , para todo e para todo .Do mesmo modo, de , e , por (Con3), temos , paratodo , ou seja, trivial.

    No podemos esquecer que definimos L como For,. Ora, como For, por (Con2), podemos estender todas as definies acima para umalgica L. Dessa forma, j nos possivel formalizar alguns princpios lgicosaplicados a uma lgica qualquer L:

    Princpio de No-Contradio (PNC)

    ( 1 ou 1 )(L no-contraditrio) (1.1)Princpio de No-Trivialidade (PNT)

    ( 1 )(L no-trivial) (1.2)Princpio de Exploso (PPE)

    (, , )(L explosivo) (1.3)O ltimo princpio tambm denominado de Princpio ex Contraditione Se-quitor Quodlibet.

    De acordo com as definies (1.1), (1.2) e (1.3) acrescidas as demonstra-es anteriores, podemos formular o seguinte teorema:

    TEOREMA 1(i) Numa lgica h trivializao se e somente se houver contradio e explo-so.(ii) Numa lgica no valem simultaneamente o Princpio de Exploso e oPrincpio de No-Trivialidade se, e somente se, no vale o Princpio de No-Contradio.

    3

  • DEFINIO 1 Uma lgica L denominada consistente se for explosiva eno-trivial, ou seja, se respeita (1.3) e (1.2).Caso contrrio, dizemos que L inconsistente.

    Lgicas paraconsistentes so inconsistentes porque h o controle da explo-so de diversas formas. Lgicas triviais tambm so inconsistentes, conformea definio acima. A diferena entre lgicas paraconsistentes e triviais queas ltimas aceitam todo tipo de inferncia, no separando as proposies en-tre derivveis e no derivveis. Assim, pode