equação da continuidade

Deformacao e MovimentoDescricao Espacial × Descricao Material

Conservacao de Massa

Equacao da Continuidade

Marcio Antonio de Andrade Bortoloti

Departamento de Ciencias Exatas e Tecnologicas - DCETUniversidade Estadual do Sudoeste da Bahia

Matematica Aplicada

Marcio Bortoloti Equacao da Continuidade



Sumario

1 Deformacao e MovimentoDeformacaoMovimento

2 Descricao Espacial × Descricao Material

3 Conservacao de Massa




DeformacaoMovimento

Deformacao

Definicao: Considere um corpo B. Definimos uma deformacao de B como o mapeamentoinjetivo suave

f : B → B ⊂ Eonde B ⊂ E e fechado e

det∇f > 0. O que ocorreria se det∇f ≤ 0 ?(Exercıcio)

O vetoru(p) = f(p)− u

representa o deslocamento de p (p e chamado ponto mate-rial).Quando u e constante, f e uma translacao, neste caso,

f(p) = p + u.

O tensor F(p) = ∇f(p) e chamado gradiente de de-formacao.




DeformacaoMovimento

Movimento

Definicao: Seja B um corpo. Um movimento de B e definido como uma funcao declasse C3 da forma

x : B × R→ E

com x(·, t), para cada t fixado, uma deformacao de B.Quando nao houver confusao, escreveremos

x = x(p, t)

como o lugar ocupado por um ponto p em um tempo t e escreveremos

Bt = x(B, t)

para a regiao do espaco ocupada pelo corpo no tempo t.




DeformacaoMovimento


Definimos trajetoria como o conjunto

T = (x, t); x ∈ Bt, t ∈ R.

A cada t, x(·, t) e uma bijecao entre B e Bt. Logo possui uma inversa

p(·, t) : Bt → B

tal quex(p(x, t), t) = x p(x(p, t), t) = p.

Dado (x, t) ∈ T ,p : T → B

define o mapa de referencia do movimento.




DeformacaoMovimento

Velocidade e Aceleracao

Definiremos velocidade como sendo

x(p, t) =∂

∂tx(p, t)

e aceleracao como

x(p, t) =∂2

∂t2x(p, t).

Usando o mapeamento p podemos descrever a velocidade x(p, t) como uma funcaov(x, t). Especificamente,

v : T → Vdefinida por

v(x, t) = x(p(x, t), t).

Neste caso, v e chamada descricao espacial da velocidade. O vetor v e a velocidadedo ponto material que ocupa a posicao x em um tempo t.




Descricao Espacial × Descricao Material

Observamos que qualquer campo associado a um movimento pode ser expressocomo uma funcao do ponto material p e tempo, t, com domınio em B ×R ou comofuncao da posicao e tempo com domınio T .

Um campo material e uma funcao com domınio B × R, isto e, analisa-se aevolucao de seu valor ao longo do caminho de um ponto material;Um campo espacial e uma funcao com domınio T , ou seja, analisa-se seu valorem ponto fixo na atual configuracao do corpo.

Definicao: Uma descricao espacial Φs de um campo material (p, t) 7→ Φ(p, t) edefinida por

Φs(x, t) = Φ(p(x, t), t)

e a descricao material de um campo espacial (x, t) 7→ Ω(x, t) e definida por

Ωm(p, t) = Ω(x(p, t), t).

Nota-se que (Φs)m = Φ e (Ωm)s = Ω.Marcio Bortoloti Equacao da Continuidade




Dado um campo material Φ nos escrevemos

Φ(p, t) =∂

∂tΦ(p, t)

para representar a derivada material no tempo e

∇Φ(p, t) = ∇pΦ(p, t)

para o gradiente material de Φ.Em particular, o campo material

F = ∇x

e o gradiente de deformacao em um movimento x.





Similarmente, dado um campo espacial Ω nos escrevemos

Ω′(x, t) =∂

∂tΩ(x, t)

para a derivada no tempo na descricao espacial e

grad Ω(x, t) = ∇xΩ(x, t)

para o gradiente espacial de Ω. Algumas vezes a descricao material e chamada de DescricaoLagrangeana e a descricao espacial de Descricao Euleriana.

Campo Material Φ Campo Espacial Ω

Domınio B × R TArgumentos Ponto Material p e tempo t Posicao x e tempo tGradiente ∇Φ grad Ω

Derivada no tempo Φ Ω′





Proposicao: Seja u um campo vetorial suave na descricao espacial. Entao

∇(um) = ( grad u)mF

onde F e o gradiente de deformacao.Prova: Por definicao

um(p, t) = u(x(p, t), t) = u(·, t) x(·, t).

Pela Regra da Cadeia

∇(um) = ( grad u)m∇x = ( grad u)mF.





Proposicao: Seja F o gradiente de deformacao. Entao

F = ( grad v)mF

Prova:Como x ∈ C3 temos

F(p, t) =∂

∂tF(p, t) =

∂

∂t∇x(p, t) = ∇x(p, t) = ∇vm(p, t) = ( grad v)mF.





Uma das mais importantes propriedades de corpos e que eles possuem massa.

Nesse estudo vamos considerar corpos cuja massa esteja continuamentedistribuida.

Mesmo que um corpo esteja sob severa deformacao, sua massa e a integral deum campo de densidade , isto e, dado qualquer deformacao f , existe umacampo de densidade ρf sobre f(B) tal que a massa m(P) de qualquer parte Pde B e dada por

m(P) =

∫f(P)

ρf dV.





Uma distribuicao de massa para B e definida como uma famılia de campos dedensidade suaves

ρf : f(B)→ R+,

uma para cada deformacao f , tal que,∫f(P)

ρf dV =

∫g(P)

ρg dV = m(P)

para qualquer parte P de B e todas deformacoes f e g.

O numero ρf (x) representa a densidade em um ponto x ∈ f(B) para umadeformacao f .

A equacao acima expressa a conservacao de massa.





Vamos denotar por ρ0 o campo de densidade ρf quando f(p) = p para todop ∈ B.

Logo ρ0(p) denota a densidade em p quando o corpo esta na posicao dereferencia.

Pelo Teorema da Localizacao tem-se

ρ0(p) = limδ→0

m(Ωδ)

vol(Ωδ).





Teorema: Seja f uma deformacao de B, e seja φ um campo escalar contınuo sobref(B). Entao dado qualquer P ⊂ B tem-se∫

f(P)φ(x) dVx =

∫Pφ(f(p)) det F(p) dVp.

Observacao: Dado P ⊂ B, tem-se

vol (f(P)) =

∫f(P)

dV =

∫P

det F dV.

Pelo Teorema da Localizacao temos, para p ∈ Ωδ,

det F(p) = limδ→0

vol (f(Ωδ))

vol (Ωδ).





Nota-se que det F representa o volume apos uma deformacao por unidade dovolume original, ou seja,

det F(p) = limδ→0

vol (f(Ωδ))

vol (Ωδ).

Definicao: Dizemos que f e isocorica, ou seja, preserva volume, se para qualquerP ⊂ B tivermos

vol (f(P)) = vol (P).

Proposicao: Uma deformacao e isocorica se e somente se det F = 1.





Teorema: Seja f uma deformacao de B e seja F = ∇f . Entao

ρf (x) det F(p) = ρ0(p)

com x = f(p).Prova:

Da conservacao de massa temos∫f(P)

ρf dV =

∫g(P)

ρg dV

De onde segue que ∫f(P)

ρf (x) dV =

∫Pρ0(p) dV

A integral do lado esquerdo pode ser reescrita como





∫f(P)

ρf (x) dV =

∫Pρf (f(p)) det F(p) dVp (Exercıcio)

Logo, podemos obter∫Pρf (f(p)) det F(p) dVp =

∫Pρ0(p) dVp

Ou seja, ∫P

[ρf (f(p)) det F(p)− ρ0(p) dVp] = 0

Pelo Teorema da Localizacao temos

ρf (x) det F(p)− ρ0(p) = 0





Teorema: Para qualquer P ⊂ B e qualquer tempo t > 0,

d

dt

∫Pt

ρ dV = 0.

Prova:A prova segue direto do Princıpio da Conservacao de Massa.

Teorema (Conservacao de Massa Local) : Assumindo que ρ e um campo dedensidade e v um campo de velocidade, ambos, suficientemente regulares, tem-se

ρ+ ρ divv = 0 e ρ′ + div(ρv) = 0.

Prova :Sabe-se que

ρdet F = ρ0





Logoρdet F + ρ(det F) = 0

Temos que (det S) = (det S) tr (SS−1) (Exercıcio) implica em

(det F) = (det F) tr (FF−1) = (det F) tr(

( grad v)mFF−1)

= (det F) tr ( grad v)m

= (det F)divv

Assim temosρdet F + ρdet F divv = 0.

Portantoρ+ ρ divv = 0.





Antes de mostrar que ρ′ + div(ρv) = 0, vamos estabelecer um resultadoimportante.Proposicao: Sejam φ e u campos suaves na descricao espacial. Entao

φ = φ′ + v · gradφ.

Prova:

φ(x, t) =∂

∂tφ(x(p, t), t)|p=p(x,t) = [ gradφ(x, t)] · x(p(x, t)) + φ′(x, t)

= v(x, t) · gradφ(x, t) + φ′(x, t)





De volta ao teorema, vamos mostrar que ρ′ + div(ρv) = 0. Pelo resultado anteriortemos

ρ = ρ′ + v · grad ρ ou ρ′ = ρ− v · grad ρ

Como ja mostramos que ρ+ ρdivv = 0 segue que

ρ′ = −ρdivv − v · grad ρ = −div (ρv)

Assim,ρ′ + div(ρv) = 0.





Exercıcios:1 Seja L = grad v. Defina D = (L + LT )/2 e W = (L− LT )/2. Mostre que em um movimento

planoWD + DW = (div v)W.

2 Mostre que F = ( grad v)mF.

3 Mostre que

v = v′ +1

2grad (v · v) + 2Wv

4 Mostre que as seguintes afirmacoes sao equivalentes:

a) x e isocorico;b) (det F) = 0;c) divv = 0;d) Para toda parte P e um tempo t∫

∂Pt

v · n dA = 0


equação da continuidade

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