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Dinâmica Estocástica

Aula 5

Teorema central do limite&

Aplicações

2

)2/exp(2

1)( 22

2

ZZ

N

xxxxZ N

....321

Distribuição de probabilidades associada a Z

22 )( jx0 jx

Nxxxx ...,,,, 321

jx é tal que: e

Então para N

Teorema central do limite

Se é finita

é uma gaussiana de variância .

Temos:

variáveis aleatórias independentes com a mesma distribuição

Seja: v

Nj ...,,2,1v

2

3


A função característica escrita em termos da expansão em cumulantes é dada por:

Nxxxx ...,,,, 321

)(....)()( 21 kgkgkg N )(kg

1

)!

)(exp()(

n

n

n

n

ikkg

As variáveis possuem a mesma distribuição:

)(kg

))(2

exp()( 3

2

2

1 kOk

ikkg

Demonstração do teorema

vExpansão

4


))(2

exp()( 3

2

2

1 kOk

ikkg


0...211 xx

22

21

2

2 ... xx

cumulante de primeira ordem

cumulante de segunda ordem

)( 3kO termos de ordem superior a 2 em k (a expansão é para k pequeno)

vv

v

v

5


A função característica associada a Z é dada por:

Nxxxx ...,,,, 321

)()(...)()()( 21 kgkgkgkgkG N

N

As variáveis são variáveis aleatórias independentes e, portanto,

)(kG

ikZkG exp)(

NxxxikkG N /)...(exp)( 21

NxxxxZ N /....321

N

kk Seja:


v

v

v

6


)()(...)()()( 21 kgkgkgkgkG N

N

N

kk

Mas: ))(2

exp()(3

2

2

1 kOk

kikg

))(2

exp()()(3

2

2

kNOk

NkgkGN

Portanto:

01 Como, , temos: ))(

2exp()(

3

2

2

kOk

kg v

v


7


Nkk /

2

2

2

2

2

2

2

2

222

1

2

k

N

kN

N

kNN

k

Mas, , o que implica que o termo em do lado direito da expressão acima será: 2

k

))(2

exp()(3

2

2

kNONk

kG (1)

(2)

8


))(2

exp()(3

2

2

kNONk

kG

Portanto:

3/ NkNc

0)(3

kNO Nquando

Portanto o termo em vindo de na exponencial (lado direito da equação para )

pode ser avaliado como:

)(kG

Nkk /

...)(33

kNckNO

)(3

kNO

NN

kcN

3

pois,

(3)

3k

Ou,

.constc

N

kc

3

v )( 2/1 NOv


9


)2

exp()(22k

kG

Portanto

2

2

)2

exp()( 2

2

k

kG

)2

exp(2

1)(

2

2

2

ZZ

A distribuição associada a Z é uma gaussiana!! Como queríamos demonstrar.

Função característica associada a Z

A partir dos resultados (1), (2) e (3) temos:

Mas, e, portanto,


2222

2 jjj xxx

0 jx

(*) (*)

10


Seja

NxxxxZ N /....321

NxxxxX ....321ZNX

Encontrar distribuição de probabilidades de X no limite em que N>>1

Nxxxx ,....,,, 321 : variáveis aleatórias independentes e coma mesma distribuição

0....321 Nxxxx

223

22

21

2 .... Nxxxx = variância que é finita

1)( NX

11


NxxxxZ N /....321 ZNX

dXXdZZ )()(

1)(1)( dXXdZZ

dZNdX ZNX NZX /)()(

)2

exp(2

1)(

2

2

2

ZZ )

2exp(

2

1)(

2

2

2

N

X

NX

v

v

12


NxxxxZ N /....321

ZNX NZX /)()(

)2

exp(2

1)(

2

2

2

ZZ

)2

exp(2

1)(

2

2

2

N

X

NX

1N

1N

Mas, acabamos de encontrar que pelo teorema central do limite temos:

Portanto:

Aplicação

Caminho aleatório & Teorema central do limite

14

Caminho aleatório em uma dimensão

Qual é a probabilidade dela estar na posição depois de passos, partindo de ? 0n

Uma pessoa caminha sobre uma reta.

Partindo da origem a cada instante de tempo ela dá um passo para a direita ou para a esquerda com igual probabilidade.

( )nP n

15

Variável aleatória , , que assume o valor

com probabilidade ½ e o valor

com probabilidade ½ .

j

2/1)1()1( jj pp

1,2,...,j n

1j 1j

1j passo

j

j

1j

para a esquerda.1j

passo para a direita.


16

1j

Depois de passos a posição será:

1( ... )nx

n

Como todos os passos são independentes

então a variável é uma soma de variáveis independentesx jn


17

nx ....21

0 x

)()(1

1 jjj pj

A média de cada uma das variáveis aleatórias é dada por:

2/1)1()1( jj pp

{ 1/ 2 1/ 2} 0j

Como: 0 j

1 2( .... )nx Agora


18

nx 22

2 2 2

0( ) ( )

n

j jx n n

Variância de x é proporcional ao número de passos.

12 2 2 2

1

1 1( ) ( 1) ( 1) 1

2 2j j jp

As variáveis são independentesj

2x


19

)(...)()()( 21 kgkgkgkG n

( ) exp( )j jg k ik

Probabilidade de a pessoa estar em depois de n passos.)(nP

Variável aleatória= n )....( 21 nx pois

x

Função característica ( )G k

Como as variáveis são independentesj

Em que, j=1,2,..., n

n

n

n ikPkG

)exp()()(


20

)(...)()()( 21 kgkgkgkG n )exp()( 11 ikkg

n

ikikkG

)}exp(

2

1)exp(

2

1{)(

n

n

n ikPkG

)exp()()(

)}exp(){exp(2

1)()exp()( 1

1

1 11

1

1

ikikpikkg


Mas,

21

expansão binomial

n

n ikikkG

)}exp(

2

1)exp(

2

1{)(

0

1)

2

nnm n m

i k i k

m

nG k e e

m

jnjn

j

n yxj

nyx

0

)(

)exp(ikx

)exp( iky

2

(2 )

0 0

1 1)

2 2

n nn nm n

i k i k m n

m m

n nG k e e

m m


22

2m n 2

nm

2

(2 )

0 0

1 1)

2 2

n nn nm n

i k i k m n

m m

n nG k e e

m m

0m n

m n n

Função característica 1

)2

2

nni k

n

n

G k en


23

( )( ) ( ) ik

n

n

G k P e

n

n nn

nP

2

1

)!2

()!2

(

!)(

!

( )! ( )!( ) 2

2 2

n n

n nn

1)

22

nni k

n

n

G k en

Comparando as duas equações acima obtemos a distribuição de probabilidades desejada:

Probabilidade de a pessoa estar

em depois de passosx n

Mas,


24

Limite para

0 j

22 1)( j

nn

Z n

....321

1n

Passeio aleatório & Teorema central do limite

25

Limite para

Utilizando o teorema central do limite

0 j 22 1)( j

nn

Z n

....321

)2/exp(2

1)( 2ZZ

1n


1n

26

Limite para

Utilizando o teorema central do limite

1n


n ....321 Zn

dPdZZ n )()( dZnd nZPn /)()(

)2/exp(2

1)( 2 n

nPn

nn

Z n

....321

Aplicação

Modelo de Ising & Teorema central do limite

28

Aplicação

Modelo de Ising & Teorema central do limite

Energia associada a configuração

1,1 i

)...,,,...,( 1 Ni

ii

é uma variável que assume dois valores:

especifica uma configuração do sistema.

),(

)(ji

jiJE :

em que a soma é sobre pares de .constJ

N

iCada sítio . um átomo magnético com momento

)...,...,,2,1( Ni

,

está ocupado um átomo magnético cujo momento

i

.const

primeiros vizinhos e

Seja uma rede com sítios

Modelo de Ising

e

de dipolo magnético

em que

0J : interações ferromagnética

(para campo externo nulo)

29

Para temperaturas acima da temperatura crítica o sistema se encontra no estado paramagnético (desordenado):

|| m

o parâmetro ordem se anula paracTT (sistema infinito).

cTT 0|| m

Esboço do diagrama de fase do modelo de Ising bidimensional a campo nulo

T0

cT

cT Temperatura crítica.

F P

F

P

Fase ferromagnética.

Fase paramagnética.

T Temperatura

Onde se dá uma transição entre as fasesP e F (transição de fase).

|

Para temperaturas abaixo da temperatura crítica o sistema se encontra no estado ferromagnético (ordenado).

|| m

Parâmetro ordem

para

30

cT T

cT temperatura crítica

estado ordenado

Simulações de Monte Carlo em redes quadradas regulares.

Instantâneos da rede gerados utilizando a prescrição de Metropolispara o modelo de Ising.

cT T cT T

estado desordenadoT muito próximada crítica.

“Spin para baixo”

“Spin para cima”

1i

1i

Modelo de Glauber- Ising

Magnetização versus temperatura (kT/J, J>0) para o modelo de Ising definido em uma rede quadrada de tamanho N=LxL.

é o parâmetro de ordem para essa transição

m

Fase ferromagnéticaordenada

Fase paramagnéticadesordenada

26918,2/ JTkcB

)21ln(2

1/

1

JTk cB

440687,0/1

JTk cB

Landau &Binder (2000)

m

0m 0m

As curvas correspondem à redes quadradas regulares de diferentes tamanhos LxL

Modelo de Ising

32

i uma variável aleatória

Consideremos um dinâmica estocástica associada ao modelo de Ising: modelo de Glauber-Ising.A partir de uma configuração inicial aleatória gera-se outras configurações por meio da dinâmica. Para isto podemos, por exemplo, utilizar a prescrição de Glauber e atualização assíncrona.(vamos ver a prescrição de Glauber e atualização, neste curso, mais adiante!!)

1,1 i

O modelo de Glauber-Ising possui simetria “up-down” (simetria de inversão):

i i )...,...,,2,1( Ni O hamiltoniano e a dinâmica ficam invariantes

Modelo de Glauber-Ising

33

Temperatura T

iAs variáveis aleatórias se tornam estaticamente independentes

Neste caso cada variável tem probabilidade ½ dei

2

1)1( ip

2

1)1( ip

um dos seus dois possíveis valores:


assumir qualquer

Consideremos o regime de altas temperaturas

Sistema no estado paramagnético

1i

1i

com

com

c

c

02

1)1(

2

1)1( i c

34

Pois:

1)1(2

1)1(

2

1 221

2

A 1

01 é igual a 1

1122

1... 22

21

22 N

Todas as variáveis têm a mesma variância:i

T

e como:

Consideremos o regime de altas temperaturas:

variância de

cT Tou

cTTemperatura crítica


35

2

2 1 2( ..... )NZN

2121 N ...,,, 21 são independentes. Então:

Obtivemos (slide anterior) que:

0....21

2

12 2

1Z NN

1... 222

21

2 N

Portanto, a partir da Eq. (1) e usando (2), (3) e (4), obtemos:

2 2 1Z

2

1 1 2 1 3 1... ...NN

N

(1)

(2)

(3)

(4)

N

Z N

....321Definindo:


c

36

(3)1... 22

21

22 N

cT T

Modelo de Glauber- Ising. & Teorema central do limite

N ...,,, 21 variáveis aleatórias independentes.

Levando em conta as condições (1), (2) e (3) e definindo

0....21

Obtivemos (slide anterior) que a variância

de todas as variáveis é igual e finita:

(2)

(1)

2

O teorema central do limite implica que a distribuição de

N

Z N

....321

)2/exp(2

1)( 2ZZ

Distribuição de probabilidades associada a

Z

para N

é uma gaussiana.Z

11

22

N

N

N

NZ

é Variância:

37

NN

N

.....21Μm

)2/mexp(

)2

(

1)m( 2N

N

N

NNN

N

N

1Mm

2

2

122

2

0.....21

Nm N

m

N finito suficientemente grande).(mas

Forma assintótica para

= variância de m.

A distribuição de

(m)N

NN

N

.....m 21Μ


38

(m) ( )N dm Z dZ

mM

N

MZ

N m

Z

N

(m) 1 ( ) 1N dm Z dZ

1(m) ( )N Z

N

221 1

(m) exp( / 2) exp( )22 2

N

NmN Nm

N

(*) Observação


39

)2/exp()2(

1)( 22

2

Nm

N

mN

Nm N

.....21

0

.....21

N

m N

NN

Nm i

2

2

2

2

= variância de m.

À medida em que N cresce a variância de m vai a zero.

Para N tendendo a infinito a distribuição de m

)(mtende a uma delta de Dirac como devemos esperar.

2

N

= desvio quadrático de m.


40

1NN

12 NNN

23 NNN

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