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Page 1: Equação de Riccati_pdf

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Equação de RiccatiEquação de Riccati

Willian Matioli Serenone

Page 2: Equação de Riccati_pdf

O que veremos:O que veremos:

• HistóriaHistória• DefiniçãoDefinição• Métodos de resoluçãoMétodos de resolução• AplicaçãoAplicação

Page 3: Equação de Riccati_pdf

HistóriaHistória

Page 4: Equação de Riccati_pdf

HistóriaHistória

• Jacopo Francesco Riccati (1676 - 1754)Jacopo Francesco Riccati (1676 - 1754)– Nascido em Veneza, filho de família nobreNascido em Veneza, filho de família nobre– Estudou em uma escola JesuítaEstudou em uma escola Jesuíta– 1693 - Universidade de Pádua: Estudar lei1693 - Universidade de Pádua: Estudar lei

• Conhece o jesuíta Angeli. Que o incentiva a estudar Conhece o jesuíta Angeli. Que o incentiva a estudar matemáticamatemática

– Torna-se famoso mas rejeita várias oportunidades:Torna-se famoso mas rejeita várias oportunidades:• Pedro, o Grande convida para a presidência da Pedro, o Grande convida para a presidência da

Academia de Ciência de São PetersburgoAcademia de Ciência de São Petersburgo• Conselheiro imperial em ViennaConselheiro imperial em Vienna• Convite para ser professor na Universidade de Convite para ser professor na Universidade de

PáduaPádua– Vários trabalhos em hidráulica, ajudando a Vários trabalhos em hidráulica, ajudando a

projetar diques e canais em Venezaprojetar diques e canais em Veneza–

Page 5: Equação de Riccati_pdf

– Dois FilhosDois Filhos• Viccenzo Riccati: Funções hiperbólicasViccenzo Riccati: Funções hiperbólicas

– Também se tornou um jesuítaTambém se tornou um jesuíta• Giordanno Riccati: Estudou o “módulo de Young” Giordanno Riccati: Estudou o “módulo de Young”

antes mesmo de Youngantes mesmo de Young– Estudou equações diferenciais, introduzindo Estudou equações diferenciais, introduzindo

vários métodos para alguns casos gerais que vários métodos para alguns casos gerais que são amplamente utilizados até hojesão amplamente utilizados até hoje

– Equação de Riccati: Estudada por Bernoulli Equação de Riccati: Estudada por Bernoulli anteriormente, mas reestudada de forma anteriormente, mas reestudada de forma extensiva por Riccati, que inclusive deu extensiva por Riccati, que inclusive deu algumas soluções para certos casos algumas soluções para certos casos particularesparticulares

HistóriaHistória

Page 6: Equação de Riccati_pdf

DefiniçãoDefinição

Page 7: Equação de Riccati_pdf

• Equação de Riccati é uma equação diferencial Equação de Riccati é uma equação diferencial na forma:na forma:

••• Notar que se trata de uma equação de primeira Notar que se trata de uma equação de primeira

ordem não homogênea, não linear e de ordem não homogênea, não linear e de coeficientes não necessariamente constantescoeficientes não necessariamente constantes

DefiniçãoDefinição

( ) ( ) ( ) 20 1 2'y q x q x y q x y= + +

Page 8: Equação de Riccati_pdf

Métodos de ResoluçãoMétodos de Resolução

Page 9: Equação de Riccati_pdf

• Substituição de variáveis:Substituição de variáveis:•••• Nova Substituição de variáveis:Nova Substituição de variáveis:••• Não esquecer de voltar a variável y ao fim do Não esquecer de voltar a variável y ao fim do

processo processo

Redução a EDO linear de 2ª ordemRedução a EDO linear de 2ª ordem

2

uyq

=( ) ( )

( ) ( )

2

20 2 1

2

'

';

u R x S x u u

qR x q q S x qq

= + +

= = +

'wuw

= − ( ) ( )'' ' 0w w S x R x w− + =

Page 10: Equação de Riccati_pdf

• Usando transformada de Laplace, obteremos:Usando transformada de Laplace, obteremos:•

Redução a EDO linear de 2ª ordemRedução a EDO linear de 2ª ordem

( ) ( )2y t y tdy tdt t

−− =

( ) ( )( )'u t

y t tu t

= −

2

2 2 0d u dut tudt dt

+ + = ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ] ( )

1

1

'

sinarctan

2

L tf t F s

tL s t

tL C C t

π δ

δ

= −

= − +

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

sin0

2

cos sin0

2

tu t u t C t

t

t t tdu u t Cdt t t t t

π δ δ

δπ δ

= − +

= − + −

( ) ( )( )'u t

y t tu t

= −( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

cos sin0

2sin

02

t t tu t C

t t t ty t t

tu t C t

t

δπ δ

π δ δ

− + −

= −

− +

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

sincos

2sin

2

tA t t t

ty t

tA t t

t

π δ δ

π δ δ

− + − +

=

− +

( )A

y t =

( ) ( )sincos

tt

t

A

( )

( ) ( )( )

sin cossin sin

t t tt tt

−=0t ≠

0t = ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )0 0

1 1 0 02 2lim lim 0

1 0 022

t t

AA t ty t AA t tA

π πδ δ δ δ

ππ δ δδ δ→ →

− + − + − + = = = − +− +

Page 11: Equação de Riccati_pdf

• Conheço uma das soluçõesConheço uma das soluções• Suponho a solução geral:Suponho a solução geral:•• Mudança de Variável:Mudança de Variável:•• Basta então solucionar a EDO linear de 1ª Basta então solucionar a EDO linear de 1ª

ordem e obter que a solução geral será:ordem e obter que a solução geral será:

QuadraturaQuadratura

( ) ( ) ( )1y x y x u x= +

( ) 21 2 1 2' 2u q q y u q u= + +

1uv

=

( )1 2 1 22 'q q y v v q+ + = −

( ) ( ) ( )11y x y xv x

= +

Page 12: Equação de Riccati_pdf

• Continuando o exemplo anterior:Continuando o exemplo anterior:••• Resolvendo a EDO linear:Resolvendo a EDO linear:••• E assim a solução geral seráE assim a solução geral será

QuadraturaQuadratura

( ) ( )2y t y tdy tdt t

−− = ( ) ( ) ( )

( )1

sin cossint t t

y tt

−=

( ) ( ) ( )11y x y xv x

= + ( )1 2 1'

tanv v

t t t

− + = −

( ) ( ) ( ) ( )sincos sin

tv t t C t

t= −

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( )1

sin cos1sinsin cos sint t tty x y x

v x tt t C t−

= + = +−

C=-1

Page 13: Equação de Riccati_pdf

• Exemplo:Exemplo:•• Maple:Maple:•

Complicando um pouco...Complicando um pouco...

2' my By Cx+ = '' 0mw BCx w− =

edo:=diff(diff(w(x),x),x)-B*C*(x^m)*w(x)=0edo:=diff(diff(w(x),x),x)-B*C*(x^m)*w(x)=0dsolve(edo,w(x))dsolve(edo,w(x))

with(DETools):with(DETools):riccatiedo:=diff(y(x),x)+B*(y(x))^2=C*x^m;riccatiedo:=diff(y(x),x)+B*(y(x))^2=C*x^m;riccatisol(riccatiedo,y(x));riccatisol(riccatiedo,y(x));

( )1 1

2 2

1 1 2 12 2

2 22 2

m m

m m

x BC x BCw x C xJ C xYm m

+ +

+ +

− − = + + +

Page 14: Equação de Riccati_pdf

Escolhendo m=2, B=-1, C=1 e CEscolhendo m=2, B=-1, C=1 e C11=1=1

Redução a EDO linear de 2ª ordemRedução a EDO linear de 2ª ordem

( )

1 1 1 12 2 2 21 1

2 21 1 1 3 1 3

2 2 2 2

1 12 2

1 1 12 2

2 2 2 22 2 2 2

2 22 2

m m m mm m

m mm m m m

m m

m m

x BC x BC x BC x BCC J C J x BC Y Y x BCm m m m

y xx BC x BCC J Ym m

+ + + ++ +

+ ++ + + +

+ +

+ +

− − − − − + − − + − + + + + = −

− − + + +

xB

|x| < 0.1 0 < x < 1

1.05 < x < 2.6

Page 15: Equação de Riccati_pdf

AplicaçõesAplicações

Page 16: Equação de Riccati_pdf

• Considere um corpo caindo sobre a ação Considere um corpo caindo sobre a ação gravitacional e sendo exercida uma força de gravitacional e sendo exercida uma força de atrito do tipo:atrito do tipo:

•• A segunda lei de Newton nos dará entãoA segunda lei de Newton nos dará então

Atrito QuadráticoAtrito Quadrático

( ) 2F t bv=

2dv bg vdt m

= − + y

P

F

Page 17: Equação de Riccati_pdf

••• Derivando em relação ao tempo:Derivando em relação ao tempo:••• Se a função potencial for do tipo:Se a função potencial for do tipo:•• Teremos:Teremos:

Força CentralForça Central

( )2 2

22 2mr lE V r

mr= + +&

2

3 0l dVmrmr dr

− + =&&

( )V r kr ε=

( )2

2

l mrrV rmrε ε

= −&&

• Assumindo E=0 e Assumindo E=0 e voltando a voltando a expressão da expressão da energia:energia:

•• Fazendo as Fazendo as

substituições de substituições de variáveis:variáveis:

•• Obteremos:Obteremos:•

2 2

2

1 1 02 2mr l mrrE

mr ε ε = + + − =

& &&

dr rd

ωθ

= 2

lmr

θ =&

22 22 2

ε εω ω− +′ = +

Page 18: Equação de Riccati_pdf

•• aa é chamado de fator de escala e representa a é chamado de fator de escala e representa a

expansão relativa do universoexpansão relativa do universo• O parâmetro O parâmetro tt é chamado de tempo comóvel. É o é chamado de tempo comóvel. É o

tempo desde o início do universo medido em um tempo desde o início do universo medido em um referencial aonde o observador vê o universo referencial aonde o observador vê o universo isotropicamente.isotropicamente.

• Neste referencial:Neste referencial:•

CosmologiaCosmologia

( )( )

( )( ) ( )

2

2 0a t a t

c ca t a t a t

κ + + =

&& & 3 12

c c≡ −

( )t pl l a t=

Distância comóvel no instante t

Distância comóvel no presente

( )1d

dt aη

η= 1 dau

a dη= 2 0u cu cκ′ + + =

Page 19: Equação de Riccati_pdf

• Mecânica quântica supersimétricaMecânica quântica supersimétrica• Cálculo variacionalCálculo variacional• Física não-linearFísica não-linear• Teoria quântica de camposTeoria quântica de campos• TermodinâmicaTermodinâmica

Outras áreas de aplicaçõesOutras áreas de aplicações

Page 20: Equação de Riccati_pdf

• http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/• http://en.wikipedia.orghttp://en.wikipedia.org• arXiv:physics/0110066v2 [physics.class-ph]arXiv:physics/0110066v2 [physics.class-ph]

– Newton’s Laws of motion in form of Riccati Newton’s Laws of motion in form of Riccati EquationEquation

• Marek Nowakowski, Haret C. Rosu, Instituto de Marek Nowakowski, Haret C. Rosu, Instituto de Física de la universidad de GuanajuatoFísica de la universidad de Guanajuato

• Arquivos de Ajuda do MapleArquivos de Ajuda do Maple• G.F. SIMMONS: Differential equations with G.F. SIMMONS: Differential equations with

applications and historical notesapplications and historical notes

BibliografiaBibliografia