Slide 1

GEOMETRIA ANALTICA

Adelino AfonsoJoo VictorKaio CesarThiago Csar Yuri Alessandro Yuri Reinaldo GEOMETRIA ANALTICA1 - Introduo A Geometria Analtica uma parte da Matemtica, que atravs de processos particulares, estabelece as relaes existentes entre a lgebra e a Geometria. Desse modo, uma reta, uma circunferncia ou uma figura podem ter suas propriedades estudadas atravs de mtodos algbricos.Os estudos iniciais da Geometria Analtica se deram no sculo XVII, e devem-se ao filsofo e matemtico francs Ren Descartes (1596 - 1650), inventor das coordenadas cartesianas (assim chamadas em sua homenagem), que permitiram a representao numrica de propriedades geomtricas. No seu livro Discurso sobre o Mtodo, escrito em 1637, aparece a clebre frase em latim "Cogito ergo sum", ou seja: "Penso, logo existo".

Introduo Entre os pontos de uma reta e os nmeros reais existe uma correspondncia a um nico nmero real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta (origem) e um segmento u, unitrio e no-nulo, temos que dois nmeros inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algbrica de um segmento Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os nmeros reais xA e xB , temos:

A medida algbrica de um segmento orientado o nmero real que corresponde diferena entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.

PONTO

O plano cartesiano ortogonal constitudo por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os nmeros reais, obtm-se o plano cartesiano ortogonal.O termo ortogonal refere-se ao perpendicularismo entre os eixos.

O sistema cartesiano ortogonal dividido em quatro partes e cada uma um quadrante.

Onde as retas x e y se encontram formado um ponto, que chamado de ponto de origem.

PLANO CARTESIANO

Observe o plano cartesiano nos quatro quadrantesExemplos:A(2, 4) pertence ao 1 quadrante (xA > 0 e yA > 0)B(-3, -5) pertence ao 3 quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observao: Por conveno, os pontos localizados sobre os eixos no esto em nenhum quadrante.

Um ponto no sistema cartesiano ortogonal formado por dois pontos, um do eixo das abscissas e outro do eixo das ordenadas.

O ponto no sistema cartesiano ortogonal chamado de par ordenado.

O ponto X possui um nmero x que a abscissa do ponto P. O ponto Y possui um nmero y que a ordenada do ponto P. (x, y) chamado de par ordenado do ponto P.

Portanto, para determinarmos um ponto P no sistema cartesiano ortogonal preciso que as abscissas e as ordenadas sejam dadas.

Veja o sistema cartesiano ortogonal abaixo e os pontos que esto indicados. O ponto A (1, 1) encontra-se no 1 quadrante. O ponto B (3, 0) encontra-se no eixo das abscissas x. O ponto C (5, -4) encontra-se no 4 quadrante. O ponto D (-3, -3) encontra-se no 3 quadrante. O ponto E (0, 4) encontra-se no eixo das ordenadas O ponto F (4, 3) encontra-se no 1 quadrante. O ponto G (-2, 3) encontra-se no 2 quadrante.

Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distncia entre eles, temos:

Aplicando o teorema de Pitgoras ao tringulo retngulo ABC, vem:

DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS

Como exemplo, vamos determinar a distncia entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):Soluo:

Alinhamento entre 3 pontos possvel verificarmos se trs pontos do plano, distintos dois a dois, esto alinhados. Observe os pontos:

Suponha que A, B e C estejam alinhados:

Exemplo: Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) esto alinhados. Vamos construir a matriz atravs das coordenadas dos pontos P, Q e R e aplicar Sarrus:

Podemos verificar que os pontos esto alinhados, pois o determinante da matriz das coordenadas dos pontos nulo.

rea de um tringulo

Considere o tringulo de vrtices A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), veja a sua representao em um plano cartesiano:

A partir dessa representao podemos dizer que o clculo da rea (A) de um tringulo atravs dos conhecimentos da geometria analtica dado pelo determinante dos vrtices dividido por doisA =|D| 2

Onde D =

Exemplo: A rea de um tringulo 25/2 e seus vrtices so (0,1), (2,4) e (-7,k). Nesse caso qual ser o possvel valor de k? Se A= |D|, devemos encontrar o valor de D: 2

D = -7 + 2k + 28 -2D = 2k + 19D =Substituindo a frmula teremos: 25 =2k + 19 2 225 = 2k + 19

25 19 = 2k6 = 2k6:3 = kk = 3

Por sua capacidade de demonstrar com preciso representaes fsicas e abstratas de sistemas ou objetos, a geometria analtica se mostra primordial para o desenvolvimento e padronizao de vrias tecnologias.

Aplicaes no cotidiano

Para que alguma situao seja representada na geometria analtica ela precisa das seguintes caractersticas:

1) Deve haver alguma unidade para definir a distncia espacial representada pelos nmeros

2) O ponto de origem precisa ser designado uma localizao espacial especfica.

3) preciso definir o nmero de eixos necessrio e a orientao de cada um deles.

Teia CartesianaDisponvel em: http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/handle/mec/8247

A cartografia e os sistemas e coordenadasPode-se dizer que entre todas as reas que se beneficiaram, a cartografia foi uma da que mais foram favorecidas pelo uso de sistemas de coordenadas.

O sistema de GPS (Global Positioning System), uma das tecnologias provindas da cartografia que usada para calcular posio de qualquer sujeito e/ou objeto no ponto P com coordenadas x, y e z.

Exemplos em outras tecnologias

FIM