equação dos 3m

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VIGAS CONTÍNUAS EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANISMO DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS Para EI constante por trechos Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira 2015

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Equação das reações de apoio hiperestático por método dos 3 momentos.

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Page 1: Equação Dos 3M

VIGAS CONTÍNUAS

�EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINASFACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL, ARQUITETURA E URBANI SMO

DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS

�EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS

Para EI constante por trechos

Profa. Dra. Rosilene de Fátima Vieira

2015

Page 2: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Conceitos preliminares

1) Deslocamento ampliado (não tem significado físico)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Adota-se para o problema uma constante arbitrária EcIc

Page 3: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

δ = EC·IC· δ�

Deslocamento DeslocamentoAmpliado Verdadeiro

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Obs → Só para ficar mais cômodo as contas....

Page 4: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

2) Vão reduzido, ou comprimento fictício ou

índice de flexibilidade ( Lk´ )(não tem significado físico – puramente

matemático)matemático)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Lk´=

Ec·IcEIK

·Lk

Page 5: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Onde:Lk → Comprimento verdadeiro de uma barra qualquer k

EIk → Produto de rigidez de uma qualquer k

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

EIk → Produto de rigidez de uma qualquer k

EcIc → Produto de rigidez arbitrário adotado

Page 6: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

3) Fatores de carga

É uma entidade puramente matemática (uma relação entre os fatores de forma)

Relacionada com o carregamento sobre a barra.

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 7: Equação Dos 3M

Equação dos três momentosEquação dos três momentos

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 8: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

A equação dos três momentos é uma especialização da aplicação do processo dos

esforços em vigas contínuas, adotando-se como esforços em vigas contínuas, adotando-se como incógnitas os momentos sobre os apoios

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 9: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Equação dos três momentos

Para EI constante por trechos

Roteiro de cálculo

a) Determine o Grau de hiperestaticidade da viga → GH

b) Numeração das barras e nós

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 10: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

• O nó começa a numerar à partir do zero

• A barra começa a numerar à partir do um

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 11: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

c) Equação dos 3M para EI constante por trechos (aplicar n vezes, onde n=GH)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

Page 12: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Para um estrutura GH=1

L’ M + 2(L’ +L’ )M + L’ M = - (DL’ + E L’ )

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’1M 1-1+2(L’

1+L’1+1)M 1+L’

1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L

’1+1)

Aplica-se a equação 3M uma vez → i = 1

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2)

Page 13: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Para um estrutura GH=2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L i M i-1 + 2(L i+L i+1)M i + L i+1M i+1 = - (DiL i + Ei+1L i+1)

L’1M 1-1+2(L’

1+L’1+1)M 1+L’

1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L

’1+1)

Aplica-se a equação 3M DUAS vezes → i = 1

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2)

Page 14: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

→ i = 2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’2M 2-1+2(L’

2+L’2+1)M 2+L’

2+1M 2+1= - (D2L’2+E2+1L

’2+1)

L’2M 1+2(L’

2+L’3)M 2+L’

3M 3= - (D2L’2+E3L

’3)

Page 15: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Para um estrutura GH=3

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L i M i-1 + 2(L i+L i+1)M i + L i+1M i+1 = - (DiL i + Ei+1L i+1)

L’1M 1-1+2(L’

1+L’1+1)M 1+L’

1+1M 1+1= - (D1L’1+E1+1L

’1+1)

Aplica-se a equação 3M TRÊS vezes → i = 1

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2)

Page 16: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

→ i = 2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’2M 2-1+2(L’

2+L’2+1)M 2+L’

2+1M 2+1= - (D2L’2+E2+1L

’2+1)

L’2M 1+2(L’

2+L’3)M 2+L’

3M 3= - (D2L’2+E3L

’3)

Page 17: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

→ i = 3

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ )

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’3M 3-1+2(L’

3+L’3+1)M 3+L’

3+1M 3+1= - (D3L’3+E3+1L

’3+1)

L’3M 2+2(L’

3+L’4)M 3+L’

4M 4= - (D3L’3+E4L

’4)

Page 18: Equação Dos 3M

Equação dos três momentosGeneralizando:

L’1M 0+2(L’

1+L’2)M 1+L’

2M 2= - (D1L’1+E2L

’2) → i = 1

L’ M +2(L’ +L’ )M +L’ M = - (D L’ +E L’ ) → i = 2

L’i M i-1 + 2(L’

i+L’i+1)M i + L’

i+1M i+1 = - (DiL’i + Ei+1L

’i+1)

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

L’2M 1+2(L’

2+L’3)M 2+L’

3M 3= - (D2L’2+E3L

’3) → i = 2

L’3M 2+2(L’

3+L’4)M 3+L’

4M 4= - (D3L’3+E4L

’4) → i = 3

L’4M 3+2(L’

4+L’5)M 4+L’

5M 5= - (D4L’4+E5L

’5) → i = 4

Page 19: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

d) Defina os momentos fletores

•Mo → Momento no nó zero;

•M1 → Momento no nó um;

•M2 → Momento no nó dois;•M2 → Momento no nó dois;

•M3 → Momento no nó três;

•M4 → Momento no nó quatro;

Assim por diante...

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 20: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 21: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

e) Vão Reduzido => Adotar E cIc

Lk´=

Ec·Ic·Lk

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Lk´= c c

EIK·Lk

Page 22: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

f) Fatores de carga → Tabelado

g) Solução da equação dos 3M

h) Traçado dos diagramas M, V e Nh) Traçado dos diagramas M, V e N

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 23: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Casos especiais1) BalançoO momento no balanço é conhecido, pois

ele é isostático.

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

ele é isostático.

Portanto, tira-se o balanço e coloca-se suas reações no nó a que ele pertence.

Page 24: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 25: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Convenção usual de sinais para momento fletor:

�Quando a tração for nas fibras de baixo o �Quando a tração for nas fibras de baixo o momento é positivo

�Quando a tração for nas fibras de cima o momento é negativo

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 26: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

2) Apoio de extremidade engastadoPara efeito de cálculo o engastamento deve

ser substituído por um tramo adicional bi-apoiado.

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

bi-apoiado.No equacionamento o comprimento desse

tramo fictício deve tender a zero.Desse modo, a viga real e a viga de cálculo

terão a mesma elástica e, portanto, os mesmos esforços.

Page 27: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 28: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Mesma elástica

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 29: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

3) Momento concentrado aplicado sobre um apoio intermediário

Para efeito de cálculo, deve-se escorregar

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Para efeito de cálculo, deve-se escorregar M* para o tramo da direita ou para o tramo da esquerda.

Page 30: Equação Dos 3M

Equação dos três momentos

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira

Page 31: Equação Dos 3M

Equação dos três momentosEquação dos três momentos

Profa. Dra. Rosilene de F. Vieira