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Exerccios de Matemtica Geometria Analtica - Circunferncia

1) (Unicamp-2000) Sejam A e B os pontos de interseco da parbola y = x

2 com a circunferncia de centro na origem

e raio 2 . a) Quais as coordenadas dos pontos A e B?

b) Se P um ponto da circunferncia diferente de A e de B,

calcule as medidas possveis para os

ngulos A P B.

2) (UFPR-1998) Em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, considere a circunferncia de equao x

2 + y

2 =

25, na qual est inscrito um quadrado com lados paralelos

aos eixos coordenados. Ento, correto afirmar:

01. Uma das diagonais do quadrado est contida na

reta de equao x + y = 0 .

02. O ponto (-3, 4) no pertence circunferncia.

04. A reta de equao 3x + 4y + 25 = 0 tangente

circunferncia.

08. O volume do slido de revoluo obtido pela

rotao do quadrado em torno de uma de suas diagonais

igual a 250 unidades de volume.

16. O cilindro de revoluo obtido pela rotao do

quadrado em torno do eixo x tem altura igual diagonal do

quadrado.

Marque como resposta a soma dos itens corretos.

3) (Unifesp-2003) A figura representa, em um sistema ortogonal de coordenadas, duas retas, r e s, simtricas em

relao ao eixo Oy, uma circunferncia com centro na

origem do sistema, e os pontos A = (1, 2),

B, C, D, E e F, correspondentes s intersees das retas e

do eixo Ox com a circunferncia.

Nestas condies, determine

a) as coordenadas dos vrtices B, C, D, E e F e a rea do

hexgono ABCDEF.

b) o valor do cosseno do ngulo AB.

4) (Unicamp-1999) Uma reta intersecciona nos pontos A (3, 4) e B (-4, 3) uma circunferncia centrada na origem.

a) Qual o raio dessa circunferncia?

b) Calcule a rea do quadriltero cujos vrtices so os

pontos A e B e seus simtricos em relao origem.

5) (Fatec-2002) A circunferncia que passa pelos pontos O = (0, 0), A = (2, 0) e B = (0, 3) tem raio igual a:

a) 4

11

b) 2

11

c) 4

13

d) 2

13

e) 4

17

6) (Fuvest-2000) Uma circunferncia passa pelos pontos (2, 0), (2, 4) e (0, 4). Logo, a distncia do centro dessa

circunferncia origem :

a) 2

b) 3

c) 4

d) 5

e) 6

7) (UFC-2004) Determine o valor da constante a de modo que o sistema de equaes

az4y3x

4zyx 22

tenha soluo real nica.

8) (UDESC-1996) DETERMINE a equao da circunferncia que passa pelos pontos A(5,5), B(-3,1) e

C(2,-4). COMENTE as etapas durante a resoluo da

questo.

9) (FUVEST-2010) No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, esto representados a

circunferncia de centro na origem e raio 3, bem como o

grfico da funo


Nessas condies, determine

a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseo da

circunferncia com o grfico da funo.

b) a rea do pentgono OABCD.

10) (UNIFESP-2007) Em um plano cartesiano, seja T o tringulo que delimita a regio definida pelas inequaes y

2, x 0 e x y 2. a) Obtenha as equaes de todas as retas que so

eqidistantes dos trs vrtices do tringulo T.

b) Obtenha a equao da circunferncia circunscrita ao

tringulo T, destacando o centro e o raio.

11) (FUVEST-2006) a) Determine os pontos A e B do plano

cartesiano nos quais os grficos de y = x

12

-1 e x + y - 6 =

0 se interceptam.

b) Sendo O a origem, determine o ponto C no quarto

quadrante que satisfaz AB = BCA

e que pertence reta x

= 2.

12) (UERJ-1998)

(O Estado de So Paulo, 16/08/97)

Considere os pontos A, B e C nas condies mencionadas

na tirinha.

a) Se A, B e C pertencem a uma mesma reta, calcule a

distncia entre A e C quando:

A est situado entre B e C;

A est situado fora do segmento BC.

b) Se A, B e C estiverem no plano cartesiano, sendo A um

ponto mvel, B um ponto do semi-eixo positivo das

abscissas (x) e C a origem (0,0), determine a equao da

linha descrita pelo ponto A e identifique a curva

correspondente.

13) (Unicamp-1994) a) Identifique as circunferncias de equaes x

2 + y

2 = x e x

2 + y

2 = y, calculando o raio e o

centro das mesmas. Esboce seus grficos.

b) Determine os pontos de interseco dessas

circunferncias e mostre que as retas a elas tangentes em

cada um desses pontos so perpendiculares entre si.

14) (UFC-1998) Considere o conjunto de todas as cordas de comprimento 2 da circunferncia x

2 + y

2 -2x -4y -7 = 0. O

conjunto dos pontos mdios destas cordas forma uma curva

cuja equao :

a) (x-1)2 + (y-2)

2 = 11

b)1

4

2)(y

9

1)(x 22

c) (x-1)2 + (y-2)

2 = 4

d) 1

9

2)(y

4

1)(x 22

e) (x-1)2 + (y-2)

2 = 3

15) (Mack-2002) A melhor representao grfica dos pontos

(x, y) tais que x + 3 = 2y1

:


16) (FUVEST-2009) Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferncia C de equao (x - 2)

2 + (y - 2)

2 = 4 e sejam P

e Q os pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy,

respectivamente.

Seja PQR o tringulo issceles inscrito em C, de base PQ, e

com o maior permetro possvel.

Ento, a rea de PQR igual a

a) 2 2 - 2

b) 2 2 -1

c) 2 2

d) 2 2 + 2

e) 2 2 + 4

17) (Mack-2007) Considere os pontos A e B, do primeiro quadrante, em que a curva x

2 + y

2 = 40 encontra a curva x.y

= 12. A equao da reta AB

a) x + y . 8 = 0

b) x . y . 8 = 0

c) 2x + y . 8 = 0

d) x . 2y + 8 = 0

e) x + 3y . 8 = 0

18) (FUVEST-2008) A circunferncia dada pela equao x2 + y

2 4x 4y + 4 = 0 tangente aos eixos coordenados x e

y nos pontos A e B, conforme a figura.

O segmento MN paralelo ao segmento AB e contm o

centro C da circunferncia. correto afirmar que a rea da

regio hachurada vale

a) - 2

b) + 2

c) + 4

d) + 6

e) + 8

19) (FATEC-2006) Num sistema de eixos cartesianos

ortogonais, considere a circunferncia e a reta r, de equaes x

2 + y

2 - 6x + 2y + 6 = 0 e 3x + 7y - 21 = 0.

A reta s, que paralela a r e contm o centro de , tem equao:

a) 3x + 7y - 2 = 0

b) 3x - 7y - 2 = 0

c) 3x - 7y + 5 = 0

d) 3x + 7y - 16 = 0

e) 7x + 3y - 2 = 0

20) (Vunesp-2005) A reta r de equao y = 2

x

intercepta a

circunferncia de centro na origem e raio 5 em dois pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P so ambas

positivas. Determine:

a) a equao da circunferncia e os pontos P e Q;

b) a equao da reta s, perpendicular a r, passando por P.

21) (FGV-2005) No plano cartesiano, a circunferncia que passa pelo ponto P(1, 3) e concntrica com a

circunferncia x2 + y

2 - 6x - 8y - 1 = 0 tem a seguinte

equao:

a) x2 + y

2 + 6x + 8y - 40 = 0

b) x2 + y

2 - 3x - 4y + 5 = 0

c) x2 + y

2 - 6x - 8y + 20 = 0

d) x2 + y

2 + 3x + 4y - 25 = 0

e) x2 + y

2 - 3x + 4y - 19 = 0

22) (ITA-2005) Uma circunferncia passa pelos pontos A = (0, 2), B = (0, 8) e C = (8, 8). Ento, o centro da

circunferncia e o valor de seu raio, respectivamente, so

a) (0, 5) e 6..

b) (5, 4) e 5.

c) (4, 8) e 5,5.

d) (4, 5) e 5

e) (4, 6) e 5.

23) (Fatec-2003) Na figura abaixo os pontos A, B e C esto representados em um sistema de eixos cartesianos

ortogonais entre si, de origem O.


verdade que a equao da

a) circunferncia de centro em B e raio 1 x2 + y

2 - 8x - 6y

+ 24 = 0.

b) circunferncia de centro em B e raio 1 x2 + y

2 - 6x - 4y

+ 15 = 0.

c) reta horizontal que passa por A y = 2.

d) reta que passa por C e paralela bissetriz do 1o

quadrante x - y - 2 = 0.

e) reta que passa por C e paralela bissetriz do 1o

quadrante x + y - 2 = 0.

24) (Vunesp-1995) Considere o quadrado de lados paralelos aos eixos coordenados e circunscrito circunferncia de

equao: x2 + y

2 - 6x - 4y + 12 = 0. Determine as equaes

das retas que contm as diagonais desse quadrado.

25) (UEL-1996) Considere os pontos A(0;0), B(2;3) e C(4;1). O segmento BC um dimetro da circunferncia de

equao:

a) x2 + y

2 + 6x + 4y + 11 = 0

b) x2 + y

2 - 6x - 4y + 11 = 0

c) x2 + y

2 - 4x + 9y + 11 = 0

d) x2 + y

2 - 6x - 4y + 9 = 0

e) x2 + y

2 - 4x - 9y + 9 = 0

26) (PUC-SP-1996) A reta de equao y = 2x - 4 intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B. Esses pontos so os

extremos de um dimetro da circunferncia . A equao

correspondente a : a) x

2 + y

2 - 2x + 4y - 5 = 0

b) x2 + y

2 - 2x + 4y = 0

c) 2x2 + 4y

2 + 2x + 4y + 5 = 0

d) x2 + y

2 + 2x + 2y + 1 = 0

e) x2 + y

2 + 6x + 3y - 4 = 0

27) (UFSCar-2003) Dados os pontos A(2,0), B(2,3) e C(1,3), vrtices de um tringulo, o raio da circunferncia

circunscrita a esse tringulo

a) 3

10

b) 3

10

c) 2

2

d) 2

10

e) 10

28) (Vunesp-2003) Considere a circunferncia , de equao (x-3)

2 + y

2 = 5.

a) Determine o ponto P = (x, y) pertencente a , tal que y = 2 e x > 3.

b) Se r a reta que passa pelo centro (3, 0) de e por P, d a equao e o coeficiente angular de r.

29) (UFC-2003) O segmento que une os pontos de interseo da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos coordenados

determina um dimetro de uma circunferncia. A equao

dessa circunferncia :

a) (x - 1)2 + (y - 2)

2 = 5

b) (x - 1)2 + (y - 2)

2 = 20

c) (x - 1)2 + (y - 2)

2 = 25

d) (x + 1)2 + (y + 2)

2 = 5

e) (x + 1)2 + (y + 2)

2 = 20

30) (PUC-SP-2003) Seja x2 + y2 + 4x = 0 a equao da circunferncia de centro Q representada no plano cartesiano

ao lado. Se o quadrado PQMN tem os vrtices Q e M sobre

o eixo das abscissas e o vrtice N pertence circunferncia,

o ponto N dado por

a)( 2 -2; 2 )

b) (- 2 +2; 2 )

c) ( 2 -2; 2)

d) (- 2 -2; 2- 2 )

e) (- 2 ; 2- 2 )

31) (Unicamp-1997) Os ciclistas A e B partem do ponto P(-1, 1) no mesmo instante e com velocidades de mdulos

constantes. O ciclista A segue a trajetria descrita pela

equao 4y - 3x - 7 = 0 e o ciclista B, a trajetria descrita

pela equao x2 + y

2 - 6x - 8y = 0. As trajetrias esto no

mesmo plano e a unidade de medida de comprimento o

km. Pergunta-se:


a) Quais as coordenadas do ponto Q, distinto de P, onde

haver cruzamento das duas trajetrias?

b) Se a velocidade do ciclista A for de 20 km/h, qual dever

ser a velocidade do ciclista B para que cheguem no mesmo

instante ao ponto Q?

32) (AFA-1998) A rea da interseco das regies do plano

cartesiano limitada por x2 + (y -4)

2 25 e y

13x4

a) 29

b) 217

c) 225

d) 231

33) (AFA-1999) Os pontos A(-5,2) e B(1,6) so extremos de um dos dimetros da circunferncia de equao

a) x2 + y

2 - 2y - 25 = 0.

b) x2 + y

2 + 4x - 8y + 7 = 0.

c) x2 + y

2 - 4x + 4y - 57 = 0.

d) x2 + y

2 + 8x - 14y + 39 = 0.

34) (FAZU-2002) Dada a circunferncia de equao x2 + y2 - 2x + 6y = 6, considere as afirmativas:

I. o dimetro da circunferncia igual a 8 unidades

de comprimento.

II. o centro da circunferncia o ponto C(1, -2)

III. o ponto (-1, -1) interior circunferncia

IV. o ponto (4, -5) exterior circunferncia

Assinale a opo correta

a) apenas IV falsa

b) I e III so verdadeiras

c) todas so verdadeiras

d) I e IV so verdadeiras

e) todas so falsas

35) (Vunesp-2000) Seja S = {(x, y) R2: x2 + y2 16 e x2

+ (y - 1)2 9} uma regio do plano. A rea de S :

a) 5.

b) 7.

c) 5.

d) 7.

e) 72.

36) (UFSCar-2002) O raio da circunferncia inscrita em um tringulo de lados a, b e c pode ser calculado pela frmula

r = p

c)b)(pa)(p(p

, onde p o semi-permetro do

tringulo. Os catetos de um tringulo retngulo medem 3 e

4 e esto sobre os eixos cartesianos, conforme a figura.

Determine nesse tringulo

a) o raio da circunferncia inscrita.

b) a equao da circunferncia inscrita.

37) (Fuvest-1994) A reta s passa pelo ponto (0,3) e perpendicular reta AB onde A=(0,0) e B o centro da

circunferncia x2+y

2-2x-4y=20. Ento a equao de s :

a) x- 2y = - 6

b) x + 2y = 6

c) x + y = 3

d) y - x = 3

e) 2x + y = 6

38) (Unicamp-1998) Se z = x+iy um nmero complexo, o nmero real x chamado parte real de z e indicado por

Re(z), ou seja, Re(x+iy) = x.

a) Mostre que o conjunto dos pontos que satisfazem

equao Re( 2z2iz

) = 21

, ao qual se acrescenta o ponto

(2,0), uma circunferncia.

b) Ache a equao da reta que passa pelo ponto (-2, 0) e

tangente quela circunferncia.

39) (Fuvest-2004) Na figura abaixo, os pontos A, B e C so vrtices de um tringulo retngulo, sendo B o ngulo reto.


Sabendo-se que A = (0, 0), B pertence reta x - 2y = 0 e P

= (3, 4) o centro da circunferncia inscrita no tringulo

ABC, determinar as coordenadas

a) do vrtice B.

b) do vrtice C.

40) (Fuvest-2003) a) A reta r passa pela origem do plano

cartesiano e tem coeficiente angular m 0. A circunferncia C passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem

centro no eixo x. Para qual valor de m a reta r tangente a

C?

b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele

determinado no item anterior. Calcule a rea do tringulo

determinado pelo centro de C e pelos pontos de interseco

de r com C.

41) (Fuvest-1996) Considere o tringulo ABC, onde A = (0,4), B=(2,3) e C um ponto qualquer da circunferncia

x2+y

2 = 5. A abscissa do ponto C que torna a rea do

tringulo ABC a menor possvel :

a) -1

b) -3/4

c) 1

d) 3/4

e) 2

42) (FUVEST-2010) No plano cartesiano Oxy, a reta de equao x + y = 2 tangente circunferncia C no ponto

(0,2). Alm disso, o ponto (1,0) pertence a C. Ento, o raio

de C

a) 2

23

b) 2

25

c) 2

27

d) 2

29

e) 2

211

43) (UFSCar-2009) Seja () a curva x2 + y2 12x 16y + 75 = 0, e os pontos P(0, 0) e Q(12, 16).

a) Faa em seu caderno de respostas o plano cartesiano

ortogonal (x, y) e represente nele a curva () e os pontos P e Q.

b) Calcule o comprimento do menor caminho de P a Q que

no passe pela regio do plano determinada por x2 + y

2

12x 16y + 75 < 0.

44) (FUVEST-2008) So dados, no plano cartesiano de origem O, a circunferncia de equao x

2 + y

2 = 5 , o ponto

P = (1, 3 ) e a reta s que passa por P e paralela ao eixo y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta s

intercepta a circunferncia.

Assim sendo, determine

a) a reta tangente circunferncia no ponto E.

b) o ponto de encontro das alturas do tringulo OPE.

45) (ITA-2005) Seja C a circunferncia de centro na origem, passando pelo ponto P = (3, 4). Se t a reta tangente a C

por P determine a circunferncia C de menor raio, com centro sobre o eixo x e tangente simultaneamente reta t e

circunferncia C.

46) (UFMG-1998) Observe a figura:

Nessa figura, a circunferncia tangencia a reta da equao y

= 2x no ponto P de abscissa x = 2 e tangencia, tambm, o

eixo x. Determine o raio e as coordenadas do centro da

circunferncia.

47) (UFBA-1998) No sistema de coordenadas XOY, tem-se uma circunferncia C, de centro no ponto A(1,1) e tangente

reta s: 4x + 3y + 3 = 0. Sendo assim, pode-se afirmar:

01. O raio de C mede 2 u.c.

02. A equao de C x2 + y

2 = 4.

04. A rea do quadrado inscrito em C tem 12 u.a.

08. A reta que passa pelo ponto A e perpendicular

reta s tem equao 3x - 4y + 1 = 0.

16. Sendo B (x,1) ponto da regio interior a C, ento -

1 < x < 3.

Marque como resposta a soma dos itens corretos.

48) (UFPR-2002) Em um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere, para cada nmero real m, a

reta de equao y = mx e a circunferncia de equao

x2+y

210x = 0. Ento, correto afirmar: - A medida do raio da circunferncia 5.


- Se m = 10, a reta tangente circunferncia.

- Qualquer que seja o valor de m, a reta contm a

origem do sistema.

- Se m = 1, a reta determina na circunferncia uma

corda de comprimento 5.

- A circunferncia tangente ao eixo y.

- Se m = 3, um dos pontos de interseo da reta com a

circunferncia (1, 3).

49) (FGV-2002) a) No plano cartesiano, qual o grfico dos pontos (x, y) que satisfazem a relao x

2 y2 = 0?

b) No plano cartesiano, qual a equao da circunferncia de

raio 3, com centro pertencente reta

x y = 0 e tangente reta 3x + 4y = 0?

50) (Fuvest-1997) Considere as circunferncias que passam pelos pontos (0, 0) e (2, 0) e que so tangentes reta

y=x+2.

a) Determine as coordenadas dos centros dessas

circunferncias.

b) Determine os raios dessas circunferncias.

51) (Fuvest-1995) Sejam A=(0, 0), B=(0, 5) e C=(4, 3) pontos do plano cartesiano.

a) Determine o coeficiente angular da reta BC.

b) Determine a equao da mediatriz do segmento BC. O

ponto A pertence a esta mediatriz?

c) Considere a circunferncia que passa por A, B e C.

Determine a equao da reta tangente a esta circunferncia

no ponto A.

52) (FUVEST-2009) No plano cartesiano Oxy, a circunferncia C tem centro no ponto A = (5, 1) e tangente reta t de equao 4x 3y 2 = 0 em um ponto P. Seja ainda Q o ponto de interseco da reta t com o eixo

Ox.

Assim:

a) Determine as coordenadas do ponto P.

b) Escreva uma equao para a circunferncia C .

c) Calcule a rea do tringulo APQ.

53) (Mack-2007) Com relao reta que passa pela origem e tangente curva (x-3)

2 + (y-4)

2 = 25, considere as

afirmaes:

I. paralela reta 3x 4y = 25. II. paralela bissetriz dos quadrantes pares.

III. perpendicular reta 4x 3y = 0. Dessa forma,

a) somente I est correta.

b) somente II est correta.

c) somente III est correta.

d) somente I e III esto corretas.

e) I, II e III esto incorretas.

54) (FGV-2005) Sabendo-se que a circunferncia x2 + y2 - 6x + 4y + p = 0 possui apenas um ponto em comum com a reta

y = x - 1, conclui-se que p igual a

a) -9.

b) 7.

c) 9.

d) 11.

e) 12.

55) (FGV-2004) No plano cartesiano, considere a reta de equao 2 x - y = 5 e a circunferncia de equao

x2 + y

2 - 2x - 4y + 3 = 0. Podemos afirmar que:

a) A reta passa pelo centro da circunferncia.

b) A reta tangente circunferncia.

c) A circunferncia intercepta o eixo y em dois pontos cuja

distncia 2.

d) A circunferncia intercepta o eixo x em dois pontos cuja

distncia 1.

e) A rea do crculo determinado pela circunferncia 4.

56) (Vunesp-2004) Considere a circunferncia x2 + (y - 2)2 = 4 e o ponto P(0, -3).

a) Encontre uma equao da reta que passe por P e

tangencie a circunferncia num ponto Q de abscissa

positiva.

b) Determine as coordenadas do ponto Q.

57) (Fatec-2002) Seja P o ponto de interseco das retas de equaes y = x + 3 e y = 2.

A equao da circunferncia que tem centro em P e

tangencia o eixo das abscissas

a) x2 + y

2 + 2x - 4y = - 1

b) x2 + y

2 + 2x - 4y = - 3

c) x2 + y

2 - 2x - 4y = - 1

d) x2 + y

2 - 2x - 4y = - 3

e) x2 + y

2 + 2x + 4y = - 1

58) (Mau-2001) Determine as equaes das retas que

passam por A( 2 , 0) e so tangentes circunferncia de equao x

2+y

2 = 1.

59) (UECE-2002) Os valores de k para os quais a reta y = kx tangente circunferncia x

2 + y

2 - 10x + 16 = 0 so:

a) 2

1e

2

1

b) 2

3e

2

3

c) 4

3e

4

3


d) 4

1e

4

1

60) (UFC-2002) Encontre uma equao da reta tangente curva x

2 - 2x + y

2 = 0 no ponto (1, 1).

61) (Fuvest-1999) Uma reta passa pelo ponto P = (3,1) e tangente circunferncia de centro C = (1,1) e raio 1 num

ponto T. Ento a medida do segmento PT :

a) 3 b) 2

c) 5

d) 6

e) 7

62) (Mack-2002) O crculo de centro A e tangente reta r da figura tem rea:

a) 4/5

b) 5/4

c) 3/5

d) /5

e) 3/4

63) (Fuvest-1995) Uma circunferncia de raio 2, localizada no primeiro quadrante, tangencia o eixo x e a reta de

equao 4x-3y=0. Ento a abscissa do centro dessa

circunferncia :

a) 1

b) 2

c) 3

d) 4

e) 5

64) (Fuvest-1998) Considere um ngulo reto de vrtice V e a bissetriz desse ngulo. Uma circunferncia de raio 1 tem o

seu centro C nessa bissetriz e VC = x.

a) Para que valores de x a circunferncia intercepta os lados

do ngulo em exatamente 4 pontos?

b) Para que valores de x a circunferncia intercepta os lados

do ngulo em exatamente 2 pontos?

65) (Fuvest-1994) Fixado o ponto N=(0,1), a cada ponto P

do eixo das abscissas associamos o ponto P'N obtido pela interseco da reta PN com a circunferncia x

2+y

2=1.

a) Que pontos do eixo das abscissas foram associados aos

pontos (x,y) da circunferncia, com y


O conjunto dos pontos do plano que representam as

interseces de C1 e C2 para r 13, melhor descrito pela figura

a)

b)

c)

d)

e)

69) (UFSCar-2005) Seja A = (p, 3 p) um ponto de interseco da reta (r) y = qx com a circunferncia de centro C = (0,0), com p real e diferente de 0.

a) Construa o grfico da reta r e determine seu ngulo de

inclinao.

b) Sendo R a coroa circular definida pelas circunferncias,

com as caractersticas de , tais que 1 p 9, calcule a rea

da regio formada pela interseco de R com {(x,y) | y qx}.

70) (Unicamp-2003) As equaes (x + 1)2 + y2 = 1 e (x - 2)2

+ y2 = 4 representam duas circunferncias cujos centros

esto sobre o eixo das abscissas.

a) Encontre, se existirem, os pontos de interseco daquelas

circunferncias.

b) Encontre o valor de a IR, a 0, de modo que duas retas que passam pelo ponto (a, 0) sejam tangentes s duas

circunferncias.

71) (Fuvest-2002) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) so vrtices consecutivos de um paralelogramo ABCD situado

no primeiro quadrante. O lado AD perpendicular reta y

= -2x e o ponto D pertence circunferncia de centro na

origem e raio 5 . Ento, as coordenadas de C so:

a) (6, 2)

b) (6, 1)

c) (5, 3)

d) (5, 2)

e) (5, 1)

72) (FGV-2002) a) Represente os pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem a relao |3x 2y| = 6 b) Qual a rea da figura determinada pelos pontos (x, y) do

plano cartesiano que satisfazem simultaneamente as

relaes:

3yx

9yx 22

73) (Fuvest-1998) Um quadrado est inscrito numa circunferncia de centro (1,2). Um dos vrtices do quadrado

o ponto (3, 1). Determine os outros trs vrtices do quadrado.


74) (UFPB-2006) Considerando as seguintes proposies

relativas circunferncia 422 yx

no plano

cartesiano, identifique a(s) verdadeira(s):

01. O ponto P (-1 ,1) interior circunferncia.

02. O ponto P (-2 ,2) exterior circunferncia.

04. O ponto P)2,2( est sobre a circunferncia.

08. A reta de equao xy

intercepta a

circunferncia em dois pontos.

16. A reta de equao 2 xy

intercepta a

circunferncia em um nico ponto.

A soma dos valores atribudos (s) proposio(es)

verdadeira(s) igual a:

75) (FGV-2004) As coordenadas do ponto da circunferncia

256y8x 22 que fica mais afastado da

origem 0,0O

so:

a) 6,8

b) 3,4

c) 25,0

d) 12,13

e) 9,12

76) (PUC-PR-2003) Se a equao da corda do crculo x2 + y2 = 49, que tem por ponto mdio o ponto (1,2), da forma

ax + by + c = 0, ento a + b - c vale:

a) -2

b) 5

c) 2

d) 10

e) 8

77) (PUCCamp-1998) So dadas a reta r, da equao y = 3

, e a circunferncia , de equao x2 + y2 - 4x = 0. O centro

de e as interseces de r e determinam um tringulo cuja rea :

a) 3 3 b) 6

c) 2 3 d) 3

e) 3

78) (UFPA-1997) A reta de equao x + 2y = 0 intercepta o crculo x

2 + y

2 + 2x + 4y - 20 = 0 de centro C, nos pontos A

e B. Determine:

a) Os pontos A, B e C.

b) A rea do tringulo ABC.

79) (Vunesp-1999) O comprimento da corda que a reta y=x determina na circunferncia de equao (x+2)

2+(y-2)

2 = 16

:

a) 4

b) 4 2 c) 2

d) 2 2

e) 2

80) (UNIUBE-2001) Considere a circunferncia descrita pela equao x

2 + y

2 -2y = 0. Pode-se afirmar que o

comprimento da corda que a reta de equao 6x - 8y = 0

determina nessa circunferncia igual a

a) 1 unidade de comprimento.

b) 0,8 unidades de comprimento.

c) 1,2 unidades de comprimento.

d) 2 unidades de comprimento.


Gabarito 1) a) A(1, 1) e B( -1, 1) b) 45

o e 135

o

2) V F V F F 1 + 4 = 5

3) a) B(-1, 2), C(- 5 ,0), D(-1, -2), E(1, -2) e F( 5 ,0). A

rea 4( 5 + 1) b) cos AB = 3/5

4) a) R = 5 b) 50 u.a.

5) Alternativa: D 6) Alternativa: D 7) Resp: a = -25 Resol: isole z na 2 equao e substitua na 1; remonte a

equao completando quadrados e obtendo uma equao de

circunferncia onde o raio seja 1004a . Para que uma

equao de circunferncia represente um nico ponto (o seu

prprio centro), necessrio que o raio seja nulo.

8) Da geometria plana, lembramos que o centro da circunferncia circunscrita a um tringulo o circuncentro,

ou seja, o encontro das mediatrizes do tringulo. Ento,

vamos obter a equao de duas mediatrizes e obter o ponto

de interseco das mesmas. O centro da circunferncia ser

esse ponto e o raio ser a distncia do centro a um dos 3

vrtices. Sabendo que A =(5, 5) B=(3, 1) e C = (2, 4) temos:

Mediatriz do lado AB:

m1 = 53

51

=

2

1 m2 = 1/ m1 = 2

ponto mdio de AB: M = (1, 3) ento a reta que passa por

M com coeficiente angular m2 = 2 y3 = 2(x1) 2x +y 5 = 0

Mediatriz do lado AC:

m3 = 52

54

= 3 m4 = 1/ m3 =

3

1

ponto mdio de AC: N = (2

7;

2

1) ento a reta que passa

por N com coeficiente angular m4 = 3

1

y 2

1=

3

1(x

2

7) 6y 3 = 2x + 7 2x + 6y 10 = 0

x +3y 5 = 0

Centro O da circunferncia:

A interseco das 2 mediatrizes (que so retas

concorrentes) obtida pela resoluo do sistema:

053

052

yx

yx

Resolvendo o sistema, encontramos x = 2 e y = 1 O = (2, 1)

Raio da circunferncia:

Distncia do centro ao vrtice A (poderia ser qualquer um

dos 3 vrtices):

d(O, A) = 22 1525 = 169 = 5 raio = 5

Ento a circunferncia procurada (x 2)2 + (y 1)2 = 25

9) a) )1,8()8,1(),8,1(),1,8( DeCBA

b) 87

10) a) As retas pedidas no podem passar por nenhum dos 3 vrtices. Assim, as retas procuradas dividem o plano em

dois semiplanos, um deles com dois dos vrtices do

tringulo e o outro com o outro vrtice. E como cada reta

deve ser eqidistante dos trs vrtices, cada reta precisa ser

paralela ao lado que contm os dois vrtices contidos no

mesmo semiplano.

Portanto, as retas so x = 2, y = 0 e y = x

b) (x-2)2 + y

2 = 8 com centro (2, 0) e raio 2 2

11) a) A(4, 2) e B (3, 3)

b) (2,1- 5 )

12) a) 3

10 e 10cm respectivamente.

b)

dAC = 2 dAB 3x

2 + 3y

2 - 40x + 100 = 0 circunferncia


13) a) Circunf: x2 + y2 = x : C = ( 2

1 , 0) e R = 2

1

Circunf: x2 + y

2 = y : C = (0, 2

1 ) e R = 2

1

b) Pontos de interseco: (0, 0) e ( 2

1 , 2

1 )

Retas tangentes no ponto (0, 0): eixos coordenados, que so

perpendiculares.

Retas tangentes no ponto ( 2

1 , 2

1 ): x = 2

1 e y = 2

1 , que

so perpendiculares.

14) Alternativa: A 15) Alternativa: E

x + 3 = 2y1 2

= 1 - y2

3)2 + y

2 - 3.

Portanto o conjunto dos pontos (x; y) tais que x + 3 =

2y1 um arco de circunferncia de centro (- 3; 0) e r =

1.

16) Alternativa: D 17) Alternativa: A 18) Alternativa: B

Atravs da equao geral da circunferncia encontra-se sua

equao reduzida (x-2)2 + (y-2)

2 = 4, achando assim seu

centro (2,2) e se raio r = 2. Dessa forma conclui-se que

A=(2,0) e B=(0,2).

Finalmente encontra-se o valor da rea hachurada

calculando a rea do semicrculo de raio 2 determinado pelo

dimetro MN menos a rea do segmento circular de ngulo

central 90o determinado pelo segmento AB.

Ahachurada = Asemicirculo Asegmento circular

=

2

90..

4

.

2

. 22 osenrrrr

= 22 = 2

19) Alternativa: A 20) a) x2 + y2 = 5, P(2, 1) e Q(-2, -1). b) y = -2x + 5.

21) Alternativa: C 22) Alternativa: D 23) Alternativa: D

24) Diagonais: x + y - 5 = 0 e x - y - 1 = 0

25) Alternativa: B 26) Alternativa: A 27) Alternativa: D 28) a) P = (4, 2) b) y = 2x - 6 e o coeficiente angular 2.

29) Alternativa: A A principal parte do problema a determinao dos pontos

de interseo da reta 2x + y - 4 = 0 com os eixos

coordenados. A partir da o raio da circunferncia

procurada igual metade da distncia entre estes dois

pontos, e o centro da circunferncia o ponto mdio do

segmento determinado por eles.

Para encontrarmos o ponto de interseo da reta 2x + y - 4

= 0 com o eixo x, fazemos y = 0 e para encontrarmos o

ponto de interseo da reta 2x + y - 4 = 0 com o eixo y,

fazemos x = 0. Assim os pontos de interseo da reta 2x + y

- 4 = 0 com os eixos coordenados so (2,0) e (0,4). A

distncia entre estes pontos 5220)2(4 22

e

portanto o raio da circunferncia procurada 5 .O ponto

mdio do segmento que une os pontos (2,0) e (0,4)

2

40,

2

02

= (1,2), que o centro da circunferncia.

Portanto a equao da circunferncia (x - 1)2 + (y - 2)

2 = 5

30) Alternativa: A


31) a) Q = (7, 7)

b) V = 10 km/h

32) Alternativa: C 33) Alternativa: B 34) Alternativa: B 35) Alternativa: D 36) a) r = 1 b) C = x

2 + y

2 - 2x - 2y + 1 = 0

37) Alternativa: B 38) a) Se z = x+iy, ento z+2i = x+i(y+2) e z-2 = (x-2)+iy.

Ento, dividindo 2z2iz

encontramos

22 y2)(x

xy2)2)(y(xi2)y(y2)x(x

e assim a parte

real 22 y2)(x

2)y(y2)x(x

. Fazendo 22 y2)(x

2)y(y2)x(x

= 21

de onde se chega em x2+(y+2)

2 = 8 para x2 e y0. Note

que x2+(y+2)

2 = 8 seria a equao da circunferncia de

centro (0,-2) e raio 2 2 se no tivssemos x2 e y0. Assim, acrescentando-se o ponto (2,0) temos a

circunferncia.

b) y = x+2

39) a) B=(6,3) b) C=(2,11)

40) a) m = 3

3

b) A = 1m

3m12m2

2

, para 0 < m < 3

3

41) Alternativa: C 42) Alternativa: B

43) a)

b) 10 3 + 3

5

44) a) x + 2y 5 = 0

b) (2 3 + 1,0)

45) A circunferncia C tem centro O

0,

4

25

e raio r =

4

5

46) C = (2 5 , 5- 5 ) e R = 5- 5 47) V F F V V : soma das corretas = 25 48) V F V F V V

49)


(x 7

15 )

2+( y

7

15)

2 = 9 ou (x +

7

15)

2 + (y +

7

15)

2 = 9

50) a) C=(1,1) ou C = (1,7)

b) R = 2 ou R = 5 2 51) a) m = -1/2 b) 2x - y = 0. Sim, o ponto A pertence essa mediatriz.

c) x + 2y = 0.

52) a) (1, 2) b) (x + 5)

2 + (y 1)2 = 25

c) 4

25

53) Alternativa: C 54) Sem Resposta A resoluo nos leva a p = 5, que no est nas alternativas.

55) Alternativa: C

56) a) y = 3

2

21x

b)

5

6,

5

212

57) Alternativa: A

58) Resposta: y = x - 2 e y = -x + 2 59) Alternativa: C 60) Tangente: y = 1 61) Alternativa: A 62) Alternativa: D 63) Alternativa: D

64) a) 1 < x < 2

b) 0 x < 1 ou x = 2 65) a) os pontos P = (x, 0) tais que -1< x < 1

b)

1c

1c,1c

2c P'2

2

2

66) a) (x - 2)2 + y 2 = 4 e

5

6,

5

18

b) 3

4

e 15

32

67) a) - 2 < k < 2

b) ) k - 2(2 2

68) Alternativa: C

69) a) ngulo de inclinao = 60

b) 160

70) a) encontram-se na origem (0, 0) b) a = 4

71) Alternativa: E

72)

A = 9 4

2) - (

73) (4, 2), (5, 5) e (2, 6) 74) Resposta: 15 75) Alternativa: E 76) Alternativa: E e) (resposta oficial)

Nota: A questo no est bem redigida, pois a forma geral

da equao da reta no apresenta coeficientes a, b e c


nicos. Assim, mesmo sendo x + 2y - 5 = 0 a opo mais

natural, qualquer equao no formato kx + 2ky - 5k = 0

representa a mesma reta, com a + b - c = 8k, e, escolhendo-

se valores convenientes de k, pode-se ter qualquer

alternativa como correta.

77) Alternativa: E 78) a) A = (4, -2); B = (-4, 2) e C = (-1, -2) b) rea = 10

79) Alternativa: B 80) Alternativa: C

exercicios gabarito geometria analitica circunferencia

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