análise de fourier
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-
Universidade Tecnolgica Federal do Paran
Prof.Rafael Cardoso, Dr.
Anlise de Fourier
-
2OBJETIVOS
Apresentar os conceitos de anlise em frequncia
baseados na anlise de Fourier.
Descrever a anlise em frequncia para sinais de tempo
contnuo peridicos e no peridicos.
Descrever a anlise em frequncia para sinais de tempo
discreto peridicos e no peridicos.
-
3 Decompor um sinal em termos de componentes
senoidais (exponenciais complexas).
Representao no domnio da frequncia.
Determinao do espectro de frequncia do sinal.
PRINCPIO DA ANLISE DE FOURIER
-
4TEMPO SINAL PERIDICO SINAL NO PERIDICO
CONTNUO Srie de Fourier Transformada de Fourier
DISCRETO Srie de Fourier de
Tempo Discreto
Transformada de Fourier de
Tempo Discreto
POSSVEIS REPRESENTAES
-
SINAIS DE TEMPO CONTNUO
PERIDICOS
SRIE DE FOURIER - FS
-
6 Considere um sinal peridico com perodo .
Objetiva-se representar o sinal atravs de umacombinao linear de exponenciais harmonicamenterelacionadas da forma
= =
2
que peridica com perodo fundamental = 1 .
A representao (1) denominada de Srie de Fourierde .
SRIE DE FOURIER
(1)
-
7 Observe que
2 = 2 + 2
onde = 0, 1, 2,
A frequncia determina o perodo fundamental de
enquanto os coeficientes determinam a forma
do sinal.
SRIE DE FOURIER
-
8 Multiplicando-se (1), em ambos os lados, por 2,onde um inteiro, e integrando-se sobre um perodotem-se:
0
0+
2 = 0
0+
2 =
2
O lado direito resulta em
=
0
0+
2 = =
2
2 0
0+
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
(2)
-
9 Substituindo-se os limites de integrao, para , oresultado zero.
Se = , tem-se
0
0+
= 0
0+=
Consequentemente, (2) torna-se
0
0+
2 =
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
-
10
Logo, os coeficientes e Fourier podem ser calculados
por
=1
0
0+
2
Como 0 arbitrrio, pode-se integrar em qualquer
intervalo .Assim,
=1
2
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
-
11
Teorema de Fourier
Seja peridica com perodo . Adicionalmente,
sejam e seccionalmente contnuas no
intervalo 0, 0 + . Ento,a srie de Fourier de
converge para em todos os pontos onde
contnua e para + +
2 onde descontnua.
CONVERGNCIA DA SRIE DE FOURIER
-
12
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO CONTNUO PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE =1
2
EQUAO DE SNTESE = =
2
SRIE DE FOURIER PARA SINAIS DE TEMPO
CONTNUO
-
13
Para sinais peridicos reais, e so complexosconjugados, isto ,
= ,
= .
Com isso, a srie de Fourier pode ser representada por
= 0 + 2 =1
2 +
onde 0 real.
OUTRAS REPRESENTAES DA SRIE DE
FOURIER
(3)
-
14
Outra representao pode ser obtida expandindo-se o
termo cosenoidal de (3)
2 + = 2 2 .
Logo,
= 0 + =1
2 2 ,
0 = 0,
= 2 ,
= 2 .
OUTRAS REPRESENTAES DA SRIE DE
FOURIER
-
15
Determine a representao de Fourier para o sinal
ilustrado abaixo.
Considere A = 50, = 1 e = 0,5.
EXEMPLO
-
16
Utiliza-se
=1
2
com limites de integrao de 2 a
2.
Para = 0 (fornece o nvel CC do sinal):
0 =1
2
2
=
EXEMPLO
-
17
Para 0:
=1
2
2
2 =
2
2
2
2
=
2
=
, k = 1, 2,
EXEMPLO
-
18
EXEMPLO
Mdulo e fase dos coeficientes de Fourier para =0, 1, , 12.
-
19
Como os coeficientes so todos reais, pode-se agrupar
a magnitude e a fase em um nico grfico.
EXEMPLO
-
20
Frequncias presentes no sinal (espectro de
frequncia). Observe que a frequncia fundamental
= 1 .
EXEMPLO
k Frequncia (Hz) Amplitude Fase (graus)
0 CC 25 0
1 1 31,83 0
3 3 10,61 180
5 5 6,37 0
7 7 4,55 180
9 9 3,53 0
11 11 2,89 180
-
21
Aproximao para = 0, 1, , 12.
EXEMPLO
-
22
Aproximao para = 0, 1, , 3.
EXEMPLO
-
23
Aproximao para = 0, 1, , 1500.
EXEMPLO
-
24
Fica evidente a influncia dos coeficientes na forma do sinal reconstrudo.
Para ilustrar a influncia da frequncia fundamental na
reconstruo do sinal, considere o mesmo sinal
analisado, porm, com perodo = 0,1 .
Adicionalmente, sejam os dois casos j utilizados para a
variao de : = 0, 1, , 12,
= 0, 1, , 3.
EXEMPLO
-
25
Como a frequncia fundamental = 10 tem-se:
Como a forma da onda a mesma, tem-se os mesmos componentes. Porm, agora, mltiplos de 10 .
EXEMPLO
k Frequncia (Hz) Amplitude Fase (graus)
0 CC 25 0
1 10 31,83 0
3 30 10,61 180
5 50 6,37 0
7 70 4,55 180
9 90 3,53 0
11 110 2,89 180
-
26
Aproximao para = 0, 1, , 12.
A forma de onda igual ao caso anterior. Porm, o
perodo fundamental, agora, = 0,1 .
EXEMPLO
-
27
Aproximao para = 0, 1, , 3.
EXEMPLO
-
SINAIS DE TEMPO CONTNUO
NO PERIDICOS
TRANSFORMADA DE FOURIER
- FT
-
29
Considere um sinal de tempo contnuo no peridico
:
Deseja-se determinar seu espectro de frequncia.
TRANSFORMADA DE FOURIER
-
30
Se o sinal fosse peridico, com perodo T, a srie de
Fourier poderia ser aplicada. Para isso, a partir do sinal
, pode-se criar um sinal peridico .
evidente que
= lim
.
TRANSFORMADA DE FOURIER
-
31
Isso leva ideia de se usar a srie de Fourier para sedeterminar o espectro de considerando-se olimite de .
Inicialmente, considere as equaes da srie de Fourier
para , isto ,
= =
2, =
1
,
=1
2.
TRANSFORMADA DE FOURIER
(4)
(5)
-
32
TRANSFORMADA DE FOURIER
Como = para
2
2 , (5) podeser reescrita como
=1
2 .
Uma vez que = 0 para > 2 , os limites deintegrao podem ser substitudos por e :
=1
2. (6)
-
33
Define-se a transformada de Fourier de como
=
2
que funo da varivel contnua e no depende de ou de .
Comparando-se (7) com (6), observa-se que
=1
,
= =
.
TRANSFORMADA DE FOURIER
(7)
(8)
-
34
Isso significa que os coeficientes de Fourier so
amostras de () tomadas em mltiplos inteiros de e escalonadas por um fator 1 .
Substituindo (8) na equao de sntese (4) fornece
=1
=
2
que ainda diz respeito a um sinal peridico.
TRANSFORMADA DE FOURIER
(9)
-
35
Para eliminar esta questo, deve-se calcular o limite de
(9) para . Isto ,
lim
= lim
1
=
2.
Para isso, inicialmente, considera-se = 1 . Assim:
= =
2.
TRANSFORMADA DE FOURIER
-
36
evidente que a medida que , .
Com isso, torna-se o diferencial ;
E k se torna a varivel contnua F.
O somatrio torna-se uma integral em relao a
frequncia varivel .
TRANSFORMADA DE FOURIER
-
37
Logo,
lim
=
= lim0
=
2.
E a transformada inversa de Fourier de definida por
=
2.
TRANSFORMADA DE FOURIER
(10)
-
38
TRANSFORMADA DE FOURIER PARA SINAIS
DE TEMPO CONTNUO
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO CONTNUO NO
PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE =
2
EQUAO DE SNTESE =
2
-
39
Para se expressar as equaes que descrevem atransformada de Fourier em funo da frequncia em/ considera-se = 2. Logo, = 2.
Consequentemente,
=
,
=1
2
.
TRANSFORMADA DE FOURIER
-
40
Determine a transformada de Fourier do sinal
representado abaixo.
Considere = 50 e = 0,5 .
EXEMPLO
-
41
Utiliza-se
=
2
que para o sinal em questo pode ser alterada para
=
2 =
.
EXEMPLO
-
42
Como o espectro de frequncia X(F) real, este pode
ser representado por:
EXEMPLO
-
43
Considere que o pulso retangular analisado se repetecom perodo .
Mais precisamente, seja A = 50 e = 1 , comoconsiderado no sinal peridico utilizado para aobteno da srie de Fourier.
EXEMPLO
-
44
Sobrepondo os grficos da transformada de Fourier e
dos coeficientes da srie de Fourier obtm-se:
EXEMPLO
-
45
Agora, considere que o sinal peridico mantm A =50, = 0,5 mas o perodo foi elevado para =2 .
EXEMPLO
-
46
O espectro de um sinal no peridico o envelope do
espectro de um sinal peridico (coeficientes de
Fourier) obtido pela repetio do sinal no peridico
com um perodo .
Os coeficientes de Fourier do sinal peridico so
amostras normalizadas de nas frequncias = . Isto ,
=1
=
1
X
.
RELAO ENTRE A TRANSFORMADA E A
SRIE DE FOURIER
-
SINAIS DE TEMPO DISCRETO
PERIDICOS
SRIE DE FOURIER DE
TEMPO DISCRETO - DTFS
-
48
Seja uma sequncia peridica com perodo , isto
, = + , para qualquer valor inteiro de
e .
Objetiva-se representar por uma soma ponderada
de exponenciais complexas com frequncias mltiplas
inteiras da frequncia fundamental 2 .
SRIE DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
-
49
Estas exponenciais complexas tm a forma
= 2 = + ,
onde, +, e a representao em srie de Fourier de
da forma
=1
2
.
Devido a periodicidade da exponencial complexa, para
, tem-se
+ = 2 + =
2 2
= 2
= .
SRIE DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
(11)
-
50
Portanto, so necessrias somente N exponenciais
complexas com frequncias mltiplas inteiras da
fundamental 2 para representar a sequncia .
Assim, (11) pode ser representada por
=1
=0
1
2
.
SRIE DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
(12)
-
51
Para sinais de tempo contnuo com perodo : A srie de Fourier possui um nmero infinito de
componentes de frequncia;
O espaamento entre esses componentes 1 ; O espectro de frequncia pode se estender de , .
Para sinais de tempo discreto com perodo : O espectro de frequncia se estende de , ou de
0,2 ; O espaamento entre as componentes de frequncia ser
2 radianos; A srie de Fourier ter, no mximo, componentes de
frequncia.
COMPARAO ENTRE AS SRIES DE
FOURIER DE TEMPO CONTNUO E DISCRETO
-
52
Para a obteno dos coeficientes de Fourier ,
multiplica-se os dois lados de (12) por 2
e
soma-se de = 0 = 1. Dessa forma,
=0
1
2
= =0
11
=0
1
2
.
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
-
53
Alterando a ordem do somatrio no lado direito
fornece
=0
1
2
= =0
1
1
=0
1
2
.
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
(13)
-
54
Considerando a identidade de ortogonalidade
1
=0
1
2
= 1, = , ,0, ,
aplicada ao termo entre colchetes em (13), tem-se
=0
1
2
= .
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
-
55
Portanto, os coeficientes de Fourier na equao(12) so obtidos a partir do sinal e da relao
= =0
1
2
.
Observe que a sequncia peridica com perodo.
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
-
56
A periodicidade pode ser verificada atravs de
+ = =0
1
2
+
= =0
1
2
2 = .
DETERMINAO DOS COEFICIENTES DE
FOURIER
-
57
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE = =0
1
2
EQUAO DE SNTESE =1
=0
1
2
SRIE DE FOURIER PARA SINAIS DE TEMPO
DISCRETO
-
58
Para sinais peridicos reais, e socomplexos conjugados, isto ,
= [] ,
= [] .
Se for par, = 2, a srie de Fourier pode serrepresentada por
[] = 0
+
2
=1
1
2
+ +
1
2
+
Se for mpar, = 1 2 , a srie de Fourier podeser representada por
[] = 0
+
2
=1
2
+
OUTRAS REPRESENTAES DA SRIE DE
FOURIER DE TEMPO DISCRETO
-
59
Se for par, = 2, e a srie de Fourier tambm podeser representada por
= 0
+
2
=1
1
2
2
+1
2
2
Se for par, = 2, e a srie de Fourier tambm pode
ser representada por
= 0
+
2
=1
2
2
onde
= 2
, = 2
OUTRAS REPRESENTAES DA SRIE DE
FOURIER
-
60
Determine a representao de Fourier para o sinal de
tempo discreto peridico ilustrado abaixo.
Observe que = 1, = 5 e = 10.
EXEMPLO
-
61
Utiliza-se
= =0
1
2
.
Isto ,
= =0
1
2
= =0
4
2
= 1
2
1 2
=
(1)
.
EXEMPLO
-
62
Tem-se, portanto,
=
, = 0,, 2,
1
, .
Substituindo = 1, = 5 e = 10, resulta em
=
5, = 0, , 2,
4
10 2
10
, .
EXEMPLO
-
63
EXEMPLO
Mdulo e fase dos coeficientes de Fourier .
-
64
Frequncias presentes no sinal (espectro de
frequncia). Observe que a frequncia fundamental
= 2 10 e que existe um fator 1
associado.
EXEMPLO
k Frequncia (rad) Amplitude Fase (rads)
0 0 0,5 0
1 2 100,6472 -1,2566
3 6 100,2472 -0,6283
5 10 100,1 0
-
65
Reconstruo do sinal.
EXEMPLO
-
SINAIS DE TEMPO DISCRETO
NO PERIDICOS
TRANSFORMADA DE FOURIER
DE TEMPO DISCRETO - DTFT
-
67
A obteno da transformada de Fourier de tempo discreto similar a apresentada para sinais de tempo contnuo.
Para um sinal de tempo discreto no peridico, atransformada de Fourier definida por
= =
Fisicamente, representa as frequncia presentes nosinal , isto , a decomposio de em suascomponentes de frequncia.
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
(14)
-
68
Devido ao fato de que para qualquer sinal de tempo
discreto a variao de frequncia se d de , ou de0,2 , de se esperar que a transformada de Fourier seja
peridica com perodo 2.
+ 2 =
+2
=
2
=
=
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
-
69
Para sinais de tempo contnuo:
O espectro de frequncia se estende de , ;
A transformada de Fourier envolve uma integral.
Para sinais de tempo discreto:
O espectro de frequncia se estende de , ou de0,2 ;
A transformada de Fourier envolve um somatrio;
A transformada de Fourier peridica com perodo 2.
COMPARAO ENTRE AS TRANSFORMADAS DE
FOURIER DE TEMPO CONTNUO E DISCRETO
-
70
Uma vez que peridica em , de se esperar que a
funo tenha expanso em srie de Fourier, desde que a
srie seja convergente.
Na realidade, a definio da transformada de Fourier de
tempo discreto da sequncia , dada por (14), tem
a forma de uma srie de Fourier para um sinal com perodo
2.
Os coeficientes de Fourier nesta expanso so os valores da
sequncia .
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER DE
TEMPO DISCRETO
-
71
Para demonstrar isso, determina-se a sequncia a
partir de . Para isso, multiplica-se ambos os lados de
(14) por e integra-se no intervalo , , isto ,
=
=
Se o somatrio for convergente, pode-se alterar a ordem da
integrao e do somatrio.Assim,
= =
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER DE
TEMPO DISCRETO
(15)
-
72
Da ortogonalidade das exponenciais complexas,
= 2, = 0,
Logo,
=
= 2 , = 0,
Combinando, (15) e (16), tem-se o resultado desejado,
=1
2
Esta equao a expresso dos coeficientes de uma srie de
Fourier para uma funo peridica com perodo 2.
TRANSFORMADA INVERSA DE FOURIER DE
TEMPO DISCRETO
(16)
-
73
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO NO
PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE = =
EQUAO DE SNTESE =1
2 2
TRANSFORMADA DE FOURIER DE TEMPO
DISCRETO
-
74
Determine a representao de Fourier para o sinal de
tempo discreto no peridico ilustrado abaixo.
Observe que = 1 e = 5.
EXEMPLO
-
75
A transformada de Fourier de tempo discreto do sinal
calculada por
= =0
1
= 1
1
=
2 1 2 2
EXEMPLO
-
76
A magnitude e a fase da transformada de Fourier so dados por
= =
, = 0
2 2
,
=
2 1 +
2 2
EXEMPLO
-
77
A magnitude e a fase da transformada de Fourier so mostrados na figura abaixo
EXEMPLO
-
78
Considere que o pulso retangular analisado se repetecom perodo .
Mais precisamente, seja = 10, como consideradono sinal peridico utilizado para a obteno da srie deFourier.
EXEMPLO
-
79
Sobrepondo os grficos da transformada de Fourier e dos coeficientes da srie de Fourier obtm-se:
EXEMPLO
-
80
Observa-se que os coeficientes da srie de Fourier tm os valores dados pela avaliao da transformada deFourier em um conjunto de frequncia igualmenteespaadas dado por
=2
, = 0, 1, , 1.
Isto ,
2
=
1
= 0, 1, , 1
que tem a mesma forma da equao dos coeficientes dasrie de Fourier que foi calculada para o sinal retangularperidico.
EXEMPLO
-
SINAIS DE TEMPO DISCRETO
TRANSFORMADA DISCRETA
DE FOURIER - DFT
-
82
Em aplicaes prticas, a anlise de frequncia de sinais ,
geralmente, realizada por um processador digital de sinais.
Para sinais de tempo discreto e peridicos, o uso da srie
de Fourier de tempo discreto permite a realizao da
anlise sem maiores problemas pois, ambas as equaes de
anlise e de sntese so discretas.
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE = =0
1
2
EQUAO DE SNTESE =1
=0
1
2
-
83
Contudo, sinais de tempo discreto no peridicos possuem
um espectro de frequncia contnuo o que dificulta a sua
representao por processadores digitais de sinais.
Adicionalmente, a equao de sntese envolve uma integral,
o que tambm aumenta a complexidade de implementao
digital.
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO NO
PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE = =
EQUAO DE SNTESE =1
2 2
-
84
Assim, pensando na implementao computacional de um
algoritmo de anlise em frequncia, interessante se dispor
de equaes que sejam de fcil avaliao por um
processador digital de sinais.
Como mencionado, a implementao digital da srie de
Fourier de tempo discreto no problema, mas a
implementao da transformada de Fourier, por esta ser
contnua em merece ateno.
A relao que h entre a transformada de Fourier e os
coeficientes da srie de Fourier o ponto de partida.
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
-
85
A relao que h entre a transformada de Fourier e os
coeficientes da srie de Fourier o ponto de partida.
Considere uma sequncia no peridica que possua
transformada de Fourier .
J foi visto que a amostragem de em frequncias
= 2
, = 0, 1, , 1, fornece os coeficientes da
srie de Fourier de um sinal peridico obtido a partir
da repetio do sinal com um perodo . Isto ,
= = 2
= 2
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
(17)
-
86
Para se obter uma sequncia peridica a partir da
sequncia de amostras utiliza-se a equao de sntese
da srie de Fourier de tempo discreto (12). Isto ,
=1
=0
1
2
Substituindo a definio da transformada de Fourier
= =
em (17) e, posteriormente, em (18), resulta
=1
=0
1
=
2
2
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
(18)
-
87
Alterando a ordem dos somatrios resulta em
= =
1
=0
1
2
= =
onde o termo entre colchetes a srie de Fourier de um
trem de impulsos peridico, isto ,
=1
=0
1
2
= =
e, portanto,
= x =
= =
.
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
(19)
-
88
A equao (19) mostra que o sinal reconstrudo a partir das
amostras obtidas a partir de peridico com
perodo e formado por cpias da sequncia
deslocada de mltiplos inteiros de .
Considere o sinal abaixo que tem comprimento 9.
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
-
89
Usando (19) com = 12 resulta em
Usando (19) com = 7 tem-se
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
-
90
Fica evidente que para que um perodo do sinal peridico
seja igual ao sinal no peridico original, deve-se ter
maior ou igual ao comprimento do sinal no peridico
original.
Nesse caso, pode ser obtido a partir da sequncia
, isto ,
= , 0 10,
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
-
91
Dessa forma, a partir de uma sequncia no peridica ,
pode-se formar uma sequncia peridica e utilizar a
srie de Fourier de tempo discreto para represent-la.
Posto de outra forma, pode-se a partir da sequncia de
coeficientes de Fourier , se obter a sequncia peridica
, utilizando-se as equaes da srie de Fourier, para,
finalmente, se determinar utilizando
= , 0 10,
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
-
92
Assim, como o sinal no peridico a ser analisado tem
termos, a relao dos coeficientes de Fourier e a
reconstruo do sinal a partir de uma sequncia peridica
dada por
= =0
1
2
, 0 1
0,
=
1
=0
1
2
, 0 1
0,
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
-
93
Quando a srie de Fourier de tempo discreto empregada
para a representao de sequncias no peridicas ela
chamada deTransformada Discreta de Fourier (DFT).
TRANSFORMADA DISCRETA DE
FOURIER
ANLISE EM FREQUNCIA DE SINAIS DE TEMPO DISCRETO PERIDICOS
EQUAO DE ANLISE = =0
1
2
EQUAO DE SNTESE =1
=0
1
2
-
94
Determine a DFT para o sinal de tempo discreto no
peridico ilustrado abaixo.
Considere, inicialmente, = 5 e, posteriormente, =
10.
EXEMPLO
-
95
Para = 5, a sequncia peridica cuja srie deFourier de tempo discreto corresponde a DFT de mostrada abaixo.
EXEMPLO
-
96
Para, = 1 e = = 5 tem-se:
= = =0
1
2
= =0
4
2
5
= 5, = 0, 5,10,0,
= 5, = 00, 4
EXEMPLO
-
97
A relao da transformada de Fourier e dos coeficientes da
srie de Fourier mostrada abaixo.
EXEMPLO
-
98
Para = 10, a sequncia peridica cuja srie deFourier de tempo discreto corresponde a DFT de mostrada abaixo.
EXEMPLO
-
99
Para, = 1 e = 5 e = 10 tem-se:
= = =0
1
2
= =0
9
2
10
=
5, = 0, 10,20,
4
10 2
10
,
=
5, = 0
4
10 2
10
, 1 9
EXEMPLO
-
100
A relao da transformada de Fourier e dos coeficientes da
srie de Fourier mostrada abaixo.
EXEMPLO
-
101
Embora a DFT calculada com pontos seja suficiente para
representar unicamente a sequncia , ela no fornece
detalhes suficientes sobre as caractersticas espectrais de
.
Para se melhorar o detalhamento do espectro de
frequncia, deve-se amostrar mais pontos do espectro
. Isto , deve-se aumentar o valor de em = 2 , onde > . Para isso, se acrescenta zeros na
sequncia .
RESOLUO DA DFT