1. Se o quadrado [ABCD] tem de área 4 unidades, signif ica que o lado mede 2 unidades.

1.1 ��������. �������� = ����������. ����������. cos 90° � 2 � 2 � 0 � 0

1.2 ��������. �������� = ����������. ����������. cos 45° � 2 � 2√2 � √��

� 4

1.3 ��������. �������� =����������. ����������. cos 0° � 2 � 2 � 1 � 4

1.4 ��������. �������� = ����������. ����������. cos 180° � 2 � 2 � �1 � �4

C

D

B

A

1. O quadrado [ABCD] tem de área 4 unidades.

Determina:

1.1 ��������. ��������

1.2 ��������. ��������

1.3 ��������. ��������

1.4 ��������. ��������

C

D

B

A

Geometria - Vectores

Resolução

1. Dados os vectores ����2, 1� e ��1, �, determina k de modo que:

1.1 Para que os vectores sejam perpendiculares o produto escalar é zero

���. � � 0 � 2 � 1 � 1 � � 0 � 2 � � 0 � � �2

1.2 Para que os vectores sejam colineares utiliza-se a seguinte fórmula:

2 � � 1 � 1 � 2 � 1 � �12

1.3 Cos ���� � �� � � √��

� ����.��������������

� � √��

� �������

√������√����� � � √��

� ���

√��√���� � � √ �

�

4+2k = -√10√1 � �

� 4 � 2 � �√10 � 10� � �4 � 2�� � ��√10 � 10���

16 + 16k + 4k2 = 10 + 10k

2 � -6k

2 + 16k + 6 = 0� � � �

! " � 3

1.4 ���. � � �1 � 2 � 1 � 1 � � �1 � 2 � � �1 � � �3

1. Dados os vectores ����2, 1� e ��1, �, determina k de modo que:

1.1 Os vectores sejam perpendiculares

1.2 Os vectores sejam colineares

1.3 Cos ���� � � � � √��

1.4 ���. � � �1

Resolução

1. Seja ��� um vector e k um número real maior que 1. Diz qual a relação entre:

1.1 ����� e ������

1.2 A direcção e o sentido dos vectores ��� e ����

2. ��, ��� e � são três vectores tais que ���√5, 2�, �����3, 0� e ���3, √3�

Determina:

2.1 Um vector unitário colinear com �� mas de sentido contrário

2.2 Um vector perpendicular ao vector ��� 2.3 K de modo que ��� � �2�, 1� seja colinear com �.

1. Seja ��� um vector e k um número real maior que 1. Diz qual a relação entre:

1.1 ����� e ������ o vector k��� é maior que o vector ���

1.2 A direcção e o sentido dos vectores ��� e ����, são iguais.

2.

2.1 Um vector colinear com �� mas de sentido contrário, por exemplo: ��2√5, �4�

2.2 Um vector perpendicular ao vector ��� , por exemplo: �0, 3�

2.3 K de modo que ��� � �2�, 1� seja colinear com ��.

2k � √3 = 1� ��3� � 2√3� � �3 � � � � ��√�

� � � � �√��

� � � � √��

Resolução

1. No referencial Oxyz está representado um paralelepípedo [OABCDEFG]. O ponto E tem

coordenadas (1, 2, 4).

1.1 Indica as coordenadas dos restantes vértices.

1.2 Calcula ��������. ��������

1.3 Determina a menos de 0,1 do grau, a amplitude do ângulo formado pelos vectores

�� ����� e ��

z

y

x

GF

ED

C

BA

O

����� ��

1.1 As coordenadas dos restantes vértices são:

O(0, 0, 0); D(1, 0, 4); F(0, 2, 4); G(0, 0, 4); B(1, 2, 0); A(1, 0, 0); C(0, 2, 0)

1.2 Calcula ��������. ��������

�������� = F – A � �������� = (0, 2, 4) – (1, 0, 0) � �������� = (-1, 2, 4)

��������= G – D � �������� = (0, 0, 4) – (1, 0, 4) � �������� = (-1, 0, 0)

��������. �������� = (-1, 2, 4). (-1, 0, 0) � ��������. �������� = 1 + 0 + 0 � ��������. �������� = 1

1.3 Determina a menos de 0,1 do grau, a amplitude do ângulo formado pelos vectores

�������� e �������

�������� = (-1, 2, 4)

������� = C – A � ������� = (0, 2, 0) – (1, 0, 0) � ������� = (-1, 2, 0)

�������� . ������� = 1 + 4 + 0 � �������� . ������� = 5

���������� = � �1�� � 2� � 4� = √21

��������� = � �1�� � 2� � 0� = √5

Resolução

��������� = � �1�� � 2� � 0� = √5

cos ��������� � �������� = ��� .���

���������������������

cos ��������� � �������� = �

√� �√�

cos ��������� � �������� = �

√ !�

��������� � �������� = 60,8°

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