ap geometria analitica resolvidos

Universidade Federal do Ceará Centro de Tecnologia

Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas

2º Ano

Apostila de Matemática # 3

Assunto:

Geometria Analítica

Organização: PET-CT

Pró-Exacta – Programa de Aprofundamento em Ciências Exatas Centro de Tecnologia – Universidade Federal do Ceará (UFC) 2

1 INTRODUÇÃO

Bem-vindos! Este é o segundo ano do projeto Pró-Exacta, projeto que foi idealizado

pelos PETs do Centro de Tecnologia da Universidade Federal do Ceará – UFC. O

projeto busca ajudar vocês com aulas extras aos sábados das disciplinas de matemática,

física e química, como foi feito no ano passado (2010). É importante lembrar que o

projeto não pretende, de forma alguma, substituir as aulas escolares e sim complementá-

las.

Os módulos de matemática cresceram um pouco em relação ao ano passado e agora se

tornaram apostilas. Apostilas estas confeccionadas com afinco para uma melhor

aprendizagem do conteúdo exposto em sala de aula. As apostilas são divididas em

capítulos com um texto explicativo do conteúdo, misturado com exercícios resolvidos e

exemplos e, ao fim de cada capítulo, exercícios propostos para testar o aprendizado, é

extremamente importante que esses exercícios sejam estudados. Os exercícios que

forem mais difíceis e você não entender, por favor, fale para algum dos nossos

professores que será feito o possível para que a dúvida seja resolvida.


Capítulo 1 – COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO E

EQUAÇÃO DA RETA

1. Noções básicas:

René Descartes (1596-1650) físico, filósofo e matemático foi o autor da idéia simples,

porém genial, de localizar um ponto qualquer P do espaço em um plano por meio,

apenas, de um par de números e de um ponto referencial O, chamado de Origem.

Esse plano é definido por duas retas perpendiculares, eixo x e eixo y, e concorrentes no

ponto O. Para representar o ponto P são traçadas retas paralelas a x e y que passa pelo

ponto P, de forma que as interseções com os eixos x e y é respectivamente P1 e P2.

Assim, o ponto P é localizado por um par ordenado P(xp, yp), onde xp é a distância do

ponto P ao eixo y, ou seja, a distância OP1 e yp é a distância do ponto P ao eixo x, a

distância OP2. Observe a figura:

-Abscissa do ponto P: É o número real xp, que indica a distância orientada de P ao eixo

y.

Se xp > 0 → quantas unidades de P está a direita da origem.

Se xp < 0 → quantas unidades de P está a esquerda da origem.

Se xp = 0 → indica que P está sobre o eixo y.

-Ordenada do ponto P: É o número real yp, que indica a distância orientada de P ao

eixo x.

Se yp > 0 → quantas unidades de P está acima da origem.

Se yp < 0 → quantas unidades de P está abaixo da origem.

Se yp = 0 → indica que P está sobre o eixo x.

-Plano cartesiano ortogonal:

É o plano xOy, definido pelos eixos x e y

-Coordenadas cartesianas de P:

É o par ordenado (xp, yp)

-Eixo das abscissas(eixo x):

É a reta orientada OX

-Eixo das ordenadas (eixo y):

É a reta orientada OY


Exercício resolvido 1:

Analise a figura, abaixo, e dê as coordenadas cartesianas dos pontos destacados:

Solução:

A(1,2); B(-1,2); C(-1,-2); D(1,-2); E(1,0) e F(0,2).

Observe que a ordem do par ordenado é importante, assim cada par ordenado representa

um ponto especifico do plano. Ex: o par ordenado (2,3) representa um ponto diferente

do par ordenado (3,2) no plano cartesiano.

2. Posições de um ponto em relação ao sistema cartesiano:

2.1 Quadrantes do plano:

Os eixos perpendiculares x e y definem o plano cartesiano e o dividi em quatro partes

ângulares, denominadas de quadrantes.

E fica evidente que:

P ϵ 1° Quadrante → xp ≥ 0 e yp ≥ 0

P ϵ 2° Quadrante → xp ≤ 0 e yp ≥ 0

P ϵ 3° Quadrante → xp ≤ 0 e yp ≤ 0

P ϵ 4° Quadrante → xp ≥ 0 e yp ≤ 0


2.2 Bissetriz dos quadrantes:

Um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares se, e somente se, tiver

coordenadas iguais:

P ϵ b13 ↔ xp = yp

Isso significa que a bissetriz dos quadrantes ímpares b13 é o conjunto de pontos de

coordenadas iguais:

b13 = {(a,a) / a ϵ R}.

E um ponto pertence à bissetriz dos quadrantes pares se, e somente se, tiver coordenadas

opostas:

P ϵ b13 ↔ xp = -yp

Isso significa que a bissetriz dos quadrantes pares é o conjunto de pontos de

coordenadas opostas:

b13 = {(a,-a) / a ϵ R}.

3. Exercícios propostos:

1) Dados os pontos P(x + 5; 2y) e Q(15; y + 6) determine x e y para que:

a) P pertença ao terceiro quadrante.

b) Q pertença ao quarto quadrante.

c) P pertença ao eixo das abscissas

2) Dados os pontos M(2x + 6; x + 4) e N(y – 12; 2y + 6) determine x e y para que:


a) M a bissetriz dos quadrantes ímpares e N a bissetriz dos quadrantes pares

b) M e N sejam iguais

3) Sejam Q simétrico ao ponto P(x, y) em relação ao eixo das abscissas e R

também simétrico à P(x, y) em relação ao eixo das ordenadas. Então está correto

que:

a) Q(-x, y)

b) Q(x, -y) e R(-x, y)

c) Q(x, -y) e R(-x, -y)

d) Q(x, -y) e R(-x, y)

4. Distância entre dois pontos:

Considere dois pontos distintos, A(x1 ,y1) e B(x2 ,y2), pertencentes ao plano cartesiano, a

distância entre elas é a medida do segmento de reta que os ligam, indicada por d(A,B):

Observe na figura o triângulo retângulo ABC. Aplicando o teorema de Pitágoras, tem-se

que:

(dab) 2 = (CA)

2 +(CB)

2, onde CA = x2 - x1 e PB = y2 – y1 .

Logo: d2

ab = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)

2

dab = ± (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2

Note que:

dab ≥ 0

(x2 – x1)2 = (x1 - x2)

2 =(∆𝑥)

2 e

(y2 – y1)2 = (y1 - y2)

2 =(∆𝑦)

2

Assim: 𝑑𝑎𝑏 = ∆𝑥 2 + ∆𝑦 2

Exercício Resolvido 2:

Calcule as medidas dos lados do triângulo cujos vértices são A(-2, 3), B(1, 3) e C(1, -1).


Solução:

dab = −2 − 1 2 + 3 − 3 2 = 9 = 3

dac = −2 − 1 2 + 3 + 1 2 = 25 = 5

dbc = 1 − 1 2 + 3 + 1 2 = 16 = 4


4) Sendo A(3, 1), B( 4, -4) e C(-2, 2) vértices de um triângulo, classifique-o quanto

ao seus lados e ângulos.

5) Calcule a distância de P(3, -4) à origem do sistema cartesiano.

6) Prove que o triângulo cujos vértices são A(2, 2), B(-4, -6) e C(4, -12) é

retângulo.

7) Determine o ponto P, pertencente ao eixo das abscissas, sabendo que é

equidistante dos pontos A(2, -1) e B(3, 5)

8) Dados A(5, -2) e B(4, -1), vértices consecutivos de um quadrado, determine os

outros dois vértices do mesmo.

6. Seguimento Orientado:

6.1 Definição:

Dado um seguimento de reta AB pode-se orientá-lo com um sentido de A para B ou de

B para A. Adotando o sentido de A para B obtém-se um seguimento orientado AB de

origem em A.

6.2 Razão de um seguimento:

Considere três pontos colineares A, B, e C com A ≠ B ≠ C, chama-se de razão entre os

seguimentos orientados AB e AC o número r tal que:

r = 𝐴𝐵

𝐵𝐶

Pode-se calcular r em função das coordenadas de A, B e C, usando a formula da

distância de dois pontos, assim:

r = 𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝑥𝑏−𝑥𝑎 2+ 𝑦𝑏−𝑦𝑎 2

(xc – xb)2 + (yc - yb)2

Ao traçarmos os seguimentos AB e BC no plano cartesiano, pode-se, ainda, deduzir

que:


𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝑥𝑏 − 𝑥𝑎

𝑥𝑐 − 𝑥𝑏

E/ou que:

𝐴𝐵

𝐵𝐶=

𝑦𝑏 − 𝑦𝑎

𝑦𝑐 − 𝑦𝑏

Exercício Resolvido 3:

Obtenha as coordenadas do ponto C da reta AB, sabendo que A = (1, 5), B = (4, 17) e r

= 𝐴𝐶

𝐶𝐵 = 2.

Solução:

r = 𝑥𝑐−𝑥𝑎

𝑥𝑏−𝑥𝑐 =

𝑥−1

4−𝑥 = 2

→ x - 1 = 8 - 2x → x = 3

r = 𝑦𝑐−𝑦𝑎

𝑦𝑏−𝑦𝑐 =

𝑦−5

17−𝑦 = 2

→ y - 5 = 34 – 2y → y = 13

Então C = (3, 13).

6.3 Ponto médio de um seguimento:

Se a razão de seguimento 𝐴𝑃

𝑃𝐵 , for igual a 1, significa que P divide igualmente o

seguimento AB. Dessa forma P = M , ponto médio do seguimento AB.

Deduz que: 𝐴𝑃

𝑃𝐵= 1 =

𝐴𝑀

𝑀𝐵

𝐴𝑀

𝑀𝐵=

𝑥𝑚 −𝑥𝑎

𝑥𝑏−𝑥𝑚= 1

→ 𝑥𝑚 − 𝑥𝑎 = 𝑥𝑏 − 𝑥𝑚

Logo, 𝑥𝑚 =𝑥𝑏−𝑥𝑎

2

Analogamente,

𝑦𝑚 =𝑦𝑏 − 𝑦𝑎

2


9) Dados A(5, 3) e B(-1,-3), seja C a intercessão da reta AB com o eixo das

abscissas. Calcule a razão AC/CB.


10) Determine as coordenadas que dividem AB em quatro partes iguais, quando

A(3,-2) e B(15, 10)

11) Calcule o comprimento da mediana AM do triângulo ABC cujos vértices são os

pontos A(0, 0), B(3, 7) e C(5, -1).

12) Se M(1, 1), N(0, 3) e P (-2, 2) são os pontos médios dos lados AB, BC, e CA,

respectivamente, de um triângulo ABC, determine as coordenadas de A, B e C.

13) O baricentro de um triângulo é G 5, 1 e dois de seus vértices são A(9, -3) e

B(1, 2). Determine o terceiro vértice

8. Condição de alinhamento de três pontos:

Sabe-se que por dois pontos distintos passa uma reta, logo esses dois pontos sempre

estarão alinhados, mas qual é a condição para que três pontos distintos estejam

alinhados?

Considere três distintos pontos A(xa,, ya), B(xb, yb) e C(xc,, yc) alinhados, ou seja,

pertencentes a uma mesma reta no plano cartesiano.

Pela figura encontra-se que os triângulos ABD e BCE são semelhantes, assim:

𝐴𝐷

𝐵𝐸 =

𝐵𝐷

𝐶𝐸

𝑥𝑏−𝑥𝑎

𝑥𝑐−𝑥𝑏 =

𝑦𝑏−𝑦𝑎

𝑦𝑐−𝑦𝑏

→ (xb – xa)(yc – yb) = (xc – xb)(yb – ya)

→ (xb – xa)(yc – yb) - (xc – xb)(yb – ya) = 0

A igualdade acima pode ser escrita assim:


Isso porque esse determinante é equivalente ao primeiro termo da equação anterior.

Daí tem-se, finalmente, que três pontos A(x1,, y1), B(x2,, y2), C(x3,, y3) são colineares se,

e somente se:


14) Os pontos A(2, 7); B(-3, 0) e C são colineares?

15) Se o ponto (q, -4) pertence a reta que passa pelos pontos (0, 6); (6, 0). Determine

q.

16) Dados A(1, 5) e B(3, -1), obtenha o ponto em que a reta AB intercepta a

bissetriz dos quadrantes ímpares.

17) Determine P(x, y) colinear simultaneamente com A(0, 3) e B(1, 0) e com C(1, 2)

e D(0, 1).

10. Equação geral da reta:

Considere a reta r na figura, definida por dois pontos de coordenadas conhecidas, A(xa,,

ya) e B(xb, yb):

Sendo P um ponto qualquer dessa reta. Como os pontos P, A e B são colineares, tem-se

que:


Assim,

𝑦1𝑥 + 𝑥2𝑦 + 𝑥1𝑦2 − 𝑥2𝑦1 − 𝑥1𝑦 − 𝑦2𝑥 = 0 → 𝑦1 − 𝑦2 𝑥 + 𝑥2 − 𝑥1 𝑦 + 𝑥1𝑦2− 𝑥2𝑦1

= 0

Fazendo: 𝑦1 − 𝑦2 = 𝑎

𝑥2 − 𝑥1 = 𝑏

𝑥1𝑦2− 𝑥2𝑦1

= 𝑐

Obtém-se a equação geral da reta:

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

Onde a, b, c são números reais, a ≠ 0 ou b ≠ 0. Observe que a e b não pode ser

simultaneamente nulos.

Dessa forma, tem-se que toda reta possui uma equação da forma 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0,

sendo a e b não simultaneamente nulos, que é chamada de equação geral da reta.

Observações:

1) Se a = 0, y = −𝑐

𝑏 e essa reta é horizontal, paralela ao eixo x;

2) Se b = 0, y = −𝑐

𝑎 e essa reta é vertical, paralela ao eixo y;

3) Se c =0, ax – by = 0 e essa reta passa pela origem.


Obter a equação geral da reta que passa nos pontos A e B(4,6). Sendo o ponto A

interseção das retas de equações 2x + y – 6 =0 e 2x – y – 6 =0.

Solução:

1. As coordenadas do ponto A são solução do sistema:

2x + y = 6 → x = 3 e y = 0

2x – y = 6 A(3,0)

2. Sendo P(x,y) o ponto genérico da reta r procurada A, B e P respeitam a condição

de alinhamento

3 0 14 6 1𝑥 𝑦 1

= 0

→ 18 + 4y – 6x – 3y = 0

→ y – 6x + 18 = 0



18) Dados os pontos A(1, 2), B(2, 2) e C(4, 3), obtenha a equação da reta que passa

por A e pelo ponto médio do segmento BC.

19) A reta determinada por A(p, q) e B(7, 3) passa pela origem. Qual é a relação

entre p e q?

20) Determine a interseção das retas x -5y = 14 e 3x + 2y = -9.

21) Calcule o perímetro do triângulo cujos vértices são a interseções das retas x + y

= 6, x = 1 e y = 1.

12. Posições relativas de duas retas:

Dadas duas retas r e s cujas equações são

(r) a1x + b1y = c1

(s) a2x + b2y = c2

Elas podem ocupar somente três posições relativas ao plano cartesiano. Essas posições

são definidas com base no número de pontos comuns às duas retas.

Pode-se observar no exercício resolvido anterior, que o ponto de interseção de duas

retas deve obedecer as equações de ambas as retas. Logo, obtêm-se os pontos que

intercedem às retas r e s resolvendo um sistema com as equações dessas retas Assim:

-r e s são concorrentes: quando o sistema admite uma única solução que é um par

ordenado localizado na interseção das duas retas, logo, essas retas só possuem um ponto

em comum.

-r e s paralelas e distintas: quando o sistema não admite solução, assim não existe

ponto em comum nessas retas.

-r e s paralelas e coincidentes: quando o sistema possui infinitas soluções, assim essas

retas são iguais, pois possui os mesmos pontos.

r x s r ∩ s = 0 r = s

Para que esses três casos ocorram é necessário que:

r x s ↔ 𝑎1

𝑎2≠

𝑏1

𝑏2 (concorrentes)

r∩s=0 ↔ 𝑎1

𝑎2=

𝑏1

𝑏2≠

𝑐1

𝑐2 (paralelas e distintas)

r = s ↔ 𝑎1

𝑎2=

𝑏1

𝑏2=

𝑐1

𝑐2 (coincidentes)



Determine a posição relativa da reta r, de equação 2x – 3y + 5 = 0, em relação a reta s

de equação 4x – 6y - 1 = 0.

Solução:

𝑎1

𝑎2=

2

4= 0,5

𝑏1

𝑏2=

−3

−6= 0,5

𝑐1

𝑐2=

5

−1= −5

Logo, ao compararmos, tem-se que 𝑎1

𝑎2=

𝑏1

𝑏2≠

𝑐1

𝑐2, portanto são paralelas.


22) Qual a posição relativa entre as retas 3x – y – 7 = 0 e 6x -2y + 17 = 0

23) Para que valores de k as retas ( k + 1)x + 10y - 1 = 0 e 8x + (k - 1)y + 1 = 0 são

paralelas

14. Formas da equação da reta:

Neste item serão apresentadas diferentes e importantes formas da equação da reta,

observe:

1) Forma geral:

Viu-se que dada uma reta r, podemos determinar pelo menos uma equação do tipo

𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 = 𝟎, denominada de equação geral da reta.

2) Forma reduzida:

Dada a equação geral da reta r, se b ≠ 0, tem-se que:

→ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0

→ 𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐

→𝑦 = −𝑎

𝑏 𝑥 + −

𝑐

𝑏

Chamando −𝑎

𝑏 de m e −

𝑐

𝑏 de n. encontra-se:

𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒏

Essa ultima equação, expressa y em função de x e é conhecida como equação reduzida

da reta r.

Exemplo: dada a equação geral da reta (s) 4x – 2y + 32 = 0 a equação reduzida desta é

y = 2x + 16.


3) Forma segmentaria:

Essa forma representa retas definidas pelos pontos que interceptam os eixos cartesianos.

Considere uma reta r que intercepta os eixos cartesianos nos pontos Q(0, q), interseção

com o eixo y e P(p,0), interseção com o eixo x.

Assim,

𝑥 𝑦 10 𝑞 1𝑝 0 1

= 0

→ 𝑞𝑥 + 𝑝𝑦 − 𝑝𝑞 = 0

→ 𝑞𝑥 + 𝑝𝑦 = 𝑝𝑞

→𝒙

𝒑+

𝒚

𝒒= 𝟏

Essa ultima é a equação segmentária da reta r.


Determine a equação segmentária e geral da reta que passa pelos pontos R(3, 0) e F(0,

4).

Solução:

A equação segmentária é 𝑥

3+

𝑦

4= 1

Para encontrar a equação geral basta multiplicar de forma a eliminar os denominadores:

Multiplicando por 3 → 𝑥 +3𝑦

4= 3

Multiplicando por 4 → 4𝑥 + 3𝑦 = 12

Logo a equação geral é 4𝑥 + 3𝑦 − 12 = 0

Exercício resolvido 7

Obter a equação segmentária da reta:

(s) 7x + 11y + 3 = 0.

Solução

7x + 11y = -3

→− 7

3𝑥 −

11

3𝑦 = 1

→𝑥

−3

7

+𝑦

−3

11

= 1 (equação segmentária)

4) Forma paramétrica:

Diferente das equações anteriores, a equação paramétrica não relaciona diretamente

entre si as coordenadas x e y.

Essas equações são dadas em função de uma terceira variável, t, chamada de parâmetro

da equação. Assim x e y são dados em função de t:

x = f(t)

y = g(t), onde t ∈ 𝑅


Para obtermos a equação geral de uma reta definida por equações paramétricas tem que

eliminar o parâmetro t das duas equações.


Determine a equação geral da reta definida por:

x = 4 + 2t

y = 1 – t (𝑡 ∈ 𝑅)

Solução:

Vamos eliminar o parâmetro P para encontrar a equação geral:

Vem que t = 1 – y

Substituindo t na primeira equação:

x = 4 + 2(1 - y)

x = 4 + 2 -2y

2y +x -2 = 0 (equação geral da reta)


24) Dada a reta r que passa pelos pontos (3, 2) e (1, 0), dê sua expressão na forma

reduzida

25) Dados A(3, 10) e B(-6, -5), determine a equação segmentária da reta AB.

26) Dadas as equações paramétricas de uma reta (r) x = 10t – 2 e y = 3t, obtenha sua

equação segmentária

27) Qual é a posição relativa das retas (r)𝑥

2

3

+𝑦

−2= 1 e

(s)x = t – 1, y = 3t - 2 ?


16. Gabaritos:

1. a) x ≤ -5 e y ≤ 0

b) y ≤ -6

c)y = 0 e x ϵ R

2. a) x = -2 e y = 2

b) x = −38

3 e y = −

22

3

.

3. Item d

4. Triângulo isósceles obtusângulo

5. 5

6. Para um triangulo ser retângulo o teorema de Pitágoras é verdadeiro, o que pode-

se verificar ao calcular a distância de cada vértice para outro e verificar o

teorema.(𝑑𝑐𝑎2 = 𝑑𝑎𝑏

2 + 𝑑𝑐𝑏2 )

7. P ( 29

2, 0 )

8. C(3, -2) D(4, -3) ou

C(5, 0) D(6, -3)

9. 1

10. (6, 1); (9, 4) e (12, 7)

11. dam = 5

12. A(-1, 0); B(3, 2); (-3, 4)

13. C(5, 4)

14. Não

15. q = 10

16. (2, 2)

17. 1

2,

3

2

18. 3x + 4y -11 = 0

19. 7q - 3p = 0

20. (-1, -3)

21. 4( 2 + 2)

22. Paralelas distintas

23. -9 ou 9

24. y = 1

2𝑥 −

1

2

25. 𝑥

−3+

𝑦

5= 1

26. 𝑥

−2+

𝑦3

5

= 1

27. Paralelas e distintas


Capítulo 2 - TEOREMA ANGULAR

Dados dois pontos A(x1,y1) e B(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que

passa por esses dois pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a

necessidade de duas informações e dois conceitos importantes: o coeficiente angular da

reta e o coeficiente linear da reta.

1. Coeficiente angular

Consideremos o ângulo formado no sentido anti-horário a partir do semi-eixo positivo

Ox até uma reta qualquer. Vejamos os exemplos a seguir:

Lembrete! Temos sempre 0º ≤ θ < 180º

Sendo θ o ângulo considerado acima, chamamos de coeficiente angular da reta o

número real m tal que: m = tg θ; θ ≠ 90º

Assim temos:


Veremos, agora, como determinar o coeficiente angular de uma reta a partir de dois

quaisquer de seus pontos. Na figura a seguir, mostramos uma reta passando pelos

pontos (x1,y1) e (x2, y2). O triângulo retângulo formado tem o cateto vertical igual a y2 -

y1 e o cateto horizontal igual a x2- x1. Dividindo o cateto vertical pelo horizontal,

obtemos a fórmula do coeficiente angular:

m = 𝒚𝟐− 𝒚𝟏

𝒙𝟐− 𝒙𝟏 = tg α

Preferimos a notação:

m = 𝜟𝒚

𝜟𝒙 (Δx ≠ 0)

em que Δx e Δy são, respectivamente, a diferença de abscissas e a diferença de

ordenadas entre A e B.

Por exemplo, o declive de reta que passa pelos pontos A(2,4) e B(4,10) é:

𝑚 = 𝛥𝑦

𝛥𝑥=

(10 − 4)

(4 − 2)= 3

Imagine que agora conhecemos a equação geral de uma reta: ax + by + c =0. Vamos

calcular o coeficiente angular dessa reta. Lembremos que, dados A(xA,yA) e B(xB,yB)

pertencentes à reta, a equação geral é:

Assim temos que: (yA – yB) = a e (xB – xA) = b. Logo:

𝑚 = 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴

𝑥𝐵 − 𝑥𝐴= −

𝑎

𝑏 , 𝑏 ≠ 0

Por exemplo, o coeficiente angular da reta (r) 3 x – 3y + c = 0 é:

𝑚 = − 𝑎

𝑏= −

3

−3=

3

3


No caso da equação geral da reta: ax + by + c = 0, podemos obter a equação reduzida da

reta. Isolando y e dividindo tudo por b teremos:

𝑏𝑦 = −𝑎𝑥 − 𝑐 => 𝑦 = −𝑎

𝑏 𝑥 −

𝑐

𝑏

Como sabemos, m = −𝑎

𝑏. Podemos então definir n =

−𝑐

𝑏 e chamá-lo de coeficiente linear

da reta. Assim teremos a equação reduzida: y = mx + n

Exercícios:

1. Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A(0,3) e B(3,0)

2. Qual o coeficiente angular da reta 5x + 3y + 13 = 0?

3. Calcule o coeficiente angular das retas:

a) 2x + 5 = 2y c) x = 9

b) x = 5t d) 3y = -5

y = 2 – 3t

4. Considere os pontos A(-5,-3), B(-2,12) e C(4,6) e o triângulo ABC. Determine o

coeficiente angular da reta que contém a mediana obtida a partir do vértice A.

2. Equação de uma reta passando por P(x0,y0)

Seja r uma reta cujo coeficiente angular é igual a m. Sendo P(x0,y0) um ponto que

pertença a esta reta (P ∈ r) e um ponto Q(x,y) qualquer de r, tal que Q ≠ P. Podemos

escrever:

𝑚 = 𝛥𝑦

𝛥𝑥=

𝑦 − 𝑦0

𝑥 − 𝑥0=> 𝑦 − 𝑦0 = 𝑚. 𝑥 − 𝑥0

Vemos que podemos determinar a equação de uma reta dados apenas seu coeficiente

angular e um ponto conhecido.

Exercício Resolvido:

Determine a equação geral da reta s sabendo que ela passa pelo ponto P(2,6) e que seu

coeficiente angular é m = 2.

Solução: y – y0 = m.(x – x0) => y – 6 = 2.(x – 2) => y – 6 = 2x – 4 => y = 2x + 2

Logo, s: y = 2x + 2.


Obs.: Caso a reta seja reta seja perpendicular ao eixo dos x, sua equação será dada por:

𝑥 = 𝑥0

Pois nesse caso α = 90° e o coeficiente angular da reta não existe.

Exercícios

5. Dê a equação geral da reta que passa pelo ponto P(2,-5) e tem coeficiente

angular − 4

5

6. Determine a equação da reta que passa por P e tem inclinação α em relação ao

eixo dos x nos casos seguintes:

a) P(-1,8) e α = 60° c) P(3,-1) e α = 0°

b) P(3,-5) e α = 90° d) P(2,-2) e α = arc tg 3

7. Qual é a equação do feixe de retas concorrentes em P(-3,2)?

3. Condição de paralelismo

“Duas retas, r e s, não verticais, são paralelas entre si se, e somente se, seus coeficientes

angulares são iguais.”

𝑟//𝑠 ⇔ 𝑚𝑟 = 𝑚𝑟

Demonstração

r // s ⇔ 𝛼𝑟 = 𝛼𝑠 ⇔ 𝑡𝑔 𝛼𝑟 = 𝑡𝑔 𝛼𝑠 ⇔ 𝒎𝒓 = 𝒎𝒔


Verifique se as retas (r) 3x + 6y - 1 = 0 e (s) 2x + 4y + 7 = 0 são paralelas.

Solução:

mr = − 𝑎1

𝑏1= −

3

6= −

1

2

ms = − 𝑎2

𝑏2= −

2

4= −

1

2

Como mr = ms, temos que as duas retas são paralelas.



Seja a reta r: 5x + 7y + 1 = 0. Determine a equação da reta s paralela à r e que passa

pelo ponto P(6,-5).

Solução:

Como as retas r e s são paralelas temos que mr = ms. Assim ms = mr = − 5

7

Como P é um ponto pertencente à reta s temos que sua equação é:

𝑦 − (−5) = − 5

7 ∙ (𝑥 − 6) ⇒ 7𝑦 + 35 = −5𝑥 + 30

𝑠: 5𝑥 + 7𝑦 + 5 = 0

Exercícios

8. A reta y = mx – 5 é paralela À reta 2y = -3x + 1. Determine m.

9. Qual é a equação da reta que passa pelo ponto A(1,1) e é paralela à reta

y = -2x +1?

10. Determine a equação da reta paralela à reta determinada pelos pontos de

coordenadas (2,3) e (1,-4) passando pela origem.

11. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (3,4) e é paralela à bissetriz

do 2° quadrante.

12. Determine a equação da reta (s) que contém P(-5,4) e é paralela à reta (r) cujas

equações paramétricas são x = 3t e y = 2 – 5t.

13. Os pontos M, N, P e Q são os vértices de um paralelogramo situado no 1°

quadrante. Sendo M(3,5), N(1,2) e P(5,1), determine o vértice Q.

4. Condição de perpendicularismo

“Duas retas r e s, não verticais, são perpendiculares entre si se, e somente se, o produto

de seus coeficientes angulares é -1.”

r ┴ s ⇔ mr . ms = -1

Demonstração


1ª Parte: r ┴ s ⇒ mr . ms = -1

Da figura acima temos que: β = α + 90°

𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛼 + 90 => 𝑡𝑔 𝛽 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 – 𝛼 => 𝑡𝑔 𝛽 = − 1

𝑡𝑔 𝛼=>

𝑡𝑔 𝛽 ∙ 𝑡𝑔 𝛼 = −1 => 𝑚𝑟 ∙ 𝑚𝑠 = −1

2ª Parte: mr . ms = -1⇒ r ┴ s

Como mr.ms = -1, temos que mr ≠ ms, portanto as retas r e s são concorrentes e formam

um ângulo θ tal que:

𝛽 = 𝛼 + 𝜃 (1)

Temos também que:

𝑚𝑟 = − 1

𝑚𝑠=> 𝑡𝑔 𝛽 = −

1

𝑡𝑔 𝛼=> 𝑡𝑔 𝛽 = −𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼 => 𝑡𝑔 𝛽 = 𝑡𝑔 𝛼 + 90° =>

𝛽 = 𝛼 + 90° (2)

Comparando (1) e (2) temos que θ = 90°. Logo r ┴ s.


Verifique se as retas (r) 3x + 2y - 1 = 0 e (s) 4x - 6y + 3 = 0 são perpendiculares.

Solução:

mr = − 𝑎1

𝑏1= −

3

2

ms = − 𝑎2

𝑏2= −

4

−6=

2

3

Como mr . ms = -1, temos que as duas retas são perpendiculares.


Seja a reta r: 5x + 7y + 1 = 0. Determine a equação da reta s perpendicular à r e que

passa pelo ponto P(6,-5).


Solução:

Como as retas r e s são perpendiculares temos que mr . ms = -1. Assim ms = 7

5

Como P é um ponto pertencente à reta s temos que sua equação é:

𝑦 − −5 = 7

5 ∙ 𝑥 − 6 ⇒ 5𝑦 + 25 = 7𝑥 − 42

𝑠: 7𝑥 − 5𝑦 − 67 = 0

Exercícios

14. Determine p de modo que as retas (r) -2x + (p - 7)y + 3 = 0 e (s) px + y – 13 = 0

sejam perpendiculares.

15. Se 𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1 e Ax + By + c = 0 são retas perpendiculares, calcule bA + aB.

16. Qual o coeficiente angular da mediatriz do segmento que une os pontos (-2,-1) e

(8,3)?

17. Determine a equação da reta que passa pelo ponto (-5,4) e é perpendicular à reta

5x – 4y + 7 = 0.

18. Determine a equação da reta perpendicular à reta x = y e que passa pela

intesecção das retas 2x – 3y – 1 = 0 e 3x – y – 2 = 0.

19. Determine o pé da perpendicular baixada de P(-2,1) sobre (r) 2x – y – 20 = 0

20. Qual é o ponto simétrico de P(2,3) com relação à reta y = x – 3?

21. Determine a reta s, simétrica de (r) x – y + 1 = 0 em relação a (t) 2x + y + 4 = 0

5. Ângulo de duas retas

Dadas duas retas (r) a1x + b1y + c1 = 0 e (s) a2x + b2y + c2 = 0, vamos calcular os

ângulos que elas determinam.

Se r // s ou r ┴ s, o problema é imediato; portanto deixaremos esses dois casos de lado.

Quando duas retas são concorrentes, elas determinam quatro ângulos, dois a dois

opostos pelos vértices (e congruentes).


1º Caso: uma das retas (s, por exemplo) é vertical.

𝜃 + 𝛼 = 90° => 𝜃 = 90° − 𝛼 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑡𝑔 90° − 𝛼 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝛼

𝑡𝑔 𝜃 = 1

𝑡𝑔 𝛼=> 𝑡𝑔 𝜃 =

1

𝑚𝑟

Assim, para que θ seja agudo devemos ter: 𝑡𝑔 𝜃 = | 1

𝑚𝑟 |

Resumo:

Dadas r e s, se uma delas não tem coeficiente angular, a tangente do ângulo agudo θ é o

módulo do inverso do declive da outra.

2° Caso: nenhuma das retas é vertical

𝜃 = 𝛼2 − 𝛼1 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑡𝑔 𝛼2 − 𝛼1 => 𝑡𝑔 𝜃 = 𝑡𝑔 𝛼2 − 𝑡𝑔 𝛼1

1 + 𝑡𝑔 𝛼2 ∙ 𝑡𝑔 𝛼1

𝑡𝑔 𝜃 = 𝑚𝑠 − 𝑚𝑟

1 + 𝑚𝑟 ∙ 𝑚𝑠

Para obtermos sempre o ângulo agudo entre as duas retas devemos então ter:


1 + 𝑚𝑟 ∙ 𝑚𝑠

Resumo

Dadas r e s, se as duas têm coeficiente angular, a tangente do ângulo agudo θ é o

modulo da diferença dos declives dividida por 1 somado ao produto dos declives.


Exemplos

1°) Calcular o ângulo agudo formado pelas retas: (r) 3x – y + 5 = 0 e (s) 2x + y + 3 = 0


1 + 𝑚𝑠 ∙ 𝑚𝑟 => 𝑡𝑔 𝜃 =

−2 − 3

1 + −2 . 3 => 𝑡𝑔 𝜃 =

−5

−5 = 1 => 𝜃 =

𝜋

4

2°) Idem para (r) 2x + 3y – 1 = 0 e (s) 6x - 4y + 5 = 0

𝑚𝑟 = − 2

3 𝑒 𝑚𝑠 =

3

2=> 𝑚𝑟 ∙ 𝑚𝑠 = −1 => 𝑟 é 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑠 => 𝜃 =

𝜋2

3°) Idem para (r) 4x + 2y – 1 = 0 e (s) 3x – 4 = 0

𝑚𝑟 = −2 𝑒 ∄𝑚𝑠 => 𝑡𝑔 𝜃 = 1

𝑚𝑟 =

1

−2 =

1

2=> 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 𝑡𝑔

1

2

4º) Idem para (r) 5x + 2y = 0 e (s) 10x + 4y – 7 = 0

𝑚𝑟 = 𝑚𝑠 = − 5

2=> 𝑟 𝑒 𝑠 𝑠ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 => 𝜃 = 0°

Exercício Resolvido

Obter a reta s que passa pelo ponto P(6,-5) e que forma um ângulo de 45° com a reta

r: 5x + 7y + 1 = 0

Solução:

mr = − 𝑎

𝑏= −

5

7


1 + 𝑚𝑠 ∙ 𝑚𝑟 => 𝑡𝑔 45° =

𝑚𝑠 − − 5

7

1 + 𝑚𝑠 ∙ − 5

7

=> 1 = 7𝑚𝑠 . + 5

7 − 5𝑚𝑠

1 = (7𝑚𝑠 + 5)²

(7 − 5𝑚𝑠)²=> 49 − 70𝑚𝑠 + 25𝑚𝑠² = 49𝑚𝑠² + 70𝑚𝑠 + 25

24𝑚𝑠² + 140𝑚𝑠 − 24 = 0 => 𝑚𝑠 = −6 𝑜𝑢 𝑚𝑠 = 1

6

Como s passa por P, podemos chegar a duas soluções nesse caso:


1ª:

𝑦 − (−5) = 1

6 ∙ (𝑥 − 6) => 6𝑦 + 30 = 𝑥 − 6 => 𝑥 − 6𝑦 − 36 = 0

2ª:

𝑦 − (−5) = −6. (𝑥 − 6) => 𝑦 + 5 = −6𝑥 + 36 => 6𝑥 + 𝑦 − 31 = 0

Exercícios

22. Qual é a tangente do ângulo formado pelas retas 3x + 2y + 2=0 e –x + 2y +5 =0?

23. Calcule o ângulo agudo formado pelas seguintes retas:

a) (r) x + 2y – 3 = 0 e (s) 2x + 3y – 5 = 0

b) (r) x.cos 60° + y.sen 60° = 6 e (s) 3y - 2 = 0

24. Conduza por P(0,0) as retas que formam ângulo 𝜃 = 𝜋

4 com (r) 6x + 2y – 3 = 0

25. Dados o ponto (5,4) e a reta (r) 2x – y + 7 = 0, conduza as seguintes retas por P:

s paralela a r

t perpendicular a r

u formando θ = arc tg 3 com r

v paralela ao eixo Ox

z paralela ao eixo Ou

26. Seja r a reta que passa pelos pontos (3,5) e (7,0). Obtenha a equação da reta s

simétrica de r em relação à reta x = 7.

6. Gabaritos

1) -1

2) -5/3

3) a) 1b) -3/5

c) não existe d) 0

4) 2

5) 4x + 5y + 17 = 0

6) a) 3 x – y + 8 + 3 = 0 b) x – 3 = 0

c) y + 1 = 0 d) 3x – y – 8 = 0

7. y – 2 = m.(x + 3) ou x + 3 = 0

8. m = -3/2


9. y = -2x + 3

10. 7x – y = 0

11. x + y – 7 = 0

12. 5x + 3y + 13 = 0

13. Q (7,4)

14. P = -7

15. 0

16. -5/2

17. 4x + 5y = 0

18. 7x + 7y – 6 = 0

19. (8,-4)

20. (6,-1)

21. x – 7y – 3 = 0

22. 8

23. a) θ = arc tg (1/8) b) θ = 30°

24. x + 2y = 0 ou 2x – y = 0

25. (s) -2x + y + 6 = 0; (t) x + 2y – 13 = 0; (u) x + y – 9 = 0 ou x + 7y – 33 = 0; (v) y

– 4 = 0; (z) x – 5 = 0

26. 5x – 4y – 35 = 0


Capítulo 3 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA

1. Distância entre ponto e reta

Calculemos a distância entre a origem O e uma reta r cuja equação geral é:

ax + by + c = 0 (1)

Devemos primeiramente achar a reta s que passa pela origem e é perpendicular a r:

r ┴ s:

𝑚𝑟 . 𝑚𝑠 = −1 => −𝑎

𝑏 ∙ 𝑚𝑠 = −1 => 𝑚𝑠 =

𝑏

𝑎

Equação de s sabendo que passa pela origem:

𝑦 − 0 = 𝑏

𝑎 ∙ 𝑥 − 0 =>

𝑏𝑥 − 𝑎𝑦 = 0 (2)

Devemos achar então o ponto Q(x0,y0) resultante da interceptação das duas retas:

b.x0 – a.y0 = 0 => y0 = 𝑏

𝑎∙ x0

a.x0 + b.y0 = - c => a.x0 + b ∙𝑏

𝑎∙ x0 = - c => 𝑥0 =

−𝑎 .𝑐

𝑎2+ 𝑏2 e 𝑦0 =

−𝑏 .𝑐

𝑎2+ 𝑏2

A distância entre a origem e o ponto Q corresponde a distância entre a origem e a reta r,

logo temos que d² = OQ²:

𝑑𝑂,𝑟 2 = 𝑥0 − 0 2 + 𝑦0 − 0 2 = 𝑥0

2 + 𝑦02 =

𝑎2. 𝑐2

𝑎2 + 𝑏2 2+

𝑏2. 𝑐2

𝑎2 + 𝑏2 2=>

𝑑𝑂,𝑟2 =

𝑎2 + 𝑏2 . 𝑐²

𝑎2 + 𝑏2 2=

𝑐²

𝑎² + 𝑏²=>

𝒅𝑶,𝒓 = 𝒄

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐


Assim, por exemplo, a distância entre a reta (r) 3x + 4y – 25 = 0 à origem é dada por:

𝑑𝑂,𝑟 = −25

32 + 42 =

−25

5 =

25

5= 5

*Translação de sistema

Sejam P(x,y) e O´(x0,y0) dois pontos referidos a um sistema cartesiano xOy.

Se xÓý´ é um sistema tal que x´// x e y´ // y e xé y´ têm respectivamente o mesmo

sentido positivo de x,y, dizemos que xÓý´ foi obtido por uma translação de xOy.

Nosso objetivo é estabelecer uma relação entre as coordenadas de P no “novo” sistema

xÓý´ e no “antigo” xOy.

Assim temos que:

Eixo – x:

𝑂𝑃1 = 𝑂𝑂1´ + 𝑂1

´ 𝑃1 => 𝒙 = 𝒙𝟎 + 𝒙´

Eixo – y:

𝑂𝑃2 = 𝑂𝑂2´ + 𝑂2

´ 𝑃2 => 𝒚 = 𝒚𝟎 + 𝒚´

Queremos agora a distância entre um ponto P(x0,y0) e uma reta r: ax + by + c = 0

A idéia é transformar P em origem do sistema e, então, aplicar a fórmula já deduzida

anteriormente. Dando uma translação no sistema xOy de modo que P seja a origem do

sistema x‟Py‟, determinemos a equação da reta r no novo sistema, sabendo que x é da

forma x0 + x‟ e y é da forma y0 + y‟ nesse sistema de coordenadas.

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐 = 0 => 𝑎. 𝑥′ + 𝑥0 + 𝑏. 𝑦′ + 𝑦0 + 𝑐 = 0 =>

=> 𝑎𝑥′ + 𝑏𝑦′ + 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐 = 0

Veja que na nova equação da reta r temos que ax‟ + by‟ + c‟ = 0, com

c’ = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐

Conforme deduzido anteriormente, temos que a distância entre P e r é:


𝑑𝑃,𝑟 = 𝑐′

𝑎2 + 𝑏2

donde vem a fórmula:

𝒅𝑷,𝒓 = 𝒂𝒙𝟎 + 𝒃𝒚𝟎 + 𝒄

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Por exemplo, a distância entre a reta (r) 3x - 4y + 2 = 0 ao ponto P(2,-3) é dada por:

𝑑𝑃,𝑟 = 3. 2 − 4. −3 + 2

32 + 42 =

20

5 =

20

5= 4

Lembre-se que a distância d é, em qualquer caso, um número real não negativo, isto é:

d ≥ 0 quaisquer que sejam P e r.

Uma aplicação notável da fórmula da distância entre ponto e reta é o seguinte problema:

calcular a distância entre as retas paralelas:

(r) ax + by + c = 0 e (s) ax + by + c‟ = 0

A distância entre r e s é igual a distância de um ponto qualquer P ∈ s até a reta r. Então:

1º) seja P(x0,y0) pertencente a s

P ∈ s => 𝑎x0 + by0 + c′ = 0 => ax0 + by0 = −c′

2º) a distância de P até r é:

𝑑𝑃,𝑟 = 𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐

𝑎2 + 𝑏2 =

(−𝑐′) + 𝑐

𝑎2 + 𝑏2

Então vem a fórmula:

𝒅𝒓,𝒔 = 𝒄 − 𝒄′

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐

Exercícios

1) Seja P o ponto de coordenadas (4,3) num sistema cartesiano ortogonal oxy.

Se OXY é um novo sistema de coordenadas obtido do anterior por uma


translação da origem para de o para O(2,-1), determine as coordenadas de P

no novo sistema.

2) Calcule a distância do ponto (-2,3) ao eixo das ordenadas.

3) Calcule a distância do ponto P à reta r nos seguintes casos:

a) P(2,0) e (r) 2x + 3y -5 = 0

b) P(1,0) e (r) x + 3y – 5 = 0

4) Calcule o comprimento da altura AH, do triângulo de vértices A(-3,0),

B(0,0) e C(6,8)

5) O ponto P(0,0) é um vértice de um quadrado que tem um dos seus lados não

adjacentes a P sobre a reta x – 2y + 5 = 0. Qual a área do quadrado?

6) Calcule a distância entre as retas

(r) 3x + 4y – 13 = 0 e (s) 3x + 4y + 7 = 0

7) Determine as equações das retas que formam 45° com o eixo dos x e estão à

distância 2 do ponto P(3,4).

2. Área do triângulo

Calculemos a área do triângulo cujos vértices são:

A(x1,y1), B(x2,y2) e C(x3,y3)

Sabemos que a área do triângulo é dada por : área = 1

2 ∙ base ∙ altura

No caso do nosso triângulo temos: S = 1

2 ∙ BC ∙ AH

BC é facilmente calculada pela fórmula da distância entre dois pontos. Logo:

𝐵𝐶 = 𝑥2 − 𝑥3 2 + (𝑦2 − 𝑦3)²

Em seguida devemos achar a distância entre A e H, encontrando primeiramente a

equação da reta BC e em seguida utilizando a fórmula da distância entre o ponto A e a

reta BC.

Equação da reta BC:


Cálculo da distância do ponto A à reta BC:

substituindo a, b e c pelos seus respectivos valores, teremos:

𝐴𝐻 = 𝑑 = 𝑦2− 𝑦3 𝑥1+ 𝑥3− 𝑥2 𝑦1+ 𝑥2𝑦3− 𝑥3𝑦2

𝑦2− 𝑦3 2+ 𝑥3− 𝑥2 2 =

𝑥1 𝑦1 1𝑥2 𝑦2 1𝑥3 𝑦3 1

𝑦2− 𝑦3 2+ 𝑥3− 𝑥2 2

Fazendo DABC =

𝑥1 𝑦1 1𝑥2 𝑦2 1𝑥3 𝑦3 1

, temos:

S = 1

2 ∙ BC ∙ AH =

1

2 ∙ 𝑥2 − 𝑥3 2 + (𝑦2 − 𝑦3)² ∙

| DABC |

𝑥2 − 𝑥3 2 + (𝑦2 − 𝑦3)²

donde vem a fórmula:

𝑺 = 𝟏

𝟐 ∙ | 𝑫𝑨𝑩𝑪 |

Por exemplo, a área do triângulo cujos vértices são A(4,1), B(-2,3) e C(0,-6) é:

DABC =

𝑥𝐴 𝑦𝐴 1𝑥𝐵 𝑦𝐵 1𝑥𝐶 𝑦𝐶 1

= 4 1 1

−2 3 10 −6 1

= 36 + 2 + 12 = 50

𝑆 = 1

2 ∙ 𝐷𝐴𝐵𝐶 =

1

2 ∙ 50 = 25

Observações:

1. Para todo triângulo ABC, a área é um número real S > 0.

2. Se A, B e C são colineares, isto é, se não existe o triângulo ABC, temos DABC=0

e S = 0.

3. A unidade de área, raramente indicada nos problemas de geometria analítica, é o

quadrado da unidade de comprimento utilizada nos eixos.

Exercícios

8) Calcule a área do triângulo cujos vértices são A(a+1, a+2), B(a, a-1) e

C(a+2,a).


9) Determine a área do triângulo ABC, onde A, B e C são, respectivamente, os

pontos médios dos segmentos MN, NP e PM, sendo M(1,-5),N(3,3) e P(9,-5)

10) Calcule a área do triângulo determinado pelas retas de equações y = 2x, y = 𝑥

2

e x = 4.

11) Calcule a área do quadrilátero ABCD, dados A(0,0), B(4,-2), C(6,8) e D(0,4)

12) Os pontos A(1,2), B(4,3), C(3,1) e D(m,n), nessa ordem, formam um

paralelogramo. Determine a equação da reta AD e calcule a área do

paralelogramo ABCD.

13) Determine y de modo que o triângulo de vértices A(1,4), B(4,1) e C(0,y)

tenha área igual a 6.

14) Calcule as coordenadas do vértice C do triângulo ABC de área 12, sabendo

que A(0,-1), B é a intersecção da reta (r) x + y – 2 = 0 com o eixo dos x e

𝐶 ∈ 𝑟.

15) Obtenha uma reta que passe por P(1,1) e defina com os eixos coordenados

um triângulo de área 2, no primeiro quadrante.

3. Gabaritos

1) (2,4)

2) 2

3) a) 13 / 13 b) 2. 10 / 5

4) AH = 12 / 5

5) 5

6) Dr,s = 4

7) x – y + 3 = 0 ou x – y – 1 = 0

8) 5 / 2

9) 8

10) 12

11) 34

12) (AD) 2x – y = 0 e área = 5

13) y = 9 ou y = 1

14) (10,-8) ou (-6,8)

15) x + y – 2 = 0


Capítulo 4 - CIRCUNFERÊNCIAS

1. Definição e Equação Reduzida

Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano que apresentam a mesma

distância a um ponto fixo, denominado centro da circunferência. Observe a

circunferência abaixo:

Figura 1: Todos os pontos situados na linha azul pertencem a circunferência, pois distam igualmente do ponto C. Tal

distância é o raio, simbolizado por „‟r‟‟.

Matematicamente, a circunferência pode ser representada por uma equação. Com o

auxílio da figura abaixo, podemos averiguar que, dado um ponto P (x, y) pertencente à

circunferência, se usarmos o Teorema de Pitágoras no triângulo abaixo,temos:

Figura 2: Demonstração da equação da circunferência

2 2 2( ) ( )x a y b r (1)

Essa equação é chamada equação da circunferência. Perceba que o ponto (a,b) é o

centro da circunferência, e „‟r‟‟, o raio da mesma.

Exercício Resolvido: Determine as coordenadas do centro e o raio da seguinte

circunferência:

2 2( 4) ( 5) 4x y


Solução: O centro nada mais é do que os valores que estão subtraindo x e y, assim as

coordenadas do centro são: (4,5). O raio é o valor que se encontra ao quadrado, do outro

lado da equação. Logo, r = 2.

Exercícios:

1. Determine a equação da circunferência de centro C e raio r nos seguintes casos:

a) C(3,5) e r = 7

b) C(0,0) e r = 9

c) C(-3,5) e r = 1

2. Qual a equação da circunferência de centro C(2,-1) que passa por P(3,3) ?

3. Qual a equação da circunferência de centro C(-2,5) que é tangente ao eixo das

ordenadas?

2. Equação Normal

A partir da equação da circunferência mostrada acima, obtemos:

2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )x ax a y by b r

Que equivale à:

2 2 2 2 22 2 ( ) 0x y ax by a b r

Exercício Resolvido: Determine o centro e o raio da circunferência abaixo:

2 2 2 2 7 0x y x y

Solução: Note que a equação acima equivale a:

2 2( 1) ( 1) 9x y

Assim, representa uma circunferência de C(1,1) e r = 3.

3. Reconhecimento

Conforme foi visto acima, uma circunferência pode ser representada por uma equação

do segundo grau. Contudo, quando saber se uma equação do segundo grau do tipo

mostrado abaixo, representa ou não uma circunferência?

2 2 0Ax By Cxy Dx Ey F

Bem, para tal equação representar uma circunferência, precisamos ter as seguintes

condições:


- Os coeficientes de x2

e y2 são iguais

- Não existe termo misto xy

- E se o raio for real e positivo

Agora, você pode estar se perguntando: como, a partir de tal equação, calcular o raio, e

o centro?

A resposta é dada pelas equações abaixo:

Sendo A = B = 1 (o que ocorre na maioria dos casos), temos que:

2 2, ,2 2

D Ea b r a b F

Exercícios Resolvidos:

1- A equação 2 2 2 2 2 0x y x y representa uma circunferência?

Solução: Bem, verificamos que os coeficientes de x2

e y2 são iguais, e que não existe

termo misto. Vamos, então, calcular o raio. Note que: 12

Da ; 1

2

Eb .

Logo:

2 2 1 1 2 0r a b F

Perceba que não existe circunferência de raio zero, logo, a equação não representa

uma circunferência.

2- Obter o centro e o raio da circunferência cuja equação é:

2 24 4 4 12 6 0x y x y

Solução: Note que A = B = 4. Para usarmos as relações que conhecemos, precisamos

ter A = B = 1. Para isso, dividimos ambos os lados da equação por 4, resultando em:

2 2 33 0

2x y x y

Então:

1 3,

2 2 2 2

D Ea b

E o raio é:


2 2 1 9 31

4 4 2r a b F

Obs: Quando não temos A= B= 1, e não é interessante efetuar a divisão por algum

valor, pode-se calcular o raio por:

2 2 4

2

D E AFR

A

Exercícios:

4. Determine o centro e o raio das seguintes circunferências:

a) 2 2 4 4 1 0x y x y

b) 2 22 2 8 8 34 0x y x y

c) 2 2 2 15 0x y x

5. Determine as coordenadas do centro da seguinte circunferência:

2 2 4 2 3x y x y

6. Ache a equação da reta que passa pelo centro da circunferência 2 2( 3) ( 2) 25x y e é perpendicular à reta 3 2 7 0x y

7. Para que valores de m e k a equação abaixo representa uma circunferência?

2 2 10 8 0mx y x y k

4) Ponto e circunferência

Vamos resolver o seguinte problema: dada uma circunferência de equação2 2 2( ) ( )x a y b r

, e um ponto P(x0,y0), qual é a posição do ponto P em relação à

circunferência?


Para resolver tal situação, basta calcularmos a distância do ponto P até o centro da

circunferência (PQ), e, em seguida, comparar tal valor com o raio (r). Assim:

- Se PC > r, P é exterior à circunferência, isto é, P está fora da circunferência.

Lembrando-se da formula da distância entre dois pontos, podemos dizer que PC > r;

equivale à:

2 2 2

0 0( ) ( )x a y b r

Sendo assim, basta substituirmos os valores e comparar os resultados.

- Se PC = r, então P está situado sobre a circunferência. Para sabermos se isso acontece

basta substituir os valores na fórmula abaixo e verificar se a igualdade ocorre:

2 2 2

0 0( ) ( )x a y b r

- Se PC < r, então P está dentro da circunferência. Novamente, basta substituir os

valores e vê se a condição abaixo ocorre:

2 2 2

0 0( ) ( )x a y b r

Exercícios:

8. Qual é a posição do ponto P (3,2) em relação à circunferência seguinte?

2 2( 1) ( 1) 4x y

9. Qual é a posição do ponto A(1, 2 ) em relação à circunferência seguinte?

2 2 4 4 4 0x y x x

5) Inequações do 2o grau

Com o que aprendemos acima, podemos resolver algumas inequações do 2o

de uma

maneira simples, veja:

Exemplo 1: Resolva a seguinte inequação:

2 2 4 4 5 0x y x x

Solução: Com alguns cálculos encontramos que as coordenadas do centro: C(2,2) e o

raio = 3 . Dessa forma, devido ao “sinal de menor”, a solução da inequação é o

conjunto dos pontos interiores à tal circunferência.

Exemplo 2: Resolva a seguinte inequação:

2 2 2 2 1 0x y x y


Solução: Temos que: Centro = C(1,1) e r = 1. Dessa forma a solução da inequação

acima é o conjunto dos pontos situados fora de tal circunferência. Ou seja, é o plano

cartesiano menos os pontos interiores à circunferência.

Exercícios:

10) Resolva as seguintes inequações:

a. 2 2 16x y

b. 2 2 4 2 1 0x y x y

11) Calcule a área do círculo que é a solução de:

2 2 4 6 8 0x y x y

6) Reta e circunferência

Considere o seguinte problema:

-Obtenha o(s) ponto(s) de interseção da reta y x com a circunferência 2 2 2x y .

Solução: Um ponto P(x,y) que está na interseção, obedece, obrigatoriamente, as duas

equações, pois ele está situado tanto sobre a reta quanto sobre a circunferência. Sendo

assim, substituindo:

2 2 2( ) 2 2 2 1; : 1x x x x y ou x y

Ou seja, os pontos comuns são: (1,1) e (-1,-1).

Para esse tipo de problema, temos algumas interpretações geométricas. Caso exista 2

pontos de intercessão, como ocorreu acima, dizemos então que a reta é secante à

circunferência. Caso haja somente 1 ponto, dizemos que a reta é tangente à

circunferência, e caso não haja nenhum ponto, dizemos que a reta é exterior à

circunferência.

Outra maneira de saber qual a posição de uma reta em relação a uma circunferência é

calcular a distância da reta ao centro da circunferência, e depois comparar tal distância

com o raio da circunferência.

Exercícios:

12) Qual a posição da reta 4 3 0x y em relação à circunferência seguinte?

2 2 5 7 1 0x y x y

13) Qual é a posição da reta 5 12 8 0x y em relação à circunferência seguinte?


2 2 2 0x y x

14) Determine o ponto P onde a circunferência seguinte encontra o eixo dos x:

2 2 6 6 9 0x y x y

15) Dada a reta 0x y c e a circunferência seguinte, 2 2 6 4 12 0x y x y ,

obtenha c de modo que a reta seja exterior à circunferência.

16) Obtenha a equação da circunferência de centro C(1,2) e que tangencia a reta de

equação 5 12 10 0x y

7) Duas circunferências

Interseção

Leia com atenção o seguinte problema e sua solução:

-Obtenha a interseção da circunferência de centro C1(0,2) e raio r1 = 2 com a

circunferência de centro C2(1,0) e raio r2 = 1.

Solução: Temos:

2 2 2 2( 0) ( 2) 4 4 0x y x y y (I)

E, 2 2 2 2( 1) ( 0) 1 2 0x y x y x . (II)

Acima, temos um sistema com duas equações. Subtraindo a primeira pela segunda ,

temos que:

4 2 0 2y x x y

Com o resultado acima, substituindo na primeira circunferência, temos:

2 2 2(2 0) ( 2) 4 5 4 0y y y y

Então, resolvendo a equação do segundo grau, encontramos que:

0 2 0y x y x

Ou,

4 / 5 2 8 / 5y x y x

Assim, as circunferências têm dois pontos em comum: P (0,0) e Q (8/5, 4/5).


Posições Relativas

A posição relativa de duas circunferências é determinada comparando a distância entre

os centros das duas circunferências com a soma ou diferença dos raios.

Calculada a distância entre os centros:

2 2

1 2 1 2 1 2( ) ( )d C C a a b b

Onde 1 1( , )a b e 2 2( , )a b são as coordenadas do centro de cada circunferência.

A partir disso, são possíveis seis casos distintos de posição entre as duas

circunferências:

1- d > r1 + r2. Quando isso ocorre, dizemos que as circunferências são exteriores

2- d = r1 + r2. Diz-se que as circunferências são tangentes exteriormente

3- 1 2d r r . Diz-se que as circunferências são tangentes interiormente.


4- 1 2 1 2r r d r r . Diz-se que as circunferências são secantes.

5- 1 20 d r r . Diz-se que a circunferência de menor raio é interior à outra.

6- d = 0. Circunferências concêntricas.

Exercícios:

17) Qual é a posição relativa das circunferências seguintes:

2 2 49x y e 2 2 6 8 21 0x y x y

18) Obtenha a interseção das circunferências:

2 2 12 12 68 0x y x y e 2 2 100x y

19) Determine a posição relativa entre as seguintes circunferências:

2 2 16x y e 2 2 6 4 4 0x y x y

20) As circunferências de equação:

2 2 10 2 16 0x y x y e 2 2 8 4 16 0x y x y


Interceptam-se nos pontos A e B. Determine a distância do centro da circunferência de

raio maior à reta AB.

21) Obtenha as circunferências de centro C(2,-1) e tangentes à circunferência

2 2 4 6 0x y x y

8) Gabaritos

1) a) (x-3)2+ (y-5)

2 = 1

b) x2+ y

2 = 81

c) (x + 3)² +(y – 5)² = 1

2) (x – 2)² + (y + 1)² = 17

3) (x + 2)² + (y – 5)² = 4

4) a) C(2,-2), r = 3

b) C(-2,-2), r = 5

c) C(-1, 0), r = 4

5) (-2, 1)

6) 2x + 3y = 0

7) m = 1e k < 41

8) P é exterior.

9) A é interior.

10) a) O conjunto solução da inequação é o círculo de centro na origem e raio 4.

b)O conjunto solução da inequação é o círculo de centro (2, -1) e raio 2.

11) 5π

12) r é secante.

13) Tangente.

14) P(-3, 0)

15) c > 5 - 1 ou c > - 5 - 1

16) (x – 1)² + (y -2)² = 9

17) Tangentes interiormente.

18) {(6, 8), (8, 6)}

19) Secantes.

20) 2 .

21) (x – 2)² + (y +1)² = (4 - 13 )² ou (x – 2)² + (y +1)² = (4 + 13 )

ap geometria analitica resolvidos

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