Métodos de Fourier

Prof. Luis S. B. Marques

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE

DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica

Introdução• Inicialmente estudamos as respostas de circuitos

elétricos a excitações senoidais e/ou exponenciais e através do conceito de fasores e impedância complexa foi possível obter tais respostas com relativa facilidade.

• Entretanto, muitas funções de interesse para a engenharia não são senóides ou exponenciais. Muitas vezes estamos interessados em sinais de entrada que são ondas quadradas, dente de serra, triangulares. As técnicas criadas por Jean Baptiste Joseph Fourier permitem representar tais funções através de funções senoidais e utilizar o conceito de fasor para chegar a uma resposta.

A série trigonométrica de Fourier• Considere as funções

periódicas:

• Fourier mostrou que:

A série trigonométrica de Fourier

• Para determinar a0 integraremos ambos os lados da equação para um período T0.

• Lembrando que o período T0 é referente à frequência angular ω0 e consequentemente o seno e o coseno executam um ciclo completo. Logo a área sob essas funções é zero.

A série trigonométrica de Fourier

• Para determinar an multiplicaremos ambos os lados da equação por cos(mω0t) e integraremos ambos os lados da equação para um período T0.

A série trigonométrica de Fourier• A primeira equação do lado direito é nula pois a área

sob a função coseno ao longo de um período é zero.

• Analisando a segunda integral do lado direito;

A série trigonométrica de Fourier

A série trigonométrica de Fourier

A série trigonométrica de Fourier

• Para determinar bn multiplicaremos ambos os lados da equação por sen(mω0t) e integraremos ambos os lados da equação para um período T0.

A série trigonométrica de Fourier

Propriedades da simetria• Diz-se que uma função possui simetria par se:

• Diz-se que uma função possui simetria ímpar se:

Propriedades da simetria• O produto de duas funções pares ou de duas funções

ímpares são pares.

• O produto de uma função par por uma função ímpar resulta em uma função ímpar.

• Considerando a integral abaixo para uma função ímpar e o fato do coseno ser uma função par e o seno uma função ímpar...

• Se f(t) for par:

Propriedades da simetria

• Se f(t) for ímpar:

Forma compacta para série Fourier• Considere a série de Fourier

an

bn

Cn

Θn

Forma compacta para série Fourier

A série exponencial de Fourier• Sabe-se que:

A série exponencial de Fourier

A série exponencial de Fourier

*

*

A série exponencial de Fourier

Espectro de frequência• A série de Fourier indica a amplitude e a fase correspondente a cada frequência.

Assim, pode-se determinar quais frequências predominam na forma de onda em questão.

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Tensao

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2corrente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

1.5

2Potencia media

Cálculo da potência média• Tensão : frequência fundamental • Corrente: frequência fundamental

Cálculo da potência média• Tensão : frequência fundamental • Corrente: dobro da frequência fundamental (segundo harmônico)

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Tensao

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2corrente

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Potencia media

Cálculo da potência média• Tensão : quarto harmônico • Corrente: terceiro harmônico

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2Tensao

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2corrente

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1Potencia media

Cálculo da potência média

Cálculo da potência média

Valor Eficaz de uma função periódica

A transformada de Fourier• A série de Fourier nos possibilita passar do domínio do tempo para o domínio da

frequência calculando-se os coeficientes de Fourier para funções periódicas no domínio do tempo.

• Se a função não for periódica não pode-se determinar a sua série de Fourier.

• A transformada de Fourier estende o conceito fasorial a funções não periódicas e cujos espectros de amplitude e fase são contínuos e não discretos.

• Considere a série de Fourier:

A transformada de Fourier• No limite quanto o período T tende ao infinito, passa-se de uma função periódica

para uma função aperiódica. A medida que T aumenta a separação entre frequências adjacentes fica cada vez menor:

• Se T tende ao infinito a separação incremental entre as frequências adjacentes tende a uma separação infinitesimal:

A transformada de Fourier• No limite quanto o período T tende ao infinito o produto CnT é dado por:

• Trata-se da Transformada de Fourier:

A transformada inversa de Fourier• A partir da equação para a série de Fourier investiga-se a forma limite quando o

período tende ao infinito:

• No limite o somatório tende à integral, CnT tende à transformada de Fourier, nw0 tende a w e 1/T tende a dw/2π

Convergência da integral de Fourier• Para que a transformada de Fourier exista é suficiente , mas não necessário, que a

função f(t) satisfaça as condições de Dirichlet.

1. f(t) deve ser absolutamente integrável.

2. f(t) deve possuir um número finito de descontinuidades finitas dentro de um intervalo finito.

3. f(t) deve possuir apenas um número finito de máximos ou mínimos dentro de qualquer intervalo finito.

• Qualquer sinal que pode ser gerado na prática satisfaz as condições de Dirichlet e, portanto, possui sua transformada de Fourier.

Convergência da integral de Fourier• Um grupo de funções de interesse não possui, a rigor, transformada de Fourier.

Exemplos:

Convergência da integral de Fourier• A transformada de Fourier para a função degrau unitário é obtida considerando a

função como sendo a exponencial decrescente abaixo no limite quando a➔0.

Convergência da integral de Fourier

Convergência da integral de Fourier

Convergência da integral de Fourier• A transformada de Fourier para a função sinal

Teorema de Parseval• O teorema de Parseval associa a energia associada a uma função no domínio do

tempo à transformada de Fourier da função. Considere que f(t) é a tensão ou a corrente em um resistor de 1Ω. A energia é dada por:

• De acordo com o teorema de Parseval essa energia pode ser calculada no domínio do frequência.

Teorema de Parseval

Teorema de Parseval• Interpretando o teorema permite-nos determinar a energia para uma determinada

faixa de frequência. Se |F(ω|2 é densidade de energia em Joules por hertz, então para uma determinada faixa de frequência: