equação diferencial parcial: equação de fourier

8/19/2019 Equação diferencial parcial: equação de fourier

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EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIALEQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL

PROBLEMA UNIDIMENSIONAL TRANSIENTE

B

A

T L xt T

T xt T

T xt T dx

T d K

dt

dT c

==

==

==

=

),(

)0,(

),0( 0

2

2

ρ

Condição inicial

Condições de contorno

?),( = xt T

0T

x

t

BT

AT

0=t

t t ∆=

( ) t jt ∆1−=

1= j

2= j

j

1 2 1−i i 1− N N 1+i

jiT ,

jiT ,

Ponto i Tempo j


2/18

Discretização no espaço:2

11

2

22

x

T T T

x

T iii

i ∆

−+ +−

≈∂

∂

Equação diferencial deve ser satisfeita em todos os pontos i :

B N

A

iiii

T T T T

N i x

T T T

c

k

dt

dT

=

=

−=+−

= −+

1

2

11 1,,2;2

Κ∆ ρ

Uma vez discretizada as derivadas em relação a x, obtém-se umsistema de equações diferenciais ordinárias em t (prob. de valor inicial):

=

+−=

+−=

=

B N

A

T T

x

T T T

c

k

dt

dT

x

T T T

c

k

dt

dT

T T

Μ

2

2343

2

1232

1

2

2

∆ ρ

∆ ρ

)(,,)(,)( 21 t T t T t T N Κ

Incógnitas do problema:


3/18

Método Explícito jiT ,

Ponto i Tempo j

1,,2;2

2

,1,,1,11,−=

+−=

−≈

−++ N i

x

T T T

c

k

t

T T

dt

dT ji ji ji j jiiΚ

∆ ρ ∆

Lado direito da EDO avaliada no instante anterior

[ ] 1,,2;2,1,,12,1,

−=+−+=−++

N iT T T

c

k

x

t T T ji ji ji ji ji Κ

ρ ∆

∆

Quando um método explícito é usado, as temperaturas em todos os pontos i

no intante j+1 são calculadas diretamente em função das temperaturas nos

pontos i no instante j, conhecidas.

O método de Euler explícito é instável se 2

22

1

2

1 x

c

k t

c

k

x

t ∆

ρ ∆

ρ ∆

∆>⇒>

O passo de tempo tem que ser muito pequeno e função da discretização em x


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B

A

T L xt T

T xt T

T xt T

dxT d K

dt dT c

==

==

==

=

),(

)0,(

),0( 0

2

2

ρ

Exemplo usando Excel:

1;2;0

1.0;1;1

0 ===

===

B A T T T

x Lc

k ∆

ρ

[ ] 1,,2;2 ,1,,12,1, −=+−+= −++ N iT T T ck

x

t T T ji ji ji ji ji Κ

ρ ∆

∆

Planilha do

Microsoft Excel


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2

11

01.0;1.0;1

2 >=

===

c

k

x

t

t xc

k

ρ ∆

∆

∆∆ ρ

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x

T

t = 0

t=0.03

t=0.05

2

1

005.0;1.0;1

2 =

===

c

k

x

t

t xc

k

ρ ∆

∆

∆∆ ρ

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x

T

t = 0

t=0.15

t=0.025


6/18

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x

T

t = 0

t=0.15

t=0.025

t=0.1

t=0.15

t=0.4

Solução em regime permanente


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Método Implícito jiT ,

Ponto i Tempo j

1,,2;2

2

1,11,1,1,1,−=

+−=

−≈

+−++++ N i

x

T T T

c

k

t

T T

dt

dT ji ji ji ji jiiΚ

∆ ρ ∆

Lado direito da EDO avaliada no instante atual

Conhecida as temperaturas no instante j,

deseja-se determinar as temperaturas no instante j+1.

B j N

ji ji ji ji

A j

T T

N i

T

t

T

xc

k T

xc

k

t

T

xc

k

T T

=

−=

=

−+

++

−

=

+

+−+++

+

1,

,1,121,21,12

1,1

1,,2

;11211

Κ

∆∆ ρ ∆ ρ ∆∆ ρ

Sistema de equações linear.


8/18

Para cada instante de tempo, deve-se resolver um sistema de equações linear.

f x A =

Função das temperaturas no instante anterior

Vetor com as temperaturas em todos os nós no instante atual.

Matriz dos coeficientes


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10/18


11/18

PROBLEMA BIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE

0),(

)0,(

),(

),0(

02

2

2

2

==

∂

∂

==

==

==

=∂

∂+

∂

∂

L y x y

T

T y xT

T y L xT

T y xT

y

T

x

T

C

B

A

Parede isolada

AT BT

C T

?),( = y xT

i 1+i1−i

j1+ j

1− j

jiT ,

Coord x Coord y

Nx1=i

Ny

1= j


12/18

),( ji

)1,( + ji

),1( ji − ),1( ji +

)1,( − ji2

1,,1,

,

2

2

2

,1,,1

,

2

2

2

2

y

T T T

y

T

x

T T T

x

T

ji ji ji

ji

ji ji ji

ji

∆

∆

−+

−+

+−≈

∂

∂

+−≈

∂

∂

Equação algébrica resultante no ponto (i,,j) :

011

21111

,221,21,2,12,12 =

+−

+

+

+

−+−+ ji ji ji ji ji T

y x

T

y

T

y

T

x

T

x ∆∆∆∆∆∆

1,21,,2

−=−=

Ny j Nxi

ΚΚ

Condições de contorno:

1,,2;0

1,,2;

,,1;,,1;

1,,

1,

,

,1

−==−

−==

====

− NxiT T

NxiT T

Ny jT T Ny jT T

Nyi Nyi

C i

B j Nx

A j

Κ

Κ

ΚΚ


13/18

As equações algébricas devem ser escritas em forma matricial

f x A =

Termo independente

Vetor com as temperaturas em todos os nós.

Matriz dos coeficientes

=

=

==

=

× Ny Nx Ny Nx T T

T T

T T T T

x

,

3,13

2,12

1,11

Μ

As incógnitas do problema devem ser numeradas de forma sequencialpara escrevermos o sistema de equações em forma matrical.


14/18

1

2

5

4

3

6

7

10

9

8

21

22

25

24

23

Exemplo de uma numeração sequencial:

Ny Nx Ny Nx

ji j Nyi

Ny

Ny Ny

T T

T T

T T

T T

T T

T T

,

,)1(

1,21

,1

2,12

1,11

=

=

=

=

=

=

×

+×−

+

Μ

Μ

Μ

13

Seguindo esta regra, a numeração sequencial do nó (i,j) é dada por:

),( ji

i-1 colunas de nós a esquerda do nó (i,j) ; cada coluna possui Ny nós:

{ j Nyi ji +×−⇒

434 21 )1(),(

Número de nós nas colunas anteriores Número de nós na coluna i


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Equação relativa ao nó # 8:

0

11

2

1111

011

21111

822729232132

3,2222,224,223,123,32

=

+−

+

+

+

=

+−

+

+

+

T y xT yT yT xT x

T y x

T y

T y

T x

T x

∆∆∆∆∆∆

∆∆∆∆∆∆

3,28 T T ⇔

0000000000

251413121110987654321

Κ

Κ

A BC B A

= ALinha 8

Matrix é pentadiagonal


16/18


17/18


18/18

0

0. 5

1

1. 5

2

0

0. 5

1

1. 5

2

-5

0

5

10

15

20

25

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0. 2

0. 4

0. 6

0. 8

1

1. 2

1. 4

1. 6

1. 8

2

0),(

0)0,(

20),(

10),0(

==∂

∂===

===

===

L y x y

T T y xT

T y L xT

T y xT

C

B

A

Gráfico de iso-linhas contourf

Gráfico 3D - superfície surf

equação diferencial parcial: equação de fourier

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