apostila geometria analitica

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  • 5/17/2018 APOSTILA GEOMETRIA ANALITICA

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    MAT EIU AL D E PA ST AP!t'ita: 7..3_ Lctrs: __ ..__~N Fl~ _:j-,6pruL_~ f~k1-/1_I~~ __: '_----.---.

    Texio N":_.----Obs.:_~ -

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    CAPiTULO!o ESPA(,O VETORIALRz

    1.0 conjunto R2Representarnos par lR.?a .conjunto de todos as pares ordenados de numeros

    reais, au seja:

    y y

    ]Rl = {(x, y) I x E lR eyE 1R}Par exemplo, sao elementos de IR 2 os pares (3,4), (- 2, 7), (; , 0) ,

    (-..;2, -V2), (~ ,-1) ,(0, 2y'3), etc.Cada__lemento do__R 2 podeser associado a urn ponto de um plano no qual

    fixamos um - sistema de coordenadas conforme indicamos a seguir.

    Yp

    --------lIIIIIIII

    B < p - _ _11F 1

    A------

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    c) MultiplicQfiio por numero real. Chamamos produto do numero real k pelo par (x, y) ao par (kx, ky) eindicamos:

    exemplo 49(5, - 3) = (9 5, 9 (-3) = (45, -27)

    d) Propr iedade:Sejam A = (x., yd, B = (x:!. yz) e C = ( X 3 , . Ya) tres elementos quaisquer

    do r n ? e sejam ke m dois numeros reais quaisquer, Podemos constatar as seguintes

    propriedades das operaeoes com pares ordenados:H) associativa: (A + B) + C = A + (B + C)2~) comutativa: A + - B =B+- A3~) elemento neutro da adicao: e 0 par 0 = (0, 0). Ternes:

    A+O=A4!!) oposto de A: e 0 par -A = (-Xl' -Yl)' Temos:

    A + (-A) =0A soma A + (-B) indica-se por A-B.

    5!!) k(A + B) = kA + kB6~) (k + rn)A = kA + rnA7if) k(mA) = (km)A84}) 1 A = A

    . e xemplo 5 . "".. '.Dados A= (3,7), B= (-:-2, l)e C= (4,4) temosA + B -'- 2C= (3, 7)+ .+ (-2,1) -2(4,4) = (3 -2- 8;7+(- 8)=(-7, 0),

    NOTA: Por serern verdadeiras estas oito-propriedades; a conjunto'R? com asoperacoes definidas e chamado lim espayo vetorial.real. Adiante veremos que oselementos do1R2podem set associados aosvetores de urn piano.

    EXERC1C lOS

    1.. Dar as coordenadas dos pontes indi-cadosna figura. .

    yC A

    I G laH 1 F

    .. ' .' 0 1 xI

    D E ..'.

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    2. Entre os pontosA (4,0), B (- 3,1), C (0, -7), D ( i - ,0) , E(O, -J3) e F (0,0).a) quais estdo no eixo das abscissas (eixo dos x)?bf quais estiio no eixo das ordenadas (eixo dos y)?

    ~ 3. Dizemos qlle urn ponto P (x, y) esta .no 19 quadrante quando x > 0 e y;;. 0no 29 quadrante quando x ... 0 e y;" 0no 39 quadrante quando x 0 ; ; ; 0 e y 0 ; ; ; 0no 49 quadrante quando x;;' 0 e y';: 0

    Dar 0 quadrante onde esta 0 ponto P em cada case:a) P(-7,2) b)P(-./2,-5) C ) p ( - + , - i )

    e j r ( ' 7 , ~i~ . j T )) P{- -./2, .J5- 2)~ 4. Sa xy < 0 em quais quadrantes pode estar. situado 0 ponte P (x,y)?.~ 5. Em cada caso calcular x e y d~ modo que seja verdadeira a igualdade:r a) (x,Y) "" (3, 0) b) (x,I) = (-2, y)

    c) (2x, y + 3) = (la, 10) d) (x + y, x - y) = (5, 1)6. Dados A= (3,.2) eB-=CT, 5), -calcnlar,a) A + B b) 5A c) .-2B

    ~ 7.. Dados A ::::(- 3, -I} e B:::: .(4, 0), calculara)5A+4B .b)7B-3A c)3{2A)-B

    \ 8. Dados A = (- 1,4), B = (- 3, - 2) e C = (0,5), calculara) A + B + C b) 2A+ B - C )(. 3A - 2B.+ C

    . d} 2A+ 3B

    d) 5 (3B - 2A)

    ..,..,4(A+2B)-3(C-B)9. Dados A = = (3,7), B = (- 1, 2) e C = (11,4), determinar os numeros x e y que tornarnverdadeira a igualdadc x A + YB :::: C.

    Resolu~o

    xA + yB = C =:>(3, 7) +y(~l, 2) "'{11,4). (3x, 7x) + (-y, 2y) = = (11,4)(3x = Y, 7x +ly);'" (11,4) .

    C D@

    lX - y = 117x+ 2y =4

    De ill vern y;'" 3x- 11; que sJibstiiuimos em (]):7x + 2 (3x -11) =4 ~ 7~ + 6~,:""22=4 ==> 13x::: 26 ===;:- x = = 2.:Y= 3x - 11= 3(2)-11 = - 5. .,"10. Calcular X . ~ 'i para quesejuverdadeiraa igualdade x (1, 0) + Y(0, n=(4, tv.ll . Determinar .x e y emcada equacao .1!- )(x,O) + 3 (1, y) = (D,O)b)3{7,2} - 2(x, si= (6,0)c) x{3,-1) 4 - y(7,S).= (4,.6)

    . . . . .. ". ~.12. Calcular x ~ y na equacao X(1,-2}+Y(-2,O}=2(x,y)-3(~,,..x) ..

    3

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    19) 0 cornprimento (au modulo): !AD! = !Ee!29) a direcao: estao em retas paralelas39) a sentido

    3. Vetores no planoa) Introducdo

    No paralelogramo ABeD (figura) os segmentos orientados AD e Be apre-sentarn em comum:

    D c

    A

    --+ --+ --+Por isto, dizernos ~ AD e BC representam um mesmo vetor v: AD e 0vetor v aplicado em A e Be e 0 vetor v aplieado em B.

    Urn numero real nao negative (denorninado rn6dulo),urna direcao e urnsenti do sao os tres elementos que caraeterizam 0 que denominarnos vetor, enteque e represent ado geo rnetric arnente atrav es de segmentos orientados.b) Vetores no plano cartesiano

    Na figura indicarnos tres seg-mentos orientados, AB, CD e OP,representantes de urn mesmo vetoru .

    B

    ---~~AI -3 I, ,, ,, ,

    -3Para eada urn destes segmen-tos, a proje9ao na direcao (orien-tada) do eixo x tern rnedida alge-brica - 3, enquanto que a projecaona direcao (orientada) do eixo y tern medida algebrica 2. 0 mesmo ocorre coniqualquer outro segrnento orientado que represente 0 vetor u, istc e, que tenha 0mesmo modulo, dire9ao e sentido dos segmentos dados. Podemos assim associaro vetor u ao par (-3,2) do IR?,eserevendo u = (-3,2).

    Em geral, todo vetor v do plano cartesiano pode ser associado a urn parordenado (a, b) do ]R2. Escrevernos

    V"" (a,b)quando a e b sao,nesta ordem, asmedidas algebricas das projecoes de v nasd~fev6es (orientadas) dos eixos xe y . Dizernos que v e 0 vetor de componentes(ou coordenadas) a e b.

    y y

    --~ ..'v . ~. bIII1I

    ap

    o x o a x o x

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    VB

    y. -------------_ . . . .

    v

    V I A

    0 xI Xl X

    X2-Xl> 0 e Vz -YI:> 0

    VIA

    onde B - A Ii a diferenca entre os pares ordenados associados aos pontes B e A.

    v

    Y2 B

    o

    exem plo 6A=(l,-l)}B=(5,1)

    __..=>v = AB= B - A= (5 - 1,1 -(-1) = (4,2)d) A.r operacoescom vetoresadirao

    Dados dois vetores u e v,i soma u + v corresponde a soma dos pares orde-nados associados a u e v.

    .y k>O Y

    y

    mpltiplicarao por numero realDado urn nurnero real k e urn vetor v, ao produto kv corresponde 0 produto

    de k pelo par ordenado associado a v.

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    - . _ - ... .2AB +5BC - CA=2(B - A ) +5(C - B ) - (A7-C) == 2B ~ 2A + 5C c- 5B - A + C = -3A - 3B + 6C ==-3(11, -r- 7) - 3(0,3) + 6(-1, I) = (- 39,18)

    exemplo 7Dados A = (11, -7), B = = (0, 3) e C = (-1,1) vamos calcular 0 vetor- - - .2AB + SBC - CA. Temos:

    A S = B - A=(0,3) - (11,-7) =, (-11, 10)B e = C - B = (~1, 1) - (0,3) =(-1, -2) ..c A =A - C= (11,-7) ~ (-1,1) = (12,-8)

    logo 2 A B + S B C -cA =2(-11,10) + 5(-1, -2) - (12,"":8) = (-39,18).o calculo tambern pode ser efetuado como segue:

    EXERCIClOS13. Dar 0 par ordenado associado ao vetor v nos cases:

    a) y c)

    -~------V 1_ , . 1I . I! . 1

    y b) y

    x x x

    d) y f)v . e) .. .

    .1.-- . :'

    I I

    G'1. 1,--C_-~--_-'C-. , 1

    1 :I ,

    14. Determlnaras componentes (coordenadasjao vetor A l i nos cases, . . . . .a) A = = (2;1) eB ~(4, 6). ., . b)A=(7,5) eB:.=(l,i)

    d) A = (1,0) eB~ (0,3)f)A "" (2; 5)e B '"=(2,2)h) A""(O,O) e B=;:(x,Y)

    c).A =(-2, O)eB = = (3, -'-I)e) A= (4,3) e B = (4,5)

    '. .' ,'.g) A = (3, -1) eB = (10, -1)

    . .'. .- : ~' " - '. 'f15. Dados A : . . : : (..,.2, 3),B = (2,0), C = (0,--5) e D =(-4, - 2), verificar que os.vetoresA B .e D C sao 19u!lls eque osvet~res A D ~ C D sao o p o s t o s , Osporitos A , B , C eD ~aoos. _ .vertices de quequadrilatero? _ .

    '_", : , " . : ' , ';...... ' , _ " ... : .. : . . . . . . . " .: - ... ,~16.. Dados A=. (2, 1), B = (5, - 1) e C= (~4, O};-calcuiaro vetor 'soma dos vetores AB eA C . - . . . . . . .. -\ r t - J 17. DadosA = (O,l), B =. (-3, 1), C = (4,4)f) .D = (5,"""2), calcular os seguintes veto~es

    . a) A i i + 2ED . ... b)3AC-2DB .

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    21. Determinar ~s coordenadas do ponto medio M do segmento de extremidades A ;; [x ; y ,)e B = = (x., y.).. .

    r ) : 19. Dados A :0; (3, 7) e B== (n, 19), determiner 0 ponto C tal que ;t: ==! B .r . . _ i f J 20. -Os vetores u = (3,4), v= (2a, 7) e w = = (I, 3b) satisfazem a equacao 2u - v + 3w =0,)ronde 0 indica 0 velar milo - .Calcular a e b..

    4. Aplicacoes:pontomedio e baricentro

    Resolu~ao

    IIIY ----~ ....---II

    I II IYl .J__ -'-'_I. __ .__ B. tilI : l, :

    Sendo M 0 pan to media de AB, as..vetores A M e M B possuem comprimentos:iguais, mesma dire~ao e.mesmo sentido,Logo A M = M B . Ternes entao:M~A=B-M2M = = A + B

    au seja:o x M = (xl' Y.) + (x" y,) =.. 2 .

    (x,+x,. Y, + Y 1 )= -2-'---r-22. Dar a ponto media do segmento de extrernidades A = P,7) e B = = 01, - 1).Resolucao

    M :0; A .~ B = (3: 7) + ? 1, -1) = e; 11 ,7; 1),;(7, 3).23. Daro ponto media do segmento ABnos casas:a) A=(2,l) e B=(6,9) b) A==(-1,-4) e B=(7;-1)c) A = = (3, 0) e B = (- 3, 0) .(. 1 )d} A=2'''' I.e B:: {5,-I}e}A = (~2 1 ' .~ ) e .B = = (12;- !)24. Dcterminar ospontos medias dosIados do~triingplo de vertices.A(-ll, 1), BFl,?) eC~-~ .....

    . .25. Obter as pontos que dividem 0 segmento de extremidades A(2, 4) e B(14, 13) em tres.partes iguais, : . . ... .Resolucao

    B

    Devemos obter os pontos C e Dtaisque.. .' 1 2X C = 1 " A B e A D ; ; TAB,Ternos:

    .. -;-ot . 1 - - - - > , .AI,;"""TAB==> C .;_.A=lB+2A=3(B~ A)~ c = = - - ; '-3-

    logo:. C= (14,13) + 2'(2,4) -'-......... 3 -_ 04, 13)+ (4,8) .... ....~ 3 =(6,7)

    " . . .D:: C .f . B= (6,7) +(14;13) _ (1 .. . 7Notando que D e o ponte medic de CB'p~demos obter Dcomosegue ...

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    2 . .. 2 . ....- 0, 10)