apostila de geometria analitica

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apostila da disciplina de Clculo e Dif. I

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1 Filipe Rodrigues de S. Moreira Graduando em Engenharia Mecnica Instituto Tecnolgico de Aeronutica (ITA) (Fevereiro 2005) Geometria Analtica Captulo I. Introduo A Geometria, como cincia dedutiva, foi criada pelos gregos, mas apesar do seu brilhantismo faltava operacionabilidade.Infelizmenteistosfoiconseguidomediantealgebracomoprincpiounificador.Os gregos, porm, no eram muito bons em lgebra. Mais do que isso, somente no sculo XVII a lgebra estaria razoavelmente aparelhada para uma fuso criativa com a geometria. Ocorre porm que o fato de haver condies para uma descoberta no exclui o toque de genialidade de algum.Enocasodageometriaanaltica,frutodessafuso,omritonofoideumaspessoa.Dois franceses,PierredeFermat(1601-1665)eRenDescartes(1596-1650),curiosamenteambosgraduadosem Direito,nenhumdelesmatemticoprofissional,soosresponsveisporessegrandeavanocientfico:o primeiro movido basicamente por seu grande amor, a matemtica e o segundo por razes filosficas. E, diga-sedepassagem,notrabalharamjuntos:ageometriaanalticaumdosmuitoscasos,emcincia,de descobertas simultneas e independentes. Se o bem-sucedido Pierre de Fermat zeloso e competente conselheiro junto ao Parlamento de Toulouse dedicavamuitasdesuasmelhoreshorasdelazermatemtica,certamentenoeraporquefaltasseoutra maneiradepreencheroseutempodisponvel.NaverdadeFermatsimplesmentenoconseguiafugirsua verdadeira vocao e, apesar de praticar matemtica como hobby, nenhum de seus contemporneos contribuiu tanto para o avano desta cincia quanto ele. Alm da geometria analtica, Fermat teve papel fundamental na criao do Clculo Diferencial, do Clculo de Probabilidades e, especialmente, da teoria dos nmeros, ramo da matemtica que estuda as propriedades dos nmeros inteiros. Acontribuio deFermatgeometriaanalticaencontra-senumpequenotextointituladoIntroduo aos Lugares Planos e Slidos (1636 no mximo) que s foi publicado em 1679, postumamente, junto com sua obra completa. que Fermat, bastante modesto, era avesso a publicar seus trabalhos. Disso resulta, em parte, o fato de Descartes comumente ser mais lembrado como criador da Geometria Analtica. O interesse de Descartes pela matemtica surgiu cedo, no College de la Fleche, escola do mais alto padro, dirigida por jesutas, na qual ingressar aos oito anos de idade. Mas por uma razomuito especial e quejrevelavaseuspendoresfilosficos:acertezaqueasdemonstraesoujustificativasmatemticas proporcionam.Aosvinteeumanosdeidade,depoisdefreqentarrodasmatemticasemParis(almde outras)jgraduadoemDireito,ingressavoluntariamentenacarreiradasarmas,umadaspoucasopes dignas que se ofereciam a um jovem como ele, oriundo da nobreza menor da Frana. Durante os quase nove anos que serviu em vrios exrcitos, no se sabe de nenhuma proeza militar realizada por Descartes. que as batalhas que ocupavam seus pensamentos e seus sonhos travavam-se no campo da cincia e da filosofia. A Geometria Analtica de Descartes apareceu em 1637 no pequeno texto chamado A Geometria como umdos trs apndices do Discurso do mtodo, obra considerada o marco inicial da filosofia moderna. Nela, emresumo,Descartesdefendeomtodomatemticocomomodeloparaaaquisiodeconhecimentosem todos os campos. AGeometriaAnaltica,comohoje,poucoseassemelhascontribuiesdeixadasporFermate Descartes. Inclusive sua marca mais caracterstica, um par de eixos ortogonais, no usada por nenhum deles. Mais,cadaumaseumodo,sabiaqueaidiacentraleraassociarequaesacurvasesuperfcies.Neste particular, Fermat foi mais feliz. Descartes superou Fermat na notao algbrica.

HYGINO H. DOMINGUES 2 Captulo II. Introduo ao 2e estudo do ponto.

Sejam os conjuntos{1, 2} B =e{3, 4} A = . De certo, so conjuntos finitos, de nmeros reais e com o auxlio da reta real, podemos facilmente representar graficamente os seus elementos. conhecida uma operao entre conjuntos, chamada produto cartesiano, a qual produz como resultado umoutroconjunto,emqueosnovoselementossoentidadesmatemticas,formadasporduaspartes,uma oriunda do conjunto A e outra do conjunto B. Essa entidade matemtica denominada par ordenado. Vamos explicitar o resultado do produto cartesiano entre os conjuntos A e B.{(3,1) , (3, 2) , (4,1) , (4, 2)} A B = . Veja quenoselementosde A B ,oprimeironmeronoparordenadoadvindodoconjuntoAenquantoqueo segundoveiodoconjuntoB.VamosdefinirumamaneiraderepresentaroconjuntoA B eparaisso utilizaremos tambm retas reais, porm numa disposio diferente. Veja!!! Utilizando-sederetasreaispodemosrepresentaresse resultado do conjunto A B , porm a questo que essas retas reais estodispostasconvenientemente,umaperpendicularoutra.A essas retas, nessa disposio, chamamos eixos coordenados. Na reta queestnaposiohorizontal,representaremososelementos advindos do conjunto A e na reta vertical os elementos advindos do conjuntoB.Comopodemosperceber,osquatroelementosdo conjuntoA B foram representados fazendo-se o cruzamento de um nmero advindo do conjunto A com o seu respectivo no conjunto B. SuponhaagoraqueoconjuntoAsejadotipo:{ / 3 4} A x R x = equeoconjuntoBsejaexpressoda forma{ /1 2} B x R x = .FazendoagoraaoperaoA B ,chega-seemumanovafiguramostradaa seguir: Comopodemosperceberoresultadodessaoperaofoiuma regio,umcontornogeomtricofechadoeseuinterior.Agora imaginaoqueacontecesedefinirmosoconjuntoAcomosendoos reaiseoconjuntoBtambm.Comodeseesperar,sefizermoso produtocartesianodosreaiscomoprprioconjuntodosreais, teremosoquechamamosdeplanocartesianoouaindade 2 .A partir daqui, se pode definir o que chamamos de ponto com sendo o resultadodoprodutocartesianoentredoisconjuntosunitrios,ou aindacomosendoumelementodeprodutocartesianoentredois conjuntos no vazios. Opontopodeserentendidocomooendereodecertaposionumdadoplano.Comosepode representar pontos com pares de nmeros reais, possvel definir operaes algbricas com esses pontos. Bumpontoqualquer,doplanoXOYeparacadaBest assossiadoumparordenado,paressequerepresentadodaseguinte forma:(xb ,yb) onde xb a posio relativa ao eixo X e yb a posio relativa ao eixo Y.Comoditoacima,opontorepresentadonoeixocartesiano porumacoordenadax,denominadadeabscissaeumacoordenaday, 3 chamada ordenada. Dizemos que dois pontos so iguais quando acontece a seguinte propriedade: ( , ) ( , )A A B B A B A BA x y Bx y x x e y y = = = II.1 - Distncia entre dois pontos Sejam A(xA ,yA) e C(xC ,yC) dois pontos do plano. A distncia entre esses dois pontos exatamente ovalordahipotenusadotringuloABCmostradoabaixo.Logoseconseguirmosdeterminarovalordos catetos,utilizandooTeoremadePitgoras,serpossvelacharessadistncia.Logo,comoocateto C AAB x x = e o cateto C ABC y y = , aplicando o Teorema de Pitgoras vm:

2 2,( ) ( )A C A C A Cd x x y y = + R1) Uma formiga est sobre uma mesa e o ponto inicial que ela se encontra o ponto P(2, 3). Ela caminha em linha reta e para no ponto Q(-6, -3).Calcular a distncia que a formiga andou. Soluo:Aplicando a frmula da distncia entre dois pontos, chegamos distncia que a formiga andou. 2 2,( ) ( )P Q P Q P Qd x x y y = + =2 2 2 2(2 ( 6)) (3 ( 3)) 8 6 + = + = 64 36 10 + = R2) Duas circunferncias so tangentes externamente. O centro de uma circunferncia est no ponto C1(3, 5) e o centro da outra est no ponto C2(0, 1). Calcule a soma dos raios dessas circunferncias. Soluo: Foi dito que essas circunferncias so tangentes externamente, logo a soma dos raios exatamente a distncia entre C1 e C2. 1 2 1 22 2,( ) ( )P Q C C C Cd x x y y = + =2 2(3 0) (5 1) 9 16 25 5 + = + = = P1-) Calcule a distncia entre os pontos abaixo: a) P(0, 0)eQ(3, 4)b) P(1, 13)eQ(6, 1) c) P(7, 0)eQ(1, 8) d) P(-6, 13) e Q(-1, 1) P2-)DadoumtringuloABC,comvrticesA(0, 0), B(12, 5) e C(3, 4). Calcule o seu permetro. P3-)Sejaumhexgono,talque,A(10,0),B(5, 3 5 ),C(-5,3 5 ),D(-10,0),E(-5,- 3 5 )eF(5,-3 5 ),soseusvrtices.Determineosvaloresdas 4 diagonais AC, BD, CE, DF, EA e FB. O que pode-se concluir sobre esse hexgono? P4-) Determine os valores de x e y que tornam A e B o mesmo ponto: a) A(1+ x, y - 2x + 2)eB(-3, -1 + 3y). b) A(2x + y,y - 5 )eB(x2 4, 2y - 9). c) A(x y 3 , x + y 3)eB(2x ,3y). P5-)Sabe-sequeascoordenadasdobaricentrode um tringulo qualquer so dadas por: 3C B AGx x xx+ += e 3C B AGy y yy+ += . Calculeascoordenadasdobaricentrodeum tringuloABC,comvrticesA(-6,0),B(6,0)e C(0,3 6 ).Mostre que GA = GB = GB =3 4 . II.2 - Razo de seco Esse assunto tem sido pouco explorado nas provas em geral, mas em contra partida, embora seja um assunto relativamente simples, quando cobrado poucos candidatos acertam a questo. Isso a acontece devido principalmentefaltaderigoredidatismodoslivrosqueesseassunto.Aidiaaquiquevocpercebao conceito que est por trs desse assunto e assim a sua compreenso vai ser automtica. Tem-se um dado segmento AC de extremos A(xa ,ya)e C(xc ,yc). Queremos determinar um ponto B, sobre a reta que contm o segmentoAC(veja que B est sobre a reta e no necessariamente no segmento), tal quearelaorBCAB= sejamantida.Vamosexplicaroqueessarelaoapresentadaquerdizer:quando escrevemos querBCAB= , estamos querendo passar a informao de que o tamanhoAB r vezes maior que otamanhoBC .Oproblemaqueemalgumasprovasoficiais,foicobradoesseconceito,porm,comum valornegativoparar.Apartirdessemomentoessanotao rBCAB= setorna,naverdade,umabusode linguagem e uma falta de rigor, porque o que significa a diviso entre dois tamanhos ser negativa ? De fato, quando se pensa em tamanhos se trata de um absurdo, porm podemos dar um tratamento mais elegante essa questo considerandoAB , no como segmento mas sim como um vetor. Ainda assim a expresso rBCAB= umaheresiamatemtica,poisnosedefiniumadivisodevetores,logo,umamaneiramaisformaldese formular esse enunciado usando a expresso. AB r BC =uuur uuur. Fazendo desse jeito, at a questo simplificada, poispossvelresolver o problemadeumasvez(tantoparaotermoemxcomoparaotermoemy). Veja:. AB r BC =uuur uuur. Assim, temos:) ( B C r A Br r r r = isolando B chegamos aCrrArBr r r|.|

\|++|.|

\|+=1 11. 5 Esse resultado significa que a relao entre Bx , Axe Cx dada por: C A Bxrrxrx |.|