Dinâmica Estocástica
Quinta aula
Ifusp, agosto de 2016
Equação de LangevinMovimento browniano
Tânia Tomé - Din Estoc - 20161
Bibliografia: Dinâmica estocástica e irreversibilidade, T. Tomé e M. J. de Oliveira, Edusp, 2014Capítulo 3
Movimento BrownianoEinstein (1905), Smoluchowsky (1906), Langevin (1908), Perrin (1908).
Equação de Langevin
Motivação:
Movimento de uma partícula imersa em um fluidoO movimento é mantido por flutuações nas colisões da partícula com as moléculas do fluido na vizinhança.
Paul Langevin, Comptes Rendues, Acad. Sci. (Paris), 146, 530 (1908)
A. Pais, Sutil é o Senhor, 1995.
“The modern theory of the Brownian motion of a free particle ....generally starts with Langevin’s equation”, S. Chandrasekhar,
in N. Wax (Ed), Selected Papers on Noise and Stochastic Processes , p. 20 (1954).
Algumas referências sobre a história do desenvolvimento do estudo do movimento browniano
Tânia Tomé - Din Estoc - 20162
Equação de movimento da partícula
)(tFvdt
dvm
v
)(tF
velocidade da partícula
(movimento em uma dimensão)
força aleatória ou flutuante
.constm
v força viscosa (força de atrito) proporcional à velocidade da partícula
característica do movimento browniano
massa da partícula
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 3
Equação de Langevin (1)
C. R. Acad. Sci. (Paris), 146,530-533 (1908).
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Paul Langevin, C. R. Acad. Sci. (Paris,), 146,530-533 (1908).
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Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 6
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mtF
mv
dt
dv ),(
1
0)( tF
)()()( ttm
BtFtF
Suposição: a força aleatória varia muito rapidamente comparada às variações na velocidade:
em instantes de tempo diferentes não estão correlacionadas e são)(e)( tFtF
estatisticamente independentes.
(*)
(*)
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 8
(2)
(3a)
(3b)
)(tvdt
dv
0)( t
)()()( tttt
)(e)( tt são variáveis estocásticas independentes
(4)
(5)
(6)
m
tFt
)()( = variável aleatória que depende do tempo
m
2m
B
(4a)
(6a)
uma variável estocástica
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 9
(4b)
Análises
As análises que se seguem são para a equação de Langevin dada em (4) e complementada pelas condições (5) e (6), isto é,
)(tvdt
dv (4)
0)( t
)()()( tttt
(5)
(6)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 10
Análises
1) Velocidade v(t), valor médio de v(t) e variância de v(t)
2) Posição x(t), valor médio e deslocamento quadrático médio
As seguintes estudos dos tópicos abaixo enumerados são para a equação de Langevin dada em (4) e complementada pelas condições (5) e (6):
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 11
1) VELOCIDADE )(tv
Vamos propor a seguinte expressão para a velocidade:
)exp()()( ttAtv (7)
= função de t a ser determinada por meio da equação de Langevin (4) e suas propriedades (5) e (6). E também pelas condições iniciais a serem adotadas.
)(tAem que
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 12
)exp()()( ttAtv
)exp()( ttAvdt
dv
)(tvdt
dv
)()exp()(' tttA
v(t) dada na Eq. (7) deve obedecer à equação de Langevin (4), isto é,
Portanto, a partir das equações (4) e (8) temos:
Então:
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 13
)exp()()(' tttA
(7)
(8)
(4)
(9)
Velocidade )(tv
)exp()()(' tttA
Portanto:
tdttAtA
t
0
)exp()()0()(
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 14
(9)
(10)
Velocidade )(tv
)exp()()( ttAtv
(11)
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 201615
tdttAA
t
0
)exp()()0(
0)0( vv 0)0( vA
tdttvtA
t
0
0 )exp()()(
Condições iniciais:
(10)
(7)
Velocidade )(tv
)exp()()( ttAtv
tdttvttv
t
0
0 )exp()()exp()( Portanto:
tdttttvtv
t
0
0 )exp()()exp()exp()(
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 201616
tdttvtA
t
0
0 )exp()()(
(12)
Ou
(11)
(7)
Velocidade )(tv
tdttttvtv
t
0
0 )exp()()exp()exp()(
tdttttvtv
t
0
0 )exp()()exp()exp()(
Valor médio da velocidade da partícula
(12)
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 201617
)(tv
tdttttvtv
t
0
0 )exp()()exp()exp()(
tdttttvtv
t
0
0 )exp()()exp()exp()(
Velocidade )(tv
Valor médio da velocidade da partícula
)exp()( 0 tvtv
Da condição (5) temos:
0)( t
Portanto:
Valor médio da velocidade
(13)
Equação de Langevin
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)(tv
tdttttvtv
t
0
0 )exp()()exp()exp()(
(5)
Variância associada à velocidade
222)( vvvv
Equação de Langevin
19
tdttttvtv
t
0
0 )exp()()exp()exp()(
)exp()( 0 tvtv
tdtttvtv
t
0
)exp()()exp()(
e
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(14)Definição:
(13)
(12)
Variância associada à velocidade 222)( vvvv
Equação de Langevin
20
tdtttvtv
t
0
)exp()()exp()(
'')''exp()''()exp()()2exp())((00
2 dttttdtttvtv
tt
Portanto:
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(15)
Variância associada à velocidade
2( )v v 0 0
exp( 2 ) ( ) exp( ) ( ) exp( )
t t
t t t dt t t dt
Equação de Langevin
21
'')''exp()''()exp()()2exp())((00
2 dttttdtttvtv
tt
'')exp()''exp()''()()2exp())((0 0
2 dttdtttttvtv
t t
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(16)
(15)
Equação çde Langevin
22
)()()( tttt
''')''exp()'exp()'''()2exp())((0 0
2 dtdttttttvtv
t t
')'exp()'exp()2exp())((0
2 dttttvtv
t
Mas, (6)
'')exp()''exp()''()()2exp())((0 0
2 dttdtttttvtv
t t
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(16)
(17)
(18)
Variância associada à velocidade
Equação de Langevin
23
')'exp()'exp()2exp())((0
2 dttttvtv
t
')'2exp()2exp())((0
2 dtttvtv
t
''''2''''2 dtdttt 1)2exp(2
1''')'''exp(
2
1')'2exp(
2
00
tdttdtt
tt
)1)2(exp(2
)2exp())(( 2
ttvtv
Tânia Tomé - DinEstoc - 2016
(18)
(19)
Variância associada à velocidade
Equação çde Langevin
24
)1)2(exp(2
)2exp())(( 2
ttvtv
))2exp(1(2
))(( 2 tvtv
222 )()())(( tvtvvtv
))2exp(1(2
)()( 22 ttvtv
vVariânciada velocidade
(21)
Mas, já mostramos em aula
anterior que:
v(20)Variância
da velocidade
Ou seja,
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
(19)
Variância associada à velocidade
Equação de Langevin
25
))2exp(1(2
)()( 22 ttvtv
variância da velocidade
)exp()( 0 tvtv
1t 0)( tv
Limite de tempos longos 1t
(23)
0)exp( t
valor médio da velocidade
(22)
(21)
(13)
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
1t 0)2exp( t2
)()( 22 tvtv
Equação de Langevin
26
2)(2 tv1t
Velocidade quadrática média no limite de tempos longos
(24)
Portanto, a partir das equações (22) e (23) temos:
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016
Limite de tempos longos 1t
2/2 v
A partir do teorema da equipartição de energia temos:
2/2/2 Tkmv B
Portanto: Tkm B2
1)2/(
2
1
Tm
kB2
Bk Tconstante de Boltzmann temperatura absoluta
(26)
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 27
(24)
E,
(25)
Limite de tempos longos 1t
2) Posição )(tx
Tânia Tomé - Din Estoc - 201628
dt
dxv
Posição
tdtvxx
t
0
0 )(
Vamos assumir as condições iniciais: 0e0 00 vx
tdttvttv
t
0
0 )exp()()exp()( Já obtivemos que:(12)
(27)
(28)
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 29
)(tx
tdtvx
t
0
)(
'')''exp()''()'exp()'(
'
0
dtttttv
t
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 30
tddttttxt
t
'
00
'')''exp()''()exp( (31)
(30)
0e0 00 vx
(29)
(28)
Utilizando as condições (28) obtemos a partir das Eqs. (27) e (12):
Posição x(t)
Equação de Langevin
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 31
tddttttxt
t
'
00
'')''exp()''()exp(
Mas, 0)'( t (5)
tddttttxt
t
'
00
'')''exp()''()exp(
0 x Valor médio de x(t) é nulo.
(31)
(33)
(32)
Valor médio <x(t)>
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 32
Equação de Langevin
'')''exp()''()exp()('
00
dttttdttxt
t
(31)
''))''(exp(1)(1
)(0
dtttttx
t
(32)
Essa equação pode ser reduzida à seguinte expressão (DEDUZIR)
Posição )(tx
)(2 txObtenção de:
Deslocamento quadrático médio
Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 33
Tânia Tomé - Din Estoc - 201634
Equação de Langevin
''))''(exp(1)(1
)(0
dtttttx
t
(33)
)(2 txObtenção de:
'))'(exp(1)'(''))''(exp(1)(1
)(00
2
2 dttttdtttttx
tt
'''))''(exp(1))'(exp(1)()'(1
)(0 0
2
2 dtdttttttttx
t t
(34)
Posição x(t)
Continuação na próxima aula
FIM