elipse geometria analitica

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Geometria Analítica UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI CAMPUS DO MUCURI INSTITUTO DE CIÊNCIA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA - ICET

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Page 1: Elipse Geometria Analitica

Geometria Analítica

UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI

CAMPUS DO MUCURI INSTITUTO DE CIÊNCIA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA - ICET

Page 2: Elipse Geometria Analitica

ElipseComponentes:Altamiro J. Mendes SilvaGledsa A. Vieira

UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI

CAMPUS DO MUCURI INSTITUTO DE CIÊNCIA, ENGENHARIA E TECNOLOGIA - ICET

Page 3: Elipse Geometria Analitica

SUMÁRIO

•INTRODUÇÃO•DEFINIÇÃO E ELEMENTOS•PROPRIEDADE DA REFLEXÃO•EQUAÇÃO•APLICAÇÃO•CONCLUSÃO

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INTRODUÇÃO

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INTRODUÇÃO

•OrigemConsiderando um cone circular reto,

utilizaremos um plano inclinado em relação ao eixo e que intersecte todas as geratrizes do cone.

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PARA REFLETIR

Se o plano for paralelo ao plano da base, obteríamos uma circunferência, que também é uma secção cônica.

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DEFINIÇÃO E ELEMENTOS•Imaginemos 2 pontos fixos F1 e F2, tal que a

distância entre eles seja 2c. •Proposta: Marcar uma série de pontos tal que

a soma de suas distâncias aos pontos fixos F1 e F2 seja sempre constante e maior do que 2c.

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Assim, definimos que elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano tal que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, denominados focos, F1 e F2, seja constante, igual a 2a e maior que a distância entre os focos (2a>2c).

DEFINIÇÃO

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ELEMENTOS

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ELEMENTOS

Do triângulo retângulo (B2CF2) vem

Esta igualdade mostra que b<a e c<a. Excentricidade da elipse é o número real:

A excentricidade é responsável pela “forma” da elipse: elipses com excentricidade perto de 0 (zero) são aproximadamente circulares, enquanto que elipses com excentricidade próxima de 1 são “achatadas”.

Page 12: Elipse Geometria Analitica

PROPRIEDADE DA REFLEXÃO NA ELIPSE

•Se t é a tangente no ponto P de uma elipse de focos F1 e F2, são iguais os ângulos α e β formados pela reta tangente e os raios focais F1P e F2P, respectivamente.

Page 13: Elipse Geometria Analitica

PROPRIEDADE DA REFLEXÃO NA ELIPSE

• Imaginando uma superfície obtida girando-se a elipse em torno do eixo maior, e admitindo espelhada a parte interna, se uma fonte de luz for colocada num dos focos, por exemplo F1, os raios que esta fonte irradia serão refletidos todos no outro foco (F2).

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EQUAÇÃO DA ELIPSE1º caso: Eixo maior está sobre eixo dos x. Pela definição, tem-se:

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EQUAÇÃO DA ELIPSE2º caso: Eixo maior está sobre eixo dos y.

Com procedimento análogo ao anterior, tem-se:

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EQUAÇÃO DA ELIPSE•EXEMPLOS:1) A partir da equação, ,

determinar:

a) A medida dos semi-eixos;b) Um esboço gráfico;c) Os focos;d) A excentricidade.

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EQUAÇÃO DA ELIPSE1) Uma elipse de centro na origem tem um

foco no ponto (3,0) e a medida do eixo maior é 8. Determinar sua equação.

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APLICAÇÃO DA ELIPSE•  A elipse é frequentemente usada na Arquitetura, no

Design e na Engenharia. As superfícies geradas por cônicas elipsóides têm propriedades refletoras que se usam para criar condições acústicas especiais em auditórios, teatros e igrejas.

Fonte: Àguas Agitadas, M. C. Escher, 1950, linogravura. Fonte: Coliseu de Roma.

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CONCLUSÃO

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BIBLIOGRAFIA•WINTERLE, P. “VETORES E GEOMETRIA

ANALÍTICA” - São Paulo, 2000.•KINDLE, J.H. “GEOMETRIA ANALÍTICA”

(COLEÇÃO SCHAUM) – México: Mc Graw-Hill, 1970.