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HIDRÁULICA I – 1 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS HIDRÁULICA I Resoluções dos problemas

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HIDRÁULICA I – 1

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL E ARQUITECTURA

SECÇÁO DE HIDRÁULICA E RECURSOS HÍDRICOS E AMBIENTAIS

HIDRÁULICA I

Resoluções dos problemas

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HIDRÁULICA I – 2

5 – HIDRODINÂMICA: FORMA DIFERENCIAL. FLUIDO PERFEITO E

ESCOAMENTOS IRROTACIONAIS

PROBLEMA 5.1

Considere o seguinte campo de velocidades:

2 2V axi ayj= −

Admitindo que o fluido é incompressível, verifique a continuidade do escoamento com base na

equação de conservação da massa na forma diferencial.

Resolução

� Forma diferencial da equação da continuidade (ou da conservação da massa):

( )+∂ρ

∇ ρ =∂

�0v

t → ( )+

∂ρ∇ ρ + ρ∇ =

� �i i 0v v

t→

d+

d

ρρ∇ =�i 0v

t

� Como o fluido é considerado incompressível, cteρ = ⇒

d

d

ρ= 0

t ⇔ ∇ =

�i 0v

� ( ) ( )∂ ∂= − ⇒ ∇ = − = − =

∂ ∂

� � �i2 2 2 2 2 2 0v a x i a y j v a x a y a a

x y

� Como ∇ = →�i 0v o escoamento respeita a equação da continuidade, c.q.d.

PROBLEMA 5.2

Considere as duas seguintes hipóteses de campos de velocidade de escoamentos permanentes

planos de um fluido incompressível:

a) 22u x y= + b) 9u xy y= +

4v xy= − 8 2v xy x= +

Utilizando a forma diferencial do princípio da conservação da massa, verifique, para ambos os

casos, se há conservação da massa. Represente graficamente os vectores velocidade plausíveis

nos pontos (0,0); (2,2) e (– 3,3).

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HIDRÁULICA I – 3

Resolução

No caso de escoamentos de fluidos considerados incompressíveis, a equação da continuidade

reduz-se a:

∂ ∂∇ = ∴ + =

∂ ∂

�i 0 0

u vv

x y

Para a alínea a):

( ) ( )2 22 4 4 4 0u v

x y xy x xx y x y

∂ ∂ ∂ ∂+ = + + − = − =

∂ ∂ ∂ ∂

ou seja, o campo de velocidades conduz à conservação da massa pelo que representa um

escoamento plausível.

Para a alínea b)

( ) ( )9 8 2 9 8 0u v

xy y xy x y xx y x y

∂ ∂ ∂ ∂+ = + + + = + ≠

∂ ∂ ∂ ∂

para todo o 89

y x≠ −

o campo de velocidades não conduz incondicionalmente à conservação da massa pelo que não

representa um escoamento plausível.

Os vectores velocidade plausíveis (alínea a) são os seguintes:

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HIDRÁULICA I – 4

PROBLEMA 5.3

Para recolher contaminantes superficiais indesejáveis, como é o caso do óleo derramado na

superfície do mar, pode utilizar-se um dispositivo do tipo tapete rolante, que os recolhe para um

navio apropriado.

Quando o tapete opera em regime permanente, com velocidade U , a espessura da película de

óleo é uniforme e igual a a . Admitindo que a velocidade do óleo é induzida unicamente pelo

tapete (velocidade da água do mar nula), determinar:

a) O perfil da velocidade na película de óleo em função de U , a , θ e das propriedades do

óleo γ e µ.

b) O caudal de óleo transportado pelo tapete por unidade de largura.

c) A espessura da película, a, para a qual o caudal é máximo.

Resolução

� As equações de Navier-Stokes podem escrever-se na seguinte forma geral ( , , )1 2 3j =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ ∂ ρ + = − + λ + µ + + ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

j j jk kk j

k j j k k j k

u u uu upu f

t x x x x x x x

� Como o óleo pode ser considerado incompressível, o termo k

j k

u

x x

∂∂λ

∂ ∂ é nulo (porque

0k

k

u

x

∂=

∂ pela equação da continuidade).

� Por outro lado, considerando cteµ = , obtem-se

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ∂ µ + = µ + = µ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2j j jk k

k j k j k k k k k

u u uu u

x x x x x x x x x

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HIDRÁULICA I – 5

� Ou seja, as equações de Navier-Stokes para fluidos incompressíveis de viscosidade

constante podem ter a seguinte forma

∂ ∂ ∂ ∂ρ + = − + µ + ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2j j j

k jk j k k

u u upu f

t x x x x

� No caso de o escoamento ser permanente, 0ju

t

∂=

∂, pelo que

2j j

k j

k j i i

u upu f

u x x x

∂ ∂∂ρ = − + µ + ρ

∂ ∂ ∂ ∂

� Se o escoamento for bi-dimensional, as equações de Navier-Stokes tomam a seguinte

forma:

Segundo x: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ρ + = − + µ + + ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2 2 x

u u p u uu w f

x z x x z (1)

Segundo y: ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

ρ + = − + µ + + ρ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2 2 z

w w p w wu w f

x z z x z (2)

a) a aplicação das equações (1) e (2) ao caso em estudo permitirá encontrar a solução

desejada.

Sistema referencial

� equação da continuidade

( ) d

d

∂ ∂∂ρ ∂ρ ∂ρ ρ∂+ ρ = + + ρ = + ρ =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂0k k

k k

k k k k

u uu u

t x t x x t x

Para fluidos incompressíveis d

d

∂ρ= ⇒ =

∂0 0k

k

u

t x

ou seja: ∂ ∂

+ =∂ ∂

0u w

x z (em todos os pontos do escoamento)

Integrando a equação da continuidade, obtém-se

x z

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HIDRÁULICA I – 6

d∂ ∂

+ = ∂ ∂ ∫0 0

a u wz

x z ⇔ d

∂+ − =

∂∫ 00

0a

a

uz w w

x

No fundo, a velocidade na normal à fronteira é, necessariamente nula:

=0 0w (condição de aderência).

A equação de fronteira da superfície livre é

∂ ∂= +

∂ ∂a a

a aw u

t x

Como a espessura do escoamento é constante, ∂

=∂

0a

t e

∂=

∂0

a

x. Assim, a velocidade

vertical normal na superfície livre é nula,

= 0aw ,

e

d∂

=∂∫0 0

a uz

x ⇔

∂=

∂0

u

x (porque 0a ≠ ).

Como 0u

x

∂=

∂, então

∂=

∂0

w

z e =w cte segundo z . Como = ⇒ =00 0z w (condição

de aderência), então = 0w para qualquer z .

� A força de massa (peso) por unidade de massa é g , pelo que

sen= − θxf g e cos= − θzf g

� Tendo em conta que ; ;∂ ∂

= = =∂ ∂

2

20 0 0

u uw

x x e sen= − θxf g , a equação de Navier-

Stokes segundo x assume a seguinte forma:

sen∂ ∂

− + µ − ρ θ =∂ ∂

2

20

p ug

x z

ou seja:

sen∂∂

µ = + ρ θ∂∂

2

2

pug

xz equação de Navier-Stokes segundo x

� Como ∂ ∂ ∂ ∂

= ⇒ = = = =∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2 20 0 e 0

w w w ww

x z x z pelo que a equação de Navier-

Stokes segundo z tem a seguinte forma:

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HIDRÁULICA I – 7

cos∂

− − ρ θ = ∴∂

0p

gz

cos∂

= −ρ θ∂

pg

z eq. de Navier-Stokes segundo z

� A integração da equação de Navier-Stokes segundo z conduz a

( , ) cos ( )= −ρ θ +p x z g z p x

Na superfície livre, z a= e a pressão é igual à pressão atmosférica

( ) cos ( )= −ρ θ + =0 atmp a g a p x p

Assim, a função ( )0p x é ( ) cos= + ρ θ0 atmp x p g a e a distribuição de pressões segundo z é

hidrostática:

( )( , ) cos= + ρ θ −atmp x z p g a z

� Determinação de p

x

� Derivando a pressão em ordem a x obtém-se

cos∂ ∂

= ρ θ∂ ∂

p ag

x x

como a cte= , obtém-se

∂=

∂0

p

x

� A equação de Navier-Stokes segundo x aplicada ao caso em estudo pode finalmente

escrever-se do seguinte modo:

sen∂

µ = ρ θ∂

2

2

ug

z (3)

� A integração da equação (3) conduz a

senρ θ∂= +

∂ µ 12

guz C

z

senρ θ= + +

µ2

1 22

gu z C z C

� para = 0z tem-se pela condição de aderência u U=

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HIDRÁULICA I – 8

ou seja 2C U=

� para =z a tem-se d

dτ = µ = 0

u

z pelo que

senρ θ+ = ⇒

µ 1 0g

a Csenρ θ

= −µ1

gC a

� ou seja, o perfil de velocidades é o seguinte

( )sen senρ θ ρ θ

= − +µ µ

2

2

g gu z z a z U

( )senρ θ

= − − µ 2

g zu z U z a perfil de velocidades pretendido

� = ⇒ =0z u U

� senρ θ

= ⇒ = − ⋅µ

2

2

g az a u U

b) Cálculo do caudal escoado por unidade de largura

d dzA z

Q u n A b u n= ⋅ = ⋅∫ ∫� � � �

dy0

1a

b q u n u n u= ⇒ = ⋅ ⋅ = +∫� � � �

s e n s e n s e n s e n

d2 3 2

002 6 2

aa g g g g

q z a z U z z a z Uz ρ θ ρ θ ρ θ ρ θ

= − + = − + = µ µ µ µ ∫

s e n s e n3 3

6 2

g ga a aU

ρ θ ρ θ= − +

µ µ

s e n 3

3q Ua a

γ θ= −

µ

c) espessura “a” para a qual o caudal é máximo

x

z

z = a

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HIDRÁULICA I – 9

s e n 2 0

q ga U

a

∂ ρ θ= − + =

∂ µ

s e n

2

2

2q ga

a

∂ ρ θ= −

µ∂

Como 2

20 0

q q

aa

∂ ∂< ⇒ =

∂∂ fornece um máximo

s e n

s e n

2 0g U

U a ag

ρ θ µ− = ⇒ =

µ ρ θ

s e n

Ua

g

µ=

ρ θ

PROBLEMA 5.4

O recipiente cilíndrico de raio 0R representado na figura junta, tem um tubo inserido radialmente

e dobrado em L . O trecho vertical do tubo está a uma distância 1R do eixo do recipiente.

Sabendo que, quando em repouso, o recipiente contém um líquido até à altura a determine a

altura 1h atingida pelo líquido no tubo quando se imprime ao recipiente um movimento de

rotação em torno do seu eixo, de velocidade angular ω . Despreze o volume de líquido no tubo.

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HIDRÁULICA I – 10

Resolução

� As equações de Euler, em coordenadas intrínsecas, são as seguintes:

( )2

2

1 12

1

0

S

n

uupz

s g t s

up uz

n g t r

pz

b

∂∂ ∂ + = − + ∂ γ ∂ ∂

∂ ∂+ = − +

∂ γ ∂

∂ + = ∂ γ

� Para um escoamento permanente 0S nu u

t t

∂ ∂= =

∂ ∂

2

2

2

1

0

p uz

s s g

p uz

n g r

pz

b

∂ ∂+ = − ∂ γ ∂

+ = − ∂ γ ∂ + = ∂ γ

⇒ na bi-normal ctep

z+ = =γ

cota da superfície livre (lei hidrostática das

pressões)

� Num vórtice forçado, 2

02u

s g

∂= ∂

porque a velocidade se mantém constante ao longo

de cada trajectória circular e, de acordo com o Teorema de Bernoulli (2ª Forma), p

z+γ

é

também constante ao longo de cada trajectória.

Em consequência disso, p

z+γ

só varia segundo n�

, ou seja, a resolução do problema

(variação de h na superfície livre) implica a integração da equação segundo n :

21pd u

zdn g r

+ = − γ

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HIDRÁULICA I – 11

como d d

dn dr= − , vem

21pd uz

dr g r

+ = γ

como 2pd w r

u wr zdr g

= ⇒ + = γ

, pelo que

2

B

A

B r

A r

p w rd z dr

g

+ = γ

∫ ∫

( )2

2 2

2B A

B A B A

B A

p p wz z r r

g

h h

+ − + = −

γ γ ����� �����

( )2

2 2

2B A B A

wh h r r

g− = −

� fazendo 0

0AB

AB

rr r

h hh h

==

==

vem 2 2

0 2w r

h hg

= + . É necessário determinar o valor de 0h .

� No caso em estudo, o volume de líquido em repouso é

2rep 0R a∀ = Π

� Em movimento permanente o volume é dado por

'2mov 0 0R h∀ = Π + ∀

� O volume '∀ é o seguinte:

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HIDRÁULICA I – 12

'0

0

2

0 0

R h

hr dr dh d

π∀ = θ =∫ ∫ ∫

d r d dr dh∀ = θ

( )0

00

22

2

2

R

r h h dr

rw

= − Π =∫ �����

00

2 3 2 4

00

RR w r w r

drg g r

Π Π= = =

∫ '

2 40

4

w R

g

Π= ∀ (4)

� Ou seja, mov∀ (volume total) é o seguinte:

2 42 0

mov 0 0 4

w RR h

g

Π∀ = Π + =

2 22 00 0 mov4

w RR h

g

Π + = ∀

(5)

� Como mov rep∀ = ∀ , então

2 22 200 0 04

w RR h R a

g

Π + = Π

∴ 2 2

00 4

w Rh a

g= − (6)

� Tendo em conta que, para 1r R= , se obtém 1h h= (eq. 1) e substituindo 0h pelo seu

valor (eq. 6), obtém-se, finalmente

2 2 2 20 1

1

0

4 2

w R w Rh a

g g

h

= − +�����

∴ 22

2 01 12 2

Rwh a R

g

= + −

(7)

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HIDRÁULICA I – 13

PROBLEMA 5.5

Numa tubagem com 22 m de secção que transporta um caudal de 3 12 m s− de água, insere-se

um estreitamento localizado, a montante do qual a pressão absoluta é de ,0 15 MPa . Indicar qual

a pressão mínima teórica do estreitamento para o qual não se verifique perturbação do

escoamento.

Considere nulas as perdas de carga no estreitamento, uniforme a distribuição de velocidades em

qualquer secção e admita que a temperatura do líquido é 20°C.

Resolução

� Não há perdas de carga 1 2H H⇒ =

� a secção mínima teórica é aquela as que corresponde o início da vaporização do líquido.

Consequentemente, a pressão na secção 2 é, nesse caso, igual à tensão de saturação

do vapor de água a 20 C� , isto é, 2 2330vp t= = .

� 2

1 11 1 2

p UH z

g= + +

γ → constante ao longo da trajectória (fluido perfeito)

, , 61 0 15 0 15 10 150 000p M Pa Pa Pa= = × =

11

21

2Q

U m sA

−= = =

,1 1

150 000 19800 19 6

H z m

= + +

� ,

2 22 2 2

2 2 22330

2 9800 19 6

p U UH z z m

g

= + + = + +

γ

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HIDRÁULICA I – 14

� , ,

22

1 2 1 2150 000 1 2330

9800 19 6 9800 19 6

UH H z z= ⇒ + + = + +

, ,

22

1 2150 000 1 2330

9800 19 6 9800 19 6

Uz z= ⇒ + = +

, ,,

12

150 000 1 233019 6 17 21

9800 19 6 9800U ms

− = + − × =

� min ,,

2 220 116

17 21Q U A A m m= ⇒ = =

min,

22 0 116A m= → Para áreas inferiores o líquido vaporizará (cavitação).

PROBLEMA 5.6

Considere uma albufeira com o volume R∀ de água e secção transversal média RA .

A barragem está munida com uma descarga de fundo com secção transversal A estando o

respectivo eixo à distância 0H da superfície livre da albufeira.

Determine o tempo de esvaziamento da albufeira no caso de se abrir totalmente a descarga de

fundo. Despreze as perdas de carga (fluido perfeito) e as forças de inércia.

Resolução

De acordo com o Teorema de Bernoulli associado à aproximação de fluido perfeito pode obter-se

a velocidade do escoamento na secção de saída da descarga de fundo (fórmula de Torricelli):

2V g H=

H0

ZR

R∀ descarga de fundo

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HIDRÁULICA I – 15

sendo a H a carga hidráulica no eixo duma secção. Admitindo que a albufeira é suficientemente

grande para a velocidade e aceleração serem muito pequenas pode aplicar-se a equação de

continuidade no reservatório:

RE S

dQ Q

dt

∀= −

com 0EQ = . Considerando uma secção transversal média de albufeira com área RA constante

pode escrever-se a seguinte relação:

RR S

dzA Q

dt= −

em que 2S D DQ V A A g H= = .

Fixando como eixo de referência o eixo da descarga de fundo RH z= e

2R DR

R

dz Ag z

dt A= −

Integrando esta equação

0

0R

TR

zR

dzdt

z= − α∫ ∫

com 2D

R

A g

Aα = , obtém-se a seguinte expressão aproximada para o tempo de esvaziamento T

2 2

2 2

R R R

D R

z AT

g A g z A

∀= =

ou ainda

,0 5R

So

TQ

∀=

Sendo SoQ = caudal de descarga inicial com a velocidade de Torricelli. T corresponde ao tempo

de esvaziamento com base num caudal médio de saída.

Não se consideraram as perdas de carga na descarga de fundo (fluido perfeito) nem as forças de

inércia. Trata-se de uma solução aproximada.

Sugestão: determinar valores de T para valores reais de albufeiras.

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HIDRÁULICA I – 16

PROBLEMA 5.7

Admitindo a aproximação do fluido perfeito, determine a expressão matemática que permite

determinar o peso P de um corpo equilibrado, na atmosfera, por um jacto de água vertical à

distância 1h da saída do bocal com secção 0S .

Considere a carga 0H à saída do jacto para a atmosfera.

Resolução

H0

h1

atmosfera

P

z

P

I

2 2

1

Q, U1

∀c

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HIDRÁULICA I – 17

O corpo sólido estará em equilíbrio quando o respectivo peso P for equilibrado pela impulsão I

resultante do impacto do jacto.

Considerando o volume de controlo c∀ indicado na figura e aplicando o princípio da

conservação da quantidade de movimento linear segundo a direcção vertical obtém-se

(considerando 1β = ):

1I QV− = −ρ

ou

1I QV= ρ

(despreza-se o peso do jacto líquido no interior de c∀ e consideram-se nulas as tensões

tangenciais).

O caudal Q é igual a 1 0V S , admitindo que a distância 1h é muito pequena.

Para determinar o valor de 1V , aplica-se a 2ª Forma do Teorema de Bernoulli entre um ponto A

de superfície livre do reservatório e a saída do bocal ( B ).

2 2

2 2A A B B

A B

P V P Vh h

g g+ + = + +

γ γ

Considerando a pressão atmosférica nula

0A BP P= =

e 0AV = , obtém-se:

2

02B

A B

Vh h H

g= − =

02BV g H= (F. de Torricelli)

1 BV V=

donde

( )1 0 02P QV S g H= ρ = ρ

ou

0 02P S H= γ

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HIDRÁULICA I – 18

Observação: na realidade, a constante numérica poderá ser diferente de 2 para atender aos

efeitos desprezados!

PROBLEMA 5.8

Para a instalação representada na figura, obtenha a expressão que relaciona o caudal escoado

com as variáveis assinaladas na mesma figura, desprezando as perdas de carga entre as

secções 1 e 2 (fluido perfeito).

Resolução

� Desprezando as perdas de carga entre as secções (1) e (2) vem

2 21 1 2 2

1 2 1 22 2

p U p UH H z z

g g= ⇒ + + = + +

γ γ com gγ = ρ

Como 1 1 2 2Q U A U A= = ⇒

( ) ( )

2 21 2

1 22 21 22 2

p pQ Qz z

g A g A+ + = + +

γ γ

22 1

2 12 21 2

1 12

p pQz z

g A A

− = + − + γ γ

2 12 1

2 21 2

2

1 1

p pg z z

Q

A A

+ − +

γ γ =

� Como em escoamentos rectilíneos a linha piezométrica é única na secção recta

(equação de Euler segundo s�

). Então

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HIDRÁULICA I – 19

311 3

ppz z+ = +

γ γ e 2 4

2 4p p

z z+ = +γ γ

e 32 1 42 1 4 3

pp p pz z z z

+ − + = + − + γ γ γ γ

� Por outro lado:

3 53 5

644 6

5 6 6 55 6 5 6 m m

m m m m

p pz z

ppz z

p p p pz z z z R g

+ = +

γ γ

+ = +γ γ

+ = + ⇒ − = − = − ∴ γ = ρ

γ γ γ γ

3 6 544 3 6 5

p p ppz z z z

+ − + = + − + γ γ γ γ

� Como 32 1 42 1 4 3

pp p pz z z z

+ − + = + − + γ γ γ γ

e 3 6 544 3 6 5

p p ppz z z z

+ − + = + − + γ γ γ γ

então 6 52 12 1 6 5

p pp pz z z z

+ − + = + − + γ γ γ γ

6 5 6 56 5

p p p pz z R

− −= + − = +

γ γ

� Já vimos que

6 5

m

p pR

−= −

γ ou seja 6 5

Rmp p− = −γ

pelo que 2 12 1 1m mp p

z z R R Rγ γ

+ − + = − + = − γ γ γ γ

� Donde se conclui que

2 21 2

2 1

1 1

mg R

Q

A A

γ − γ =

com 21

1 4

DA

Π= e

22

2 4

DA

Π=

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HIDRÁULICA I – 20

PROBLEMA 5.9

Numa secção a montante do descarregador representado na figura junta, a velocidade do

escoamento é 11ms− e a altura de água sobre o fundo é ,2 0 m . Considerando irrotacional o

escoamento na vizinhança do descarregador e que a pressão no ponto P é a atmosférica,

determine a velocidade nesse ponto.

Resolução

� Como o escoamento se pode considerar irrotacional na vizinhança do descarregador

(escoamento fortemente acelerado), 2

cte2

p uz

g+ + =

γ em todos os pontos do fluido

contidos nessa vizinhança (3ª Forma do Teorema de Bernoulli).

� Considerando os pontos A (superfície livre – p. atmosférica) e P

2

2

2

2

A AA A

P PP P

p UH z

g

p UH z

g

= + +

γ

= + + γ

,

210 0

19 6 2P

A P

Uz z

g+ + = + +

( ),,

2 22 111 1 19 6 1

19 6P

A P P

Uz z m U ms−−

− = ⇒ = ⇒ = + ⇒

, 14 54PU ms−=

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HIDRÁULICA I – 21

PROBLEMA 5.10

Através do difusor de uma turbina, com a forma e dimensões indicadas na figura, escoa-se um

caudal de 3 120 m s− .

Calcular a pressão existente na secção 1, em atmosferas, sabendo que na secção 3, em que o

difusor descarrega para um lago de grandes dimensões, se dá uma perda de energia igual à

energia cinética nesse ponto.

Admitindo que o escoamento no difusor é irrotacional, calcular a pressão na soleira na secção 2.

Considerar a distribuição de velocidades uniforme nas diferentes secções do difusor.

Resolução

� Admitindo que o escoamento é irrotacional, 1 2 3H H H= =

� 2

reservatório 52

p UH z m

g= + + =

γ

� ( )( )

,,

22

3 res.mont.

20 205 5 5 051

2 19 6U

H H H mg

= + ∆ = + = + =

� ( )

, ,,

21

1 31

20 55 5 051 0 765

19 6

p pH H m

= ⇒ + + = ⇒ = − γ γ

1 7500p Pa= −

,,

1 5

5

7500atm 0 074 (pressõesrelativas)

1 012 10

1atm =1,012 10

p

Pa

−= = − ×

×

,

,

1

1

0 074 atm (p.relativas)

0 926atm (p.absolutas)

p

p

= −

=

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HIDRÁULICA I – 22

� na soleira da secção (2)

( ), ,

,

22 220 10

0 5 051 4 84719 6

p pm m+ + = ⇒ =

γ γ

2 47500p Pa=

PROBLEMA 5.11

Sabendo que um ciclone pode ser considerado como sendo um vórtice potencial rectilíneo e que,

num dado ciclone, a velocidade do vento a 50 km do centro é de 120 km h− , determinar o valor da

componente radial do gradiente da pressão nesse ponto. Qual é a diferença de pressão entre

este ponto e outro situado a 5 km do centro, à mesma cota?

Resolução

� Um vórtice potencial rectilíneo é um vórtice livre (escoamento irrotacional):

− 2

2p U

H zg

= + +γ

é igual em todos os pontos:

− A velocidade (tangencial) é inversamente proporcional à distância ao eixo do

vórtice, isto é

Ku

r= em que K é a constante do vórtice.

� Componente radial do gradiente de pressão:

Equações de Euler (fluido invíscido – sem efeitos de viscosidade).

( )2

2

1 12

1

0

SS

n S

upz u

s g t s

u upz

n g t r

pz

b

∂ ∂ ∂+ = + ∂ γ ∂ ∂

∂ ∂+ = − +

∂ γ ∂

∂ + = ∂ γ

� A componente radial do gradiente de pressão é, obviamente, dada pela 2ª equação de

Euler

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HIDRÁULICA I – 23

� para escoamentos permanente, como é o caso, a 2ª equação de Euler, escrita em r ,

vem:

21p uz

r g r

∂+ = + ∂ γ

uma vez que Su u=

como 2

3

1pK Ku z

r r g r

∂= ⇒ + = ∂ γ

� a componente radial da pressão obtém-se para ctez = pelo que a equação anterior

vem:

2

3

1p p pK

r g r rr

∂∂ ∂= ⇒ = γ ∂ γ ∂ ∂ γ

� A constante K do vórtice é dada por

,1 2 1 6 120 50 1000 0 277 10K u r km h km km h ms− − −= = × = = ×

pelo que p

r

∂ ∂ γ

para 50r km= vem:

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HIDRÁULICA I – 24

( )( ),

,,

26 4 2

534 2 3

0 277 1016 26 10

9 8 5 10

m sp mmr

ms m

× ∂= ⋅ = ×

∂ γ ×

ou seja:

, ,3 512 671 6 26 10

ar

p p mNmmr r

− −

∂ ∂= γ = × ×

∂ ∂ γ

γ

�����

, 47 93 10p Pa

mr

−∂= ×

� Diferença de pressão

2 2 2

3 3 3

1p pK K Kp r

r g r g gr r r

∂ γ γ∂= ⇒ = ⇒ ∂ = ∂ ∂ γ ∂

2 2 23 2

12

rp K p K C u C

g g gr r

γ γ γ∂∂ = ⇒ = − + = − +∫ ∫

( )

( )

21 1 1

22 2 2

502

52

r km p u Cg

r km p u Cg

γ= ⇒ = − +

γ = ⇒ = − +

( ) ( )2 21 2 1 22

p p p u ug

γ − = ∆ = − −

,

,

2 11 1

2

1 11

1000200 55 55

5

20 5 555

km hu km h ms

km

u km h ms

−− −

− −

= = =

= =

1975p Pa∆ =

PROBLEMA 5.12

O escoamento irrotacional, num canal munido de uma comporta com abertura inferior, tem a

rede isométrica (rede de escoamento) que se representa na figura.

Efectuar uma análise qualitativa da distribuição de pressões na soleira e no plano vertical da

comporta.

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HIDRÁULICA I – 25

Resolução

a) Distribuição de pressões no plano vertical da comporta

− No ponto (1) – Este ponto é um ponto de estagnação, em que 0p

u H z= ⇒ = +γ

.

Como se trata de um ponto à superfície, 0p

e H z= .

− Na zona (2) – Nesta zona, a curvatura das linhas de corrente é a seguinte:

pelo que p

zn

∂+ ∂ γ

é, num dado ponto, proporcional a p

zz

∂− + ∂ γ

, i.e.,

21p puz z

n g r z

∂ ∂+ = − ≅ − + ∂ γ ∂ γ

Consequentemente, 0p

zz

∂+ > ∂ γ

pelo que p

z

+ γ decresce quando z decresce e vice-

versa. À medida que se desce ao longo da comporta, o valor de p

z

+ γ vai sendo

sucessivamente menor do que o valor hidrostático.

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HIDRÁULICA I – 26

− No ponto (3) – Este ponto está à pressão atmosférica.

− Na zona (4) – Nesta zona, a curvatura das linhas de corrente é a seguinte

Por isso,

p pz z

n z

∂ ∂+ ≅ + ∂ γ ∂ γ

Como 21p uz

rn g

∂+ = − ∂ γ

, então 21p uz

rz g

∂+ ≅ − ∂ γ

, ou seja 0p

zz

∂+ < ∂ γ

Como tal, ao contrário do que acontecia na zona (2), o valor de p

z

+ γ é maior do que o valor

hidrostático.

b) Distribuição de pressão na soleira

− A montante da comporta – Nesta zona, a curvatura das linhas de corrente é a seguinte

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HIDRÁULICA I – 27

pelo que 21

0p p p u

z z zn z z g r

∂ ∂ ∂+ ≅ − + ⇒ + ≅ > ∂ γ ∂ γ ∂ γ

Nesta situação a pressão no fundo, a montante da comporta, é inferior à pressão

hidrostática.

− A jusante da comporta, como a curvatura das linhas de corrente é contrária à que ocorre a

montante, a pressão no fundo é superior à hidrostática.