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Dinâmica Estocástica

Aula 11

Setembro de 2015

Tânia - Din Estoc - 2015 1

1) Processo markoviano e matriz estocástica

2) Equação Mestra


Processo Markoviano

)(),()(1 mPmnTnPm

(1)

obtida na última aula

)(1 nP

)(mP

),( mnT

Probabilidade do estado no instante

Probabilidade do estado no instante

Probabilidade de transição do estado para o estado

n 1

m

n m


4

Cadeias de Markov

Tânia - Din Estoc - 2015

)(),()(1 mPmnTnPm

(1)

),( mnT Pode ser interpretado como:elemento de matriz

Tmatriz

T é denominada de matriz estocástica

5

)(),()(1 mPmnTnPm

é a probabilidade (condicional) de transição de m para n.

pode ser visto como o elemento de uma matriz e a equação de evolução temporal acima pode ser escrita na forma matricial como:

é a matriz coluna cujos elementos são

TPP 1

P )(mP

),( mnT

),( mnT

(1)

(2)

Cadeias de Markov


6

Matriz estocástica

TPP 1

Toda matriz quadrada que possui as propriedades 1) e 2) abaixo enumeradas é uma matriz estocástica:

Elementos da matriz T: ),( mnT Probabilidadecondicional m n.

1) 0),( mnT

2) 1),( mnTn

(3)

(4)

(5)

Cadeias de Markov


7

TPP 1

1

2

11 PTTPTP

0

1

12

3

1

2

1 .... PTPTPTPTP

Processo markoviano:

Ou seja:

(6)0

1

1 PTP

1 TPP

Cadeias de Markov


8

0

1

1 PTP

Ou,

probabilidade de transição de para em passos.),(1 mnT

Dado o estado inicial e calculando elevada a então obtém-se .

)(),()( 0

1

1 mPmnTnPm

(8)

(7)

0P T 1 1P

m n 1

Cadeias de Markov


9

(9)

Solução estacionária P

Existência e propriedades de P

Propriedades de T

PTP

Cadeias de Markov


10

Reversibilidade microscópica:Condição de balanceamento detalhado

)(),()(),( nPnmTmPmnT

Ou seja: A probabilidade de um estado qualquer m atingirum estado n é igual a probabilidade de n atingir m.(n,m) quaisquer (no regime estacionário!!).

Para qualquer par (m,n)

Estado estacionário

Cadeias de Markov

Deduzida na aula passada

(10)


11

0),( mnT

1),( mnTn

(4)

(5)

)(),()(1 mPmnTnPm

TPP 1

A matriz T

Processo Markoviano & Matriz Estocástica

(3)


12

Propriedades da matriz estocástica

1 é autovalor de 1)

1 corresponde um auto vetor cujas componentes são 2) 0

3) Todos os autovalores de T são tais que 1

As três primeiras propriedades implicam que toda a matriz estocástica tem pelo menos um autovalor igual a 1. Mas pode ser degenerado.Portanto uma matriz estocástica qualquer não possui necessariamente umasolução estacionária única.

1

Matriz Estocástica

T


4) Teorema de Perron-Frobenius: Se T é uma matriz estocástica irredutível então é não degenerado e a esse autovalor corresponde um auto vetor cujas componentes são .0

1

5) Se além de irredutível a matriz T for regular então a solução dependente do tempo tende a solução estacionária para t -> infinito.

6) Se além de irredutível e regular a matriz T obedece à condição de reversibilidade microscópica então T só possui autovalores reais.

13

Matrizes estocásticas irredutíveis

é uma matriz estocástica irredutível se para cada par

existir tal que: 0),( nmT

Matriz Estocástica

),( nm

T


Definição

Propriedades vão ser exploradasmais adiante

Equação Mestra


15

Bibliografia básica. Tânia Tomé & M J de Oliveira, Cap. 6. van Kampen.

. Obtenção da equação mestra

. Propriedades e Solução Estacionária

. Reversibilidade microscópica e condição de balanceamento detalhado

Equação Mestra


16

é a probabilidade de o sistema estar no estado n no instante de tempo t.

( )

( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )m n

dP n t W n m P m t W m n P n t

dt

é a taxa de transição de n para m.

Vamos obter essa equação a partir da equação de evolução para um processo markoviano “a tempo discreto”.

Equação Mestra

),( tnP

),( nmW

Define oModelo!!


17

)(),()(1 mPmnTnPm

(1)

em que,

),( mnT

Probabilidadede transiçãode para

Cadeia de Markov

)(nP

Probabilidadedo estado noinstante

Obtenção da equação mestra a partir da equação de evolução para um processo markoviano “a tempo discreto”

Equação Mestra


n

nm

18

Obtenção da equação mestra

(2)

Equação Mestra

)(),()(1 mPmnTnPm

)(),()(),( nPnnTmPmnTnm

)(),()(),()(1 nPnnTmPmnTnPnm


19


( , ) 1m

T m n Propriedade da matriz estocástica T

Mas,

(2)

Equação Mestra


( , ) 1 ( , )m n

T n n T m n

Então:

(3)


20


(2)

Equação Mestra


( , ) 1 ( , )m n

T n n T m n

(3)

Substituindo a equação (3) na equação (2) obtemos

)(),(1)(),()(1 nPnmTmPmnTnPnmnm

)()),()()(),()(1 nPnmTnPmPmnTnPnmnm


Ou,

21


Equação Mestra

)()),()()(),()(1 nPnmTnPmPmnTnPnmnm

(4) )()),()(),()()(1 nPnmTmPmnTnPnPnm

Ou


22


Definição:

Passagem para o contínuo (tempo)

t ( 1)t

= Probabilidade do estado no instante

= Probabilidade do estado no instante t

tn

n

( , ) ( , ) { ( , ) ( , ) ( , ) ( , )}m n

P n t P n t T n m P m t T m n P n t

Equação Mestra

(5)


),()(1 tnPnP

),()( tnPnP

23



( , ) ( , ) { ( , ) ( , ) ( , ) ( , )}m n

P n t P n t T n m P m t T m n P n t

Equação Mestra

(5)

),(),(),(),(),(),( tnPnmTtmPmnTtnPtnPnm

),(),(

),(),(),(),(

tnPnmT

tmPmnTtnPtnP

nm

(6)


24



Seja suficientemente pequeno para que a probabilidade de o sistema continuar no mesmo estado em seja aproximadamente igual a 1:

no intervalo

Equação Mestra

(6)

1),( nnT

),(),(

),(),(),(),(

tnPnmT

tmPmnTtnPtnP

nm

(7)


25



no intervalo

Então no limite em que

( , ) 0 ( )T m n m n

0

( , ) ( , ) 0P n t P n t

e

Equação Mestra

1),( nnT (7)

(8)

(9)


26


Limite em que

( , ) 0 ( )T m n m n

0

( , ) ( , ) 0P n t P n t

e

Portanto:

( , ) ( , ) ( , )P n t P n t dP n t

dt

0

Derivada de com relação a (= tempo).

( , )P n tt

Equação Mestra

(8)

(9)

(10)


27


( , )W m n

Definição:

Taxa de transição de n para m

Limite em que 0

Equação Mestra

nmnmWnmT

),(),( 0

(11)


28


Limite em que 0

Equação Mestra

nmnmWnmT

),(),( 0

(11)

( , ) ( , ) ( , )P n t P n t dP n t

dt

0

(10)

(6)

),(),(

),(),(),(),(

tnPnmT

tmPmnTtnPtnP

nm

Portanto, nesse limite a equação (6) fica:

),(),(),(),(),(

tnPnmWtmPmnWdt

tndP

nm

(12)

Equação mestra


29

(12)

= Probabilidade do estado no instante

= Probabilidade por unidade de tempo de osistema estando em m e ir para n .

Equação Mestra

),(),(),(),(),( tnPnmWtmPmnWtnPdt

d

nm

),( tnP n t

),( mnW Taxa de transição de m para n

Muito importante!Define o modelo ou processo estocástico

Equação mestra

Equação de evoluçãotemporal da probabilidade


),( mnW

),( tnP

30

( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )m n

dP n tW n m P m t W m n P n t

dt

EQUAÇÃO MESTRA “Equação de ganho e perda”

(12)

m

n

m

nv v

v

ganhoperda

Equação Mestra


31

0),( tnPdt

d

( )

( , ) ( ) ( , ) ( ) 0e e

m n

W n m P m W m n P n

Solução estacionária

Solução estacionária deve obedecer:eP

Equação Mestra

(13)


32

Reversibilidade microscópica

EntãoeP

)(),()(),( nPnmWmPmnW ee

= distribuição de equilíbrio.

nm,Se:

nm,

Reversibilidade microscópica <->Condição de balanceamento detalhado

Isto é:

( )

( , ) ( ) ( , ) ( ) 0e e

m n

W n m P m W m n P n

( , ) ( ) ( , ) ( ) 0e eW n m P m W m n P n

(14)

Regime estacionário

Equação Mestra

(13)


33

( , ) ( ) ( , ) ( )e eW n m P m W m n P n

Se BD não é satisfeita Dinâmica estocástica irreversível.

Balanceamento detalhado (BD)

A probabilidade de transição

em é igual a sua reversa.BD

m n

t

Equação Mestra


Dinâmica estocásticareversível

(14)

34

Trajetórias cíclicas no espaço de configurações

A B C D Atrajetória direta

Reversibilidade microscópica

)(),(),(),(),( APADtWDCtWCBtWBAtW est

)(),(),(),(),( APABtWBCtWCDtWDAtW est

),(),(),(),( ABWBCWCDWDAW ),(),(),(),( ADWDCWCBWBAW

A B

CDA D C B Atrajetória inversa

Irreversibilidade:

caso contrário

Tânia Tomé - Dinâmica estocástica - 2015

Estados estacionários

. Estado estacionário de equilíbrio termodinâmico

. Estado estacionário de não-equilíbrio.

'

( , ') ( ') ( ', ) ( ) 0est estW P W P

35

Equação Mestra


(13)

36

Sistemas em equilíbrio termodinâmico

Distribuição de probabilidades definida para os possíveis estados

( ) /

( )BH k T

e eP

Z

( ) ( )eF F P

microscópicos do sistema

Propriedades macroscópicas do sistema em equilíbrio termodinâmico

Distribuição de probabilidade de Gibbs

( )H

: constante de Boltzmann TBk : temperatura

: Hamiltoniana


(15)

(16)

FIM


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