problemas de geometria analitica plana

http://www.elsolucionario.blogspot.com

Daladier

Typewritten text

LIBROS UNIVERISTARIOS Y SOLUCIONARIOS DE MUCHOS DE ESTOS LIBROS LOS SOLUCIONARIOS CONTIENEN TODOS LOS EJERCICIOS DEL LIBRO RESUELTOS Y EXPLICADOS DE FORMA CLARA VISITANOS PARA DESARGALOS GRATIS.

PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

11111

Demostrar que los puntos ( )A 0,1= y ( )B 3,5= ; ( )C 7,2= y ( )D 4, 2= −

son los vértices de un cuadrado.

Solución:

LQQDcuadrado. un es ABCD

5CDADBCAB:Como

525916CD

525169AD

525916BC

525169AB

ˆ

====

==+=

==+=

==+=

==+=

!

!

!

!

11111Capítulo

SISTEMA DE COORDENADAS

22222

Capítulo 1. SISTEMA DE COORDENADAS

Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos ( )A 1,1= − y

( )B 3,1= . Hallar las coordenadas del tercer vértice. (Dos casos).

Solución:

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )321,1C

321y1x

: y De

161y3x

ABBC

1y1x

1y3x

ACBC

vértice. tercer el x,yC Sea

22

22

22

±=

±==

→=−+−

=

→−++=

=−+−

=

=

ˆ

!"

!

"

!

!

!

!

Dados los puntos ( )P 2, 31 = − y ( )P 1,22 = − encontrar sobre 21PP el

punto que diste doble de 1P que 2P .

Solución:

( )

( )

0x030

322

21122

r1xrxx

212

PPPPr

pedido. punto el x,yP Sea

21

2

1

===−=

=+

−+=+

+=

===

=

!

!

!


33333

( )

( )

==

==+−=++−=

++=

31,0y,xP

31y

31

343

21223

r1yryy 21

ˆ

!!

El lado de un rombo es igual a 105 y dos de sus vértices opuestos son

los puntos ( )4,9P = y ( )2,1Q −= . Calcular el área de este rombo.

Solución:

101006436PQ ==+=

( )

2

2222

m150A1502

10302

dDA

:Luego

15x225x252505105x

==×=×=

==−=−=

!

!!!

:

44444


Determinar las coordenadas de los extremos A y B del segmento que es

dividido en tres partes iguales por los puntos ( )2,2P = y ( )1,5Q = .

Solución:

( )

( )13,A

1y2

5y2

3x2x12

1PQAPr

:,yxA de Cálculo

11

11

11

−=

−=+

=

=+=

==

=

ˆ

!

!

!

!

!

( )

( )0,8B

8y2y25

0x2x21

1QBPQr

:,yxB de Cálculo

22

22

22

=

=+=

=+=

==

=

ˆ

!

!

!!

!

La longitud del segmento MN es igual a 13; su origen está en el punto

( )23,M −= ; la proyección sobre el eje de abscisas es igual a 12− . Hallar

las coordenadas del otro extremo del segmento, si forma con el eje de

ordenadas un ángulo dado.


55555

Solución:

( ) ( )

( ) ( )79,y,xN

7y132y3x13MNSi

9x123x12ABSi

22

−−==

−==++−=

−=−=−−=

ˆ

!!

!!

!

!

Tres de los vértices de un paralelogramo son ( )1,4A −= , ( )11,B −= y

( )6,1C = . Si la ordenada del cuarto vértice es 6. ¿Cuál es su abscisa?

Solución:

( )

( ) ( ) ( ) ( )2222 1116461xBCAD

pedido. punto el ,6xD Sea

++−=−++=

=

!!

66666


( ) ( )4,6D,6xD

:Luego

6x4x

024x2x

es: operacionEfectuando

2

1

2

==

−=

=

=−+

!

!

!

!

El punto medio de cierto segmento es el punto ( )1,2M −= y uno de sus

extremos es el punto ( )2,5N = . Hallar las coordenadas del otro extremo.

Solución:

( )

( ) ( )14,yx,P

1y2

5y22yy

y

4x2

2x12xx

x

pedido. punto el yx,P Sea

NM

NM

−−==

−=+=+

=

−=+=−+

=

=

ˆ

!!

!!

!

!

Los vértices de un triángulo ABC son ( )12,A −= , ( )4,7B −= y ( )8,0C = .

Calcular las coordenadas del baricentro de dicho triángulo.

Solución:

:que Sabemos


77777

( ) ( )2,2yx,G

236y

3071y

3yyyy

236x

3842x

3xxxx

321

321

==

==++−=++=

==+−=++=

ˆ

!!

!!

!

!

¿Hasta qué punto debe prolongarse el segmento que une los puntos

( )11,A −= y ( )4,5B = en la dirección AB, para que su longitud se triplique?

Solución:

( )

AB2BP21

BPAB:Sabemos

pedido. punto el yx,P Sea

==

=

!!

88888


( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

!

"

→=+−−+

++−=−+−+++−

=+

→=−−−+

++−=−+−

014y10x8yx

:soperacione Efectuando

1y1x5y4x1514

APBPAB: También

0139y10x8yx


151425y4x

22

222222

22

2222

!

!

!

!

!

( ) ( )10,17yx,P

7y;2x17y;10x

: y De22

11

==

−=−=

==

ˆ

!"


99999

Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:

0yx16 2 =−

Solución:

( ) !→=− 0yx16:x,yE 2

1º. Intercepciones con los ejes:

( )0,0O0y0x: YEje

0x016x0y:X Eje 2=

==

===!

!

!!

22222Capítulo

GRÁFICA DE UNA ECUACIÓNY LUGARES GEOMÉTRICOS

1010101010

Capítulo 2. GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN Y LUGARES GEOMÉTRICOS

2º. Simetría:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )X eje el con

sólo simétrica Curva

yx,Eyx,E:Origen

yx,Eyx,E: YEje

yx,Eyx,E:X Eje

≠−−

=−

≠−

3º. Extensión:

ú∈= ∀ x;16xy:De 2!

4º. Asíntotas:

No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.

5º. Cuadro de valores:

....4416160y

....2121110x −−

6º. Gráfico:


1111111111

012xxy =−−

Solución:

( ) !→=−− 012xxy:yx,E


( )X eje el con ónintercepci 0x: YEje

,021A;21x0y:X Eje

ò!

!

=

−=−==

2º. Simetría:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )origen el con ni ejes los

con ni simétrica no Curva

yx,Eyx,E:Origen

yx,Eyx,E: YEje

yx,Eyx,E:X Eje

≠−−

≠−

≠−

3º. Extensión:

0x;x

x21y01x2xy

:De

≠+==−− ∀!

!

4º. Asíntotas:

2y02y;2y

1x

0xx

x21y

:De

==−−

=

=+=

!

!

!

!

!


....231253y

....2121x −−

1212121212


6º. Gráfico:

04y4yx 23 =+−+

Solución:

( ) !→=+−+ 04y4yx:yx,E 23


( )( )0,2B;2y0x: YEje

1.6,0A;6.1x0y:X Eje

===

−=−==

!

!

2º. Simetría:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )origen el con ni ejes los

con ni simétrica no Curva

yx,Eyx,E:Origen

yx,Eyx,E: YEje

yx,Eyx,E:X Eje

≠−−

≠−

≠−


1313131313

3º. Extensión:

0x;x2y

:De3 ≤−±= ∀

!

4º. Asíntotas:

No tiene asíntotas, ni horizontales ni verticales.


....54,524101302y

....21580x

−

−−−

6º. Gráfico:

1414141414


4x1xy 2

22

−−=

Solución:

( ) !→−−=

4x1xy:yx,E 2

22


( )( )210,B;21y0x: YEje

1,0A;1x0y:X Eje

±=±==

±=±==

!

!

2º. Simetría:

Curva simétrica con los ejes y con el origen.

3º. Extensión:

[ ] ∞+∪−∪−∞−∈−−±= ∀ 2,1,12,x

4x1xy

:De

2

2

!

4º. Asíntotas:

1y01y1y1y4x

2x04x4x1xy

:De

22

2

22

2

±==−−−±=

±==−−−±=

!!

!!

!

!

!


....5241011312100y

.....2143011x

±±±±

±±±−


1515151515

6º. Gráfico:

( ) 41xy 2 =+

Solución:

( ) ( ) !→=+ 41xy:yx,E 2


( )0,4A;4y0x: YEje

X eje el con ónintercepci0y:X Eje

===

=

!

! ò

2º. Simetría:

Curva simétrica sólo con el eje Y.

1616161616


3º. Extensión:

ú∈=++

= ∀ x;01x1x

4y

:De

22 !

!

4º. Asíntotas:

( )X Eje0y0yy

y4x

x01x1x

4y

:De

22

==−±=

∉=++

=

!!

!!

!

! ú

!


....525424y

....3210x ±±±

6º. Gráfico:


1717171717

Una recta pasa por los dos puntos ( )32,A −−= y ( )4,1B = . Si un punto

de abscisa 10 pertenece a la recta. ¿Cuál es su ordenada?

Solución:

( )

( )

( ) ( )

5y


3y210

1y361636

ACBCAB:que Dado

pedido. punto ely10,CSea

22

2

=

+++=

=−+++

=+

=

!

!

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto que se mueve de tal

manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos

puntos ( )2,2A −= y ( )4,1B = es siempre igual a 12.

Solución:

( )

( ) ( )

( ) ( )

036y4x

:soperacione efectuando Luego,

122y2x

1y4x

:donde De

12APBP

:tenemos problema del condición la de Entonces

pedido. punto el y,xP Sea

222

222

22

=++

=

++−−

−

−+−

=−

=

!

!

!

1818181818


Un segmento rectilíneo de longitud 4 se mueve de tal manera que uno de

los puntos extremos permanece siempre sobre el eje X y el otro permanece

siempre sobre el eje Y. Hallar la ecuación del lugar geométrico del punto

medio del segmento.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

16yx


4y2y2x

2y2xx

4PBPA

:condición la De

22

22

22

=+

=−++

+−+−

=+

!

!

!

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto ( )y,xP = , tal que la

distancia de P al punto ( )0,6A = es igual a la mitad de la distancia de

P al eje X.

Solución:

( )

0144y48y34x

:soperacione efectuando Luego,

y216yxy

21AP

:condición la De

22

22

=+−+

=−+=

!

!!


1919191919

Hallar la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos ( )4,2A = y

( )7,5B −= .

Solución:

( )( )

( ) 038y9x5:4x952y:

95

4527mm

7,5B

2,4A:

pendiente. su conocer puede se recta, la de puntos dos conocen se que Dado

buscada. recta la Sea

AB

=−+−−=−

−=−−

−==

−=

=

‹‹

‹

‹

‹

!"

!

ˆ

33333Capítulo

LA LÍNEA RECTA

2020202020

Capítulo 3. LA LÍNEA RECTA

Calcular el área del triángulo que forma la recta 012y4x3 =−− con los

ejes coordenados.

Solución:

( ) 2u6A2

122

34A

3b4a

13

y4x:

:2 ividiendoD

12y4x3::Luego

012y4x3:

==−×

=

−==

=−

+

×

=−

=−−

∆∆ !"

!

ˆ

‹

‹

‹

!

!

!

Los vértices de un triángulo son ( )0,0A = , ( )4,2B = y ( )6,2C −= . Obtener

las ecuaciones de las rectas que contienen los lados del triángulo.

Solución:

( )( )

( )

( )( )

( ) 014y3x24x322y

32m

6,2C

2,4B:BC

:BC de Ecuación

0y2x0x210y

21m

2,4B

0,0A:AB

:AB de Ecuación

BC

AB

=−+−−=−

−=

−=

=

=−−−=−

−=

=

=

!"

!

!"

!

ˆ

ˆ

!

!


2121212121

( )( )

( ) 0yx30x30y

3m6,2B

0,0A:AC

:AC de Ecuación

AC

=+−−=−

−=

−=

=

!"

!

ˆ

!

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por ( )38,4A = y por la

intersección de las rectas 02y4x3 =−− , 06y11x9 =−−

Solución:

( )

( )

( )

( ) 08y15x12:4x54

38y:

:Finalmente54

432380mm:Dondexxmyy:

:Luego

,032B06y11x9:

02y4x3:

recta la de punto Un38,4A

:

AB11

212

1

=−−−=−

=−

−==−=−

==∩

=−−

=−−

=

‹‹

‹

‹‹‹

‹‹

‹

!"

!

Si la recta 0cbyax =++ pasa por el punto ( )q,pP = , escribir una

ecuación en forma de:

a) pendiente y ordenada en el origen.

b) punto - pendiente.

c) simétrica.

Solución:

)bcx

bay0cbyax:a −−==++ !‹

2222222222


) ( )

( )pxbaqy:

q,pP;bam:Donde;0cbyax:b

−−=−

=−==++

‹

‹‹

!

)

1

bc

y

ac

x:

cbyax:0cbyax:c

=−

+−

−=+=++

‹

‹‹

!

!

Encontrar la ecuación de una recta que tiene intercepciones iguales y que

pasa por el punto ( )6,8A −=

Solución:

( )

02yx:12y

2x:

2a1a6

a8:Luego

6,8A:Pero1ay

ax::Sea

=−+=+

==−+

∈−==+

‹‹

‹‹

!"

!

ˆ

Desde el punto ( )3,2M0 −= se ha dirigido hacia el eje OX un rayo de luz

con una inclinación de un ángulo α , se sabe que 3tg =α . El rayo se ha

reflejado del eje OX. Hallar las ecuaciones de las rectas en las que están

los rayos incidente y reflejado.

Solución:

( ) 09yx32x33y

3tgm:pendiente

:incidente rayo del Ecuación

=+−+=−

=α=

!"!

!

d


2323232323

( )( )

( ) 09yx33x30y

3tgº180tgm:pendiente

3,0P;3x0ySi

:reflejado rayo del Ecuación

0

=+++−=−

−=α−=α−=

−=−==

!"!

!

!

Dados los puntos ( )2,2M = y ( )2,5N −= . Hallar en el eje de abscisas un

punto P de modo que en el ángulo NP̂M sea recto.

Solución:

( ) ( )1,0P;6,0P

1x6x

06x7x


15x

22x

2

1mmNPMP

:que Dado

21

2

12

NPMP

==

=

==+−

−=

−⋅

−−

−=⋅⊥

ˆ

!

!

!"

2424242424


Los puntos ( )2,3A −= , ( )4,1B = y ( )5,3C −= son los vértices de un

triángulo. Demostrar que la recta que pasa por los puntos medios de los

lados AB y CD es paralelo a la base BC del triángulo.

Solución:

( )

( )

=

=+=

=+=

=

−=

−=+=

=+=

=

230,M

23

2yyy

02

xxx

y,xM de Cálculo

21,

27M

21

2yyy

27

2xxx

y,xM de Cálculo

2CA

2

CA2

222

1BA

1

BA1

111

!!

!!

!

!


2525252525

LQQDMMBC:nteefectivame Luego

74

74mmMMBC:que Sabemos

21

212M1MBC

*

* −=−= !"!"

Calcular la distancia entre las rectas paralelas: 04y2x =++ y

05y4x2 =−+

Solución:

( )

( )( ) ( )( )90.2

2013d

2058

42

52402d

:Luego

20,P2y0xPara

. recta la de , P racualesquie punto un Hallamos

05y4x2:04y2x:

:que Dado

22

1

21

≈=−−

=+

−−+=

−=−==

=−+∧=++

!"

!

ˆ

ˆ

‹

‹‹


2727272727

Encontrar la ecuación de la circunferencia sabiendo que sus extremos de

un diámetro son los puntos ( )3,2A −= y ( )1,4B −= .

Solución:

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

036y12x122y2x:

131y1x

rkyhx:

13r252

2AB

r:Luego

1,1C1k1h

AB de medio punto es kh,C

22

222

2

=+−++

=−+−

=−+−

===

=

==

=

C

Cˆ

!

!!

44444Capítulo

LA CIRCUNFERENCIA

2828282828

Capítulo 4. LA CIRCUNFERENCIA

Obtener la ecuación de la circunferencia tangente a los dos ejes, radio 6,

en el segundo cuadrante.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

036y12x12yx:

366y6x

rkyhx:

6.r radio su y

nciacircunfere la de

centro el es 6,6h,kC

que deduce se gráfico, Del

22

22

222

=+−++

=−++

=−+−

=

−==

C

Cˆ

Dada la ecuación de la circunferencia 07y4y3x3 22 =−++ , encontrar

el centro y el radio.

Solución:

35r;

32,0C

32k , 0h :donde De;

925

32yx

325

32y3x3

347

94y

34y3x3

07y4y3x3

:cuadrados oCompletand

22

22

22

22

=

−=

−===

++

=

++

+=

+++

=−++

ˆ

!

d


2929292929

Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto ( )1,4C −−=

y que es tangente a la recta: 012y2x3 =−+ .

Solución:

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( ) 521y4x:

:doReemplazan

rkyhx:

52r13

261326

1312212

23

121243r

:Luego012y2x3: a C de Distanciar:Sea

22

222

2

22

=+++

=−+−

==−

=

−−−=

+

−−+−=

=−+=

C

Cˆ

!

!

‹

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos ( )4,0A = ,

( )0,3B = y ( )2,2C −−= .

Solución:

( )( )( )

13132F;

135E;

1319D: y , de Luego,

8FE2D22,2C

0FE390,3B

0FD4164,0A

0FEyDxyx:Sea

22

−==−=

→=+−−∈−−=

→=++∈=

→=++∈=

→=++++ ⊗

!"#

!

"

#

!

!

!

C

C

C

C

!

!

!

3030303030


0132y5x19y13x13

013132y

135x

319yx:

: En

22

22

: =−+−+

=−+−+

⊗

C

Cˆ

Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10, tangente en el eje X,

cuyo centro está sobre la recta y2x = .

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0400y20x40yx

10010y20x

rkyhx:

20,10C;20h,10hCperoy2x:

caso Primer

22

22

221

21

11

=+−−+

=−+−

=−+−

==∈==

C

!‹‹

!


3131313131

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0400y20x40yx

10010y20x

rkyhx:

1020,C;20h10,hCperoy2x:

caso Segundo

22

22

222

22

22

=++++

=+++

=−+−

−−=−=∈−==

C

!‹‹

!

La ecuación de una circunferencia es 50yx 22 =+ . El punto medio de

una cuerda de esta circunferencia es el punto ( )4,2P −= . Hallar la ecuación

de la cuerda.

Solución:

( )

( )

010y2x:

2x214y:

:Luego

21m

1m2

1mm

:Luego

202

04m: de Pendiente

ncia.circunfere la de centro el y P punto el por pasa que recta la y

referida cuerda la a contiene que recta la Sea

2

2

2

2

21

1

21

1

1

2

=+−

+=−

=

−=⋅−

−=⋅

−=−−

−=

⊥

‹

‹

‹‹

‹

‹

‹

‹

‹

‹‹

‹

!

!"

!"

!"

!

3232323232


Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en ( )34,4C = y

que pasa por ( )34,1Q −−= .

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( )9

28934y4x:

9289rr

34

344134,1Q

r34y4x

rkyhx:

:tenemos datos, los De

22

222

2

222

222

=

−+−

==

−−+−−∈−−=

=−+−

=−+−

C

C

C

ˆ

!!!

Hallar el área del círculo cuya ecuación es:

0103y12x72y9x9 22 =+−++

Solución:

( )

( )

( )

22

22

2

22

22

22

22

u5A5rA

5r:Donde532y4x

4532y94x9

414410394y

34y916x8x9

103y12x72y9x9:

cuadrados ocompletand y nteindependie término el Despejando

0103y12x72y9x9:

:nciacircunfere la de ecuación la Tenemos

π=×π=π=

==

−++

=

−++

++−=

+−+++

−=−++

=+−++

!"

!

ˆ

C

C


3333333333

Por una traslación de ejes, transformar la ecuación:

0133y4x42y2x3 22 =+−−−

en otra que carezca de términos de primer grado.

Solución:

( ) ( )( ) ( )

12y2x31yy7xx

:Siendo

121y27x3

21471331y2y249x14x3

0133y4x42y2x3

: cuadrados oCompletand

22

22

22

22

=−

+=−=

=+−−

−+−=++−+−

=+−−−

NNN

N!

55555Capítulo

TRANSFORMACIÓNDE COORDENADAS

3434343434

Capítulo 5. TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS

Simplificar la ecuación:

055y36x48y36x72 22 =−+−+

por una traslación de los ejes coordenados.

Solución:

( )

=+

+=

−=

=

++

−

=

++

−

++=+++

+−

=−+−+

2yx2

21yy

31xx

:Siendo

221y

31x2

7221y36

31x72

98551yy3691x

32x27

055y36x48y36x72

:cuadrados oCompletand

22

22

22

22

22

NN

N

N

!

Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:

03y4x8y2x 22 =−++−

Solución:

( ) ( )( ) ( )

=−−=−=

=−−−

−+=+−−+−

17y2x1yy4xx

:Siendo

171y24x

21631y2y216x8x

:tiene se expresión, la en cuadrados oCompletand

22

22

22

NNN

N!


3535353535

Por medio de una traslación de ejes, eliminar los términos de primer grado

de la ecuación: 04yxxy2 =+−−

Solución:

( )( ) ( ) ( )

( ) ( )

07yx40421

21

21

212yx2

en Luego

21kh

01h201k2

:donde De

04khhk2y1h2x1k2yx2

4kyhxhk2yk2xk2yx2

kyhxkyhx2

: en

kyyhxx

04yxyx2

:

=+=+−−

+

==

=−=−

→=+−−+−+−+

+−−−−+++

+−+−++

→

+=+=

→=+−−

NNNN

NNNN

NNNNNN

NNNN

N

N

!

!

!

!

!

"#

#

"

Por una rotación de los ejes coordenados, transformar la ecuación:

0x25y9xy24x16 22 =+++

en otra que carezca del término en xy.

Solución:

#

"

→

θ+θ=

θ−θ=

→=+++

cosysenxy

senycosxx:Luego

0x25y9xy24x16 22

NN

NN

3636363636


( )( )( )

⊗→=θ−θ+

+θθ+θ−θθ−θ+

+θ+θθ−θ+

+θ+θθ+θ

0seny25cosx25

yxcossen18sen24cossen32cos24

ycos9cossen24sen16

xsen9cossen24cos16

: en Ahora

22

222

222

NN

NN

N

N

"#

( )

7242tg02tg724

:2cos Dividiendo

02sen72cos24

0cossen272cos24

0cossen14sencos24

0cossen14sen24cos24

0cossen18sen24cossen32cos24

.y e x término el eliminar para Luego

22

22

22

=θ=θ−

θ×

=θ−θ

=θθ×−θ

=θθ−θ−θ

=θθ−θ−θ

=θθ+θ−θθ−θ

!!

!

NN

54cos

2516

22571

22cos1cos

53sen

259

22571

22cos1sen

:Además

2572cos

:figura la de Luego

=θ=+

=θ+=θ

=θ=−

=θ−=θ

=θ

!

!

!

!

!


3737373737

( ) ( )

0y3x4x5

0y15x20x25

0y5325x

5425y

543

534x

533

544

0seny25cosx25ycos3sen4xsen3cos4

En

2

2

222

222

:

=−+

=−+

=⋅−⋅+

⋅+⋅+

⋅+⋅

=θ−θ+θ+θ+θ+θ

⊗

NNN

NNN

NNNN

NNNN

!

!

Simplificar la ecuación:

013y2x10yxy10x 22 =++−+−

por transformación de coordenadas.

Solución:

( ) ( )

⊗→=++−−+

+−++−−++

=+++−−

−+++−−−−++

→+=

+=

→=++−+−

013k2h10hk10k

yh10k22x10k10h2yx

013k2y2h10x10

kky2yhk10yh10xk10yx10hhx2x

: en

kyy

hxx:Luego

013y2x10yxy10x

2

22

2222

22

NNNN

NN

NNNNNNNN

N

N

"#

#

"

1k;0h0h10k22

010k10h2

que cumplirse debe ;y e x términos los eliminar Para

−==

=−+

=−−!

NN

3838383838


( )( )

( )

( ) ( )( )

( )02cos0sencos

0sencos10

0sen10cos10

:yx término el eliminar para Ahora

......012yxsen10cos10

ycossen101xcossen101

012yxsen10cos10cossen2cossen2

ycossen10cossen

xcossen10sencos

012cosseny10senyx10cosyx10

cossenx10cosycossenyx2senxsenycossenyx2cosx

: en

......cosysenxy

senycosxx:Pero

......012yx10yx01321yx10yx

:En

22

22

22

22

22

22

222

222

22

222

222222

22

22

=θ=θ−θ

=θ−θ−

=θ+θ−

=+θ+θ−+

+θθ++θθ−

=+θ+θ−θθ−θθ+

+θθ+θ+θ

+θθ−θ+θ

=+θθ+θ+θ−

−θθ+−θ+θθ++θ+θ+θθ−θ

θ+θ=

θ−θ=

=+−+=+−+−+

⊕

⊗

!!

!

!

!

!

!

NNNN

NNNN

NNNN

NNNN

NN

NN

NNNNNNNNNN

NNNNNNNN

NNNNNNNNNN

NNNNN

NNNNN

NNNN

NNNN

!$

$

!

Ahora para eliminar el término x´´y´´:


3939393939

( ) ( )

06y3x2

:2 Dividiendo

012y6x4

012y51x51

012y22

22101x

22

22101

: en doReemplazan

22

21

22cos1cos

22

21

22cos1sen

:Además

22

22

22

22

=−−

×

=++−

=+++−

=+

⋅⋅++

⋅⋅−

==θ+=θ

==θ−=θ

⊕

NNNN

NNNN

NNNN

NNNN

!

!

!

!

Un punto P se mueve de tal modo que la diferencia de sus distancias a los

dos puntos ( )1,4A = y ( )2,1B −= es siempre igual a 3. Hallar la

ecuación del lugar geométrico y simplificarla por transformación de

coordenadas.

Solución:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) 31y2x4y1x

3PBAP

:condición la De

mueve. se que punto el yx,P Sea

2222 =−++−−+−

=−

=

!

4040404040


( ) ( )

09yx8

019101010yx8

01925

218

254

2110yx8

: en

21k;

25h

0h84

0k820

: y e x términos los eliminar para Ahora

019kh8k4h20yx8yh84xk820

:Luego

kyy

hxx

:Pero

09yx8y4x20

:tiene se soperacione Efectuando

=−−

=++−−−

=+

−−

−

−+−

−==

=+

=−

→=+−−+−+−−

→

+=

+=

→=+−−

NN

NN

NN

NN

NNNN

N

N

!

!

!!

!

!

!

!#

!

#

"


4141414141

66666Capítulo

LA PARÁBOLA

Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz

es 2y = .

Solución:

y8x:

: En

2p

py4x:

:tiene se gráfico, Del

2

2

−=

=

→−=

!

!

!

4242424242

Capítulo 6. LA PARÁBOLA

Hallar la ecuación de la parábola cuya directriz es la recta 6x −= y su

foco es ( )0,0F = .

Solución:

( ) ( )

( )

( )

36x12y:

3x12y:

: En

3FVpy3,0V:Como

hxp4ky:

:gráfico Del

2

2

2

+=

+=

==−=

→−=−

!

!

!

Calcular el radio focal del punto M de la parábola x20y2 = si la abscisa

del punto M es igual a 7.

Solución:

( )( )

( )( )

( ) ( )

12144FM

570140FM

:tanto lo Por

1407,M

140y720y

: En

y7,M

5,0F:donde de

5p204p: De

x20y:

22

12

1

1

2

==

−+−=

±=

±==

∈=

=

==

→=

!

!!

!

!

!

!


4343434343

Dada la ecuación de la parábola 7x2y8x2 =−+ . Hallar el vértice, eje,foco y directriz. Trazar la curva.

Solución:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

3y:directriz la de Ecuación

1x:eje del Ecuación

11,pkh,F: foco del scoordenada las Ahora,

2p84p:teSeguidamen

1,1kh,V:parábola la de vértice del scoordenada las Luego,

1y81x:8y81x:

17y81x2x:7x2y8x:

cuadrados oCompletand

7x2y8x:

22

22

2

=

=

−=+=

−=−=

==

−−=−+−=−

++−=+−=−+

=−+

!

!

!

!

!

4444444444


Encontrar la ecuación de la parábola, cuyo vértice es el punto ( )3,2V = y

el foco es ( ),24F = .

Solución:

( ) ( )

( ) ( )( )( ) ( )

16x4y4y:

3x42y

3x142y:

: en valores los doReemplazan

1VFp

:foco el y vértice el conoce se que Dado

hxp4ky:

2

2

2

2

−+=

−=−

−=−

==

→−=−

!

!

!

Obtener la ecuación de la parábola con foco en ( )2,3F = y cuya ecuación

de la directriz es 6x −= .

Solución:

( )

( ) ( )

023y6x16y:


6x3y2x

definición aP de DistanciaFP

:gráfico Del

2

22

=−−−

+=−+−

=‹

!

!

!


4545454545

Determinar la longitud del segmento determinado por la ecuación x4y2 = ,

con la recta de ecuación 3y2x −= .

Solución:

( )( )

( ) ( ) 94,854PP16642619PP

:Luego

:gráficas dos las de ónintersecci P y P

9,6P

1,2Ppuntos los obtenemos y De

3y2x:x4y::Tenemos

2122

21

21

2

1

2

≈=+=−+−=

=

=

→−=→=

!"

"!

"!

‹

4646464646


Determinar la ecuación de una circunferencia que tiene por diámetro la

cuerda normal de la parábola, cuya ecuación es x16y2 = .

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )( )

( )

( )

048x8yx:

64y4x:

:tanto lo Por

4,0CFC

nciacircunfere la de centro C Siendo

64r8FPFPr

8,4P

8,4P: y De

4x:NC

recto ladonormal cuerda la Luego,

4,0p,khF:Tambien

0,0kh,V vértice el que deduce se

x16y:

22

22

221

2

1

2

=−−+

=+−

==

====

−=

=

→=

=+=

==

→=

C

C

!"!

!"

!

!

!

"!

"

!

Una recta que pasa por el foco de una parábola con el vértice en el origen

y con el eje horizontal, corta a la directriz en el punto ( )8,3A −= . Calcular

las coordenadas de los puntos de intersección de la parábola y la recta.

Solución:

( ) ( )0,0k,hV vértice su y

px4y: 2

==

→= !!

é


4747474747

( )( ) ( )

( )

( )

( )( )12,12P

3,43P

012y3x4:

x12y::P: y De

012y3x4:3x34y

3xm0y:

34mm

3,0k,phF

3,8A:

x12y:: en

3p:Además

2

12

2

AF

−=

=

=−+

=

→=−+−−=

−=−

−==

=+=

−=

→=

→=

!"

!"

!

‹

‹

‹

‹

‹

‹

#$

#

$!"

"

!

4848484848


Las dos torres de suspensión de un puente colgante distan entre sí 300 m.

y se extienden 80 m por encima de la calzada. Si el cable (que tiene la

forma de una parábola) es tangente a la calzada en el centro del puente,

determinar la altura del cable por encima de la pista a 50 m y también a

100 m del centro del puente. (Asumir que la pista es horizontal).

Solución:

( )( )

( )

( ) .m55,359

320yy4

1575100y,100P

.m88,8980yy

4157550y,50P

:Luego

y4

1575x:: En

41575p480p4150

.150,80P

py4x:que observa se gráfico, Del

222

22

112

11

2

2

2

≈=×=∈=

≈=×=∈=

×=

×==

∈=

→=

!!

!!

!"!

!

!

!

!

!


4949494949

77777Capítulo

LA ELIPSE

Hallar la ecuación de la elipse cuya longitud de la cuerda normal (lado

recto) es 5 vértices ( )10,0± .

Solución:

125y

100x:: en tanto lo Por

100a10a

25b5ab2CN

:enunciado del Luego

1by

ax::Sabemos

22

2

22

2

2

2

2

=+

==

===

→=+

õ

õ

!

!

!

!"

!

!

5050505050

Capítulo 7. LA ELIPSE

Hallar la ecuación de la elipse, cuyo eje es coincidente con 1x = , ( )1,5C = ,

( )1,8F = ; suma de las distancias focales de un punto de la elipse es 12.

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) 136

5y27

1x::tanto lo Por

27b27936bcab:Sabemos

9c3CFc:Luego

36a6a12a2:Pero

1a

kyb

hx:: deducimos enunciado Del

22

22222

2

2

2

2

2

2

=−+−

==−=−=

===

===

=−+−

õ

õ

!"!"

!"

!"!"


5151515151

Reducir la ecuación 021y16x6y4x 22 =++−+ a la forma ordinaria de

la ecuación de una elipse y determinar las coordenadas del centro, vértices

y focos, las longitudes de los ejes mayor y menor, y la cuerda normal; y la

excentricidad.

Solución:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

113

ace:dadExcentrici

12

12a

2bNC:Normal Cuerda

2122b:menor Eje4222a:mayor Eje

3c3cc14cba

1b1b2a4a

:También

2,1V

2,5V2,23ka,hV

:de obtienen se elipse la de vértices los Luego

2,3kh,C:tenemos ecuación la De

112y

43x

:

42y43x

169214y4y49x6x

:y e x para cuadrados oCompletand

021y16x6y4x

2

222222

22

2

1

22

22

22

22

<==

=×==

=×==×=

±==+=+=

±==±==

−=

−=−±=±=

−==

=++−

=++−

++−=++++−

=++−+

!

!

!!

!

!!

!!!

!!

!!

õ

5252525252


Por el foco de la elipse 115y25x 22 =+ se ha trazado una perpendicular

a su eje mayor. Determinar las distancias de los puntos de intersección de

esta perpendicular con la elipse hasta los focos.

Solución:

( ) ( )

"

!

→=

±=±=

±=−±=−=−=

→=+

10x:es foco primer el en trazada

larperpendicu la de ecuación La

,010Fc,0F

:son elipse la de focos los Luego,

101525cbaccab:Sabemos

115y

25x:

:elipse la de ecuación la Tenemos

222222

22

!!

!!

! õ


5353535353

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 7301010CF

3301010CF

:tanto lo Por

3,10yx,C:aquí De

3y9y115y

259: y De

222

221

22

=−+−−=

=−+−=

==

±===+

!

!

!!"!

Búsquese la ecuación de la elipse que tenga como centro ( )2,4C −= y

sea tangente a los dos ejes de coordenadas.

Solución:

( ) ( )

( ) ( ) 116

4y42x:

4b2b

Yeje al C de Distancia:b

16a4a

X eje al C de Distancia:a

:caso este Para

1a

kyb

hx::Sea

22

2

2

2

2

2

2

=−++

==

==

=−+−

õ

õ

!

!!

!!

!

!

5454545454


Hallar la ecuación canónica de la elipse, si uno de los vértices está en

( )5,0V1 = y pasa por el punto ( )2,3P = .

Solución:

( )

( )

75y7x3:1775

y25x:

:tanto lo Por

775b1

b3

2542,3P:Como

1by

25x::Luego

25a5a5,0V:que Dado

1by

ax:

2222

22

2

22

21

2

2

2

2

=+=+

==+∈=

=+

===

=+

õõ

õ

õ

õ

!

!!

!!

!

La base de un auditorio es de forma elíptica, tiene 20 m. de longitud y 16 m

de ancho. Si cae una aguja sobre un foco el ruido que produce se escucha

claramente cerca del otro foco. ¿A qué distancia está un foco del otro

foco?

Solución:

12c22F1F:tanto lo Por

6c36ccab:donde De

64b8b100a10a

:enunciado del datos los Según

2222

2

2

==

±==−=

====

!!

!

!

!

!

Según los datos del enunciado:

Por lo tanto:


5555555555

Usando la definición de elipse, obtener la ecuación de la elipse con focos

en ( )3,4F −= y ( )5,4F2 = eje mayor 12.

Solución:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

031y72x10y9x5:


124y5x4y3x

:donde De

12a2PFPF

:que tiene se elipse, de definición la Por


22

2222

21

=+++−

=−+−−−++

==−

=

õ

!

!

5656565656


Demostrar que para todo elipse que tenga su centro en el origen, la distancia

de cualquiera de los extremos del eje menor a cualquiera de los focos es la

mitad de la longitud del eje mayor.

Solución:

aaFB:tanto lo Por

bca:que definición por sabemos pero,

bcFB:figura la de Luego,

a2a2

2VV

FB

:que Probar

origen. el en vértice con elipse la1by

ax:Sea

211

222

2211

2111

2

2

2

2

==

+=

+=

===

=+

!

õ


5757575757

Un punto se mueve de tal modo que la suma de las distancias de los

puntos ( )2,0A −= y ( )2,6B −= es 8. Hallar la ecuación del lugar

geométrico de P .

Solución:

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 116

3y72x:

015y42x64y7x16:

:tiene se s,operacione Efectuando

86y2xy2x

:donde De

8BPAP

:problema del condición la Por


22

22

2222

=−++∴

=+−++

=−+++++

=+

=

õ

õ

La órbita que describe la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente una

elipse, con el Sol en uno de los focos. Si el eje mayor de la órbita elíptica

es de .km000300 y la excentricidad es de 017,0 aproximadamente.

Hallar la distancia máxima y mínima de la Tierra al Sol.

Solución:

5502c0001500,017a0,017c0,017ace

:elipse la de dadexcentrici la de aproximado valor Del

000150a0003002a:que tenemos gráfico, el según y datos los De

=×=×===

==

!!

!

!

!

Por la condición del problema:

5858585858


450147ca5502000150ca:Minimo

550152ca5502000150ca:Máximo

:Luego

=−−=−

=++=+

!

!

!

!

´


5959595959

88888Capítulo

LA HIPÉRBOLA

Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por el punto ( )2,3A = , tiene

su centro en el origen, su eje transverso está sobre el eje Y, y una de sus

asíntotas es la recta 0x7y2 =− .

Solución:

( )( )( )

178

x2y:8x7y4:: En

8kk28362,3A:Pero

kx7y4:kx7y2x7y2:

:Luego

0x7y2:0x7y2:Si

. hipérbola la de asíntotas y Sean

2222

22

21

21

=−=−

==−∈=

→=−=+−

=+=−

HH

H

HH

H

!

!!

!

!

!

!!

‹‹

‹‹

6060606060

Capítulo 8. LA HIPÉRBOLA

Hallar la ecuación de la hipérbola, con vértices en ( )70,V ±= y 34e = .

Solución:

( ) ( )

343y79x:

19343

x49y::tanto lo Por

9343b49

9784acb:Luego

9784ca

34c

34

ace:Además

7aa0,70,V:Si

1bx

ay::deduce se datos los De

22

22

2222

2

2

2

2

2

=−

=−

=−=−=

=×===

±=±=±=

=−

H

H

H

!

!!

!

Dada la ecuación de la hipérbola 4y4x 22 =− , hallar las coordenadas de

los vértices y focos, las longitudes de los ejes transverso y conjugado, la

excentricidad y la longitud de la cuerda normal (lado recto).

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

25e

ace:dadExcentrici

,05c,0F:Focos

2,0a,0V:Vértices

5c514bac

1b1b2a4a

:donde De

11

y4x:4y4x::Sabemos

222

22

2222

==

±=±=

±=±=

±==+=+=

±==±==

=−=−

!

!

!!

!

!

!!

HH


6161616161

2b2:Conjugado Eje

4a2:Transverso Eje

12

12a

2bCN:Normal Cuerda2

=

=

=×==

Encontrar la ecuación de la hipérbola de focos ( )1,1F1 −= y ( ),15F2 =

y un vértice en ( )0,1V = .

Solución:

6262626262


( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 151y

42x:

1b

kya

hx::tanto lo Por

5bb49bac

4a2CVa

:Ahora

2,1C1k2h

kh,C

9c3c6c2FF:Sabemos

22

2

2

2

2

22222

2

221

=−−−

=−−−

=+=+=

===

=

==

=

====

H

H

!!

!

!!

!!

!

!

!

Determinar la ecuación de la hipérbola, sabiendo que sus focos son los

puntos ( )3,4F1 = y ( )23,F2 −= y su excentricidad es igual a 2.

Solución:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) 14273x

491y:

1b

hxa

ky::tanto lo Por

427b

499acb:que Sabemos

49a

23a2

ace:Además

3CFCFc:Luego

,13C1k3h

kh,C

22

2

2

2

2

2222

2

21

=−−−

=−−−

=−=−=

====

===

=

==

=

H

H

!

!!

!!!


6363636363

Hallar la ecuación de la hipérbola, cuyos focos están en los vértices de la

elipse: 164y100x 22 =+ . Y las directrices pasan por los focos de esta

elipse.

Solución:

( ) ( )

100c10c

elipse. la en a de valor del partir ahipérbola la enc de valor el obtenemos problema, del condición Por

1by

ax::hipérbola la En

6,0c,0F:donde De

6c3664100baccab

8b64b10a100a

164y

100x::elipse la En

2

2

2

2

2

222222

22

22

=±=

=−

±=±=

±==−=−=−=

±==±==

=+

!

!!

!!

!

!

!!

H

õ

6464646464


1100y

60x:

1by

ax::tanto lo Por

40b60100bcab:Seguido

60a: en Luego

elipse. la enobtenido valor un es c donde ; c x :problema del condición Por

10a

ca

acax

eax:hipérbola la de directriz la de ecuación La

22

2

2

2

2

22222

2

22

=−

=−

=−=−=

=

=

→±==±=

±=

H

H

!!

!

!

!


6565656565

Dada la ecuación de la hipérbola: ( ) 1128y164x 22 =−− , encontrar las

coordenadas del centro, vértices y focos; la excentricidad; las ecuaciones

de las directrices y asíntotas; y la longitud de la cuerda normal (lado recto).

Solución:

( )

( ) ( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

( )

( )[ ] ( )[ ]( )

( )

=−−

=+−

=−−⋅+−

=−−−

==

±=±=

−=

=±=±=

=

=±=±=

±==+=+=

±==±==

==

→=−−

0y4x22:

0y4x22:

0y4x22y4x22

k128y4x8

: en ; asíntotas las de Ecuaciones

38x316x

344

eahx

:sdirectrice las de Ecuaciones

0,8F

0,16F,0124c,khF:Focos

0,0V

0,8V4,04a,khV:Vértice

12c14412816bac

28b128b4a16a

:Además

4,0kh,C que deduce se

1128y

164x: Si

2

1

2

2

1

2

1

222

22

22

‹

‹!

!

!

!

!

!

!!

!

!

!

!!

H

s:

6666666666


646441282

a2bCN:Normal Cuerda

2==×==


6767676767

Hallar la ecuación de la hipérbola que pasa por los puntos ( )2,3A −= y

( )7,6B = , tiene su centro en el origen y el eje transverso coincide con el

eje X.

Solución:

( )

( )

16y5x4:

1516

y4

x::Luego

516b;4a: y De

1b36

a49:6,7B

1b4

a9:23,A

1by

ax:

22

22

22

22

22

2

2

2

2

=−∴

=−

==

→=−∈=

→=−∈−=

=−

H

H

H

H

H

"!

"

!

!

!

!

!

Un observador estacionado en el punto P oye el estampido de un rifle y el

golpe de la bala sobre el objetivo en el mismo instante. Demostrar que el

lugar geométrico de P es una hipérbola.

Solución:

vettve:Además

sonido del Velocidad:Vbala la de Velocidad:V

:Sean

s

b

=⋅= !

!

!

6868686868


!→+=sbs V

BPVBR

VRP:problema del condición Por

( )LQQD

hipérbola de DefiniciónkBPRP

kVBRVBPRP

VBR

VBP

VRP

: De

bs

bss

=−

=×=−

=−

!

!

!

!


6969696969

99999Capítulo

CURVAS PLANASDE GRADO SUPERIOR

Trazar la curva potencial, cuya ecuación es: 32 xy = .

Solución:

...1.58.210y

...3210x

:valores de Cuadro

0x;xxyxyxy 332

±±±

≥±=±== ∀!!!

7070707070

Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR

Trazar la curva logarítmica, cuya ecuación es: xlogy 10=

Solución:

...21147.0301.00y

...1.0100941x

:valores de Cuadro

0x;xlogy 10

−

>= ∀!


7171717171

Trazar la curva exponencial, cuya ecuación es: 1xe4y −=

Solución:

...5.08.1044.1y

...1210x

:valores de Cuadro

x;e4y 1x

−

∈= ∀− ú!

7272727272

Capítulo 9. CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR

Trazar la curva, cuya ecuación es:

=

3xcosy .

Solución:

12186.002186.01y

32522320x

:valores de Cuadro

−−−

ππππππ

La ley de Boyle - Mariotte establece que a una temperatura constante de

presión p y el volumen v de un gas satisfacen la ecuación cvp =⋅ , para

algún número real fijo c. Un cierto gas por debajo de una presión de 20

libras por pulgada cuadrada tiene un volumen de 300 pulgadas cúbicas.

Hallar c de la ecuación: cvp =⋅

Solución:

0p;p

6000v6000vp

:Luego

6000c30020ccvp

≠∀==⋅

=×==⋅

!

!!

!

!


7373737373

...1600016000y

...6000160001x

:valores de Cuadro

−−

−−


7575757575

1010101010Capítulo

PROBLEMASSUPLEMENTARIOS

¿Para qué valor de h estará el punto ( )3h,P −= en la recta determinada

por ( )1,1A −= y ( )4,7B = ?

41:Rpta.

Demostrar que el triángulo cuyos vértices son ( )10,5A = , ( )3,2B = y

( )5,6C −= es rectángulo. Hallar el área.

2u29:Rpta.

Si ( )5,12A = es el punto medio del segmento BC y ( )37,B −−= .

¿Cuáles son las coordenadas de C ?

( )17,27C =:Rpta.

Discutir y graficar las curvas, cuyas ecuaciones son:

)) ( ) x104xyb

04x2yxa2

222

=+

=−+

7676767676

Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Hallar la ecuación del lugar geométrico de un punto cuya distancia de

( )6,0A −= es dos veces su distancia de ( )6,0B = . Trazar la curva.

036x20yx 22 =+−+:Rpta.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por ( )5,3P = y su X-interceptor

es 10.

030y5x3 =−−:Rpta.

Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( )7,4P1 = y forma un

ángulo de 120º con la parte positiva del eje X.

0374yx3 =−−+:Rpta.

Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto de intersección

de las rectas 04y2x =−+ y 02yx4 =−− , tal que forman con el

primer cuadrante un triángulo de área 2u25 .

030y2x9,010yx2 =−+=−+:Rpta.

Los puntos ( )2,3X −= , ( )4,1Y = y ( )5,3Z −= son los vértices de un

triángulo. Hallar la ecuación de la recta perpendicular al lado XZ que pasa

por Y .

017y7x6 =−−:Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a ambos ejes, y su centro

está en el cuarto cuadrante.

( ) ( )3411y4x 22 =++−:Rpta.


7777777777

La ecuación de la circunferencia es 28x10yx 22 =−+ . Hallar la ecuación

de la recta tangente a la circunferencia en el punto ( )3,7A = .

043y7x2 =+−:Rpta.

Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones de

las circunferencias: 01yx2yx 22 =−+++ y 04y2x2yx 22 =−+++

y por el punto ( )0,3P −= .

03yx10y3x3 22 =++++:Rpta.

Por una traslación de ejes, simplificar la ecuación:

01y7x3yx2 22 =−−++

115y8x16 22 =+ NN:Rpta.

La parábola xp2y2 = tiene un extremo de la cuerda focal en el punto

( )8,8A = . Hallar las coordenadas del otro extremo.

−2,

21:Rpta.

Un cable suspendido se carga de tal manera que toma la forma de una

parábola. Los extremos tienen una separación de 400 pies y tienen una

altura de 100 pies del centro. Hallar la altura del cable a 50 pies desde el

centro.

pies 25.6:Rpta.

7878787878

Capítulo 10. PROBLEMAS SUPLEMENTARIOS

Hallar la ecuación de la elipse con focos en ( )0,7F1 = y ( )120,F2 = , un

vértice en ( )160,V = .

( ) 14169219y

36x 22

=−+:Rpta.

Hallar la ecuación de la elipse con centro en el origen, eje menor sobre el

eje Y, 54e = , cuerda normal (lado recto) 518 .

12y

6x 22

=+:Rpta.

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en el origen, eje principal

(real) sobre el eje X; pasa por los puntos ( )3,1S = y ( )5,9T = .

12y

6x 22

=−:Rpta.

Hallar la ecuación de la hipérbola con centro en ( )1,8C −= , con vértice en

( ),83V1 = , 3e = .

( ) ( ) 1128

8y16

1x 22=−−+:Rpta.

Trazar la curva, cuya ecuación es: 22 exy ⋅=

problemas de geometria analitica plana

Documents