exercicios geometria analitica resolvidos

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  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    1/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE224

    22)(UFRGS-96)Se as retas de equao axy =e bxy += se cortam num ponto decoordenadas estritamente negativas, conclui-seque

    (A) 0e0 >> ba (B) 0e0 ba (C) 0e0

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    2/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE225

    24)(UFRGS-96) Considere a circunfernciainscrita no tringulo equiltero, conformemostra a figura abaixo

    -1 1

    A equao da circunferncia

    (A) 1)1( 22 =+ yx

    (B) 4

    3

    2

    32

    2

    =

    + yx

    (C)3

    4

    3

    322

    2 =

    + yx

    (D)16

    3

    4

    32

    2 =

    + yx

    (E)3

    1

    3

    32

    2 =

    + yx

    SOLUO

    Aptema

    -1 1Para determinar a equao de uma circunferncia necessitamos do centro e do raio

    Observe que a medida do aptema igual amedida do raio

    6

    3laptemaraio ==

    lado do tringulo equiltero possui 2 unidades

    1 1

    -1 1

    Vamos determinar o raio

    6

    3lar ==

    6

    32== ar

    3

    3== ar

    Como determinamos o raio podemosdeterminar as coordenadas do centro

    Observe:

    3

    3

    ,0

    Com o centro e o raio podemos determinar aequao da circunferncia

    Centro

    3

    3,0 raio

    3

    3

    ( ) ( ) 222 rbyax =+ (eq. reduzida)

    fixo fixo

    ( )22

    2

    3

    3

    3

    30

    =

    + yx

    9

    3

    3

    32

    2 =

    + yx

    3

    1

    3

    32

    2 =

    + yx

    ALTERNATIVA E

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    3/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE226

    25)(UFRGS-97) Considere a reta r passandoem P(0, 3). Duas retas qp e , paralelas aoeixo das ordenadas e distantes entre si 2unidades, so interceptadas no 10 quadrante

    pela reta r em 2 pontos, cuja distncia 52unidades. A equao da reta r

    (A) 23 = xy (B) 32 += xy (C) 033 =+ yx (D) 32 = xy (E) 033 =+ yx

    SOLUO

    y

    p q r52

    t3 2

    x2

    A equao da reta baxy +=

    Pelo enunciado do problema j temos ocoeficiente linear b , onde a reta corta o eixo yQue 3

    Logo 3+= axy

    Vamos determinar o coeficiente angular a que a tag do ngulo

    52 t

    2

    Vamos determinar o valor de t por Pitgoras eaps determinar a tag do ngulo

    (hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2

    ( ) 222 252 t+=

    2454 t+= 2420 t=

    216 t= 162 =t 16=t 4=t

    52 4

    2

    Agora vamos determinar o coeficiente angulara calculando a tag do ngulo

    nguloaoadjacentecateto

    nguloaoopostocateto== taga

    2

    4== taga

    2== taga

    logo a equao da reta r

    32 += xy

    ALTERNATIVA B

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

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    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE227

    26)(UFRGS-97) O comprimento da corda que areta r definida pela equao 02 = yxdetermina no crculo de centro no pontoC(2, 0) e raio r = 2

    (A) 0(B) 2(C) 5

    (D)5

    10

    (E)5

    54

    SOLUO

    Y

    corda0 2x

    Vamos determinar a equao da circunfernciae aps montar e resolver um sistema paradeterminar os pontos de intercesso da retacom a circunferncia e finalmente calcular adistncia entre estes pontos.

    Centro = (2, 0) raio = 2

    ( ) ( ) 222 rbyax =+

    ( ) ( ) 222 202 =+ yx

    444 22 =++ yxx

    444 22 =+ yxx

    0422 =+ xyx

    Agora podemos montar o sistema

    =

    =+

    02

    0422

    yx

    xyx

    02 = yx xy 2= xy 2=

    0422 =+ xyx

    04)2( 22 =+ xxx

    044 22 =+ xxx

    045 2 = xx (eq. incompleta do 20grau)

    0)45( =xx

    0, =x 045 =x 45 x

    5

    4,, =x

    xy 2, = xy 2,, =

    02, =y 5

    42,, =y

    0, =y 5

    8,, =y

    logo

    5

    8,

    5

    4

    corda

    (0, 0)

    Agora vamos determinar o comprimento da

    corda usando a frmula da distncia entre doispontos.

    (0, 0) corda

    5

    8,

    5

    4

    2

    12

    2

    12 )()( yyxxd +=

    22

    05

    80

    5

    4

    +

    =d

    22

    5

    8

    5

    4

    +

    =d

    25

    64

    25

    16+=d

    25

    80=d =

    5

    80=

    5

    524

    =5

    54

    ALTERNATIVA E

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    5/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE228

    27)(UFRGS-97)Um ponto P(x, y) descreve umatrajetria no plano cartesiano, tendo suaposio a cada instante t )0( t dada pelas

    equaes

    =

    =

    23

    2

    ty

    tx

    A distncia percorrida pelo ponto P(x, y) para30 t

    (A) 2(B) 3

    (C) 13

    (D) 133

    (E) 61

    SOLUO

    =

    =

    23

    2

    ty

    txintervalo 30 t = [ ]3,0

    se 0=t temos

    ==

    ==

    2203

    002

    yy

    xx

    logo temos )2,0(

    se 3=t temos

    ==

    ==

    7233

    632

    yy

    xx

    logo temos )7,6(

    Agora vamos determinar a distncia entre ospontos )2,0( e )7,6(

    2

    12

    2

    12 )()( yyxxd +=

    22 ))2(7()06( +=d

    22 )27()06( ++=d

    22 96 +=d

    8136 +=d

    117=d 1332 =d 133

    ALTERNATIVA D

    28)(UFRGS-97) A equao

    06422 =+++ myxyx representa umcrculo se e somente

    (A) 0>m (B) 0m (D) 13>m (E) 13+ tiryx

    022 >+ myxr

    022 >+ myx

    03)2( 22 >+ m

    094 >+ m elevar membros ao quadrado

    ( )22 094 >+ m

    094 >+ m

    013 > m

    1)-(13 > m

    13

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    6/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE229

    29)(UFRGS-98)Para ,211

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    7/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE230

    31)(UFRGS-98)Duas retas perpendicularesre s se interceptam no ponto )0,(uP . Se a

    reta r intercepta o eixo y no ponto ),,0( v sendovu e diferentes de zero, a reta s interceptar

    o eixo y em

    (A) ( )uv 2,0 (B) ( )vu 2,0 (C) ( )vu,0 (D) ( )v,0 (E) ( )uv,0

    SOLUOy

    ),0( v

    s )0,(uP

    x

    r),0( y

    vamos determinar o coef. angular da reta r),0( v )0,(u

    12

    12

    xxyymr

    = 0

    0

    uv =

    uv

    Como as retas so perpendiculares o coef.angular da reta s o inverso da retarinvertendo o sinal.

    v

    ums =

    Agora vamos determinar a equao da reta susando o ponto P

    )( 11 xxmyy = ( )uxv

    uy = 0

    v

    u

    v

    uxy

    2

    =

    Como intercepta o eixo y quer dizer que x=0

    Logo

    v

    u

    v

    uxy

    2

    = v

    u

    v

    u 20

    v

    u

    v

    20

    v

    u 20

    v

    u 2logo

    v

    uy

    2

    =

    ALTERNATIVA B

    32)(UFRGS-99) Na figura abaixo, os crculosso tangentes entre si e s semi-retas PA e PB

    A

    P 600

    B

    Se o ngulo APB mede 600 o raio do crculomaior 1, o raio do crculo menor

    (A)2

    3(B)

    2

    2(C)

    3

    1

    (D) 3

    2

    (E) 3

    3

    SOLUO

    300

    x r r 1

    vamos resolver por semelhana de tringulos

    observe que na figura acima temos 2 tringulos

    1r

    300 300x + r x + 2r + 1

    121 +++

    =rx

    rxrtemos duas variveis

    observe

    hipotenusa

    opostocateto30sen 0 =

    rx

    r

    +

    =

    2

    1

    rxr +=2 significa que rx = rrr +=2

    voltamos na semelhana

    121 +++

    =rx

    rxrcomo rx = temos

    121 +++

    =rr

    rrr

    0232)13(13

    2

    1

    2 =+=++

    = rrrrrrr

    rr

    03 2 = rr resolvendo a eq. incompleta do 20 grau

    temos 0' =x (no serve) e31'' =x

    ALTERNATIVA C

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

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    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE231

    33)(UFRGS-99) Os pontos A=(-a, 0), B=(0, b)e C=(a, 0) so os vrtices de um tringuloretngulo com ngulo reto em B. Ento,

    (A) 0= ba (B) 0=+ ba (C) 1= ba (D) 1= ba

    (E) 0= ba

    SOLUOy

    B(0, b)

    A(-a, 0) C(a,0) xVamos determinar as distncias entre ospontos e aps aplicar o teorema de Pitgoras.Frmula da distncia entre dois pontos

    d = 2122

    12 )()( yyxx +

    A(-a, 0) B(o, b) C(a, 0)

    d(AB)= ( ) ( ) 2222 0)(0 baba +=+

    d(AC)= ( ) ( ) ( ) =+=+ 222 00)( aaaa

    ( ) aa 22 2 =

    d(B,C) = ( ) ( ) 2222 00 baba +=+

    aplicando Pitgoras

    d(A, C)2 = d(A, B)2 + d(B, C)2

    ( ) ( ) ( )22222222 babaa +++= 22222

    4 babaa +++= 222 224 baa += 222 224 baa = 22 22 aa = 22 ba =

    qualquer nmero positivo ou negativo elevadoao quadrado sempre positivo, pois oexpoente par e como ba = logo temos

    22ba = 022 = ba ou 0= ba

    ALTERNATIVA E

    34)(UFRGS-99) O observe a figura abaixo.

    y

    2

    x1

    Os lados do tringulo retngulo hachurado sosegmentos das retas dadas pelas equaes

    (A) ,2=y 22

    1+= xy 22 += xy

    (B) 1=x , 2+= xy 2+= xy

    (C) 1=x , 22 += xy 22

    1+= xy

    (D) ,2=y 2+= xy 2+= xy (E) 1=x , 1+= xy 2+= xy

    SOLUOy s t

    r(0, 2)

    x(1, 0)

    reta r : como temos 2 pontos vamos montarum determinante

    001

    20=

    yx

    yx

    multiplica troca sinal multiplica no troca o sinal022 =++ yx forma reduzida 22 += xy

    reta t : temos um ponto (0, 2) e temos seucoeficiente angular (metade de 900 isto 450)

    )0(2

    12)(45 1

    0

    1 == xyxxtgyy

    422

    42

    22 +=

    == xy

    xyxy

    2

    2

    2

    4

    2

    +=+=x

    yx

    y

    reta s : reta vertical a tangente de 900 no definida, neste caso x = 1

    ALTERNATIVA C

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    9/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE232

    35)(UFRGS-00) Considere a figura abaixo.

    y

    300

    1 xr

    Uma equao cartesiana da reta r

    (A) x3

    3y =

    (B) )x1(3

    3y =

    (C) x31y =

    (D) ( )x13y =

    (E) ( )1x3y =

    SOLUOCuidado 300 no o coeficiente angular, ocoeficiente angular 1500

    1500

    1

    Vamos usar a frmula da equao da reta quepassa por um ponto.

    )xx(myy 11 = o ponto (1 , 0)

    Agora vamos determinar o coeficiente angularm que a tan 1500

    vamos reduzir ao primeiro quadrante

    1800 - 1500 = 300 =3

    3

    negativa pois 1500

    do segundo quadrante ea tangente negativa no segundo quadrante

    vamos aplicar a frmula)xx(myy 11 =

    ponto (1 ; 0) e m =3

    3

    ( )1x3

    30y = ( )1x

    3

    3y =

    multiplica apenas o sinal

    ( )1x33y +== ( )x133y =

    ALTERNATIVA B

    36)(UFRGS-00) No sistema de coordenadascartesianas retangulares, a reta de equao

    bxy += intercepta a curva de equao

    8yx 22 =+ . Ento

    (A) 2b

    (B) 22b

    (C) 4b22 (D) 22b2 (E) 4b

    SOLUO

    08yx 22 =+ uma equao decircunferncia de centro (0,0) e raio

    800 22 ++ 228 =

    e temos a equao reduzida da reta bxy += ,onde o coeficiente angular 1.

    22

    (0 ,0)

    O problema diz que a reta intercepta a curva,podemos concluir que a distncia do centro ata reta(distncia entre ponto e reta) deve ser (menor ou igual ) ao raio.

    Rd Frmula da distncia entre ponto e reta

    22 ba

    cbyax

    +

    ++logo temos R

    ba

    cbyax22

    +

    ++

    reta na forma geral centro(ponto)

    0by1x1 =+ ( 0 , 0 )

    a b c x ysubstituindo e resolvendo temos

    Rba

    cbyax22

    +

    ++ 22

    11

    b01(0122

    +

    ++

    222

    b 222b

    2

    22b 22b 4b

    ALTERNATIVA E

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    10/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE233

    37)(UFRGS-01) Considere o retngulo de baseb e altura h inscrito no tringulo OPQ

    Se d = OP b, uma equao cartesiana dareta que passa porP e Q

    (A) xb

    hy =

    (B) xd

    hy =

    (C) )xd(bhy =

    (D) )xd(d

    hy =

    (E) )xdb(d

    hy +=

    SOLUO

    um problema da equao da reta que passa

    por dois pontos

    Vamos determinar o ponto P que um pontode abcissa (x , 0)

    Pelo enunciado d = OP b OP = d + b

    O b d P x

    Logo o ponto P (d + b; 0) ponto de abcissa

    Vamos determinar outro ponto da reta QP

    Mh

    b

    Logo o ponto M (b ; h)

    Agora podemos aplicar a frmula da equaoda reta que passa por dois pontos

    M (b ; h) P (d + b; 0)

    yx

    0bd

    hb

    yx

    += 0

    multiplica multiplica etroca de sinal no troca de sinal

    -by h(d + b) + hx + y(d + b) = 0

    -by hd hb + hx + dy + by = 0

    O problema quer a equao reduzida. Vamosisolar o y.

    dy = hd + hb hx

    colocar h em evidncia

    dy = h ( d + b x)

    )xbd(d

    hy +=

    ALTERNATIVA E

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    11/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE234

    38)(UFRGS-01) No sistema de coordenadaspolares, considere os pontos O=(0 , 0), A=(1, 0)

    ),(P = e ),1

    (Q

    = , onde2

    2=

    ALTERNATIVA C

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    12/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE235

    39)(UFRGS-01) Considere a regio planalimitada pelos grficos das inequaes

    1xy e 1yx 22 + , no sistema decoordenadas cartesianas. A rea dessa regio

    (A) 214 (B) 314 (C) 12

    (D) 12

    +

    (E) 12

    3

    SOLUO

    Para solucionar este problema vamos construiros grficos.

    1xy 1xy =

    se dermos zero para o x termos y = -1 ( 0 , -1)se dermos zero para o y termos x = -1 ( -1 , 0)

    1yx 22 + 1yx 22 =+ uma circunferncia de centro (0 , 0) e de raioigual a 1.

    Construindo1

    -1 1

    rea -1procurada

    A rea procurada esta no terceiro quadrante.Para determinar esta rea vamos determinar area do terceiro quadrante e subtrair da reado tringulo

    Clculo da rea do terceiro quadrante

    rea do crculo = 2R 21

    A rea do crculo como temos 4

    quadrantes a rea do terceiro quadrante 4

    A rea do tringulo =2

    alturabase=

    2

    11=

    2

    1

    Subtraindo temos 4

    - 2

    1

    ALTERNATIVA A

    40)(UFRGS-02) Dois carros partem de umacidade, deslocando-se pela mesma estrada. Ogrfico abaixo apresenta as distnciaspercorridas pelos carros, em funo do tempo.

    Analisando o grfico, verifica-se que o carroque partiu primeiro foi alcanado pelo outro aoTer percorrido exatamente

    (A) 60 quilmetros(B) 85 quilmetros(C) 88 quilmetros(D) 90 quilmetros(E) 91 quilmetros

    SOLUO

    Observe que um carro alcana o outro quandoas retas se interceptam, logo vamos determinaras equaes das retas e montar um sistemaque vai fornecer alem da distncia percorrida otempo

    Reta 1 ponto ( 0,5 ; 0) e (2,5 ; 180)

    0

    yx

    1805,2

    05,0

    yx

    =

    multiplica e troca de sinal multiplica e no troca de sinal

    0y5,290x180y5,0 =++

    090x180y2 =+ )2(

    045x90y =+

    45x90y =

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    13/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE236

    CONTINUAO DA 40

    Reta 2 ponto (0 ; 0 ) e 0,5 ; 30)

    0

    yx305,0

    00

    yx

    =

    0y5,0x30 =+ x30y5,0 = 5,0

    x30y =

    x60y =

    vamos montar o sistema

    =

    =

    45x90y

    x60ysubstituindo 60x em y temos

    45x90x60 = 45x90x60 =

    45x30 = (x-1)45x30 =

    30

    45x = 5,1x = horas

    vamos determinar o valor de y

    x60y =

    5,160y =

    90y = quilmetros

    ALTERNATIVA D

    41)(UFRGS-02) As retas P, Q, R, S e T tmrespectivamente, equaes y = x , y = 2x,y = 2x + 1, y = 3x e y = 3x + 2.Dentre as opes abaixo, aquela na qual asretas determinam um tringulo

    (A) P, Q e R

    (B) P, Q e S(C) P, Q e T(D) Q, R e S(E) Q, R e T

    SOLUO

    As retas Q e R so paralelas, pois tem omesmo coeficiente angular com uma terceirareta no forma tringuloLogo as alternativas onde aparecer Q e Rso falsas

    As retas S e T so paralelas, pois tem omesmo coeficiente angular com uma terceirareta no forma tringuloLogo as alternativas onde aparecer S e Tso falsas

    Com isso eliminamos as alternativas A, D e E

    Podemos tambm eliminar a alternativa B, poisas trs retas se interceptam na origem noformando tringulo.

    ALTERNATIVA C

    OUTRA MANEIRA DE RESOLVER ESBOAR AS RETAS NO PLANOCARTESIANO

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

    14/18

    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE237

    42)(UFRGS-03) Considere o grfico de y =f(x)abaixo

    Ento o grfico de y = x.f(x)

    SOLUO

    Pontos do Grfico(0 , 1) e (3 , 0)

    1

    3

    Vamos determinar a equao reduzida da retaque passa por dois pontos, aps multiplicar porx

    Para determinar a equao da reta que passapor dois pontos vamos proceder da seguinteforma

    0

    x y

    ponto

    ponto

    yx

    = 0

    yx

    03

    10

    yx

    =

    multiplicamos e multiplicamosenotrocamos o sinal trocamos o sinal

    logo temos

    retadageralequao03xy3

    0y3x3

    =+

    =++

    +=+==+ 333x-y3-x3y03xy3

    13

    xy +

    = equao reduzida da reta

    Agora vamos multiplicar por x a equaoreduzida

    x3

    x-)1

    3

    x.(xy

    2

    ++

    =

    Como a< 0 temos a concavidade voltada para

    baixo, nesta situao eliminamos asalternativas A, B, D

    Vamos determinar as razes ou zeros daequao (onde o grfico corta o eixo do x)

    =+=+

    =+

    0xx-3

    0x3x-0x

    3

    x 222

    3xe0x03)-x(x0x3x ,,,2 ====

    ALTERNATIVA E

  • 7/27/2019 Exercicios Geometria Analitica Resolvidos

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    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE238

    43(UFRGS-03) Sendo A = (0 , 0) e B = (2 , 0),o grfico que pode representar o conjunto dospontos P do plano xy, tais que (PA)2 + (PB)2 =4, o da alternativa

    Vamos considerar o ponto P=(x , y)

    Logo temos os pontos

    A=(0 , 0) B=(2 , 0) e P=(x , Y)

    Vamos calcular a distancia entre os pontos

    d(PA) e d(PB) pela frmula2

    122

    12 )yy()xx( +

    Clculo da distancia entre o ponto P e o pontoA

    (x , y) (0 , 0)

    PA = 2222 yx)0y()0x( +=+

    Clculo da distancia entre o ponto P e o9 pontoB

    (x , y) (2 , 0)

    PB = 2222 y)2x()0y()2x( +=+

    Voltando ao problema

    ( ) ( ) 4PBPA 22 =+

    4y)2x(yx2

    222

    22 =

    ++

    +

    4y)2x(yx 2222 =+++

    04y4x4xyx 2222 =++++

    0x4y2x2 22 =+ (dividir por 2)

    0x2yx 22 =+ A equao acima representa a equao deuma circunferncia de:

    Centro (1 ; 0) e Raio = 1

    ALTERNATIVA D

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    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE239

    44)(UERGS-03) Um crculo contido no 10

    quadrante tangencia o eixo das ordenadas e a

    reta de equao .x4

    3y = O centro desse

    crculo pertence a reta de equao

    (A) 0yx = (B) 0yx2 = (C) 0yx2 =+ (D) 0y2x3 = (E) 0y2x =

    SOLUO

    RETA PROCURADA

    raioy (x,Y)

    raio

    x4

    3y =

    raio x

    Podemos observar pelo desenho acima, que adistancia do centro (ponto x,y) at a reta

    x4

    3y = igual ao raio que vamos chamar de x.

    Logo podemos concluir que a distancia entre o

    ponto (x,y) at a reta x4

    3y = igual ao raio x

    Vamos determinar a distancia entre ponto e

    reta pela frmula22

    ba

    cbyaxd

    +

    ++=

    Ento temos ponto (x , y) e a reta x4

    3y = na

    forma geral 0y4x3 = e a distancia x

    22 ba

    cbyaxx

    +

    ++= x

    )4(3

    0)y4(x3

    23=

    +

    ++

    x169

    y4x3=

    +

    x5

    y4x3 = x5y4x3 = equao

    modular

    logo temos x5y4x3 =

    x5y4x3 = e x5y4x3 = y4x5x3 = y4x5x3 =+

    y4x2 = )2( 4)(y4x8 =

    y2x

    y2x

    =

    = 0yx2

    yx2

    =

    =

    no serve, pois o servecrculo est no 10quadrante, logo o ydeve ser maior que zero

    ALTERNATIVA B

    45)(UFRGS-03) Na figura abaixo,

    y

    5

    0 1 4 5 x

    a regio sombreada do plano xy descrita

    pelas desigualdades da alternativa(A) 4x0 e x5y0 (B) x5y0e5x0 + (C) x5y0e4x1 (D) 5y0e4x1 (E) x5y0e4x1 +

    SOLUOA regio sombreada no eixo x vai de 1 at 4,logo esta delimitada entre 4x1 A regio sombreada tambm est delimitada

    pela reta que passa pelos pontos (0 , 5) e (5 ,0) vamos determinar a equao desta reta

    0

    x y

    ponto

    ponto

    yx

    = 0

    yx

    05

    50

    yx

    =

    multiplica multiplica e noe troca sinal o sinal

    0y5x525 =++ (dividir por 5)x-5y05xy ==+

    logo x5y0

    ALTERNATIVA C

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    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE240

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    GEOMETRIA ANALTICA UNIFORTE241