Dinamica estocastica em neuronios

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Boris Marinprofessora : Tania Tome

26 de novembro de 2007

1 Introducao

O presente trabalho explora modelagens para o comportamento eletrico damembrana plasmatica de neuronios. E a exposta uma transcricao de ummodelo determinıstico bem conhecido ([2]) para estocastico, motivada pelocarater probabilıstico de abertura dos canais ionicos em experimentos tipopatch clamp(conforme [1]).

Acredita-se ([3]) serem os potenciais de acao produzidos por membranasexcitaveis o principal mecanismo de transmissao de informacao no sistemanervoso. O potencial de membrana apresenta todas as caracterısticas ne-cessarias a um sistema de processamento de informacao de sucesso (no sen-tido biologico): operacao a altas velocidades ; repertorio rico em primitivascomputacionais, inclusive operacoes nao lineares e de alto ganho; possibili-dade de interface com o mundo real - tanto codificacao de entradas sensoriaiscomo saıda motora ([4]).

Segue uma exposicao simplificada do modelo de Hodgkin e Huxley ([2]), esubsequentes observacoes fisiologicas que justificam a transcricao do modelopara estocastico. Procurou-se enfatizar a importancia das flutuacoes donumero de canais abertos no comportamento eletrico da celula, o que aprimeira vista nao e esperado, dado o grande numero de canais existentes nosegmento de membrana modelado. Entretanto, uma analise mais cuidadosado fenomeno mostra que o numero de canais relevante durante a geracao depotenciais e uma pequenıssima fracao do total, de modo que as flutuacoesdesempenham papel fundamental. Consequentemente, o modelo estocasticoreproduz toda uma gama de fenomenos observados experimentalmente, aocontrario do determinıstico, que modela apenas a excitabilidade da celula.

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2 Modelagem

2.1 Eletrofisiologia de membranas

Diversos tipos de celula possuem mecanismos de troca local de informacao,entretanto as altamente especializadas celulas neurais permitem a trans-missao de impulsos por longas distancias, carregando informacao com con-fiabilidade(conforme ref. [3]). Os sinais consistem essencialmente na pro-pagacao de ondas de despolarizacao ao longo da membrana celular. Parauma celula neural tıpica, em repouso, ha uma diferenca de potencial fixaao longo da membrana. Entretanto, se a celula for excitada com determi-nada corrente – proveniente por exemplo de entradas sinapticas – a partirde um certo limiar (limiar de disparo) esta comeca a disparar potenciaisde acao, nada mais do que picos no valor do potencial de membrana, quepropagam-se ao longo do neuronio (cf. figura 1).

Figura 1: Potencial de membrana para (A) estımulo abaixo do limiar (B)estımulo constante maior que o limiar

O funcionamento eletrico de um neuronio se resume a variacoes na con-centracao intra e extracelular de determinados ıons. A membrana plasmaticae constituıda por um camada dupla de fosfolipıdeos, polar nas faces e apo-lar no interstıcio – de maneira que e praticamente impermeavel ao fluxode ıons. Todavia, diversas proteınas existentes ao longo desta membranafuncionam como canais ionicos, permitindo seletivamente sua passagem. Hatambem um mecanismo, conhecido como bomba de Sodio e Potassio, quemantem concentracoes fixas dos ıons Na+ e K+ no meio intracelular, demodo que entre as faces de uma membrana em repouso ha naturalmenteuma diferenca de potencial. A este potencial, damos o nome de potencialde repouso. Da termodinamica, temos que a situacao de equilıbrio para umfluxo de partıculas carregadas atraves de uma membrana se da pelo cancela-mento da forca quımica, devida ao gradiente de concentracao, e o potencialeletrico, que surge quando cargas atravessam a membrana, desbalanceandoo arranjo de carga (equacao de Nernst)

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Ei =RT

ZFln

[i]ext

[i]int(1)

Que da o potencial devido a especie i, sendo R a constante universaldos gases, T a temperatura absoluta, Z a valencia do ıon, F a constantede Faraday (carga de um mol de eletrons), e os termos entre colchetes asconcentracoes do ıon nos meios externo e interno a membrana. O esquemada dinamica microscopica pode ser visto na figura 2

Figura 2: Potencial de equilıbrio em membrana semipermeavel

Se os canais ionicos fossem simplesmente “poros” passivos na membrana,a celula permaneceria no estado de equilıbrio (potencial de repouso), ten-dendo a este sempre que alguma perturbacao fosse aplicada ao sistema –como por exemplo entradas sinapticas. Todavia, a permeabilidade da mem-brana as diferentes especies ionicas nao e constante, sendo sensıvel a fatoresquımicos, mecanicos, ou ao proprio potencial de membrana, o que enriquecemuito a dinamica e permite o comportamento observado de propagacao desinais. Esses fatores influenciam na abertura ou fechamento (estados tudoou nada) dos diferentes tipos de canal ionico.

Como exemplo, vamos analisar o comportamento do axonio do neuroniogigante da lula, investigado exaustivamente por Hodgkin e Huxley (ref [3]).Utilizando a equacao de Goldman (2), que e uma “versao” da equacao deNernst que leva em conta o “peso” (permeabilidade) de cada especie ionica(relacionado a quantidade de canais no estado aberto), calcula-se o potencialde repouso, que e da ordem de −60mV – da ordem do potencial de Nernstpara o K+, EK+ ≈ −75mV. Isso indica que, em repouso, ha muito mais

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canais de potassio no estado aberto do que canais das outras especies ionicasconsideradas, no caso sodio e cloro. Efetivamente, tem-se PK : PNa : PCl =1 : 0.04 : 0.45.

Vm =RT

FlnPK[K+]ext + PNa[Na+]ext + PCl[Cl−]ext

PK[K+]int + PNa[Na+]int + PCl[Cl−]ext(2)

Contudo, durante um potencial de acao, o melhor ajuste da equacaode Goldman para o potencial de membrana ocorre se as permeabilidadesforem escolhidas na proporcao PK : PNa : PCl = 1 : 20 : 0.45, ou seja, Vm

aproxima-se de ENa (potencial de Nernst para os ıons sodio). A corrente desodio e entao dominante no disparo de potenciais de acao.

Pode-se, dadas as propriedades do canais ionicos e da membrana, mode-lar um neuronio com um circuito equivalente (fig. 3).

Figura 3: Potencial de equilıbrio em membrana semipermeavel

Quando a membrana esta em repouso, as correntes passivas de Na+ eK+ sao balanceadas pelos fluxos ativos de Na+ e K+ da bomba de sodio epotassio.

2.2 O modelo de Hodgkin-Huxley

Na decada de 50 Hodgkin, Huxley e Katz conduziram series de experienciaseletrofisiologicas, nas quais destaca-se a utilizacao da tecnica de voltageclamping – tecnica esta que consiste em introduzir eletrodos intracelulares emedir a corrente injetada necessaria para manter o potencial de membranaem um valor constante – que culminaram no desenvolvimento de um mo-delo para o comportamento de celulas neurais. Este modelo tornou-se umparadigma em neurociencia, e muitos dos modelos utilizados hoje derivamdestes princıpios.

O modelo possui 4 variaveis dinamicas. A primeira e o potencial demembrana, e as outras tres governam a dinamica de conducao de sodio epotassio pela membrana. Estas sao supostas independentes entre si, e ha

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uma terceira condutancia menor, chamada de leak ou “vazamento”, queindepende do potencial de membrana. Desta maneira, a corrente ionicatotal atraves da membrana e

Iion = INa + IK + Ileak (3)

Os canais ionicos comportam-se como condutores ohmicos, ou seja, adependencia entre a corrente e o potencial de membrana e linear:

Ii(t) = γi (V (t), t) · [V (t)− Ei] (4)

onde γi a condutancia associada a i-esima especie ionica, e Ei e o potencialreverso para essa especie, dado pela equacao de Nernst (eq. 1).

Cada uma das duas condutancias e expressada em termos de uma con-dutancia maxima (γi), multiplicada por um coeficiente numerico represen-tando a fracao dessa condutancia maxima realmente ativa. Esses numerossao funcoes de um ou mais portoes que Hodgkin e Huxley introduzirampara descrever a dinamica das condutancias. Em seu modelo original, elesreferem-se a partıculas de ativacao e inativacao, podendo cada uma delasestar em um de dois estados (aberto ou fechado), dependendo do tempo edo potencial de membrana. Para que a condutancia esteja ativa, todas osportoes devem estar no estado aberto simultaneamente.

O melhor ajuste obtido por HH para a corrente de potassio foi

IK = γK n4 (V − EK) (5)

onde n, adimensional, descreve o estado de uma ficcional partıcula de ativacao,podendo assumir valores entre 0 e 1.

Pode–se acompanhar a deducao do modelo assumindo que a probabi-lidade de encontrar uma partıcula de ativacao em seu estado permissivo(aberto) seja n, e evidentemente a probabilidade de encontra-la no estadonao permissivo ou fechado e 1− n. Considerando uma cinetica de primeiraordem, temos o seguinte esquema de transicoes:

n1− n (6)

Sendo αn e βn taxas dependentes do potencial, especificando quantas transicoesocorrem entre os estados. Esse esquema corresponde a uma equacao dife-rencial de primeira ordem:

dndt

= αn(V ) [1− n]− βn(V )n (7)

A dependencia das taxas α e β com o potencial foi obtida com ajustesao dados experimentais, e as expressoes utilizadas sao

αn(V ) =10− V

100 exp([10− V ] /10), βn(V ) = 0, 125 exp (−V/80) (8)

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onde V e o potencial de membrana relativamente ao potencial de repousodo axonio em mV

Ja para os canais de sodio, a dinamica e mais complexa. A fim de ajustaro comportamento dessa corrente, Hodgkin e Huxley tiveram de postular aexistencia de uma partıcula de ativacao m para o sodio, bem como uma deinativacao h:

INa = γNa m3h (V − ENa) (9)

Analogamente a corrente de Potassio, as equacoes diferenciais que regema dinamica de m e h sao

dmdt

= αm(V )[1−m]− βm(V )m (10)

dhdt

= αh(V )[1− h]− βh(V )h (11)

Com os valores empıricos

αm(V ) =25− V

10 exp([25− V ] /10)− 1, βm(V ) = 4 exp (−V/18) (12)

αh(V ) = 0, 07 exp (−V/20) , βh(V ) =1

exp([30− V ] /10) + 1(13)

Juntando ambas as correntes de sodio e potassio, e considerando o efeitoda corrente de leak, obtem-se para o potencial de membrana (atraves docircuito equivalente na fig. 3)

CmdVdt

= γNa m3h4 (V − ENa)+γK n4 (V − EK)+γleak (Vrep−V )+Iinj (14)

Que leva em conta a injecao de uma corrente externa proveniente de, porexemplo, excitacoes sinapticas.

2.3 Estocasticidade

Como foi abordado anteriormente, o comportamento eletrico dos neuroniosdeve-se a dinamica de canais ionicos, proteınas incrustadas na membranacelular. Usualmente, experimentos de voltage clamping utilizam eletrodosintracelulares que atuam sobre regioes grandes de membrana. Isso acabatomando um comportamento medio do sistema, ja que ha um numero su-ficiente de canais em areas macroscopicas para tomarmos o “limite termo-dinamico”. Entretanto, pode-se considerar em areas menores a influenciade flutuacoes, estudando o comportamento de populacoes de canais e suasrespectivas probabilidades de transicao entre estados.

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Essa abordagem e plenamente justificavel de um ponto de vista experi-mental, ja que experimentos do tipo patch clamp (ref [1]) revelam ser a aber-tura ou fechamento de um canal ionico (dependente de voltagem, no caso)um processo aleatorio. Essa tecnica consiste em, utilizando uma micropi-peta, isolar um unico canal ionico na membrana, possibilitando portanto oestudo do seu comportamento eletrico. Pode-se concluir, da figura 4, que aabertura ou nao do canal e um processo aleatorio, sendo a taxa de transicaoentre os estados aberto/fechado proporcional ao potencial de membrana. Acorrente por um canal aberto obedece a lei de Ohm, como pode-se ver naparte B da figura.

Figura 4: Resposta a degraus de corrente para um canal em patch clamp

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Figura 5: Modelagem estocastica de canal de sodio

O esquema exemplifica a modelagem de um canal de sodio, com as res-pectivas subunidades proteicas de ativacao (modeladas por m) e inativacao(modeladas por h). Baseado na interpretacao de HH para os expoentes ζie ξi – numeros inteiros – (equacao 11), de que estes seriam a quantidade1

de “partıculas” de ativacao (m) e de inativacao (h) por canal ionico, a cadaındice para uma das variaveis m,h corresponde um estado mihj . O canale permissivo (aberto) no estado m3h1, e as taxas medias de transicao α e βpodem ser inferidas diretamente do modelo determinıstico, como veremos aseguir.

As equacoes dinamicas sao mantidas para todas as variaveis (eqs. 7, 11,14), entretanto agora as condutancias γi sao expressas como

γi(V, t) = ni(Am, V, t)φ (15)

onde ni(Am, V, t) e o numero total de canais do tipo i no estado aberto eativado, em um segmento de membrana de area Am e φ e a condutanciade um unico canal ionico, que e tomada como 20pS. As taxas mediasde abertura e fechamento sao obtidas diretamente das funcoes sigmoidaisempıricas(eqs. 8 e 13).

Procede-se analogamente para αhi, βhi

, as taxas de ativacao e inativacao.Para as correntes de potassio (ζ = 4, ξ = 0), a estrutura dos canais e

simples:1e muito interessante que Hodgkin e Huxley tenham proposto essa estrutura para os

canais ionicos antes mesmo de terem sido feitos quaisquer estudos a respeito; de fato,foi observado e comprovado que as proteınas que constituem os canais tem estruturasquaternarias exatamente como previsto

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Figura 6: modelagem dos canais de potassio

Se soubermos a populacao Nj de canais no estado j, e a taxa de transicaorjk dos estados j para k, entao em um intervalo de tempo ∆t o numeromedio de canais que sofre a transicao e dado por ∆Njk = Njrjk∆t. Sendo aprobabilidade de transicao para um unico canal P = rjk∆t, pode-se estimaro numero de canais ∆Njk que saltam do estado j para o k sorteando umnumero aleatorio da distribuicao binomial de probabilidades

P (∆Njk) =(

Nj

∆Njk

)p∆Njk(1− p)Nj−∆Njk (16)

Um detalhe computacional importante consiste no custo do calculo dadistribuicao binomial, devido aos fatoriais. Para se contornar esse problema,utiliza-se o fato de que uma binomial B(n, p) pode ser aproximada por umagaussiana 2, para grandes n , enquanto que para p pequeno, por uma Pois-son3, conforme pode-se ver na figura 2.3 – ambas muito mais baratas com-putacionalmente.

2consequencia do teorema do limite central3verificado usando-se a formula de Stirling

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2.4 Simulacao e resultados

Figura 7: Series temporais obtidas para o modelo estocastico. Compararcom a figura 1 para o modelo determinıstico, onde estımulos abaixo dolimiar nao geram potenciais de acao, e acima provocam um comportamentode disparo tonico. Aqui, mesmo para correntes abaixo do limiar (7µA/cm2),ha potenciais de acao espontaneos devido as flutuacoes (B). Alem disso, haperda de spikes no regime tonico (C e D)

Em primeira analise, espera-se que o modelo estocastico convirja parao determinıstico para um numero muito grande de canais – analogamenteao limite termodinamico –. Dadas as dimensoes tıpicas dos segmentos demembrana modelados, ha de fato cerca de 10000 canais ionicos (sodio).Uma flutuacao em torno do valor medio de ordem

√N , corresponde a 1%

do numero total de canais, de modo que nao deve haver grandes desviosem relacao ao comportamento previsto pelo modelo determinıstico. Toda-via, as simulacoes revelam o oposto: as series temporais obtidas usando oformalismo estocastico apresentam maior riqueza dinamica, reproduzindofenomenos observados experimentalmente como oscilacoes no potencial demembrana abaixo do limiar de disparo, spikes espontaneos para estımulosabaixo do limiar, perda de potenciais de acao no regime de disparo tonico –enquanto que os resultados para o modelo determinıstico sao simplesmentecomportamento tonico para estımulos acima do limiar de disparo, ou re-gresso a novo potencial de equilıbrio caso contrario.

Esses resultados podem ser analisados a luz do modelo, considerandoque o numero importante na geracao de potenciais de acao nao e o total de

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canais na membrana, mas sim quantos canais de sodio estao abertos proximoao limiar de disparo. Esse numero, para um total de 10000 canais de sodio,e da ordem de 10 – o que nos da uma flutuacao da ordem de 30%. A parteD da figura 8 mostra explicitamente a serie temporal dessa variavel, em 10experimentos.

Figura 8: Resposta do modelo estocastico a um estımulo aleatorio. Cadauma das linhas corresponde a uma simulacao

Analisando o espaco de fase do modelo (fig. 9), e possıvel entender aorigem dinamica dos tres comportamentos interessantes (e observados ex-perimentalmente) apresentados pelo modelo estocastico, que nao estavampresentes no determinıstico.

Nota-se a presenca de um ponto fixo e um ciclo-limite no espaco de fase(o parametro de controle – corrente injetada – vale 7µA/cm2). Essa bies-tabilidade evidencia-se no fato de que, dependendo das condicoes iniciais,podemos ter comportamento tonico ou estabilizacao em novo potencial deequilıbrio, para o modelo determinıstico (veja a figura 1). A bacia de atracaode cada um desses atratores encontra-se muito proxima, de modo que as flu-tuacoes no numero de canais abertos sao suficientes para jogar as trajetoriasde uma para a outra - ou seja, ora tem-se passeios pela orbita correspon-dente ao disparo de potencias de acao, ora ha espiralamento em direcao a umpotencial de equilıbrio (oscilacoes amortecidas em torno do ponto fixo, quenao e atingido nunca devido as flutuacoes). Isso e suficiente para explicar odisparo de potenciais de acao para correntes abaixo do limiar, bem como aperda de spikes no regime de disparo tonico.

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Figura 9: Espaco de fase para ambos os modelos determinıstico (A) e es-tocastico (B)

Referencias

[1] Hamill O P, Marty A, Neher E, Sakmann B, Sigworth F J, (1981),Improved patch-clamp techniques for high-resolution current recordingfrom cells and cell-free membrane patches Pflugers Arch. 391(2):85-100.

[2] Hodgkin A, Huxley A, (1952), A quantitative description of membranecurrent and its application to conduction and excitation in nerve, J.Physiol. (London) 117: 500-544.

[3] Kandel E R, Schwartz J H, Jessell T M Principles of NeuralScience,McGraw-Hill Medical; 4th edition (January 5, 2000)

[4] Koch C Biophysics of computation,Oxford University Press; 2004

[5] Schneidman E, Freedman B, Segev I, (1998) Ion channel stochasticitymay be critical in determining the reliability and precision of spike ti-ming, Neural Computation. 10: 1679-1703

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