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FORMULAÇÃO ANALÍTICA PARA A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE
TRANSFERÊNCIA RADIATIVA SEM SIMETRIA AZIMUTAL
COM INCLINAÇÃO DO FEIXE INCIDENTE
por
CELSO LUIZ BUIAR
Pontifícia Universidade Católica do Paraná
Programa de Pós - Graduação em Engenharia Mecânica
Trabalho apresentado como parte dos requisitos para a obtenção do título de
Mestre em Engenharia Mecânica
CURITIBA, PARANÁ, BRASIL.
CURITIBA, Março de 2005
ii
Resumo
Esta dissertação versa sobre uma metodologia empregada para a solução da Equação
de Transferência de Calor por Radiação (ETR) de materiais classificados como
semitransparentes difusores (MST), em uma geometria unidimensional sem simetria azimutal
em função da inclinação do feixe incidente. Utiliza-se o método de ordenadas discretas para
o obtenção de equações diferenciais de primeira ordem, resolvidos pela técnica de volumes
finitos ou através de método analítico com o uso de autovalores e autovetores. O campo de
intensidade radiativa é descrito em termos de uma expansão em série de Fourier e a função
de fase em termos de polinômios de Legendre. Resultados comparativos entre a formulação
analítica e o método de ordenadas discretas com volumes finitos são apresentados.
iii
Abstract
This work presents a methodology used to solve the radiative heat transfer equation
for an absorbing, emitting and scattering media in one-dimensional geometry without
azimuthal symmetry of incident beam. The discrete ordinate method is used to obtaine
the first order equations. This equations are solved by the finite – volume method and
an analytical method (Eigenvector and Eingevalue problem). Fourier Series are used to
describe the intensity radiation field and Legendre polynomials to describe the phase
functions. Comparison between a DOM – FV (discrete ordinate and finite volume)
numerical method and an analytical formulation are presented.
iv
Publicações
[1] Buiar, C. L. e Moura L. M. Uma formulação analítica para a solução da equação
de transferência radiativa sem simetria azimutal. 58 SBA, Novembro de 2003,
Campinas, Brasil.
[2] Buiar, C. L. e Moura, L.M. The Sequential method apply to estimate the
convection heat transfer coefficient. Inverse Problems and Design Optmazition,
Março de 2004, Rio de Janeiro, Brasil.
[3] Buiar, C. L. e Moura L.M. O método seqüencial aplicado na identificação do
coeficiente de transferência de calor por convecção. CONEM 2004, Agosto de
2004, Belém, Brasil.
[4] Buiar, C. L; Moura, L. M. e Nicolau, V. de P. A Comparison between analytical
and finite volume discrete ordinates radiative transfer equation. CILAMCE
2004, Recife, Brasil.
v
A todos aqueles que direta e / ou indiretamente contribuíram para esta realização pessoal e profissional.
vi
Agradecimentos
À CAPES pela concessão da bolsa de estudos para realização deste mestrado.
Ao PPGEM – PUCPR pelo ótimo ambiente de profissionalismo e amizade que
participei nestes dois anos.
Ao Prof. Dr. Luís Mauro Moura que compartilhou de seus conhecimentos me
auxiliando nesta dissertação.
Aos membros da comissão examinadora por sua valiosa contribuição ao trabalho.
À Sra Janete Marques da Rocha, (Jane), por nossas conversas e por seu maravilhoso
café.
À minha família pelo apoio recebido.
vii
Prefácio
“Não pode haver uma linguagem mais universal e mais simples, mais
livre de erros e obscuridades... mais digna de expressar as relações invariáveis
das coisas naturais do que a Matemática. Interpreta todos os fenômenos pela
mesma linguagem, como para atestar a unidade e simplicidade do plano do
universo e tornar ainda mais evidente esta ordem mutável que preside sobre
todas as causas naturais”.
Joseph Fourier,
Teoria Analítica do Calor, 1822
viii
Sumário
Resumo ii
Abstract iii
Publicações iv
Prefácio vii
Sumário viii
Lista de Figuras xi
Lista de Tabelas xiv
Lista de Símbolos xv
Introdução 1
Capítulo 1
Revisão Bibliográfica 3
Sumário ix
Capítulo 2
A Transferência Radiativa 12
2.1 Definição e leis da radiação eletromagnética............................................. 13
2.1.1 Radiação térmica ....................................................................................... 14
2.2 - Interação Radiação-Matéria ..................................................................... 14
2.3 - Equação de Transferência Radiativa ...................................................... 16
2.4 - Condição de Simetria Azimutal............................................................... 19
2.5 - Condição de não Simetria Azimutal ....................................................... 20
2.5.1 - Desenvolvimento em Série ...................................................................... 20
2.5.2 - Uso de Quadraturas....................................................................................21
Capítulo 3
A Equação da Transferência Radiativa 24
3.1 Estudo do problema com simetria azimutal.................................................... 25
3.1.1 Equação e Solução para o campo Colimado .......................................... 26
3.1.2 Equação e Solução para o campo Difuso................................................. .26
3.2 Método de ordenadas discretas com volumes finitos .................................... 29
3.2.1 Discretização Angular ............................................................................... 29
3.2.2 Discretização Espacial...................................................................................31
3.3 Desenvolvimento em série de Fourier...............................................................32
3.4 Transformação do problema sem simetria em um conjunto de problemas
com simetria do campo de intensidades radiativas................................................33
3.4.1 Difusão Isotrópica ...................................................................................... 33
Sumário x
3.4.2 Difusão Anisotrópica...................................................................................35
3.4.3 Separação para o caso especial................................................................. 36
Capítulo 4
RESULTADOS E DISCUSSÕES ...........................................................39
CONCLUSÃO…………………………………………………………….68
Referências Bibliográficas........................................................................69
Apêndice A
OPERADORES DIFERENCIAIS…………………………...............…. 76
Apêndice B
DEDUÇÃO DA ETR POR BALANÇO DE ENERGIA……...............80
xi
Lista de Figuras
Figura 1: Espectro de ondas eletromagnéticas. ...........................................................13
Figura 2: Perdas existentes num feixe de radiação térmica ao atravessar um meio
semitransparente não difusor. ......................................................................................15
Figura 3: Processo de difusão em uma partícula. ........................................................16
Figura 4: Definição dos co-senos diretores ( )ζηµ ,, . ....................................................18
Figura 5: Sistema de coordenada unidimensional (Placa plana
semitransparente).........................................................................................................19
Figura 6: Discretização polar do espaço em vários anéis (Ruperti, 1996). ................. 20
Figura 7: Construção da quadratura para um problema sem simetria azimutal
(Moura, 1998). .............................................................................................................. 22
Figura 8: Rotação da quadratura para um problema sem simetria azimutal
(Moura, 1998). .............................................................................................................. 23
Figura 9: Meio semitransparente não difusor..............................................................40
Figura 10: Comparação entre fluxos a 2 e 12 direções na configuração C1 .................42
Figura 11: Comparação entre fluxos a 2 e 12 direções na configuração C2 .................42
Figura 12: Comparação entre fluxos a 2 e 12 direções na configuração C3 .................43
Figura 13: Erro para valores de fluxo em 2 e 12 direções em C1...................................43
Figura 14: Erro para valores de fluxo na configuração C2 para 2 e 12 direções...........44
Figura 15: Comparação das transmitâncias para o método analítico e numérico a 5
volumes.........................................................................................................................46
Figura 16: Comparação entre valores de reflectâncias para os métodos analítico e
numérico a 5 volumes...................................................................................................46
Figura 17: Erro no cálculo das transmitâncias para a direção incidente em função do
númerode volumes do MOD com volumes finitos......................................................47
Lista de Figuras xii
Figura 18: Comparação dos erros nas transmitâncias para 5, 10 e 20 volumes em
relação ao método analítico em módulo......................................................................47
Figura 19: Comparação entre transmitâncias e reflectâncias nos modelos analítico e
numérico a 199 volumes para o caso isotrópico 1.........................................................48
Figura 20: Transmitâncias e Reflectâncias para 5 e 10 volumes em comparação ao
método analítico...........................................................................................................51
Figura 21: Erros em porcentagem para o caso isotrópico 2.........................................51
Figura 22: Erros na direção incidente em módulo.......................................................52
Figura 23: Transmitâncias e Reflectâncias no caso isotrópico 2.................................52
Figura 24: Comparação das transmitâncias e reflectâncias entre o método analítico e
numérico a 5 volumes para o caso 3............................................................................55
Figura 25 - Erros percentuais para o caso isotrópico 3...............................................55 Figura 26: Comparação entre transmitâncias e reflectâncias para o caso isotrópico 3 .
......................................................................................................................................56
Figura 27: Erros na direção incidente 0°.....................................................................56
Figura 28: Variação do tempo de processamento em relação ao número de volumes
em todos os casos.........................................................................................................57
Figura 29: Variação do tempo de processamento em relação ao número de volumes
em todos os casos para um computador com 350 MHz.............................................58
Figura 30: Comparação entre reflectâncias utilizando o método analítico e numérico
a 5 volumes para o caso anisotrópico 1........................................................................61
Figura 31: Erros percentuais para o caso anisotrópico 1..............................................61
Figura 32: Transmitâncias e Reflectâncias no caso anisotrópico 1.............................62 Figura 33: Erros na direção de incidência no caso anisotrópico 1..............................62 Figura 34: Comparação entre transmitâncias e reflectâncias para o caso anisotrópico
2....................................................................................................................................65
Figura 35 - Erros percentuais para cada número de volumes no caso anisotrópico 2
......................................................................................................................................65
Figura 36: Transmitâncias e Reflectâncias em anisotrópico 2....................................66
Figura 37: Erros na direção de incidência para o caso anisotrópico 2 .......................66
Lista de Figuras xiii
Figura 38: Comparação entre o tempo computacional despendido para ambos os casos anisotrópicos em um PC com 2.8 GHz..............................................................67 Figura 39: Comparação entre o tempo computacional despendido para ambos os casos anisotrópicos em um PC com 350 Mhz.............................................................67
xiv
Lista de Tabelas
Tabela 1 – Momentos para as condições de Simetria ou não Simetria Azimutal,
[Moura, 1998]...............................................................................................................30
Tabela 2 – Esquemas de interpolação, [Moura, 1998].................................................32
Tabela 4.1 – Valores das configurações testadas.........................................................41
Tabela 4.2 – Dados mantidos na análise do meio não difusor....................................41
Tabela 4.3 – Valores dos elementos considerados no caso isotrópico 1......................44
Tabela 4.4 – Valores de transmitâncias e reflectâncias para o caso isotrópico 1
......................................................................................................................................45
Tabela 4.5 – Valores dos elementos considerados no caso isotrópico 2.....................48
Tabela 4.6 – Valores de transmitâncias e reflectâncias para o caso isotrópico 2
......................................................................................................................................49
Tabela 4.7 – Valores de transmitâncias e reflectâncias para o caso isotrópico 2
......................................................................................................................................50
Tabela 4.8 – Valores dos elementos considerados no caso isotrópico 3.....................53
Tabela 4.9 – Valores de transmitâncias e reflectâncias para o caso isotrópico 3
......................................................................................................................................53
Tabela 4.10 – Valores de transmitâncias e reflectâncias para o caso isotrópico 3
......................................................................................................................................54
Tabela 4.11 – Valores para os parâmetros específicos do caso anisotrópico 1............58
Tabela 4.12 – Valores de transmitâncias e reflectâncias para o caso anisotrópico 1...59
Tabela 4.13 – Valores de transmitâncias e reflectâncias para o caso anisotrópico 1...60
Tabela 4.14 – Valores para os parâmetros específicos do caso anisotrópico 2............63
Tabela 4.15 – Valores de transmitâncias e reflectâncias para o caso anisotrópico 2...63
Tabela 4.16 – Valores de transmitâncias e reflectâncias para o caso anisotrópico 2...64
xv
Lista de Símbolos
Cj – coeficiente da quadratura de Gauss
f - fator de ponderação usado dentro do volume de controle.
I - intensidade de radiação
IC – campo de intensidade colimado
ID – campo de intensidade difuso
n – índice de refração
NdL – número de direções na discretização.
p – função de fase
q – fluxo radiativo
s – variável de espaço
S – termo fonte
T – temperatura absoluta
T – transmitância
Símbolos Gregos
α - ponderação
β - coeficiente de extinção
δ - delta de Kronecker
φ - ângulo de azimute
η - cosseno diretor do eixo y
λ - comprimento de onda.
λj – auto vetores
µ - cosseno diretor do eixo y
ν - freqüência
π - constante pi
θ - ângulo polar
xvi
ρ - densidade em unidades do sistema internacional.
σ - constante de Stefan – Boltzmann
σa – coeficiente de absorção
σd – coeficiente de difusão
τ - espessura óptica
ω - albedo
ξ - cosseno diretor do eixo z
Ω - ângulo sólido
1
INTRODUÇÃO
O estudo da transferência de calor em nossos dias merece atenção especial, sobretudo
em problemas relacionados com a conservação de energia, evitando-se assim desperdícios.
Para tal análise a transferência de calor pode ser dividida em duas grandes áreas, a primeira
envolve apenas a troca energética entre superfícies e fluídos através de um meio de
propagação, representadas pela condução e convecção (condução + advecção), a segunda
envolve o transporte de energia por ondas eletromagnéticas chamado radiação (objetivo de
nosso estudo) [Incropera e de Witt, 2003].
Em muitos processos de transferência de calor a radiação térmica tem participação
importante, vindo a ser em muitos casos a preponderante. Exemplos de fenômenos aonde
processos radiativos ocorrem são encontrados em nosso dia a dia, ou no outro extremo, em
processos de alta complexidade e tecnologia. Como exemplo básico pode-se citar a radiação
solar que serve para iluminar e aquecer o nosso planeta. Embora acostumados a conviver
diariamente com a luz solar, raramente são questionados fenômenos que ocorrem com os
raios solares tal como a incidência destes sobre nós [Moura, 2003].
Muitas outras questões como estas podem ser enumeradas envolvendo problemas
diários de transferência de calor por radiação. Exemplos de transferência de calor por
radiação em nível industrial podem ser exemplificados, sendo exemplos típicos os fornos
elétricos (ou a gás), nos quais existe um grande consumo (e desperdício) de energia. Estes
fornos são constituídos de resistências aquecidas a elevadas temperaturas e desta forma o
calor é preponderantemente transmitido por radiação e possuem aplicações diversas tais
como: cura de materiais (colas, plásticos, cerâmicas, etc.), secagem, preparação de alimentos,
etc. Entretanto uma grande parte da energia radiativa emitida pelas resistências pode ser
desperdiçada quando essa energia não se encontra numa banda espectral de absorção dos
2
produtos contidos nestes fornos. Em aplicações arquitetônicas cita-se como exemplo o tipo
de iluminação utilizado em um ambiente (natural, incandescente, fluorescente) [Moura,
2003].
O objeto de estudo desta dissertação é a transferência radiativa em um meio
semitransparente, (MST), isto é, meios que absorvem, emitem e difundem a radiação
térmica, podendo ser porosos e/ou fibrosos, utilizados como isolantes devido à capacidade
de impedir o deslocamento do ar e absorver a radiação. Os fenômenos físicos causados por
um feixe de radiação, que de forma oblíqua incide sobre o meio, são analisados.
Apresenta-se a solução da equação de transferência como a combinação entre a
formulação analítica para um problema unidimensional sem a condição de simetria azimutal
do campo de intensidades radiativas e a separação de um problema sem a condição de
simetria em um conjunto de problemas com esta condição, aplicado ao caso de funções
delta de Dirac.
São utilizadas as formulações de Chandrasekar [1960] e Özisik [1973] para a
transformação do problema sem simetria azimutal em um conjunto de problemas com
simetria azimutal, resolvido através da formulação utilizada por Nicolau [1994]. Estes
resultados são comparados com um modelo apresentado por Moura [1998], que resolve a
equação de transferência radiativa para um problema sem simetria azimutal através de um
método numérico.
O presente trabalho está disposto em quatro capítulos mais dois apêndices, sendo no
primeiro capítulo tratada a revisão bibliográfica em radiação térmica. No segundo capítulo
são definidos os conceitos fundamentais pertinentes à transferência radiativa e ao trabalho
proposto, bem como a interação radiação - matéria no material semitransparente.
Para o terceiro capítulo são descritas as soluções em geometria unidimensional, da
equação de transferência radiativa, ETR, para problemas com e sem a condição de simetria
azimutal. Também é exibida a formulação analítica desenvolvida inicialmente por
Chandrasekar [1960] e Özisik [1973] para o problema unidimensional, sem a condição de
simetria azimutal, que transforma um problema em um conjunto de problemas com
simetria, sendo resolvido com o uso das funções delta de Dirac. O quarto capítulo trata de
resultados para algumas condições analisadas e discussões finais.
3
Capítulo 1
REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
4
Os estudos sobre radiação térmica surgem em 1800, quando o astrônomo inglês W.
Herschel descobre os raios infravermelhos, aos quais se referiu como “luz invisível” após
experimentos de observação astronômica. Com o crescente desenvolvimento da
termodinâmica através das contribuições de Clausius (2ª Lei), Stewart e Kirchoff em
1858(leis de emissão das superfícies que seria justificada rigorosamente por Hilbert em
1913) e Boltzmann (fluxo dependente da temperatura à quarta potência) em 1884, foram
possíveis futuros avanços acerca dos estudos sobre emissão dos corpos [apud Howell,
1989].
Planck em 1900 formulou a teoria sobre a distribuição da intensidade de radiação com
a freqüência para um corpo negro, marcando o nascimento da teoria quântica,
introduzindo a noção de intensidade espectral. Assim foi possível identificar o fluxo
radiativo como fluxo eletromagnético regido pelas equações de Maxwell. No mesmo ano,
Rayleigh associa a emissão de radiação a osciladores harmônicos clássicos, válidos para uma
alta freqüência. Nessa época Boltzmann aprofunda sua teoria estatística de transporte de
objetos microscópicos sob a influência dos campos de força e gradientes internos,
chegando a equação de transporte [apud Howell, 1989].
Quanto ao estudo dos meios participantes, ou seja, que emitem, absorvem e difundem
a radiação, os primeiros trabalhos foram desenvolvidos por Schuster em 1905, no qual são
desenvolvidas, do ponto de vista energético, as equações para um meio semitransparente
(MST), com difusão isotrópica. No ano seguinte Schwarzschild, aplicando a formulação de
Schuster a um problema de distribuição da temperatura na atmosfera, acaba por obter a
forma integral da equação de transferência radiativa (ETR). Também em 1906, Eddington
formula uma aproximação da transferência radiativa em termos de equações diferenciais. A
análise das linhas de absorção e emissão de gases auxiliou Bohr em 1913 a desenvolver a
teoria sobre a estrutura do átomo de hidrogênio e Einstein em 1916, a realizar algumas
considerações sobre o acoplamento entre o campo radiativo e a emissão de radiação pela
matéria [apud Howell, 1989].
No século XX, as décadas de 20 e 30 marcam desenvolvimentos importantes tais
como o de Rosseland [1924] e Milne [1930] que utilizaram a noção de intensidade espectral
em seus trabalhos. Hottel [1931 e 1933] desenvolveu uma metodologia sistemática para
calcular os gráficos para a emissão dos gases e introduziu os fatores de forma sem auxílio
computacional [apud Modest, 1993].
5
Poljak em 1935 [apud Howell, 1989] introduz o método do conjunto de radiação
trabalhando com um sistema de equações lineares, simplificando assim a formulação para o
estudo em cavidades, fazendo um balanço em cada elemento, extrai a diferença entre a
radiosidade e a irradiação. Após os conflitos armados dos idos de 1940 e 1950 houve
novamente um desenvolvimento nos estudos sobre a transferência radiativa e com o
avanço computacional surgem novas idéias, como por exemplo, os trabalhos sobre o
método das zonas como em Hottel e Cohen [1958] e Hottel e Sarofim [1967],
considerando temperaturas desuniformes para os gases.
Outros desenvolvimentos importantes foram realizados como a aplicação dos
elementos finitos descritos por [Barkstrom, 1976], ou a utilização da equação de Boltzmann
para o transporte de nêutrons [Lathrop, 1969], ou o uso do método de Fourier para uma
difusão anisotrópica [Chandrasekar, 1960] e [Özisik, 1973]. Estes trabalhos nortearam
futuras publicações como é visto a partir dos anos 1980 tendo a quantidade de trabalhos
sobre a transferência radiativa aumentado substancialmente, razão pela qual surgiram novas
ferramentas. Aplicações como os métodos PN e FN, nos fornecem soluções analíticas
aproximadas, para os quais N é a ordem da aproximação, de modo que uma solução
aproximada tornar-se-ia exata se N tende ao infinito. Atualmente dispõe-se de ferramentas
computacionais como Monte Carlo [Göbel, 1997], aplicado a classes de problemas tais
como: Difusão simples para múltipla [Singh, 1991, 1997], difusão dependente [Mishra et al.,
2002], [Guo et al, 2000], podendo seguir o caminho percorrido pela luz devido a difusão
(scattering) ocorrido dentro do material.
Podemos citar também os trabalhos de:
• Lathrop [1969] apresenta várias formulações para esquemas de interpolação em
geometria bidimensional cartesiana, como Step, Wendroff, Woods – Carlson, Córner
– Point, Diamond. Utiliza o método de diferenças finitas para gerar a malha de
diversos esquemas aplicado a equação de transporte de nêutrons com dependência do
ângulo espacial e dos fluxos para se obter esquemas positivos com melhor resposta
computacional.
• Dayan e Tien [1975] realizam o estudo em um meio cinza que absorve e espalha a
radiação. A função de fase é da forma anisotrópica linear. O meio se encontra
confinado entre paredes paralelas e difusoras cinzas e com geração uniforme. As
equações governantes são resolvidas através de um método numérico, de forma a
utilizar as condições limite para uma solução exata e soluções aproximadas são
obtidas pelo método de aproximação de Kernel. Apresentam um estudo sobre o
6
acoplamento entre a radiação e a condução e os resultados demonstram o efeito dos
parâmetros no equilíbrio radiativo na geração uniforme e no campo de temperatura.
• Tong e Tien [1983] apresentam um estudo analítico aplicado a materiais fibrosos,
utilizando a análise do acoplamento entre a radiação e a condução. A equação é
resolvida com a técnica de dois fluxos e exibem a formulação analítica para busca das
propriedades do material específico, baseado na extinção da radiação pelas fibras. Os
resultados experimentais mostram que o fluxo radiativo é minimizado com uma
dependência do raio da fibra e com o aumento do coeficiente de extinção.
• Spiga e Vestrucci [1980] apresentam a teoria integral para a solução da equação de
transferência radiativa em um meio semitransparente em geometria unidimensional sem
a condição de simetria azimutal. São consideradas anisotropia no espalhamento e
reflexão difusa nas paredes que são incorporadas as equações, resultando em um
sistema de equações linear no modelo de Fredholm. É resolvido um caso mais simples
para demonstrar a eficiência do método.
• Lee e Buckius [1982] transformam um problema anisotrópico em isotrópico em
função somente do albedo e da espessura ótica. Utilizam o método a dois fluxos,
aproximação P1 e modelo linear modificado para converter o problema anisotrópico
para isotrópico, comparando os resultados com soluções exatas para casos especiais e
com outras obtidas pelo método P1.
• Menguç e Viskanta [1982] apresentam uma revisão sobre as teorias em espaço
contínuo e discreto para propriedades e modelos de transferência radiativa em
partículas dispersas em meios porosos e semitransparentes. Exibem as equações
governantes e discutem as diversas técnicas para obtenção das propriedades radiativas
em MST (meio semitransparente). Comparam os métodos a dois fluxos, esferas
harmônicas, ordenadas discretas e outros métodos analíticos aproximados para a
resolução da transferência radiativa em um MST. Discutem ainda a relevância da
aplicação dos problemas inversos na obtenção das propriedades de um meio
semitransparente.
• Vestrucci, Spiga, Santarelli e Stramigioli [1982] apresentam a solução da equação de
transferência radiativa para o caso sem simetria azimutal com um feixe incidente
inclinado, considerando dois problemas nos quais as funções de fase são isotrópica e
anisotrópica linear, com as paredes difusoras e/ou refletoras.
• Mengüc e Viskanta [1982] realizam comparações entre os métodos a dois fluxos,
esferas harmônicas e o método das ordenadas discretas para a análise da transferência
7
radiativa em uma geometria unidimensional, em uma meio semitransparente.
• Kumar e Felske [1986] desenvolvem uma solução analítica para o campo de radiação
aplicado a um espalhamento anisotrópico dentro de um meio plano sem a condição de
simetria azimutal para o fluxo incidente. As fronteiras apresentam difusão e reflexão
especular e difusa. São utilizados vários métodos para a análise da resolução do sistema
de equações diferenciais através de auto – funções, utilizando um método FN
modificado. Utilizam a função de fase em termos de polinômios de Legendre na
formulação, comparando-a com uma função Isotrópica, espalhamento de Rayleigh e a
função proposta por [Mengüc e Viskanta, 1982]. Separam o campo de radiação em
difuso e colimado, utilizam-se da expansão em série de Fourier para as intensidades.
Apresentam ainda a solução para um feixe inclinado pelo método FN.
• Gerstl e Zardecki [1985] apresentam a combinação entre o método de ordenadas
discretas e a técnica de volumes finitos para aplicação em problemas atmosféricos e de
climatologia. Apresentam resultados numéricos para a análise em geometrias uni e
bidimensionais, com dependência angular para várias funções de fase e valores para os
coeficientes de absorção e espalhamento. Apresentam uma discussão adicional sobre
precisão e tempo computacional.
• Kim et al., [1988], Fiveland, [1991], El Akil, [1991] e Crosbie [1997] apresentaram em
seus trabalhos a utilização de geometrias multidimensionais para a solução da equação
de transferência radiativa, com a presença ou não de acoplamento com a condução
e/ou convecção.
• Viskanta [1989] produz uma revisão das teorias para a obtenção de propriedades
radiativas em meios particulados, porosos e celulares, capazes de se comportar como
um meio semitransparente. Apresenta a formulação para a equação de transferência
radiativa e discute a aplicação de métodos inversos na determinação das propriedades
dos materiais supracitados.
• Lee [1990] estuda o caso de uma fibra óptica orientada sob diversos ângulos para
buscar relação com a radiação incidente.
• Cunnington e Lee [1996] apresentam dois artigos, sendo no primeiro realizados
estudos sobre aerogéis com sílica de alta porosidade que contém fibras dispersas e
orientadas de forma randômica. São comparados valores experimentais com os valores
de transmitância e reflectância do modelo teórico. Utilizam um modelo determinístico
para avaliar as propriedades do aerogel. O segundo se utiliza de fibras de lã com
densidade de 145 kg/m3 que apresentam alta porosidade, dispersas e
8
orientadas de forma randômica, sendo que as reflectâncias e transmitâncias são medidas
no intervalo de 1,5 a 10,0 µm de comprimento de onda.
• Godsalve [1995] aplica a equação de transferência radiativa a problemas atmosféricos
com a presença de gradientes de temperatura e com a utilização da decomposição do
campo de intensidades através de série de Fourier.
• Barichello, Garcia e Siewert [1996] apresentam um complemento ao trabalho de
Godsalve, [1995] para uma atmosfera considerada anisotrópica e com a incidência
solar. São apresentadas as deduções da equação de transferência sendo o campo de
intensidades descrito por uma série de Fourier e a função de fase em termos de
Polinômios de Legendre.
• Martinenko, German, Nekrasov e Nogotov [1998] apresentam um algoritmo
numérico para a resolução da equação de transferência de um meio semitransparente
em geometria multidimensional. São estudadas as influências de certos parâmetros
sobre o fluxo radiativo, trabalhando-se em geometria complexa.
• Maruyama [1998] aplica o método REM (Ray Emission Model), para uma geometria
unidimensional em um meio participante, utilizando uma aproximação por funções
delta. A vizinhança pode ser considerada como especular e/ou difusa e apresentar
irradiação difusa na interface. Analisa problemas com difusão anisotrópica e superfície
especular.
• Wu, Chih e Shang [2000] apresentam uma formulação integral para um problema
transiente em geometria tridimensional em um meio que absorve e espalha a radiação
de forma anisotrópica. Apresentam resultados em geometria uni e bidimensional
resolvidas por Monte Carlo e analisam os efeitos de alguns parâmetros na equação de
transferência.
• Dombrovsky [2000] apresenta uma comparação com a teoria de Mie, para cálculos de
radiação emitida por partículas esféricas de material semitransparente. São avaliadas
partículas com parâmetro de difração maior ou igual a vinte.
• Abdallah e Le Dez [2000] analisam o fluxo radiativo incidente em uma placa com
índice de refração variável.
• Brancher, Vilhena e Segatto [2000] apresentam a solução para o problema de
transferência radiativa sem a condição de simetria azimutal com forte anisotropia
através do método LTSN, com um esquema recursivo de inversão da matriz,
apresentando também simulações e comparações com a literatura.
• Quin [2002] utiliza o método de ordenadas discretas para a realização de estudos
9
atmosféricos de transporte solar na atmosfera.
• Chaloub [2003] estuda a ETR em um meio plano paralelo, utilizando o método de
ordenadas discretas para a solução de problemas com regiões únicas e múltiplas.
Além destes, pode-se referenciar trabalhos que envolvem dispositivos experimentais,
métodos numéricos e identificação de propriedades radiativas, tais como:
• Barkstrom [1976] utiliza o método de discretização a diferenças finitas da equação de
transferência, produzindo um conjunto de equações diferenciais de primeira ordem e
separando o campo de intensidades em colimado e difuso.
• Brewster [1982] compara medidas experimentais a um modelo teórico em partículas
de 11 µm de látex, para o comprimento de onda através de um laser de He – Ne a
0,6328 µm.
• Tong [1983] identifica propriedades em espumas e fibras e determina a transferência
de calor por radiação em condições de vácuo ou não.
• Yamada, Cartigny e Tien [1986] apresenta investigações experimentais utilizando
células em geometria unidimensional contendo esferas de 11,2 µm e 0,08 µm dispersas
em ar ou água. Realizam comparações entre os valores medidos e um modelo teórico.
• Kumar, Majundar e Tien [1990] comparam várias quadraturas para uma função de
fase anisotrópica em polinômios de Legendre com 25 termos. Apresentam uma
formulação simples para a resolução da equação de transferência, para um meio que
espalha e absorve a radiação em uma geometria unidimensional.
• El Akil [1992] desenvolve uma quadratura para problemas multidirecionais,
respeitando os momentos de radiação.
• Nicolau [1994] identifica as propriedades termofísicas de meios semitransparentes
com forte pico de difusão na direção incidente, através de uma montagem experimental
utilizando um interferômetro a transformada de Fourier (FTIR). Propõe uma nova
função de fase combinando a função de Henyey – Greenstein com uma isotrópica.
Através de uma formulação analítica, compara os resultados em termos de
transmitâncias e reflectâncias com o método experimental.
• Hendricks e Howell [1996] identifica os coeficientes da função de fase em cerâmicos
porosos e reticulados de zircônia e óxido silício carbono para comprimentos de onda
variando de 0,4 a 5,0 µm.
10
• Moura, da Silva, Sacadura e Laurent [1996] aplicam o método de ordenadas discretas
(MOD) a uma geometria cartesiana bidimensional em um MST, homogêneo e cinzento
para estabelecer a comparação entre dois métodos de interpolação de ordenadas
discretas aplicados a forma integral da ETR.
• Moura, Baillis e Sacadura [1997] analisam diferentes quadraturas envolvendo o
método de ordenadas discretas para a resolução da equação de transferência radiativa.
A partir das quadraturas de Gauss e Radau derivam duas novas quadraturas que são
comparadas com os casos analisados no trabalho de [Fiveland, 1987] para uma placa
com espalhamento isotrópico em um meio cinza.
• Lopes, Moura, Delmas e Sacadura [1997] analisam a absorção e difusão de um
material cerâmico aquecido a altas temperaturas para esferas cerâmicas de Alumina
com raio variando de 10 a 50 µm, medido em comprimento de onda de 2 a 6 µm a
alta temperatura.
• Moura, Baillis e Sacadura [1998] estudam diferentes tipos de funções de interpolação
usado na variação das intensidades radiativas no volume de controle. Utilizam-se do
método de ordenadas discretas para a solução da ETR e apresentam um método
para a linearização do termo fonte reduzindo-se a quantidade de iterações usado no
método numérico.
• Moura [1998] apresenta uma formulação do problema de transferência radiativa em
condição de não simetria azimutal do campo de radiação, aplicado a identificação
de propriedades radiativas de materiais fibrosos e espumas em geometria
unidimensional. A solução numérica da ETR está baseada no MOD aplicado a um
volume de controle sendo proposta uma nova quadratura espacial.
• Lopes, Moura, Delmas e Sacadura [1998] identificam experimentalmente
propriedades radiativas em esferas isotérmicas de material cerâmico de raio
variando de 25 a 80 µm e temperaturas entre 1200 a 1700 °C. A equação de
transferência é resolvida pelo MOD e pela técnica de volumes de controle.
• Brancher, Vilhena e Segatto [1999] analisam o problema de transferência radiativa
sem a condição de simetria azimutal com severa anisotropia resolvido pelo método
SN, com uma formulação recursiva da inversão da matriz para a aplicação no estudo
de difusão em nuvens. Apresentam comparações com outros resultados publicados.
11
• Yamada e Kurosaki [2000] estudam a difusão em fibras com grande espessura óptica
e alto índice de absorção. Consideram que este meio apresenta características
idênticas a difração de uma cavidade retangular e aplicam um método para prever
as propriedades do material.
• Marakis, Papapavlou e Karakas [2000] aplicam a aproximação P1 conjuntamente com
o método Monte Carlo para a resolução de transferência radiativa em fornos
cilíndricos.
• Baillis e Sacadura [2000] desenvolvem um modelo para determinar as propriedades
radiativas em meios particulados e fibrosos. Apresentam uma revisão bibliográfica
acerca da transferência radiativa em meio participante.
• Lopes, Moura, Baillis e Sacadura [2001] analisam um sistema com absorção e difusão
pelo Método de Ordenadas Discretas, utiliza-se do método da linearização de
Gauss para identificação das propriedades.
• Baillis, Schuster e Sacadura [2002] identificam as propriedades radiativas em
poliuretano, medido no comprimento de onda de 2 a 15 µm.
12
Capítulo 2
Fundamentos da Transferência Radiativa
13
2.1 - Definição e Leis da Radiação Eletromagnética
De acordo com a teoria eletromagnética clássica de Maxwell a energia radiante se
desloca sob a forma de ondas eletromagnéticas. Para Planck, esta se desloca sob a forma de
fótons discretos. Através da teoria quântica conseguimos calcular a quantidade de energia
emitida pela matéria a qualquer freqüência e comprimento de onda de acordo com a
temperatura. Um corpo emite radiação sobre o efeito de diversas excitações (térmica,
elétrica, etc...). A radiação emitida pode ser representada através de ondas eletromagnéticas,
Figura (1).
O espectro de ondas eletromagnéticas é composto por uma banda muito larga de
freqüências, subdivide-se em grupos, em função do modo de produção e seus efeitos,
sendo os principais:
10-14 10-12 10-10 10-8 10-6 10-4 10-2 10+0 10+2 10+4 10+6 λ[m]
1023 1020 1018 1015 1013 1010 107 105 102 υ[Hz]
radiação térmica
0,1µm 100µm
visí
vel
UV
radiação cósmica
raios γ
raio X
infraver-melho
microondas ondas de rádio telefonia
Figura 1: Espectro de ondas eletromagnéticas. (Brewster, 1992)
14
2.1.1 Radiação térmica
Situa-se numa faixa entre 0,1 a 100 µm e é produzida por um corpo em função de
sua temperatura. Subdivide-se em ultravioleta (UV), visível e infravermelho (IV). Existem
ainda outras fontes de radiação no visível que emitem radiação não por efeito de sua
temperatura, mas por outros fenômenos físicos como fosforescência, fluorescência ou
descargas elétricas em gases rarefeitos. A radiação UV (0,1 a 0,38 µm) é presente na
radiação solar. É ela que bronzeia e pode ser usada em certos processos de esterilização. O
espectro visível situa-se no ponto de maior intensidade de energia do espectro solar (0,38 a
0,76µm). O IV (0,76 a 100µm) não sensibiliza o olho humano, mas pode ser sentido sob a
forma de energia radiante.
2.2 - Interação Radiação-Matéria
A radiação térmica é gerada pela emissão de ondas eletromagnéticas de um corpo a
uma determinada temperatura. Corpos ideais para a radiação (corpo negro) são
representados pela equação de Stefan-Boltzmann, Eq.(2.1), que define a intensidade total
emitida por um corpo função somente de sua temperatura, sendo σ a constante de Stefan-
Boltzmann, (σ = 5,67051(19)x10-8 W/(m²K4) - (NIST - CODATA)). Corpos reais possuem
uma emissão inferior ao corpo negro podendo variar rapidamente em comprimentos de
ondas muito próximos (por exemplo, os gases), como previsto no modelo de Lorentz.
4Tq σ= 2.1
Quando uma onda eletromagnética atravessa (ou incide) em um meio “homogêneo”,
três fenômenos físicos podem ocorrer: reflexão, absorção e transmissão, como mostra a
Figura (2). Estes fenômenos são função do comprimento de onda incidente e, em geral, da
temperatura do corpo. A reflexão consiste da mudança de direção da onda na interface do
corpo em questão. Para interfaces lisas (polidas) a reflexão é do tipo especular, para
interfaces rugosas a reflexão geralmente tem uma componente especular (podendo ser
nula) e outra difusa. A onda eletromagnética que penetra no meio será completamente ou
parcialmente transmitida. Se a incidência for inclinada esta onda mudará de direção (lei da
refração). Este fenômeno pode ser descrito como função somente do ângulo de incidência e
do índice de refração do meio (equação de Snell). Uma parte desta onda eletromagnética
transmitida pelo meio poderá ser absorvida. A absorção ocorre devido a facilidade do
material (átomos ou partículas constituintes) a dissipar esta energia através do aumento da
15
vibração dessas partículas (elevação de temperatura), entretanto outros processos podem
ocorrer como a fluorescência ou a fosforescência. Nesta etapa existe a transformação da
onda eletromagnética em outra forma de energia, por exemplo, térmica. Em um meio com
duas interfaces, Figura (2), por exemplo, um vidro ou folha plástica, o processo de reflexão
ocorre inúmeras vezes devido às múltiplas reflexões que existe nas interfaces.
Em meios heterogêneos ocorre um outro fenômeno físico que torna o estudo destes
materiais muito mais complexo. A difusão (“scattering”) ocorre pela mudança de direção
da onda no meio pelos processos de refração, difração, transmissão e reflexão, Figura (3).
Como exemplo pode-se citar os gases constituídos por partículas assimétricas (H2O, CO2,
etc.), ar e líquidos com partículas em suspensão, sólidos constituídos por grãos ou fibras,
etc.
interface 1 interface 2
qR2
qI
qa
q
qR1
qT
qT: Fluxo de calor incidente
qR1: Fluxo de calor refletido pela interface 1
qa: Fluxo de calor absorvido pelo meio
qR2: Fluxo de calor refletido pela interface 2
qI: Fluxo de calor resultante noutro lado da parede
qt: Fluxo de calor transmitido
Figura 2: Perdas existentes num feixe de radiação térmica ao atravessar um meio
semitransparente não difusor. (Moura, 2003)
16
radiação
difração
Refração e Transmissão
reflexão partícula
Figura 3: Processo de difusão em uma partícula. (Moura, 2003)
2.3 – A Equação de Transferência Radiativa:
A determinação de uma relação geral para descrever o comportamento da
transferência de calor por radiação na presença de um meio considerado participante, isto
é, aquele em que há a presença de absorção, difusão e emissão, é realizado através de um
balanço de energia em um volume de controle, visando assim descrever o campo de
intensidades radiativas em função de uma variável espectral, uma direcional e outra de
posição, ao qual chamamos de Equação de Transferência Radiativa, ETR.
Através desta equação, pode-se calcular as trocas de energia entre interfaces
(paredes, fronteiras), considerando um meio participante (meio semitransparente – MST).
A ETR descreve a variação da intensidade radiativa espectral Iν (em um ângulo sólido Ω
função da espessura ótica τ). Esta equação foi obtida para um meio pseudocontínuo em
relação à transferência radiativa existente num material disperso real. Para a obtenção da
ETR efetua-se, a uma freqüência ν, um balanço dos mecanismos físicos de interação
radiação/meio para um feixe de radiação que se propaga através de um volume de controle
que absorve, emite, ou difunde, resultando [ Moura, 1998]:
17
( ) ( )
( ) ( ) ( ) 'd,'p)(4
1+)(
1
,s,)(
1
4'
ΩΩΩ⋅Ω+
°
+
−
=Ω+Ω∇Ω+
∫=Ω
rrrr
rrrr
sITI
IsI
da
d
da
d
da
νπ
ννν
νν
νν
ν
νννν
σσσ
πσσσ
σσ 2.2
na qual Iν é a intensidade radiativa monocromática do feixe, I0ν aquela emitida pelo corpo
negro a uma temperatura T, s é a variável de posição, função do sistema de coordenadas
utilizado, Ω é a variável direcional, σaν é o coeficiente de absorção espectral, σdν é o
coeficiente de difusão espectral e ( )Ω⋅Ωrr
'pν é a função de fase espectral. A intensidade
total do corpo negro é dada por:
πσ 42n TI o = 2.3
Na Eq.(2.3), σ é a constante de Stefan-Boltzmann e n é o índice de refração do meio
equivalente a um meio homogêneo.A ETR pode ser escrita na sua forma adimensional.
Neste caso os termos da Eq. (2.2) serão substituídos por:
ννν
νν
σσββτ
da +==
x ν
ν
νν
νν β
σσσ
σω d
ad
d =+
= 2.4
No qual βν é o coeficiente de extinção espectral, τν é a espessura óptica na direção do
eixo x e νω é o albedo. O índice ν representa a freqüência e será omitido para simplificar
a escrita. Desta forma a ETR se torna para uma geometria unidimensional cartesiana,
[Moura, 1998]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 'd,'p4
+1,d
,d1 '
4'
ΩΩΩ⋅Ω°−=Ω+Ω
∫=Ω
rrrrr
sITIsIs
sI
ππωω
β 2.5
A radiação percorre uma distância no interior do meio e este percurso deve ser
projetado sobre um sistema de coordenadas, Figura (5). O sistema de coordenadas
cartesianas e seus cossenos diretores respectivos (µ, η, ξ) são mostrados na Figura (4). As
equações dos ângulos da direção Ω, em relação aos eixos cartesianos são relacionados nas
Eq.(2.6) a (2.8), sendo as Eq.(2.7) e (2.8) as que relacionam o ângulo θp formado entre duas
18
direções a partir dos cossenos diretores. O ângulo correspondente a θ é o
ângulo polar e o ângulo φ é o ângulo de azimute.
', ΩΩ
=
==
φθαξ
φθαηθµ
sinsin=cos
cossin=coscos
z
y φθθ ddd sin=Ω 2.6
( 'cos''cos' pp φφµµµµµθ −−−+===Ω⋅Ω 22 11rr
) 2.7
'''cos pp ξξηηµµµθ ++== 2.8
rr
η
φzer αy
αz ξ
z
Figura 4: Definição dos co-senos diretore
( )Ω,sI
θ
µ xer
s. [Moura,
x
1998]
19
µ>0
τ τ
rΩ
θ
φ
face1
face 0
rs
µ<0
θI
x
Figura 5: Sistema de coordenada unidimensional (Placa plana semitransparente).
[Moura, 1998]
2.4 - Condição de simetria azimutal
Como utilizada no trabalho de Nicolau (1994), a condição de simetria azimutal é
normalmente adotada devido a facilidade de resolução que ela fornece a ETR. Utilizando
esta condição, as variáveis tornam-se independentes do ângulo de azimute φ e são
constantes em torno de um cone de ângulo sólido θ centrado no eixo x, Figura (6). Neste
caso:
∫∫ ∫∫ −= ==Ω
==Ω
==Ω
1
1
2
0 04
2 µπφθθ
µφµ
π
φ
π
θπ
d...ddsind...
),x(I),,x(I),s(Ir
2.9
A ETR, Eq. (2.5), torna-se:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 'd,'p',ITI,I,Io µµµµτωωµτ
∂τµτ∂µ ∫−
+−=+1
121 2.10
20
µ<0 µ>0 I(τ,µ)
dω
Figura 6: Discretização polar do espaço em vários anéis [Ruperti, 1996].
2.5 – Condição de não simetria azimutal
Para um problema unidimensional sem simetria azimutal as intensidades radiativas
perdem a simetria em relação ao eixo de azimute. Isto não permite a solução da ETR na
sua forma mais simplificada, Eq. (2.10), devendo a ETR ser resolvida na forma da Eq. (2.5).
Existem duas maneiras conhecidas de se resolver a Eq. (2.5): desenvolvimento em série ou
a discretização, através do uso de uma quadratura espacial.
2.5.1 Desenvolvimento em série
Se a difusão é anisotrópica, o campo de radiação difundido não apresenta mais uma
simetria azimutal. Chandrasekhar [1960] e Özisik [1973] propuseram a decomposição das
intensidades radiativas I(τ,θ, φ) em termos de série de Fourier em torno do ângulo de
azimute φ:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )oo III φφµτφφµτφµτ −+−= ∑∑∞
=
∞
=
ksen,kcos,,,0k
k
0k
k 2.11
O termo em seno da Eq. (2.11) é introduzido de maneira a considerar uma condição de
contorno difusa. Se não existe uma incidência difusa (caso de um feixe incidente inclinado),
21
o termo em seno não contribui para a solução, em função da simetria do problema em
torno de 0φ ( 0φ é o ângulo de incidência do feixe conforme a coordenada φ).O resultado
obtido para o campo de intensidade radiativa difusa é uma soma de soluções de problemas
com simetria azimutal conforme as equações na forma [Godsalve, 1995]:
( ) ( )
( ) [ ] ( ) ( ) 'd',I',pe,,,pI
,I,I
dkk
okook
o
dkd
k
o µµτµµδωφφµµπ
ω
µτ∂τ
µτ∂µ
µ
µτ ∫−=
− ++
=+
1
1
144
2.12
as intensidades radiativas podem ser obtidas a partir de Ikd através da seguinte relação:
( ) ( ) ( oII φφµτφµτ −= ∑=
kcos,,,K
0k
kd ) 2.13
para k=0,1, ... , Z. A precisão da solução depende do número de termos Z utilizados na
soma das soluções dos problemas com simetria azimutal, assim os problemas individuais
com simetria azimutal podem ser resolvidos analiticamente e/ou numericamente.
2.5.2 Uso de Quadraturas
A ETR é uma equação do tipo íntegro - diferencial sendo de difícil solução. Existem
técnicas analíticas e numéricas para a solução desta equação. Técnicas analíticas muitas
vezes continuam a ser soluções aproximadas, devido a simplificações utilizadas e de difícil
transposição a outros casos com condições de contorno no limite diferentes. Desta forma,
nos últimos anos técnicas numéricas de soluções desta equação foram otimizadas, obtendo-
se excelentes resultados com tempos de computação reduzidos. Um método numérico
muito usado na literatura é o Método das Ordenadas Discretas (MOD), que consiste em
subdividir o espaço em um número discreto de direções e desta forma transformar a ETR
num sistema de equações lineares de 1° ordem, possível de ser resolvido por métodos
analíticos ou numéricos.
Neste trabalho, a ETR também será resolvida numericamente pelo método das
ordenadas discretas (MOD), aplicado a um volume de controle. Esta técnica de solução da
ETR é descrita em [Moura et al. 1997 e 1998]. Utiliza-se uma quadratura para a
discretização angular, neste caso sem simetria azimutal, mostrada na Figura (7).
A Eq. (2.5) é do tipo íntegro – diferencial e sua solução pelo método de ordenadas
discretas (MOD) é constituída de duas etapas: i) uma discretização angular, sendo o termo
integral substituído por uma soma quadrática das intensidades radiativas.
22
Desta maneira, obtém-se um conjunto de equações diferenciais parciais de primeira
ordem; ii) uma discretização espacial, considerando um volume de controle, para a solução
destas equações diferenciais parciais.
A quadratura para um problema sem simetria azimutal é obtida a partir de uma
quadratura espacial construída para um problema com simetria azimutal, relacionando
todas as direções do ângulo θI , conforme a Figura (8). As direções da quadratura são
obtidas através das relações expressas na Eq.(2.14).
φ2e θ1
dωo
x
y
a
pa
incidencincidênci
φ1 θI=0°θ2
z
Figura 7: Construção da quadratura para um problema sem simetria
azimutal [Moura, 1998].
Usando a quadratura para o intervalo [0,1], as Eq. (2.14) e (2.15), podem ser aplicadas
ra substituir o termo integral da Eq. (2.10):
23
µ=
µ=
+µ=+=
'''tg
tg
'²'²²²'
ξϕ
ξϕ
ξξµηη
⇒
+−=
+=
+=
−
'cos²²1cos'
'cos²²'
'
2
1
ϕξµ
ηφ
ϕξµµ
θϕϕ I
2.14
[ ]),(),(p),(),(p
')',(),'(p')',(),'(p
iiii
2/
1ii
1
0
1
0
µτµµµτµµ
µµτµµµµτµµ
−−+
=−−+
∑
∫∫
=
IIw
dIdINd 2.15
A Eq. (2.10), integro-diferencial, torna-se então:
( )
[ ]
−−++
−=+
∑=
),(),(p),(),(p2
)(1),(),(
ijiiji
2/
1ii
0j
jj
µτµµµτµµω
τωµτ∂τ
µτ∂µ
IIw
III
Nd 2.16
θ Ι=(ϕ'−ϕ)
Ω 'Ω
ϕ'
ϕ
θθ'φ
φ'
ξ
ξ'
y
z
xµ' µ
η=η'
Figura 8: Rotação da quadratura para um problema sem simetria
azimutal [Moura, 1998].
24
Capítulo 3 Método de Solução da ETR
25
Neste capítulo, são demonstradas as metodologias empregadas na resolução do
problema de transferência de calor por radiação, em um MST (Meio Semitransparente)
com e sem a condição de simetria azimutal do feixe de radiação incidente. Inicialmente é
apresentado o método de solução utilizado em Nicolau [1994], para aplicação no problema
de uma placa plana, em geometria unidimensional, com a condição de simetria azimutal do
feixe de radiação incidente. Em seguida é descrito o método de solução de Moura [1998],
para um problema em geometria unidimensional, sem a condição de simetria azimutal do
feixe de radiação incidente.
Finalmente apresenta-se o método de solução utilizado neste trabalho para a solução
do problema de transferência radiativa sem a condição de simetria azimutal, em geometria
unidimensional com um feixe incidente inclinado em relação ao meio, na qual é utilizada a
expansão em série de Fourier para representar o campo de intensidades e de Polinômios de
Legendre para a função de fase, Özisik [1973]. O método de ordenadas discretas,
Chandrasekar [1960], é usado para substituir o termo integral da equação resultante por um
somatório, objetivando transformar o problema sem simetria do campo de intensidades
radiativas em um conjunto de vários problemas com simetria azimutal.
3.1 Estudo do problema com Simetria Azimutal
Como visto na seção 2.4 a condição de simetria azimutal do feixe de radiação incidente
facilita a resolução da equação de transferência, tornando as variáveis independentes do
ângulo de azimute como descrito na Eq. (2.9).
Nicolau [1994] aplicou a equação de transferência radiativa para o caso de uma placa
plana de um MST, no qual suas dimensões são muito maiores que a espessura do meio,
permitindo assim o uso da hipótese de geometria unidimensional. Como sua amostra
recebe incidência normal à superfície, é possível considerar a hipótese de simetria azimutal
do feixe de radiação incidente, então, desta maneira, a equação de transferência radiativa
pode ser escrita na forma da Eq.(2.10). Nesta condição, a intensidade é constante ao longo
do cone de ângulo sólido centrado no eixo x, Figura (6). Nicolau [1994] dividiu o campo de
intensidades em colimado e difuso, sendo o campo colimado o responsável por quantificar
a parcela da radiação ainda não difundida no meio e o campo difuso quantifica a difusão no
meio semitransparente se assemelhando a um problema com geração interna de calor. A
Eq.(3.1) descreve esta separação do campo de intensidades para as diversas direções
adotadas.
26
( ) ( ) ( )µτµτµτ ,,, DC III += 3.1
A Eq.(3.1) é válida para as direções µ dentro do intervalo [µ0 ,1].
3.1.1 Equações e solução para o campo colimado
A equação para o campo colimado considera apenas a extinção do feixe dentro do
material e o ganho por emissão, tornando-se: Özisik [1973]
( ) ( ) (TIIIoC
C =+ µτ∂τ
)µτ∂µ ,, 3.2
No trabalho específico de Nicolau, a montagem experimental realizada para suas medições
permite eliminar o termo de emissão, Nicolau [1994]:
( ) ( ) 0,,=+ µτ
∂τµτ∂µ C
C II 3.3
Como µ está associado ao cosseno entre o feixe incidente e a amostra, este valor é
muito próximo da unidade, resultando na equação do campo colimado com a condição de
contorno Nicolau [1994]:
( ) ( ) ( ) 0;0 IIIIC
C ==+ ττ∂τ
τ∂ 3.4
Sendo a solução:
( ) ττ −= eII C 0 3.5
3.1.2 Equações e solução para o campo difuso
O campo difuso é descrito pela equação:
( ) ( ) ( ) ( ) ''1
''1
1
' ,,2
,,2
),(),(
0
µµµµτωµµµµτωµτµ
µτµ
µ
dPIdPIIICDD
D ∫∫++
−
++−=∂
∂ 3.6
27
Neste caso o último termo da Eq.(3.6) representa a contribuição do campo colimado
ao campo difuso e pode ser escrito a partir da hipótese que cada elemento da função de
fase é constante dentro do intervalo [µ0, 1], resultando assim a equação:
( ) ( ) ( ) ( µµωµµµµτωµτµ
µτµ τ ,11
2,,
2),(),(
00''
1
1
' peIdPIIIDD
D −++−=∂
∂ −+
−∫ ) 3.7
Sujeito as condições de contorno:
( )( ) 0,0,
0,0,0
0 <=>=
µµτµµ
D
D
II
3.8
Percebe-se que para resolver a Eq.(3.7) que apresenta a dependência angular da
intensidade difusa, é necessário um método capaz de transformar o termo integral em um
somatório de direções discretas. Este método é chamado de Ordenadas Discretas,
Chandrasekar [1960]. Este método foi aplicado inicialmente a problemas sobre radiação
atmosférica e astrofísica e também ao problema de transporte de nêutrons, [Lathrop, 1969].
Assim é possível reescrever o termo integral da Eq.(3.7) como sendo :
[ ]),(),(p),(),(p'')',(),'(p iiii1i
i
1
1µτµµµτµµµµτµµ −−+= ∑∫
=−
IICdIN
3.9
O primeiro termo do somatório da Eq.(3.9) corresponde as direções dentro do semi-
espaço positivo das direções e o segundo termo o espaço negativo das direções e desta
forma é escrito um sistema de equações de primeira ordem, representado por:
( )
[ ]
( )
[ ]
−−−+−+
−=−+−
−
−−++
−=+
∑
∑
=
=
),(),(p),(),(p2
)(1),(),(
),(),(p),(),(p2
)(1),(),(
ijiiji
2/
1ii
0j
jj
ijiiji
2/
1ii
0j
jj
µτµµµτµµω
τωµτ∂τ
µτ∂µ
µτµµµτµµω
τωµτ∂τ
µτ∂µ
IIw
III
IIw
III
N
N
3.10
28
Analisando o conjunto de equações diferenciais de primeira ordem, Eq.(3.10), não
homogêneas, percebe-se que para a direção discreta ( µj ) um conjunto de 2 equações é
formado. Desta forma, adotando a notação matricial para representar o conjunto de
equações, Brewster [1992]:
( ) [ ] ( )[ ] ( )[ τττ
]τ KMd
d+Τ=
Τ 3.11
[
[ ] [ ]BA :
T
ex
re
ho
Sendo
( )]
( )
( )( )
( )
−
−=Τ
ND
D
ND
D
I
II
I
dI
µτ
µτµτ
µτ
ωτ
,...
,,
...,
1
1
1
00
;
[ ] [ ] [ ]
i
JiJij
i
ij
i
JiJij
pCB
pCAEM
ABM
µµµω
µδ
µµµω
2),(
2),(
,
−=
−=
−−
=
3.12
Na qual T(τ) representa a transmitância bidirecional representada por:
( ) ( )00
,dwI
I µττ = 3.13
( )[ ]
( )
( )
( )
( )
−−
−−
−=
N
N
N
N
P
P
P
P
K
µµµ
µµµ
µµµ
µµµ
τπ
ωτ
1
1
11
1
1
11
,...
,
,...
,
)exp(4
3.14
Apresentando uma solução particular:
( ) [ ] [ ]( )[ ] [KWMI −=+− ]τp 3.15
Resolvendo um sistema de equações homogêneo retirado após a aplicação da Eq.(3.13),
sulta uma solução geral como a soma da solução particular, com a solução do problema
mogêneo, definida como:
29
( ) 1
2
1 01,
)exp(2
1)exp(, i
n
jJjiJ dC
VH δω
τπ
τλµτ ∑=
−+
−+=Τ 3.16
A primeira parcela da solução é a solução do problema homogêneo, a segunda parcela
é a solução particular descrita na Eq.(3.15) e a terceira parcela é a transmitância da parte
colimada. O símbolo delta representa o delta de Kronecker na direção incidente.
3.2 Método de Ordenadas Discretas com Volumes Finitos
Moura [1998] apresentou uma formulação do problema de transferência radiativa em
condição de não simetria azimutal do campo de radiação, para a identificação de
propriedades radiativas tais como espessura óptica, albedo e função de fase de materiais
fibrosos e espumas em geometria unidimensional. A solução numérica da equação de
transferência radiativa (ETR) foi baseada no método de ordenadas discretas de
Chandrasekar [1960], aplicado a um volume de controle como proposto por Carlson e
Lathrop [1968], propondo uma nova quadratura espacial.
Para um problema em uma geometria unidimensional sem a condição de simetria
azimutal, o campo de radiação não permite mais o uso da equação de transferência em sua
forma mais simples, sendo necessária a solução da Eq.(2.5).
3.2.1 - DISCRETIZAÇÃO ANGULAR
Como visto anteriormente no capítulo 2, seção (2.5.2), o uso da discretização
angular permite representar o termo integral por uma soma quadrática efetuada sobre as
intensidades através das direções conhecidas, Fiveland [1987].
( ) (∫ ∑=
=Nd
jj
mjj
m IwdI1
µµµµµ ) 3.17
Na qual:
jw j – ésimo coeficiente da quadratura.
jµ j – ésima coordenada da quadratura.
( )jI µ Intensidade na direção dada.
Nd Ordem da quadratura (nº de direções).
m Ordem do m – ésimo momento da quadratura.
30
O termo define a ordem dos momentos para um intervalo de [ 0, 4π ] no caso de
não simetria e [ -1 , 1] para o caso de simetria azimutal do feixe de radiação incidente. As
ponderações devem satisfazer os momentos de ordem zero e um [Fiveland, 1987].
[Özisik, 1973] definiu cada termo para os momentos como:
m
jw
• Momento de ordem zero (Radiação Incidente)
( ) ( ) ( )∫ ∫=Ω −
=ΩΩ=π
µµτπττ4
1
10 ,2, dIdIM 3.18
• Momento de ordem um (Densidade do fluxo de radiação)
( ) ( ) ( )∫ ∫=Ω −
=ΩΩΩ=π
µµµτπττ4
1
11 ,2, dIdIM 3.19
• Momento de ordem dois (Proporcional aos componentes do tensor esférico da
radiação de pressão)
( ) ( ) ( )∫ ∫=Ω −
=ΩΩΩΩ=π
µµµτπττ4
1
1
22 ,2, dIdIM 3.20
• Momento de ordem N (Sem significado físico)
( ) ( ) ( )∫ ∫=Ω −
=ΩΩΩΩΩ=π
µµµµµτπττ4
1
1
...,2..., dIdIM N 3.21
A tabela a seguir ilustra a aplicação dos momentos para as condições de simetria e não
simetria azimutal do feixe do campo de radiação.
Tabela 1. Momentos para as condições de simetria ou não simetria azimutal
[Moura, 1998].
COM SIMETRIA SEM SIMETRIA
∑∫=−
=→=Nd
jjwd
1
1
1
22µ ∑∫==Ω
=→=ΩNd
jjwd
14
44 πππ
∑∫=−
=→=Nd
jjjwd
1
1
1
00 µµµ ∑∫==Ω
=→=ΩΩNd
jjjwd
14
00 µπ
∑∫=−
=→=Nd
jjjwd
1
21
1
2
32
32 µµµ ∑∫
==Ω
=→=ΩΩNd
jjjwd
14
2
34
34 πµπ
π
∑∫ =→=Nd
jjj
wd0
1
0 21
21
fµ
µµµ ∑∫ =→=ΩΩ•=Ω
Nd
jjj
wdn04 fµπ
πµπ
31
3.2.2 DISCRETIZAÇÃO ESPACIAL
A discretização espacial é realizada subdividindo o sistema de equações diferenciais,
em um conjunto de ″volumes″ justapostos (volumes de controle), a fim de poder resolvê-lo
por um método iterativo. A equação obtida para descrever a variação das intensidades
radiativas no interior de um volume de controle deve conservar a energia, Moura [1997].
Para o cálculo da variação da intensidade radiativa no interior do volume de controle
utiliza-se um fator de ponderação f, que será detalhado em seguida para os diferentes
esquemas de interpolação. A relação das intensidades radiativas entre as faces e o centro do
volume é dada por:
ji,j1,ij1/2,i )1( IfIfI −+= ++ 3.22
Obtém-se então, uma equação discretizada na seguinte forma:
( )[ ]ji,j1/2,ijj
j1/2,i 11 ISf
fI +
+= ++ α
α 3.23
Sendo o fator α e o termo fonte definidos como:
j
21ij µ
τα +∆
= 3.24
( ) ( ) (
++−= ∑
=−+−+++
2/
1nn1/2,injn1/2,injn1/2i,1/2i pp
21
N
bj IIwTISβ
)ωω 3.25
desta forma, Ii+1,j é calculado a partir das Eq.(3.22) e (3.23):
( )[ ( ) ]ji,jjj1/2,ijj
j1,i 11
1 IfSff
I αααα
+−++
= ++ 3.26
Na qual o índice i+1/2 representa o centro do volume situado entre as faces de índices
i e i+1. Na Eq.(3.23), Ii,j é um valor conhecido e calcula-se Ii+1/2,j através de várias iterações,
atualizando o termo fonte Si+1/2,j. As ponderações são representadas por wn e são associadas
a direção µn. A tabela 2 representa os diversos esquemas de interpolação descritos em
Moura [1998].
32
Tabela 2 – Esquemas de interpolação. [Moura, 1998]
FORMULAÇÃO FATOR INTENSIDADE
STEP f=1 ji,j1,+i II =
LINEAR f=1/2 ( )[ ( ) ]ji,jjj1/2,ij
jj1,i 5.015.0
5.011 ISI ααα
α+−+
+= ++
EXPONENCIAL
j
1e11
j αα −−
= −f ∫∆ −−
+ += j jjx
0jn,j1,i x)x(ee µ αα dSII
INTEGRAL j
j
-
2
e1e1
α
α
−−
=−
f ( ) βαα /e1e jj
j1/2,+iji,j1,+i−− −+= SII
3.3 Desenvolvimento em Série de Fourier
A equação descrita no trabalho de Godsalve [1995], Eq.(2.12), pode ser resolvida por
diferentes métodos. Spiga & Vestrucci [1981] e Vestrucci et al. [1982] apresentaram um
desenvolvimento pelo método PN para um caso de incidência inclinada, interfaces com
reflexão difusa e especular, para um meio com difusão isotrópica e anisotrópica linear.
Kumar & Felske [1986] desenvolveram uma solução utilizando o método FN para um
meio com uma difusão anisotrópica do tipo polinômio de Legendre. Além de um feixe
inclinados incidentes sobre a superfície do meio, as condições de contorno consideram
uma incidência difusa, não uniforme e uma reflexão especular e difusa nas interfaces.
Stamnes et al. [1988] apresentaram equações para o Método das Ordenadas Discretas
(formulação matricial) para resolver um meio heterogêneo, não isotérmico, e uma
incidência de um feixe colimado inclinado, mais uma parte difusa.
Godsalve [1995] analisou um problema de incidência inclinada na atmosfera terrestre
utilizando o método de Stamnes et al. [1988]. Para poder analisar uma função de fase de
Henyey-Greenstein, típica neste tipo de problema, ele teve de utilizar mais de 300 termos
para o desenvolvimento da função de fase com um fator de assimetria igual a 0,95. Em
função dos erros de precisão ocasionados pela integração por uma fórmula de quadratura
de Gauss, a discretização utilizada deve ter ao mínimo 150 direções para que a integração
de polinômios de ordem 300 seja suficientemente precisa. Além disso, vários cálculos são
efetuados para obter os termos de índice k da Eq.(2.12).
33
3.4 – Transformação do problema sem simetria em um conjunto de
problemas com simetria do campo de intensidades radiativas.
Como o feixe de radiação incide de forma oblíqua ao meio semitransparente, é
necessário resolver a equação de transferência radiativa sem a condição de simetria azimutal
do feixe de radiação incidente. Como a dificuldade de resolução da ETR se torna maior,
procura-se então uma forma de minimizar estas dificuldades.
Uma forma de se contornar esta dificuldade é transformar um problema sem a
condição de simetria azimutal do campo de intensidades radiativas, em um conjunto de
vários problemas com simetria. Para tanto serão analisados dois casos, a saber:
3.4.1 - DIFUSÃO ISOTRÓPICA
Na difusão isotrópica a função de fase é unitária para todas as direções sendo
considerados:
• Geometria Unidimensional
• Sem interface.
• É submetida em uma face a um feixe colimado de radiação incidente.
A equação de transferência radiativa que representa tais condições pode ser escrita
como:
( ) ( ) ( ) ( ) ''2
0
1
1
''
' '
,,4
,,,, φµθµτπ
ωτθµττ
θµτµπ
φ µ
ddIgII∫ ∫=
+
−=
+=+∂
∂ 3.27
Na qual g representa o termo não homogêneo e as condições de contorno são
apresentadas como:
( ) ( )( ) ( ) 0,,,
0,,,0
20
1
<=>=
µφµφµτµφµφµ
comFIcomFI
3.28
Utilizando um problema auxiliar para facilitar a solução da Eq.(3.27), a formulação será
dada por:
( ) ( ) (τθµττ
)θµτµ gI
I=+
∂∂
,,,,
00 3.29
34
As condições de contorno são as mesmas descritas na Eq.(3.28).
Separando o campo de intensidades em I0+ e I0
- e resolvendo a Eq.(3.29), tem-se:
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
'
'
'020
'
0
'
'10
0exp
exp,,,
expexp,,,
τµ
µττ
τµττφµφµτ
τµ
µττ
τµτφµφµτ
τ
τ
τ
dgFI
dgFI
∫
∫
−−
+
−=
−−
+
−=
−
+
3.30
O termo fonte é representado na Eq.(3.27) por:
( ) ''2
0
1
1
''0
' '
,,4
)( φµθµτπ
ωτπ
φ µ
ddIG ∫ ∫=
+
−=
= 3.31
E pode ser reescrito como:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−+−+
+
−+
−=
∫∫
∫ ∫+
−
0''
1'
0
''1
'
''2
0
1
1
0210
2
exp,exp,)(
τ
τ
τ
π
ττττττττπ
φµµττφµµ
τφµτ
dEgdEg
ddFFG 3.32
Como o campo de intensidades pode ser definido como a soma da intensidade não
espalhada utilizada no problema auxiliar e a intensidade espalhada dentro do meio
semitransparente e utilizando o termo fonte descrito na Eq.(3.32), a equação de
transferência se torna:
( ) ( ) ( ) ( ) '1
1
'0
'
,24
,,µµτωτ
πωµτ
τµτ
µµ
dIGII∫+
−=
+=+∂
∂ 3.33
Com as condições de contorno:
( )( ) 00,
00,0
0 <=>=
µµτµµ
comIcomI
3.34
35
3.4.2 - DIFUSÃO ANISOTRÓPICA
Para realizar esta análise são condições necessárias:
• Geometria Unidimensional.
• Não possui termo de Geração.
• Incidência inclinada em τ = 0 de um feixe inclinado.
• Não apresenta incidência em τ = τ0 .
• A função de fase seja representada em termos de polinômios de Legendre.
A equação de transferência radiativa que representa tais condições pode ser escrita
como:
( ) ( ) ( ) ( ) '2
0
1
1
''0
' '
,,4
,,,,φµθµτµ
πωθµτ
τθµτ
µπ
φ µ
ddIpII∫ ∫=
+
−=
=+∂
∂ ' 3.35
De forma que o termo p(µ0) representa a função de fase em termos de polinômios de
Legendre, dada por:
( ) ( ) 1, 00
00 == ∑=
aPapN
nnn µµ 3.36
Na qual µ0 é o ângulo formado entre as direções Ω e Ω’, e as condições de contorno
são apresentadas como:
( ) ( )( ) 00,,
0,,,0
0
1
<=>=
µφµτµφµφµ
comIcomFI
3.37
Utilizando de um problema auxiliar homogêneo para facilitar a solução da Eq.(3.35), a
formulação será dada por:
( ) ( ) 0,,,,
00 =+∂
∂θµτ
τθµτ
µ II
3.38
As condições de contorno são as mesmas descritas na Eq.(3.37).
Separando o campo de intensidades em I0+ e I0
- e resolvendo a Eq.(3.35), tem-se:
( ) ( )
( ) 0,,
exp,,,
0
10
=
−=
−
+
φµτ
µτφµφµτ
I
FI 3.39
36
O termo fonte é representado na Eq.(3.35), por:
( ) ''2
0
1
1
''00
' '
,,)(4
)( φµθµτµπ
ωτπ
φ µ
ddIpG ∫ ∫=
+
−=
= 3.40
E pode ser reescrito como:
( ) ''2
0
1
1100 exp,)()( φµµ
τφµµτπ
ddFpG ∫ ∫+
−
−= 3.41
Como o campo de intensidades pode ser definido como a soma da intensidade não
espalhada utilizada no problema auxiliar e a intensidade espalhada dentro do meio
semitransparente e utilizando o termo fonte descrito na Eq.(3.41), a equação de
transferência se torna:
( ) ( ) ( )
( )∫ ∫
∫ ∫+
−=
+
−
+
+
−=+
∂∂
π
µ
π
φµφµτµπ
ω
φµµτφµµ
πωφµτ
τφµτ
µ
2
0
''1
1
''10
''2
0
1
1101
1
'
,,)(4
exp,)(4
,,,,
ddIp
ddFpII
3.42
Com as condições de contorno:
( )( ) 00,,
00,,0
0 <=>=
µφµτµφµ
comIcomI 3.43
Para separar a Eq.(3.42) em um conjunto de problemas com simetria azimutal a função
de fase deve estar representada em termos de polinômios de Legendre e o campo de
intensidades deve ser escrito como na Eq.(2.11). Utilizando-se de um caso especial para a
formulação, ou seja, utilizando funções delta com incidência externa de intensidade f 1,
ângulo de incidência θ1 e ângulo de azimute φ 1 .
3.4.3 - SEPARAÇÃO PARA O CASO ESPECIAL
Utilizando-se do caso especial para a formulação, ou seja, utilizando funções delta com
incidência externa de intensidade f 1, ângulo de incidência θ 1 e ângulo de azimute φ 1 ,
podemos descrever a função prescrita F 1 como:
( ) ( ) ( )φφδµµδφµ −−= 1111 , fF 3.44
37
O termo em seno da Eq.(2.11) representa uma condição de contorno difusa. Assim as
intensidades radiativas podem ser escritas como as da Eq.(2.13), em termos apenas do co-
seno do ângulo de azimute e do campo de intensidades, em função de uma coordenada de
posição e do ângulo de incidência. Tomando a Eq.(3.42) e nesta substituindo as Eq.(2.13) e
(3.37), teremos [ Özisik, 1973]
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−
−−+
+
−−
−=
=−+∂
−∂
∑∑ ∑∫ ∫
∑ ∑∫ ∫
∑∑
∞
== ==
+
−=
= ==
+
−=
∞
=
∞
=
01
''
00
2
0
1
1
'
''''
00
2
0
1
1
''1
01
01
cos,cos24
cos2exp,4
cos,cos,
' '
' '
k
kmn
N
m
N
mn
mn
mnm
mn
N
m
N
mn
mn
mnm
k
kk
k
kImPPadd
ddmPPaF
kIkI
φφµτφφµµδφµπω
φµφφµµδµτφµ
πω
φφµττ
φφµτµ
π
φ µ
π
φ µ
3.45
Após alguns arranjos a Eq.(3.45) pode ser transformada em um conjunto de equações
em função das intensidades pois o termo em cossenos presente no somatório é linearmente
independente. Usando as funções delta, Eq.(3.44), pode-se escrever este conjunto de
equações como:
( )[ ] ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) NkparadIPPa
PPafII
NkparaII
kkn
N
kn
kn
kn
N
kn
kn
kn
knk
kk
kk
≤+
+
−
−=+
∂∂
>=+∂
∂
∫∑
∑+
−==
=
1
1
'''
101
1
'
,2
2exp4
,,
0,,
µ
µµτµµω
µµδµτ
πωµτ
τµτ
µ
µττ
µτµ
3.46
As condições de contorno da Eq.(3.46), serão:
( )( ) 00,
00,0
0 <=>=
µµτµµ
comIcomI 3.47
Variando-se os índices k e n de modo que k = 0, 1, 2, ..., N e n = k, k+1, k+2, ..., N.
A resolução da Eq.(3.46) ainda apresenta dificuldades devido ao termo integral, desta
forma esta integral é discretizada pelo método de ordenadas discretas, isto é, substituindo o
termo integral por um somatório variando em cada direção discreta. Assim a equação de
transferência radiativa ETR, se torna:
38
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) NkparaIPIPCPa
PPafII
N
jj
kj
knj
kj
knj
N
kn
kn
kn
N
kn
kn
kn
knk
kk
≤
−+−+++
+
−
−=+
∂∂
∑∑
∑
==
=
1
101
1
,,2
2exp4
,,
µτµµτµµω
µµδµτ
πωµτ
τµτ
µ
3.48
Usando na equação anterior a direção discreta µI e dividindo a equação por este termo,
temos:
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
−+−+++
+
−
−
=+∂
∂
∑∑
∑
==
=
N
jj
kj
knj
kj
knj
N
kI
kn
kn
I
N
kn
kni
kn
knk
II
Ik
Ik
IPIPCPa
PPafII
10
101
1
,,2
2exp
4,,
µτµµτµµµω
µµδµ
µτ
πω
µµτ
τµτ
3.49
Reescrevendo a constante f 1 como a intensidade colimada I 0 dω0, podemos utilizar a
formulação geral da Eq.(3.50) em termos de transmitâncias, apresentando – a como:
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) +
−
−
+
−++
−=
∂∂
∑
∑∑
=
==
N
k
knI
kn
knk
I
N
jj
knj
knj
N
kI
kn
kn
II
PPa
PPCPaTT
010
1
10
2exp
4
21
µµδµ
µτ
πω
µµµµω
µτ
ττ
3.50
Sendo a formulação geral para este caso em especial.
39
Capítulo 4
RESULTADOS
40
Neste capítulo serão apresentados os resultados obtidos para meios semitransparentes
difusores ou não. São realizadas comparações entre valores obtidos pela formulação
analítica utilizada pelo autor e valores numéricos obtidos por um método combinado entre
ordenadas discretas e volumes finitos. No primeiro caso analisado são apresentadas
comparações em termos de fluxo. Nos demais casos, comparações em termos de
transmitâncias e reflectâncias são acompanhadas de análise de erros e de tempo
computacional.
4.1 - MEIO NÃO DIFUSOR
Neste caso, a partir da equação de transferência radiativa (Eq.(2.5)), o valor do albedo
(ω) é nulo, de modo que o termo fonte apresente apenas a intensidade do corpo negro e o
coeficiente de extinção beta (β) é idêntico ao coeficiente de absorção (σa). Esta
simplificação permite a obtenção com uma maior facilidade de soluções analíticas em
função da eliminação do termo integral da ETR. O meio é confinado entre duas paredes
planas com emissividades (ε1 e ε2) unitárias e temperaturas prescritas T1 e T2, conforme a
Figura (9).
ε2 , T2
ε1 , T1 Meio semitransparenteNão Difusor
x
Desta forma a e
( )τ
µτµ II ,+
∂∂
Já a espessura ó
xx l. σβτ ==
De modo que lx
Parede 1
Figura 9 – Meio semitransparente nã
quação de transferência radiativa, ETR, se to
( ) ([ τµτ )]TI 0, =
ptica do meio é dada por:
xa l.
é a coordenada de posição.
Parede 2
o difusor
rna:
4.1
4.2
41
A solução analítica em termos de fluxo neste caso é [Özisik, 1973]:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
−−−+−−= ∫∫ ''
2'
0
'2
4003
423
41
0
2 τττττττττσττ
τ
τ
dEdETETETq 4.3
Para o meio não difusor são testadas três configurações denotadas por C1, C2 e C3 , nas
quais são realizadas variações nas temperaturas das interfaces e do meio, conforme tabela
4.1, dada a seguir:
Tabela 4.1 – Valores das configurações testadas.
CASO EM TESTE TEMPERATURA MEIO
TEMPERATURA PAREDE 1
TEMPERATURA PAREDE 2
C1 750 K 1000 K 500 K C2 1000 K 500 K 500 K C3 500 K 1000 K 1000 K
São realizadas comparações em termos de fluxo calculado de duas formas distintas, ou
seja, analiticamente através da solução formal para o fluxo em um MST não difusor,
[Özisik, 1973] e pelo método das ordenadas discretas como aplicado por [Moura, 1998].
No método numérico a escolha da quadratura a ser utilizada pode fornecer boa
aproximação em uma determinada condição, mas variando-se parâmetros como espessura,
propriedades radiativas e direção escolhida poderiam levar o erro a subir expressamente,
dependendo da configuração adotada. Para a solução numérica mantêm-se fixos os
seguintes parâmetros:
Tabela 4.2 – Dados mantidos na análise do meio não difusor
N° DE VOLUMES 199
QUADRATURA GAUSS MODIFICADA [Moura, 1998]
INTERPOLAÇÃO LINEAR [Moura, 1998]
TOLERÂNCIA 10 -15
A Figura (10) representa a comparação entre os valores de fluxo para os modelos
analítico e numérico (Método das Ordenadas Discretas), a duas e doze direções segundo a
quadratura de Gauss. Percebe-se que aumentando as direções para 12, como esperada a
diferença entre fluxos se reduz expressivamente para a configuração apresentada.
42
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,024000
26000
28000
30000
32000
34000
36000
38000
40000
42000
44000
46000
Flux
o [ W
/ m
2 ]
posição L / L X
Fluxo analítico. Fluxo MOD a 2 direções. Fluxo MOD a 12 direções.
Figura 10 - Comparação entre fluxos para 2 e 12 direções na configuração C1.
A Figura (11) representa a comparação em fluxo para a configuração C2 mostrando a
mesma tendência da configuração anterior.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000
FLUXO ANALÍTICO FLUXO MOD A 2 DIREÇÕES. FLUXO MOD A 12 DIREÇÕES.
Flux
o [ W
/ m
2 ]
posição L / Lx
Figura 11 - Comparação entre fluxos para 2 e 12 direções na configuração C2.
43
A Figura (12) representa a comparação em fluxo para o caso C3 e nas quais se percebe
a mesma tendência dos casos anteriores.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
-40000
-30000
-20000
-10000
0
10000
20000
30000
40000 FLUXO ANALÍTICO. FLUXO MOD A 2 DIREÇÕES. FLUXO MOD A 12 DIREÇÕES.
FLU
XO [
W /
m2 ]
POSIÇÃO L / Lx
Figura 12 - Comparação entre fluxos para 2 e 12 direções na configuração C3.
As Figuras (13) e (14) apresentam os erros em função da posição nas configurações C1
e C2, para duas direções utilizando a quadratura de Gauss. Percebe-se a influência da
temperatura do meio em relação a temperatura das paredes 1 e 2.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
ERRO PARA DOZE DIREÇÕES. ERRO PARA DUAS DIREÇÕES.
[ ( Q
MO
D - Q
ANA )
/ Q
ANA ]
* 10
0
POSIÇÃO L / L X
Figura 13 – Erro para valores de fluxo para duas e doze direções em C1.
44
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0-2
0
2
4
6
8
10
12
14
16
ERRO PARA DUAS DIREÇÕES. ERRO PARA DOZE DIREÇÕES.
[ ( Q
MO
D - Q
ANA )
/ Q
ANA
] * 1
00
POSIÇÃO L / LX
Figura 14 – Erro para valores de fluxo na configuração C2 para 2 e 12 direções.
4.2 – MEIO DIFUSOR
Nesta análise utiliza-se a solução da equação de transferência radiativa, ETR, adotada
por [Nicolau, 1994], que a resolve para uma geometria unidimensional com a condição de
simetria azimutal com incidência de um feixe colimado à placa. Comparações em termos de
transmitâncias, reflectâncias, análise de erros e tempo computacional são utilizadas em
casos que apresentam difusão isotrópica, isto é, a função de fase unitária e também nos
casos com difusão anisotrópica de acordo com a função de fase criada por Nicolau [1994].
4.2.1 – Difusão Isotrópica:
Neste caso além da função de fase unitária, o meio apresenta conforme a tabela 4.3,
grande espessura óptica e valor de albedo próximo da unidade. A equação de transferência
radiativa (ETR) utilizada é a Eq.(2.10), descrita no capítulo anterior (seção 3.1) como:
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ''1
1
'0 ,,
21,, µµµµτωτωµτ
τµτµ dpITIII
∫+
−
+−=+∂
∂ 4.3
Tabela 4.3 – Valores dos elementos considerados no caso isotrópico 1.
ALBEDO BETA [ 1 / m ]
ESPESSURA ÓPTICA DIREÇÕES INCLINAÇÃO
[ ° ] ESPESSURA
[ m ] 0,916 2.965 11,86 24 0º 0,004
45
As comparações a seguir são realizadas entre um método analítico utilizado pelo autor e
um método numérico que combina o método de ordenadas discretas com a técnica de
volumes finitos para a solução da equação de transferência radiativa, ETR. A tabela 4.4
apresenta os valores de transmitâncias e reflectâncias, de forma a avaliar os resultados para
vários números de volumes no método numérico, comparando-os com o método analítico.
As direções são determinadas pelos ângulos da quadratura de Gauss. A notação utilizada na
tabela 4.3 é dada por:
• T - Transmitâncias.
• R - Reflectâncias.
• B - Método de solução analítica.
• M - Método de ordenadas discretas com volumes finitos.
Desta forma a sigla TRB, simboliza os valores de transmitâncias e reflectâncias
encontrados através do método analítico.
Tabela 4.4 - Valores de Transmitâncias e Reflectâncias para o caso isotrópico 1.
N° DE VOLUMES Direção [ ° ] TRB M199 M150 M99 M50 M20 M10 M5
0,00000 0,002630 0,002620 0,002620 0,002610 0,002550 0,002210 0,001450 0,0010103,66935 0,001440 0,001440 0,001440 0,001440 0,001430 0,001390 0,001250 0,0010106,60636 0,001430 0,001430 0,001430 0,001430 0,001420 0,001380 0,001240 0,0010009,80602 0,001420 0,001420 0,001420 0,001420 0,001410 0,001370 0,001230 0,000984
12,95409 0,001400 0,001400 0,001400 0,001400 0,001390 0,001350 0,001210 0,00096215,94413 0,001380 0,001380 0,001380 0,001380 0,001370 0,001330 0,001200 0,00093418,71434 0,001360 0,001360 0,001360 0,001360 0,001350 0,001310 0,001180 0,00090323,77012 0,001310 0,001310 0,001310 0,001310 0,001300 0,001260 0,001130 0,00083335,62074 0,001170 0,001160 0,001160 0,001160 0,001160 0,001120 0,001010 0,00058650,32441 0,000959 0,000958 0,000958 0,000957 0,000953 0,000921 0,000846 0,00019165,96717 0,000736 0,000736 0,000735 0,000735 0,000731 0,000707 0,000682 0,00207081,95794 0,000515 0,000514 0,000514 0,000514 0,000511 0,000495 0,000000 0,002490
98,04206 0,148970 0,148970 0,148970 0,148970 0,148970 0,148970 0,148970 0,148360114,0328 0,148580 0,148580 0,148580 0,148580 0,148580 0,148580 0,148580 0,149490129,6756 0,143050 0,143050 0,143050 0,143050 0,143050 0,143050 0,143050 0,146080144,3793 0,138040 0,138040 0,138040 0,138040 0,138040 0,138040 0,138040 0,142380156,2299 0,135010 0,135010 0,135010 0,135010 0,135010 0,135010 0,135010 0,139990161,28570 0,134060 0,134060 0,134060 0,134060 0,134060 0,134060 0,134060 0,139220164,05590 0,133640 0,133640 0,133640 0,133640 0,133640 0,133640 0,133640 0,138880167,04590 0,133250 0,133250 0,133250 0,133250 0,133250 0,133250 0,133250 0,138560170,19400 0,132930 0,132930 0,132930 0,132930 0,132930 0,132930 0,132930 0,138300173,39360 0,132690 0,132690 0,132690 0,132690 0,132690 0,132690 0,132700 0,138110176,33070 0,132560 0,132560 0,132560 0,132560 0,132560 0,132560 0,132560 0,137990180,00000 0,132500 0,132500 0,132500 0,132500 0,132500 0,132500 0,132500 0,137940
46
Percebe-se através das Figuras (15) e (16) que para a comparação entre o método
analítico e numérico a 5 volumes, as diferenças entre os valores de transmitâncias e
reflectâncias são consideráveis. À medida que se aumenta o número de volumes
considerados, o erro tende a zero, como mostra a Figura (17).
0 20 40 60 800,0000
0,0005
0,0010
0,0015
0,0020
0,0025
0,0030 NUMÉRICO A 5 VOLUMES ANALÍTICO
TRAN
SMIT
ÂNC
IAS
ÂNGULO
Figura 15 – Comparação das transmitâncias entre o método analítico e
numérico a 5 volumes.
100 120 140 160 180
0,132
0,134
0,136
0,138
0,140
0,142
0,144
0,146
0,148
0,150
RE
FLEC
TÂN
CIA
S
ÂNGULO
Numérico a 5 volumes. Analítico
Figura 16 – Comparação entre valores de reflectâncias para os métodos analítico
e numérico a 5 volumes.
47
Aumentando-se o número de volumes os valores das transmitâncias e reflectâncias
tendem a ficar muito próximos e a partir de 99 volumes os erros tendem a se aproximar
cada vez mais de zero, Figura (17).
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0
20
40
60
direção incidente 0°
|err
o pe
rcen
tual
|
n° de volumes
Figura 17 – Erro no cálculo da transmitância para a direção incidente em função
do número de volumes do MOD com volumes finitos.
A Figura (18) mostra a grande variação dos erros em porcentagem e módulo a medida
que se aumentam de 5 para 20 o número de volumes da malha no método numérico.
0 20 40 60 8
1
10
100
0
Numérico a 5 volumes. Numérico a 10 volumes. Numérico a 20 volumes.
|[ ( T
MO
D - T
ANA)
/ T AN
A] .
100|
GRAUS
Figura 18 – Comparação dos erros nas transmitâncias para 5, 10 e 20 volumes
em relação ao método analítico em módulo.
48
Na Figura (19) é exibida a comparação entre transmitâncias e reflectâncias entre o
método analítico e o método numérico a 199 volumes sendo este em um gráfico polar.
1E-3
0,01
0,1
0
45
90
135
180
1E-3
0,01
0,1
Tra
nsm
itânc
ia e
Ref
lect
ânci
a
Reflectância - analítico. Transmitância - analítico. Reflectância - 199 volumes. Transmitância - 199 volumes.
Figura 19 – Comparações entre transmitâncias e reflectâncias entre o modelo
analítico e numérico a 199 volumes para o caso isotrópico 1.
Da mesma forma que no caso anterior se comparam transmitâncias e reflectâncias sendo
neste caso a espessura óptica muito menor que a anterior e o albedo mais próximo de zero.
O meio semitransparente nestas condições apresenta uma forma de pico na direção
incidente para as transmitâncias. Os demais valores dos parâmetros relativos são descritos
conforme a tabela 4.5 abaixo.
Tabela 4.5 – Valores dos elementos considerados em isotrópico 2.
ALBEDO BETA [ 1/ m ]
ESPESSURA ÓPTICA
DIREÇÕES INCLINAÇÃO ESPESSURA[m ]
0,04 25 0,1 24 0º 0,004
A tabelas 4.6 e 4.7 apresentam os valores obtidos para transmitâncias e reflectâncias para
os métodos analítico e numérico, de forma que para o último, sejam testados os mesmos
valores e mesmo número de volumes mantendo-se os ângulos da quadratura de Gauss. A
notação é a mesma utilizada no caso anterior.
49
Tabela 4.6 - Valores das transmitâncias e reflectâncias para o caso isotrópico 2.
Nº DE VOLUMES graus analítico 199 VOLUMES 150 VOLUMES 99 VOLUMES 0,000 1,51305830E+02 1,51305830E+02 1,51305829E+02 1,51305829E+023,666 2,90181225E-04 2,90181240E-04 2,90181252E-04 2,90181288E-046,608 2,91456450E-04 2,91456466E-04 2,91456477E-04 2,91456513E-049,806 2,93693223E-04 2,93693239E-04 2,93693251E-04 2,93693288E-0412,953 2,96791765E-04 2,96791781E-04 2,96791794E-04 2,96791831E-0415,945 3,00604107E-04 3,00604124E-04 3,00604136E-04 3,00604175E-0418,715 3,04933358E-04 3,04933375E-04 3,04933388E-04 3,04933428E-0423,770 3,14999693E-04 3,14999711E-04 3,14999725E-04 3,14999768E-0435,620 3,52210537E-04 3,52210561E-04 3,52210580E-04 3,52210634E-0450,325 4,41030011E-04 4,41030052E-04 4,41030084E-04 4,41030177E-0465,967 6,61813054E-04 6,61813170E-04 6,61813259E-04 6,61813524E-0481,958 1,54646921E-03 1,54647059E-03 1,54647164E-03 1,54647478E-0398,042 1,56475112E-03 1,56475207E-03 1,56475279E-03 1,56475495E-03114,033 6,64510239E-04 6,64510288E-04 6,64510325E-04 6,64510436E-04129,675 4,42176408E-04 4,42176420E-04 4,42176429E-04 4,42176457E-04144,380 3,52929489E-04 3,52929495E-04 3,52929499E-04 3,52929513E-04156,230 3,15570792E-04 3,15570796E-04 3,15570799E-04 3,15570809E-04161,285 3,05467546E-04 3,05467550E-04 3,05467553E-04 3,05467562E-04164,055 3,01122821E-04 3,01122824E-04 3,01122827E-04 3,01122836E-04167,047 2,97297051E-04 2,97297055E-04 2,97297057E-04 2,97297065E-04170,194 2,94187732E-04 2,94187735E-04 2,94187738E-04 2,94187746E-04173,392 2,91943255E-04 2,91943258E-04 2,91943261E-04 2,91943269E-04176,334 2,90663666E-04 2,90663670E-04 2,90663672E-04 2,90663680E-04180,000 2,90097645E-04 2,90097648E-04 2,90097651E-04 2,90097658E-04
50
Tabela 4.7 - Valores das transmitâncias e reflectâncias para o caso isotrópico 2.
Nº DE VOLUMES graus 50 VOLUMES 20 VOLUMES 10 VOLUMES 5 VOLUMES0,000 1,51305825E+02 1,51305798E+02 1,51305704E+02 151,3053255 3,666 2,90181471E-04 2,90182763E-04 2,90187378E-04 0,000290206 6,608 2,91456698E-04 2,91458003E-04 2,91462662E-04 0,000291481 9,806 2,93693476E-04 2,93694803E-04 2,93699540E-04 0,000293718 12,953 2,96792024E-04 2,96793381E-04 2,96798229E-04 0,000296818 15,945 3,00604373E-04 3,00605769E-04 3,00610755E-04 0,000300631 18,715 3,04933632E-04 3,04935073E-04 3,04940220E-04 0,000304961 23,770 3,14999988E-04 3,15001537E-04 3,15007069E-04 0,000315029 35,620 3,52210918E-04 3,52212914E-04 3,52220043E-04 0,000352249 50,325 4,41030661E-04 4,41034069E-04 4,41046241E-04 0,000441095 65,967 6,61814895E-04 6,61824561E-04 6,61859084E-04 0,000661997 81,958 1,54649107E-03 1,54660589E-03 1,54701620E-03 0,001548661 98,042 1,56476614E-03 1,56484499E-03 1,56512675E-03 0,001566256 114,033 6,64511011E-04 6,64515064E-04 6,64529540E-04 0,000664587 129,675 4,42176600E-04 4,42177611E-04 4,42181220E-04 0,000442196 144,380 3,52929582E-04 3,52930073E-04 3,52931825E-04 0,000352939 156,230 3,15570859E-04 3,15571212E-04 3,15572470E-04 0,000315578 161,285 3,05467607E-04 3,05467929E-04 3,05469078E-04 0,000305474 164,055 3,01122880E-04 3,01123189E-04 3,01124293E-04 0,000301129 167,047 2,97297108E-04 2,97297407E-04 2,97298473E-04 0,000297303 170,194 2,94187787E-04 2,94188078E-04 2,94189115E-04 0,000294193 173,392 2,91943309E-04 2,91943594E-04 2,91944610E-04 0,000291949 176,334 2,90663720E-04 2,90664001E-04 2,90665005E-04 0,000290669 180,000 2,90097698E-04 2,90097978E-04 2,90098977E-04 0,000290103
Observa-se que a diferença entre os valores fica quase imperceptível nas tabelas 4.6 e
4.7, pois a ordem de grandeza das diferenças esta abaixo de 10 – 6. Apresenta-se na Figura
(20), a comparação entre as transmitâncias e reflectâncias para os modelos analítico e
numérico, este com 5 e 10 volumes. Utilizando um número maior de volumes percebe-se
que os erros nos valores das transmitâncias e reflectâncias ficam menores.
51
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800,0002
0,0004
0,0006
0,0008
0,0010
0,0012
0,0014
0,0016
0,0018
0,0020
Tran
smitâ
ncia
s e
Ref
lect
ânci
as
GRAUS
Analítico Numérico a 5 volumes. Numérico a 10 volumes.
Figura 20 – Transmitâncias e Reflectâncias para 5 e 10 volumes em comparação
ao método analítico.
Neste caso os erros são ínfimos se comparados ao caso anterior como descritos pela tabela
4.7, sendo que somente para um número inferior a 50 volumes os erros são consideráveis e que a
partir de 50 volumes para muitas direções os erros já são nulos. Na Figura (21) são apresentados
os erros relativos ao modelo analítico em escala logarítmica.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
199 volumes. 150 volumes. 99 volumes. 50 volumes. 20 volumes. 10 volumes. 5 volumes.
[ ( T
R MO
D - T
RAN
A ) /
TRA
NA ]
* 100
GRAUS
Figura 21 – Erros em porcentagem para o caso isotrópico 2.
52
Na direção incidente (0°) o erro decai de forma expressiva a medida que aumenta o
número de volumes, como mostrado pela Figura (22) abaixo.
0 50 100 150 200-0,00005
0,00000
0,00005
0,00010
0,00015
0,00020
0,00025
0,00030
0,00035 ERROS PERCENTUAIS NA DIREÇÃO INCIDENTE
| [ (
T MO
D - T
ANA )
/ TAN
A ] .
100
|
N° DE VOLUMES
Figura 22 – Erros na direção incidente em módulo.
Assim na Figura (23) as comparações entre transmitâncias e reflectâncias mostram que os
valores são idênticos na comparação do método analítico e numérico a 199 volumes. O pico de
incidência não está representado neste gráfico em função da escala.
1E-4
1E-3
0
45
90
135
1801E-4
1E-3
Tra
nsm
itânc
ias
e R
efle
ctân
cias
Reflectâncias - numérico. Transmitâncias - numérico. Reflectâncias - analítico. Transmitâncias - analítico.
Figura 23 – Transmitâncias e Reflectâncias no caso isotrópico 2.
53
Uma nova análise é realizada mantendo-se o albedo mais próximo da unidade. O meio
semitransparente nestas condições apresenta novamente um pico no valor da transmitância
na direção incidente. A tabela 4.8 descreve os demais parâmetros.
Tabela 4.8 – Valores dos elementos considerados em isotrópico3.
ALBEDO BETA [ 1 / m ]
ESPESSURA ÓPTICA
DIREÇÕES INCLINAÇÃO [ ° ]
ESPESSURA[m ]
0,96 25 0,1 24 0 0,004
As tabelas 4.9 e 4.10 apresentam os valores obtidos para transmitâncias e reflectâncias
através dos métodos analítico e numérico, de forma que para o último, sejam mantidos o
mesmo número de volumes e os mesmos ângulos da quadratura de Gauss. A notação é a
utilizada nos casos anteriores.
Tabela 4.9 - Valores de Transmitâncias para o caso isotrópico 3.
N° DE VOLUMES graus analítico 199 150 99 0,000 1,513135079000E+02 1,513135079000E+02 1,513135076348E+02 1,513135069000E+023,666 7,983446438000E-03 7,983446438000E-03 7,983445526714E-03 7,983442791000E-036,608 8,018533845000E-03 8,018533845000E-03 8,018532930569E-03 8,018530188000E-039,806 8,080078018000E-03 8,080078018000E-03 8,080077099391E-03 8,080074344000E-0312,953 8,165333665000E-03 8,165333665000E-03 8,165332741120E-03 8,165329969000E-0315,945 8,270229600000E-03 8,270229600000E-03 8,270228669099E-03 8,270225877000E-0318,715 8,389348558000E-03 8,389348558000E-03 8,389347620054E-03 8,389344806000E-0323,77 8,666324280000E-03 8,666324280000E-03 8,666323325980E-03 8,666320463000E-0335,62 9,690199990000E-03 9,690199990000E-03 9,690198988281E-03 9,690195981000E-0350,325 1,213422656000E-02 1,213422656000E-02 1,213422552667E-02 1,213422243000E-0265,967 1,821018716000E-02 1,821018716000E-02 1,821018673811E-02 1,821018547000E-0281,958 4,256836726000E-02 4,256836726000E-02 4,256838942306E-02 4,256845594000E-0298,042 4,301236358000E-02 4,301236358000E-02 4,301237760076E-02 4,301241968000E-02114,033 1,827569166000E-02 1,827569166000E-02 1,827568996912E-02 1,827568489000E-02129,675 1,216206824000E-02 1,216206824000E-02 1,216206666200E-02 1,216206194000E-02144,38 9,707660639000E-03 9,707660639000E-03 9,707659296431E-03 9,707655268000E-03156,23 8,680194151000E-03 8,680194151000E-03 8,680192926421E-03 8,680189252000E-03161,285 8,402321995000E-03 8,402321995000E-03 8,402320804287E-03 8,402317231000E-03164,055 8,282827224000E-03 8,282827224000E-03 8,282826047978E-03 8,282822519000E-03167,047 8,177605172000E-03 8,177605172000E-03 8,177604008924E-03 8,177600519000E-03170,194 8,092087788000E-03 8,092087788000E-03 8,092086635781E-03 8,092083178000E-03173,392 8,030356521000E-03 8,030356521000E-03 8,030355375843E-03 8,030351941000E-03176,334 7,995163141000E-03 7,995163141000E-03 7,995162000375E-03 7,995158579000E-03180,000 7,979595466000E-03 7,979595466000E-03 7,979594327402E-03 7,979590912000E-03
54
Tabela 4.10 - Valores de Transmitâncias para o caso isotrópico 3.
GRAUS 50 20 10 5 0,0000 1,513135031348E+02 1,513134765566E+02 1,513133816328E+02 1,513130019000E+023,6660 7,983428634986E-03 7,983328856006E-03 7,982972331911E-03 7,981543564000E-036,6080 8,018515995066E-03 8,018415957486E-03 8,018058508998E-03 8,016626030000E-039,8060 8,080060088001E-03 8,079959602107E-03 8,079600551050E-03 8,078161640000E-0312,9530 8,165315626498E-03 8,165214530742E-03 8,164853299598E-03 8,163405636000E-0315,9450 8,270211430505E-03 8,270109602368E-03 8,269745753100E-03 8,268287579000E-0318,7150 8,389330244797E-03 8,389227609288E-03 8,388860873730E-03 8,387391110000E-0323,7700 8,666305650181E-03 8,666201239123E-03 8,665828155730E-03 8,664332897000E-0335,6200 9,690180421179E-03 9,690070744097E-03 9,689678828753E-03 9,688107855000E-0350,3250 1,213420641130E-02 1,213409349164E-02 1,213368993477E-02 1,213207144000E-0265,9670 1,821017892292E-02 1,821013273445E-02 1,820996735630E-02 1,820929927000E-0281,9580 4,256880009824E-02 4,257122592839E-02 4,257989351739E-02 4,261462511000E-0298,0420 4,301263744153E-02 4,301417230995E-02 4,301965655189E-02 4,304163376000E-02114,0330 1,827565863894E-02 1,827547356803E-02 1,827481222201E-02 1,827216091000E-02129,6750 1,216203750319E-02 1,216186526640E-02 1,216124988995E-02 1,215878455000E-02144,3800 9,707634422416E-03 9,707487496478E-03 9,706962568334E-03 9,704859839000E-03156,2300 8,680170238472E-03 8,680036225506E-03 8,679557436432E-03 8,677639597000E-03161,2850 8,402298740299E-03 8,402168413015E-03 8,401702792790E-03 8,399837718000E-03164,0550 8,282804256263E-03 8,282675537265E-03 8,282215663363E-03 8,280373612000E-03167,0470 8,177582458868E-03 8,177455167318E-03 8,177000393595E-03 8,175178776000E-03170,1940 8,092065283418E-03 8,091939159622E-03 8,091488558189E-03 8,089683658000E-03173,3920 8,030334166894E-03 8,030208890227E-03 8,029761315510E-03 8,027968541000E-03176,3340 7,995140873449E-03 7,995016081286E-03 7,994570237654E-03 7,992784399000E-03180,0000 7,979573236820E-03 7,979448659331E-03 7,979003582712E-03 7,977220817000E-03
Como a diferença entre os valores das transmitâncias e reflectâncias fica quase
imperceptível através das tabelas 4.9 e 4.10, é apresentada a Figura (24), que compara as
transmitâncias e reflectâncias entre o modelo analítico e numérico para 5 volumes que é o
mais longe da convergência. Aumentando-se o número de volumes os erros ficam cada vez
menores e a representação gráfica é a da Figura (25).
A Figura (26) exibe a comparação entre transmitâncias e reflectâncias para os casos
analítico e numérico a 199 volumes. Percebe-se através da Figura (25) que o erro para 199
volumes é muito pequeno e que graficamente é quase imperceptível tal visualização.
55
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800,005
0,010
0,015
0,020
0,025
0,030
0,035
0,040
0,045
ANALÍTICO. NUMÉRICO A 5 VOLUMES.
Tran
smitâ
ncia
s e
Ref
lect
ânci
as
GRAUS
Figura 24 – Comparação das transmitâncias e reflectâncias entre o método
analítico e numérico a 5 volumes para o caso isotrópico 3.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
199 volumes. 150 volumes. 99 volumes. 50 volumes. 20 volumes. 10 volumes. 5 volumes.
Tran
smitâ
ncia
s e
Ref
lect
ânci
as
GRAUS
Figura 25 – Erros percentuais para o caso isotrópico 3.
56
0,01
0
45
90
135
180
0,01
Tra
nsm
itânc
ias
e R
efle
ctãn
cias
Reflectâncias - analítico. Transmitâncias - analítico. Reflectâncias - 199 volumes. Transmitâncias - 199 volumes.
Figura 26 – Comparação entre transmitâncias e reflectâncias para o caso
isotrópico 3.
Na direção incidente o erro em relação ao valor analítico é mostrado através da Figura
(26) no qual se percebe que após 50 volumes o erro fica muito próximo de zero.
0 50 100 150 200
-0,00035
-0,00030
-0,00025
-0,00020
-0,00015
-0,00010
-0,00005
0,00000
0,00005
ERRO NA DIREÇÃO INCIDENTE - 0°
[ ( T
MO
D - T
ANA)
/ T AN
A ] .
100
N° DE VOLUMES
Figura 27 – Erros na direção incidente 0°.
57
Análise do tempo de processamento:
Para realizar tais análises foram utilizadas as seguintes configurações:
1. Computador com 64 Mb e processador de 350MHz .
2. Computador Pentium 4, com 256 Mb e processador 2.8 GHz.
A Figura (28) corresponde aos tempos de processamento determinados em cada caso
teste para o computador de configuração Pentium 4 de 2.8 GHz. Observa-se uma variação
aproximadamente linear em função do número de volumes.
0 50 100 150 2000,0
0,2
0,4
0,6
0,8
ISOTRÓPICO 1 ISOTRÓPICO 2 ISOTRÓPICO 3
TEM
PO [s
]
n° de volumes
Figura 28 – Variação do tempo de processamento em relação ao n° de volumes
em todos os casos.
A Figura (29) corresponde aos mesmos casos tomados no computador da configuração 1
com processador de 350 MHz.
58
0 50 100 150 200
1
2
3
4
5
TEM
PO [
s ]
N° DE VOLUMES
ISOTRÓPICO 1. ISOTRÓPICO 2. ISOTRÓPICO 3.
Figura 29 – Comparação do tempo de processamento para todos os casos
isotrópicos para um computador de 350 MHz.
4.2.2 – DIFUSÃO ANISOTRÓPICA:
Nesta condição a função de fase não tem mais o valor unitário e utiliza - se a função
proposta por [Nicolau, 1994], que modifica a função de Henyey – Greenstein, acrescentando
valores de ponderações ( f1, f2 , g1 e g2 ), Eq.(4.4), descritos pela tabela 4.11. Os valores como
albedo, espessura óptica e coeficiente de extinção são os mesmos do caso isotrópico 1.
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )22,11,12 1,1,, fgpfgpffp jiHGjiHGji −+−+= µµµµµµ 4.4
Tabela 4.11 – Valores para os parâmetros específicos caso anisotrópico 1.
ALBEDO BETA [ 1/ m]
ESPESSURAÓPTICA
DIR. INCLIN. ESP. [ m ]
F 1 G 1 F 2
G 2
0,916 2.965 11,86 24 0° 0,004 0 0 1 0,9
A notação da tabela de valores de transmitâncias e reflectâncias segue a mesma dos
casos isotrópicos, desta forma as tabelas 4.12 e 4.13 fornecem os valores para os vários
números de volumes no método numérico e valor analítico.
59
Tabela 4.12 – Valores das transmitâncias e reflectâncias em anisotrópico 1.
GRAUS ANALÍTICO 199 VOLUMES 150 VOLUMES 99VOLUMES 0,000 1,21640192712E-01 1,21621906197E-01 1,21608040493E-01 1,21566489539E-013,666 1,18211976058E-01 1,18199959045E-01 1,18190850404E-01 1,18163530857E-016,608 1,14679899158E-01 1,14670415375E-01 1,14663230987E-01 1,14641678792E-019,806 1,09935402157E-01 1,09928241024E-01 1,09922821422E-01 1,09906560836E-0112,953 1,04619446745E-01 1,04614128991E-01 1,04610110356E-01 1,04598051827E-0115,945 9,92220315321E-02 9,92181151602E-02 9,92151617862E-02 9,92062990401E-0218,715 9,41712103046E-02 9,41683347299E-02 9,41661726538E-02 9,41596841017E-0223,77 8,60139936166E-02 8,60123715745E-02 8,60111627744E-02 8,60075346701E-0235,62 6,45645025271E-02 6,45644667458E-02 6,45644655561E-02 6,45644617156E-0250,325 4,33767465698E-02 4,33769953874E-02 4,33772132026E-02 4,33778667507E-0265,967 2,76163590746E-02 2,76164675709E-02 2,76165791515E-02 2,76169139462E-0281,958 1,55545301947E-02 1,55545214163E-02 1,55545368201E-02 1,55545830312E-0298,042 2,75998940198E-02 2,75998719573E-02 2,75998772617E-02 2,75998931759E-02114,033 2,76815967424E-02 2,76815720882E-02 2,76815824640E-02 2,76816135926E-02129,675 2,38211625970E-02 2,38211449422E-02 2,38211602241E-02 2,38212060755E-02144,38 2,06559521977E-02 2,06559385975E-02 2,06559543199E-02 2,06560014958E-02156,23 1,92330651272E-02 1,92330522633E-02 1,92330667398E-02 1,92331101779E-02161,285 1,88484823387E-02 1,88484695587E-02 1,88484836037E-02 1,88485257468E-02164,055 1,86464443968E-02 1,86464316207E-02 1,86464454149E-02 1,86464868054E-02167,047 1,84436412593E-02 1,84436284729E-02 1,84436420237E-02 1,84436826839E-02170,194 1,82740773482E-02 1,82740645412E-02 1,82740778786E-02 1,82741178981E-02173,392 1,81498241544E-02 1,81498113251E-02 1,81498244985E-02 1,81498640263E-02176,334 1,80706658410E-02 1,80706529958E-02 1,80706660693E-02 1,80707052971E-02180,000 1,80143658452E-02 1,80143529919E-02 1,80143660140E-02 1,80144050879E-02
60
Tabela 4.13 – Valores das transmitâncias e reflectâncias em anisotrópico 1.
GRAUS 50VOLUMES 20 VOLUMES 10 VOLUMES 5 VOLUMES 0,000 1,21352735450E-01 1,19903948537E-01 1,15466009371E-01 1,10474266932E-013,666 1,18022417766E-01 1,17039838100E-01 1,13710418828E-01 1,09803800611E-016,608 1,14530258344E-01 1,13749787960E-01 1,11038293648E-01 1,08054747620E-019,806 1,09822436651E-01 1,09230277875E-01 1,07130261378E-01 1,05407657766E-0112,953 1,04535635610E-01 1,04094767214E-01 1,02508311366E-01 1,02022252609E-0115,945 9,91604078534E-02 9,88354538342E-02 9,76536492257E-02 9,82197033209E-0218,715 9,41260767732E-02 9,38876342514E-02 9,30131446242E-02 9,44072980376E-0223,77 8,59887332430E-02 8,58548657884E-02 8,53565664020E-02 8,77381202795E-0235,62 6,45644353383E-02 6,45639362835E-02 6,45574329612E-02 6,78589016578E-0250,325 4,33812486360E-02 4,34050927800E-02 4,34903899113E-02 4,60620202527E-0265,967 2,76186464061E-02 2,76308622244E-02 2,76746009986E-02 2,91981436373E-0281,958 1,55548219770E-02 1,55564981821E-02 1,55623787062E-02 1,68926354206E-0298,042 2,75999754931E-02 2,76005542940E-02 2,76026025619E-02 2,77326966703E-02114,033 2,76817745881E-02 2,76829057013E-02 2,76868962417E-02 2,80578250743E-02129,675 2,38214433055E-02 2,38231141988E-02 2,38290651442E-02 2,43799956086E-02144,38 2,06562456493E-02 2,06579687165E-02 2,06641564886E-02 2,12319392860E-02156,23 1,92333349939E-02 1,92349219416E-02 1,92406263107E-02 1,97978708780E-02161,285 1,88487438603E-02 1,88502834712E-02 1,88558173232E-02 1,94093635969E-02164,055 1,86467010231E-02 1,86482130886E-02 1,86536472485E-02 1,92048562386E-02167,047 1,84438931208E-02 1,84453784480E-02 1,84507157220E-02 1,89996730194E-02170,194 1,82743250180E-02 1,82757868789E-02 1,82810390058E-02 1,88279445387E-02173,392 1,81500685997E-02 1,81515124416E-02 1,81566991214E-02 1,87019766904E-02176,334 1,80709083181E-02 1,80723411742E-02 1,80774879493E-02 1,86217756942E-02180,000 1,80146073116E-02 1,80160345289E-02 1,80211608701E-02 1,85650147049E-02
As tabelas 4.12 e 4.13 nos mostram que à medida que se aumenta o numero de volumes,
o valor numérico converge para o valor analítico e de forma análoga, quanto menor a
quantidade de volumes mais imprecisos serão os resultados. A Figura (30) mostra a
comparação entre os valores de transmitâncias e reflectâncias para o método analítico e o
método numérico com apenas 5 volumes sendo o mais distante da convergência e a
Figura(31) nos mostra o gráfico dos erros que confirma a convergência citada acima.
61
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1800,00
0,02
0,04
0,06
0,08
0,10
0,12
0,14
NUMÉRICO A 5 VOLUMES. ANALÍTICO.
Tran
smitâ
ncia
s e
Ref
lect
ânci
as
GRAUS
Figura 30 – Comparação entre transmitâncias e reflectâncias entre o modelo
analítico e numérico a 5 volumes no caso anisotrópico 1.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1801E-7
1E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
1
10
199 volumes 150 volumes 99 volumes 50 volumes 20 volumes 10 volumes 5 volumes[ (
TR M
OD -
TR AN
A ) /
TRAN
A ] *
100
ÂNGULO
Figura 31 – Erros percentuais para o caso anisotrópico 1.
A Figura (32) compara o método analítico e o método numérico a 199 volumes
mostrando que não há quase diferença entre os valores de transmitâncias e reflectâncias
tomados em ambos os métodos. Já na Figura (33) são exibidos os erros na direção incidente.
62
1E-3
0,01
0,1
0
45
90
135
180
1E-3
0,01
0,1
Tra
nsm
itânc
ias
e R
efle
ctân
cias
Reflectâncias - analítico. Transmitâncias - analítico. Transmitâncias - 199 volumes. Reflectâncias - 199 volumes.
Figura 32 – Transmitâncias e Reflectâncias para o caso anisotrópico 1.
Na Figura (33) são exibidos os erros na direção de incidência 0°.
0 50 100 150 200
-12
-10
-8
-6
-4
-2
0 ERRO NA DIREÇÃO INCIDENTE 0°.
[ ( T
MO
D - T
ANA )
/ T AN
A ] .1
00
N° DE VOLUMES
Figura 33 – Erros na direção de incidência no caso anisotrópico 1.
63
Neste caso, a função de fase é a mesma descrita no caso anterior pela Eq.(4.4). Os
valores de albedo, espessura óptica, coeficiente de extinção são os mesmos do caso anterior
e as ponderações ( f1, f2 , g1 e g2 ) são diferentes e descritos pela tabela 4.14.
Tabela 4.14 – Valores para os parâmetros específicos do caso anisotrópico 2.
ALBEDO BETA [ 1/m]
ESPESSURA.ÓPTICA
DIR. INCLIN.[ ° ]
ESPES.[m]
F 1 G 1 F 2
G 2
0,916 2.965 11,86 24 0 0,004 0,975 0,918 0,9 -0,9
Os valores de transmitâncias e reflectâncias bidirecionais hemisféricas são exibidos nas
tabelas 4.15 e 4.16 em função do número de volumes utilizados pelo método numérico.
Mantém-se a notação dos casos anteriores.
Tabela 4.15 – Valores das transmitâncias e reflectâncias para anisotrópico 2.
N° DE VOLUMES graus analitico 199volumes 150 vol 99 volumes 0,000 7,43437626152E-02 7,43229369938E-02 7,43071844725E-02 7,42599787929E-02 3,666 7,02093758779E-02 7,01962922344E-02 7,01864149862E-02 7,01567910272E-02 6,608 6,65151340594E-02 6,65054647984E-02 6,64981811304E-02 6,64763308620E-02 9,806 6,21702705445E-02 6,21633191451E-02 6,21581005826E-02 6,21424428273E-02 12,953 5,77789785355E-02 5,77739752827E-02 5,77702373174E-02 5,77590207436E-02 15,945 5,36768619990E-02 5,36732195589E-02 5,36705160037E-02 5,36624028364E-02 18,715 5,00275595598E-02 5,00248715933E-02 5,00228936925E-02 5,00169578766E-02 23,77 4,48348338701E-02 4,48332376927E-02 4,48320900195E-02 4,48286454988E-02 35,62 3,21462508766E-02 3,21458484991E-02 3,21456096679E-02 3,21448927722E-02 50,325 2,18627341586E-02 2,18625100193E-02 2,18624076132E-02 2,18621001994E-02 65,967 1,46354238586E-02 1,46351429941E-02 1,46349931838E-02 1,46345435713E-02 81,958 8,97302318606E-03 8,97277563572E-03 8,97263434496E-03 8,97221035130E-03 98,042 5,62615106480E-02 5,62614589273E-02 5,62614664871E-02 5,62614891687E-02 114,033 5,71372164162E-02 5,71371501277E-02 5,71371634268E-02 5,71372033265E-02 129,675 5,42118957156E-02 5,42118333518E-02 5,42118539310E-02 5,42119156746E-02 144,38 5,46086259809E-02 5,46085717524E-02 5,46085975873E-02 5,46086751028E-02 156,23 6,22949364828E-02 6,22948873241E-02 6,22949156477E-02 6,22950006308E-02 161,285 6,97494864325E-02 6,97494385798E-02 6,97494675257E-02 6,97495543759E-02 164,055 7,67789321096E-02 7,67788849861E-02 7,67789142888E-02 7,67790022094E-02 167,047 8,81969940742E-02 8,81969476295E-02 8,81969772641E-02 8,81970661801E-02 170,194 1,08234396193E-01 1,08234350324E-01 1,08234380236E-01 1,08234469985E-01 173,392 1,45471184048E-01 1,45471138611E-01 1,45471168728E-01 1,45471259094E-01 176,334 2,05742363885E-01 2,05742318709E-01 2,05742348953E-01 2,05742439695E-01 180,000 2,70226625242E-01 2,70226580228E-01 2,70226610559E-01 2,70226701564E-01
64
Tabela 4.16 – Valores das transmitâncias e reflectâncias para anisotrópico 2.
50 VOLUMES 20 VOLUMES 10 VOLUMES 5 VOLUMES 7,40171221435E-02 7,23707516771E-02 6,73375808628E-02 5,75902142423E-027,00037959416E-02 6,89395047393E-02 6,53497143681E-02 5,70929737017E-026,63633635024E-02 6,55717847094E-02 6,28185173582E-02 5,59033758400E-026,20614288823E-02 6,14907555265E-02 5,94609451629E-02 5,42010771773E-025,77009569158E-02 5,72905554462E-02 5,58094062582E-02 5,20533209298E-025,36203905525E-02 5,33227836133E-02 5,22384197922E-02 4,97024384349E-024,99862137228E-02 4,97680966814E-02 4,89681572801E-02 4,73729617146E-024,48107982371E-02 4,46838584727E-02 4,42132864945E-02 4,37401653623E-023,21411761371E-02 3,21146383120E-02 3,20147391995E-02 3,27117174110E-022,18605059057E-02 2,18490959822E-02 2,18057825025E-02 2,23683127899E-021,46322143147E-02 1,46156647596E-02 1,45546352990E-02 1,46591459823E-028,97001501558E-03 8,95447396083E-03 8,89796861122E-03 1,02937571770E-025,62616065005E-02 5,62624319714E-02 5,62653595831E-02 5,63545658100E-025,71374097027E-02 5,71388604777E-02 5,71439903717E-02 5,76382850582E-025,42122350888E-02 5,42144829420E-02 5,42224626481E-02 5,49716002108E-025,46090761810E-02 5,46119022156E-02 5,46219855622E-02 5,55056865297E-026,22954403588E-02 6,22985392525E-02 6,23096043612E-02 6,33438802223E-026,97500037637E-02 6,97531706820E-02 6,97644781352E-02 7,08865792678E-027,67794571341E-02 7,67826630058E-02 7,67941087151E-02 7,79859322464E-028,81975262539E-02 8,82007683170E-02 8,82123420265E-02 8,94944940188E-021,08234934364E-01 1,08238206652E-01 1,08249886769E-01 1,09643877597E-011,45471726665E-01 1,45475021333E-01 1,45486779881E-01 1,46994782090E-012,05742909211E-01 2,05746217507E-01 2,05758023663E-01 2,07328540259E-012,70227172441E-01 2,70230490280E-01 2,70242329951E-01 2,71824034182E-01
As tabelas 4.15 e 4.16 mostram que se aumentando o número de volumes, os resultados
obtidos pelo método numérico convergem para o valor analítico. A Figura (34) mostra a
comparação entre os valores de transmitâncias e reflectâncias para o método analítico
utilizado pelo autor e o método numérico com apenas 5 volumes sendo o mais distante da
convergência e mesmo assim apresentando resultados satisfatórios. Na Figura (35) são
apresentados os erros para cada número de volumes do método numérico em relação ao
método analítico.
65
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
0,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
Analítico. Numérico a 5 volumes.
Tran
smitâ
ncia
s e
Ref
lect
ânci
as
graus
Figura 34 – Comparação entre transmitâncias e reflectâncias para o caso
anisotrópico 2.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 1801E-6
1E-5
1E-4
1E-3
0,01
0,1
1
10
ERRO199 ERRO150 ERRO99 ERRO50 ERRO20 ERRO10 ERRO5[ (
TR M
OD -
TR AN
A ) /
TRAN
A ] *
100
ÂNGULO
Figura 35 – Erros percentuais para cada número de volumes no caso anisotrópico 2.
66
A Figura (36) compara o método analítico e o método numérico a 199 volumes mostrando
que para os valores de transmitâncias e reflectâncias não há diferença perceptível
visualmente em ambos os métodos. Já na Figura (37) são exibidos os erros na direção de
incidência 0°.
1E-3
0,01
0,1
0
45
90
135
180
1E-3
0,01
0,1
Tra
nsm
itânc
ias
e R
efle
ctân
cias
Transmitâncias - analítico. Reflectâncias - analítico. Transmitâncias - 199 volumes. Reflectâncias - 199 volumes.
Figura 36 – Reflectâncias e Transmitâncias em anisotrópico 2.
0 50 100 150 200-25
-20
-15
-10
-5
0
ERROS NA DIREÇÃO INCIDENTE - 0°
[ ( T
MO
D - T
ANA )
/ T AN
A ] .1
00
N° DE VOLUMES
Figura 37 – Erros na direção de incidência para o caso anisotrópico 2.
67
Análise do tempo de processamento nos casos anisotrópicos:
Para realizar tais análises foram utilizadas as mesmas configurações dos casos
isotrópicos, assim as Figuras (38) e (39) exibem o tempo gasto em ambos os casos e em cada
configuração computacional.
0 50 100 150 200
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
ANISOTRÓPICO 1 ANISOTRÓPICO 2
Tem
po [
s ]
n° de volumes
Figura 38 – Comparação entre o tempo computacional despendido
Para ambos os casos anisotrópicos em um PC com 2.8 GHz .
0 50 100 150 200
1
2
3
4
5
Tem
po [
s ]
Nº DE VOLUMES
ANISOTRÓPICO 1. ANISOTRÓPICO 2.
Figura 39 – Comparação entre o tempo computacional despendido
Para ambos os casos anisotrópicos em um PC com 350 MHz.
68
CONCLUSÃO
Apresentou-se neste trabalho um estudo dos meios semitransparentes (MST), meios que
absorvem, difundem e emitem a radiação. Baseado em várias referências bibliográficas,
desenvolveu-se uma metodologia para a solução da Equação de Transferência Radiativa,
(ETR), em geometria unidimensional, na qual foram analisadas para o campo de
intensidades radiativas, as condições de simetria azimutal e de não simetria azimutal.
Para tal utilizou-se uma formulação analítica que, combinada ao método das ordenadas
discretas, representa o campo de intensidades em duas partes, ou seja, colimado e difuso,
transformando assim a equação de transferência radiativa em um conjunto de equações
diferenciais de primeira ordem não homogêneas, nas quais, utilizando-se autovalores e
autovetores, resultam em uma formulação geral quando não há inclinação do feixe de
radiação incidente.
Foi realizada uma formulação analítica para a condição de inclinação do feixe de
radiação incidente e nesta condição foi reescrito o campo de intensidades em termos de série
de Fourier e a função de fase em termos de polinômios de Legendre, que transforma um
problema sem a condição de simetria azimutal do campo de intensidades em uma série de
problemas com simetria azimutal. Assim para o caso que utiliza funções delta de Dirac, são
apresentadas as equações que descrevem o campo de intensidades radiativas bem como a
transmitância.
Casos teste combinando-se isotropia e anisotropia foram analisados, comparando-se os
resultados da formulação analítica com um método numérico que combina o método das
ordenadas discretas e a técnica dos volumes finitos. Deste modo, percebe-se que para os
casos teste apresentados a formulação se mostra poderosa em avaliar as transmitâncias e
reflectâncias variando-se de meios não difusores a difusores, apresentando ou não isotropia.
Foram apresentadas análises de erros relativos a variação do número de volumes
utilizado pelo método numérico, nos quais se percebe resultados muito próximos mesmo
para poucos volumes, tornando assim o método confiável na descrição das transmitâncias e
reflectâncias. Análises de tempo computacional despendido para a realização dos casos teste
também estão presentes, nas quais se percebe uma variação linear do tempo de
processamento com o número de volumes adotado.
69
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76
Apêndice A
OPERADORES DIFERENCIAIS
OPERADORES DIFERENCIAIS:
Neste apêndice veremos as expressões do gradiente, divergente,
rotacional e Laplaciano nos sistemas de coordenadas cartesiano ortogonal,
cilíndricas e esféricas.
1 – Vetor Gradiente ∇:
Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais um ponto fica
determinado pelas coordenadas (x,y,z), definindo-se o operador vetorial ∇
(nabla) determinado por:
∇ = i ( ∂ )+ x∂/ ( ) )/(/ zkyj ∂∂+∂∂ ...................................................................1.1
No caso de uma função qualquer &, o gradiente de & será:
∇ & = i ( ∂ ) + x∂/& ( ) )/&(/& zkyj ∂∂+∂∂ .......................................................1.2 0
Passando a um sistema de coordenadas cilíndricas, temos que:
r 2 = x2 y2⊕
xyarctg=θ e z = z
θθ sencos ryerx == ..........................................................................................1.3
Precisamos transformar as derivadas parciais para o novo sistema, assim:
77
∂ /∂ x =(∂R /∂ x). ∂ /∂ R + (∂θ /∂ x). ∂ /∂θ +(∂z /∂ x). ∂ /∂ z
∂ /∂ y =(∂R /∂ y). ∂ /∂ R + (∂θ /∂ y). ∂ /∂θ +(∂z /∂ y). ∂ /∂ z
∂ /∂ z =(∂R /∂ z). ∂ /∂ R + (∂θ /∂ z). ∂ /∂θ +(∂z /∂ z). ∂ /∂ z ..............................A1.4
Calculando-se em separado cada derivada parcial, temos que:
∂ /∂ x = cosθ ∂ /∂ R –[ sin θ / R ] ∂ /∂θ
∂ /∂ y = sin θ ∂ /∂ R + [ cos θ / R ] ∂ /∂θ
∂ /∂ z = ∂ /∂ z...................................................................................................A1.5
Trocando as expressões acima na expressão do vetor gradiente, temos que
perceber que a base do R3 agora está em função de (R, θ , k), de tal forma que:
R = cosθ i + sin θ j
θ = - sin θ i + cosθ j
e obviamente k =k. ..........................................................................................A1.6
Assim o operador nabla em coordenadas cilíndricas se torna:
∇ = R [∂ /∂ R] + θ [ 1/R . ∂ /∂θ ] + k ∂ /∂ z.......................................................A 1.7
De forma análoga, vamos definir o vetor gradiente para um sistema com
coordenadas esféricas, lembrando que:
R2 = x2 + y2 + z2
θ =arctg [ (x2 + y2 )1/2 ]/ z e z = arctg (y / x )
x = R sinθ cos φ; y = R. sinθ sin φ e z = R cos θ............................................A1.8
Precisamos transformar as derivadas parciais adequando-as ao novo sistema,
assim:
∂ /∂ x =(∂R /∂ x). ∂ /∂ R + (∂θ /∂ x). ∂ /∂θ +(∂φ /∂ x) ∂ /∂ z
∂ /∂ y =(∂R /∂ y). ∂ /∂ R + (∂θ /∂ y). ∂ /∂θ +(∂φ /∂ y). ∂ /∂ z
∂ /∂ z =(∂R /∂ z). ∂ /∂ R + (∂θ /∂ z). ∂ /∂θ + (∂φ /∂ z). ∂ /∂ z .......................A1.9 Calculando-se em separado cada derivada parcial, temos que:
78
∂ /∂ x = sinθ cosφ ∂ /∂ R + [ (cos θ cosφ) / R ] ∂ /∂θ - [ (sinφ / R sinθ ) ∂ /∂ φ ]
∂ /∂ y = sinθ sin φ ∂ /∂ R + [ (cos θ sinφ) / R ] ∂ /∂θ - [ (cosφ / R sinθ ) ∂ /∂ φ ]
∂ /∂ z = cos θ ∂ /∂ R – [ sinθ / R ] ∂ /∂θ...........................................................A1.10
Trocando as expressões acima na expressão do vetor gradiente, temos que
perceber que a base do R3 agora está em função de (R, θ , φ), de tal forma que:
R = sinθ cosφ i + sinθ sin φ j + cos θ k
θ = cos θ cosφ i + cosθ sin φ j – sin θ k
φ = – sinφ i + cos φ j .....................................................................................A1.11
Assim o operador em coordenadas esféricas se torna:
∇ = R [∂ /∂ R] + θ [ 1/R . ∂ /∂θ ] + φ [ 1 / R sinθ ] ∂ /∂ φ ..............................A 1.12
DIVERGENTE: É definido como o produto escalar entre o vetor ∇ e o vetor U.
Deste modo segue –se que :
[ CARTESIANAS ]
∇ . U = [(∂ Ux /∂ x)+ (∂ Uy / ∂ y)+ (∂Uz /∂ z) ].................................................A1.13
[CILÍNDRICAS]
∇ . U = [ 1/R . ∂ (R.U r) /∂R ]+ [1/R . ∂ Uθ /∂θ ] +(∂Uz /∂ z)............................A 1.14
[ESFÉRICAS]
∇ . U = [1/R2.∂ (R2.Ur) /∂R ]+ [1/R sin θ. ∂(sinθ Uθ) /∂θ ] + [ 1 / R sin θ .(∂Uφ /∂φ)]
......................................................................................................................A 1.15
Obs.: A construção do divergente em coordenadas cilíndricas e esféricas só é
obtida após se resolverem derivadas parciais entre os elementos da base do R3.
79
VETOR ROTACIONAL:
É definido como o produto vetorial entre os vetores ∇ e U. Deste modo:
[CARTESIANAS] i j k
∂ /∂ x ∂ /∂ y ∂ /∂ z
Ux Uy Uz
∇ x U =
Resolvendo através da regra de determinantes de terceira ordem:
∇ x U =i (∂Uz /∂y - ∂Uy /∂z )+j (∂ Ux/∂ z - (∂ Uz/∂ x)+k(∂Uy /∂ x - ∂Ux /∂ y)..A1.16
[ CILINDRICAS ]
R θ k
∂ /∂ R (1/R)∂ /∂θ ∂ /∂ z
UR Uθ Uz
∇ x U =
∇ x U = R [ (1/R).∂Uz /∂θ - ∂ Uθ /∂z ] + θ [∂ UR/∂ z - (∂ Uz /∂ R)]+ k [(∂R Uθ /∂ R -
∂UR /∂ θ). 1 / R ] ...........................................................................................A 1.17
[ ESFÉRICAS]
∇ x U =
R θ Φ
∂ /∂ R (1/R)∂ /∂θ (1 / R sin θ). ∂ /∂ Φ
UR Uθ UΦ
∇ x U = R (1/R sin θ) [.∂(sin θ UΦ) /∂θ - ∂ Uθ /∂Φ ] + θ [(1/ sin θ) ∂ UR/∂ Φ –
(∂ R UΦ /∂ R)] (1/R) + Φ [(∂R Uθ /∂ R - ∂UR /∂ θ). 1 / R].............................A 1.18
80
Apêndice B
DEDUÇÃO DA ETR POR BALANÇO DE ENERGIA
Considere um feixe de radiação que se propaga dentro de uma certa direção
Ω para dentro de um material semitransparente .
Figura B1- Material semi transparente no qual incide um feixe de radiação
na direção normal ao elemento de área.
B.1 Perda por Absorção:
O fluxo de energia que é absorvido pelo meio por unidade de superfície ∆S, normal a
direção de propagação Ω, por unidade de comprimento de onda λ com freqüência ν
na direção Ω e uma distância ∆L é dada por:
∆Ω=
msrmW
absabs SSIqµ
σ 2).,(.r
(B.1)
81
B.2 Ganho por Emissão:
A emissão é uniforme dentro do espaço esférico do cilindro que o contorna em função
da temperatura T, dada por:
( )
∆=
msrmW
absem SSTIqµ
σ 2).(. 0r (B.2)
B.3 Perda por Difusão:
Um meio difusor é um meio formado por partículas, fibras ou uma certa estrutura
porosa aonde o índice de refração é diferente da superfície que a contorna. Assim:
∆Ω=
msrmW
difDif SSIqµ
σ 2).,(.r
[B.3)
B.4 Ganho por Difusão:
Sempre que um feixe de radiação incidir na amostra através de uma direção Ω’ no
elemento de volume dA.dS, haverá ganho na direção Ω. Sabendo que θcos
S∆ é o
comprimento do caminho percorrido dentro da amostra e θcos.A∆ é a área de difusão
projetada, temos:
( ) ''* ),(, ∆ΩΩΩ∆Ω= νσ PSSIg difDifr
(B.4)
B.5 BALANÇO DE ENERGIA:
( ) ( )[ ] [ ]
[ ] ( ) ( ) ''*
4
'
0
,,41,
,
'
Ω∆∆∆∆+∆∆−
−∆∆−∆=−∆+
∫=Ω
dPssLssL
ssLssTLLLL
vvsvvsv
Vavvavvvv
π
σπ
σ
σσ
(B.5)
Dividindo tudo por ∆S e tomando o limite quando ∆S tende a zero:
82
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )
Ω→+=
ΩΩΩΩ+
+Ω−=Ω
∫
direçãoumaparaéequaçãoEstaextinção
dPsL
sLsTLds
sdL
svav
vvsv
vvavv
σσβπ
σ
βσ
π
''*
4
'
0
,,4
,,
[B.6)