Resolução da equação de Burgers utilizando a metodologia pseudo-

espectral de Fourier

Ana Luiza A. Santos, Felipe P. Mariano, Leonardo Queiroz e Aristeu da

Silveira Neto

Laboratório de Mecânica dos Fluidos, FEMEC, UFU

38408-100, Uberlândia, MG

E-mail: analuiza_alas@mec.ufu.br, fpmariano@mecanica.ufu.br, lqmoreira@mecanica.ufu.br,

aristeus@mecanica.ufu.br.

Palavras-chave: Metodologia pseudo-espectral de Fourier, Equação de Burgers, Matemática

Computacional, Transformada Rápida de Fourier.

Resumo: No presente trabalho apresenta-se a resolução da equação de Burgers utilizando a

metodologia pseudo-espectral de Fourier (MPEF). Este método tem como principais particularidades

alta acurácia e baixo custo computacional. Contudo, é limitado a problemas com condições de

contorno periódicas. Devido a esta limitação, escolheu-se a equação de Burgers para a aplicação

deste método.

1 Introdução

A equação de Burgers é uma Equação Diferencial Parcial (EDP) proposta por Burgers (1948)

como um modelo simplificado, derivado das equações de Navier-Stokes. Essa equação guarda os

efeitos não lineares advectivos, assim como os efeitos viscosos difusivos. Foi também proposta sua

solução analítica que serve de referência para a verificação de metodologias e de implementação de

algortitmos.

2 Modelagem matemática e numérica

Com uma velocidade , uma viscosidade cinemática constante positiva , num domínio

espacial , a forma geral da equação de Burges é dada por (CANUTO, 2006):

Esta EDP não-linear possui solução exata e completa conhecida em termos dos valores iniciais, sendo

esta solução representada por com e constantes. Hopf (1950) e

Cole (1951) mostraram que onde é a derivada espacial da função , sendo esta

função representada por:

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para um problema periódico. Aplicando as propriedades da transformada de Fourier (Moreira, 2007)

na Equação 2.3, obtém-se:

em que é a transformada da função u para o espaço espectral. Para trabalhar computacionalmente

com a transformada de Fourier usa-se a versão discreta, denominada Transformada Discreta de Fourier

(DFT), definida pela seguinte equação (BRIGGS, 1995) apud Moreira (2007):

sendo o número de onda, é o número de pontos da malha, fornece a posição dos nós de

colocação e .

Para o cálculo da DFT, utiliza-se um algoritmo denominado Transformada Rápida de Fourier

(FFT), desenvolvido por Cooley e Tukey (1965). Neste trabalho foram utilizadas as rotinas FFTE

escritas por Takahashi, , que são rotinas de código aberto escritas em Fortran (Moreira, 2007).

Os vetores número de onda para a FFT são calculados da seguinte forma (POULTER, ) apud

Moreira :

,

onde, é o vetor número de onda, é a quantidade de nós e é a posição no vetor em uma dada

direção do domínio. O termo não linear foi tratado de quatro formas diferentes: advectiva, divergente,

skew-simétrica convencional e skew-simétrica alternada. Com relação ao avanço temporal, utilizou-se

o método de Runge-Kutta de quarta ordem (Moreira, 2007).

3 Resultados

Utilizando os parâmetros e , obteve-se um ótimo resultado tratando o termo não

linear com a forma advectiva. Segue-se, então, o perfil de velocidade e o resultado da norma obtida

para uma malha com pontos espaciais e um tempo de . Para , conservando os

mesmos valores de e de e utilizando a forma skew-simétrica alternada, obteve-se o seguinte

resultado para uma malha com 512 pontos:

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Figura 1: (a) Perfil de velocidade e (b) Tempo para .

Figura 2: (a) Perfil de velocidade e (b) Tempo para .

4 Análise e conclusões dos resultados

Pode-se observar que utilizando o perfil de velocidade tende amortecer enquanto que

para , além de amortecer o perfil também propaga espacialmente. Em ambos resultados, os

valores da norma foram da ordem de erro de máquina ( para e para ),

mostrando que a metodologia pseudo-esctral de Fourier possui alta acurácia.

5 Referências bibliográficas

[3] C. Canuto, M.Y. Hussaini, A. Quarteroni, T.A. Zang. (2006). Spectral Methods:

Fundamentals in Single Domains (3rd ed.). New York: Springer.

[4] MARIANO, F. P. (2009). Modelagem matemática de escoamentos sobre geometrias

complexas utilizando o método pesudo-espectral de Fourier acoplado com o método da fronteira

imersa. Uberlândia.

[4] Moreira, L. Q. (2007). Simulação de grandes escalas de jatos periodicos temporais

utilizando a metodologia Pseudo-Espectral de Fourier. Uberlândia.

[3] William L. BRIGGS, Van Emden HERSON. (1995). The DFT: An Owner's Manual for

the Discrete Fourier Transform. Philadelphia: SIAM.

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