1Resoluo de equaes exponenciais utilizando artifcios: Resoluo igualando expoentes Resoluo utilizando fator comum Resoluo mediante uma equao do segundo grau.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7) 1) Aplicando as propriedades de exponencial temos: 10x(x-1)=10-6 x(x-1)=-6 x2-x=-6 x2-x+6=0 Agora com as bases igualadas podemos cort-las. Operando Chegamos em uma equao do segundo grau, aplicando Bhaskara achamos os resultados Note que temos uma raiz quadrada de um nmero negativo! Isto no um nmero do conjunto dos REAIS (R), portanto a resposta x R (x no pertence aos REAIS).

2) 4x2=256 4x2=44 x2=4

3) 2x2-7x+12=1 2x2-7x+12=20 x2-7x+12=0 (Bhaskara) x=4 x=3 4) Tirando MMC

82x+2x=18 92x=18 2x=2 x=1 5) 3x(x-4)=3-3 x(x-4)=-3 x2-4x=-3 x2-4x+3=0 (Bhaskara) x'=3 x''=1 6) 3x2-10x+7=3-2 7) 4-(x-1)=42(x+2) x2-10x+7=-2 -(x-1)=2(x+2) x2-10x+7+2=0 -x+1=2x+4 x2-10x+9=0 (Bhaskara) -x-2x=4-1 x'=9 -3x=3 x''=1 x=-1

2

8) Se

, ento "x" vale:

(A) (B) (C) (D) (E) - Primeiro vamos transformar os decimais (nmeros com vrgula) em fraes:

- Veja que podemos simplificar a frao da esquerda e transformar em potncia o lado direito da igualdade:

- As bases esto quase igualadas, s que uma o inverso da outra. Vamos inverter uma delas e adicionar o expoente "1".

- Agora sim, com as bases igualadas podemos cort-las:

Resposta certa letra "B". 9) (PUC-RS) A soma das razes da equao (A) -4 (B) -2 (C) -1 (D) 2 (E) 4 :

3- Primeiro vamos "passar" o nove que est multiplicando o lado esquerdo para o lado direito dividindo: 5x2-2x+1=5625/9 5x2-2x+1=625 - Fatorando: 5x2-2x+1=54 - Cortando as bases: x2-2x+1=4 x2-2x+1-4=0 x2-2x-3=0 - Sendo a frmula da soma das razes S=-b/a, temos: S=-(-2)/1 S=2 Resposta certa letra "D". 10) (UFRGS) Sabendo-se que (A) -4 (B) -2 (C) 0 (D) (E) 2 - Para resolver este problema, no precisamos achar o valor de "x" . pedido quanto vale 6-x, se ns calcularmos quanto 6xpodemos calcular o que pedido. Veja s: 6x+2=72 6x62=72 6x36=72 6x=72/36 6x=2 - Agora podemos inverter ambos os lados que a igualdade continua verdadeira: , tem-se que vale:

- Aplicando as propriedades de potenciao: 6-x= Resposta certa letra "D"

11) (UFRGS) O valor de x que verifica a equao (A) -1 (B) (C) 0

:

4

(D) (E) 1

12) (UFRGS) A soluo da equao (A)

(B) (C) (D) (E) Podemos ento cortar as bases:

13) (UFRGS) Sabendo que

ento

vale

(A)

(B) (C)

(D)

(E) Pegando a expresso dada no enunciado, podemos transformar a subtrao em uma diviso: 4x-4x-1=24 4x-4x/4=24 Colocando o termo 4x em evidncia: 4x(1-1/4)=24 Efetuando o MMC nos parnteses acima: 4x(3/4)=24 Efetuando as continhas: 4x=24 . (4/3)

54x= 32 Agora podemos colocar os dois lados na base DOIS para poder cort-la: 22x = 25 Cortando as bases: 2x=5 x=5/2 Como o exerccio pede o valor de x1/2 , devemos apenas elevar os dois lados da equao acima no expoente 1/2: x1/2=(5/2)1/2 x1/2=51/2/21/2 Racionalizando: x1/2=101/2/2 Letra E

14) (PUCRS) A soma das razes da equao (A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) 2

:

c) Exerccios Resolvidos Os exerccios foram selecionados visando apresentar tcnicas de solues diferenciadas.

6

7Quanto vale a soma das razes da equao 3x+1 + 34x = 36 ? (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4

Exemplos resolvidos 1) 2x = 512 (512 = 29) 2x = 29 x=9 2) 5x+2 = 125 (125 = 53) 5x+2 = 53 x+2 = 3 x=32 x=1 3) 24x + 1 * 8 x + 3 = 161 24x+1 * 2 3(x + 3) = 24(1) 4x + 1 3x + 9 = 4 4x 3x = 4 1 9 x = 14

4) 2 x + 1 * 2 3x + 1 = 8 x 1 2 x + 1 * 2 3x + 1 = 2 3(x 1) x + 1 + 3x + 1 = 3x 3 x + 3x 3x = 1 1 3 x=5

5) 2 2x+1 2 x+4 = 2 x+2 32 2 2x * 2 1 2 x * 2 4 = 2 x * 2 2 32 Considere 2x = y, ento: 2y 2 y * 2 4 = y * 2 2 32 2y 2 16y = 4y 32 2y 2 16y 4y + 32= 0 2y 2 20y + 32 = 0 Resolvendo a equao do 2 grau, temos: y = 8 y = 2 2x = 8 2x = 23 x=3 2x = 2 x=1

8Soluo: x = 3 e x = 1 As equaes exponenciais possuem diversas aplicaes na Biologia, na Qumica, na Fsica e em situaes matemticas envolvendo logaritmos. Resoluo dos Exerccios de Eq. Exponencial II 1) (PUCRS) Se (A) [0; 1) (B) (0; 2) (C) (1; 2) (D) (1; 3) (E) (2; 3) - Neste exerccios podemos dizer que a potncia da esquerda tem 4 nveis. Temos que ir cortando um a um. Vamos igualar a primeira base: Agora podemos cortar a base 2. , ento x pertence ao intervalo

Igualamos novamente, podemos cortar a nova base 2.

Igualadas novamente, temos o valor de x. O nico intervalo que contm o 1 o da letra C. Note que nas respostas A, C e D o nmero 1 aparece aberto (com parnteses) portanto no faz parte do conjunto. Resposta certa, letra C

2) (UNISINOS) Se (A) -1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 8

, ento x :

- Primeiro vamos transformar todos os nmeros decimais em fraes (fica mais fcil):

- Agora s calcular:

9

Resposta certa, letra C.

3) (UFRGS) A soluo da inequao (A) (B) (C) (D) (E)

o conjunto

- O lado direito da inequao podemos trocar por Agora podemos cortar as bases.

e j temos as bases igualadas.

Mas, ateno: quando temos a base menor do que 1 e maior que zero (0 < b < 1) devemos inverter a desigualdade ao cortar as bases. (1-x) < 0 1-x < 0 -x < -1 Vamos multiplicar ambos os lados por -1 (lembre-se que quando fazemos isso devemos trocar novamente a desigualdade) x > 1 Resposta certa letra A. 4) (UNISINOS) Os valores de a e x para os quais a igualdade a(x-3)0=32 verdadeira (A) a=1 e x=9 (B) a=3 e x=5 (C) para todo valor de x 3 e a=9 (D) a=6 e x=5 (E) para qualquer valor de x 3 e a=3 - A primeira coisa que devemos olhar que o a est elevado na potncia (x-3)0 que vale 1, mas nem sempre. No podemos ter 00 , portanto x 3. Agora fica fcil: a1=32 a=9 Resposta certa letra C.

5) (CAJU) A soma dos valores das solues da equao (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 36 (E) 42 - Vamos utilizar as propriedades das potncias e tambm tirar o MMC:

:

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- Agora cortando o denominador e igualdando zero: -62x+426x-216=0 -(6x)2+426x-216=0 - Neste momento devemos utilizar a tcnica de troca de base. Vamos arbitrar 6x=y e teremos: -y2+42y-216=0 - Agora vamos resolver este equao do segundo grau com a frmula de Bhaskara.

- Esta no a resposta, so os valores de y. Agora devemos substituir na frmula criada por ns: 6x=y. 6x = 6 x=1 6x = 36 6x = 62 x=2 - Como o exerccio pede a soma dos valores: 2+1=3 Resposta certa, letra C. 6) (CAJU) O produto dos valores das solues da equao 7x-1-50=-73-x : (A) 3 (B) 4 (C) 2401 (D) 350 (E) 1 - Vamos primeiro utilizar as propriedades de potnciao e colocar esta equao em uma forma mais amigvel:

- Agora tirando o MMC:

- Pronto, podemos cortar o denominador e temos uma equao um tanto quanto mais amigvel! Agora vamos arrum-la para trocarmos a varivel: 72x-3507x=-2401 (7x)2-3507x+2401=0

11- Vamos efetuar a tcnica de troca de variveis. Dizemos 7x=y e temos: y2-350y+2401=0 Aplicando Bhaskara

- Novamente, estes so os valores de y, e no de x. Para calcular os valores de x temos: 7x=y 7x=343 7x=73 x=3 7x=y 7x=7 x=1

- Como o exerccio pede o produto dos valores, 31=3. Resposta certa, letra A.

7) (IPA/IMEC) Se 2x+2-x=10 ento 4x+4-x vale (A) 40 (B) 50 (C) 75 (D) 98 (E) 100 - Aplicando as propriedades de potenciao, o que o exerccio d e pede :

- Este problema o tipo de exerccio que se voc nunca viu como se faz, nunca iria conseguir fazer. Para resolv-lo devemos pegar a equao dada e elevar ao quadrado ambos os lados. Veja s:

- Agora devemos efetuar ambos os lados. No esquea da regra para o produto notvel da esquerda:

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Pronto, exerccio resolvido. Resposta certa letra D.

A soluo da equao (A) -5 (B) -4 (C) -3 (D) -2 (E) -1

:

- Primeiro de tudo, vamos efetuar a soma de fraes do denominador da esquerda da equao:

- Efetuando as operaes:

8x-1=-78x 8x+78x=1 8x(1+7)=1 8x8=1 8x+1=1 8x+1=80 x+1=0 x=-1

Colocando o 8x em evidncia Multiplicao de potncias de mesma base. Sabemos que qualquer nmero elevado na potncia ZERO vale 1. Cortando as bases Resposta certa, letra E.