ifusp, agosto de 2016 equação de langevin movimento...

Dinâmica Estocástica

Quinta aula

Ifusp, agosto de 2016

Equação de LangevinMovimento browniano

Tânia Tomé - Din Estoc - 20161

Bibliografia: Dinâmica estocástica e irreversibilidade, T. Tomé e M. J. de Oliveira, Edusp, 2014Capítulo 3

Movimento BrownianoEinstein (1905), Smoluchowsky (1906), Langevin (1908), Perrin (1908).

Equação de Langevin

Motivação:

Movimento de uma partícula imersa em um fluidoO movimento é mantido por flutuações nas colisões da partícula com as moléculas do fluido na vizinhança.

Paul Langevin, Comptes Rendues, Acad. Sci. (Paris), 146, 530 (1908)

A. Pais, Sutil é o Senhor, 1995.

“The modern theory of the Brownian motion of a free particle ....generally starts with Langevin’s equation”, S. Chandrasekhar,

in N. Wax (Ed), Selected Papers on Noise and Stochastic Processes , p. 20 (1954).

Algumas referências sobre a história do desenvolvimento do estudo do movimento browniano


Equação de movimento da partícula

)(tFvdt

dvm

v

)(tF

velocidade da partícula

(movimento em uma dimensão)

força aleatória ou flutuante

.constm

v força viscosa (força de atrito) proporcional à velocidade da partícula

característica do movimento browniano

massa da partícula


Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 3

Equação de Langevin (1)

C. R. Acad. Sci. (Paris), 146,530-533 (1908).


Paul Langevin, C. R. Acad. Sci. (Paris,), 146,530-533 (1908).


mtF

mv

dt

dv ),(

1

0)( tF

)()()( ttm

BtFtF

Suposição: a força aleatória varia muito rapidamente comparada às variações na velocidade:

em instantes de tempo diferentes não estão correlacionadas e são)(e)( tFtF

estatisticamente independentes.

(*)

(*)



(2)

(3a)

(3b)

)(tvdt

dv

0)( t

)()()( tttt

)(e)( tt são variáveis estocásticas independentes

(4)

(5)

(6)

m

tFt

)()( = variável aleatória que depende do tempo

m

2m

B

(4a)

(6a)

uma variável estocástica



(4b)

Análises

As análises que se seguem são para a equação de Langevin dada em (4) e complementada pelas condições (5) e (6), isto é,

)(tvdt

dv (4)

0)( t

)()()( tttt

(5)

(6)


Análises

1) Velocidade v(t), valor médio de v(t) e variância de v(t)

2) Posição x(t), valor médio e deslocamento quadrático médio

As seguintes estudos dos tópicos abaixo enumerados são para a equação de Langevin dada em (4) e complementada pelas condições (5) e (6):


1) VELOCIDADE )(tv

Vamos propor a seguinte expressão para a velocidade:

)exp()()( ttAtv (7)

= função de t a ser determinada por meio da equação de Langevin (4) e suas propriedades (5) e (6). E também pelas condições iniciais a serem adotadas.

)(tAem que


)exp()()( ttAtv

)exp()( ttAvdt

dv

)(tvdt

dv

)()exp()(' tttA

v(t) dada na Eq. (7) deve obedecer à equação de Langevin (4), isto é,

Portanto, a partir das equações (4) e (8) temos:

Então:



)exp()()(' tttA

(7)

(8)

(4)

(9)

Velocidade )(tv

)exp()()(' tttA

Portanto:

tdttAtA

t

0

)exp()()0()(



(9)

(10)

Velocidade )(tv

)exp()()( ttAtv

(11)



tdttAA

t

0

)exp()()0(

0)0( vv 0)0( vA

tdttvtA

t

0

0 )exp()()(

Condições iniciais:

(10)

(7)

Velocidade )(tv

)exp()()( ttAtv

tdttvttv

t

0

0 )exp()()exp()( Portanto:

tdttttvtv

t

0

0 )exp()()exp()exp()(



tdttvtA

t

0

0 )exp()()(

(12)

Ou

(11)

(7)

Velocidade )(tv

tdttttvtv

t

0


tdttttvtv

t

0


Valor médio da velocidade da partícula

(12)



)(tv

tdttttvtv

t

0


tdttttvtv

t

0


Velocidade )(tv

Valor médio da velocidade da partícula

)exp()( 0 tvtv

Da condição (5) temos:

0)( t

Portanto:

Valor médio da velocidade

(13)



)(tv

tdttttvtv

t

0


(5)

Variância associada à velocidade

222)( vvvv


19

tdttttvtv

t

0


)exp()( 0 tvtv

tdtttvtv

t

0

)exp()()exp()(

e


(14)Definição:

(13)

(12)

Variância associada à velocidade 222)( vvvv


20

tdtttvtv

t

0

)exp()()exp()(

'')''exp()''()exp()()2exp())((00

2 dttttdtttvtv

tt

Portanto:


(15)


2( )v v 0 0

exp( 2 ) ( ) exp( ) ( ) exp( )

t t

t t t dt t t dt


21

'')''exp()''()exp()()2exp())((00

2 dttttdtttvtv

tt

'')exp()''exp()''()()2exp())((0 0

2 dttdtttttvtv

t t


(16)

(15)

Equação çde Langevin

22

)()()( tttt

''')''exp()'exp()'''()2exp())((0 0

2 dtdttttttvtv

t t

')'exp()'exp()2exp())((0

2 dttttvtv

t

Mas, (6)

'')exp()''exp()''()()2exp())((0 0

2 dttdtttttvtv

t t


(16)

(17)

(18)



23

')'exp()'exp()2exp())((0

2 dttttvtv

t

')'2exp()2exp())((0

2 dtttvtv

t

''''2''''2 dtdttt 1)2exp(2

1''')'''exp(

2

1')'2exp(

2

00

tdttdtt

tt

)1)2(exp(2

)2exp())(( 2

ttvtv

Tânia Tomé - DinEstoc - 2016

(18)

(19)


Equação çde Langevin

24

)1)2(exp(2

)2exp())(( 2

ttvtv

))2exp(1(2

))(( 2 tvtv

222 )()())(( tvtvvtv

))2exp(1(2

)()( 22 ttvtv

vVariânciada velocidade

(21)

Mas, já mostramos em aula

anterior que:

v(20)Variância

da velocidade

Ou seja,


(19)



25

))2exp(1(2

)()( 22 ttvtv

variância da velocidade

)exp()( 0 tvtv

1t 0)( tv

Limite de tempos longos 1t

(23)

0)exp( t

valor médio da velocidade

(22)

(21)

(13)


1t 0)2exp( t2

)()( 22 tvtv


26

2)(2 tv1t

Velocidade quadrática média no limite de tempos longos

(24)

Portanto, a partir das equações (22) e (23) temos:



2/2 v

A partir do teorema da equipartição de energia temos:

2/2/2 Tkmv B

Portanto: Tkm B2

1)2/(

2

1

Tm

kB2

Bk Tconstante de Boltzmann temperatura absoluta

(26)



(24)

E,

(25)


2) Posição )(tx


dt

dxv

Posição

tdtvxx

t

0

0 )(

Vamos assumir as condições iniciais: 0e0 00 vx

tdttvttv

t

0

0 )exp()()exp()( Já obtivemos que:(12)

(27)

(28)



)(tx

tdtvx

t

0

)(

'')''exp()''()'exp()'(

'

0

dtttttv

t



tddttttxt

t

'

00

'')''exp()''()exp( (31)

(30)

0e0 00 vx

(29)

(28)

Utilizando as condições (28) obtemos a partir das Eqs. (27) e (12):

Posição x(t)



tddttttxt

t

'

00

'')''exp()''()exp(

Mas, 0)'( t (5)

tddttttxt

t

'

00

'')''exp()''()exp(

0 x Valor médio de x(t) é nulo.

(31)

(33)

(32)

Valor médio <x(t)>



'')''exp()''()exp()('

00

dttttdttxt

t

(31)

''))''(exp(1)(1

)(0

dtttttx

t

(32)

Essa equação pode ser reduzida à seguinte expressão (DEDUZIR)

Posição )(tx

)(2 txObtenção de:

Deslocamento quadrático médio




''))''(exp(1)(1

)(0

dtttttx

t

(33)

)(2 txObtenção de:

'))'(exp(1)'(''))''(exp(1)(1

)(00

2

2 dttttdtttttx

tt

'''))''(exp(1))'(exp(1)()'(1

)(0 0

2

2 dtdttttttttx

t t

(34)

Posição x(t)

Continuação na próxima aula

ifusp, agosto de 2016 equação de langevin movimento...

Documents