Complemento de mecânica dos fluidos

Equação da continuidade de forma integral para um volume

de controle

análise dimensional

análise diferencial

análise através do VCVC = volume de controle

Análises possíveisem

mecânica dos fluidos21/8/2006 - v6

experimental

pequena escala

grande escala

A análise diferencial iniciou-se com Euler e Lagrange no século XVIII.

A análise dimensional por Lord Rayleigh no final do século XIX.

Já a análise através do volume de controle (vc), ainda que proposta por Euler, só se desenvolveu em bases rigorosas como ferramenta de análise na década de 1940, daío fato de ser considerada a mais

nova.

Primeira equação através da análise do volume de controle

0=×ρ+×ρ∂∂

∫∫scvc

dAnvdVt

rr

I III – relacionado com o tipo de regime, no caso de ser variado é diferente de zero e no caso de ser permanente é igual a zero.

II – ligado ao fluxo de massa, onde:

n e v entre formadoângulo o é onde ,cosvnv

rr

rrθθ×=×

Equação da continuidade de forma integral para VC

Aplicação da equação anterior:

tempo de esvaziamento de um reservatório de área de seção

transversal constante

Considerando um esvaziamento parcial como mostrado na figura a seguir.

h2

x

t = 0s

h1

t = ?

y

A massa específica é constante, portanto:

∫××

−=∫

=×××+

××=×××

×××=×

=×+∂∂

=×=×→=∫ ×+∫∂∂

≠ρ→=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∫ ×+∫

∂∂

×ρ

t

quetanbocald

h

h

bocaldquetan

bocaldbocalcteóricav

bocalcteóricavcontraídareal

contraídareal

realrealscvc

scvc

dtA

gACh

dh

hgACdtdhA

:se-tem constante, é ltransversa seção da área a ComoAghCACvC

ACvCAv:onde

AvtV

vcosvnvdAnvdVt

:se-tem 0, comodAnvdVt

0

2

1

2

02

2

0

00

0

orrrr

rr

Portanto:

( )

( )21

12

2

1

121

2

1

21

22

22

2

121

2

hhgAC

At

tA

gAChht

AgACh

tA

gACdhh

bocald

quetan

quetanbocald

quetanbocald

h

h

quetanbocald

h

h

−××

×=

××−=−×∴

××−=

+−

××−=∫

+−

−

Considerando a possibilidade da área do tanque não ser constante, deveríamos trabalhar com a seguinte expressão:

∫××

−= −1

2

21

21 h

hquetan

bocalddhAh

gACt

onde seria fundamental se obter a função:

)h(fA quetan =