equaÇÃo da quantidade de movimento – equaÇÃo de euler – equaÇÃo de bernoulli
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EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO – EQUAÇÃO DE EULER –
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
I. DESCRIÇÃO DO ESCOAMENTO DOS FLUIDOS:
DEFINIÇÃO:
IMPORTÂNCIA:
PROJETOS DOS EQUIPAMENTOS PROCESSADORES (BOMBAS, TANQUES, TROCADORES DE CALOR, TUBULAÇÕES,...);
MINIMIZA AS PERDAS DE ENERGIA NAS INDÚSTRIAS;
EVITA UM SUB OU SUPER DIMENSIONAMENTO DOS EQUIPAMENTOS.
- É O ESTUDO DOS CONCEITOS REFERENTES AO MOVIMENTO DOS FLUIDOS DE UM LOCAL A OUTRO, NO INTERIOR DE UM SISTEMA DE TRANSPORTES, EM UMA PLANTA PROCESSADORA, ONDE OS FLUIDOS COMEÇAM A ESCOAR A PARTIR DE FORÇAS AGINDO SOBRE ELES. ESTA FORÇA, CAUSA VARIAÇÃO NA QUANTIDADE DE MOVIMENTO.
II. BALANÇOS (MASSA, MOMENTUM):
REGIMES TRANSIENTES
REGIMES PERMANENTES
GEOMETRIAS SIMPLES (UNIDIMENSIONAIS)
GEOMETRIAS COMPLEXAS (TRIDIMENSIONAIS)
- APLICADOS AO DESENVOLVIMENTO DE EQUAÇÕES PARA ANÁLISE DO ESCOAMENTO DE FLUIDOS;
EQUAÇÕES DE MOVIMENTO:
DIFERENCIAL
INTEGRAL COMPORTAMENTO GENÉRICO DE UM CAMPO DE ESCOAMENTO;
CONHECIMENTOS DETALHADOS PONTO A PONTO DO CAMPO DE ESCOAMENTO.
III. EQUAÇÕES DE EULER EM COORDENADAS DE UMA LINHA DE CORRENTE (ESCOAMENTO PERMANENTE):
z
OBS.: EIXO Y EIXO XZ.
x
sn
(1)
(2)
- PARTÍCULA SE DESLOCA DE UM PONTO A OUTRO:
z
OBS.: EIXO Y EIXO XZ.
x
sn
(1)
(2)
amF
- CONSIDERANDO UM FLUIDO INVÍSCIDO:
PARTÍCULADAACELERAÇÃOPARTÍCULADAMASSAGRAVIDADEÀDEVIDO
PARTÍCULANAFORÇA
PRESSÃOÀDEVIDOPARTÍCULANA
LÍQUIDAFORÇA
z
OBS.: EIXO Y EIXO XZ.
x
sn
(1)
(2)
- ESCOAMENTOS BIDIMENSIONAIS: PODEM SER DESCRITOS EM FUNÇÃO DAS ACELERAÇÕES E VELOCIDADES DAS PARTÍCULAS FLUIDAS NAS DIREÇÕES z E x:
EQUAÇÃO DE EULER
tzyxfV ,,,
- O MOVIMENTO DE CADA PARTÍCULA FLUIDA É DESCRITO EM FUNÇÃO DO VETOR VELOCIDADE (V):
- AO MUDAR DE POSIÇÃO, A PARTÍCULA SEGUE UMA TRAJETÓRIA, SENDO A LOCALIZAÇÃO DA MESMA f (x0, V);
- PARA ESCOAMENTO PERMANENTE: TODAS AS PARTÍCULAS QUE PASSAM POR UM CERTO PONTO SEGUEM A MESMA TRAJETÓRIA E SEU VETOR VELOCIDADE É SEMPRE TANGENTE À TRAJETÓRIA;
z
x
sn
(1)
(2)
- EM MUITAS SITUAÇÕES, É MAIS FÁCIL DESCREVER O ESCOAMENTO EM FUNÇÃO DAS COORDENADAS DA LINHA DE CORRENTE (s,n).
amF
dt
dVa
ESCOAMENTO BIDIMENSIONAL
as, an
- ACELERAÇÃO AO LONGO DA LINHA DE CORRENTE:
Vs
V
t
s
s
V
dt
dVas
- COMPONENTE NORMAL DA ACELERAÇÃO:
R
Van
2
- FORÇA AO, LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE:
s
VV
s
VVmamF ss
(*)
- SUPONDO ESCOAMENTO ESTACIONÁRIO, FLUIDO INCOMPRESSÍVEL E INVÍSCIDO:
- FORÇAS QUE AGEM NA PARTÍCULA:
PESO
PRESSÃO
z
x
s
(2)
(1) WPeso
dn
ds
n
yspp n
yspp n
ynpp s
ynpp s
2
s
s
pps
- COMPONENTE DA FORÇA PESO NA DIREÇÃO S:
sensenWWs
s
zsen
z
x
s
n
WnWs
(1)
(2)
W
- COMPONENTE DA FORÇA PESO NA DIREÇÃO n:
coscos WWn
- COMPONENTE DA PRESSÃO NA DIREÇÃO S:
s
P
ynss
Pynp
ynds
s
ppyn
s
s
pp
ynppynppF
s
ssPS
2
22
z
x
s
(2)
(1) WPesodn
ds
n
yspp n
yspp n
ynpp s
ynpp s
2
s
s
pps
s
psenFWF psss
(**)
- COMBINANDO AS E QUAÇÕES (*) e (**):
s
VV
s
psen
s
VV
s
psen
as
EXEMPLO: CONSIDERE UM FLUIDO INVÍSCIDO E INCOMPRESSÍVEL, AO LONGO DE UMA LINHA DE CORRENTE, EM TORNO DE UMA ESFERA DE RAIO a E A VELOCIDADE AO LONGO DA LINHA DE CORRENTE ENTREOS PONTOS A E B É DADA POR:
3
3
0 1 x
aVVA B
DETERMINE A VARIAÇÃO DE PRESSÃO ENTRE OS PONTOS A E B, DA LINHA DE CORRENTE MOSTRADA NA FIGURA.
n
pFWF pnnn cos
R
V
n
p
dn
dz 2
- DE MANEIRA ANÁLOGA, NA DIREÇÃO n:
R
V
R
mVFn
22
s
zsen
z
x
s
n
PnPs
(1)
(2)
W
s
VV
s
psen
dS
Vd 2
2
1
dnn
pds
s
pdp
0
ds
dp
s
p
ds
Vd
ds
dp
ds
dz 2
2
1
ds
Vd
ds
dp
ds
dz 2
2
1
- AO LONGO DA LINHA DE CORRENTE:
0
2
1 2
dzds
Vddp
Cdz
ds
Vddp
2
2
1
IV. A EQUAÇÃO DE BERNOULLI:
s
(1)
(2)
- INTEGRANDO A EQUAÇÃO DE (1) A (2):
2
1
2
1
2
1
0v
v
z
z
P
Pdzgdvv
dP
22221
211 2
1
2
1zgVPzgVP
EQUAÇÃO DE
BERNOULLI
V. APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI:
MEDIDORES DE VAZÃO:
DEFINIÇÃO: DISPOSITIVOS QUE DETERMINAM A QUANTIDADE
(MÁSSICA/VOLUMÉTRICA) POR UNIDADE DE TEMPO DE UM FLUIDO, QUANDO O MESMO
ESCOA ATRAVÉS DE UMA DADA SEÇÃO.
TIPOS DE MEDIDORES:
MEDIDA DIRETA – FLUIDO É DESPEJADO EM UM RESERVATÓRIO(DE
PESAGEM/GRADUADO) DURANTE UM CERTO TEMPO CRONOMETADO.
PROCESSAMENTO
TANQUE DE MATÉRIA-PRIMA
TANQUE DE PRODUTO PROCESSADO
BALANÇA
CRONÔMETRO
MEDIDA INDIRETA – A MEDIDA DE VAZÃO DÁ-SE POR UMA REDUÇÃO NA SEÇÃO DO ESCOAMENTO. OU SEJA, NO CONDUTO DO ESCOAMENTO INTERNO É INSERIDO UM ESTRANGULAMENTO, A FIM DE PROPICIAR UMA QUEDA DE PRESSÃO LOCALIZADA (OU PERDA DE CARGA LOCALIZADA). A VAZÃO É DETERMINADA RESOLVENDO-SE UM SISTEMA COMPOSTO PELAS EQUAÇÕES DE BERNOULLI E DA CONTINUIDADE.
TUBO DE
VENTURI
EXEMPLO: QUEROSENE ESCOA NO MEDIDOR DE VENTURI, COM VAZÃO VOLUMÉTRICA VARIANDO DE 0,005 A 0,05 m3/s. DETERMINE A FAIXA DE ARIAÇÃO DE DIFERENÇA DE PRESSÃO MEDIDA NESSES ESCOAMENTOS.
EXEMPLO 2: A FIGURA A SEGUIR MOSTRA UM MODO DE RETIRAR ÁGUA A 20C DE UM GRANDE TANQUE. SABENDO QUE O DIÂMETROI DA MANGUEIRA É CONSTANTE, DETERMINE A MÁXIMA ELEVAÇÃO DA MANGUEIRA, H, PARA QUE NÃO OCORRA CAVITAÇÃO NO ESCOAMENTO DA ÁGUA NA MANGUEIRA. ADMITA QUE A SEÇÃO DE DESCARGA DA MANGUEIRA ESTÁ LOCALIZADA A 1,5 M ABAIXO DA SUPERFÍCIE INFERIOR DOP TANQUE E QUE A PRESSÃO ATMOSFÉRICA SEJA IGUAL A 101.325 Pa.
(1)
(3)
(2)
4,5 M
MEDIDA DE VELOCIDADE DO AR PELO MEDIDOR DE PITOT E
PRANDT:
- CONSISTE DE DOIS TUBOS CONCÊNTRICOS E CURVADOS EM FORMATO DE L, CUJO SENSOR É INSERIDO NO INTERIOR DA TUBULAÇÃO E CUIDADOSAMENTE ALINHADO À DIREÇÃO FORNTAL DO ESCOAMENTO, DE TAL MODO QUE FORMA-SE UM PONTO DE ESTAGNAÇÃO ONDE PODEMOS MEDIR A PRESSÃO EXERCIDA PELO FLUIDO.
PRESSÃODE
ESTAGNAÇÃO
ctezVp 2
2
1
PRESSÃO ESTÁTICA PRESSÃO HIDROSTÁTICA
PRESSÃO DINÂMICA
A EQUAÇÃO DE BERNOULLI ESTABELECE QUE A PRESSÃO TOTAL PERMANECE CONSTANTE AO LONGO DA LINHA DE CORRENTE.
EXEMPLO: CONSIDERE UM AVIÃO VOANDO A 160 KM/H NUMA ALTITUDE DE 3000M. ADMITINDO QUE A ATMOSFERA SEJA A PADRÃO,DETERMIONE A PRESSÃO AO LONGE DO AVIÃO, A PRESSÃO NO PONTO DE ESTAGNAÇÃO NO NARIZ DO AVIÃO E A DIFERENÇA DE PRESSÃO INDICADA PELO TUBO DE PITOT QUE ESTÁ INSTALADO NA FUSELAGEM DO AVIÃO.