apostila vetores e geometria analitica

Vetores e Geometria Analítica

Regina Maria Sigolo Bernardinelli

Regina Maria Sigolo Bernardinelli

Vetores e Geometria Analítica Educação a Distância

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SUMÁRIO

APRESENTAÇÃO.................................................................................................5 INTRODUÇÃO ......................................................................................................6 1 VETORES NO R3 ..................................................................................................9 1.1 O Ponto no R3........................................................................................................9 1.1.1 Sistema Cartesiano Ortogonal...............................................................................9 1.2 Segmentos Orientados Equipolentes ..................................................................10

1.2.1 Definição..............................................................................................................10

1.2.2 Relação de Equivalência ....................................................................................11

1.3 Vetor ....................................................................................................................12

1.3.1 Definição.............................................................................................................12

1.4 Adição de Vetores ...............................................................................................13

1.4.1 Propriedades da Adição de Vetores ....................................................................14

1.5 Produto de Vetor por Escalares...........................................................................16

1.5.1 Propriedades do Produto de Vetor por Escalares ...............................................17

1.6 Segmentos Orientados em Coordenadas............................................................20

1.6.1 Segmentos Orientados Equipolentes em Coordenadas......................................21

1.7 Vetor em Coordenadas........................................................................................22

1.7.1 Definição..............................................................................................................22

1.7.2 Igualdade de Vetores..........................................................................................23

1.7.3 Adição de Vetores ...............................................................................................24

1.7.4 Multiplicação por um Escalar...............................................................................24

1.8 1ª Lista de Exercícios ..........................................................................................26

1.9 Respostas da 1ª Lista de Exercícios ...................................................................28

2 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR ..................................................29 2.1 Vetores Linearmente Independentes...................................................................29

2.1.1 Definição..............................................................................................................29

2.1.2 Exemplo...............................................................................................................29

2.2 Vetores Linearmente Dependentes .....................................................................30

2.2.1 Definição..............................................................................................................30

3

2.2.2 Exemplo...............................................................................................................30

2.3 Combinação Linear .............................................................................................33

2.3.1 Definição..............................................................................................................33

2.3.2 Exemplos.............................................................................................................33

2.4 Base ....................................................................................................................34

2.4.1 Definição..............................................................................................................34

2.4.2 Exemplo...............................................................................................................34

2.4.3 Coordenadas de um Vetor em Relação a uma Base ..........................................35

2.4.4 Base Canônica ....................................................................................................35

2.4.5 Exemplos.............................................................................................................37



3 PRODUTOS ENTRE VETORES .........................................................................43 3.1 Produto Escalar ou Produto Interno.....................................................................43

3.1.1 Ângulo Entre Dois Vetores ..................................................................................43

3.1.2 Módulo ou Norma ou Comprimento de um Vetor ...............................................44

3.1.2.1 Propriedades ......................................................................................................45

3.1.3 Definição de Produto Escalar ..............................................................................45

3.1.3.1 Propriedades ......................................................................................................45

3.1.4 Bases Ortonormais ..............................................................................................46

3.1.5 Interpretação Geométrica do Produto Escalar.....................................................48

3.2 Produto Vetorial ou Produto Externo ...................................................................51

3.2.1 Orientação de R3 .................................................................................................52

3.2.2 Definição de Produto Vetorial ..............................................................................53

3.2.2.1 Propriedades ......................................................................................................53

3.2.3 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial ....................................................55

3.3 Produto Misto ......................................................................................................57

3.3.1 Definição..............................................................................................................57

3.3.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto ........................................................58

3.3.3 Propriedades .......................................................................................................60


4


4 RETAS E PLANOS NO R3..................................................................................64 4.1 Sistema de Coordenadas ....................................................................................64

4.2 A Reta no R3........................................................................................................66

4.2.1 Condição de Alinhamento de Três Pontos ..........................................................69

4.3 O Plano no R3......................................................................................................70

4.3.1 Condição de Coplanaridade de Quatro Pontos ...................................................77



4.6 Posição Relativa..................................................................................................79

4.6.1 Reta e Reta .........................................................................................................79

4.6.2 Plano e Plano ......................................................................................................83

4.6.3 Reta e Plano........................................................................................................85

5 Resolução dos Exercícios ................................................................................97 5.1 Resolução da 1ª Lista de Exercícios ...................................................................97

5.2 Resolução da 2ª Lista de Exercícios .................................................................115



Considerações Finais ........................................................................................152

Referências .......................................................................................................153

Apêndice – Referências dos Exercícios ............................................................154

5

APRESENTAÇÃO

É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno, esta apostila de

Vetores e Geometria Analítica, parte integrante de um conjunto de materiais de

pesquisa voltados ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância

exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos alunos uma apresentação do

conteúdo básico da disciplina.

A Unisa Digital oferece outros meios de solidificar seu aprendizado, por meio

de recursos multidisciplinares como chats, fóruns, Aulas web, Material de Apoio e e-

mail.

Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca

Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente com as bibliotecas

setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de

informação e documentação.

Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo no seu

estudo são o suplemento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado

eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo

aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.

A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em

qualquer lugar!

Unisa Digital

6

INTRODUÇÃO

Esta apostila reúne os principais tópicos de VETORES e GEOMETRIA ANALÍTICA, de forma condensada e objetiva, com a finalidade de orientar você, aluno

do ENSINO A DISTÂNCIA (EaD), no desenvolvimento do conteúdo dessa disciplina.

É, portanto, um guia indispensável para acompanhar com sucesso as aulas WEB e

SATÉLITE. A disciplina VETORES e GEOMETRIA ANALÍTICA tem por objetivo fornecer

a você, subsídios que o auxiliem nas demais disciplinas do curso de ENGENHARIA AMBIENTAL/PRODUÇÃO.

Saliento ainda a importância dos conceitos abordados no Capítulo 1, com o

estudo dos vetores no R³, como aplicação na disciplina de FÍSICA, e a importância dos

Capítulos 1 e 2 no estudo da disciplina ÁLGEBRA LINEAR, que você terá a

oportunidade de estudar nos Módulos mais avançados do seu curso de ENGENHARIA AMBIENTAL/PRODUÇÃO.

A Geometria, bem como toda ciência, pode ser estudada através de

diferentes métodos, ou seja, um mesmo tópico geométrico pode ser abordado sob

diversos enfoques ou pontos de vista. Assim, de acordo com o método utilizado,

diferentes nomes são atribuídos às disciplinas de Geometria, como por exemplo:

Geometria Axiomática (ou de Posição): é o estudo da Geometria o qual devemos a

Euclides, feito por meio da ligação entre axiomas, definições e teoremas, reunidos em

seus “Elementos” (cerca de 300 A.C.)

Geometria Descritiva: é o estudo da Geometria devido a Gaspard Monge (1746 –

1818), que consiste em considerar as projeções dos entes geométricos sobre dois

planos fixados, para através dessas projeções tirar conclusões sobre esses entes

geométricos.

Geometria Analítica: é o estudo da Geometria pelo método cartesiano o qual devemos

a René Descartes (1596 – 1650), que associa equações aos entes geométricos, e

através do estudo dessas equações, feito com o auxílio da Álgebra, é que tiramos

conclusões a respeito desses entes geométricos.

7

Observe que cada método utiliza uma ferramenta básica para o estudo da

Geometria. Assim é que, para estudarmos a Geometria Axiomática utilizamos a Lógica,

para o desenvolvimento da Geometria Descritiva a ferramenta utilizada é o Desenho e

para o estudo da Geometria Analítica lançamos mão da Álgebra Elementar, bem como

da Álgebra Vetorial.

O estudo da Álgebra Vetorial feito nos capítulos iniciais desta apostila

servirão de apoio para os capítulos que abordam o tema Retas e Planos no R3, para

possibilitar a você, caro aluno, uma aplicação imediata dos conceitos apresentados no

Cálculo Vetorial, fazendo um importante elo de ligação entre estes conceitos.

Você irá perceber ao estudar esta apostila que determinar um plano, por exemplo, do

ponto de vista da Geometria Analítica, significa determinar sua equação e para isto, os

conceitos de produtos vetorial e misto, vistos no Cálculo Vetorial, serão amplamente

aplicados.

A apostila ainda apresenta vários exemplos e exercícios propostos

apresentados através de Listas de Exercícios, com as devidas resoluções indicadas

no final da apostila.

Vários exercícios dessas Listas se encontram resolvidos e minuciosamente

explicados nas aulas WEB e também serão resolvidos nas aulas SATÉLITE, sendo

extremamente importante que você assista às aulas, pois estas o auxiliarão na

resolução dos demais exercícios e das atividades propostas no decorrer do módulo.

Para que o ciclo da aprendizagem se feche harmoniosamente, é necessário que você

não deixe as dúvidas se acumularem e usufrua das ferramentas disponíveis para

perguntas e respostas, tais como os Fóruns de Dúvidas, o Correio e a Sala de Bate

Papo.

Também fique atento ao Mural e ao Material de Apoio, pois através do

primeiro me comunicarei com você e através do segundo disponibilizarei as aulas

Satélite, a resolução das atividades não eletrônicas e qualquer outro tipo de material

pertinente e interessante.

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Desejo a você um ótimo Módulo com a seguinte frase do filósofo francês,

Charles de Montesquieu:

“É preciso estudar muito para saber um pouco.”

Regina Maria Sigolo Bernardinelli1

1 Apostila revisada e adaptada em julho/2011 pelo Professor Antonio Fernando Silveira Alves

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1 VETORES NO R3

1.1 O Ponto no R3

1.1.1 Sistema Cartesiano Ortogonal

Consideremos três eixos concorrentes num ponto O e perpendiculares dois a

dois, determinando assim o espaço R3, conforme mostra a figura abaixo.

Dado um ponto P do espaço, sejam P1 , P2 e P3 as suas projeções,

respectivamente sobre os eixos x, y e z.

Sejam xP , yP e zP , respectivamente as medidas algébricas dos segmentos

orientados 321 OPeOP,OP .

P

P1

P2

P3

O

x

y

z

10

Desse modo, fica associado ao ponto P o terno ordenado (xP , yP , zP), que

são as coordenadas de P em relação ao sistema cartesiano ortogonal Oxyz.

Notação: P (xP, yP, zP) ou P = (xP, yP, zP)

xP = 1OP = abscissa de P eixo x = eixo das abscissas

yP = 2OP = ordenada de P eixo y = eixo das ordenadas

zP = 3OP = cota de P eixo z = eixo das cotas

Oxyz = sistema cartesiano ortogonal

O = (0, 0, 0) = origem do sistema cartesiano

A todo terno ordenado (a, b, c) do R3 corresponde um único ponto P do

espaço tal que a = xP, b = yP e c = zP.

1.2 Segmentos Orientados Equipolentes

1.2.1 Definição

Dois segmentos orientados CDeAB são equipolentes e indica-se, CDAB ~ ,

quando uma das três afirmações for verificada:

1) A = B e C = D, isto é, os segmentos orientados são nulos.

2) CDeAB são colineares e é possível deslizar CD sobre essa reta fazendo

com que C coincida com A e D coincida com B.

11

3) A figura obtida ao ligarmos os pontos A, B, D, C, nessa ordem, é um

paralelogramo.

Podemos então dizer que dois segmentos orientados são equipolentes

quando têm mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido.

1.2.2 Relação de Equivalência

A eqüipolência é uma relação de equivalência, pois satisfaz às seguintes

propriedades:

a) Reflexividade: todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo.

ABAB ~

b) Simetria: se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado CD ,

então CD é equipolente a AB .

AB~CDCD~ABse ⇒

c) Transitividade: se o segmento orientado AB é equipolente ao segmento orientado

CD e se CD é equipolente ao segmento orientado EF , então AB é equipolente a EF .

EF~ABEF~CDeCD~ABse ⇒

A B

D C

12

E

A

B

C

D

M

N

1.3 Vetor

1.3.1 Definição

Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes,

ou seja, é um conjunto de segmentos orientados equipolentes.

Assim, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de

todos os segmentos orientados do espaço que são equipolentes ao segmento orientado

AB .

O segmento orientado AB é um representante do vetor AB que também

pode ser indicado por AB ou por qualquer letra minúscula, com uma flecha em cima,

por exemplo, v .

Observem que embora usemos a mesma notação para representar vetor e

segmento orientado, não podemos em hipótese alguma confundir esses dois entes

matemáticos, pois enquanto o segmento orientado é um conjunto de pontos, o vetor é

um conjunto de segmentos orientados.

Na figura, os segmentos orientados AB , CD , ... , são equipolentes e por

esse motivo representam o mesmo vetor v .

v)AB(Cl =

13

Assim é que um mesmo vetor pode ser representado por uma infinidade de

segmentos orientados distintos, pois se AB é um segmento orientado e P é um ponto

qualquer do espaço, então existe um único segmento orientado PQ, com origem em P,

tal que PQ~ AB . Logo, o vetor AB tem exatamente um representante em cada ponto

do espaço.

1.4 Adição de Vetores

Sejam dois vetores u e v . Vamos definir o vetor soma desses vetores,

indicado por u + v .

Seja AB um representante de u . Com origem em B existe um único

representante BC do vetor v . Definimos o vetor u + v como sendo o vetor cujo

representante é o segmento orientado AC .

u

v

A

B

C

u v

u + v

14

1.4.1 Propriedades da Adição de Vetores

a) Comutativa: u + v = v + u , quaisquer que sejam os vetores u e v .

ADBCv

DCABu

==

==

⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=+

=+

ACDCAD

ACBCABuvvu +=+

b) Associativa: u + ( v + w ) = (u + v ) + w , quaisquer que sejam u , v e w .

w)vu()wv(u ++=++

u v

A

B

C

u v

D

uvvu +=+

?=+ vu

u v

A

B

C

u v u + v

D w

w

wv +

w)vu()wv(u ++=++

15

c) Elemento Neutro: já vimos que um ponto A qualquer do espaço pode ser

considerado como um segmento orientado AA , com origem A e extremidade A

(segmento nulo). Assim, todos os segmentos nulos do espaço são equipolentes entre si

e, desse modo, o conjunto de todos os segmentos nulos do espaço é um vetor,

indicado por 0 e que recebe o nome de vetor nulo. Então, se u é um vetor qualquer,

temos:

d) Simétrico: a cada vetor u é associado um vetor -u , chamado de simétrico ou

oposto de u , do seguinte modo: se ABu = , então BAu =− . Como, AABAAB =+ ,

temos que:

O vetor -u é o único vetor que satisfaz a igualdade acima, qualquer que seja u .

Observação

Sejam dois vetores u e v . Vamos definir o vetor diferença desses vetores.

O vetor diferença w = u v− é a soma de u com o oposto de v .

) v(uw −+=

Seja AB um representante de u . Com origem em B existe um único

representante BD do vetor v− . Definimos o vetor w = u v− como sendo o vetor cujo

representante é o segmento orientado AD .

0 + u = u + 0 = u

0u)u(e0)u(u =+−=−+

16

1.5 Produto de Vetor por Escalares

Denomina-se escalar a qualquer número real.

Seja α um número real e v um vetor.

Vamos definir o vetor vα .

1) Se α = 0 ou 0v = , por definição temos: 0vα = .

2) Se 0ve0α ≠≠ , seja AB um representante do vetor v .

O vetor vα é definido como sendo o vetor que tem como representante o

segmento orientado AC , cujo comprimento é |α | vezes o comprimento de AB , situa-se

sobre a reta que contém AB e se α > 0, tem o mesmo sentido que AB e se α < 0, tem

sentido contrário ao de AB .

u v

A

B

C

u v

u + v

- v

D

u - v

17

1.5.1 Propriedades do Produto de Vetor por Escalares

Quaisquer que sejam os escalares βeα e quaisquer que sejam os vetores u

e v , valem as seguintes propriedades:

a) vβvαvβ)(α +=+

b) vαuα)vuα( +=+

c) vβ)(α)vα(β =

d) 1 v = v e (-1) v = - v

EXEMPLOS

1) Todos os quadriláteros da figura dada são paralelogramos. B é ponto médio de AC ,

D é ponto médio de AG Escrever HCeAF,AH em função de .bea

A

B

C

A

B

C

α > 0 α < 0

X X

A B C

D E F

G H I

a

b

18

Este exercício é uma aplicação de adição de vetores. Percebam, por exemplo, que o

vetor AH pode ser escrito de várias formas como soma de outros vetores:

GHAGAH += EHDEADAH ++= IHFICFBCABAH ++++=

Além dessas, ainda existem várias outras formas. Entretanto, o que quero mostrar é o

conceito de adição de vetores, ou seja, considerando-se, por exemplo, o segundo modo

escrito acima, temos que o primeiro vetor da soma AD tem sua origem sempre

coincidindo com a origem do vetor AH (ponto A), assim como o segundo vetor deve ter

origem no ponto D, que é a extremidade do primeiro e assim, sucessivamente, vamos

“emendando” os vetores (no ponto que um termina, começa o outro) até fecharmos o

caminho, com a extremidade do último vetor coincidindo com a extremidade do vetor

AH (ponto H). Então, teremos:

GHAGAH += , ( AG = 2b, pois D é ponto médio de AGe aGH = , pois ABHG é

paralelogramo). Ficando então:

ab2AH +=

CFACAF += ( a2AC = , pois B é ponto médio de éACFDpois,bCF;AC =

amoparalelogr ). Então fica:

ba2AF +=

AGHIHCCIHIHCICHIHC −=⇒−=⇒+=

2baHC −=

2) Na figura abaixo, y34x

31BCeyAD,xAB +−=== . Pede-se escrever os vetores

DCeAC em função de ydeex .

A

B

C

D

19

y34x

32AC +=

y34x

31xyDC

)y34x

31(xyDC

BCABADDC

BCABDADC

+−+−=

+−++−=

++−=

++=

y31x

32DC +=

3) Os pontos A, B, C, D, E e F são os vértices de um hexágono regular de centro O.

Demonstrar que: AO6AFAEADACAB =++++

(Lembrete: todo hexágono regular pode ser inscrito numa circunferência de centro O e

raio r)

y34x

31xAC

)y34x

31(xAC

BCABAC

+−=

+−+=

+=

A

B C

D

E F

X O

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Vamos escrever cada um dos vetores AFAEADACAB ,,,, como soma de outros

vetores onde apareça o vetor AO .

OFAOAF

OEAOAE

ODAOAD

OCAOAC

OBAOAB

+=

+=

+=

+=

+=

Somando-se membro a membro, obtemos:

OFOEODOCOBAO5AFAEADACAB +++++=++++

Observem que: OEOB −= , OFOC −= e AOOD = (por se tratar de um

hexágono regular, todos esses vetores possuem o mesmo módulo, são colineares dois

a dois, apresentando, portanto, a mesma direção e são de sentidos opostos).

Assim, ficamos com:

OFOEAOOFOEAO5AFAEADACAB +++−−=++++ , que cancelando os vetores

opostos, finalmente resulta no que queríamos demonstrar:

AO6AFAEADACAB =++++

1.6 Segmentos Orientados em Coordenadas

Seja o espaço R3 cujos elementos são ternas ordenadas (x, y, z) onde x, y, z

são números reais.

Já vimos em 1.1.1 que a todo terno ordenado (x, y, z) do R3 corresponde um

único ponto P do espaço de coordenadas cartesianas (x, y, z), que indicamos por

P = (x, y, z).

21

Desse modo, o segmento orientado AB com origem A = (xA , yA , zA) e

extremidade B = (xB , yB , zB), tem coordenadas x = xB – xA , y = yB – yA e z = zB – zA.

Notação: AB = (x, y, z).

Exemplo: dados em R3 os pontos A = (–1, 2, –1) e B = (3, – 2, 5), determine as

coordenadas do segmento orientado AB .

AB = (3 – (–1), –2 – 2, 5 – (–1))

AB = (4, – 4, 6)

1.6.1 Segmentos Orientados Equipolentes em Coordenadas

Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes se têm as mesmas

coordenadas cartesianas.

Sejam A = (xA , yA , zA), B = (xB , yB , zB), C = (xC , yC , zC) e D = (xD , yD , zD)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=−−=−−=−

⇔

CDAB

CDAB

CDAB

zzzzyyyyxxxx

CD~AB

Exemplo: dados em R3 os pontos A = (2, –1, 0), B = (–2, 3, 2), C = (4, 1, 1) e

D = (0, 5, 3), verifique se os segmentos orientados AB e CD são equipolentes.

Temos que: AB = (– 4, 4, 2) e CD = (– 4, 4, 2)

CD~AB∴ .

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1.7 Vetor em Coordenadas

1.7.1 Definição

Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmas

coordenadas.

Exemplo: sejam os pares de pontos do R3:

A1 = (–1, 2, 0) e B1 = (2, 3, 2)

A2 = (– 3, 4, –1) e B = (0, 5, 1)

A3 = (2, –1, 4) e B3 = (5, 0, 6)

---------------------------------------

An = (0, 0, 0) e Bn = (3, 1, 2)

A cada um desses pares associamos os segmentos orientados

nn332211 BA,,BA,BA,BA K , cujas coordenadas são:

2)1,(3,v)AB(Cl

2)1,(3,BA

2)1,(3,BA

2)1,(3,BA

2)1,(3,BA

nn

33

22

11

==

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

=

−−−−−−−−−=

=

=

A

B

A1

B1

A2

B2

An

Bn

Cl ( AB ) = v = (3, 1, 2)

23

O conjunto dos segmentos orientados nn332211 BA,,BA,BA,BA K forma uma

classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes, pois todos são

segmentos orientados que possuem as mesmas coordenadas. Essa classe de

equivalência define o vetor Cl ( AB ) = v de coordenadas (3, 1, 2), denotado por:

v = (3, 1, 2).

Qualquer um dos segmentos orientados acima, representa o mesmo vetor v ,

e basta qualquer um deles para que o vetor v fique perfeitamente determinado.

O conjunto de todos os vetores do espaço R3 é denotado por V3, sendo

conveniente observar a distinção entre o conjunto R3, que é o conjunto de todos os

ternos ordenados de números reais, e o conjunto V3, que é o conjunto de todos os

vetores do espaço R3.

Todos os representantes de um vetor têm, por definição, as mesmas

coordenadas, que são as coordenadas do vetor.

Assim, se A = (xA , yA , zA) e B = (xb , yB , zB), as coordenadas do vetor v ,

são: x = xB – xA ; y = yB – yA ; z = zB – zA.

Notação: v = (x, y, z); v = AB

Observações 1) Existe uma correspondência biunívoca entre o espaço R3 e o conjunto V3 de vetores,

que associa a cada ponto P = (x, y, z) de R3 um vetor v = (x, y, z).

2) Existe um e somente um representante de um vetor dado, ligado a um ponto dado.

1.7.2 Igualdade de Vetores

Dois vetores são iguais se possuem as mesmas coordenadas.

Se )z,y,(xve)zy,(xv 22221111 == , então

21212121 zz,yy,xxvv ===⇔=

24

1.7.3 Adição de Vetores

Sejam os vetores )z,y,(xve)zy,(xv 22221111 == em V3 .

A soma 21 vv + é o vetor definido por:

)zz,yy,x(xvv 21212121 +++=+

Exemplo: Dados vucalcule3),5,2,(ve1)2,1,(u +−−=−=

⇒+−+−+−=+ 3)15),(22),(1(vu 4)3,3,(vu −−=+

1.7.4 Multiplicação por um Escalar

Seja ℜ∈∈= λeVz)y,(x,v 3 .

Definimos o produto vλ , como sendo o vetor: z)λy,λx,(λvλ = .

Exemplos:

1) Dados 3)1,2,(ve5λ −== , calcule vλ .

vλ = 5 (–2, 1, 3) ⇒ 15)5,10,(vλ −=

2) Dados )vu(λcalcule3,λe3)1,(2,v2),1,(1,u +=−=−−= .

)vu(λ + = 3 (3, –2, 1) ⇒ 3)6,(9,)vu(λ −=+

EXEMPLOS

1) Determinar as coordenadas do vetor v = 3 (1, 0, 1) – 4 (0, 1, 1) – 3 (1, –1, 0)

v = (3, 0, 3) + (0, – 4, – 4) + (– 3, 3, 0)

v = (0, –1, –1)

25

2) Dados os vetores u = (–1, 4, –15) e v = (–3, 2, 5), pede-se determinar um vetor

3Vx∈ , tal que: u = 2 v + 5 x .

Seja x = (x, y, z). Então temos:

(–1, 4, –15) = 2 (– 3, 2, 5) + 5 (x, y, z)

(–1, 4, –15) = (– 6 + 5x, 4 + 5y, 10 + 5z)

∴⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒−==⇒==⇒=

⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+−=−

5z255z0y05y1x55x

15105z445y165x

5)0,(1,x −=

3) Dado um paralelogramo ABCD, se M e N são pontos médios de CDeAB ,

respectivamente, então ANCM é um paralelogramo.

Provar que ANCM é um paralelogramo ⇔ Provar ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=

NCAM

MCAN

DC21MCAB

21ANCD

21MCAB

21ANCNMCAMAN −+=⇒++=⇒++=

Como ABCD é um paralelogramo DCAB =⇒ ∴−+=⇒ DC21MCDC

21AN MCAN =

AB21AM = .

Como ABCD é um paralelogramo DC21AB

21DCAB =⇒=⇒ DC

21AM =⇒

Como N é ponto médio de CD ⇒==⇒ DC21NCDN NCAM = .

Logo, ANCM é um paralelogramo.

A

B C

D

M N

26

1.8 1ª Lista de Exercícios2

1) Em um triângulo ABC o ponto M é tal que MC5BM3 = . Escrever o vetor AM em

função dos vetores ACeAB .

2) É dado o triângulo ABC e o ponto X sobre a reta AB tal que XA4XB = . Sejam

cACebAB == .

a) Determinar o vetor CX em função de b e c .

b) Seja M o ponto médio de CX . Escrever BM em função de b e c .

3) A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero plano qualquer. M é tal que

MB2CM = ; N é o ponto médio de CD . Em função de b = AB , c = AC e ADd = ,

pede-se: a) AM ; b) AN; c) MN.

4) No triângulo ABC os segmentos RBeQR,PQ,AP têm o mesmo comprimento.

a) Escrever CQ em função de CBeCA .

b) Escrever CQ em função de CReCP .

c) Escrever CQ em função de eCA CR .

5) Seja ABC um triângulo qualquer com medianas CFeBE,AD . Demonstrar que

0CFBEAD =++ . 2 Exercícios retirados de Mello e Watanabe, Vetores e Geometria Analítica - Exercícios, 1985. Exercícios retirados de Lima, Elementos de Álgebra Vetorial, 1974.

A P Q R B

C

27

6) Dados cCDebBC,aAB === , determinar, em função de ceb,a , os vetores

FXeAX sabendo-se que EB41EX = .

7) Calcular as coordenadas dos vetores:

a) u = (1, 2, 1) + 21 (0, 1, 1)

b) v = 23 (5, 0, 1) – 6 (0,

54 , -1)

c) w = (5, 0, -4) - 21 (1, 2, 1) +

53 (1, -1, 1)

8) Calcular as coordenadas do vetor 3Vx∈ , tal que: 2 x + 3 (2, 1, 0) = 0

9) Achar as coordenadas do vetor x , sabendo-se que:

0)1,(2,510)]4,(3,

61[5x)

32

21( −=++

10) Determinar os vetores x e y pertencentes a V3 que verificam o sistema:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+

1)2,(1,x2y

1)2,(0,y2x

11) Dados os vetores u = (3, 2, 1), v = (-4, -3, 1) e w = (2, 1, 1), pede-se determinar os

escalares γβ,α, tais que: 0)0,(0,wγvβuα =++

A B

C

D E

F

X

28

12) Sejam A, B, C, D quatro pontos de R3 e M, N os pontos médios dos segmentos

BDeAC . Pede-se determinar a soma: CDCBADABS +++= em função de MN.

13) Dado o tetraedro OABC em que cOC,bOB,aOA === e M é o ponto médio do

lado BC , pede-se determinar o vetor AM em função de ceb,a .

1.9 Respostas da 1ª Lista de Exercícios

1) AC85AB

83

+ ; 2) a) cb31

−− ; b) c21b

67

+− ;

3) a) )cb(231

+ ; b) )dc(21

+ ; c) )d3cb4(61

++− ;

4) a) )CBCA(21

+ ; b) )CRCP(21

+ ; c) )CR2CA(31

+ ; 6) c43b

43a

41

++ ; c43b

41a

41

+− ;

7) a) )23,

25(1, ; b) )

215,

524,

215( − ; c) )

1039,

58,

1051( −− ; 8) ),,( 0

233 −− ;

9) )( 0351069 ,,

5−− ; 10) )32,

52(x

55,−−= , )1,6,

51(y

55= ; 11) 0γβα === ;

12) MN4 ; 13) )( cbaAM ++−=21

O

A

B

C M

a

b c

29

2 DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

2.1 Vetores Linearmente Independentes

2.1.1 Definição

n21 v,,v,v K são linearmente independentes (L. I.) ⇔

0vαvαvα nn2211 =+++⇔ K implica obrigatoriamente que 0ααα n21 ==== K .

2.1.2 Exemplo

Mostrar que os vetores (2, 1, 1), (1, 3, 1), (-2, 1, 3) são L. I.

1α (2, 1, 1) + 2α (1, 3, 1) + 3α (-2, 1, 3) = (0, 0, 0)

(2 1α + 2α - 2 3α , 1α + 3 2α + 3α , 1α + 2α + 3 3α ) = (0, 0, 0)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++=−+

0α3αα0αα3α02ααα2

321

321

321

311131212 −

= 2 (9 – 1) – 1 (3 – 1) - 2 (1 – 3) = 16 – 2 + 4 = 18 ≠ 0

Como temos um sistema linear homogêneo a três equações e três incógnitas e o

determinante da matriz dos coeficientes é diferente de 0 (zero), existe uma única

solução que é a trivial, isto é, 0ααα 321 === ⇒os vetores são L. I.

30

2.2 Vetores Linearmente Dependentes

2.2.1 Definição

n21 v,,v,v K são linearmente dependentes (L. D.) ⇔ existem escalares

,α,,α,α n21 K não todos nulos tais que: 0vαvαvα nn2211 =+++ K .

2.2.2 Exemplo

Mostrar que os vetores (1, -2, -1), (-1, 1, 0), (1, 0, 1) são L. D.

1α (1, -2, -1) + 2α (-1, 1, 0) + 3α (1, 0, 1) = (0, 0, 0)

( 1α - 2α + 3α , -2 1α + 2α , - 1α + 3α ) = (0, 0, 0)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=+−

=+−

0αα0αα20ααα

31

21

321

02212)(1101012111

=−=+−+=−−

−


determinante da matriz dos coeficientes é igual a 0 (zero), existem infinitas soluções.

Uma delas é a solução trivial, mas ela não é única.

Por exemplo, para 1α = 1, temos da segunda equação que 2α = 2 1α , logo, 2α = 2 e da

terceira equação temos que 3α = 1α , logo, 3α = 1. Portanto, podemos escrever:

1 (1, -2, -1) + 2 (-1, 1, 0) + 1 (1, 0, 1) = (0, 0, 0), onde os escalares 1α , 2α , 3α são

diferentes de 0, concluindo então que os vetores (1, -2, -1), (-1, 1, 0) e (1, 0, 1) são L. D.

31

OBSERVAÇÕES

1) O vetor nulo (0 ) é sempre L. D., pois 5 . 0 = 0 , onde o escalar é 5 ≠ 0.

2) Um vetor não nulo é sempre L. I., pois 0λ0vcom0vλ =⇒≠= .

3) Sejam veu dois vetores e 0v ≠ .

veu são L. D. vαu/α =ℜ∈∃⇔

VETORES PARALELOS: se veu são L. D. , dizemos que veu são paralelos e

indicamos: v||u . Logo,

Observem que se um dos vetores for nulo, por exemplo, 0v = , então só

podemos escrever: uαv = .

Exemplos:

1) (2, 3, 1) || (4, 6, 2), pois (2, 3, 1) = 21 (4, 6, 2)

(4, 6, 2) || (2, 3, 1), pois (4, 6, 2) = 2 (2, 3, 1)

2) (0, 0, 0) || (1, 1, 1), pois (0, 0, 0) = 0 (1, 1, 1)

Notem que o vetor nulo (0 ) é paralelo a qualquer vetor.

Em 1.5 foi visto que vetores da forma vαev possuem representantes

colineares, logo, dois vetores veu são L. D. ou colineares.

Se veu não forem colineares, seus representantes determinam um plano e

podemos dizer que veu são L. I.

uβvouvαuv||ue0v,0u ==⇒≠≠

32

4) Em V3, sejam wev,u vetores não simultaneamente nulos. Então pode ocorrer:

a) wev,u são L. D. e possuem representantes numa mesma reta, sendo portanto

colineares; ou wev,u possuem representantes num mesmo plano, sendo portanto

coplanares.

b) wev,u são L. I. ou não coplanares. Observem a figura que segue:

veu são L. I.

u

v

P

A

B

u

v

u u

v v

w w

π

L.I.sãow,v,u

33

5) Quatro vetores em V3 são sempre L. D.

2.3 Combinação Linear

2.3.1 Definição

Dados os vetores n21 v,,v,v K , todo vetor da forma nn2211 vαvαvα +++ K

onde n21 α,,α,α K são escalares chama-se combinação linear dos vetores dados.

2.3.2 Exemplos

1) O vetor u = (2, 3, 1) é uma combinação linear dos vetores 1e = (1, 0, 0),

2e = (0, 1, 0) e 3e = (0, 0, 1).

De fato, (2, 3, 1) = 2 (1, 0, 0) + 3 (0, 1, 0) + 1 (0, 0, 1)

2) O vetor v = (6, -1, 2) é uma combinação linear dos vetores 1v = (1, -1, 2),

2v = (1, 0, -1) e 3v = (1, 1, 1).

De fato, (6, -1, 2) = α (1, -1, 2) + β (1, 0, -1) + γ (1, 1, 1)

(6, -1, 2) = (α + β + γ , -α + γ , 2α - β + γ )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−−=+−⇒×−=+−=+−

=++=++

(3)2γβ2α(5)3γ3α33)(1γα- :(2)(2)1γα

(4) 82γ3α:(3)(1)(1)6γβα

(4) + (5): 5γ = 5 ⇒ 1γ = , substituindo em (2): 2α =

Substituindo 1γ = e 2α = em (1): 3β =

Portanto, (6, -1, 2) = 2 (1, -1, 2) + 3 (1, 0, -1) + 1 (1, 1, 1)

34

2.4 Base

2.4.1 Definição

Chama-se base de V3 a todo conjunto de três vetores linearmente

independentes (L. I.).

Logo, para sabermos se três vetores formam uma base de V3, basta

verificarmos se eles são L. I.

2.4.2 Exemplo

Verificar se os vetores 1v = (2, 3, 4), 2v = (4, 6, 7) e 3v = (1, 2, 3) formam uma base de

V3.

α 1v + β 2v + γ 3v = 0

α (2, 3, 4) + β (4, 6, 7) + γ (1, 2, 3) = (0, 0, 0)

(2 α + 4 β + γ , 3 α + 6 β + 2 γ , 4 α + 7 β + 3 γ ) = (0, 0, 0)

013-4-8

24)(2118)(9414)(182374263142

0γ3β7α40γ2β6α3

0γβ4α2

≠=

=−+−−−=⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=++

=++


determinante da matriz dos coeficientes é diferente de 0 (zero), existe uma única

solução que é a trivial, isto é, 0ααα 321 === ⇒os vetores são L. I. e portanto formam

uma base de V3.

35

2.4.3 Coordenadas de um Vetor em Relação a uma Base

Seja B = { 1v , 2v , 3v } uma base de V3.

Seja 3Vv ∈ uma combinação linear dos vetores 1v , 2v , 3v . Logo, existem

escalares 321 α,α,α , tais que:

332211 vαvαvαv ++= (1)

Vamos demonstrar que os escalares 321 α,α,α são determinados de modo

único.

Suponhamos que 321 β,β,β sejam tais que:

332211 vβvβvβv ++= (2)

Fazendo-se então (1) – (2), temos:

0v)β(αv)β(αv)β(α 333222111 =−+−+−

Como B = { 1v , 2v , 3v } é uma base de V3, temos que 1v , 2v , 3v são L. I.,

logo: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒=−=⇒=−=⇒=−

3333

2222

1111

βα0βαβα0βαβα0βα

Logo, os escalares 321 α,α,α são únicos e são chamados de coordenadas do

vetor v em relação à base B.

Notação: B321 )α,α,(αv =

2.4.4 Base Canônica

Sejam os vetores 1e = (1, 0, 0), 2e = (0, 1, 0), 3e = (0, 0, 1).

Vamos provar que esses vetores são L. I.:

36

α 1e + β 2e + γ 3e = 0

α (1, 0, 0) + β (0, 1, 0) + γ (0, 0, 1) = (0, 0, 0)

(α , β , γ ) = (0, 0, 0) ⇒ α = β = γ = 0 ∴ 1e , 2e , 3e são L. I.

Observe também que qualquer vetor 3Vz)y,(x,v ∈= pode ser escrito como

combinação linear dos vetores 1e , 2e , 3e , como segue:

z)y,(x,v = = (x, 0, 0) + (0, y, 0) + (0, 0, z) = x (1, 0, 0) + y (0, 1, 0) + z (0, 0, 1) =

= x 1e + y 2e + z 3e

Utilizando o mesmo modo usado em 2.4.3, demonstramos também que essa

decomposição é única, ou seja, 3Vz)y,(x,v ∈= pode ser escrito de uma única maneira

sob a forma: v = x 1e + y 2e + z 3e .

Portanto, temos que 1e , 2e , 3e formam uma base de V3 que é denominada

base canônica de V3.

Observem que v = x 1e + y 2e + z 3e ⇒ =v (x, y, z)base canônica e por tanto,

os números x, y, z da terna =v (x, y, z) coincidem com as coordenadas de v em

relação à base canônica.

x

y

z

O

P = (x, y, z) v

1e 2e

3e

37

2.4.5 Exemplos

1) Determinar as coordenadas do vetor =v (-2, 1, 1) em relação à base B = { 321 u,u,u },

onde 1u = (1, 0, 0), 2u = (1, 1, 0), 3u = (1, 1, 1). Determinar as coordenadas de w em

relação à base canônica, sendo w = (2, 1, 0)B.

Vamos escrever v como combinação linear de 321 u,u,u :

v = α 1u + β 2u + γ 3u

(-2, 1, 1) = α (1, 0, 0) + β (1, 1, 0) + γ (1, 1, 1)

(-2, 1, 1) = (α + β + γ , β + γ , γ )

3α(1)em0βe1γ0β(2)em1γ

(2)1γβ(1)2γβα

−=⇒==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒==+−=++

Portanto, v = (-3, 0, 1)B.

Dizer que w = (2, 1, 0)B é o mesmo que escrever w como combinação linear dos

vetores 321 u,u,u , do seguinte modo:

w = 2 1u + 1 2u + 0 3u

w = 2 (1, 0, 0) + 1 (1, 1, 0) + 0 (1, 1, 1)

w = (2, 0, 0) + (1, 1, 0) + (0, 0, 0)

w = (3, 1, 0) ⇒ w = (3, 1, 0)base canônica

2) Se B = { 321 u,u,u } é uma base de V3 e são dados os vetores ,u2uuv 3211 +−=

,uuv 322 −= 23 uv −= , pede-se achar as coordenadas do vetor 321 v2vv2v −−=

em relação à base B.

Na expressão do vetor v , vamos substituir os vetores 1v , 2v , 3v . Então , fica:

38

321 v2vv2v −−=

v = 2 ( 321 u2uu +− ) – ( 32 uu − ) – 2 ( 2u− )

v = 2 232321 u2uuu4u2u ++−+−

v = 321 u5uu2 +− ⇒ v = (2, -1, 5)B

EXEMPLOS

1) Determinar k de modo que os vetores u = (1, 2, k), v = (0, 1, k – 1) e

w = (3, 4, 3) sejam linearmente dependentes.

α u + β v + γ w = 0

α (1, 2, k) + β (0, 1, k – 1) + γ (3, 4, 3) = (0, 0, 0)

(α + 3 γ , 2 α + β + 4 γ , k α + k β - β + 3 γ ) = (0, 0, 0)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−+=++=+

0γ3β1)(kαk0γ4βα20γ3α

Para que os vetores sejam L. D. o sistema deve ser possível e indeterminado, ou seja,

deve admitir infinitas soluções, além da trivial, logo:

031kk412301

=−

⇒ 1 (3 – 4k + 4 ) – 0 (6 – 4 k ) + 3 (2 k – 2 – k) = 0

7 – 4 k + 3 k – 6 = 0 ⇒

2) Dados os vetores u = (2, 1, -1), v = (3, 0, 3) e w = (4, -1, 7) , verificar que w é uma

combinação linear de u e v .

Se w é uma combinação linear de u e v ⇒ w = α u + β v

(4, -1, 7) = α (2, 1, -1) + β (3, 0, 3)

(4, -1, 7) = (2 α + 3 β , α , -α + 3 β )

k = 1

39

(V)462(1)em2βe1α(3)7β3α

2β(3)em1α(2)1α(1)4β3α2

=+−⇒=−=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=⇒−=⇒−=

=+

Portanto o sistema é determinado e w = - u + 2 v .

3) Se c,b,a são vetores linearmente independentes, os vetores c3b2au −+= ,

c2ba2v ++−= e c8b3a4w −+= são L. I. ou L. D.? Justificar a conclusão.

α u + β v + γ w = 0

α ( c3b2a −+ ) + β ( c2ba2 ++− ) + γ ( c8b3a4 −+ ) = 0

(α -2 β + 4 γ ) a + (2 α + β + 3 γ ) b + (-3 α + 2 β - 8 γ ) c = 0

Como c,b,a são L. I. ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−+−=++=+−

⇒0γ8β2α3

0γ3βα20γ4β2α

02814143)(449)16(26)8(1823

312421

=+−−=+++−+−−=−−

−

Portanto o sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções para α , β e

γ , além da trivial, o que nos leva a concluir que os vetores u , v e w são L. D..

4) Achar os valores de α e βpara que os vetores u = (α , 1, β + 1) e v = (2, α - 1, β )

sejam paralelos.

u || v ℜ∈=⇔ λ,vλu

(α , 1, β + 1) = λ (2, α - 1, β )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+==−

⇒=−⇒=⇒=

⇒(3)1βλβ

(2)1λ1)(α

12α1)(α(2)em

2αλ(1)αλ2

40

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

ℜ∈∃⇒=⇒=⇒=

−=⇒=−⇒=−−⇒−=⇒−=

⇒−==

=−−⇒

β1β0(3)em1λ2αou

32β1β

231β1)

21((3)em

21λ1α

2Pe1S

02αα2

Portanto, temos: 1α −= e 32β −=

5) Dados os vetores u = (1, -1, 1), v = (2, 0, 1) e w = (3, 1, 1), achar um vetor x

paralelo a v e tal que u + x seja paralelo a w .

x || v ⇒ x = α v , com ℜ∈α

u + x || w ⇒ u + x = β w , com ℜ∈β

Então, fica: u + α v = β w

(1, -1, 1) + α (2, 0, 1) = β (3, 1, 1)

(1 + 2 α , -1, 1 + α ) = (3 β , β , β )

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=⇒−=⇒=−

=+

(3)βα12α(3)em1β(2)β1

(1)β3α21

Substituindo α = -2 e β = -1 em (1), vem: 1 -4 = -3 (V)

Portanto, x = -2 (2, 0, 1) ⇒ 2)0,4,(x −−=

6) Provar que o segmento de reta que une os pontos médios de dois lados de um

triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à metade deste lado.

Seja o triângulo ABC com M e N pontos médios dos lados BCeAC , respectivamente.

Provar que: AB21MN =

(Provando-se que MN é dessa forma, fica provado, pela definição de vetores paralelos,

que MN || AB )

41

AB21MN =


1) Mostrar que os vetores u = (-1, 0, 1), v = (0, 1, 1) e w = (1, 1, 1) são L. I..

2) Mostrar que os vetores u = (-2, 1, 3), v = (2, -1, 1) e w = (6, -3, -1) são L. D..

Escrever a relação que existe entre esses vetores.

3) O conjunto {(0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é L. D. ou L. I.? Justificar a conclusão.

4) Mostrar que os vetores u = (1, 2, 3) e v = (2, 4, 6) são paralelos.

5) Provar que o vetor v = (-2, -1, 2) é uma combinação linear dos vetores

1v = (1, -1, 1), 2v = (-1, -1, 0) e 3v = (4, 2, -1).

3 Exercícios retirados de Lima, Elementos de Álgebra Vetorial, 1974

A B

C

M N

AB21ABMN

BA21ABMN

)CABC(21ABMN

BC21ABCA

21MN

BNABMAMN

−=

+=

++=

++=

++=

42

6) Dados os vetores ,b,a linearmente independentes, constrói-se a partir de um ponto

O arbitrário os vetores: ℜ∈+=−=−= λcom,baλOCeba2OB,b2aOA .

Determinar o parâmetro λ de modo que os vetores BCeAC sejam paralelos.

7) Mostrar que os vetores 1v = (1, 1, 0), 2v = (1, 0, 1) e 3v = (0, 1, 1) formam uma

base B de V3 .

8) Determinar as coordenadas do vetor v = (4, -2, 2) em relação à base B do exercício

anterior.


2) w = 2 v - u ; 3) L. D.

5) v = 321 v45v

49v

43

−−

6) λ = 4; 8) v = (0, 4, -2)B ;

43

3 PRODUTOS ENTRE VETORES

3.1 Produto Escalar ou Produto Interno

O produto escalar de dois vetores é uma operação que associa a cada par

de vetores u , v de V3, um número real, indicado por u . v e lê-se: “u escalar v ”.

Outras Notações: u x v ; <u , v >.

Antes de definirmos o produto escalar precisamos da definição de ângulo

entre dois vetores e módulo ou comprimento de um vetor, que veremos a seguir.

3.1.1 Ângulo Entre Dois Vetores

O ângulo θ , também indicado por ( v,u ), entre dois vetores não nulos u e v ,

é definido como sendo o ângulo entre seus representantes.

Sejam então, AB e AC os representantes dos vetores u e v ,

respectivamente; o ângulo θ entre u e v é por definição o menor ângulo segundo o

qual AB deve girar para se tornar colinear com AC e é tal que °≤≤° 180θ0 .

44

3.1.2 Módulo ou Norma ou Comprimento de um Vetor

Seja um segmento orientado não nulo AB que chamaremos de segmento

unitário. Um vetor u , cujo representante é o segmento orientado AB , recebe o nome

de vetor unitário.

Dado o vetor v , seja u um unitário colinear com v . Então, existe ℜ∈t tal

que v = t u .

Chama-se módulo ou norma ou ainda comprimento de v , indicado por | v |

ou || v ||, o módulo desse número real t. Logo, | v | = | t |.

Da definição temos que um vetor é unitário se, e somente se, seu módulo é

igual a 1.

Chama-se versor v de um vetor u ao vetor unitário paralelo a u e de mesmo

sentido que u , definido por: v =u

u

u

v

A B

C θ

45

3.1.2.1 Propriedades

Quaisquer que sejam o vetor v e o escalar x, temos:

1) | v | ≥ 0 e | v | = 0 ⇔ v = 0

2) | x v | = | x | | v |

3.1.3 Definição de Produto Escalar

Sejam u e v vetores não nulos e θ o ângulo formado entre u e v .

Defini-se o produto escalar de u por v como:

Se u = 0 ou v = 0 , então u . v = 0.


Quaisquer que sejam os vetores u , v , w de V3 e qualquer que seja o

escalar α , valem as seguintes propriedades:

1) Comutativa ou simétrica: u . v = v .u

2) Homogeneidade: ∗ℜ∈≠≠== α,0v,0u),v(α.uv.)u(α)v.u(α

3) Distributividade: v.wu.w)vu(.w +=+

Estas propriedades também se verificam se um dos vetores for o vetor nulo e

se o escalar for o número 0 (zero).

0v.00.u ==

°≤≤°=⋅ 180θ0,θcos|v||u|vu

46

{ { 00.uv.0)v0(.uv.)u0()v.u(000

==⇒== .

Temos também que:

22 |u|1|u|cos0|u||u|u.u =×=°=

Notação: u .u = u 2

Se u e v são vetores não nulos, então u . v = 0 ⇔ θ = 90°.

Dizemos então que o vetor u é perpendicular ou ortogonal ao vetor v , e

indica-se: vu ⊥ , quando u . v = 0.

De acordo com essa definição, o vetor nulo (0 ) é perpendicular a todos os

vetores do espaço e é o único vetor que goza desta propriedade.

3.1.4 Bases Ortonormais

Uma base }c,b,a{ é ortogonal se os seus vetores são mutuamente

ortogonais, isto é, se 0c.bc.ab.a === . Se, além disso, os vetores são unitários, a

base }c,b,a{ chama-se ortonormal.

Um exemplo de base ortonormal é a base canônica, vista em 2.4.4. OBSERVAÇÕES

Se B = }c,b,a{ é uma base ortonormal e

u = x1 a + y1 b + z1 c = (x1, y1, z1)B e v = x2 a + y2 b + z2 c = (x2, y2, z2)B são vetores

quaisquer de V3, então

1) u . v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

2) |u | = 21

21

21 zyx ++ .

47

B = }c,b,a{ é uma base ortonormal

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

===

===⇒

1|c||b||a|

e0c.bc.ab.a

1) u . v = (x1 a + y1 b + z1 c ) . (x2 a + y2 b + z2 c ) =

= (x1 x2) a . a + (x1 y2) a . b + (x1 z2) a . c + (y1 x2) b . a + (y1 y2) b . b +

(y1 z2) b . c + (z1 x2) c . a + (z1 y2) c . b + (z1 z2) c . c =

= (x1 x2) |a |2 + (x1 y2) 0 + (x1 z2) 0 + (y1 x2) 0 + (y1 y2) | b |2 + (y1 z2) 0 + (z1 x2) 0 +

(z1 y2) 0 + (z1 z2) | c |2 = (x1 x2) 1 + (y1 y2) 1 + (z1 z2) 1 =

= x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

2) | u |2 = u . u = (x1 a + y1 b + z1 c ) . (x1 a + y1 b + z1 c ) =

= x12 a .a + (x1 y1) a .b + (x1 z1) a .c + (y1 x1) b .a + y1

2 b .b + (y1 z1) b .c

+ (z1 x1) c . a + (z1 y1) c . b + z12 c . c =

= x12 |a |2 + (x1 y1) 0 + (x1 z1) 0 + (y1 x1) 0 + y1

2 |b |2 + (y1 z1) 0 + (z1 x1) 0 +

+ (z1 y1) 0 + z12 | c |2 = x1

2 1 + y12 1 + z1

2 1 = x12 + y1

2 + z12

u . v = x1 x2 + y1 y2 + z1 z2

| u |2 = x12 + y1

2 + z12 ⇒ 2

121

21 zyx|u| ++=

48

3.1.5 Interpretação Geométrica do Produto Escalar

Sejam dois vetores u e v de V3 com u 0≠ .

Seja θ o ângulo entre u e v .

Vamos determinar a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u , que é

um vetor colinear com u , da forma uλ . Para tanto, vamos determinar o escalar λ .

Observem que os vetores ( uλv − ) e u são perpendiculares e portanto,

( uλv − ).u = 0 ⇒ v . u - λ u 2 = 0 ⇒ λ =2|u|v.u

Logo, o vetor uλ , projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u , indicado

por vproju

, fica:

u)|u|v.u(uλvproj2u

==

Se u for um vetor unitário, | u | = 1 ⇒ v.uλ = e o comprimento do vetor

projeção uλ será:

|v.u||λ||uλ||vproj|u

===

v

θ θ

v

u u uλ uλ

uλv − uλv −

0λ > 0λ <

49

Portanto, o comprimento da projeção do vetor v sobre o vetor u , se u é

unitário, é igual ao módulo do produto escalar do vetor v pelo vetor u .

EXEMPLOS

1) Provar que: (u + v )2 = u 2 + 2 u . v + v 2

(u + v )2 = (u + v ).(u + v ) = u . (u + v ) + v . (u + v ) = u .u + u . v + v .u + v . v =

= u 2 + 2 u . v + v 2

Portanto:

2) Fica como exercício demonstrar que: a) (u - v )2 = u 2 - 2 u . v + v 2

b) (u + v ).(u - v ) = u 2 - v 2

3) Dados os vetores u = (1, 1, 0), v = (1, 0, 1) e w = (0, 1, -1), determinar um vetor x

coplanar com u e v e ortogonal a w .

x coplanar com u e v ⇒ x , u e v são L. D. ⇒ x é combinação linear de u e v ⇒

⇒ x = α u + β v

x = α (1, 1, 0) + β (1, 0, 1) ⇒ x = (α + β , α , β )

x ⊥ w ⇒ x . w = 0 ⇒ (α + β , α , β ). (0, 1, -1) = 0 ⇒ α - β = 0 ⇒ α = β . Então

substituindo na expressão de x , temos: x = (2 β , β , β ) = β (2, 1, 1).

Logo, β (2, 1, 1), ℜ∈β , nos fornece todos os vetores que satisfazem as condições do

problema. Para termos um vetor, damos um valor para β , por exemplo, β = 1, obtendo

assim o vetor x = (2, 1, 1)

(u + v )2 = u 2 + 2 u . v + v 2

50

4) Calcular o módulo do vetor v = (-1, 2, -2)

| v | = 394412)(21)( 222 ==++=−++−

5) Determinar o comprimento da projeção do vetor v = (-1, 2, -4) sobre o vetor

w = (2, -1, 2).

(1)w|w|w.vvproj2w ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

v . w = (-1, 2, -4) . (2, -1, 2) = -2 -2 -8 = -12 (2)

| w |2 = 22 + (-1)2 + 22 = 4 + 1 + 4 = 9 (3)

Substituindo (2) e (3) em (1), vem:

2)1,(2,342)1,(2,

912vproj

w−−=−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

43349

34414

3421)(2

34vproj 222

w=×==++=+−+−=

6) Determinar o ângulo θ entre os vetores u = (3, 2, 0) e v = (2, 1, 1).

(1)|v||u|

v.uθcos =

u . v = (3, 2, 0).(2, 1, 1) = 6 + 2 + 0 = 8 (2)

| u | = (3)1349023 222 =+=++

| v | = (4)6114112 222 =++=++

Substituindo (2), (3) e (4) em (1), vem:

788cosarcθ

788

6138θcos =∴==

7) Os vetores a e b formam um ângulo α = 30°; calcular o ângulo θ = (u , v ) se

u = a + b e v = a - b , sabendo que: | a | = 3 e | b | = 1.

51

|v||u|v.uθcos = (1)

α = 30° 2330cosαcos =°=⇒

23b.a

13b.a

23

|b||a|b.aαcos =⇒

×=⇒= (2)

u . v = (a + b ) . (a - b ) = a 2 - b 2 = | a |2 - | b |2 = 3 – 1 = 2 (3)

| u |2 = u 2 = (a + b )2 = a 2 + 2 a .b + b 2 = |a |2 + 2 a .b + | b |2 = 3 + 2 23

× + 1 =

3 + 3 + 1 = 7 7|u| =⇒ (4)

| v |2 = v 2 = (a - b )2 = a 2 - 2 a .b + b 2 = |a |2 - 2 a .b + | b |2 = 3 - 2 23

× +1 =

3 – 3 +1 = 1 1|v| =⇒ (5)

Substituindo (3), (4) e (5) em (1), temos:

7

2cosarcθ7

217

2|v||u|

v.uθcos =∴=×

==

3.2 Produto Vetorial ou Produto Externo

O produto vetorial de dois vetores é uma operação que associa a cada par

de vetores u , v de V3, um vetor, indicado por u ∧ v e lê-se: “u vetorial v ”.

Outra Notação: u x v

Antes de definirmos o produto vetorial precisamos escolher uma orientação

para o espaço R3 que nos possibilitará distinguir dois tipos de bases ortonormais: as

positivas e as negativas.

52

3.2.1 Orientação de R3

Observem os ternos ordenados de segmentos orientados não coplanares

( OC,OB,OA ) e ( OC,OA,OB ).

Se a rotação (de menor ângulo) do primeiro segmento orientado até que

fique colinear com o segundo segmento orientado for feita no sentido anti horário, o

terno ordenado é positivo e se essa rotação for no sentido horário, então o terno

ordenado é negativo.

Portanto, ( OC,OB,OA ) é positivo e ( OC,OA,OB ) é negativo.

Fazendo-se OCkeOBj,OAi === , temos que a base { k,j,i } é ortonormal

positiva, enquanto que a base { k,i,j } é ortonormal negativa. Portanto, os vetores

k,j,i satisfazem às seguintes relações: ⎪⎩

⎪⎨⎧

===

===

1|k||j||i|

0k.jk.ij.i

O

A B

C

O

A B

C

i j

k

53

Observem que a base canônica { 1e , 2e , 3e }, definida em 2.4.4, também é

uma base ortonormal positiva.

3.2.2 Definição de Produto Vetorial

Sejam os vetores u e v de V3 e θ o ângulo formado entre u e v .

Se u e v são colineares (u e v L. D.), temos por definição que u ∧ v = 0 .

Se u e v não são colineares (u e v L. I.), então u ∧ v é o vetor que

satisfaz às seguintes condições:

1) | u ∧ v | = | u | | v | sen θ , °≤≤° 180θ0 ;

2) o vetor u ∧ v é ortogonal a u e a v ;

3) {u , v , u ∧ v } é uma base positiva de V3.


Quaisquer que sejam os vetores u , v , w de V3 e qualquer que seja o

escalar α , valem as seguintes propriedades:

1) Associativa para a multiplicação por um escalar: )vu(α)v(αuv)u(α ∧=∧=∧

2) Distributiva à esquerda e à direita em relação à adição:

u ∧ ( v + w ) = u ∧ v + u ∧ w

(u + v ) ∧ w = u ∧ w + v ∧ w

3) Anticomutativa: u ∧ v = - v ∧ u

54

OBSERVAÇÕES

1) Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva, resulta da definição de produto

vetorial que: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=∧=∧=∧

=∧=∧=∧

0kkjjii

ejik,ikj,kji

2) Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva e u = x1 i + y1 j + z1 k = (x1, y1, z1)B

e v = x2 i + y2 j + z2 k = (x2, y2, z2)B são vetores quaisquer de V3, dados na base B,

então o produto vetorial, u ∧ v , pode ser obtido pelo determinante simbólico:

k)yxy(xj)zxz(xi)zyz(y

k)yxy(xj)zxz(xi)zyz(yzyxzyxkji

122121121221

122112211221

222

111

−+−+−

=−+−−−=

Exemplos: dados u e v na base B = { k,j,i } , calcule u ∧ v .

1) u = (1, -1, 2)B e v = (3, -1, -1)

u ∧ v = B2)7,(3,k3)1(j6)1(i2)(1113

211kji

=+−+−−−+=−−

−

2) u = (3, 2, -1)B e v = (1, -1, -1)B

u ∧ v = B5)2,3,(111123

kji−−=

−−−

55

3.2.3 Interpretação Geométrica do Produto Vetorial

Observem o paralelogramo OADB da figura acima.

A área desse paralelogramo é dada por: A = | u | x h (1)

Do triângulo OHB, retângulo em H, temos que:

θsen|v|h|v|

hθsen ×=⇒= (2)

Substituindo (2) em (1), vem:

A = | u | x θsen|v| × ⇒ |vu|A ∧=

Portanto, a área de qualquer paralelogramo cujos lados sejam

representantes dos vetores u e v é dada por | u ∧ v | .

EXEMPLOS

Nos exemplos que seguem, vetores e pontos são dados na base { k,j,i }.

1) Dados os vetores 1v = (1, 0, 5) e 2v = (-3, 0, 2), calcular um vetor unitário u

ortogonal aos vetores 1v e 2v .

O

A B

C

h

θ

D

u v

vu∧

H

56

0)17,(0,αu203501kji

αu)vv(αuvuevu 2121 −=⇒−

=⇒∧=⇒⊥⊥

| u | = 1

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⇒=

⇒−=

⇒=⇒=⇒=−⇒

171α

ou171α

171|α|1|α|17117)(|α| 2

⇒−=⇒

⇒−−=⇒

0)17,(0,171u

ou

0)17,(0,171u

0)1,(0,u

ou0)1,(0,u

−=

=

2) Dados os vetores u = (0, 1, 2) e v = (3, -2, 1), determinar o vetor w paralelo ao

plano xOz tal que v = u ∧ w .

Seja w = (x, y, z)

z)0,(x,w0y00)1,(0,.z)y,(x,0j.wjwxOz||w =⇒=⇒=⇒=⇒⊥⇒

v = u ∧ w ⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒=−−=⇒−=

=⇒−=−⇒−=⇒

1x1x1x22x

3z1)2,(3,x)2x,(z,1)2,(3,

z0x210kji

Logo, 3)0,1,(w −=

3) Calcular a área do triângulo de vértices: A = (2, 1, 3), B = (6, 4, 1), C = (-6, -2, 6).

A

B

C

57

A área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo

3)3,8,(ACe2)3,(4,AB −−=−=

ACAB21AACABA triparal. ∧=⇒∧=

12)4,(3,338234

kjiACAB =

−−−=∧

13169144169ACAB ==++=∧

Portanto, 2

13A tri =

3.3 Produto Misto

3.3.1 Definição

Sejam três vetores .Vw,v,u 3∈

Chama-se produto misto dos vetores u , v , w , tomados nessa ordem, à

expressão: )wv(.u ∧ .

Notação: [u , v , w ] = )wv(.u ∧

Observe que o produto misto de três vetores u , v , w é um escalar.

OBSERVAÇÃO

Se B = { k,j,i } é uma base ortonormal positiva e u = x1 i + y1 j + z1 k = (x1, y1, z1)B ,

58

v = x2 i + y2 j + z2 k = (x2, y2, z2)B e w = x3 i + y3 j + z3 k = (x3, y3, z3)B são vetores

quaisquer de V3, dados na base B, então o produto misto [u , v , w ] = )wv(.u ∧ , pode

ser obtido pelo determinante

333

222

111

zyxzyxzyx

Exemplos: dados os vetores u = (-2, 1, 2)B, v = (1, -1, 1)B e w = (1, 1, 1)B, calcular:

a) [u , v , w ]; b) [ w ,u , v ]; c) [ v ,u , w ]

a) [u , v , w ] = 84422012)(2111111212

=+=×+×−−×−=−−

b) [ w ,u , v ] = 8143114)(131111212111

=++=×+−×−×=−

−

c) [ v ,u , w ] = 83413)(14)(11)(1111212111

−=−−−=−×+−×+−×=−−

3.3.2 Interpretação Geométrica do Produto Misto

A partir de um ponto O qualquer do espaço, vamos construir um

paralelepípedo de arestas wOC,vOB,uOA === .

59

Seja θ o ângulo formado entre u e wv ∧ .

Seja uprojhwv∧

= .

Vamos calcular |θcos||wv||u||wv.u||]w,v,u[| ∧=∧= (1)

Mas, no triângulo OAH, retângulo em H, temos que :

| cos θ | = |θcos||u||h||u||h|

=⇒ (2)

Paral.A|wv| =∧ (3)

Substituindo (2) e (3) em (1), fica:

pedoParalelepíParal. V |h|A|]w,v,u[| =×=

Portanto concluímos que o módulo do produto misto [u , v , w ] é igual ao

volume do paralelepípedo cujas arestas são os vetores u , v , w .

Decorre da interpretação geométrica do produto misto que:

a) se u , v , w são vetores L. D. e portanto coplanares, o produto misto entre eles é igual

a zero;

O

A

B

C u

v

w

h

wv ∧

θ

H

(u , v , w ) é L. D. ⇔ [u , v , w ] = 0

60

b) se u , v , w são vetores L. I. e portanto não coplanares, o produto misto entre eles é

diferente de zero;

c) se B = {u , v , w } é uma base qualquer de V3, então B é de orientação positiva se

[u , v , w ] > 0 (quando θé um ângulo agudo ⇒ cos θ > 0);

d) se B = {u , v , w } é uma base qualquer de V3, então B é de orientação negativa se

[u , v , w ] < 0 (quando θé um ângulo obtuso, pois é o ângulo entre u e w ∧ v , ou

seja, o ângulo entre u e – ( v ∧ w )) ⇒ cos θ < 0).

3.3.3 Propriedades

1) Se permutarmos dois dos três vetores u , v , w , o produto misto muda de sinal.

[u , v , w ] = - [u , w , v ]

[u , v , w ] = - [ v ,u , w ]

2) Efetuando-se uma permutação cíclica dos três vetores u , v , w , o produto misto não

se altera.

[u , v , w ] = [ v , w ,u ] = [ w ,u , v ]

Observação: u.wvuw.vuw.vwv.u

u.wvwv.u∧=∧⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

∧=∧

∧=∧

3) Qualquer que seja ℜ∈λ , temos:

(u , v , w ) é L. I. ⇔ [u , v , w ] ≠ 0

61

[ λ u , v , w ] = [u ,λ v , w ] = [u , v , λ w ] = λ [ u , v , w ]

4) [ ]w,v,u[]w,v,u[]w,v,uu 2121 +=+

[ ]w,v,u[]w,v,u[]w,vv,u 2121 +=+

[ ]w,v,u[]w,v,u[]ww,v,u 2121 +=+

EXEMPLO

No exemplo que segue, vetores e pontos são dados na base { k,j,i }.

Determinar o volume do tetraedro ABCD, cujos vértices são: A = (1, 1, -1), B = (2, 2, -1),

C = (3, 1, -1), D = (2, 3, 1).

VTetraedro = 61 VParalelepípedo

AC = (2, 0, 0), AD = (1, 2, 2), AB = (1, 1, 0)

VT = 61 | [ AC , AD , AB ] | =

61

32

644

61

011221002

==−=

A

B

C

D

62


1) Dados u = (3, -1, 5) e v = (1, 2, -3), determinar um vetor w , ortogonal ao eixo Ox e

tal que w .u = 9 e w . v = 4.

2) Dados u = (2, 1, -3) e v = (1, 2, 1), seja w = u + λ v . Determinar λ para que w e

u sejam ortogonais.

3) Dados u = (1, -3, 1), pede-se determinar um vetor v , ortogonal ao eixo Oy, tal que

| u ∧ v | = 118 e u . v = 5.

4) Dados os vetores u = (1, -1, 0), v = (0, 0, 2) e w = (2, -3, 0), pede-se determinar o

vetor x , paralelo a w e que satisfaz a condição x ∧ u = v .

5) Dados os vetores u = (1, -1, 0) e v = (2, 1, 3), determinar um vetor w sabendo-se

que w é ortogonal a u e a v , | w | = 243 e o ângulo formado por w com o eixo Oy é

agudo.

6) Os vetores a e b formam um ângulo de 60°. Sabendo-se que | a | = 5, | b | = 8,

calcular | a + b |, | a - b |, a . b e | a ∧ b |.

7) Numa base ortonormal positiva temos: AB = (3, 1, -2), AC = (0, 2, -1) e AD = (1, 1, 1).

a) Calcular o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.

b) Calcular a área do triângulo BCD.

c) Calcular a distância do ponto A ao plano BCD.

d) Calcular a distância de B à reta CD.

8) Dados aOA = = (1, 1, 0), bOB = = (0, 1, 1) e cOC = = (2, 1, 0), pede-se um vetor

xOP = tal que, simultaneamente:

a) x é coplanar com a ∧ b e cb ∧ ;

b) x é ortogonal a a + c ;

4 Exercícios retirados de Mello e Watanabe, Vetores e Geometria Analítica – Exercícios, 1985

63


1) )722,

747(0, ; 2) -14; 3) (3, 0, 2) ou (2, 0, 3); 4) (4, -6, 0); 5) (9, 9, -9);

6) 129 ; 7; 20; 320 ;

7) 12; 393;

31626;

262 ;

8) ),,( βββ 332 −−=x ; βα −=

64

4 RETAS E PLANOS NO R3

4.1 Sistema de Coordenadas

Seja O um ponto de R3 e B = { k,j,i } uma base ortonormal positiva de V3.

Ao par (O, B), que também pode ser indicado por (O, k,j,i ) damos o nome

de sistema ortogonal de coordenadas em R3.

O ponto O é a origem do sistema e os eixos concorrentes em O e que têm

os sentidos dos vetores k,j,i denominam-se, respectivamente, eixo das abscissas

(indicado por Ox, ou simplesmente x), eixo das ordenadas (indicado por Oy, ou

simplesmente y) e eixo das cotas (indicado por Oz, ou simplesmente z), sendo

chamados de eixos coordenados. O plano que contém os eixos x e y, recebe o nome

de plano xy; o plano que contém os eixos y e z é chamado de plano yz; o plano xz é

aquele que contém os eixos x e z; estes três planos recebem o nome de planos coordenados.

x

y

z

O

P = (x, y, z) v

ij

k

65

A cada ponto P do espaço corresponde um único segmento orientado OP ,

com origem em O, que por sua vez determina um único vetor OPv = , que é escrito de

maneira única como combinação linear dos vetores k,j,i , do seguinte modo:

kzjyixv ++= . Desse modo, a cada ponto P do espaço corresponde um único terno

ordenado (x, y, z) de números reais, que são as coordenadas cartesianas de P no

sistema de coordenadas ortogonal (O, B). Reciprocamente, a cada terno ordenado (x,

y, z) de números reais corresponde um único ponto P do espaço, tal que

kzjyixOP ++= . Assim, podemos representar os pontos do espaço por ternos

ordenados de números reais e escrever, P = (x, y, z), ou ainda P (x, y, z).

Desse modo, sejam A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) dois pontos de R3.

Quais são as coordenadas do vetor AB ?

Observem que AB pode ser escrito do seguinte modo:

)zz,yy,x(x)z,y,(x)z,y,(xOAOBOBOAOBAOAB 121212111222 −−−=−=−=+−=+=

Portanto, AB = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1).

x

y

z

Oi j

kA

B

66

r: P = A + ABλ , Rλ∈ (1)

r: P = A + vλ , Rλ∈ (1)

4.2 A Reta no R3

Um dos axiomas da Geometria Euclidiana afirma que dois pontos distintos

determinam uma única reta.

Sejam então, dois pontos distintos A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) de R3.

Esses dois pontos determinam uma reta r.

Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, os vetores AP e

AB são linearmente dependentes (L. D.), ou ainda, se AP e AB são paralelos.

Logo, um ponto P pertence à reta r se, e somente se, existe um escalar λ tal

que ABλAP = .

Como OPAOAP += , temos: ABλOPAO =+ , que nos fornece a

Que também pode ser escrita da seguinte forma:

Observem que dado Rλ∈ , (1) nos dá um ponto P de r, e dado P ∈ r, existe

Rλ∈ tal que (1) se verifica.

Fazendo-se AB = v , ( v ≠ 0 , pois A ≠ B) podemos escrever (1) do seguinte

modo:

Equação Vetorial da Reta r: ABλOAOP += , Rλ∈

67

Assim, defini-se reta:

Simbolicamente, escrevemos:

O vetor v é chamado vetor diretor da reta r. Logo, uma reta fica bem definida, isto é, bem determinada, quando dela

conhecemos um ponto e a direção que é dada pelo vetor diretor.

Considerando-se um sistema de coordenadas (O, k,j,i ), a equação vetorial

da reta r, fica:

k)z(zλj)y(yλi)x(xλkzjyixkzjyix 121212111 −+−+−+++=++

k)]z(zλ[zj)]y(yλ[yi)]x(xλ[xkzjyix 121121121 −++−++−+=++

Fazendo-se: x2 – x1 = a, y2 – y1 = b, z2 – z1 = c, vem:

kc)λ(zjb)λ(yia)λ(xkzjyix 111 +++++=++

Pela unicidade das coordenadas de um vetor em relação a uma base, temos:

Se em (2) tivermos a ≠ 0, b≠ 0 e c ≠ 0, ou seja, a.b.c ≠ 0, podemos tirar o

valor de λ de cada equação, obtendo:

r = {P Rλ,vλA/PR3 ∈+=∈ }

Equações Paramétricas da Reta r

R)(λ

cλzz

bλyy

aλxx

1

1

1

∈

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

:r (2)

Definição de Reta Reta determinada por um ponto A e um vetor v ≠ 0 é o conjunto dos pontos

P de R3 que satisfazem a relação: Rλ,vλAPvλAP ∈+=⇔=

68

czz

byy

axxλ 111 −

=−

=−

=

REFLITA E RESPONDA

1) Fixado um sistema de coordenadas, existe uma reta da qual (2) são equações

paramétricas. É a reta que passa pelo ponto (x1, y1, z1) e é paralela ao vetor (a, b, c). Se

fixarmos outro sistema de coordenadas e mantivermos o mesmo sistema de equações

(2), este representará a mesma reta no espaço? (Tente exemplificar sua resposta com

uma figura)

2) Para uma mesma reta, as equações do tipo (1) e (2) são determinadas de modo

único? Isto é, só existe uma equação de cada tipo representando uma mesma reta?

OBSERVAÇÃO: para os exemplos e exercícios que veremos no decorrer desta

apostila, consideraremos fixado um sistema de coordenadas (O, k,j,i ).

EXEMPLOS

1) Escrever as equações vetorial, paramétricas e normais da reta r que passa pelos

pontos P1 = (5, -4, 2) e P2 = (3, 1, 6).

A reta r fica bem determinada, por exemplo, pelo ponto P1 = (5, -4, 2) e pelo vetor

diretor 4)5,2,(PPv 21 −== .

Equação Normal ou Simétrica da Reta r

c

zzb

yya

xx 111 −=

−=

−:r (3)

69

Equação Vetorial: P = P1 + ⇒vλ r: (x, y, z) = (5, -4, 2) + λ (-2, 5, 4), λ ∈ R

R)(λ4λ2z

5λ4y2λ5x

::asParamétricEquações ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+−=

−=r

Equações Normais: r: 4

2z5

4y25x −

=+

=−−

2) Escrever as equações paramétricas e simétricas da reta r que passa pelo ponto P1 =

(1, -2, 5) e cuja direção é dada pelo vetor diretor u = (2, 1, -3).

Equações Normais: r: 35z

12y

21x

−−

=+

=−

Equações Paramétricas: r: R)(λλ35zλ2yλ21x

∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−=

+=

4.2.1 Condição de Alinhamento de Três Pontos

Sejam A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3) três pontos de R3, com

A ≠ B.

A condição necessária e suficiente para que C pertença à reta determinada

por A e B é:

EXEMPLO Verificar se os pontos P1 = (-1, -2, 1), P2 = (1, 1, 5) e P3 = (3, 4, 9) estão alinhados.

Vamos determinar os vetores 3121 PPePP : 8)6,(4,PPe4)3,(2,PP 3121 == .

Rλ,ABλAC ∈=

70

Logo, existe R2λ ∈= , tal que: 31PP = 21PP2 . Portanto os pontos estão alinhados ou

são colineares.

Observação: uma outra forma de resolvermos este exercício é determinarmos, por

exemplo as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos P1 e P2 e

verificarmos se o ponto P3 pertence à reta r. A reta r fica bem determinada, por exemplo, pelo ponto P1 = (-1, -2, 1) e pelo vetor

diretor v = 4)3,(2,PP 21 = , tendo as seguintes equações paramétricas:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+−=+−=

λ41zλ32yλ21x

:r

Substituindo P3 em r, vem: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒+==⇒+−==⇒+−=

2λ4192λ3242λ213

:λλλ

r

Como das três equações do sistema tiramos o mesmo valor de λ , temos que P3 ∈ r.

Logo, os pontos são colineares.

4.3 O Plano no R3

Um dos axiomas da Geometria Espacial afirma que três pontos não

colineares determinam um único plano.

Sejam então, três pontos não colineares A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C =

(x3, y3, z3) de R3.

Esses três pontos determinam um plano π .

Observem que do fato de A, B e C não pertencerem a uma mesma reta,

decorre que os vetores ACeAB são linearmente independentes (L. I.).

71

Um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, os vetores

AP , AB e AC são linearmente dependentes (L. D.), ou seja, AP é uma combinação

linear dos vetores AB e AC .

Logo, um ponto P pertence a um plano π se, e somente se, existem

escalares λ e μ tais que ACμABλAP += .

Como OPAOAP += , temos: ACμABλOPAO +=+ , que nos fornece a

Que também pode ser escrita da seguinte forma:

Observem que dado um par ordenado ( μλ, ) de números reais, (1) nos dá

um ponto P de π , e dado P ∈ π , existe um par ordenado ( μλ, ) de números reais tal

que (1) se verifica.

Fazendo-se AB = u e AC = v , (u e v L. I.) podemos escrever (1) do

seguinte modo:

Assim, defini-se plano:

Equação Vetorial do Plano π : Rμλ,,ACμABλOAOP ∈++=

Rμλ,,ACμABλAP: ∈++=π (1)

Rμλ,,vμuλAP: ∈++=π (1)

Definição de Plano Plano determinado por um ponto A e por dois vetores L. I. u e v é o conjunto dos pontos P de R3 que satisfazem a relação:

Rμλ,,vμuλAPvμuλAP ∈++=⇔+=

72

Simbolicamente, escrevemos:

Os vetores L. I., u e v , são chamados vetores diretores do plano π .

Logo, um plano fica bem definido, isto é, bem determinado, quando dele

conhecemos um ponto e duas direções não paralelas que são dadas pelos vetores

diretores.

Considerando-se um sistema de coordenadas (O, k,j,i ), a equação vetorial

do plano π , fica:

k)z(zμj)y(yμ

i)x(xμk)z(zλj)y(yλi)x(xλkzjyixkzjyix

1313

13121212111

−+−

+−+−+−+−+++=++

k)]z(zμ)z(zλ[z

j)]y(yμ)y(yλ[yi)]x(xμ)x(xλ[xkzjyix

13121

1312113121

−+−+

+−+−++−+−+=++

Fazendo-se: x2 – x1 = a1, y2 – y1 = b1, z2 – z1 = c1 e x3 – x1 = a2, y3 – y1 = b2,

z3 – z1 = c2, vem:

k)cμcλ(zj)bμbλ(yi)aμaλ(xkzjyix 211211211 ++++++++=++

Pela unicidade das coordenadas de um vetor em relação a uma base, temos:

Podemos também usar o produto misto entre vetores para obter uma

condição necessária e suficiente para que um ponto P pertença a um plano π .

Já vimos anteriormente que um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π

determinado pelos pontos não colineares A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) e C = (x3, y3, z3)

π = {P ∈ R3 /P = A + λ u + μ v , Rμλ, ∈ }

Equações Paramétricas do Plano π

⎪⎩

⎪⎨

⎧

++=++=++=

211

211

211

cμcλzzbμbλyyaμaλxx

:π R)μ( ∈,λ (2)

73

de R3 se, e somente se, os vetores AP , AB e AC são linearmente dependentes (L.

D.), ou seja, [ AP , AB , AC ] = 0 ⇒ [ AP ,u , v ] = 0, com AP = (x – x1, y – y1, z – z1), u =

(a1, b1, c1) e v = (a2, b2, c2).

Desenvolvendo-se este produto misto, teremos:

)abb(a)z(z

)acc(a)y(y)bcc(b)x(x0cbacba

zzyyxx

21211

2121121211

222

111

111

−−

+−−−−−⇒=−−−

Chamando-se: a = b1c2 – c1b2 ; b = -a1c2 + c1a2 ; c = a1b2 – b1a2, teremos:

(x – x1) a + (y – y1) b + (z – z1) c = 0, que desenvolvendo-se, fica:

a x + b y + c z – (ax1 + by1 + cz1) = 0 e finalmente, fazendo-se d =

– (ax1 + by1 + cz1), teremos:

A equação (3) também recebe o nome de equação normal do plano π , pois

decorre da definição de vetor normal a um plano.

Da definição de produto misto sabemos que:

[ AP ,u , v ] = AP . u ∧ v

Da definição de produto vetorial sabemos que o vetor obtido do produto

vetorial de u por v é, simultaneamente, perpendicular ou ortogonal a u e v .

Equação Cartesiana ou Geral do Plano π : a x + b y + c z + d = 0 (3)

Vetor Normal Um vetor 0≠n é perpendicular ou normal a um plano π se, e

somente se, n é perpendicular a todos os vetores que possuem

representantes em π .

74

Chamando-se n = u ∧ v , vamos calcular suas coordenadas em relação ao sistema de

coordenadas (O, k,j,i ):

k)abb(aj)acc(ai)bcc(bcbacbakji

vu 212121212121

222

111 −+−−−==∧=n , onde:

b1c2 – c1b2 = a ; - a1c2 + c1a2 = b ; a1b2 – b1a2 = c.

Portanto, da definição de vetor normal, n = u ∧ v = kcjbia ++ é um vetor

normal ao plano π , definido pelo ponto A = (x1, y1, z1) e pelos vetores diretores u = (a1,

b1, c1) e v = (a2, b2, c2).

Logo, um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, o vetor

AP é perpendicular ou ortogonal ao vetor n .

Sabemos que: 0n.APnAP =⇔⊥ . Efetuando-se esse produto escalar,

vem:

(x – x1, y – y1, z – z1) . (a, b, c) = 0

a (x – x1) + b (y – y1) + c (z – z1) = 0

a x + b y + c z – (a x1 + b y1 + c z1) = 0, chamando-se d = – (a x1 + b y1 + c z1), temos:

Assim, um ponto P = (x, y, z) pertence ao plano π se, e somente se, suas

coordenadas satisfazem à equação acima.

Observem que a equação normal obtida acima é idêntica à equação (3) e

que a, b, e c, coeficientes respectivamente de x, y, e z, são as coordenadas do vetor n ,

normal ao plano π .

Desse modo, podemos também dizer que um plano fica bem definido, isto é,

bem determinado, quando dele conhecemos um ponto e uma direção normal que é

dada pelo vetor normal ao plano.

Equação Normal do Plano π : a x + b y + c z + d = 0

75

PLANO BEM DETERMINADO

EXEMPLOS 1) Escrever as equações vetorial, paramétricas e cartesiana do plano π que passa

pelos pontos P1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 1) e P3 = (1, 2, 1).

O plano π fica bem determinado, por exemplo, pelo ponto P1 = (1, 0, 1) e pelos vetores

diretores 0)2,(0,PPve0)1,1,(PPu 3121 ==−== .

Equação Vetorial: P = P1 + vμuλ +

π : (x, y, z) = (1, 0, 1) + λ (-1, 1, 0) + μ (0, 2, 0), (λ ,μ∈ R)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−=

1zμ2λy

λ1x::asParamétricEquações π (λ ,μ∈ R)

Equação Cartesiana: P = (x, y, z) ∈ π 0]v,u,PP[ 1 =⇔

01z:022z:

00)2(1)(z0)(0y0)(01)(x:0020011

1zy1x:

=−⇒=+−

=−−−+−−−−⇒=−−−

ππ

ππ

ou

π u

v

A P = (x, y, z)

uλ

vμ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

v

u

A

:π

π

A

n

⎪⎩

⎪⎨⎧

n

A:π

P = (x, y, z)

76

2) Escrever a equação cartesiana do plano que contém o ponto P = (1, -1, 2) e é

perpendicular ao vetor n = (2, -3, 1).

A equação cartesiana do plano π é da forma: a x + b y + c z + d = 0, onde a, b, c são

as coordenadas do vetor normal ao plano. Então fica:

π : 2 x – 3 y + z + d = 0

O ponto P = (1, -1, 2) pertence ao plano π , logo, suas coordenadas satisfazem a

equação do plano, isto é: 2 (1) – 3 (-1) + 2 + d = 0 ⇒ 2 + 3 + 2 + d = 0 ⇒ d = -7.

Portanto, π : 2 x – 3 y + z – 7 = 0.

3) Determinar a equação geral do plano que passa pelo ponto P0 = (1, 2, 1) e é paralelo

aos vetores k2jibekji2a −+=−+= .

Se o plano é paralelo aos vetores bea , então, no plano, existem representantes

desses vetores.

Um ponto P = (x, y, z) pertence a esse plano se, e somente se, 0]b,a,PP[ 0 =

06zy3x:06zy3x:01z6y31x:

01)(21)(z1)4(2)(y1)2(1)(x02111121z2y1x

:

=+−−⇒=−++−⇒=−+−++−

=−−++−−−+−−⇒=−−−−−

πππ

π

Outra maneira de resolvermos este exercício é determinando o vetor normal ao plano.

Então, fica:

1)3,1,(k1j3i211112

kji−=++−=

−−=n

∴π : - x + 3 y + z + d = 0

6d0d1610d(1)(2)31πP0 −=⇒=+++−⇒=+++−⇒∈

∴ π : - x + 3 y + z – 6 = 0 ⇒ π : x – 3 y – z + 6 = 0

77

4.3.1 Condição de Coplanaridade de Quatro Pontos

Sejam A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2), C = (x3, y3, z3) e D = (x4, y4, z4) quatro

pontos de R3, com A, B e C não colineares e consequentemente determinando um

único plano π .

A condição necessária e suficiente para que D pertença ao plano π , é:

EXEMPLO Verificar se os pontos P1 = (1, 0, 1), P2 = (0, 1, 1), P3 = (1, 2, 1) e P4 = (-1, 4, 1) são

coplanares.

Vamos determinar os vetores :PPePP,PP 413121

0)4,2,(PPe0)2,(0,PP,0)1,(-1,PP 413121 −=== .

04)(000)(010)(01042020011

]PP,PP,PP[ 413121 =++−−−−=−

−= . Portanto os quatro

pontos são coplanares.

Observação: uma outra forma de resolvermos este exercício é determinarmos, por

exemplo a equação cartesiana do plano π , bem definido pelo ponto P1 = (1, 0, 1) e

pelos vetores diretores 0)2,(0,PPe0)1,(-1,PP 3121 == e verificarmos se o ponto P4 =

(-1, 4, 1) pertence a este plano.

Seja um ponto genérico P = (x, y, z) pertencente a π

01z:02z2:0)2(1)(z0)(0y0)(01)(x:

0020011

1zy1x:0]PP,PP,PP[: 31211

=−⇒=+−⇒−−−+−−−−

⇒=−−−

⇒=

πππ

ππ

0]AD,AC,AB[ =

78

Substituindo as coordenadas de P4 na equação cartesiana do plano π , temos:

1 – 1 = 0

0 = 0 (V)

Portanto, como as coordenadas de P4 satisfazem a equação cartesiana do plano π ,

segue que o ponto P4 pertence ao plano π . Logo, os quatro pontos são coplanares.


1) Escrever as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos

P1 = (1, -2, 1) e P2 = (3, 0, -1).

2) Escrever as equações normais da reta r que passa pelos pontos P1 = (3, 0, -1) e P2 =

(1, -3, 0).

3) Escrever as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P = (1, -1, 2) e

tem por vetor diretor k5j2i3u +−= .

4) Achar os pontos da reta dada por A = (-3, 3, -2) e B = (6, -3, 1) que têm uma

coordenada nula.

5) Dados os vértices A = (1, 0, -1), B = (2, 1, 0) e C = (2, 1, 2) de um triângulo ABC,

pedem-se as equações paramétricas da mediana relativa ao vértice A.

6) Escrever a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto P1 = (3, 1, 2) e cuja

direção é dada pelos vetores diretores 1)2,(1,ue1)1,(3,u 21 −=−= .

7) Escrever a equação cartesiana do plano determinado pelos pontos P1 = (1, 1, 1), P2

= (2, -2, 2) e P3 = (-1, 1, 1).

5 Exercícios retirados de Lima, Elementos de Geometria Analítica, 1969

79


1) )R(zyx

:r ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−=+=

λλλλ

212221

;

2) r: 11z

3y

23x

−+

==−− ;

3) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=

+=

λ52zλ21y

λ31x:r ;

4) (0, 1, -1); (210,,

23

− ); (3, -1, 0); 5) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−==

+=

λ21zλy

λ1x:m ;

6) π : x + 4 y + 7 z – 21 = 0;

7) y + 3 z – 4 = 0;

4.6 Posição Relativa

Fixado um sistema ortogonal de coordenadas (O, k,j,i ), vamos estudar as

posições relativas de:

4.6.1 Reta e Reta

Em R3, duas retas r e s podem ser coplanares (situadas num mesmo plano)

ou reversas (não existe um plano que contenha ambas).

80

Se r e s forem coplanares, ainda poderão ser concorrentes (quando têm um

único ponto em comum) ou paralelas.

No caso de r e s serem paralelas, ainda podem ser distintas (nenhum ponto

em comum) ou coincidentes (todos os pontos em comum, ou uma só reta).

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS RETAS

Concorrentes

r ∩ s = {P} (3)

COPLANARES

(situadas num mesmo

plano)

r ∩ s = Ø (1)

(paralelas distintas)

Paralelas

r = s (2)

(paralelas coincidentes)

REVERSAS

(r ∩ s = Ø e não situadas num mesmo plano) (4)

Vamos ver agora como expressar analiticamente as posições relativas entre

duas retas, no R3.

Para tanto, seja r definida por um ponto A e um vetor diretor u , r: (A, u ) e s

definida por um ponto B e um vetor diretor v , s: (B, v ).

(1): Rα,vαuv||u ∈=⇔

(2): Rα,vαuv||u ∈=⇔ e )vγAB(ouuβABseja,our),B(ousA ==∈∈

(3): 0]AB,v,u[evαu =≠

(4): 0]AB,v,u[ ≠

rs

r = s

rs

P●

r

s● P

81

EXEMPLOS 1) Estudar a posição relativa das retas:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−=

−=

λz1λ2y

2λ3x:r e

2z

44y

64x: =

−+

=−s

r: (u = (3, -2, 1), A = (-2, 1, 0)) s: ( v = (6, -4, 2), B = (4, -4, 0))

Observem que v = 2 u = 2 (3, -2, 1) = (6, -4, 2). Logo r || s.

Devemos agora verificar se são coincidentes ou distintas. Para isto vamos substituir,

por exemplo, o ponto A de r na equação da reta s.

A em s: sA(F)0451

20

441

642

∉∴=−=−⇒=−+

=−− . Logo as retas r e s são

paralelas distintas.

2) Estudar a posição relativa das retas:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=

λ2zλ54yλ32x

:r e ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=+−=+−=

μ2zμ41yμ21x

:s

r: (A = (2, 4, 0), u = (3, 5, 2)) s: (B = (-1, -1, -2), v = (2, 4, 1))

Observem que u e v não são paralelos, pois, 12

45

23

≠≠ (coordenadas não múltiplas).

Logo as retas r e s não são paralelas.

Vamos agora verificar o produto misto entre os vetores u , v e AB = (-3, -5, -2).

0253

142253

]AB,v,u[ =−−−

= , pois a 1ª linha é igual a (-1) x 3ª linha. Portanto as retas

r e s são coplanares e pelo fato de não serem paralelas, sabemos que são

concorrentes.

Vamos determinar as coordenadas do ponto P = (x, y, z), intersecção das duas retas.

Temos, então:

82

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−+−+−=⇒∈

++=⇒∈⇒∩=

μ)2μ,41μ,21(PPe

λ)2λ,54λ,3(2PP{P}

s

rsr

Como em R3, fixado um sistema de coordenadas, a cada termo ordenado de números

reais corresponde um único ponto, temos que:

μ)2μ,41μ,21(λ)2λ,54λ,3(2 +−+−+−=++

0μ1λ4λ41λ322)λ(221λ32:vem (1), em dosubstituin2,λ2μμ2λ2

(2)μ41λ54(1)μ21λ32

=∴−=⇒++−=+⇒++−=+

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=⇒+−=+−=++−=+

Observem que 0μe1λ =−= satisfazem a equação (2) do sistema de equações.

Portanto P é dado por: P = (-1, -1, -2).

3) Estudar a posição relativa das retas:

43z

32y

21x: −

=−

=−r e

11z

24y

43x: −

=−

=−s

r: (A = (1, 2, 3), u = (2, 3, 4)) e s: (B = (3, 4, 1), v = (4,

2, 1))

Observem que u e v não são paralelos, pois, 14

23

42

≠≠ (coordenadas não múltiplas).

Logo as retas r e s não são paralelas.

Vamos agora verificar o produto misto entre os vetores u , v e AB = (2, 2, -2).

0341630124)(842)8(32)4(2222

124432

]AB,v,u[ ≠=++−=−+−−−−−=−

=

Portanto os vetores u , v e AB são L. I. e as retas r e s são reversas.

4) Estudar a posição relativa das retas :

r: X = (1, 2, 3) + λ (0, 1, 3), λ ∈ R e s: X = (1, 3, 6) + μ (0, 2, 6), μ ∈ R

r: (A = (1, 2, 3), u = (0, 1, 3)) e s: (B = (1, 3, 6), v = (0, 2, 6))

Observem que v = 2 u = 2 (0, 1, 3) = (0, 2, 6). Logo r || s.

83

Devemos agora verificar se são coincidentes ou distintas. Para isto vamos substituir,

por exemplo, o ponto A de r na equação da reta s.

(1, 2, 3) = (1, 3, 6) + μ (0, 2, 6) ⇒ (1, 2, 3) = (1, 3 + 2μ , 6 + 6μ ) ⇒

s∈∴

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−=⇒−=⇒+=

−=⇒−=⇒+=

=

A

21μ3μ6μ663

21μ1μ2μ232

11

.

Portanto as retas r e s são paralelas coincidentes.

4.6.2 Plano e Plano

Em R3, dois planos π 1 e π 2 podem ser concorrentes ou paralelos.

Se forem concorrentes, sua intersecção será uma reta.

Se π 1 e π 2 forem paralelos, poderão ser paralelos distintos (intersecção

vazia) ou paralelos coincidentes (um único plano).

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS

r (Concorrentes) (3)

π 1 ∩ π 2 =

Ø (Paralelos Distintos) (1)

π 1 = π 2 (Paralelos Coincidentes) (2)

π 1 = π 2

π 1 π 2

π 1 π 2

n 1 n 2

r v

84


dois planos, no R3.

Para tanto, sejam as equações cartesianas dos planos π 1 e π 2:

π 1: a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 e π 2: a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0, onde

n 1 = (a1, b1, c1) é o vetor normal do plano π 1 e n 2 = (a2, b2, c2) é o vetor normal do

plano π 2.

(1): n 1 || n 2 21

21

21

21

dαdecαcbαbaαa

α ≠⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒=⇒ 21 nn

(2): n 1 || n 2

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

====

⇒=⇒

21

21

21

21

dαdcαcbαbaαa

α 21 nn

(3): 21 nn α≠ e sendo v o vetor diretor da reta r = π 1 ∩ π 2, temos que v || 21 nn ∧ .

Neste caso, as equações da reta r são da forma:

⎩⎨⎧

=+++=+++

0dzcybxa0dzcybxa

:2222

1111r , recebendo o nome de equações da reta r na forma geral.

EXEMPLOS

1) Os planos π 1: x + 2 y + 3 z + 5 = 0 e π 2: 2 x + 4 y + 6 z + 7 = 0 são paralelos

distintos, pois, n 2 = (2, 4, 6) = 2 (1, 2, 3) = 2 n 1 e 7 ≠ 2 x 5 = 10.

Também podemos fazer: 75

63

42

21

≠== .

2) Os planos π 1: x + 3 y + 6 z + 5 = 0 e π 2: 2 x + 6 y + 12 z + 10 = 0 são paralelos

coincidentes, pois, n 2 = (2, 6, 12) = 2 (1, 3, 6) = 2 n 1 e 10 = 2 x 5.

Também podemos fazer: 105

126

63

21

=== .

3) Determinar as equações simétricas da reta r, intersecção dos planos

π 1: x - 2 y + z - 5 = 0 e π 2: 2 x - y + 3 z - 1 = 0.

85

A reta r está dada na forma geral: ⎩⎨⎧

=−+−=−+−

01z3yx205zy2x

:r

O vetor diretor v da reta r é obtido pelo produto vetorial entre os vetores normais dos

planos π 1 e π 2, respectivamente, n 1 = (1, -2, 1) e n 2 = (2, -1, 3), com 21 nn α≠ .

3)1,5,(k3ji5312121kji

v −−=+−−=−−=

Para que a reta r fique bem definida, devemos determinar um ponto P dessa reta, que

pertence simultaneamente aos planos π 1 e π 2. Para isto, temos que resolver o

sistema de equações: ⎩⎨⎧

=−+−=−+−

01z3yx205zy2x

Como se trata de um sistema a duas equações e três incógnitas, para resolvê-lo,

atribuímos um valor real para uma das incógnitas e determinamos as outras duas em

função desse valor atribuído. Temos então: por exemplo, para z = 0:

⎩⎨⎧

=−−=+−

⇒⎩⎨⎧

=−−×=−

(2)1yx2(1)10y4x2

1yx22)(5y2x

De (1) + (2), vem: 3 y = -9⇒ y = -3. Substituindo-se em x – 2 y = 5, temos:

x + 6 = 5 ⇒ x = -1. Logo, um ponto P da reta r, é: P = (-1, -3, 0).

Portanto a reta r fica bem determinada pelo ponto P = (-1, -3, 0) e pelo vetor diretor v =

(-5, -1, 3), podendo ser escrita na forma simétrica como: 3z

13y

51x: =

−+

=−+r .

4.6.3 Reta e Plano

Em R3, uma reta r e um plano π podem ser paralelos ou concorrentes.

Se forem concorrentes, sua intersecção será um ponto, denominado traço da

reta r com o plano π .

86

Se forem paralelos, pode ocorrer que r é estritamente paralela a π

(intersecção entre eles é vazia, isto é, nenhum ponto em comum) ou r está contida em

π (intersecção entre eles é a própria reta, isto é, todos os pontos da reta pertencem ao

plano).

POSIÇOES RELATIVAS ENTRE RETA E PLANO

r ∩ π = Ø (1) (r é estritamente

paralela a π )

r é paralela a π

(r || π )

r ⊂ π (2)

(r ∩ π = r)

r e π são concorrentes

(r ∦ π )

(r ∩ π = { T }) (3)


reta e plano, no R3.

Consideremos então, uma reta r definida por um ponto A = (x1, y1, z1) e por

um vetor diretor n)m,(k,v = , 0v ≠ , e um plano π de equação cartesiana,

a x + b y + c z + d = 0, onde c)b,(a,n = é o vetor normal do plano π .

π r

π

r

π

r

T ●

87

(1): ⎪⎩

⎪⎨⎧

≠+++⇒∉=++⇒=⇒=

0dzcybxaA0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n.v

111πe

(2): ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+++⇒∈=++⇒=⇒=

0dzcybxaA0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n.v

111πe

(3): 0ncmbka0c)b,(a,.n)m,(k,0n.v ≠++⇒≠⇒≠

EXEMPLOS

1) Estudar a posição relativa da reta ⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=

+=

λ45zλ42y

λ31x:r com o plano

π : 4 x – 3 y – 6 z + 3 = 0.

Vamos efetuar o produto escalar entre o vetor diretor da reta, v = (3, -4, 4) e o vetor

normal do plano, n = (4, -3, -6).

v . n = (3, -4, 4) . (4, -3, -6) = 12 + 12 – 24 = 0, o que indica que a reta r é paralela ao

plano π .

Vamos verificar se a reta está contida no plano. Então, substituímos na equação do

plano o ponto A = (1, -2, 5), pertencente à reta.

4 + 6 – 30 + 3 = -17 ≠ 0. Portanto, o ponto A não pertence ao plano, o que indica que a

reta r é estritamente paralela ao plano π .


⎪⎨

⎧

+=+=+−=

λ31zλ45yλ21x

:r com o plano

π : x + y – 2 z – 2 = 0.

Vamos efetuar o produto escalar entre o vetor diretor da reta, v = (2, 4, 3) e o vetor

normal do plano, n = (1, 1, -2).

v . n = (2, 4, 3) . (1, 1, -2) = 2 + 4 – 6 = 0, o que indica que a reta r é paralela ao plano

π .

88

Vamos verificar se a reta está contida no plano. Então, substituímos na equação do

plano o ponto A = (-1, 5, 1), pertencente à reta.

-1 + 5 – 2 – 2 = 0. Portanto, o ponto A pertence ao plano, o que indica que a reta r está

contida no plano π .


⎪⎨

⎧

+−=+=−=

1λ2z5λ3y2λ2x

:r com o plano

π : 3 x – 2 y + 8 z + 40 = 0.

Vamos efetuar o produto escalar entre o vetor diretor da reta, v = (2, 3, -2) e o vetor

normal do plano, n = (3, -2, 8)

v . n = (2, 3, -2) . (3, -2, 8) = 6 – 6 – 16 = -16 ≠ 0 , o que indica que a reta r é

concorrente com o plano π . Então, vamos agora determinar o ponto T, traço da reta r no plano π , ou seja, o ponto de intersecção da reta r com o plano π .

⎩⎨⎧

=++−++−−⇒∈+−+−=⇒∈

⇒=∩(2)0401)λ2(85)λ(322)λ(23πT

1)λ25,λ32,λ(2TrT}T{πr

Desenvolvendo-se (2), temos: 6λ - 6 – 6λ - 10 – 16λ + 8 + 40 = 0

- 16λ + 32 = 0

λ = 2 ∴ T = (2, 11, -3)

OBSERVAÇÕES 1) Retas Ortogonais: duas retas, r e s, são ortogonais quando seus vetores diretores

são ortogonais.

Notação: r ⊥ s

Sejam as retas r: (A, u ), com u = (k1, m1, n1) e s: (B, v ), com

v = (k2, m2, n2).

r ⊥ s ⇔ u . v = 0 ⇔ k1k2 + m1m2 + n1n2 = 0

89

Observem que retas ortogonais é um caso particular de retas reversas (4).

2) Retas Perpendiculares: duas retas, r e s, são perpendiculares se são ortogonais e

coplanares.

Notação: r ⊥ s

Sejam as retas r: (A, u ), com u = (k1, m1, n1) e A = (x1, y1, z1) e s: (B, v ),

com v = (k2, m2, n2) e B = (x2, y2, z2).

Observem que retas perpendiculares é um caso particular de retas

concorrentes (3).

r ⊥ s ⇔ u . v = 0 e [ AB ,u , v ] = 0 ⇔ k1k2 + m1m2 + n1n2 = 0 e

0nmk

nmkzzyyxx

222

11

121212=

−−−

r

s

● S

π 1

π 2

r ⊂ π 1 e s ⊂ π 2 r e s ortogonais

r s

P ●

π

r ⊂ π e s ⊂ π r e s perpendiculares

90

3) Reta Perpendicular a um Plano Sabemos da Geometria Espacial que uma reta é perpendicular a um plano

quando é perpendicular ou ortogonal a duas retas concorrentes desse plano.

Vamos ver agora, como expressar analiticamente esta condição.

Sejam as retas concorrentes s e t, contidas num plano π e a reta r perpendicular ou ortogonal a s e a t, e, consequentemente perpendicular a π .

A reta s fica bem definida por um ponto B e um vetor diretor 1v ,

s: (B, 1v ), a reta t fica bem definida por um ponto C e um vetor diretor 2v , t: (C, 2v ) e

a reta r fica bem definida por um ponto A e um vetor diretor v , r: (A, v ). Seja ainda

0c)b,(a,n ≠= , o vetor normal do plano π .

Da definição de produto vetorial sabemos que ⎪⎩

⎪⎨⎧

⊥∧2

121

v

v)vv(

Portanto, qualquer vetor simultaneamente ortogonal a 1v e 2v será paralelo

a )vv( 21 ∧ .

Logo, )vv(λv)vv(||v 21121 ∧=⇒∧ (1)

nλ1vv)vv(λn)vv(||n

22121221 =∧⇒∧=⇒∧ (2)

r

s

t

n v

1v

2v π

r ortogonal a s e a t

r

s

t

nv

2v

1v

π

r perpendicular a s e a t

91

De (1) e (2) temos que: n||vnλvnλλv

2

1 ⇒=⇒=

Simbolicamente escrevemos:

Observem que a perpendicularidade entre reta e plano é um caso particular

de reta e plano concorrentes (3).

4) Planos Perpendiculares Sabemos da Geometria Espacial que dois planos são perpendiculares

quando um deles contém uma reta perpendicular ao outro.

Vamos ver agora, como expressar analiticamente esta condição.

Sejam 1n = (a1, b1, c1) e 2n = (a2, b2, c2), 0e0 ≠≠ 21 nn , vetores normais,

respectivamente dos planos 21 ππ e e 0≠v o vetor diretor da reta r, contida no plano

1π e perpendicular ao plano 2π .

Do fato de r ⊂ 1π , temos que: 1n ⊥ v (1).

Do fato de r ⊥ 2π , temos que: v || 2n (2).

De (1) e (2), temos que 1n ⊥ 2n .

Logo, 1π é perpendicular a 2π se, e somente se, 1n é ortogonal a 2n .

Simbolicamente escrevemos:

c)b,(a,λn)m,(k,n||v =⇒⇔⊥ πr

0ccbbaa0)c,b,(a.)c,b,(a0n.nnn 2121212221112121 =++⇒=⇒=⇔⊥⇔⊥ 21 ππ

92

Observem que planos perpendiculares é um caso particular de planos

concorrentes (3).

EXEMPLOS 1) Escrever as equações normais da reta r que passa pelo ponto P = (1, 0, 1) e é

perpendicular à reta s: 2 x – 1 = 3 y = 4 z +1.

Inicialmente, vamos transformar as equações da reta s na forma normal:

41

41z

31y

21

21x

:+

==−

s , de onde tiramos que s passa pelo ponto B = (21 , 0, -

41 ) e tem

vetor diretor )41,

31,

21(u = .

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

−−

=

⇒==⇒⊥(2)0

nmk41

31

21

450

21

(1)0)41,

31,

21(.n)m,(k,

0]v,u,PB[e0u.vsr

(1): 0n3m4k604n

3m

2k

=++⇒=++ (3)

(2): ⇒=+−+−⇒=−−−− 0k125m

85m

81n

610k)

31m

21(

45m)

41n

31(

21

1π

2π 1n 2n

r v

93

(4)0n2-m6-k50k125m

21n

61

=⇒=+−−

2 x (3) + 3 x (4): 27 k -10 m = 0 ⇒ ⇒=−−= 0n2m6m2750:(4)emm

2710k

m2756nm112n540n54m162m50 −=⇒−=⇒=−− m)

2756m,m,

2710(v −=∴

Para m = 27, um vetor diretor é: v = (10, 27, -56).

Logo, r tem equações normais: 56

1z27y

101x

−−

==−:r .

2) Determinar uma equação cartesiana do plano que passa pelo ponto A = (2, 1, 0) e é

perpendicular aos planos 1π : x + 2 y – 3 z + 2 = 0 e 2π : 2 x – y + 4 z – 1 = 0.

Queremos determinar um plano π , tal que:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⊥⊥

∈=

2πππ 1ππ

π0)1,(2,A:

Analisando as condições que o problema nos fornece, temos:

11 nnππ ⊥⇒⊥ (1)

22 nnππ ⊥⇒⊥ (2)

De (1) e (2) temos que )nn(αn)nn(||n 2121 ∧=⇒∧ , podendo então adotar

1)(αnnn 21 =∧= .

1)2,(1,n1)2,(1,5k5j10i5412321

kjinn 21 −−=⇒−−=−−=

−−=∧

Portanto, uma equação cartesiana do plano π é dada por:

π : x – 2 y – z + d = 0

Para determinarmos o termo independente d usamos o fato de que A π∈ , e portanto,

suas coordenadas satisfazem a equação do plano π . Então, substituindo essas

coordenadas na equação do plano, temos:

2 – 2 – 0 + d = 0 ⇒ d = 0

94

0zy2x: =−−∴ π .

Observem que se tivéssemos usado 1)2,(1,α55)10,(5,αn −−=−−= , poderíamos

dividir a equação cartesiana do plano por α5 , obtendo assim a equação encontrada

como resposta, acima.

3) Dados o plano π : x + 2 y – 3 z + 3 = 0 e a reta ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=

=

1zλ35y

λx:r :

a) determinar a intersecção da reta com o plano;

b) determinar a projeção ortogonal do ponto A = (0, 5, 1) sobre o plano;

c) determinar as equações normais da reta r’, simétrica de r em relação ao plano.

Identificando os elementos da reta e do plano, temos:

r: (A = (0, 5, 1), v = (1, -3, 0)) π : (n = (1, 2, -3))

Observem que: v . n = (1, -3, 0) . (1, 2, -3) = 1 – 6 = -5 ≠ 0, o que comprova que r e π

são concorrentes.

a) r ∩ π = { T }⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⇒−=−⇒=+−−+=+−−+⇒∈

−=⇒∈⇒

2λ10λ5033λ610λ03(1)3λ)3(52λπT

λ,1)35(TrT ,λ

Portanto, T = (2, -1, 1).

T

A

M

A’

r

r’

s

t

π

n

θ

θ

95

b) Pela figura acima, notamos que a projeção ortogonal do ponto A ∈ r sobre o plano

π , é o ponto M, intersecção da reta t com o plano π . A reta t é uma reta passando por

A, perpendicular a π . Logo, um vetor diretor da reta t é o vetor

n = (1, 2, -3), normal ao plano π .

Portanto a reta t fica bem definida pelo ponto A = (0, 5, 1) e pelo vetor diretor

n = (1, 2, -3), tendo as seguintes equações paramétricas:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=

=

λ31zλ25y

λx:t

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=⇒=⇒=++−++

=+++⇒∈−+=⇒∈

⇒∩=

75-λ-10λ1403λ93λ410λ

03λ)3-(13-λ)2(52λπMλ)31,25,(MtM λλ

πtM

Portanto, M = )722,

725,

75(− .

NOTAS 1) A projeção ortogonal de um ponto sobre um plano ou sobre uma reta é feita sempre

por uma reta traçada pelo ponto, perpendicularmente ao plano ou à reta sobre os

quais queremos projetar.

2) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é feita por um plano traçado pela

reta, perpendicularmente ao plano sobre o qual queremos projetar.

A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano também pode ser obtida através da

projeção ortogonal de dois pontos distintos dessa reta sobre o plano (utilizando-se a

explicação da Nota 1).

c) Pela figura acima, notamos que a reta r’, simétrica de r em relação a π , passa pelo

ponto T, intersecção de r com π e pelo ponto A’, simétrico do ponto A em relação a π .

Se A’ é simétrico de A em relação a π , então M é o ponto médio do segmento AA' .

Aplicando-se as coordenadas do ponto médio de um segmento em R3, temos:

96

710x

2x0

75

2xxx A'

A'A'AM −=⇒

+=−⇒

+=

715y5

750y

2y5

725

2yyy A'A'

A'A'AM =⇒−=⇒

+=⇒

+=

737z1

744z

2z1

722

2zzz A'A'

A'A'AM =⇒−=⇒

+=⇒

+=

Portanto , A’ = )7

37,7

15,7

10(− .

Logo, a reta r’ fica bem definida, por exemplo, pelo ponto T = (2, -1, 1) e pelo vetor

diretor 15)11,12,(72)

730,

722,

724( −=−=TA' , observando-se que pode ser usado o

vetor 15)11,12,(−=v' , paralelo a TA' . Logo, a reta r’ é dada por:

151z

111y

122x −

=+

=−−:r' .

NOTAS 1) O simétrico A’, de um ponto A, em relação a um plano ou a uma reta, é o ponto que

se encontra à mesma distância que A está desse plano ou dessa reta. Sendo assim, o

ponto M, projeção ortogonal de A sobre o plano ou sobre a reta, será ponto médio do

segmento AA’, pois, |MA'||AM| = .

2) Chama-se ângulo que uma reta não paralela a um plano, faz com o plano, ao ângulo

agudo entre a reta e sua projeção ortogonal sobre o plano.

Se a reta é paralela ao plano, o ângulo entre ela e o plano mede 0°.

Se a reta é perpendicular ao plano, o ângulo entre ela e o plano mede 90°.

3) Dada uma reta r, concorrente com um plano, mas não perpendicular a esse plano, a

reta simétrica de r em relação ao plano, é aquela que faz com o plano, ângulo igual ao

que r faz com esse mesmo plano.

97

5 Resolução dos Exercícios

5.1 Resolução da 1ª Lista de Exercícios

1) Em um triângulo ABC o ponto M é tal que MC5BM3 = . Escrever o vetor AM em

função dos vetores ACeAB .

Resolução:

Temos que:

• MC5BM3 = Multiplicando a igualdade “em cruz”, temos:

• 35

MCBM=

• E pelo desenho temos que: 85 BCBM =

• ACBABC +=

Temos que escrever o vetor AM em função de AB e AC .

Logo devemos encaminhar as igualdades acima, tentando relacionar com os vetores

AB e AC .

Pela soma de vetores, podemos escrever que:

BMABAM += , mas 85 BCBM = . Então, substituindo:

98

85 BCABAM += , mas ACBABC += . Substituindo novamente:

) (85 ACBAABAM ++= lembrando que - ABBA = , e efetuando a distributiva, temos

que:

85

85 ACABABAM +−=

85

85 ACABABAM +−= Efetuando a soma

85 ABAB − temos que:

85

83 ACABAM +=

2) É dado o triângulo ABC e o ponto X sobre a reta AB tal que XA4XB = . Sejam

cACebAB == .

Resolução:

a) Determinar o vetor CX em função de b e c .

AXCACX +=

ABACCX31

−−=

bcCX31

−−=

b

c

99

cbCX −−=31

b) Seja M o ponto médio de CX . Escrever BM em função de b e c .

++= ACBABM CM

++−= ACABBM CX21

++−= cbBM )( bc31

21

−−

−+−= cbBM bc61

21

−

ccbbBM21

61

−+−−=

cbBM21

67

+=

3) A, B, C e D são vértices consecutivos de um quadrilátero plano qualquer. M é tal que

MB2CM = ; N é o ponto médio de CD . Em função de b = AB , c = AC e ADd = ,

pede-se:

Resolução:

a) AM ;

BMABAM +=

BCABAM31

+= *

)AC(BAABAM ++=31

d c

b

*Conforme enunciado MBCM 2=

Logo, BCBM31

=

100

ACBAABAM31

31 ++=

ACABABAM31

31 +−=

cbbAM31

31 +−=

cbAM31

32 += (fatorando e colocando em evidência, temos)

)( cbAM += 231

b) AN;

DNADAN +=

DCADAN21

+= (N é ponto médio de DC)

)( ACDAADAN ++=21

ACDAADAN21

21

++=

cddAN21

21

+−=

cdAN21

21

+=

)( cdAN +=21

)( dcAN +=21

c) MN.

CNMCMN +=

CDBCMN21

32

+=

101

)()( ADCAACBAMN +++=21

32

ADACACABMN21

21

32

32

+−+−=

dccbMN21

21

32

32

+−+−=

63344 dccbMN +−+−

=

634 dcbMN ++−

=

)( dcbMN 3461

++−=

4) No triângulo ABC os segmentos RBeQR,PQ,AP têm o mesmo comprimento.

Resolução:

a) Escrever CQ em função de CBeCA .

Podemos determinar o vetor CQde duas formas:

1ª ) AQCACQ += e 2ª) BQCBCQ +=

Efetuando a soma dessas duas relações temos:

A P Q R B

C

102

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

BQCBCQ

AQCACQ

________________________

0CBCACQ ++=2

Isolando o 1º termo, temos:

2CBCACQ +

=

)( CBCACQ +=21

b) Escrever CQ em função de CReCP .

Podemos determinar o vetor CQde duas formas:

1ª ) PQCPCQ += e 2ª) RQCRCQ +=

Efetuando a soma dessas duas relações temos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+=

+=

RQCRCQ

PQCPCQ

________________________

0CRCPCQ ++=2

Isolando o 1º termo, temos:

2CRCPCQ +

=

)( CRCPCQ +=21

Aqui temos o vetor nulo0 em virtude

de AQ e BQ serem vetores opostos.

Observe no desenho!

Aqui temos o vetor nulo0 em virtude

de PQ e RQ serem vetores opostos.

Observe no desenho!

103

c) Escrever CQ em função de eCA CR .

AQCACQ +=

ARCACQ32

+= Mas , temos que CRACAR += . Logo:

)( CRACCACQ ++=32

CRCACACQ32

32

+−=

CRCACQ32

31

+= Colocando 31 em evidência, temos:

)CR(CACQ 231

+=

5) Seja ABC um triângulo qualquer com medianas CFeBE,AD . Demonstrar que

0CFBEAD =++ .

Resolução:

Obs: Mediana de um triângulo é o segmento que une o ponto médio de um lado do

triângulo ao vértice oposto a esse lado.Num triângulo qualquer, existem três

medianas.

Iniciamos a resolução escrevendo os vetores solicitados no enunciado como a soma

de outros vetores.

Assim os vetores CFBED e,A podem ser escritos da forma:

104

• BDABAD +=

• AEBABE +=

• AFCACF +=

Somando as três equações acima, temos:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=

+=

+=

AFCACF

AEBABE

BDABAD

_______________________________________________

AFCAAEBDCFBEAD +++=++ Obs: 0BAAB =+ , pois são vetores opostos

Observando o desenho, podemos afirmar ainda que:

BCBD21

= , ACAE21

= , ABAF21

= , pois as medianas dividem o lado do triângulo

em sua metade.

Substituindo essas relações nos termos do lado esquerdo da igualdade

AFCAAEBDCFBEAD +++=++ , temos:

AFCAAEBDCFBEAD +++=++

ABACACBCCFBEAD21

21

21

+−+=++ Obs: ACCA −= (vetores opostos)

ACBCABCFBEAD21

21

21

−+=++ Colocando em evidência os vetores BCAB e

ACBCABCFBEAD21

21

−+=++ )( mas, ACBCAB =+ . Veja no desenho!

ACACCFBEAD21

21

−=++

0CFBEAD =++

+

105

6) Dados cCDebBC,aAB === , determinar, em função de ceb,a , os vetores

FXeAX sabendo-se que EB41EX = .

Resolução:

• AX

Podemos escrever o vetor AX como:

BXABAX +=

Mas BEBX43

= , pois conforme enunciado EBEX41

= , então podemos afirmar que

BEBX43

=

Substituindo a relação BEBX43

= na expressão BXABAX += , temos:

BXABAX +=

BEABAX43

+= mas DECDBCBE ++= , logo:

)( DECDBCABAX +++=43

A B

C

D E

F

X

106

De acordo com o enunciado, temos que cCDebBC,aAB === . Substituindo essas

igualdades na expressão )( DECDBCABAX +++=43 , temos:

)( acbaAX −++=43 Efetuando a distributiva:

acbaAX43

43

43

−++= Efetuando as respectivas adições, temos:

cbaAX43

43

41

++=

• FX

Podemos escrever o vetor FX como:

EXFEFX +=

Mas conforme enunciado EBEX41

= .

Substituindo a relação EBEX41

= na expressão EXFEFX += , temos:

EXFEFX +=

EBFEFX41

+= mas CBDCEDEB ++= , logo:

)( CBDCEDFEFX +++=41

)( bcacFX −−+=41 Efetuando a distributiva, temos

bcacFX41

41

41

−−+= Efetuando as respectivas adições, temos:

cbaFX43

41

41

+−=

7) Calcular as coordenadas dos vetores:

a) ),,(),,( 11021121 +=u

Resolução:

),,(),,( 11021121 +=u Efetuando a distributiva, temos:

107

),,(),,(21

210121 +=u

Efetuando a soma de vetores em coordenadas (reveja os exemplos vistos em 1.7.3 temos:

),,(211

21201 +++=u Efetuando as respectivas adições e M.M.C. temos:

),,(23

251=u

b) ),,(),,( 15406105

23

−−=v

Resolução:

),,(),,( 15406105

23

−−=v

),,(),,( 65240

230

215

−+=v

),,( 623

52400

215

+−+=v

),,(2

15524

215

−=v

c) ),,(),,(),,( 11153121

21405 −+−−=w

Resolução:

),,(),,(),,( 11153121

21405 −+−−=w

),,(),,(),,(53

53

53

211

21405 −+−−−+−=w

),,(53

214

5310

53

215 +−−−−+−=w

),,(10

65405

35010

6550 +−−−−+−=w

),,(1039

58

1051

−−=w

108

8) Calcular as coordenadas do vetor 3Vx∈ , tal que: 0x =+ ),,( 01232

Resolução:

0x =+ ),,( 01232 Efetuando a distributiva, temos:

0x =+ ),,( 0362

),,( 0362 −= 0x O vetor0 tem coordenadas ),,( 000

A subtração de vetores é a soma com o vetor oposto. Ver vetor diferença em 1.4.1

item d. Assim temos:

),,(),,( 0360002 −−+=x

),,( 0362 −−=x

2036 ),,( −−

=x

),,(20

23

26

−−=x

),,( 0233 −−=x

9) Achar as coordenadas do vetor x , sabendo-se que:

0)1,(2,510)]4,(3,

61[5x)

32

21( −=++

Resolução:

Efetuando as distributivas e as respectivas adições, temos:

0)1,(2,510)]4,(3,

61[5x)

32

21( −=++

)0,1,52()]0,4,

63([5x)

643(

5566−=+

+

)0,1,52()0,20,

615(x)

6(

55667

−=+

109

)0,20,6

15()0,1,52(x)

6(

66557

−−=

)0,20,6

15()0,1,52(x)

6(

66557

−−−+−=

)00 ,201,6

1552(x)

6(

65657

−−−−=

) ,,30

71(x)6

( 030

1006527 −−−=

) ,,306(x)

6( 0

3010637 −−

=

)6

(

) ,,306(

x7

0301063 −−

=

)( 03010636 ,,

306)

7(x −−

=

).(.(( 0630106636

⋅−−

=7

),7

),306

7x

)( 0351069 ,,

5x −−=

10) Determinar os vetores x e y pertencentes a V3 que verificam o sistema:

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+

1)2,(1,x2y

1)2,(0,y2x

Resolução:

Multiplicar a 1ª equação por 2 e efetuar a soma com a 2ª equação

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+

1)2,(1,x2y

2)4,(0,y4x2

________________________________

1)6,(1,y5 =

51)6,(1,y =

110

)1,6,51(y

55=

Para determinar as coordenadas do vetor x , devemos substituir as coordenadas

encontradas do vetor )1,6,51(y

55= , substituindo na 2ª equação 1)2,(1,x2y −=− .

Assim temos:

1)2,(1,x2y −=−

1)2,(1,x2)1,6,51( −=−

55

)1,6,51( 1)2,(1,x2

55−−=−

)1162,51(1x2

55−−−−=− ,

)64,54(x2

55−=− ,

255

−

−=

)64,54(

x,

255

−

−=

)64,54(

x,

)64,54(x

5521

−−= ,

)32,52(x

55,−−=

11)Dados os vetores 1)2,(3,u = , 1)4,(v ,3−−= 1),(w ,12= , pede-se determinar os

escalares γβ,α, tais que: 0)0,(0,wγvβuα =++

Resolução:

0)0,(0,1),(1)4,(1)2,(3, =+−−+ ,, 123 γβα Efetuando a distributiva, temos:

0)0,(0,),(),4(),2,(3 =+−−+ γγγβββααα ,, 23 Efetuando a adição das coordenadas,

temos:

111

0)0,(0,)24(3 =+++−+− γβαγβαγβα ,, 32

Da igualdade acima, podemos aplicar o conceito de igualdade de vetores, que nos

dá o seguinte sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=+−

=+−

0

02

43

γβα

γβα

γβα

3

02

Resolvendo o sistema:

Relacionando as duas últimas equações, multiplicando a terceira equação por -1 e

efetuando a adição das duas equações, temos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−−

=+−

0

02

γβα

γβα 3

________________________

0=− βα 4

βα 4=

Substituindo βα 4= na 2ª equação do sistema inicial temos:

02 =+− γβα 3

0)42 =+− γββ 3(

0=+− γββ 38

0=+ γβ5

βγ 5−=

Substituindo βα 4= e βγ 5−= na 1ª equação do sistema inicial temos:

02 =+− γβα 43

112

052 =−+− )(( βββ 4)43

01012 =−− βββ 4

0112 =− ββ 4

02 =− β

20

−=β

0=β

Substituindo 0=β em βα 4= temos:

βα 4=

04.=α

0=α

Substituindo 0=β em βγ 5−= temos:

βγ 5−=

05.−=γ

0=γ

Logo, 0=α , 0=β e 0=γ

12) Sejam A, B, C, D quatro pontos de R3 e M, N os pontos médios dos segmentos

BDeAC . Pede-se determinar a soma: CDCBADABS +++= em função de MN.

Resolução:

CDCBADABS +++=

Podemos escrever

AB como:

NBMNAMAB ++=

Podemos escrever

AD como:

NDMNAMAD ++=

Podemos escrever

CB como:

NBMNCMCB ++=

Podemos escrever

CD como:

NDMNCMCD ++=

Assim temos:

CDCBADABS +++=

)()()()( NDMNCMNBMNCMNDMNAMNBMNAMS +++++++++++=

Efetuando a soma temos:

MNCMNDNBAMS 42222 ++++=

Observe que AM e NB são segmentos opostos, logo a sua soma é nula

Observe que ND e CM são segmentos opostos, logo a sua soma é nula

Disso decorre que:

MNCMNDNBAMS 42222 ++++=

MNS 4=

114

13) Dado o tetraedro OABC em que cOC,bOB,aOA === e M é o ponto médio do

lado BC , pede-se determinar o vetor AM em função de ceb,a .

Resolução:

CMACAM +=

CBACAM21

+=

)( OBCOOCAOAM +++=21

)( bccaAM +−++−=21

bccaAM21

21

+−+−=

cbaAM21

21

++−=

)( cbaAM ++−=21

O

A

B

C M

a

b c

115


1) Mostrar que os vetores ),,( 101−=u , ),,( 110=v e ),,( 111=w são L. I..

Para os vetores wvu e, serem L.I. deve ocorrer:

0wvu =++ γβα com 0=== γβα

Resolução:

),,(),,(),,(),,( 000111110101 =++− γβα

),,(),,(),,(),,( 00000 =++− γγγββαα

),,(),,( 000=++++− γβαγβγα

Isso nos leva ao sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=+

=+−

0

0

0

γβα

γβ

γα

Verificando se o sistema linear admite solução:

Para que o sistema admita solução deve ocorrer: O determinante formado pelos

coeficientes das incógnitas deve ser diferente de zero, como visto em 2.1.2

Então:

0111110101≠

−

Calculando o determinante:

116

01001011111110101

≠−=++−++−=−

Como o determinante é diferente de zero, temos que o sistema acima é possível e

determinado, isto é, apresenta uma única solução:

Resolvendo o sistema inicial, temos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=++

=+

=+−

0

0

0

γβα

γβ

γα

Relacionando a 2ª e 3ª equações, multiplicando a 3ª equação por -1 e efetuando a

adição, temos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−−−

=+

0

0

γβα

γβ

________________________

0=−α

0=α

Substituindo 0=α na 1ª equação 0=+− γα do sistema inicial, temos:

0=+− γα

00 =+ γ

0=γ

Substituindo 0=γ na 2ª equação 0=+− γβ do sistema inicial, temos:

0=+− γβ

117

00 =+− β

0=− β

0=β

Logo: 0=α , 0=β e 0=γ que é a única solução que o sistema admite.

Logo os vetores wvu e, são L.I.

2) Mostrar que os vetores ),,( 312−=u , ),,( 112 −=v e ),,( 136 −−=w são L. D..

Escrever a relação que existe entre esses vetores.

Resolução:

Para mostrar que os vetores wvu e, são L.D, basta mostrar que o sistema

formado pelos coeficientes das incógnitas das equações formadas pelas

coordenadas dos vetores apresenta uma solução diferente da solução trivial (0, 0,

0), ou seja, mostrar que esse sistema é possível e indeterminado.

Para os vetores wvu e, serem L.D. deve ocorrer:

0wvu =++ γβα com uma solução diferente de 0=== γβα

),,(),,(),,(),,( 000136112312 =−−+−+− γβα

),,(),,(),,(),,( 00036232 =−−+−+− γγγβββααα

),,(),,( 00033622 =−+−−++− γβαγβαγβα

Podemos escrever o sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=−+

=−−

=++−

03

03

0622

γβα

γβα

γβα

118

Vamos procurar uma solução para este sistema diferente da solução trivial (0, 0, 0)

Relacionando a 2ª e a 3ª equação do sistema e efetuando a adição, temos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−+

=−−

03

03

γβα

γβα

_____________________

044 =− γα

γα 44 =

γα =

Substituindo γα = na 2ª equação 03 =−− γβα , temos

03 =−− γβα

03 =−− γβγ

02 =−− γβ

γβ 2=−

γβ 2−=

Substituindo γα = e γβ 2−= na 1ª equação 0622 =++− γβα , temos

0622 =++− γβα

0642 =+−− γγγ

066 =+− γγ

00 =γ o que é verdadeiro para ℜ∈∀γ

∴O sistema é possível e indeterminado, admitindo infinitas soluções, como por

exemplo:

Como γα = , γβ 2−= e 00 =γ

Para 211 −==⇒= βαγ e

119

Logo 0wvu =++ γβα

0wvu =+− 2 .

Então o vetor u pode ser escrito como:

wvu −= 2

Essa é uma das relações possíveis de se escrever.

3) O conjunto {(0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é L. D. ou L. I.? Justificar a conclusão.

Resolução:

),,(),,(),,(),,( 000100010110 =++ γβα

),,(),,(),,(),,( 00000000 =++ γβαα

Essa relação nos permite definir o seguinte sistema:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

0

0

γα

βα

Analisando a 2ª equação, temos:

0=+ γα

γα −=

Analisando a 1ª equação, temos:

0=+ βα

αβ −=

Efetuando a soma das equações do sistema inicial, temos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=+

0

0

γα

βα

______________________

02 =++ γβα

120

Substituindo as igualdades encontradas γα −= e αβ −= no resultado acima,

temos:

02 =++ γβα

02 =−− ααα

00 =α

∴ O sistema é possível e indeterminado, ou seja, apresenta infinitas soluções,

alem da trivial (0, 0, 0). Sendo uma delas (2, -2, -2 ) como podemos observar

abaixo:

Atribuindo valores para α , temos:

Se 2=α , temos:

2=α , 2−=β e 2−=γ .

Logo o conjunto {(0, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} é L.D.

4) Mostrar que os vetores ),,( 321=u e ),,( 642=v são paralelos.

Resolução:

Para os vetores vu e serem paralelos, basta ocorrer:

vu α= . Isso significa que v deve ser um múltiplo de u .

Então temos:

vu α=

Substituindo as coordenadas de u e v , temos:

),,(),,( 642321 α= Efetuando a distributiva:

),,(),,( ααα 642321 = Utilizando o conceito de igualdade de vetores, temos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=

=

=

α

α

α

63

42

21

121

Resolvendo cada uma das equações acima:

• α21 = ⇒ 21

=α

• α42 = ⇒ 21

=α

• α63 = ⇒ 21

=α

Logo 21

=α

vu α=

vu //∴

vu21

=∴

5) Provar que o vetor v = (-2, -1, 2) é uma combinação linear dos vetores

1v = (1, -1, 1), 2v = (-1, -1, 0) e 3v = (4, 2, -1).

Resolução:

Provar que v é uma combinação linear dos vetores 1v , 2v e 3v , significa

mostrar que v pode ser escrito da forma:

v = 1vα 2vβ+ 3vγ+

Assim temos:

321 vvvv γβα ++= Efetuando a substituições das coordenadas, temos:

),,(),,(),,(),, 124011111212 −+−−+−=−− γβα( Efetuando a distributiva,

temos:

),,(),,(),,(),, γγγββααα −+−−+−=−− 240212(

Efetuando a soma das coordenadas no segundo membro, temos:

),,(),, γαγβαγβα −+−−+−=−− 24212(

122

Utilizando o conceito de igualdade de vetores, podemos definir o sistema abaixo:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=

+−−=−

+−=−

γα

γβα

γβα

2

21

42

Da última equação resulta:

γα −=2

2−= αγ

Substituindo 2−= αγ na 2ª equação do sistema inicial, temos:

γβα 21 +−−=−

)( 221 −+−−=− αβα

421 −+−−=− αβα

βα −=3

3−= αβ

Substituindo 2−= αγ e 3−= αβ na 1ª equação do sistema inicial, temos:

γβα 42 +−=−

)()( 2432 −+−−=− ααα

8432 −++−=− ααα

α43 =

43

=α

Substituindo 43

=α em 3−= αβ , temos:

3−= αβ

343−=β

123

4123−

=β

49

−=β

Substituindo 43

=α em 2−= αγ , temos:

2−= αγ

243−=γ

483−

=γ

45

−=γ

Assim, temos que: 43

=α ; 49

−=β ; 45

−=γ

Logo 1vv43

= 2v49

− 3v45

−

6) Dados os vetores ,b,a linearmente independentes, constrói-se a partir de um ponto

O arbitrário os vetores: ℜ∈+=−=−= λcom,baλOCeba2OB,b2aOA .

Determinar o parâmetro λ de modo que os vetores BCeAC sejam paralelos.

Resolução:

124

BCACBCAC α=⇔//

BCAC α=

)( OCBOOCAO +=+ α

)( babababa +++−=+++− λαλ 22

babababa ααλααλ +++−=+++− 22

0bbbbaaaa =−−++−++− αααλαλ 22

0ba =−−++−++− )()( αααλαλ 1221

0ba =−+−++− )()( ααλαλ 2321

Como a e b são L.I., temos necessariamente

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−++−

023

021

α

αλαλ

Da segunda equação temos que:

023 =− α

32 −=− α

23

=α

Substituindo 23

=α na 1ª equação, temos:

021 =−++− αλαλ

023

2321 =−++− λλ .

02331 =−++− λλ

0232 =−+ λλ

02

322 =−

+λλ

125

0212 =− λ

221

−=− λ

212

=λ

22 .=λ

4=λ

7) Mostrar que os vetores 1v = (1, 1, 0), 2v = (1, 0, 1) e 3v = (0, 1, 1) formam uma

base B de V3 .

Resolução:

1vα 2vβ+ 3vγ+ = 0

),,(),,(),,(),,( 000110101011 =++ γβα

),,(),,(),,(),,( 000000 =++ γγββαα

),,(),,( 000=+++ γβγαβα

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=+

=+

0

0

0

γβ

γα

βα

⇒ 2110101011

−=

Ou seja, o determinante formado pelos coeficientes das incógnitas do sistema

anterior é diferente de zero, e tem como resultado -2.

Sendo assim, podemos afirmar que o sistema é possível e determinado.

Como temos um sistema linear homogêneo, podemos afirmar que a única solução

existente é a solução trivial, ou seja, 0=== γβα

∴ Os vetores 1v , 2v e 3v são L.I. e portanto formam uma base de V3.

126

8) Determinar as coordenadas do vetor v = (4, -2, 2) em relação à base B do

exercício anterior.

Resolução:

),,(),,(),,(),,( 110101011224 γβα ++=−

),,(),,(),,(),,( γγββαα 000224 ++=−

),,(),,( γβγαβα +++=− 224

Assim, temos o seguinte sistema:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−=+

=+

2

2

4

γβ

γα

βα

Analisando a 3ª equação do sistema e isolando a variável β , temos:

2=+ γβ

γβ −= 2

Analisando a 1ª equação do sistema e isolando a variável α , temos:

4=+ βα

42 =−+ γα

42 =−+ γα

γα += 2

Substituindo γα += 2 na 2ª equação, temos:

2−=+ γα

22 −=++ γγ

42 −=γ

127

24

−=γ

2−=γ

Substituindo 2−=γ em γα += 2 temos:

γα += 2

22 −=α

0=α

Substituindo 2−=γ em γβ −= 2 temos:

γβ −= 2

22 +=β

4=β

Logo, as coordenadas do vetor v em relação à base B são:

B),,( 240 −=v


1) Dados u = (3, -1, 5) e v = (1, 2, -3), determinar um vetor w , ortogonal ao eixo Ox

e tal que w .u = 9 e w . v = 4.

Resolução:

Para que o vetor w seja ortogonal ao eixo Ox as suas coordenadas devem ser:

Ox⊥w ⇒ )z,y,(0=w

Temos ainda que

)( 22 −−=β

128

• 9=uw .

Pela definição de produto escalar segue que:

95130 =− ),,(.)z,y,(

95130 =+−+ .z)(.y.

950 =+− zy

95 =+− zy

• 4=vw .

Pela definição de produto escalar segue que:

43210 =− ),,(.)z,y,(

De acordo com as igualdades obtidas, podemos definir o sistema a seguir:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+−

432

95

zy

zy

Multiplicando a 1ª equação por 2 e efetuando a adição, temos:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+−

432

18102

zy

zy

___________________________

227 =z

722

=z

Substituindo 722

=z na 2ª equação do sistema inicial, temos:

432 =− zy

4=vw .

9=uw .

129

432 =− zy

472232 =− .y

47662 =−y

76642 +=y

766282 +

=y

7942 =y

747

=y

Assim o vetor )z,y,(0=w é definido como ),,(722

7470=w

2) Dados u = (2, 1, -3) e v = (1, 2, 1), seja w = u + λ v . Determinar λ para que w e

u sejam ortogonais.

Resolução:

Para que os vetores w e u sejam ortogonais deve ocorrer: 0=uw .

Inicialmente vamos determinar a outra condição do exercício:

vuw λ+=

),,(),,( 121312 λ+−=w

),,(),,( λλλ 2312 +−=w

),,( λλλ +−++= 3212w

Retornando as condições do exercício, temos que:

0=uw . mas ),,( λλλ +−++= 3212w e u = (2, 1, -3). Logo:

130

0=uw .

03123212 =−+−++ ),,(.),,( λλλ

Utilizando o conceito de produto escalar, temos:

03312122 =−+−++++ )(.)(.)(.)( λλλ

0392124 =−++++ λλλ

014 =+λ

14−=λ

3) Dados u = (1, -3, 1), pede-se determinar um vetor v , ortogonal ao eixo Oy, tal que

| u ∧ v | = 118 e u . v = 5.

Resolução:

Para que o vetor v seja ortogonal ao eixo Oy as suas coordenadas devem ser:

Oy⊥v ⇒ )z,,x( 0=v

Temos ainda que:

u . v = 5.

50131 =− )z,,x(.),,(

50 =++ zx

zx −= 5

Logo )z,,x( 0=v ⇒ )z,,z( 05 −=v (*)

Temos ainda que o produto vetorial entre u e v é

| u ∧ v | = 118

Determinando o produto vetorial, temos

0531

05131

z

ji

zz

kji

−−

−− ⇒ )z,z,z( 315253 −−−

Assim, temos:

131

| u ∧ v | = 118

Utilizando a definição de módulo de um vetor, temos:

118315253 222 =−+−+− )z()z()z(

Para eliminarmos as raízes de ambos os lados da igualdade, vamos elevar os dois

membros ao quadrado:

( )22222 118315253 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −+−+− )z()z()z(

Aplicando as propriedades de radiciação, temos:

118315253 222 =−+−+− )z()z()z(

118990225420259 222 =+−++−+ zzzzz

013211022 2 =+− zz )( 22÷

0652 =+− zz

A equação acima tem como solução

32 21 == zez

Voltando em (*)

Inicialmente tínhamos definido que )z,,z( 05 −=v

Como determinamos 32 21 == zez , isso nos leva a:

⇒= 21z/p ),,( 2025 −=v ⇒ ),,( 203=v

⇒= 32z/p ),,( 3035 −=v ⇒ ),,( 302=v

4) Dados os vetores u = (1, -1, 0), v = (0, 0, 2) e w = (2, -3, 0), pede-se determinar o

vetor x , paralelo a w e que satisfaz a condição x ∧ u = v .

Resolução:

Para wx // é necessário que ocorra:

wx α=

132

),,( 032 −= αx

),,( 032 αα −=x

Temos ainda que:

x ∧ u = v .

),,( 032 αα − ∧ ),,(),,( 200011 =−

Resolvendo o produto vetorial acima, temos;

1132

011032

−−

−− αααα

jikji ),,( 200=

),,(kjijik 200200003 =−+++− αα

),,(kji 20000 =++ α

2=α

Como ),,( 032 αα −=x e 2=α temos que:

),,( 032 αα −=x

),.,.( 02322 −=x

),,( 064 −=x

5) Dados os vetores u = (1, -1, 0) e v = (2, 1, 3), determinar um vetor w sabendo-se

que w é ortogonal a u e a v , | w | = 243 e o ângulo formado por w com o eixo

Oy é agudo.

Resolução

Temos que )()(// vuwvuwvw

uw∧=⇒∧⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

⊥

⊥α (*)

133

Calculando o produto vetorial )( vu ∧

),,(kji

333312011 −−=−

Voltando a (*), temos:

)( vuw ∧= α

),,( 333 −−= αw

),,( ααα 333 −−=w

Temos que 243=w e que ),,( ααα 333 −−=w

Utilizando a definição de módulo de um vetor, temos:

243333 222 =+−+− )()()( ααα

Para eliminarmos as raízes de ambos os lados da igualdade, vamos elevar os dois

membros ao quadrado:

( ) 22222 243333 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−+− )()()( ααα

243333 222 =+−+− )()()( ααα

243999 222 =++ ααα

24327 2 =α

272432 =α

92 =α ⇒ ⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=⇒=

−=⇒−=

),,(

),,(

9993

9993

w

w

α

α

Qual dos dois vetores acima é a solução do exercício?

Precisamos verificar qual deles forma um ângulo agudo com o eixo Oy conforme

enunciado do exercício.

134

Essa condição nos leva a concluir que: cos θ>0

Temos que as coordenadas do eixo Ou são 0)1,(0,

Verificando se o ângulo é agudo ou obtuso:

0010

>=Θ),,(.

cosww 0)1,(0,.

O resultado da expressão acima nos dirá qual dos dois vetores w forma um ângulo

agudo com o eixo Oy.

Mas não precisamos fazer o cálculo utilizando a expressão inteira. Basta observar

que o denominador da expressão sempre será um valor positivo, pois está em

módulo.

Logo basta analisar e substituir os valores de w apenas no numerador da

expressão.

0010

>),,(.w

w 0)1,(0,.

Então:

0)1,(0,.w ⇒ agudoécos),,( Θ⇒>Θ⇒>=++=− 009090999 0)1,(0,.

0)1,(0,.w ⇒ obtusoécos),,( Θ⇒<Θ⇒<−=+−=−− 009090999 0)1,(0,.

),,( 999 −=∴ w

135

6) Os vetores a e b formam um ângulo de 60°. Sabendo-se que | a | = 5, | b | = 8,

calcular | a + b |, | a - b |, a . b e | a ∧ b |.

Resolução

• ?=+ ba

ºcos... 1202222 bababa −+=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−+=+

2185285 222 ...ba

4064252 ++=+ ba

1292 =+ ba

129=+ ba

• ?=− ba

ºcos... 602222 bababa −+=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=−

2185285 222 ...ba

4064252 −+=− ba

492 =− ba

49=− ba

7=− ba

• ?. =ba

ºcos... 60baba =

21... 85ba =

20=ba .

• ?=∧ ba

ºsen.. 60baba =∧

23.. 85ba =∧

2340 .=∧ ba

320 .=∧ ba

7) Numa base ortonormal positiva temos: AB = (3, 1, -2), AC = (0, 2, -1) e

AD = (1, 1, 1).

Resolução

a) Calcular o volume do paralelepípedo determinado por esses vetores.

O Volume do paralelepípedo determinado pelos vetores é dado pelo módulo do

produto misto entre esses vetores.

Para determinar o produto misto entre três vetores, basta calcular o determinante

formado pelas coordenadas desses vetores, como segue:

[ ]ADAC,AB ,V p =

[ ]112013

111120213

−−

== ADAC,AB,Vp

341 ++−= 6pV

12=pV

12=pV

b) Calcular a área do triângulo BCD.

137

2

CDCB ∧=ΔBCDA

Precisamos inicialmente, determinar cada termo da expressão acima.

• CB

ABCACB +=

),,(),,( 213120 −+−=CB

),,( 113 −−=CB

• CD

ADCACD +=

),,(),,( 111120 +−=CD

),,( 211 −=CD

• CDCB ∧

1113

211113

−−

−−−=∧

jikjiCDCB

),,( 273 −−−=∧ CDCB

• CDCB ∧

222 273 )()()( −+−+−=∧ CDCB

4499 ++=∧ CDCB

62=∧ CDCB

Voltando a definição:

138

2

CDCB ∧=ΔBCDA

262

=ΔBCDA

c) Calcular a distância do ponto A ao plano BCD.

Ao determinarmos a distância entre o ponto A e o plano BCD, formamos um

tetraedro.

A menor distância entre o ponto A e o plano BCD é uma reta que forma 90º com o

plano BCD. Isso nos dá a altura.

Temos que, o volume do tetraedro é dado por:

h.AV BT 31

= , onde BA é a área do BCDAΔ e h é a altura que queremos

determinar.

Temos também que:

PT VV61

=

Relacionando essas duas expressões temos:

PT VV61

= PV Determinado no item a)

1261 .VT =

2=TV

Substituindo os valores encontrados anteriormente, temos:

139

h.AV BT 31

=

h..262

312 = h é o valor que queremos determinar

h.6212 =

6212

=h , racionalizando temos:

6262

6212 .h =

626212 .

h = , simplificando:

31626 .

h =

d) Calcular a distância de B à reta CD.

Observe que B é um dos vértices do triângulo BCD.

Determinar a distância de B à reta CD significa determinar a altura do triangulo

BCD relativa ao lado CD e o vértice B.

h.b.A21

=Δ , onde b é a base do triângulo, dado pela medida do segmento

DC

Determinando a medida de DC,

140

As coordenadas de DC foram determinadas no início do exercício.

),,( 211 −=CD

222 211 )()()(b +−+== DC

411 ++== DCb

6== DCb

Voltando a h.b.A21

=Δ . Temos que 262

=ΔA e 6=b . Logo:

h.b.A21

=Δ

h.. 621

262

=

h.. 621

262

=

h.662 =

662

=h , racionalizando:

66

662

.h =

6372

=h , fatorando 372, temos:

6932 2 .

h =

6932

=h

393

=h

141

8) Dados aOA = = (1, 1, 0), bOB = = (0, 1, 1) e cOC = = (2, 1, 0), pede-se um vetor

xOP = tal que, simultaneamente:

Resolução

a) x é coplanar com ba ∧ e cb ∧ ;

Determinar inicialmente ba ∧ e cb ∧ ;

1011

110011

jikji=∧ ba ⇒ ),,(jki 111111 −=−+

1210

012110

jikji=∧ cb ⇒ ),,(jki 221221 −−=+−−

Demonstrar que x é coplanar com ba ∧ e cb ∧ equivale a demonstrar que x

pode ser escrito como uma combinação linear de ba ∧ e cb ∧ .

Como temos ),,( 111 −=∧ ba e ),,( 221 −−=∧ cb , basta determinar:

),,(),(),,(),,( βββαααβα 22221111 −−+−⇒−−+−=x

),,( βαβαβα 22 −+−−=x (*) ver item b)

Temos que βα −= (ver final do item B). Logo, substituindo na expressão acima:

),,( βαβαβα 22 −+−−=x

),,( ββββββ 22 −−+−−=x

),,( βββ 332 −−=x

142

b) x é ortogonal a a + c ;

Para x é ortogonal a a + c deve ocorrer 0=+ )(. cax , ou seja, o produto

escalar entre os vetores deve ser igual a zero. Ver definição em 3.1.3.1

0=+ )(. cax

0012011 =+ )),,(),,((.x

0023 =),,(.x

No item a), antes de finalizarmos o exercício, concluímos que

),,( βαβαβα 22 −+−−=x . Observar em (*) no item a)

Substituindo ),,( βαβαβα 22 −+−−=x em 0023 =),,(.x , temos:

0023 =),,(.x

002322 =−+−− ),,(.),,( βαβαβα

Aplicando o conceito de produto escalar, temos:

004233 =++−− βαβα

0=+ βα

βα −=


1) Escrever as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos

P1 = (1, -2, 1) e P2 = (3, 0, -1).

Resolução:

Vimos em 4.2 que uma reta é bem definida, quando conhecemos um ponto e a

direção que é dada pelo vetor diretor:

Inicialmente vamos calcular o vetor diretor:

143

1221 PPPPv −==

),,(),,( 121103 −−−== 21PPv

),,( 222 −−== 21PPv

Logo:

)R(cxzbxyaxx

:r ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

λγγλ

3

2

1,

Onde 321 xex,x são as coordenadas de um dos pontos dados e a, b e c são as

coordenadas do vetor diretor encontrado.

Assim temos:

)R(zyx

:r ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+−=+=

λλλλ

212221

Observe que para definir as equações paramétricas, utilizamos as coordenadas do

ponto P1, mas poderíamos também ter utilizado as coordenadas do ponto P2.

2) Escrever as equações normais da reta r que passa pelos pontos P1 = (3, 0, -1) e P2

= (1, -3, 0).]

Resolução:

Vimos em 4.2 como determinar as Equações normais ou Equações Simétricas de

reta.

As equações simétricas derivam das equações paramétricas.

Então, inicialmente iremos proceder como no exercício anterior.


144

1221 PPPPv −==

),,(),,( 103031 −−−== 21PPv

),,( 132 −−== 21PPv

Logo:

)R(cxzbxyaxx

:r ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+=+=

λγγλ

3

2

1,

Assim temos:

)R(zyx

:r ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=−=−=

λλλλ

113023

Temos que as equações simétricas são dadas por

czz

byy

axx 111 −

=−

=−:r

Então

1(z

30y

23x )1−−

=−−

=−−:r

1z

3y

23x 1+

=−

=−−:r

3) Escrever as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto P = (1, -1, 2) e

tem por vetor diretor k5j2i3u +−= .

Resolução:

k5j2i3u +−= , então u pode ser escrito em coordenadas como:

),,( 523 −=u

145

)R(zyx

:r ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=+=

λλλλ

522131

4) Achar os pontos da reta dada por A = (-3, 3, -2) e B = (6, -3, 1) que têm uma

coordenada nula.

Resolução:


ABABv −==

),,(),,( 233136 −−−−== ABv

),,( 369 −== ABv ou ),,(. 1233 −=v

Dessa forma, as equações paramétrica da reta são:

)R(zyx

:r ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=+=

λλλλ

112336

Para x = 0 temos:

)z,y,(P 0= em )R(zyx

:r ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=+=

λλλλ

112336

Substituindo a coordenada x = 0 na primeira equação paramétrica, temos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=

−=⇒=−⇒+=

λλ

λλλ

1123

236360

zy:r

Substituindo 2−=λ nas equações y e z, temos:

146

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒−=⇒−+=⇒+==⇒+−=⇒−−−=⇒−−=

⇒+=

1212111114322323

360

zz)(.zzyy)(.yy:r

λλλ

Logo )z,y,(P 0=

),,(P 110 −=

Para y = 0 temos:

)z,,x(Q 0= em )R(zyx

:r ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=+=

λλλλ

112336

Substituindo a coordenada y = 0 na segunda equação paramétrica, temos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

−=⇒−=⇒−−=

+=

λ

λλλ

λ

112323230

36

z

x

:r

Substituindo 23

−=λ nas equações x e z, temos:

23

2912

296

233636 =⇒

−=⇒−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=⇒+= xxx.xx λ

21

232

231

231111 −=⇒

−=⇒−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−+=⇒+= zzz.zz λ

Logo )z,,x(Q 0=

),,(Q210

23

−=

Para z = 0 temos:

147

),y,x(T 0= em )R(zyx

:r ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=−−=+=

λλλλ

112336

Substituindo a coordenada z = 0 na terceira equação paramétrica, temos:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=⇒=−⇒+=−−=+=

1111102336

λλλλλ

yx

:r

Substituindo 1−=λ nas equações x e y, temos:

( ) 33613636 =⇒−=⇒−+=⇒+= xx.xx λ

( ) 12312323 −=⇒+−=⇒−−−=⇒−−= yy.yy λ

Logo ),y,x(T 0=

),,(T 013 −=

Os pontos procurados são:

),,(P 110 −= , ),,(Q210

23

−= e ),,(T 013 −=

5) Dados os vértices A = (1, 0, -1), B = (2, 1, 0) e C = (2, 1, 2) de um triângulo ABC,

pedem-se as equações paramétricas da mediana relativa ao vértice A.

148

Resolução:

Temos que M é o ponto médio de BC

(mediana divide o segmento em duas partes iguais)

Definindo as coordenadas de M:

2CBM +

= ⇒ 2

212012 ),,(),,(M += ⇒

2224 ),,(M = ⇒ ),,(M 112=

Temos os seguintes dados:

⎩⎨⎧

=−=

),,(M),,(A

:m112101

Determinando o vetor diretor:

AMAMv −==

),,(),,( 101112 −−== AMv

),,( 211== AMv

Definindo as equações paramétricas da mediana m

)R(zyx

:m ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=+=+=

λλλλ

211011

)R(zyx

:m ∈⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−==

+=λ

λλλ

21

1

149

6) Escrever a equação cartesiana do plano π que passa pelo ponto P1 = (3, 1, 2) e

cuja direção é dada pelos vetores diretores 1)2,(1,ue1)1,(3,u 21 −=−= .

Resolução:

A equação cartesiana ou equação geral do plano te a forma:

0=+++ dzcybxa:π . É isso que devemos obter como resposta!

Além disso, temos que:

Equação cartesiana: P = (x, y, z) ∈ π ⇔ [ ] 0=vu,P,P1

Determinando PP1 , onde P é um ponto qualquer da forma P = (x, y, z)

1PP −=PP1

)2,3,()y,x,(PP1 1−= z

)1,y3,x(PP1 2−−−= z

Calculando [ ] 0=vu,P,P1

2113

13

121113213

−

−−

−−−−− yxzyx

0=

0232131313122 =−−−−−+−−−−−−−− )z(..)y(x)y.(.)x(.)(.)()z(

01261333622 =+−+−−++−+−+− zyxyxz

02174 =+−−− zyx

Multiplicando tudo por (-1), temos:

02174 =−++ zyx:π

7) Escrever a equação cartesiana do plano determinado pelos pontos P1 = (1, 1, 1), P2

= (2, -2, 2) e P3 = (-1, 1, 1).

Resolução:

150

O Plano π fica bem determinado quando conhecemos as coordenadas de um

ponto que pertence a esse plano e pelas coordenadas dos dois vetores diretores

que são determinados pelas coordenadas dos outros dois pontos pertencentes ao

mesmo plano.

Vamos então, inicialmente determinar as coordenadas dos vetores diretores u e v .

12 PP −=u

)1,1,(),2,(u 122 −−=

),1,(u 13−=

13 PP −=v

)1,1,(),,(v 1111 −−=

),,(v 002−=

Equação cartesiana: P = (x, y, z) ∈ π ⇔ [ ] 0=vu,P,P1

Determinando PP1 , onde P é um ponto qualquer da forma P = (x, y, z)

1PP −=PP1

)1,1,()y,x,(PP1 1−= z

)1,y1,x(PP1 1−−−= z

151

Calculando [ ] 0=vu,P,P1

023111

002131

111

−−−−

−−

−−− yxzyx0=

00211000132 =+−−++−−−−−− )(.)(.)y()z(.)(.)(

02266 =+−+− yz

0862 =+−− zy

Simplificando a expressão, dividindo os coeficientes por 2 e multiplicando tudo por

(-1), temos:

043 =−+ zy:π

152

Considerações Finais

Espero que a leitura dessa apostila o auxilie no acompanhamento das aulas

Web e Satélite e seja um marco inicial do aprendizado da disciplina Geometria Analítica, estimulando-o a buscar novas leituras e abordagens do tema aqui tratado

para o enriquecimento de sua formação matemática e aprimoramento profissional.

153

Referências

CAMARGO, J. O. Monteiro de. Cálculo Vetorial. São Paulo: Editora Renascença S. A.,

1946.

EFIMOV, N. Curso Breve de Geometria Analítica. Moscou: Editorial Mir, 1969

Traduzido do Russo por Emiliano Aparício Bernardo.

FEITOSA, Miguel Oliva. Cálculo Vetorial e Geometria Analítica – 4.ed. São Paulo:

Editora Atlas, 1976.

IEZZI, G.. Fundamentos de matemática elementar, 7: geometria analítica. – 4. ed. –

São Paulo: Atual, 1993.

LIMA, Roberto de Barros. Elementos de Álgebra Vetorial. São Paulo: Companhia

Editora Nacional, 1974.

LIMA, R. B.. Elementos de Geometria Analítica. São Paulo: Companhia Editora

Nacional, 1969.

MACHADO, A. S.. Matemática, temas e metas, 5: geometria analítica e polinômios. São Paulo: Atual, 1986.

MELLO, D. A. ; WATANABE, R. G. Vetores e geometria analítica – exercícios. DAG

Gráfica e Editorial LTDA, 1985.

OLIVEIRA, I. C.; BOULOS, P.. Geometria analítica (edição preliminar), fascículo 1,

1978.

SANTOS, N. M. . Vetores e matrizes. – 2. Ed. – Rio de Janeiro: Livros Técnicos e

Científicos, 1975.

154

Apêndice – Referências dos Exercícios

Relação dos Exercícios Utilizados

MELLO, Dorival A. de; WATANABE, Renate G.. Vetores e Geometria Analítica –

Exercícios. DAG Gráfica e Editorial LTDA, 1985

1ª LISTA DE EXERCÍCIOS

1, 2 – pág. 1

3, 4 – pág. 2

5, 12 – pág. 4

6 – pág. 5

11 – pág. 13


1, 2 – pág. 21

3, 4, – pág. 30

5 – pág. 31

6 – pág. 32

7, 8 – pág. 33

155

LIMA, Roberto de Barros. Elementos de Álgebra Vetorial. São Paulo: Companhia

Editora Nacional, 1974


7 – pág. 14

8, 9, 10 – pág. 15

13 – pág. 16


1, 2, 3, 4, 5– pág. 31

6 – pág. 32

7, 8 – pág. 42

156

LIMA, R. B.. Elementos de Geometria Analítica. São Paulo: Companhia Editora

Nacional, 1969.


1, 2, 3 – pág. 30

4, 5 – pág. 31

6, 7 – pág. 61

apostila vetores e geometria analitica

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