APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA

Download APOSTILA  GEOMETRIA ANALITICA

Post on 19-Jul-2015

760 views

Category:

Documents

0 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

<ul><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 1/56</p><p>MAT EIU AL D E PA ST AP!t'ita: 7..3_ Lctrs: __ ..__~N Fl~ _:j-,6pruL_~ f~k1-/1_I~~ __: '_----.---.</p><p>Texio N":_.----Obs.:_~ -</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 2/56</p><p>CAPiTULO!o ESPA(,O VETORIALRz</p><p>1.0 conjunto R2Representarnos par lR.?a .conjunto de todos as pares ordenados de numeros</p><p>reais, au seja:</p><p>y y</p><p>]Rl = {(x, y) I x E lR eyE 1R}Par exemplo, sao elementos de IR 2 os pares (3,4), (- 2, 7), (; , 0) ,</p><p>(-..;2, -V2), (~ ,-1) ,(0, 2y'3), etc.Cada__lemento do__R 2 podeser associado a urn ponto de um plano no qual</p><p>fixamos um - sistema de coordenadas conforme indicamos a seguir.</p><p>Yp</p><p>--------lIIIIIIII</p><p>B &lt; p - _ _11F 1</p><p>A------</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 3/56</p><p>c) MultiplicQfiio por numero real. Chamamos produto do numero real k pelo par (x, y) ao par (kx, ky) eindicamos:</p><p>exemplo 49(5, - 3) = (9 5, 9 (-3) = (45, -27)</p><p>d) Propr iedade:Sejam A = (x., yd, B = (x:!. yz) e C = ( X 3 , . Ya) tres elementos quaisquer</p><p>do r n ? e sejam ke m dois numeros reais quaisquer, Podemos constatar as seguintes</p><p>propriedades das operaeoes com pares ordenados:H) associativa: (A + B) + C = A + (B + C)2~) comutativa: A + - B =B+- A3~) elemento neutro da adicao: e 0 par 0 = (0, 0). Ternes:</p><p>A+O=A4!!) oposto de A: e 0 par -A = (-Xl' -Yl)' Temos:</p><p>A + (-A) =0A soma A + (-B) indica-se por A-B.</p><p>5!!) k(A + B) = kA + kB6~) (k + rn)A = kA + rnA7if) k(mA) = (km)A84}) 1 A = A</p><p>. e xemplo 5 . "".. '.Dados A= (3,7), B= (-:-2, l)e C= (4,4) temosA + B -'- 2C= (3, 7)+ .+ (-2,1) -2(4,4) = (3 -2- 8;7+(- 8)=(-7, 0),</p><p>NOTA: Por serern verdadeiras estas oito-propriedades; a conjunto'R? com asoperacoes definidas e chamado lim espayo vetorial.real. Adiante veremos que oselementos do1R2podem set associados aosvetores de urn piano.</p><p>EXERC1C lOS</p><p>1.. Dar as coordenadas dos pontes indi-cadosna figura. .</p><p>yC A</p><p>I G laH 1 F</p><p>.. ' .' 0 1 xI</p><p>D E ..'.</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 4/56</p><p>2. Entre os pontosA (4,0), B (- 3,1), C (0, -7), D ( i - ,0) , E(O, -J3) e F (0,0).a) quais estdo no eixo das abscissas (eixo dos x)?bf quais estiio no eixo das ordenadas (eixo dos y)?</p><p>~ 3. Dizemos qlle urn ponto P (x, y) esta .no 19 quadrante quando x &gt; 0 e y;;. 0no 29 quadrante quando x ... 0 e y;" 0no 39 quadrante quando x 0 ; ; ; 0 e y 0 ; ; ; 0no 49 quadrante quando x;;' 0 e y';: 0</p><p>Dar 0 quadrante onde esta 0 ponto P em cada case:a) P(-7,2) b)P(-./2,-5) C ) p ( - + , - i )</p><p>e j r ( ' 7 , ~i~ . j T )) P{- -./2, .J5- 2)~ 4. Sa xy &lt; 0 em quais quadrantes pode estar. situado 0 ponte P (x,y)?.~ 5. Em cada caso calcular x e y d~ modo que seja verdadeira a igualdade:r a) (x,Y) "" (3, 0) b) (x,I) = (-2, y)</p><p>c) (2x, y + 3) = (la, 10) d) (x + y, x - y) = (5, 1)6. Dados A= (3,.2) eB-=CT, 5), -calcnlar,a) A + B b) 5A c) .-2B</p><p>~ 7.. Dados A ::::(- 3, -I} e B:::: .(4, 0), calculara)5A+4B .b)7B-3A c)3{2A)-B</p><p>\ 8. Dados A = (- 1,4), B = (- 3, - 2) e C = (0,5), calculara) A + B + C b) 2A+ B - C )(. 3A - 2B.+ C</p><p>. d} 2A+ 3B</p><p>d) 5 (3B - 2A)</p><p>..,..,4(A+2B)-3(C-B)9. Dados A = = (3,7), B = (- 1, 2) e C = (11,4), determinar os numeros x e y que tornarnverdadeira a igualdadc x A + YB :::: C.</p><p>Resolu~o</p><p>xA + yB = C =:&gt;(3, 7) +y(~l, 2) "'{11,4). (3x, 7x) + (-y, 2y) = = (11,4)(3x = Y, 7x +ly);'" (11,4) .</p><p>C D@</p><p>lX - y = 117x+ 2y =4</p><p>De ill vern y;'" 3x- 11; que sJibstiiuimos em (]):7x + 2 (3x -11) =4 ~ 7~ + 6~,:""22=4 ==&gt; 13x::: 26 ===;:- x = = 2.:Y= 3x - 11= 3(2)-11 = - 5. .,"10. Calcular X . ~ 'i para quesejuverdadeiraa igualdade x (1, 0) + Y(0, n=(4, tv.ll . Determinar .x e y emcada equacao .1!- )(x,O) + 3 (1, y) = (D,O)b)3{7,2} - 2(x, si= (6,0)c) x{3,-1) 4 - y(7,S).= (4,.6)</p><p>. . . . .. ". ~.12. Calcular x ~ y na equacao X(1,-2}+Y(-2,O}=2(x,y)-3(~,,..x) .. </p><p>3</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 5/56</p><p>19) 0 cornprimento (au modulo): !AD! = !Ee!29) a direcao: estao em retas paralelas39) a sentido</p><p>3. Vetores no planoa) Introducdo</p><p>No paralelogramo ABeD (figura) os segmentos orientados AD e Be apre-sentarn em comum:</p><p>D c</p><p>A</p><p>--+ --+ --+Por isto, dizernos ~ AD e BC representam um mesmo vetor v: AD e 0vetor v aplicado em A e Be e 0 vetor v aplieado em B.</p><p>Urn numero real nao negative (denorninado rn6dulo),urna direcao e urnsenti do sao os tres elementos que caraeterizam 0 que denominarnos vetor, enteque e represent ado geo rnetric arnente atrav es de segmentos orientados.b) Vetores no plano cartesiano</p><p>Na figura indicarnos tres seg-mentos orientados, AB, CD e OP,representantes de urn mesmo vetoru .</p><p>B</p><p>---~~AI -3 I, ,, ,, ,</p><p>-3Para eada urn destes segmen-tos, a proje9ao na direcao (orien-tada) do eixo x tern rnedida alge-brica - 3, enquanto que a projecaona direcao (orientada) do eixo y tern medida algebrica 2. 0 mesmo ocorre coniqualquer outro segrnento orientado que represente 0 vetor u, istc e, que tenha 0mesmo modulo, dire9ao e sentido dos segmentos dados. Podemos assim associaro vetor u ao par (-3,2) do IR?,eserevendo u = (-3,2).</p><p>Em geral, todo vetor v do plano cartesiano pode ser associado a urn parordenado (a, b) do ]R2. Escrevernos</p><p>V"" (a,b)quando a e b sao,nesta ordem, asmedidas algebricas das projecoes de v nasd~fev6es (orientadas) dos eixos xe y . Dizernos que v e 0 vetor de componentes(ou coordenadas) a e b.</p><p>y y</p><p>--~ ..'v . ~. bIII1I</p><p>ap</p><p>o x o a x o x</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 6/56</p><p>VB</p><p>y. -------------_ . . . .</p><p>v</p><p>V I A</p><p>0 xI Xl X</p><p>X2-Xl&gt; 0 e Vz -YI:&gt; 0</p><p>VIA</p><p>onde B - A Ii a diferenca entre os pares ordenados associados aos pontes B e A.</p><p>v</p><p>Y2 B</p><p>o</p><p>exem plo 6A=(l,-l)}B=(5,1)</p><p>__..=&gt;v = AB= B - A= (5 - 1,1 -(-1) = (4,2)d) A.r operacoescom vetoresadirao</p><p>Dados dois vetores u e v,i soma u + v corresponde a soma dos pares orde-nados associados a u e v.</p><p>.y k&gt;O Y</p><p>y</p><p>mpltiplicarao por numero realDado urn nurnero real k e urn vetor v, ao produto kv corresponde 0 produto</p><p>de k pelo par ordenado associado a v.</p><p>5</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 7/56</p><p>- . _ - ... .2AB +5BC - CA=2(B - A ) +5(C - B ) - (A7-C) == 2B ~ 2A + 5C c- 5B - A + C = -3A - 3B + 6C ==-3(11, -r- 7) - 3(0,3) + 6(-1, I) = (- 39,18)</p><p>exemplo 7Dados A = (11, -7), B = = (0, 3) e C = (-1,1) vamos calcular 0 vetor- - - .2AB + SBC - CA. Temos:</p><p>A S = B - A=(0,3) - (11,-7) =, (-11, 10)B e = C - B = (~1, 1) - (0,3) =(-1, -2) ..c A =A - C= (11,-7) ~ (-1,1) = (12,-8)</p><p>logo 2 A B + S B C -cA =2(-11,10) + 5(-1, -2) - (12,"":8) = (-39,18).o calculo tambern pode ser efetuado como segue:</p><p>EXERCIClOS13. Dar 0 par ordenado associado ao vetor v nos cases:</p><p>a) y c)</p><p>-~------V 1_ , . 1I . I! . 1</p><p>y b) y</p><p>x x x</p><p>d) y f)v . e) .. .</p><p>.1.-- . :'</p><p>I I</p><p>G'1. 1,--C_-~--_-'C-. , 1</p><p>1 :I ,</p><p>14. Determlnaras componentes (coordenadasjao vetor A l i nos cases, . . . . .a) A = = (2;1) eB ~(4, 6). ., . b)A=(7,5) eB:.=(l,i)</p><p>d) A = (1,0) eB~ (0,3)f)A "" (2; 5)e B '"=(2,2)h) A""(O,O) e B=;:(x,Y)</p><p>c).A =(-2, O)eB = = (3, -'-I)e) A= (4,3) e B = (4,5)</p><p>'. .' ,'.g) A = (3, -1) eB = (10, -1)</p><p>. .'. .- : ~' " - '. 'f15. Dados A : . . : : (..,.2, 3),B = (2,0), C = (0,--5) e D =(-4, - 2), verificar que os.vetoresA B .e D C sao 19u!lls eque osvet~res A D ~ C D sao o p o s t o s , Osporitos A , B , C eD ~aoos. _ .vertices de quequadrilatero? _ .</p><p>'_", : , " . : ' , ';...... ' , _ " ... : .. : . . . . . . . " .: - ... ,~16.. Dados A=. (2, 1), B = (5, - 1) e C= (~4, O};-calcuiaro vetor 'soma dos vetores AB eA C . - . . . . . . .. -\ r t - J 17. DadosA = (O,l), B =. (-3, 1), C = (4,4)f) .D = (5,"""2), calcular os seguintes veto~es</p><p>. a) A i i + 2ED . ... b)3AC-2DB .</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 8/56</p><p>21. Determinar ~s coordenadas do ponto medio M do segmento de extremidades A ;; [x ; y ,)e B = = (x., y.).. .</p><p>r ) : 19. Dados A :0; (3, 7) e B== (n, 19), determiner 0 ponto C tal que ;t: ==! B .r . . _ i f J 20. -Os vetores u = (3,4), v= (2a, 7) e w = = (I, 3b) satisfazem a equacao 2u - v + 3w =0,)ronde 0 indica 0 velar milo - .Calcular a e b..</p><p>4. Aplicacoes:pontomedio e baricentro</p><p>Resolu~ao</p><p>IIIY ----~ ....---II</p><p>I II IYl .J__ -'-'_I. __ .__ B. tilI : l, :</p><p>Sendo M 0 pan to media de AB, as..vetores A M e M B possuem comprimentos:iguais, mesma dire~ao e.mesmo sentido,Logo A M = M B . Ternes entao:M~A=B-M2M = = A + B</p><p>au seja:o x M = (xl' Y.) + (x" y,) =.. 2 .</p><p>(x,+x,. Y, + Y 1 )= -2-'---r-22. Dar a ponto media do segmento de extrernidades A = P,7) e B = = 01, - 1).Resolucao</p><p>M :0; A .~ B = (3: 7) + ? 1, -1) = e; 11 ,7; 1),;(7, 3).23. Daro ponto media do segmento ABnos casas:a) A=(2,l) e B=(6,9) b) A==(-1,-4) e B=(7;-1)c) A = = (3, 0) e B = (- 3, 0) .(. 1 )d} A=2'''' I.e B:: {5,-I}e}A = (~2 1 ' .~ ) e .B = = (12;- !)24. Dcterminar ospontos medias dosIados do~triingplo de vertices.A(-ll, 1), BFl,?) eC~-~ .....</p><p>. .25. Obter as pontos que dividem 0 segmento de extremidades A(2, 4) e B(14, 13) em tres.partes iguais, : . . ... .Resolucao</p><p>B</p><p>Devemos obter os pontos C e Dtaisque.. .' 1 2X C = 1 " A B e A D ; ; TAB,Ternos:</p><p>.. -;-ot . 1 - - - - &gt; , .AI,;"""TAB==&gt; C .;_.A=lB+2A=3(B~ A)~ c = = - - ; '-3-</p><p>logo:. C= (14,13) + 2'(2,4) -'-......... 3 -_ 04, 13)+ (4,8) .... ....~ 3 =(6,7)</p><p>" . . .D:: C .f . B= (6,7) +(14;13) _ (1 .. . 7Notando que D e o ponte medic de CB'p~demos obter Dcomosegue ...</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 9/56</p><p>2 . .. 2 . ....- 0, 10).</p><p>c</p><p>26. Obter os pontes que dividern em tIeS partes iguais 0 segmento de extrernidades A(- 3,2)e B(12, -7).27. Obter os pontes que dividem em cinco partes iguais 0 segmento de extremidades A (1, 0) eB(-9,S). .28. Entre os pontes que dividern Q segmento AB, A (7, - 1) e B (- 5,5), em seis partesiguais, determinar aquele que esta mais proximo de A .</p><p>.,jrf 29. Prolonga-se 0 segrnento AB, A (L, 2) e B (5, 4), no sentldo de A para B, ate 0 ponto P&gt; :I tal que 0 comprimento de AP e 0 triplo de AB. Deterrninar 0 ponto P.</p><p>30. 0egmento AB e prolongado, no sentido de A para B,ate urn ponto e tal que 0 cornpri-menta de Be e 0 quintuplo de AB. Dados A{3, -1) e B(4, - 3), obter C .A</p><p>31. 0 ponto simetrico do ponto A, rcla-tivamente ao ponte B , e 0 ponto Ctal que B e 0 ponto media de AC.Dados A (3, in e B(5, 8), obter C.32. Dais vertices de urn paralelograrno sao A(3,5) e B(5,3). Sendo M(l,-I) 0 pontomedia das diagonals, obter os outros vertices.</p><p>33. Os pont os A (3,0) e e (0, 7) ~ao extremidades de uma diagonal de urn paralelograrno.Dado. tambem 0 vertice B(4,4), obter.cvertice D do paralelograrno.</p><p>34. Determinar as coordenadas do baricentro do tridngulo ABC, dados A [xl' y ,), B (Xl' r-) ec (x" y,). 'Resolu,</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 10/56</p><p>CAPiTULO!!PRODUTO INTERNO NO R 2</p><p>1. Produto escalar de dois vetoresChamamos produto escalar (ou produto interne usual) de dois vetores</p><p>U = (Xl&gt; Yl) e v = (X'l' Y2 ) do lR ? ao num ero real XIX'l + YIYl' Indicamos estenumero pelo simbolo u . v, cuja leitura e "u escalar v". '</p><p>Adiante veremos a interpretacao geornetrica deste produto.</p><p>'exempio iSendo u = (5,3), v = (2,4) e w = (- 6,1) temos:</p><p>UV =5 2 + 3 4= 22v w = 2 (- 6) + 4 1 = - 8U'u =55+33=34</p><p>o prod uta escalar goza das seguintes propriedades:H) u u ;;;.0 e u U = 0 u = 02 , ! - ) U v = v u3lJ.) u (v + w) =u.v + u w4lJ.) u (kv) = k (u- v)lo t u E 1R.'l, V V EIR2, lo t wE JR 'l e V kE1R. .</p><p>exemplo 2Dados u = (1,2), v = (5, 3) eW=(-3,4) temos:u.(v+w)= (l~2). (2,7) = 1-2 + 27 =16</p><p>'u~v +u Vi =(1~5+ 2.3) + (1 (-3) + 2,4) =11+5 = 16.. .~ .2. MOduIode umvetor "'\~wA &amp;.~)</p><p>Dado o.vetoru ={x, y) do lR2, podemos rnostrar que oseu modulo (compri-menta) e dado por . .</p><p>p</p><p>Om6dulo pode-ser expresso usarido 0produto escal~r.De'fato, noternosque'l.l'U.~ (x,:y), (x, y)= x ., x,+)'.y = X'l+y2 ~ (iul)2</p><p>,lin I=:../u ,u l</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 11/56</p><p>NOTA: 0 m odulo de u e tam be rn c h am a do norma de u e indicado por lu i ou lIulLexernplo 3</p><p>u = (-6, 8) =::::;&gt; lui = J(- 6y~+ 82 = J36 + 64 = ...;loO = 10v e to r u nita rio</p><p>Umvetor que .p ossu i m o du lo igual ale chamado vet o r unitario,l v . t . u n i tiriO </p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 12/56</p><p>9. Dados u = (6, - 8) e v =(- 4, - 3), calcular lui + Ivl+ 2 (u v).10. Entre os vetores seguintes, quais sio unitarios?a) (t Dd) (1, n b) ( + , - i)e) (~ , i) c) (- 1, 0)u. Calcular os valores de a para os quais 0 vetor u = (; , a) e unitano.12. Dado u = (a, - 2), calcular os valores de a para que se tenha lui = 3.13. Dados u = (a + 1, 2) e v = ( - 3, a), calcular 0 valor de a para que se tenha u v =0.</p><p>~ .. .~ 14. Calcular os valores de m para que se tenha (u + v) . (u - v) = O. Dados u = (m, 1) ev = (2,-1). .J '~ 15. Dados u = (2, - 1) e v = e x , 0), calcular x de modo que se tenha 2~ (u + v) ~-2.. 16.. Determinar 0 versor de y nos casesa) v = (10,0)d) v=(..j3,-l)</p><p>b) v = (0, -6)e) v = (5, 5)</p><p>c) v = (4, 3)f) v = (2,3)</p><p>17. Dados u=-(- 12, -:-5) e v-=-(9, - 12), determinar os vetoresa) ~ + ::!_.. lui Ivl ( u . V )) -- vv.vb} (u . v)v + (v , u)u18. Provar que:a) se u=(x,y) e kEIR,entiio Ikul= lkl lul,b) se u::: (x, Y,) e v= (x, Y,), entao (IU + vi)' = (lui)' +. (lvl)' + 2(u v).</p><p>y</p><p>IIIIII!.</p><p>3. Distincia entre dois pontosY 2</p><p>A distancia d entre dois pon-. tos A = ( X l &gt; yd eB = (X 2 ' Y 2 ) e:0 comprimento (modulo) do vetor--+AB. AYiComo --+AB=B-A-</p><p>exemplo 5A distancia entre A(1, 3)e B(S, 6) ed = = V(S _1)2+(6_3)2 =.)42 + 32 = V16+9= 55 = s.</p><p>EXERctclOS</p><p>J!I.I'IIIJI.IIIIJ!IIJ X</p><p>..B</p><p>19. Calcular a distancia entre A eBnos cases:a) A = (0,4) e B = (l2, 9) ..A\[A =(-1, ~-5}e B = (0, ~6).c) A= (4, - l)e B ""(2,3) )1A = (3, I) e B= (7,1)</p><p>d c Y 20_ Calcular operimetro do triingulode vertices A (3, - 1), B (6,3) e C(7, 2)_21. Para que valor de x 0ponto A (x, 2) e equidistante d o s pontes B (1, Ole C (- 1, I)?</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 13/56</p><p>Aisto e:</p><p>/xL~.;----P--:_- --- ---B i C</p><p>J (1 - X)2 + (0 - 2)' = J c- 1 - X)' + (1 - 2)'Elcvando ao quadrado ambos as mernbros vern:</p><p>1 - 2x + x, + 4 = 1 + 2x + x, + 1. _ 3</p><p>portanto - 4x = - 3 e, entao, x = "4 '22. Calcular a valor de ydc modo que a ponte (l,y) seja equidistante dos pontos (1,0) e(0, 2).23. Dcterrninar urn ponto P que pcrtcnca ao eixo lias x e seja equidistante dos pontesA(-I,1) e B(5,7).24. Obter no eixo dos y urn ponto equidistante dos pontes (- 2,0) e (4,2).25. Calcular a distancia entre a ponto A(l, 1) e 0 ponto simetrico de B(5, 2) em relacao aoeixo dos x.26. Os pontos A (1, 1) e B (6, 4) sao ex tremidades de urn Iado de urn quadrado. Qual c aarea dcste quadrado?4. Paralelismo e ortogonalidadea) Condiciio de paralelismo de dais vetores</p><p>Quando dois vetores u e v do m . .2 sao paralelos, suas representacoes georne-tricas pm segmentos orientados, a partir da origem 0, ficarn sobre uma mesmareta.</p><p>y</p><p>v</p><p>- - / ~ , r . o ~ - - - - - - - - - - - - - - ~ - - - - x/Neste caso, se v nao e nulo, podemos concluir que u e urn "multiple" de v,.' . , lu iou seja, u = kv onde k = T V T .Assirn, dado urn vetor nao nulo v , todo vetor u paraleloa v e urn "multiple"</p><p>de v, isto e ,</p><p>onde k e urn nurnero real.Sendo u = (Xl, Y I) e v = (Xl&gt; y.J temosu= kv</p><p>XlSe Xl Y 2 '* 0, decorre que k = '_X2 e k ;:: Y l logoyi ~ 12</p></li><li><p>5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA</p><p> 14/56</p><p>exemplo 6" Dados v = (3,5), sao paralelos a v as seguintes vetores:"</p><p>Ul = (6,10); porque (6, 10)= 2(3,5), logo u, =2v.U2 = = (15, 25); porque (15, 25) = 5(3, 5), logo U2 = 5".U3 = = (-9,-...</p></li></ul>