trabalho metodo simpson

5/10/2018 Trabalho Metodo Simpson - slidepdf.com

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UNIVERSIDADE DA REGIÃO DE JOINVILLE – UNIVILLE

CURSO DE ENGENHARIA E PRODUÇÃO MECÂNICA

CÁLCULO DE VOLUME UTILIZANDO O

MÉTODO DE 1/3 DE SIMPSON

JUAREZ ALVES

MAURO ALMEIDA

MOISÉS PAULO DE SOUZA

PROFESSOR: HERCÍLIO KASTEN

Cálculo Numérico

Joinville



2011

2



SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ...................................................................................................03

1 OBJETIVO ...............................................................................................................04

2 PROCEDIMENTOS..................................................................................................05

2.1 Descrição do experimento ....................................................................................05

2.2 Determinação dos valores das dimensões e o cálculo do volume.......................08

3 VALIDAÇÃO ............................................................................................................11

CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................12

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ...........................................................................13



INTRODUÇÃO

Neste trabalho mostraremos a aplicação do método de 1/3 de Simpson

através de um experimento com uma peça de madeira. No experimento será

calculado o volume do sólido, que na sua confecção um dos lados possuem uma

superfície não retangular. Para calcular o volume desta determinada peça,

utilizaremos os conhecimentos adquiridos em sala de aula. Os valores extraídos das

medidas da peça serão utilizados para obtermos o volume, mostrando que é

possível determinar o volume sem conhecer a função que descreve a superfície não

retangular.



OBJETIVO

Mostrar a possibilidade na obtenção do volume de um sólido que tem uma

das superfícies não retangular, através de um experimento com a utilização do

método de 1/3 de Simpson.

5



1 PROCEDIMENTOS

A seguir serão mostradas as etapas para cálculo do volume de um sólido com

superfícies planas.

2.1 Descrição do experimento

O experimento é composto dos seguintes materiais:

• 01 sólido de placa de madeira;

• 01 régua de 30cm;

• 01 lapiseira;

• 01 lápis de carpinteiro;

• 01 estilete;

• 01 balde plástico com marcação de medidas em ml;

• Água.

A partir de um pedaço de madeira do tipo itaúba retangular de dimensões

18,5x138,6x96,4mm (espessura x comprimento x altura) foi definido um traçado não

retangular numa das superfícies e após cortado, conforme figuras 1 e 2 a seguir.



Figura 1 – Definição do traçado não retangular Figura 2 – Material após corteFonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)

Após o corte o material ficou dividido em dois sólidos, os quais serão chamados

neste trabalho de sólido 1 e sólido 2, conforme figuras 3 e 4 abaixo:

Figura 3 – Sólido 1 (pequeno) Figura 4 – Sólido 2 (grande)Fonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)

Na seqüência foi divido a superfície não retangular em 10 partes iguais no

comprimento e 4 partes iguais na espessura e o ponto de origem é no lado esquerdo

inferior da figura, conforme são mostrados nas figuras 5, 6, 7 e 8.

7



Figura 5 – Sólido 1 vista superior Figura 6 – Sólido 2 vista superior Fonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)

Figura 7 – Sólido 1 vista lateral Figura 8 – Sólido 2 vista lateralFonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)

As divisões no sólido 1 e 2 foram feitas de acordo com o solicitado pelo

método que deve ser somente em divisões pares. A partir daí, foi estabelecido todos

os nós que são resultantes do encontro das linhas horizontais e verticais e inclusive

com as linhas do perfil externo dos sólidos. A figura 9 mostra todos os nós num

sistema cartesiano no R2, e estes foram nomeados também de acordo com o

método. Estes nós serão utilizados para encontrar todas as alturas da base do sólido

até os nós e conseqüentemente realizar o cálculo do volume.

o x

y

o x

y

8



Figura 9 – Definição dos nós no sistema cartesiano R2

Fonte: JMM (2011)

2.2 Determinação dos valores das dimensões e o cálculo do volume

Nas tabelas 1,2, 3, 4, 5 e 6 a seguir estão dispostos as dimensões nos 3 eixos

do R3 para cada nó e também os cálculos dos respectivos volumes. Sendo que os

valores foram encontrados da seguinte maneira:

• eixo x resultante da divisão do comprimento total em 14 partes iguais;

•

eixo y

resultante da divisão do espessura total em 4 partes iguais;

• eixo z resultante da medição com o paquímetro da base até o nó.

Devido à superfície ser plana para cada seqüência de nós no sentido do eixo

y da superfície não retangular, então a altura da base até o nó será igual para todos

estes nós. Logo, a variação da altura poderá ocorrer apenas no sentido do eixo x.

9,9 29,7 49,5 69,3 89,1

0,0001

1

4

2

4

2

8

8

4

2 2

2

2

4

8

2

2

8

2

8

8

4

8

8

4

4,625

9,250

13,875

18,500

4

16

16

8

4

4

16

16

8

4

4

16

16

8

4

4

16

16

8

4

4

16

16

8

4

2

8

8

4

2

4

16

16

8

4

2

8

8

4

2

4

16

16

8

4

1

4

4

2

1

19,8 39,6 59,4 79,2 99,0 108,9 118,8 128,7 138,60,0 x

)(mm

y

)(mm

9



Conseqüentemente, os valores de x, y, z e a somatória de z serão iguais para as

combinações com y = 0 e y = 18,5 e y = 4,625 e y = 13,875.

Tabela 1 – Dados para y=0 e y=18,500 Tabela 2 – Dados para y=4,625 e y=13,875

Fonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)

Tabela 3 – Dados para y = 9,250

Nó x y z Nó.z

2 0,0 46,6 93,200

8 9,9 37,6 300,800

4 19,8 35,4 141,6008 29,7 35,0 280,000 mm

4 39,6 29,6 118,400

8 49,5 32,5 260,000 Relação = hk / 9

4 59,4 35,5 142,000

8 69,3 36,9 295,200 mm2

4 79,2 42,0 168,000

8 89,1 36,6 292,800

4 99,0 32,0 128,000 Volume = soma total x relação

8 108,9 32,1 256,8004 118,8 36,3 145,200

8 128,7 41,7 333,600 mm3

2 138,6 40,7 81,400

3.037,00

Soma total =

Volume =

Relação =

Sólido 1

Soma total=(2xsoma1)+(2xsoma2)+soma 3

Soma 3

9,250 5,0875

92.704,425

18.222,00

Nó x y z Nó.z Nó x y z Nó.z

1 0,0 46,6 46,600 4 0,0 46,6 186,400

4 9,9 37,6 150,400 16 9,9 37,6 601,600

2 19,8 35,4 70,800 8 19,8 35,4 283,200

4 29,7 35,0 140,000 16 29,7 35,0 560,000

2 39,6 29,6 59,200 8 39,6 29,6 236,800

4 49,5 32,5 130,000 16 49,5 32,5 520,000

2 59,4 35,5 71,000 8 59,4 35,5 284,000

4 69,3 36,9 147,600 16 69,3 36,9 590,400

2 79,2 42,0 84,000 8 79,2 42,0 336,000

4 89,1 36,6 146,400 16 89,1 36,6 585,600

2 99,0 32,0 64,000 8 99,0 32,0 256,000

4 108,9 32,1 128,400 16 108,9 32,1 513,600

2 118,8 36,3 72,600 8 118,8 36,3 290,400

4 128,7 41,7 166,800 16 128,7 41,7 667,200

1 138,6 40,7 40,700 4 138,6 40,7 162,800

1.518,50 6.074,00

Sólido 1

0,000

ou

18,500

4,625

ou

13,875

Soma 1 Soma 2

Nó x y z Nó.z

2 0,0 46,6 93,200

8 9,9 37,6 300,800

4 19,8 35,4 141,6008 29,7 35,0 280,000

mm

4 39,6 29,6 118,400

8 49,5 32,5 260,000 Relação = hk / 9

4 59,4 35,5 142,000

8 69,3 36,9 295,200 mm2

4 79,2 42,0 168,000

8 89,1 36,6 292,800


8 108,9 32,1 256,8004 118,8 36,3 145,200

8 128,7 41,7 333,600 mm3

2 138,6 40,7 81,400

3.037,00

Soma total =

Volume =

Relação =

Sólido 1


Soma 3

9,250 5,0875

92.704,425

18.222,00

10



Tabela 4 – Dados para y=0 e y=18,500 Tabela 5 – Dados para y=4,625 e y=13,875Fonte: JMM (2011) Fonte: JMM (2011)

Nó x y z Nó.z Nó x y z Nó.z1 0,0 49,6 49,600 4 0,0 49,6 198,400

4 9,9 59,0 236,000 16 9,9 59,0 944,000

2 19,8 60,8 121,600 8 19,8 60,8 486,400

4 29,7 61,6 246,400 16 29,7 61,6 985,600

2 39,6 65,6 131,200 8 39,6 65,6 524,800

4 49,5 63,8 255,200 16 49,5 63,8 1020,800

2 59,4 60,7 121,400 8 59,4 60,7 485,600

4 69,3 59,8 239,200 16 69,3 59,8 956,800

2 79,2 54,0 108,000 8 79,2 54,0 432,0004 89,1 59,3 237,200 16 89,1 59,3 948,800

2 99,0 64,5 129,000 8 99,0 64,5 516,000

4 108,9 64,5 258,000 16 108,9 64,5 1032,000

2 118,8 59,8 119,600 8 118,8 59,8 478,400

4 128,7 55,0 220,000 16 128,7 55,0 880,000

1 138,6 55,8 55,800 4 138,6 55,8 223,200

2.528,20 10.112,80 Soma 1 Soma 2

0,000

ou

18,500

4,625

ou

13,875

Sólido 2

11



Tabela 6 – Dados para y = 9,250

Fonte: JMM (2011)

Nó x y z Nó.z

2 0,0 49,6 99,200

8 9,9 59,0 472,000

4 19,8 60,8 243,200

8 29,7 61,6 492,800 mm

4 39,6 65,6 262,400

8 49,5 63,8 510,400 Relação = hk / 9

4 59,4 60,7 242,800

8 69,3 59,8 478,400 mm2

4 79,2 54,0 216,000

8 89,1 59,3 474,400


8 108,9 64,5 516,000

4 118,8 59,8 239,200

8 128,7 55,0 440,000 mm3

2 138,6 55,8 111,600

5.056,40

Sólido 2

Soma 3


9,250

Soma total = 30.338,40

Relação = 5,0875

Volume = 154.346,610

12



VALIDAÇÃO

Para validar o experimento será realizado um comparativo do volume total do

sólido 1 e 2 em relação ao volume do sólido antes do corte. Isto é relativamente fácil,

porque antes do corte temos um sólido que o volume é dado pelo produto da

espessura, comprimento e altura.

Conforme pode ser observado, o erro relativo encontrado é desprezível. Logo,

podemos considerar o volume encontrado do sólido 1 e 2 como sendo o volume real.

Também poderia ter sido feito a validação pelo peso, mas como não é

conhecido o valor exato da densidade optou-se pelo método descrito acima.

mm3

mm3

Erro Relativo = -0,052%

247.051,035

247.179,240

Volume sólido 1 e 2 =

Volume antes do corte =



Figura 1 – Sólido 1 vista superior

o x

y

14



2.2 Determinação dos valores das dimensões e o cálculo do volume

Nas tabelas a seguir estão dispostos as dimensões nos 3 eixos do R3

para

cada nó e também os cálculos dos respectivos volumes. Sendo que os valores

foram encontrados da seguinte maneira:

• eixo x resultante da divisão do comprimento total em 10 partes iguais;

• eixo y resultante da divisão do espessura total em 4 partes iguais;

• eixo z resultante da medição com uma régua da base até o nó.

Devido à superfície ser plana para cada seqüência de nós no sentido do eixo

y da superfície não retangular, então a altura da base até o nó será igual para todos

estes nós.

Tabela 1 – Dados para y=0 e y=18,500Fonte: JMM (2011)

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Tabela 2 – Dados para y=4,625 e y=13,875Fonte: JMM (2011)

Tabela 3 – Dados para y=4,625 e y=13,875

Fonte: JMM (2011)

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Tabela 4 – Dados para y=0 e y=18,500Fonte: JMM (2011)

Tabela 5 – Dados para y=4,625 e y=13,875Fonte: JMM (2011)

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CONSIDERAÇÕES FINAIS

Através de um experimento com a utilização do método de 1/3 de Simpson foi

obtido o volume dos sólidos. Devido ao número de nós utilizado o erro relativo

constatado foi desprezível.

Então, a precisão do resultado está associada ao número de nós escolhido

versus o tipo de superfície (simples ou complexa). Logo, para este caso o método

mostrou-se preciso e com resultados bastante confiáveis.

O trabalho realizado mostrou aspectos de transversalidade, ou seja, com a

fabricação de peças para indústrias em geral.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Livro,

CAMPOS Filho, Frederico Ferreira, Algoritmos Numéricos. Rio de Janeiro: LTC

Editora, 2001.

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