integração numérica regras de newton-cotescomp.ssdi.di.fct.unl.pt/aulas/teoricas/aulat9.pdfregras...

Integração Numérica

Regras de Newton-Cotes

Computação – 2º Semestre 2016/2017

Integração e Diferenciação

Integração é o inverso da diferenciação:a) Diferenciação

b) Integração

216 Maio 2017 Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes

dttvtyt

)(0

tydt

dtv )(

Integração

Integração:

é o valor total (soma) de f(x) dx deste a até b:

I f x a

b

dx

3Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes16 Maio 2017

Integração em Ciência e Engenharia

Cálculo de áreas:

Cálculo de médias:

4Integração Numérica – Regras de Newton-Cotes

ab

dxxfb

a

Meann

yn

i

i 1Mean

16 Maio 2017

Integração em Ciência e Engenharia

Cálculo do valor total de uma variável (linha/superfície/volume)

Ex: Massa = concentraçãovolume

Caso discreto:

Caso contínuo:


dxdydzzyxc ),,(

n

i

ii Vc1

16 Maio 2017


São os métodos de integração numérica mais comuns.

A ideia é substituir uma função complicada (ou os valores

tabelados) por um polinómio que seja fácil de integrar:

em que fn(x) é um polinómio interpolador de grau n:

I f x a

b

dx fn x a

b

dx



A função pode ser um

polinómio de qualquer

ordem:

(a) linha recta

(b) parábola.

O integral pode ser

aproximado num só passo ou

numa série de passos para

diminuir o erro.


Regra do Trapézio

É a primeira das regras de

Newton-Cotes;

usa uma linha recta para

aproximar a função:

I fn x a

b

dx

I f (a)f b f a

b ax a

a

b

dx

I b a f a f b

2


Regra do Trapézio

Uma estimativa para o erro local de

truncatura da aplicação da regra do

trapézio é:

em que é um valor entre a e b.

O erro depende da curvatura da

função e da distância entre os pontos.

O erro pode portanto ser reduzido

partindo a curva em segmentos.

Et 1

12f ba

3


Regra do Trapézio

Exemplo: Usar a regra do trapézio para integrar numericamente:

de a=0 a b=0.8. (o valor exacto calculado analiticamente é 1.640533)

Como sabemos o valor exacto, o erro é:

Em geral apenas podemos calcular uma estimativa para o erro:

No nosso caso:

Cuja média é:

Logo uma estimativa do erro é:


2

bfafabI

1728.0

2

232.02.008.0

2

8.0008.0

ff

%5.89t

Et 1

12f ba

3

16 Maio 2017

𝐸𝑡 = 1.640533 − 0.1728 = 1.467733

Regra do Trapézio Composta

Assumindo n+1 pontos equidistantes,

integrar nos n segmentos resultantes.

O integral total corresponde à soma dos

integrais obtidos em cada segmento:

I fn x x0

xn

dx fn x x0

x1

dx fn x x1

x2

dx fn x xn1

xn

dx

I x1 x0 f x0 f x1

2 x2 x1

f x1 f x2 2

xn xn1 f xn1 f xn

2

I h

2f x0 2 f xi

i1

n1

f xn



O erro da regra do trapézio composta corresponde à soma dos

erros cometidos em cada segmento:

Que pode ser estimado usando a aproximação:

n

n

i

i xfxfxfh

I1

1

0 22


n

abh

n

i

it fn

abE

13

3

12

f

n

abEa

2

3

12(dobrar o nº de segmentos corresponde a dividir por 4 o erro)

16 Maio 2017


Exemplo: Usar a regra do trapézio com 2 segmentos para integrar :



A estimativa do erro é:


:)4.0(2 hn

0688.14

232.0)456.2(22.08.0

I

%9.34t

2.0)0( f 456.2)4.0( f 232.0)8.0( f

64.0)60(

)2(12

8.0

12 2

3

2

3

fn

abEa

16 Maio 2017

𝐸𝑡 = 1.640533 − 1.0688 = 0.57173


Exemplo: Usar a regra do trapézio com n segmentos para integrar :



(dobrar o nº de segmentos corresponde a dividir por 4 o erro)

16 Maio 2017

Regra do Trapézio Compostafunction I = trap(func,a,b,n,varargin)

% trap: composite trapezoidal rule quadrature

% I = trap(func,a,b,n,pl,p2,...): composite trapezoidal rule

% input:

% func = name of function to be integrated

% a, b = integration limits

% n = number of segments (default = 100)

% pl,p2,... = additional parameters used by func

% output:

% I = integral estimate

if nargin<3,error('at least 3 input arguments required'),end

if ~(b>a),error('upper bound must be greater than lower'),end

if nargin<4|isempty(n),n=100;end



x = a; h = (b - a)/n;

s=func(a,varargin{:});

for i = 1 : n-1

x = x + h;

s = s + 2*func(x,varargin{:});

end

s = s + func(b,varargin{:});

I = (b - a) * s/(2*n);



Exemplo: Calcular a distância z percorrida por um bungee-jumper após 3

segundos com g=9.81 m/s2, m=68.1 kg , cd=0.25 kg/m

cuja solução analítica é:

Usando a solução analítica:

>> format long

>> z=@(t) (68.1/0.25)*log(cosh(sqrt(9.81*0.25/68.1)*t));

>> dist = z(3)

dist =

41.948050018677961


dttm

gc

c

gmdttvtz d

t

d

t

tanh )(

00

t

m

gc

c

mtz d

d

coshln )(

16 Maio 2017





Usando a regra do trapézio composta com 5 segmentos:

>> v=@(t) sqrt(9.81*68.1/0.25)*tanh(sqrt(9.81*0.25/68.1)*t);

>> tr5=trap(v,0,3,5), dist

tr5 =

41.86992959072735

dist =

41.948050018677961


dttm

gc

c

gmdttvtz d

t

d

t

tanh )(

00

t

m

gc

c

mtz d

d

coshln )(

16 Maio 2017





Usando a regra do trapézio composta com 10000 segmentos:

>> tr5=trap(v,0,3,10000), dist

tr5 =

41.948049999175282

dist =

41.948050018677961


dttm

gc

c

gmdttvtz d

t

d

t

tanh )(

00

t

m

gc

c

mtz d

d

coshln )(

16 Maio 2017

Regras de Simpson

Uma desvantagem da regra do trapézio resulta de o erro

depender da segunda derivada da função.

Polinómios de ordem superior podem ser melhores para

aproximar curvas: (a) Polinómio de 2º grau; (b) Polinómio de 3º grau

As fórmulas que resultam da integração desses polinómios

denominam-se Regras de Simpson.


Regra de Simpson 1/3

A Regra de Simpson 1/3 corresponde a usar um

polinómio de segunda ordem que passe pelos 3 pontos:

Cuja integração se simplifica para:

I fn x x0

x2

dx

I h

3f x0 4 f x1 f x2

fn x x x1 x0 x1

x x2 x0 x2

f x0 x x0 x1 x0

x x2 x1 x2

f x1 x x0 x2 x0

x x1 x2 x1

f x2


2

abh

21

bax

16 Maio 2017


Uma estimativa para o erro local de truncatura da aplicação da

regra de Simpson 1/3 é:

em que é um valor entre a e b.

O erro depende da quarta derivada da função e da distância

entre os pontos.

O erro pode ser reduzido partindo a curva em segmentos.

O erro depende do tamanho do passo elevado à 5ª potência

(em vez de elevado à 3ª potência como na regra do trapézio).

Et 1

2880f

4 ba 5



Exemplo: Usar a regra de Simpson 1/3 para integrar :





:)4.0(2 hn

367467.16

232.0)456.2(42.08.0

I

%6.16t

2.0)0( f 456.2)4.0( f 232.0)8.0( f

2730667.08.0)2400(2880

18.0

2880

1 554 fEa

16 Maio 2017

𝐸𝑡 = 1.640533 − 1.367467 = 0.2730667

Regra de Simpson 1/3 Composta

A regra de Simpson 1/3 também pode

ser aplicada a uma sequência de sub-

intervalos:

Implica um número ímpar de pontos.

A fórmula é mais complicada que a da

regra do trapézio:

I fn x x0

xn

dx fn x x0

x2

dx fn x x2

x4

dx fn x xn2

xn

dx

I h

3f x0 4 f x1 f x2

h

3f x2 4 f x3 f x4

h

3f xn2 4 f xn1 f xn

I h

3f x0 4 f xi

i1i, odd

n1

2 f xi j2j , even

n2

f xn


)4(

4

5

180f

n

abEa

16 Maio 2017

Regra de Simpson 1/3 Composta

Exemplo: Usar a regra de Simpson 1/3 com n=4 para integrar:





:)2.0(4 hn

623467.112

232.0)456.2(2)464.3288.1(42.08.0

I

%04.1t

2.0)0( f 456.2)4.0( f 232.0)8.0( f288.1)2.0( f 464.3)6.0( f

017067.0)2400(

)4(180

8.0

180 4

5

)4(

4

5

fn

abEa

16 Maio 2017

𝐸𝑡 = 1.640533 − 1.623467 = 0.017067


A Regra de Simpson 3/8 corresponde a usar um polinómio de 3ª grau que passe por 4 pontos.

A integração nos quatro pontos simplifica-se para:

A Regra de Simpson 3/8 é geralmente usada em conjunto com a regra de Simpson 1/3 quando o número de segmentos é ímpar.

I fn x x0

x3

dx

I 3h

8f x0 3 f x1 3 f x2 f x3



Exemplo: Usar a regra de Simpson 3/8 para integrar:




:)2667.0(3 hn

51970.18

232.0)487177.3432724.1(32.08.0

I

%37.7t

2.0)0( f 232.0)8.0( f432724.1)2667.0( f 487177.3)5333.0( f

16 Maio 2017

𝐸𝑡 = 1.640533 − 1.51970 = 0.120833

Regra de Simpson 3/8 Exemplo: Usar a regras de Simpson 3/8 e 1/3 para integrar em 5 segmentos:


O integral dos primeiros 2 segmentos é calculado pela regra de Simpsom 1/3

O integral dos últimos 3 segmentos é calculado pela regra de Simpsom 3/8

O total é:



:)16.0(5 hn

3803237.06

743393.1)296919.1(42.032.0

I

%28.0t

2.0)0( f

232.0)8.0( f

296919.1)16.0( f 743393.1)32.0( f

186015.3)48.0( f 181929.3)64.0( f

264754.18

232.0)181929.3186015.3(3743393.148.0

I

645077.1264754.13803237.0 I

16 Maio 2017

𝐸𝑡 = 1.645077 − 1.640533 = 0.00454

Regras de Newton-Cotes de Ordem Superior

Podem ser usados polinómios de ordem superior

Quanto maior for a ordem do polinómio maior a ordem da derivada na estimativa do erro e maior potência do tamanho do passo.


Integração com Segmentos Desiguais

As fórmulas anteriores foram simplificadas devido à

equidistância entre os pontos.

Frequentemente, em casos experimentais, apenas

sabemos os valores de alguns pontos não equidistantes.

A regra do trapézio pode ser facilmente adaptada a estes

casos:

I fn x x0

xn

dx fn x x0

x1

dx fn x x1

x2

dx fn x xn1

xn

dx

I x1 x0 f x0 f x1

2 x2 x1

f x1 f x2 2

xn xn1 f xn1 f xn

2




function I = trapuneq(x,y)

% trapuneq: unequal spaced trapezoidal rule quadrature

% I = trapuneq(x,y):

% Applies the trapezoidal rule to determine the integral

% for n data points (x, y) where x and y must be of the

% same length and x must be monotonically ascending

% input:

% x = vector of independent variables

% y = vector of dependent variables

% output:

% I = integral estimate

if nargin<2,error('at least 2 input arguments required'),end

if any(diff(x)<0),error('x not monotonically ascending'),end

n = length(x);

if length(y)~=n,error('x and y must be same length'); end

16 Maio 2017



s = 0;

for k = 1:n-1

s = s + (x(k+l)-x(k))*(y(k)+y(k+l))/2;

end

I = s;

16 Maio 2017

Integração com Segmentos Desiguais Exemplo: Usar a regra do trapézio para integrar nos pontos da tabela:


Solução:>> x = [0 .12 .22 .32 .36 .4 .44 .54 .64 .7 .8];

>> y = 0.2+25*x-200*x.^2+675*x.^3-900*x.^4+400*x.^5;

>> trapuneq(x,y)

ans =

1.5948


Funções do MATLAB

O MATLAB disponibiliza as seguintes funções para o

cálculo de integrais com a regra do trapézio:

z = trapz(y)

z = trapz(x, y)

calcula o integral de y sobre x. Se x for omitido,

assume h=1.

z = cumtrapz(y)

z = cumtrapz(x, y)

calcula a acumulada do integral de y sobre x. Se x for

omitido, assume h=1.


Funções do MATLAB Exemplo: Usar a regra do trapézio para integrar nos pontos da tabela:


Solução:>> x = [0 .12 .22 .32 .36 .4 .44 .54 .64 .7 .8];

>> y = 0.2+25*x-200*x.^2+675*x.^3-900*x.^4+400*x.^5;

>> trapz(x,y)

ans =

1.5948


Funções do MATLAB

Exemplo: iIustrar a distância percorrida por um bungee-jumper ao longo do tempo com g=9.81 m/s2, m=68.1 kg , cd=0.25 kg/m


Solução :

>> format short g

>> t=[0 1 1.4 2 3 4.3 6 6.7 8];

>> g=9.81;m=70;cd=0.275;

>> v=round(sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t));

>> z=cumtrapz(t,v)

z=

0 5 9.6 19.2 41.7 80.7 144.45 173.85 231.7


dttm

gc

c

gmdttvtz d

t

d

t

tanh )(

00

t

m

gc

c

mtz d

d

coshln )(

16 Maio 2017

Funções do MATLAB

Exemplo: iIustrar a distância percorrida por um bungee-jumper ao longo do

tempo com g=9.81 m/s2, m=68.1 kg , cd=0.25 kg/m

>> format short g

>> t=[0 1 1.4 2 3 4.3 6 6.7 8];

>> g=9.81;m=70;cd=0.275;

>> v=round(sqrt(g*m/cd)*tanh(sqrt(g*cd/m)*t));

>> z=cumtrapz(t,v)

z=

0 5 9.6 19.2 41.7 80.7 144.45 173.85 231.7

>> ta=linspace(t(1),t(length(t)));

>> za=m/cd*log(cosh(sqrt(g*cd/m)*ta));

>> plot(ta,za,t,z,'o')

>> title('Distance versus time')

>> xlabel('t (s)'),ylabel('x (m)')

>> legend('analytical','numerical')


Integrais Múltiplos

Integrais múltiplos podem ser calculados numericamente

integrando uma dimensão de cada vez.

Integrais múltiplos podem ser usados

para calcular médias:


Integrais Múltiplos Exemplo: A temperatura de uma superfície é descrita pela seguinte equação:

Se a superfície tiver um comprimento de 8 m (dimensão x) e uma largura de 6 m

(dimensão y) qual é a sua temperatura média? (o valor exacto é 58.66667)

Solução: Usando a regra do trapézio com 2 segmentos para cada dimensão

Resultado: 2554/(68)=53


O MATLAB tem funções pré-definidas dblquad e triplequad para calcular integrais duplos e triplos respectivamente:

q = dblquad(fun, xmin, xmax, ymin, ymax, tol)

em que:q é o resultado do integralfun é a função a integrarxmin e xmax são os limites de integração da primeira variávelymin e ymax são os limites de integração da segunda variável

Exemplo:

>> q = dblquad(@(x,y) 2*x*y+2*x-x.^2-2*y.^2+72,0,8,0,6)

q =

2816

>> q/(6*8)

ans =

58.6667

Integrais Múltiplos


integração numérica regras de newton-cotescomp.ssdi.di.fct.unl.pt/aulas/teoricas/aulat9.pdfregras...

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