geometria analitica - retas

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RetasGeometria analtica: retas Introduo Entre os pontos de uma reta e os nmeros reais existe uma correspondncia biunvoca, isto , a cada ponto de reta corresponde um nico nmero real e vice-versa. Considerando uma reta horizontal x, orientada da esquerda para direita (eixo), e determinando um ponto O dessa reta ( origem) e um segmento u, unitrio e no-nulo, temos que dois nmeros inteiros e consecutivos determinam sempre nesse eixo um segmento de reta de comprimento u:

Medida algbrica de um segmento Fazendo corresponder a dois pontos, A e B, do eixo x os nmeros reais xA e xB , temos:

A medida algbrica de um segmento orientado o nmero real que corresponde diferena entre as abscissas da extremidade e da origem desse segmento.

Plano cartesiano A geometria analtica teve como principal idealizador o filsofo francs Ren Descartes ( 15961650). Com o auxlio de um sistema de eixos associados a um plano, ele faz corresponder a cada ponto do plano um par ordenado e vice-versa.

Quando os eixos desse sistemas so perpendiculares na origem, essa correspondncia determina um sistema cartesiano ortogonal ( ou plano cartesiano). Assim, h uma reciprocidade entre o estudo da geometria ( ponto, reta, circunferncia) e da lgebra ( relaes, equaes etc.), podendo-se representar graficamente relaes algbricas e expressar algebricamente representaes grficas. Observe o plano cartesiano nos quadros quadrantes:

Exemplos: A(2, 4) pertence ao 1 quadrante (xA > 0 e yA > 0) B(-3, -5) pertence ao 3 quadrante ( xB < 0 e yB < 0)

Observao: Por conveno, os pontos localizados sobre os eixos no esto em nenhum quadrante.

Distncia entre dois pontos Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e sendo dAB a distncia entre eles, temos:

Aplicando o teorema de Pitgoras ao tringulo retngulo ABC, vem:

Como exemplo, vamos determinar a distncia entre os pontos A(1, -1) e B(4, -5):

Retas

Razo de seco Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC) de uma mesma reta divide , o ponto C

numa determinada razo, denominada razo de seco e indicada por:

em que

, pois se

, ento A = B.

Observe a representao a seguir:

Como o

, podemos escrever:

Vejamos alguns exemplos: Considerando os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(3, 4), a razo em que o ponto P divide :

Se calculssemos rp usando as ordenadas dos pontos, obteramos o mesmo resultado:

Para os pontos A(2, 3), B(5, 6) e P(1, 2), temos:

Assim, para um ponto P qualquer em relao a um segmento orientado eixo, temos: se P interior a se P exterior a , ento rp > 0 , ento rp < 0

contido em um

se P = A, ento rp =0 se P = B, ento no existe rp (PB = 0)

se P o ponto mdio de

, ento rp =1

Ponto mdio Dados os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e P, que divide ao meio, temos:

Assim:

Logo, as coordenadas do ponto mdio so dadas por:

Baricentro de um tringulo Observe o tringulo da figura a seguir, em que M, N e P so os pontos mdios dos lados , respectivamente. Portanto, so as medianas desse tringulo:

Chamamos de baricentro (G) o ponto de interseco das medianas de um tringulo. Esse ponto divide a mediana relativa a um lado em duas partes: a que vai do vrtice at o baricentro tem o dobro da mediana da que vai do baricentro at o ponto mdio do lado. Veja:

Clculo das coordenadas do baricentro Sendo A(XA, YA), B(XB, YB) e C(XC, YC) vrtices de um tringulo, se N ponto mdio de temos: ,

Mas:

Analogamente, determinamos

. Assim:

Condies de alinhamento de trs pontos Se trs pontos, A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC), esto alinhados, ento:

Para demonstrar esse teorema podemos considerar trs casos: a) trs pontos alinhados horizontalmente

Neste caso, as ordenadas so iguais: yA = yB = yC e o determinante nulo, pois a 2 e a 3 coluna so proporcionais. b) trs pontos alinhados verticalmente

Neste caso, as abscissas so iguais: xA = xB = xC e o determinante nulo, pois a 1 e a 3 coluna so proporcionais. c) trs pontos numa reta no-paralela aos eixos

Pela figura, verificamos que os tringulos ABD e BCE so semelhantes. Ento:

Desenvolvendo, vem:

Como:

ento

.

Observao: A recproca da afirmao demonstrada vlida, ou seja, se ento os pontos A(xA,yA), B(xB,yB) e C(xC, yC) esto alinhados.

,

Equaes de uma retaEquao geral Podemos estabelecer a equao geral de uma reta a partir da condio de alinhamento de trs pontos. Dada uma reta r, sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) pontos conhecidos e distintos de r e P(x,y) um ponto genrico, tambm de r, estando A, B e P alinhados, podemos escrever:

Fazendo yA - yB = a, xB - xA = b e xAyB - xByA=c, como a e b no so simultaneamente nulos , temos: ax + by + c = 0 (equao geral da reta r) Essa equao relaciona x e y para qualquer ponto P genrico da reta. Assim, dado o ponto P(m, n): se am + bn + c = 0, P o ponto da reta; se am + bn + c 0, P no ponto da reta. Acompanhe os exemplos: Vamos considerar a equao geral da reta r que passa por A(1, 3) e B(2, 4).

Considerando um ponto P(x, y) da reta, temos:

Vamos verificar se os pontos P(-3, -1) e Q(1, 2) pertencem reta r do exemplo anterior. Substituindo as coordenadas de P em x - y + 2 = 0, temos: -3 + 1 + 2 = 0 r.

-3 - (-1) + 2 = 0

Como a igualdade verdadeira, ento P

Substituindo as coordenadas de Q em x - y + 2 = 0, obtemos:

1-2+2

0 r.

Como a igualdade no verdadeira, ento Q

Equao segmentria Considere a reta r no paralela a nenhum dos eixos e que intercepta os eixos nos pontos P(p, 0) e Q(0, q), com :

A equao geral de r dada por:

Dividindo essa equao por pq

, temos:

Como exemplo, vamos determinar a equao segmentria da reta que passa por P(3, 0) e Q(0, 2), conforme o grfico:

Equaes paramtricas So equaes equivalentes equao geral da reta, da forma x= f(t) e y= g(t), que relacionam as coordenadas x e y dos pontos da reta com um parmetro t.

Assim, por exemplo,

, so equaes paramtricas de uma reta r.

Para obter a equao geral dessa reta a partir das paramtricas, basta eliminar o parmetro t das duas equaes: x=t+2 Substituindo esse valor em y = - t + 1, temos: y = -(x - 2) + 1 = -x + 3 x + y - 3 = 0 ( equao geral de r) t = x -2

Equao Reduzida Considere uma reta r no-paralela ao eixo Oy:

Isolando y na equao geral ax + by + c = 0, temos:

Fazendo

, vem: y = mx + q

Chamada equao reduzida da reta, em que ao eixo Ox.

fornece a inclinao da reta em relao

Quando a reta for paralela ao eixo Oy, no existe a equao na forma reduzida. Coeficiente angular Chamamos de coeficiente angular da reta r o nmero real m tal que:

O ngulo

orientado no sentido anti-horrio e obtido a partir do semi-eixo positivo Ox at a .

reta r. Desse modo, temos sempre Assim: para para Exemplos:

( a tangente positiva no 1 quadrante) ( a tangente negativa no 2 quadrante)

Determinao do coeficiente angular Vamos considerar trs casos: a) o ngulo conhecido

b) as coordenadas de dois pontos distintos da reta so conhecidas: A(xA, yA) e B(xB, yB)

Como Mas, m = tg

( ngulos correspondentes) temos que Ento:

.

Assim, o coeficiente angular da reta que passa, por exemplo, por A(2, -3) e B(-2, 5) :

c) a equao geral da reta conhecida Se uma reta passa por dois pontos distintos A(XA, YA) e B(XB, YB), temos:

Aplicando o Teorema de Laplace na 1 linha, vem: (YA - YB)x + (XB - XA)y + XAYA - XBYB = 0 Da equao geral da reta, temos:

Substituindo esses valores em

, temos:

Equao de uma reta r, conhecidos o coeficiente angular e um ponto de r Seja r uma reta de coeficiente angular m. Sendo P(X0, Y0), P de r(Q P), podemos escrever: r, e Q(x,y) um ponto qualquer

Como exemplo, vamos determinar a equao geral da reta r que passa por P(1, 2), sendo m=3. Assim, temos X0=1 e Y0=2. Logo: y-y0=m(x-x0)=y-2 = 3(x - 1) = y-2 = 3x - 3 = 3x - y - 1 = 0 que a equao geral de r.

Representao grfica de retas Para representar graficamente as retas de equao ax + by + c = 0 ( b 0), isolamos a varivel y e atribumos valores a x, obtendo pares ordenados que so pontos da reta. Assim, mais conveniente usar a equao na forma reduzida, j que ela apresenta o y isolado.

Coordenadas do ponto de interseco de retas A interseco das retas r e s, quando existir, o ponto P(x, y), comum a elas, que a soluo do sistema formado pelas equaes das duas retas. Vamos determinar o ponto de interseco, por exemplo, das retas r: 2x +y - 4 =0 e s: x -y +1=0. Montando o sistema e resolvendo-o, temos:

Substituindo esse valor em x -y = -1, temos: 1 - y = -1 y=2 Logo, P(1, 2) o ponto de interseco das retas r e s. Graficamente, temos:

Posies relativas entre retas Paralelismo Duas retas, r e s, distintas e no-verticais, so paralelas se, e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais.

RetasConcorrnciaDadas as retas r: a1x +b1y + c1 = 0 e s: a2x + b2y + c2 = 0, elas sero concorrentes se tiverem coeficientes angulares diferentes:

Como exemplo, vamos ver se as retas r: 3x - 2y + 1 = 0 e s: 6x + 4y + 3 = 0 so concorrentes:

PerpendicularismoSe r e s so duas retas no-verticais, ento r perpendicular a s se, e somente se, o produto de seus coeficientes angulares for igual a -1. L-se . Acompanhe o desenho:

ngulo entre duas retas Sendo r e s duas retas no-verticais e no-perpendiculares entre si, pelo teorema do ngulo externo , temos:

Dependendo da posio das duas retas no plano, o ngulo Logo:

pode ser agudo ou obtuso.

Essa relao nos fornece o ngulo agudo ser o suplemento de .

entre r e s, pois

. O ngulo obtuso

Distncia entre pont