Dinâmi a Esto ásti a e Irreversibilidade

Métodos Esto ásti os Apli ados ao Mer ado de Ações

e Opções

Reneé Jordashe Fran o Sgalla

Prof. Dra. Tânia Tomé

4 de Junho de 2009

Sumário

1 Introdução 3

1.1 Motivação para o estudo de e onofísi a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Con eitos bási os de mer ado �nan eiro . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Dinâmi a do preço de ações 5

2.1 Pro esso de Winer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2 Pro esso de It� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Estimativa da taxa de retorno e da volatilidade . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Simulação de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Pre i� ação de opções 10

3.1 Lema de It� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 O modelo de Bla k and S holes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Con lusão 13

1

SUMÁRIO SUMÁRIO

Resumo

O preço de ações de empresas de apital aberto om boa liquidez e em ondições

e on�mi as estáveis obede e a equação de Langevin analogamente às parti ulas

olo adas em um �uido esta ionário. Como é omum em livros de e onofísi a,

dizemos que o preço de ações obede em ao movimento browniano geométri o. Neste

trabalho apresentamos a dinâmi a do preço de ações e a utilizamos na derivação

do modelo de Bla k and S holes para pre i� ação de opções CALL om o objetivo

de proteção de portifólios de ações. Objetivamos forne er uma intuição físi a do

omportamento do mer ado �nan eiro de ações e opções e apontar direções para a

onstrução de modelos mais pre isos que levem em onta ondições en ontradas em

mer ados reais. Adotamos a hipótese de mer ado e� iente, onsideramos apenas

as ações que não pagam dividendos durante o período de validade da opção e que

o retorno de tais ações apresenta uma distribuição gaussiana. A estimativa da

volatilidade é feita om base no desvio padrão de séries históri as. De�nições de

termos omuns utilizados em e on�mia, bem omo uma expli ação sus inta sobre

ações e opções também são forn idas neste trabalho. Considerando a hipotese de

mer ados e� ientes, on luimos que não é possível derivar um modelo que des reve

om pre isão o omportamento do preço de ativos e derivativos, ao ontrário do

que o orre om modelos de sistemas físi os, porém a vantagem de se trabalhar om

sistemas �nan eiros reside no fato de que os dados apresentam pre isão in�nita além

de serem fa ilmente a essíveis, ao ontrário do que o orre om dados em sistemas

físi os.

2

1 INTRODU�O

1 Introdução

1.1 Motivação para o estudo de e onofísi a

O res imento global vem ausando um aumento da atividade e onomi a que, por sua

vez, vem motivando o desenvolvimento dos mer ados mundiais. Esse desenvolvimento

dos mer ados é a ompanhado pelo aumento da parti ipação de investidores e onsequen-

temente os mer ados se tornan ada vez mais omplexos e dinâmi os permitindo assim

a abertura de novas atividades e on�mi as dentro da área �nan eira.

Os físi os vem onstantemente tentando modelar sistemas omplexos por meio de

ferramentas e metodologias desenvolvidas dentro do ontexto da me âni a estatísti a.

Mer ados �nan eiros são sistemas omplexos bem de�nidos e por esse motivo tem atraido

ada vez mais a atenção de físi os. Atualmente já existe uma área da físi a destinada

ao estudo do mer ado �nan eiro, onhe ida omo e onofísi a, ujos prin ipais fo os tem

sido no estudo da dinâmi a de derivativos e na bus a por distribuições de probabilidades

que des revem adequadamente o retorno logarítimo de ativos.

1.2 Con eitos bási os de mer ado �nan eiro

O mer ado �nan eiro é omposto por diversos instrumentos e ativos que são nego i-

ados diariamente em bolsas de valores. A seguir são des ritos alguns dos termos bási os

omuns tanto em e on�mia quanto em e onofísi a e alguns dos instrumentos mais utili-

zados no mer ado �nan eiro. Os termos apresentados nesta des rição serão utilizados ao

longo deste trabalho.

• Liquidez: É de�nida omo a apa idade de onverter um ativo em dinheiro e vi e

versa, ou seja, um ativo om boa liquidez é muito nego iado, pois há uma grande

pro ura por ele por parte dos investidores. Para que haja uma nova nego iação

de um ativo a um preço justo (preço de mer ado), são ne essários no mínimo um

investidor que almeje omprar o ativo e um investidor que deseje vender o ativo, e

ambos on orde em pagar o preço de mer ado. Liquidez pode ser entendida omo

a apa idade de o ativo ser nego iado rapidamente ao preço mais próximo do preço

de mer ado, ou seja, sempre há uma grande bus a por ativos que apresentam boa

liquidez por parte dos investidores e eles são, portanto, nego iados rapidamente a

um preço bem próximo do preço justo.

• Volatilidade: Volatilidade é uma medida da in erteza do mer ado. Ou seja, um

ativo muito volatil apresenta uma grande variação de seu preço om o tempo. A

prin ípio poderiamos estimar a volatilidade al ulando o desvio padrão para uma

série de dados, entretanto, na práti a, muitas vezes são ne essários métodos mais

so�sti ados para estimar a volatilidade e além disso, saber aquantidade de dados

adequada para al ular a volatilidade é um problema omplexo, pois dados muito

antigos não tem muita in�uên ia para a previsão da volatilidade presente e pou os

dados darão uma informação errada.

• Ações: São ativos �nan eiros que representam pequenas frações de uma empresa

e seus preços variam frequêntemente de a ordo om notí ias e fatores e on�mi os.

3

1.3 Objetivo 1 INTRODU�O

Se a empresa possuir apital aberto uma parte de suas ações são nego iadas em

bolsa de valores permitindo om que qualquer pessoa possa adquiri-las e vende-las

a qualquer momento.

• Derivativos: Podem ser entendidos omo o onjunto de direitos e/ou deveres de

nego iar um determinado ativo a um preço previamente estipulado pelos investi-

dores. Esses direitos e/ou deveres possuem um preço de nego iação que varia de

a ordo om o ativo aos quais eles estão atrelados e além disso, os derivativos têm

prazo de validade, a partir do qual perderão seu valor �nan eiro e deixarão de

valer também omo direito e/ou dever. Entre os derivativos mais importantes no

mer ado �nan eiro estão as opções.

• Opções: São direitos de ompra ou de venda de um ativo �nan eiro (geralmente

ações), que possuem um prazo de validade e são nego iados em bolsas a um de-

terminado preço. O investidor que ompra uma opção possui o direito, mas não o

dever, de omprar ou vender o ativo referente à opção ao preço de exer í io, K. Por

outro lado, o vendedor da opção possui o dever (obrigação) de vender ou omprar

o ativo ao preço K aso o detentor da opção opte por exer e-la (exer er o direito

garantido pela ompra da opção). Como o preço de uma opção é bem menor do

que o preço do ativo, vemos que a venda de uma opção des oberta (vender uma

opção sem possuir o ativo) é uma operação de altíssimo ris o, ujo prejuizo pode

ser ilimitado e transformar-se em uma dívida para o vendedor da opção, entretanto

para o omprador da opção os lu ros podem ser ilimitados. Caso a opção não seja

exer ida até o prazo de validade (tempo de maturidade T ), ela perde seu valor

e sua função e, assim, o investidor que a vendeu obtem o lu ro referente ao seu

preço de venda (premio) e neste aso, o omprador perdeu todo o valor pago pela

opção. Opções são instrumentos �nan eiros de altíssimo ris o que tanto podem

ser utilizados para proteção (hedge) de um portifólio de alto valor �nan eiro, omo

para espe ulação, ou seja, a partir de um apital pequeno orre-se o ris o de perda

total, porém também é possível aumentar em várias vezes esse apital.

1.3 Objetivo

Neste trabalho fo amos em um tipo de ativo �nan eiro de suma importân ia para a

e on�mia, que são ações de empresa de apital aberto. Des reveremos a dinâmi a esto-

ásti a do preço de ações utilizando modelo de movimento browniano geométri o dentro

do ontexto da matemáti a de It� [6℄, omo é omum em livros de e onofísi a. Também

estudamos o omportamento do preço de opções, que são um tipo de derivativo muito

utilizado atualmente por grandes empresas e espe uladores de mer ado. Derivamos o

modelo de Bla k and S holes [7℄ em sua forma mais simples, para o aso de opções euro-

péias ( que só podem ser exer ída no dia do ven imento) de ompra, também onhe idas

omoCALL.

4

2 DINÂMICA DO PREÇO DE AÇÕES

2 Dinâmi a do preço de ações

O omportamento do preço de alguns ativos, ações por exemplo, assemelha-se ao

omportamento de uma partí ula de pequenas proporções olo ada em um �uido vis oso,

a qual exe uta movimento browniano. O movimento browniano pode ser des rito pela

equação de Langevin, que em uma dimensão é dada por

dv

dt= −γv + ζ(t), (2.1)

onde v é a velo idade da partí ula, γ é uma onstante dependente da vis osidade do

�uido e da massa da partí ula e ζ(t) é uma variável esto ásti a que está rela ionada à

força de olisão entre a partí ula e as molé ulas do �uido. Esta variável tem as seguintes

propriedades:

〈ζ(t)〉 = 0 e (2.2)

〈ζ(t)ζ(t′)〉 ∝ δ(t − t′). (2.3)

No aso do preço de uma ação, a dinâmi a é similar. Se onsiderarmos um de-

terminado intervalo de tempo, o preço de uma ação obede e ao movimento browniano

analogamente a velo idade da partí ula no �uido vis oso. A taxa de retorno esperada

pelo mer ado, µ, que pode ser tanto positiva (geralmente em épo as de alto res imento

e on�mi o) quanto negativa (quando há re essão e on�mi a) é análoga a vis osidade no

�uido, ex eto pelo fato de ela poder assumir valores positivos. Essa taxa é uma gran-

deza que expressa o quanto os investidores esperam que seus ativos valorizem em um

determinado intervalo de tempo. Entretanto, o preço da ação também varia onforme

notí ias e dados e on�mi os que são divulgados ao mer ado, analogamente à velo idade

da partí ula que sofre alteração devido à olisões om as molé ulas do �uido. Mas para

que a analogia entre a dinâmi a do preço da ação e a velo idade da partí ula no �uido

seja válida, as seguintes ondições devem ser veri� adas:

• O preço da ação em estudo é uma variável ontínua no tempo. (Na realidade só

o orre uma mudança do preço quando há uma nego iação, de forma que a variação

do preço não é exatamente ontínua no tempo omo o orre no aso da partí ula no

�uido, que sofre onstantes olisões om as molé ulas do �uido. Esta aproximação

é válida para ativos que possuem alta liquidez e se onsiderarmos apenas o tempo

do pregão de nego iações. Além disso, o iní io do pregão é o intervalo de tempo

em que o orre o maior número de nego iações.)

• O preço é uma variável ontínua em valor �nan eiro. (O preço de uma ação é sempre

um múltiplo de um entavo, não existe nego iações evolvendo frações de entavo,

portanto se o preço da ação tiver um baixo valor �nan eiro a variação de um úni o

entavo pode ser muito brus a, não sendo valída, assim, esta aproximação.)

5

2.1 Pro esso de Winer 2 DINÂMICA DO PREÇO DE AÇÕES

• A variação do preço da ação é um pro esso markoviano, ou seja, o preço da ação no

futuro não é afetado pelo omportamento do preço no passado e nem pela forma

omo o preço evoluiu até o presente momento. Esta propriedade é onsistente om

a hipotese de mer ado e� iente, a qual a�rma que qualquer oportunidade de lu rar

om baixo ris o é rapidamente aproveitada pela maioria dos investidores e assim,

rapidamente desapare e devida a lei da oferta e pro ura.

Tais aproximações também não se veri� am em épo as de mer ados agitados, ou seja,

em épo as de pâni o em que há um grande números de investidores querendo se desfazer

dos ativos, e em épo as de euforia em que há bastante interesse por ompra de ativos.

Em tais períodos, os preços os ilam brus amente e muitas vezes há uma grande diferença

entre o preço de fe hamento de uma ação e o preço de abertura no dia seguinte.

Sendo assim, omo é omum em livros de e onofísi a, podemos es rever a equação

de Langevin para o preço de uma determinada ação na forma diferen ial, ou seja, sendo

Y (t) o preço da ação e onsiderando que não há dividendos pagos durante o período

onsiderado, a equação de Langevin na forma diferen ial é [1℄

dY = µY dt + σY dw, (2.4)

onde σ é o desvio padrão por unidade de tempo, também onhe ido omo volatilidade e w

é um pro esso de Winer, que será expli ado logo adiante. A equação 2.4 é onhe ida omo

pro esso de It� e é omum dizer que Y obede e ao movimento browniano geométri o.

2.1 Pro esso de Winer

Na equação 2.4 o pro esso de Winer w está rela ionado à parte esto ásti a do om-

portamento do preço das ações, ou seja, às noti ias e aos dados e on�mi os que são por

si sós funções esto ásti as.

Para que a equação 2.4 �que similar a equação de Langevin, basta onsiderar

σYdw

dt→ ζ(t). (2.5)

O pro esso de Winer, w, é um pro esso esto ásti o markoviano parti ular de média

nula e de varian ia por uma unidade de período T unitária. Formalmente uma variavel

w é um pro esso de Winer se as seguintes propriedades forem veri� adas: [1℄

• A variação ∆w durante um urto período de tempo ∆t é

∆w = ǫ√

∆t (2.6)

onde ǫ é uma variável esto ásti a que possui uma distribuição gaussiana de média

nula e variân ia unitaria, φ(0, 1). Desta forma, vemos que a média e a variân ia

de ∆w valem respe tivamente 0 e ∆t. Aqui denotamos por φ(µ, σ2) uma função

gaussiana de média µ e varian ia σ2

6

2.2 Pro esso de It� 2 DINÂMICA DO PREÇO DE AÇÕES

• O valor de ∆w para dois intervalos de tempo ∆t são independentes, ou seja, w é

um pro esso de Markov.

Dizemos que uma variavel x é um pro esso de Winer generalizado se

dx = vdt + Σdw, (2.7)

onde v e Σ são onstantes. Podemos interpretar v omo a taxa de deriva esperada, ou

seja, se onsiderarmos Σ = 0, x respeita a seguinte equação de movimento

x(t) = x(0) + vt. (2.8)

Na equação 2.7, a parte esto ást ia, Σdw, representa o ruido ou a variabilidade da tra-

jetória des rita por x.

2.2 Pro esso de It�

Se os oe� ientes da equação 2.7 não forem onstantes, ou seja, se

dx = v(x, t)dt + Σ(x, t)dw, (2.9)

dizemos que x é um pro esso de It�.

Pela equação 2.4 vemos que o preço da ação, Y , é um pro esso de It�, pois basta fazer

v(Y, t) = µY e Σ(Y, t) = σY . Entretanto se dividirmos a equação 2.4 por Y , vemos que

a grandeza ln Y , também onhe ida omo retorno logarítimo, é um pro esso de Winer

generalisado, ou seja,

d(lnY ) =dY

Y= µdt + σdw (2.10)

onde µ e σ são onstantes. A equação 2.10 na forma dis reta é dada por

∆Y

Y= µ∆t + σǫ

√∆t, (2.11)

onde o fator∆Y

Yé onhe ido omo o retorno no intervalo de tempo ∆t. Se multipli ado

por 100, o retorno representa o lu ro ou o prejuizo bruto do investimento em por entagem

dentro do intervalo ∆t.

A equação 2.11 mostra que∆Y

Ypossui uma distribuição gaussiana om média µ∆t e

desvio padrão σ√

∆t, ou seja [1℄

∆Y

Y∼ φ(µ∆t, σ

√∆t). (2.12)

7

2.3 Estimativa da taxa de retorno e da volatilidade2 DINÂMICA DO PREÇO DE AÇÕES

Em mer ados reais nem sempre a distribuição do retorno estimada em 2.12 é válida.

Na práti a, veri� a-se que o retorno apresenta uma distribuição em que há bastante

o orren ia de retorno fora do desvio padrão, também onhe ida omo distribuição de

alda larga (fat tail distribution), devido a sua forma [2℄. Esse desvio do omportamento

gaussiano torna o problema onsideravelmente mais omplexo, de forma que modelos

mais so�sti ados e omplexos são ne essários para des rever a dinâmi a do preço de

ações em diversas ir ustân ias. Entretando a des rição de tais modelos foge ao es opo

deste trabalho e portanto onsideremos ao longo deste trabalho que a distribuição do

retorno é uma função gaussiana.

2.3 Estimativa da taxa de retorno e da volatilidade

Analogamente à resolução do problema do movimento browniano, des rito pela equa-

ção de Langevin 2.1, para uma partí ula imersa em um �uido, que requer o onhe imento

da vis osidade do �uído, o estudo da dinâmi a do preço de uma ação requer o onhe i-

mento da taxa de retorno µ e da volatilidade σ.

A taxa de retorno µ, que orresponde ao retorno esperado pelos investidores, depende

do ris o da ação (quanto maior o ris o, maior a taxa de retorno) e da taxa de juros da

e onomia (quanto maior a taxa de juros r, maior a taxa de retorno almejada pelos

investidores, do ontrário os investidores não assumiriam ris o no mer ado de ações, de

a ordo om a hipotese de mer ados e� ientes). Sendo assim, a taxa de retorno é estimada

a partir do onhe imento do ris o da ação e da taxa de juros da e onomia.

A volatividade, σ, por outro lado, é uma medida da in erteza sobre o retorno asso iado

à ação. Geralmente as ações possuem volatilidade entre 15% e 60% ao ano [1℄. A

volatilidade pode ser estimada a partir de dados históri os al ulando-se o desvio padrão.

A partir de n−1 intervalos de tempo, seja Yi o preço da ação no �nal do i-ésimo intervalo

de tempo, om i = 0, 1, 2, ...n e seja τ o intervalo de tempo em anos. O desvio padrão é

dado por [4℄

s =

√

√

√

√

1

n − 1

n∑

i=1

(ui − u)2 (2.13)

onde

ui = ln

(

Yi

Yi−1

)

(2.14)

e u é a média de ui dada por

u =1

n

n∑

i=1

ui (2.15)

A volatilidade é estimada por

8

2.4 Simulação de Monte Carlo 2 DINÂMICA DO PREÇO DE AÇÕES

σ =s√τ, (2.16)

em que o erro padrão desta estimativa é aproximadamente

Eσ =σ√2n

. (2.17)

Es olher um valor apropriado para n não é uma tarefa fa il. Um grande número

de dados geralmente forne em mais pre isão, entretanto dados muito antigos podem

não servir para prever a volatilidade futura. Um método que tem se mostrado e� iente

onsiste em usar o preço de fe hamento dos dados diários dos últimos 90 a 180 dias.

Uma regra muito utilizada onsiste em estabele er n omo o número de dias em que a

volatilidade vai ser apli ada, ou seja, se a pre isarmos estimar a volatilidade para dois

anos, os dados diários dos ultimos dois anos devem ser utilizados.

Métodos mais so�sti ados para estimar a volatilidade envolvem Modelos GARCH [5℄,

os quais não serão dis utidos aqui por fugir ao objetivo do trabalho.

Para o aso de ações que pagam dividendos no período de tempo onsiderado, basta

adaptarmos o modelo e fazer [1℄

ui = ln

(

Yi + D

Yi−1

)

, (2.18)

onde D é valor do dividendo pago por ação relativo ao dia i em que a ação será otada

omo ex-dividendo (a partir deste dia, o omprador da ação não terá mais o direito de

re eber dividendo, dai o nome ex-dividendo).

2.4 Simulação de Monte Carlo

A simulação de Monte Carlo de um pro esso esto ásti o é um pro edimento que per-

mite obeter resultados aleatórios que tem a �nalidade de forne er intuição e entendimento

da natureza do pro esso em questão. É possível simular o omportamento do preço de

ações pelo método de Monte Carlo. Para isso, estima-se um valor para a taxa de retorno

µ e para a volatilidade σ e a partir da geração de números aleatórios ǫ, que possuem

uma distribuição gaussiana, e da equação 2.11 obtem-se o preço do ativo em intervalos

de tempo igualmente espaçados a partir do preço ini ial. A partir de uma quantidade

signi� ativa de dados é possível onstruir um grá� o da evolução temporal do preço de

uma determinada ação e assim omparar om grá� os reais.

A expressão �=RAND()� no programa �Ex el� gera números aleatórios entre 0 e 1, aopasso que a expressão �NORMSINV� é utilizada para gerar uma distribuição gaussiana

umulativa inversa. Sendo assim, ao utilizar a expressão � =NORMSINV(RAND())�

onsegue-se gerar números aleatrórios a partir de uma distribuição gaussiana padrão.

[1℄.

Quanto menor o intervalo de tempo onsiderado, mais o resultado se aproxima de um

pro esso esto ásti o e ao repetir inumeras vezes estas simulações hega-se a distribuição

de probabilidade ompleta para o preço da ação.

9

3 PRECIFICAÇ�O DE OPÇÕES

3 Pre i� ação de opções

Derivativos são importantes instrumentos �nan eiros que podem ser utilizado tanto

para proteção ontra desvalorização de grandes portifólios omo para espe ulação de alto

ris o, mas envolvendo pequenas quantias �nan eiras. Um tipo de derivativo de muita

importân ia é a opção de ompra de ações, que no mer ado brasileiro possuem alta

liquidez, ao ontrário do que a onte e om as opções de venda. Neste trabalho, por

simplis idade, estudaremos apenas a dinâmi a do preço de opções de ompra de ações.

Para isso, usaremos um importante resultado des oberto pelo matemáti o K. It� em

1951, onhe ido omo lema de It� [6℄.

3.1 Lema de It�

O preço de qualquer derivativo é uma função do preço do ativo ligado a ele, que em

geral é uma variável esto ásti a. Desta forma, para pre i� ar derivativos é ne essário ter

onhe imento de funções de variáveis esto ásti as. Seja uma variável esto ásti a, x, que

é um pro esso de It�, omo na equação 2.9, e C uma função de x e t, então o lema de

It� a�rma que uma variação in�nitesimal de C é des rita pela seguinte equação:

dC =

(

∂C

∂t+

∂C

∂xv +

1

2

∂2C

∂x2Σ2

)

dt +∂C

∂xΣdw. (3.1)

Esta equação nos diz que C = C(x, t) é um pro esso de It� om deriva∂C

∂t+ ∂C

∂xv+ 1

2∂2C

∂x2 Σ2

e varian ia

(

∂C

∂xΣ

)2

.

Um importante modelo para a pre i� ação de opções foi des oberto por Bla k and

S holes em 1973 [7℄ e é utilizado até hoje, mas om algumas modi� ações [2℄. Tal modelo

faz uso do lema de It� e será des rito na próxima seção para o aso de proteção de um

portifólio utilizando opções de ompra ujo preço é C(Y, t).

3.2 O modelo de Bla k and S holes

O modelo de Bla k and S holes em sua forma mais simples é derivado nesta se-

ção. Consideramos o aso de utilização de opções européias CALL para proteção de um

portifólio, omo men ionado anteriormente. Além disso, assumiremos que as seguintes

ondições são válidas: [1, 2℄

• A taxa de juros do mer ado é onstante e igual a r.

• Não há qualquer usto om transações e nem taxas.

• Não há dividendos pagos ao detentor das ações durante o período de validade da

opção.

• A ação e/ou opção pode ser vendida a qualquer momento pelo preço de mer ado,

ou seja, ambas possuem alta liquidez.

10

3.2 O modelo de Bla k and S holes 3 PRECIFICAÇ�O DE OPÇÕES

• Não há oportunidades de arbritagem sem ris o, onsistente om a hipotese de

mer ado e� ientes.

• A nego iação de ações e/ou opções é ontínua.

Sendo assim, supondo que um investidor possua um número ∆h de ações de uma

determinada empresa e deseje proteger este portifólio ontra a desvalorização �nan eira

om uma úni a opção, ujo preço é C(Y, T ), o valor �nan eiro φ do portifólio é dado por

φ = Y ∆h − C. (3.2)

Utilizando o modelo binomial para o preço de ações [8℄, de forma que o preço Y pode

assumir apenas dois valores a ada passo de tempo ∆t, Yu ou Yd, para que tenhamos um

portifólio livre de ris o a seguinte ondição deve ser respeitada:

φu = φd → Yu∆h − Cu = Yd∆h − Cd, (3.3)

onde φu representa o valor do portifólio para o aso em que o preço da ação aumenta e

se torna Yu e φd representa o aso em que o preço da ação diminui para Yd. Da equação

3.3 temos

∆h =Cu − Cd

Yu − Yd

, (3.4)

ou para um intervalo de tempo in�nitesimal,

∆h =∂C

∂Y. (3.5)

Desta forma o valor �nan eiro do portifólio para um tempo qualquer é

φ = −C +∂C

∂YY, (3.6)

de forma que

dφ = −dC +∂C

∂YdY, (3.7)

Utilizando o lema de It� (equação 3.1) temos que

dC =

(

∂C

∂t+

∂C

∂YµY +

1

2

∂2C

∂Y 2σ2Y 2

)

dt +∂C

∂YσY dw. (3.8)

Além disso, na ausen ia de oportunidades de arbritagem, a seguinte relação é válida:

11

3.2 O modelo de Bla k and S holes 3 PRECIFICAÇ�O DE OPÇÕES

dφ = φrdt, (3.9)

ou seja, o ganho no valor do portifólio deve ser igual ao ganho obtido por investimentos

sem ris o que garantem uma taxa de retorno por unidade de tempo r.

Utilizando as equações 3.6, 3.7, 3.8 e 3.9 bem omo a equação que des reve o om-

portamento do preço da ação 2.4 podemos nos livrar do pro esso de Winer dw e obter a

seguinte equação diferen ial para C:

∂C

∂t+ rY

∂C

∂Y+

1

2σ2Y 2 ∂2C

∂Y 2= rC, (3.10)

que é onhe ida omo equação diferen ial par ial de Bla k & S holes. Esta equação

é válida tanto para opções européias de ompra omo de venda [1℄. A solução desta

equação depende das ondições de ontorno, que no exemplo em questão é:

C(Y, T ) = max(Y − K, 0), (3.11)

onde T é o tempo de maturidade da opção e K é o preço de exer í o da opção. A

ondição de ontorno a ima nos diz que no dia do exer í io a opção assumira o preço

máximo entre Y − K e 0, ou seja, se a ação atrelada a opção estiver valendo mais do

que K, a opção terá o preço dado pela diferença, para que nenhuma oportunidade de

lu ro (oportunidade de arbritagem) seja possível, onsistente om a hipotese de mer ados

e� ientes, do ontrário, aso a ação esteja valendo menos do que K, a opção não terá

valor algun.

Qualquer função C(Y, t) que é solução da equação 3.10 é o preço teóri o de um

derivativo que poderia ser nego iado. Se um derivativo om tal preço existir, para este

derivativo não haveria oportunidades de arbitragem e portanto este preço poderia ser

utilizado omo preço de venda da opção CALL pelo investidor que almeja proteger o seu

protifólio.

A solução tentativa adotada por Bla k e Sholes para a equação 3.10 foi

C(Y, t) = er(t−T )y(x, t′), (3.12)

onde

x =2

σ2

(

r − 1

2σ2

)[

ln

(

Y

K

)

−(

r − 1

2σ2

)

(t − T )

]

e t′ = − 2

σ2

(

r − 1

2σ2

)

(t − T ).

(3.13)

Com a substituição da solução tentativa na equação 3.10 obtemos a seguinte equação

∂y(x, t′)

∂t′=

∂2y(x, t′)

∂x2(3.14)

12

4 CONCLUS�O

que é equivalente a equação da transferên ia de alor, uja solução é onhe ida. A solução

geral para a equação de Bla k and S holes é

C(Y, t) = Y N(d1) − Ker(t−T )N(d2) ou

C(Y, t) = e−rT [Y N(d1)erT − KN(d2)e

rt], (3.15)

onde N(x) é a função distribuição de probabilidade umulativa para uma distribuição

gaussiana. Em outras palavras, N(x) é a probabilidade de que uma variável om uma

distribuição gaussiana padrão, φ(0, 1) seja menor do que x. No programa EXCEL a fun-

ção NORMDIST exe uta o ál ulo de N(x). Uma aproximação polinomial om pre isão

de 6 asas de imais é dada por [9℄

N(x) = 1 − N ′(x)(a1k + a2k2 + a3k

3 + a4k4 + a5k

5) para x ≥ 0

N(x) = 1 − N(−x) para x < 0, (3.16)

onde

k =1

1 + γx, γ = 0, 2316419, a1 = 0, 319381530, a2 = −0, 356563782,

a3 = 1, 781477937, a4 = −1, 821255978, a5 = 1, 330274429 e

N ′(x) =1√2π

e−x2

2 (3.17)

As outras grandezas de 3.15 são dadas por

d1 =1

σ√

T − t

[

ln

(

Y

K

)

+

(

r +1

2σ2

)

(T − t)

]

e d2 = d1 − σ√

T − t. (3.18)

Desta forma, uma possível estratégia onsiste em adquirir um número n múltiplo de

∆h de ações de uma determinada empresa e vendern

∆h

opções CALL ao preço C(Y, t)

em qualquer tempo até o dia de maturidade de C. O preço C(Y, t) é al ulado utilizando

a formula de Bla k and S holes, 3.15 a partir do onhe imento da taxa de retorno e da

volatilidade. Caso as ações se desvalorizem, esta estratégia permite que as perdas sejam

menores, por outro lado, aso as ações se valorizem muito, o investidor terá seu lu ro

limitado, pois as opções serão exer ídas e o investidor será obrigado a vender as ações

ompradas pelo preço de exer í io K.

4 Con lusão

A partir da resolução da equação de Bla k and S holes, 3.10 para o aso parti ular

de opções CALL utilizadas om o objetivo de proteção (hedge) obtem-se a formula de

Bla k and Sholes 3.15, que forne e o preço de venda adequado da opção CALL para o

investidor que tem por objetivo a proteção de seu portifólio. Entretanto, tal resultado

13

4 CONCLUS�O

foi obtido a partir de uma estimativa simples da volatilidade, o que do ponto de vista

práti o, pode signi� ar que o melhor preço para venda possa ser maior ou menor do que

o forne ido por este modelo, dependendo da volatilidade real no mer ado. Além disso,

onsideramos que a taxa de juros é onstante, o que nem sempre se veri� a na práti a, até

mesmo a taxa de juros é uma variável esto ásti a, porém om variações não tão brus as

quanto ações e opções. A taxa de retorno também pode variar om o tempo e também

apresenta um omportamento esto ásti o. O modelo tratado neste trabalho tem por

�nalidade forne er uma intuição físi a de omo se omporta o mer ado �nan eiro e um

ponto de partida para a derivação de modelos mais omplexos que levem em onta não

somente a variação da taxa de juros e da taxa de retorno, mas também possa abranger o

aso de ações que pagam dividendos. Além disso, métodos mais so�sti ados para estimar

a volatilidade orretamente também são ne essários para pre i� ar opções.

Com relação ao omportamento do preço de ações, vimos que o movimento brow-

niano é um exemplo da apli ação de leis físi as ao mer ado �nan eiro, uma vez que o

fato de um investidor omprar ou vender um ativo é análogo à olisão em uma dimensão

de uma partí ula om as molé ulas de um �uído em repouso. Entretanto em épo as de

turbulên ia no mer ado, a aproximação deixa de valer e poderia ser omparada ao aso

físi o de o �uído estar em agitação ou de ser um �uido turbulento. Nestes asos, o pro-

blema se torna onsideravelmente omplexo porém, sua resolução poderia ser adaptada

ao mer ado �nan eiro para des rever épo as de rise ou de grande expansão e on�mi a,

o que seria um grande avanço para a e onofísi a.

Embora métodos físi os possam ser empregados à �nanças em muitas ir unstân ias,

há uma grande diferença entre um sistema físi o e um sistema �nan eiro. Neste último

apli a-se a hipotese de mer ados e� ientes, de forma que se houver algum modelo físi o

que forneça uma des rição bastante pre isa do omportamento do preço de um ativo ou de

um derivativo, assim que uma grande parte dos investidores tomarem onhe imento deste

modelo, ele deixará de fun ionar orretamente, uma vez que todos os investidores bus am

obter lu ros, o que não o orre om no sistema físi o, pois as partí ulas não mudariam seu

omportamento pelo simples fato de os físi os terem des obertos seu omportamento om

pre isão. Entretanto, uma das vantagens de se trabalhar om sistemas �nan eiros reside

no fato de que os dados possuem pre isão in�nita, pois ada nego iação é uidadosamente

registrada, o que não o orre em sistemas físi os devido a impre isão nos métodos de

medição.

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REFERÊNCIAS REFERÊNCIAS

Referên ias

[1℄ J. C. Hull, 'Options, Futures and Other Derivatives', 6th edition.

[2℄ R. N. Mantegna, H. E. Stanley, 'An introdu tion to e onophysi s - Correlations and

Complexity in Finan e'.

[3℄ T. Tomé, M. J. Oliveira, 'Dinâmi a Esto ásti a e Irreversibilidade'

[4℄ J. H. Vuolo, 'Fundamentos da Teoria de Erros'.

[5℄ T. Bollerslev, 'Generalizd Autoregressive Conditional Heteroskedasti ity', J. E ono-

metri s 31, 307-327 (1986).

[6℄ K. Ito, 'On Sto hasti Di�erential Equations', Mem. Amer. Math. So . 4, 1-51

(1951).

[7℄ F. Bla k and M. S holes, 'The Pri ing of Options and Corporate Liabilities', J. Polit.

E on. 81, 637 - 654 (1973).

[8℄ J. C. Cox, S. A. Ross and M. Rubinstein, 'Option Pri ing: A Simpliied Approa h',

J. Finan ial E on. 7, 229 - 263 (1979).

[9℄ M. Abramowitz and I. Stegun, 'Handbook of Mathemati al Fun tions', New York:

Dover Publi ations, 1972.

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