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  • www.im.ufrj.br/cvga

    CALCULO VETORIAL&

    GEOMETRIA ANALITICAlivro 3: conicas & Teorema Espectral

    Felipe Acker

    Instituto de MatematicaUniversidade Federal do Rio de Janeiro

    marco de 2016

    http://www.im.ufrj.br/cvga/

  • copyright c2016 by Felipe Acker

    Este trabalho foi contemplado com auxlio financeiro, no ambito do edital de Apoio aproducao de material didatico para atividades de ensino e/ou pesquisa, 2014, da

  • Sumario

    Prefacio i

    I CONICAS 1

    1 Curvas e superfcies 3

    2 As conicas 11a Teoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12b Escolios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

    3 Tangentes 27a Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27b Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29c Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31d Espelhos, acustica e telecomunicacoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    4 Equacoes parametricas para as conicas 35a Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35b Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36c Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37d O seno e o cosseno hiperbolicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5 Conicas em coordenadas polares 41

    6 Equacao geral de uma conica 47a Conicas sao dadas por equacoes do segundo grau . . . . . . . . . . . . . 47b Sera a recproca verdadeira? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    7 Rodando os eixos 53

    8 Conicas e equacoes do segundo grau 57

    9 Imagem de conica por transformacao linear 59

    10 Conicas em perspectiva 63a Uma abordagem direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63b Reenunciando e redemonstrando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    iii

  • 11 Quantos pontos definem uma conica? 69a Quantos pontos tem a intersecao de duas conicas? . . . . . . . . . . . . . 69b Por 5 pontos sempre passa uma conica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

    12 Diametros 73a Elipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73b Hiperboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    II TEOREMA ESPECTRAL 81

    13 Classificacao das curvas do 2o grau, de novo 83

    14 Matrizes transpostas e matrizes simetricas 87

    15 O Teorema Espectral em dimensao 2 91

    16 Uma outra abordagem 95a O polinomio caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95b Outra demonstracao do Teorema Espectral, em dimensao 2 . . . . . . . . 96c O caso tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

    17 As superfcies quadricas 101a O elipsoide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101b Os hiperboloides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103c O paraboloide elptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105d O paraboloide hiperbolico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105e Os cilindros conicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106f O hiperboloide de uma folha e regrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    18 Isometrias 109a Transformacoes isometricas com ponto fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . 109b Isometrias lineares no plano e no espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110c O caso geral, em dimensao tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

    19 Polinomios 117a O polinomio mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117b Fatoracao de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

    20 O Teorema Espectral 121a Estrategia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121b Demonstracao do Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122c A decomposicao em valores singulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123d A decomposicao polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125e A forma de Schur e o Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . 126

    Indice Remissivo 128

  • Prefacio

    Este terceiro livro do Calculo Vetorial e Geometria Analtica tem duas partes, distintasmas sutilmente relacionadas. A primeira trata das conicas. Sem a pretensao de cobriro vasto territorio que esse assunto foi ocupando ao longo de dois milenios, limitamo-nos a indicar como a Algebra Linear pode tornar surpreendentemente simples algunsresultados nada evidentes. A segunda parte tem como eixo o Teorema Espectral.

    A primeira parte comeca tratando as conicas do ponto de vista da Geometria Sintetica,para depois introduzir a versao da Geometria Analtica, com pitadas de AlgebraLinear (nos ultimos anos o tratamento das conicas com ferramentas puramentegeometricas tem sido algo negligenciado, no ensino medio, a ponto de ser, em geral,suprimida a propria relacao entre conicas e cones). Na segunda parte, comecamosfazendo o Teorema Espectral em dimensoes 2 e 3, o que permite classificar assuperfcies, ditas quadricas, definidas em IR3 por equacoes do segundo grau. Se,no livro 2, nao nos limitamos ao IR3, e natural que, aqui tambem, generalizemosnosso Teorema ao IRn. Aproveitando a viagem, inclumos a Decomposicao emValores Singulares (enfatizando a relacao com um famoso Teorema de Apolonio sovrediametros conjugados de elipses), a Decomposicao Polar, a Forma de Schur e oTeorema de Cayley-Hamilton. Os vdeos das aulas podem ser acessados a partir dapagina www.im.ufrj.br/cvga.

    Agradeco mais uma vez ao colega Dinamerico Pombo Jr. pela revisao do texto (e, maisuma vez, assumo os erros que introduzi, alterando posteriormente o que ja pareciafechado), e a Bernardo da Costa, Monique Carmona, Orestes Piermatei Filho, RicardoRosa e Umberto Hryniewicz, pelas diversas ajudas. A parceria com Waldecir Bianchini,neste livro, se estreitou: Waldecir fez algumas das figuras e tambem ajudou na revisao;mas, principalmente, construiu applets tridimensionais que devem ajudar o leitor aenxergar algumas das ideias mais cabeludas apresentadas no texto.

    Felipe AckerSanta Teresa, fevereiro de 2016

    i

    http://www.im.ufrj.br/cvga

  • Parte I

    CONICAS

    1

  • Captulo 1

    Curvas e superfcies

    Curvas e superfcies sao especies particulares de subconjuntos do plano: curvas temcomprimento, superfcies tem area; curvas tem uma dimensao, superfcies tem duasdimensoes. Para dar uma primeira ideia do que vem a ser, no caso, essa historia dedimensao, podemos dizer que curvas sao descritas por um parametro e superfciessao descritas por dois parametros.

    Mas deixemos de lado, por ora, o conceito de dimensao, concentremo-nos na ideia delugar geometrico: um subconjunto de pontos do plano ou do espaco que satisfazem auma (ou mais) propriedade(s) dada(s).

    Exemplo 1: Crculo

    O crculo (em IR2) de centro (xo, yo) e raio R (sendo R um numero real positivo) e

    c ={(x, y) IR2 |

    (x xo)2 + (y yo)2 = R

    }.

    Como R e positivo, a equacao que define c e equivalente a

    (x xo)2 + (y yo)2 = R2.

    E importante compreender que o que caracteriza a Geometria Analtica nao e o uso decoordenadas, mas a utilizacao da Algebra: as propriedades geometricas sao traduzidasalgebricamente por meio de equacoes e as operacoes geometricas sao substitudas poroperacoes algebricas (em seguida esta ideia se expande: utilizamos funcoes quaisquere as operacoes da Analise, derivacao e integracao, o que da origem ao que e hojechamado Geometria Diferencial).Exerccio 1.1 Considere o crculo

    ={(x, y) IR2 | x2 + y2 = 1

    }e a reta

    r ={(x, y) IR2 | ax + by + c = 0

    },

    3

  • 4 Captulo 1: Curvas e superfcies

    sendo a, b e c numeros reais fixos, com a2 + b2 6= 0. Quantos pontos pode ter r? Discuta oproblema do ponto de vista algebrico e do ponto de vista geometrico (sabendo que o problema geometricotem, nenhuma, uma ou duas solucoes, conclua que o mesmo se pode dizer do correspondente problemaalgebrico, mesmo sem fazer as contas; reciprocamente, sabendo, das contas, que o problema algebrico temnenhuma, uma ou duas solucoes, conclua que mesmo quem nao sabe nada de Geometria deve concordarque o correspondente problema geometrico tem nenhuma, uma ou duas solucoes).

    Exemplo 2: Esfera

    A esfera S de centro (xo, yo, zo) e raio R e dada por

    S ={(x, y, z) IR3 | (x x0)2 + (y yo)2 + (z zo)2 = R2

    }.

    Exemplo 3: Mediatriz

    Dados os pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2), sua mediatriz e o conjunto dos pontosque equidistam de P1 e P2:

    m ={(x, y) IR2 |

    (x x1)2 + (y y1)2 =

    (x x2)2 + (y y2)2

    }.

    Exerccio 1.2 Mostre que a equacao que define a mediatriz e equivalente a uma equacao polinomial doprimeiro grau (afinal, a mediatriz e uma reta!).

    Exemplo 4: Crculo de Apolonio

    Dados os pontos P1 = (x1, y1) e P2 = (x2, y2) e o numero positivo k, considere oconjunto formado pelos pontos P do plano tais que PP1 = kPP2. Nosso conjunto, , edado por

    =

    {(x, y) IR2 |

    (x x1)2 + (y y1)2 = k

    (x x2)2 + (y y2)2

    }.

    E claro que, quando k = 1, e a mediatriz. A questao e entender quem e , nos casosem que k 6= 1.

    Exerccio 1.3 Mostre, algebricamente, que, caso k 6= 1, e um crculo (dito crculo de Apolonio).Veja a demonstracao geometrica a seguir.

    Demonstracao geometrica:

    Se B e o ponto entre P1 e P2 tal que

    BP1 = BP2,

  • 5

    Figura 1.1: crculo de Apolonio de P1 e P2, razao k

    e P e um ponto de , entao B e a intersecao com a reta P