geometria analitica

49
X Por que apr or que apr or que apr or que apr or que aprender ender ender ender ender Geometria Geometria Geometria Geometria Geometria Analítica Analítica Analítica Analítica Analítica? Onde usar os conheciment Onde usar os conheciment Onde usar os conheciment Onde usar os conheciment Onde usar os conhecimentos os os os os sobr sobr sobr sobr sobre e e e e Geometria Analítica Geometria Analítica Geometria Analítica Geometria Analítica Geometria Analítica? A Geometria Analítica estabelece relações entre a álgebra e a geometria por meio de equações e inequações. Isso permite transformar questões de geometria em questões de análise e vice- versa. ........ .......................................... ........ .......................................... A Geometria Analítica, por meio de representações cartesianas, pode ser usada para indicar a temperatura do corpo, as oscilações da Bolsa de Valores, efeitos da natureza etc. – GEOMETRIA ANALÍTICA

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Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentososososossobrsobrsobrsobrsobre e e e e Geometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria Analítica?????

A Geometria Analítica estabelece relações entrea álgebra e a geometria por meio de equaçõese inequações. Isso permite transformar questõesde geometria em questões de análise e vice-versa.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A Geometria Analítica, por meio de representaçõescartesianas, pode ser usada para indicar atemperatura do corpo, as oscilações da Bolsa deValores, efeitos da natureza etc.

– GEOMETRIA ANALÍTICA

Manual de Matemática

474

Capítulo 1

INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA

A Geometria Analítica é o estudo da geometria euclidiana por meio do mé-todo das coordenadas.

Podemos dar significado algébrico às figuras geométricas, como reta, cir-cunferência, elipse, hipérbole, parábola, pelas equações matemáticas expres-sas nas variáveis x e y, analisando essas equações por meio de gráficos.

Estudo do Ponto

Sistema Cartesiano

Duas retas orientadas, uma horizontal x ( )OX , chamada eixo das abscissas,

e outra vertical y ( )OX , eixo das ordenadas, são denominadas sistemacartesiano ortogonal.

• O ponto 0 é a intersecção das retas xe y, chamado origem.• O par ordenado (x, y) é chamadocoordenada do ponto A.

Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes.

y

x

2º 1º

3º 4º

Manual de Matemática

475

Exemplo:Represente no plano cartesiano os pontos:A (2, 3), B(–1, 2), C (3, –2), D (4, 0) e E (0, –3).

Distância entre Dois PontosDados dois pontos, A(xA, yA) e B(xB, yB), definimos dA, B a distância entre A e

B, como mostra a figura:

A

B

C

y

y

B

y

A

y

B – y

A

x

B – x

A

x

A x

B x

Manual de Matemática

476

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:2 2 2AB AC BC

2 2B A B A

d d d ou

d(AB) (x x ) (y y )

= +

= − + −

Exemplos:

1) Calcule a distância entre os pontos A(–2, 3) e B(1, –3). Represente ospontos no plano cartesiano.

Solução:

2 2B A B A

2 2

d(A, B) (x x ) (y y )

d(A, B) (1 2) ( 3 3)

d(A, B) 9 36

d(A, B) 45

d(A, B) 3 5

= − + −

= + + − −

= +

=

= 1

1

2

3

–2 –1–1

–2

–3

x

y

B

A

2) (UFES) Sendo A(3, 1), B(–2, 2) e C(4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:a) eqüilátero. d) retângulo e não isósceles.b) retângulo e isósceles. e) n.d.a.c) isósceles e não retângulo.

Solução:Calculando as distâncias d(A, B), d(B, C) e d(A, C), podemos classificar o

triângulo.2 2d(A, B) (3 2) (1 2)

d(A, B) 25 1

d(A, B) 26

= + + −

= +

=

Manual de Matemática

477

2 2d(B, C) (4 2) ( 4 2)

d(B, C) 36 36

d(B, C) 72

d(B, C) 6 2

= + + − −

= +

=

=2 2d(A, C) (4 3) ( 4 1)

d(A, C) 1 25

d(A, C) 26

= − + − −

= +

=

Como d(A, B) = d(A, C), o triângulo é isósceles.

Vamos verificar se o triângulo é retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras.

( ) ( ) ( )2 2 272 26 26= +

72 = 26 + 26

72 = 52 (F)

Portanto, o triângulo não é retângulo.

Resposta: c

Ponto Médio

Sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) e M(xM, yM), o ponto que divide AB ao meio échamado ponto médio.

A

M

B

y

y

B

y

A

y

M

x

A x

B xx

M

Manual de Matemática

478

M(xM, yM) é o ponto médio do segmento AB .

A B A BM M

x x y yx e y

2 2+ += =

Exemplos:

1) Determine as coordenadas de M, ponto médio de A(4, 3) eB(2, –1).

Solução:

Substituindo os dados na fórmula:A B A B

M M

M M

M M

x x y yx y

2 24 2 3 1

x y2 2

x 3 y 1

+ += =

+ −= =

= =Portanto, M(3, 1).

2) Sendo M(6, –1) o ponto médio de AB e A(0, 3), determine as coordena-das de B.

Solução:Aplicando a fórmula:

A B A BM M

B B

B B

B

x x y yx y

2 20 x 3 y

6 12 2

x 12 2 3 y

y 5

+ += =

+ += − =

= − = += −

B(12, –5)

3) Dados os pontos A(–1, 4), B(0, 2) e C(4, 6), determine o comprimento damediana referente ao vértice A.

Solução:

Obs.:Mediana é o segmento que vai de um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.

Manual de Matemática

479

Sendo o triângulo ABC:A

M CB

Devemos calcular o comprimento AM .

Calculando o ponto médio de BC .

B C B CM M

M M

M M

x x y yx y

2 20 4 2 6

x y2 2

x 2 y 4

+ += =

+ += =

= =

M(2, 4)

A mediana é dada pela d(A, M). Assim:2 2d(A, M) ( 1 2) (4 4)

d(A, M) 9

d(A, M) 3

= − − + −

==

Baricentro de um Triângulo

Baricentro é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo.

A

M

a

M

c M

b

CB

G

Sendo G(xG, yG), podemos definir

A B CG

A B CG

x x xx e

3y y y

y3

+ +=

+ +=

Manual de Matemática

480

Exemplo:

Seja o triângulo cujos vértices são: A(3, 1), B(–1, 2) e o baricentro G(6, –8).Determine o vértice C.

Solução:

A B C A B CG G

C C

C C

C C

x x x y y yx y

3 33 1 x 1 2 y

6 83 3

18 2 x 24 3 y

x 16 y 27

+ + + += =

− + + += − =

= + − = += = −

Portanto, C(16, –27).

Condição de Alinhamento de Três PontosPara que três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) sejam alinhados ou

colineares, é necessário que:

A A

B B

C C

x y 1D x y 1 0

x y 1= =

Obs.:Se D ≠ 0, os pontos formam vértices de um triângulo.

Exemplos:

1) Verifique se os pontos A(–2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) estão alinhados.

Solução:

D =− −2 6 1

4 8 1

1 7 1

2

4

1

6

8

7

D = –16 + 6 + 28 – 8 +14 – 24

D = 0

Manual de Matemática

481

Como D = 0, os pontos estão alinhados.

2) Determine o valor de m para que os pontos A(3, –1), B(4, 2) e C(m, –2)sejam vértices de um triângulo.

Solução:

A condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triânguloé D ≠ 0.

D

m m

=

≠3 1 1

4 2 1

2 1

3

4

1

2

2

0

6 – m – 8 – 2m + 6 + 4 ≠ 0–3m ≠ –8

3m ≠ 8

8m

3≠

Área de um TriânguloSendo os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) vértices de um triângulo,

podemos calcular a área do triângulo pela fórmula:

Exemplos:1) Calcule a área do triângulo formado pelos pontosA(2, 0), B(–1, 3) e C(4, 5).

Solução:

Calculando o determinante:

D = − −2 0 1

1 3 1

4 5 1

2

1

4

0

3

5

Manual de Matemática

482

D = 6 + 0 – 5 – 12 – 10 – 0D = – 21

2) Determine o valor de a, sendo A(3, 1), B(2a, –1) e C(–2, –3) e a área dotriângulo determinada pelos pontos ABC é igual a 6.

Solução:

D a a= −− − −

−−

3 1 1

2 1 1

2 3 1

3

2

2

1

1

3

D = – 3 – 2 – 6a – 2a + 9 – 2D = – 8a + 2

1A D

2

16 8a 2

2

8a 2 12

8a 2 12 8a 2 12

8a 10 8a 14

8a 148a 10

14 710 a aa 8 48

5a

4

=

= − +

− + =

− + = − + = −

− = − = −

== −

− = ⇒ ==

−=

Manual de Matemática

483

A Reta

Equação Geral da Reta

Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e um ponto qualquer P(xP, yP) quepertença à reta r( AB ).

Sabendo que A,B e P são colineares, então:

A A

B B

P P

x y 1x y 1 0x y 1

=

A equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equaçãoax + by + c = 0.

Exemplo:Determine a equação geral da reta que passa pelos pontosA(4, –2) e B(3, 6).Solução:Substituindo em:

D

x y x y

=− −

=4 2 1

3 6 1

1

4

3

2

6 0

24 – 2x + 3y – 6x – 4y + 6 = 0–8x – y + 30 = 08x + y – 30 = 0

Portanto, 8x + y – 30 = 0 é a equação geral da reta que passa pelo pontoA e B.

Intersecção de Retas

Para calcularmos a intersecção de duas retas concorrentes, devemos resol-ver o sistema formado pelas equações dessas retas.

Manual de Matemática

484

Exemplo:Determine o ponto de intersecção da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e

B(–4, 2) e s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).Solução:Calculando a equação da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B(–4, 2):

0 3 1

4 2 1

1

0

4

3

2 0− − =x y x y

0 + 3x – 4y – 2x + 12 = 0x – 4y + 12 = 0reta s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).

−5 2

− −− =

1 2 1

1

1

1

5

2

2 0

x y x y

2 + 2x + 5y + 2x + y – 10 = 04x + 6y – 8 = 0Formando um sistema, temos:

x 4y 12 0 ( 4)

4x 6y 8 0

4x

− + = − + − =

− 16y 48 0

4x

+ − =

6y 8 0

22y 56

56 28y y

22 11

+ − =

=

= ⇒ =

Substituindo y = 2811

em x – 4y + 12 = 0, temos:

x – 4y + 12 = 0

x – 4 . 2811

+12 = 0

Manual de Matemática

485

x – 11211

+12 = 0

x = 11211

– 12

x = 20

11−

O ponto de intersecção é 20 28

,11 11

.

Equação ReduzidaDada a equação geral ax + by + c = 0 da reta, podemos colocá-la na

forma reduzida, isolando o valor de y.

= + →↓

y mx b coeficiente linear

coeficiente angular

Em que m é o coeficiente angular da reta e b é a ordenada do ponto em quea reta corta o eixo y.

Coeficiente Angular

É a tangente do ângulo α formado pela reta r com o eixo das abscissas,medido sempre no sentido anti-horário.

y

r

αx

B A

B A

y ym tg ou m

x x−= α =−

Manual de Matemática

486

y

r

αx

y

r α

x

m > 0 m < 0

y

r

x

y

x

r

m = 0 m não é definidoExemplos:1) Determine o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A(–2, 6) e

B(1, 4).Solução:Aplicando a fórmula, temos:

B A

B A

y ym

x x−=−

4 6m

1 22

m3

−=+

−=

2) Dê a equação reduzida da reta 3x + 6y – 4 = 0

Solução:

Isolando o valor de y, temos:

Manual de Matemática

487

3x + 6y – 4 = 0

6y = –3x + 4

3x 4y

6 61x 2

y2 3

−= +

−= +

em que 1

m2

= − (coeficiente angular) e 2

b3

= (coeficiente linear).

3) Escreva a equação reduzida determinada pelos pontos A(5, –2) eB(0, –3).

Quando olhamos uma montanha, observamos que podemos aplicara definição de coeficiente angular.

Qual será a inclinação da montanha?Ela será dada pela tangente do ângulo formado pelo solo e a

montanha.

Manual de Matemática

488

Solução:

Como a reta é formada por dois pontos, devemos calcular o determinante.

–15 – 2x + 3x – 5y = 0x – 5y – 15 = 0–5y = –x + 155y = x – 15

1y x 3

5= −

Equação Segmentária

A equação segmentária da reta r é dada pela fórmula x y

1p q

+ = , em que p

é onde a reta corta o eixo x(p, o) e q é onde a reta corta o eixo y(o, q).

yr

x

(0, q)

(p, 0)

Exemplo:

Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–3, 0)e B(0, 4).

Manual de Matemática

489

Solução:

Aplicando a fórmula:x y

1p q

x y x y1 ou 1

3 4 3 4

+ =

−+ = + =−

Equação da reta que passa pelo ponto P(xp, y

p) e tem

coeficiente angular mDetermine a equação da reta r, dados o ponto P(–2, 3) e o coeficiente angu-

lar 1

m2

= − .

Solução:Seja P(xp, yp) um ponto qualquer da reta.

Então p

p pp

y ym y y m(x x )

x x

−= ⇒ − = −

−(equação da reta)

y – yp = m(x – xp)

y – 3 = 1

2−

(x + 2)

2y – 6 = –x – 2x + 2y – 4 = 0 (equação da reta)

Posições Relativas entre Duas Retas

Retas Paralelas

Duas retas são paralelas se, e somente se, os coeficientes angulares foremiguais.

y

s

αx

r

α

mr = ms

Manual de Matemática

490

Retas Concorrentes

Duas retas são concorrentes se, e somente se, os coeficientes angularesforem diferentes.

y

s

α

x

r

βmr ≠ ms

Retas Perpendiculares

Duas retas são perpendiculares se, e somente se, mr . ms = – 1 foremcoeficientes angulares inversos e contrários.

y

s

x

r

mr . ms = – 1

Exemplos:

1) Verifique se as retas (r): 3x – y + 2 = 0 e (s): –9x + 3y – 1 = 0 sãoparalelas.

Manual de Matemática

491

Solução:

Determinando a equação reduzida das retas r e s, temos:

3x – y + 2 = 0

–y = –3x – 2

y = 3x + 2 ⇒ mr = 3

–9x + 3y – 1 = 0

3y = 9x + 1

y = 3x + 13

⇒ ms= 3

Como mr = ms, as retas são paralelas.

2) Determine K, para que as retas l1: (K + 2)x + y + 2 = 0 e

l2: 3x + ky – 1 = 0 sejam perpendiculares.

Solução:

Reduzindo as retas l1 e l2, temos:

(l1) (K + 2)x + y + 2 = 0

y = –(K+2)x – 21

m (K 2)= − +l

(l2) 3x + Ky – 1 = 0Ky = –3x + 1

2

3 1 3y m

K k K− −= + =l

Como as retas l1 e l2 são perpendiculares, 21m m⋅l l =-1

–(K+2) .3

K−

=–1

3K+6=–K

3K+K=–6

4K=–6

K=6

4−

=3

2−

Manual de Matemática

492

3) Determine a equação da reta (s), paralela à reta (r) x – 2y + 3 = 0 e quepassa pelo ponto A(–1, 2).

Solução:

Sendo a equação x – 2y + 3 = 0, devemos colocar na forma reduzida:x – 2y + 3 = 0–2y = – x – 3

2y = x + 3 ⇒ r1

m2

=

1x 3y

2 2= +

Como as retas r e s são paralelas, mr = ms =12

.

y – yA = ms(x – xA)

y – 2 = 12

(x + 1)

2y – 4 = x + 1–x + 2y – 5 = 0x – 2y + 5 = 0

Ângulo entre Duas Retas

Dadas duas retas r e s concorrentes e não perpendiculares entre si:

ys

x

r

θ

1

θ

2

θDefinimos:

r s

r s

m mtg

1 m m−θ=

+ ⋅

Exemplo:

Determine o ângulo formado pelas retas:

(r) 2x – y + 1 = 0 e (s) 3x + y – 2 = 0.

Manual de Matemática

493

Solução:

Reduzindo as equações, temos:(r) 2x – y + 1 = 0 (s) 3x + y – 2 = 0–y = –2x – 1 y = –3x+2y = 2x +1 ms = –3mr= 2

Aplicando a fórmula:

Distância entre Ponto e Reta

A distância entre a reta (r) ax + by + c = 0 e o ponto P(xp, yp) é dada pelafórmula:

p pP, r 2 2

ax by cd

a b

+ +=

+

Exemplos:

1) Determine a distância entre a reta (r) 3x + 2y – 1 = 0 e o ponto P(–1, 1).

Solução:

Aplicando a fórmula, temos:

Manual de Matemática

494

2) Determine a distância entre as retas (r) 2x + y – 3 = 0 e (s) 4x – 3y + 1 = 0

Solução:

Devemos achar um ponto em r ou em s para podermos calcular a distância.

Tomando a reta r, determinamos o ponto:p/x = 02 . 0 + y – 3 = 0y = 3 P(0, 3)

Temos P(0, 3) e a reta (s) 4x – 3y + 1 = 0.

3) Calcule a altura do triângulo ABC, relativo ao vértice A, dados os pontosA (5, –1), B(2, 0) e C(–3, 3).

Solução:

Determinamos inicialmente a equação da reta r, suporte do lado BC dotriângulo.

B

A

CH

h

r

6 – 3 y – 3x – 2y = 0–3x – 5y + 6 = 0

Manual de Matemática

495

Determinamos a distância entre o vértice A e a reta r.

Circunferência

DefiniçãoCircunferência Circunferência Circunferência Circunferência Circunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de C (centro da

circunferência).

r

r

r

r

r

C

A distância de C a qualquer pontoda circunferência é chamada raio.

Equação da Circunferência

C

y

y

b

a

r

P(x, y)

x x

C(a, b) é o centro da circunferência e P(x, y) pertence à circunferência.

Manual de Matemática

496

A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Se o centro da circunferência for a origem C(0, 0), a equação é dada porx2 + y2 = r2.

Equação Geral da Circunferência

Desenvolvendo a equação reduzida de raio r e centro C(a, b), chegamos àequação geral da circunferência:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 02 2 2 2 2

F

x y 2ax 2by a b r 0+ − − + + − =

Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que:• o coeficiente de x2 e y2 seja igual a 1;• não exista termo na variável x y;• o raio 2 2r a b F= + − , sendo r >0.

Exemplos:

1) Determine o raio e o centro da circunferência cuja equação reduzida é:(x – 2)2 + (x + 1)2 = 9.

Solução:

Comparando as equações:(x – a)2 + (y – b)2 = r2 e (x – 2)2 + (x + 1)2 = 9, obtemos:

a = 2, b = –1 e r = 3C(2, –1) e r = 3

2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio igual a 5 eC(–3, 4).

Solução:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x + 3)2 + (y – 4)2 = 52

(x + 3)2 + (y – 4)2 = 25

Manual de Matemática

497

3) Determine a equação da circunferência com centro C(–2, 1) que passapelo ponto P(3, 0).

Solução:O ponto P pertence à circunferência.

r

C

P

2 2

d(C, P) r

r ( 2 3) (1 0)

r 25 1

r 26

=

= − − + −

= +

=

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

(x + 2)2 + (y – 1)2 = ( )226

(x + 2)2 + (y – 1)2 = 26

4) Ache a equação da circunferência cujas extremidades do diâmetro sãoos pontos A (4, 2) e B(–2, 6).

Solução:C(a, b) é o ponto médio de AB .

4 2 2 6a b

2 2a 1 b 4

− += =

= =C(1, 4)r é dado por r = d(C, A).

2 2r (1 4) (4 2)

r 9 4

r 13

= − + −

= +

=A equação será (x – 1)2 + (y – 4)2 = 13.

5) Determine a equação geral da circunferência com centro emC(–1, 3) e r = 4.

Solução:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2

Manual de Matemática

498

Substituindo C(–1, 3) e r = 4 na equação reduzida:

(x+1)2 + (y – 3)2 = 42

x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 – 16 = 0

x2 + y2 + 2x – 6y – 6 = 0

6) Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação geral éx2 + y2 – 4x – 10y – 7 = 0.

Solução:Comparando as equações,x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 ex2 + y2 – 4x – 10y – 7 = 0, temos:–2a = –4 –2b = –102a = 4 2b = 10a = 2 b = 5 ⇒ C(2, 5)a2 + b2 – r2 = –722 + 52 – r2 = –7–r2 = –7 – 29r2 = 36r=6

Posições Relativas entre Circunferência e Ponto

Observe a circunferência e os pontos:

C

yP

3

P

1

P

2

x

Se d(P1, C) < r, P é interno.

Se d(P2, C) = r, P ∈ à circunferência.

Se d(P3, C) >r, P é externo.

Manual de Matemática

499

Exemplos:

1) Determine a posição dos pontos P(1, –1), Q(3, 4) em relação à circunfe-rência x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0.

Solução:

x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0

Substituindo P(1, –1), x = 1 e y = –1 na equação,

12+(–1)2 –2 . 1+4(–1)–10=0

–14 < 0 P é interior à circunferência.

x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0 Q(3,4)

32 + 42 – 2 . 3 + 4 . 4 – 10 = 0

25> 0 Q é exterior à circunferência.

2) Determine o valor de a, para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferên-cia x2 + y2 + 3x – 6y – a = 0.

Solução:

Para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferência, devemos ter:

12 + 22 + 3 . 1 – 6 . 2 +a = 0

a = 4

Posições Relativas entre Reta e Circunferência

Observe as retas a, b e c e a circunferência a seguir:

C

y

x

a

b

c • a é secante à circunferência, pois a

intercepta em dois pontos d(C, a) < r.

• b é tangente à circunferência, pois

b a intercepta em um ponto d(C, b) = r.

• c é exterior à circunferência, poisnão tem ponto em comum com acircunferência d(C, c) > r.

Manual de Matemática

500

Exemplos:

1) Qual a posição da reta (r) 2x – 4y + 3 = 0 em relação à circunferênciax2 + y2 – 6x – 2y + 1= 0?

Solução:

Inicialmente determinamos o centro e o raio da circunferência:x2 + y2 – 6x – 2y + 1= 0–2a = –6 –2b = –22a = 6 2b = 2a = 3 b = 1

C(3, 1)a2 + b2 – r2 = 132 + 12 – r2 = 1

–r2 = –9r2 = 9r = 3

Calculando a distância de C à reta r, temos:

Como d(C,r) < r, a reta é secante à circunferência.

2) (MACK – SP) A reta s: y = kx é tangente à circunferênciax2 + (y – 2)2 = 4.

Determine k.

Solução:x2 + (y – 2)2 = 4 C(0, 2) e r = 2Kx – y = 0

Se a reta é tangente àcircunferência, d(C, s) = r.

Manual de Matemática

501

2

2

2

2

2

2

22

K 1

2 K 1 2

K 1 1

K 1 1

K 1 1

K 0 K 0

=+

+ =

+ =

+ =

+ =

= ⇒ =

Posições Relativas de Duas Circunferências

Dados r1 e r2, os raios das circunferências de centros C1 e C2 e d, a distânciaentre os centros, podemos identificar as posições relativas entre duas circun-ferências:

d

C

1 r

1 r

2

C

2

As circunferências sãoexteriores:d > r1 + r2

dC

1 r

1 r

2

C

2

As circunferências sãotangentes exteriores:d = r1 + r2

dC

1 r

1 r

2

C

2

As circunferências sãosecantes:d < r1 + r2

Manual de Matemática

502

dC

1r

1

r

2

C

2

As circunferências sãotangentes interiores:d = |r1 – r2|

dC

1 r

1

r

2

C

2

As circunferências são interiores:d < |r1 – r2|

Exemplo:Verifique a posição relativa entre as circunferências(x – 2)2 + (y +1)2 = 25 e (x – 3)2 + (y +2)2 = 9:(x – 2)2 + (y +1)2 = 25C(2, –1) e r1 = 5(x – 3)2 + (y +2)2 = 9C(3, –2) e r2 = 3

2 2d (3 2) ( 2 1)

d 2

= − + − +

=|r1 – r2|=|5 – 3|=|2|=2r1 + r2 = 5 + 3 = 8Portanto, d < |r1 – r2| e as circunferências são interiores.

Estudo das CônicasAs figuras parábola, hipérbole e elipse recebem o nome de cônicas, pois

são obtidas pela intersecção de um plano e um cone.

Elipse Hipérbole Parábola

Manual de Matemática

503

Elipse

Elipse é o conjunto dos pontos de um plano, em que a soma das distânciasde F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

a a

aa

c c

b

b

B

1

B

2

F

2F

1

A

1 A

2

Elementos:A1, A2, B1 e B2 são os vérticesa é o semi-eixo maiorb é o semi-eixo menorc é a semidistância focalF1 e F2 são os focos

1 2F F = 2c (distância focal)

1 2A A = 2a (eixo maior)

1 2B B = 2b (eixo menor)

A MATEMÁTICA E A ASTRONOMIA

ESTÃO INTERAGINDO

Podemos observar que a elipseestá presente na trajetória dasórbitas dos planetas em torno doSol, e o Sol está posicionado numdos focos da elipse.

Todos os planetas, com exce-ção de Plutão, descrevem elipses.

Sol

Planeta

trajetória elíptica

Manual de Matemática

504

Equações

• Elipse com o centro na origem e eixo maior horizontal:

P(x, y)

A

1 A

2F

1 (–c, 0) F

2 (c, 0) x

y

2 2

2 2

x y1

a b+ =

• Elipse com o centro na origem e eixo maior vertical:

F

1

B

1 B

2

A

1

F

2

A

2

x

y

2 2

2 2

y x1

a b+ =

• Elipse de centro fora da origem C(x0, y0) e eixo maior horizontal:

P

F

1

B

1

F

2

B

2

A

2A

1

x

0

y

0

x

y

c c

C2 2

0 02 2

1 0 0

2 0 0

(x x ) (y y )1,

a bem que F(x c, y ) e

F (x c, y )

− −+ =

−+

Manual de Matemática

505

• Elipse de centro fora da origem C(x0, y0) e eixo maior vertical:

F

1

A

1

B

1

x

0

y

0

F

2

B

2

A

2

x

y

Cc

c

Relação Fundamental

a2 = b2 + c2

ExcentricidadeDefinimos como excentricidade o quociente entre a semidistância focal e

o semi-eixo maior.

ce=

a, em que 0 < e < 1.

Exemplos:1) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizon-

tal, sendo 2a = 12 e 2c = 6.Solução:2a = 12 2c = 6a = 6 c = 3Aplicando a relação fundamental a2 = b2 + c2.62 = b2 + 32

b2 = 27

b 27 b 3 3= ⇒ =

Se o eixo maior é horizontal, a equação é do tipo 2 2

2 2

x y1

a b+ = .

2 2x y1

36 27+ =

Manual de Matemática

506

2) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos e aexcentricidade de cada uma das elipses abaixo:

a) x2 + 5y2 = 20Solução:Dividindo a equação por 20, temos:

2 2

2 2

x 5y 2020 20 20

x y1

20 4

+ =

+ =

a2 = 20a =

a = eixo maior: 4 5

b2 = 4b = 2 eixo menor: 2b=4a2 = b2 + c2

20 = 4 + c2

c2 = 16c = ±4distância focal: 2c = 8focos F1(4, 0) e F2(–4, 0) – eixo maior horizontal.

b) 2 2(y 4) (x 2)

19 4− ++ =

Solução:

A elipse é de centro fora de origem C(–2, 4) e eixo maior vertical.2 2

0 02 2

(y y ) (x x )1

a b− −+ =

Manual de Matemática

507

a2 = 9

a 9=a = 3 eixo maior: 2a = 6

b2 = 4

b = 2 eixo menor: 2b = 4

a2 = b2 + c2

9 = 4 + c2

c2 = 5

c 5= ± distância focal: 2c 2 5=

Os focos têm coordenadas F1 (x0, y0 + c) e F2(x0, y0 – c). Substitutivo:

F1 (–2, 4 + 5 ) e F2 (–2, 4 – 5 ).

c 5e e

a 3= ⇒ =

Hipérbole

Definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o móduloda diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.

Manual de Matemática

508

Elementos:A1 e A2 são os vérticesF1 e F2 são os focosa é o semi-eixo realb é o semi-eixo imaginárioc é a semidistância focal

1 2F F = 2c (distância focal)

1 2A A = 2a (eixo real)

1 2B B = 2b (eixo imaginário)

Equações

• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo x:

F

1 A

1 A

2F

2

a a

x

2 2

2 2

x y1

a b− =

• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y:

F

1

A

1

A

2

F

2

a

c

x 2 2

2 2

y x1

a b− =

Manual de Matemática

509

• Hipérbole de centro C(x0, y0) e eixo real horizontal:

F

1

y

0

x

0

F

2

x

y

2 20 0

2 2

(x x ) (y y )1

a b− −− =

• Hipérbole de centro C(x0, y0) e eixo real vertical:

F

1

F

2

x

y

2 20 0

2 2

(y y ) (x x )1

a b− −− =

Relação Fundamental

c2 = a2 + b2

Excentricidade

ce

a= , com e > 1

Manual de Matemática

510

Hipérbole Eqüilátera

Define-se como hipérbole eqüilátera a hipérbole que possui os semi-eixosreal e imaginário iguais, ou seja, a = b.

Equações das Assíntotas da Hipérbole

Define-se como assíntota as retas que contêm as diagonais do retângulode lados 2a e 2b.

F

1 F

2 x

y

b

a a

b

Equações

• Eixo real horizontal e centro na origem:b

y xa

= ±

• Eixo real vertical e centro na origem:a

y xb

= ±

• Eixo real horizontal e C(x0, y0):

0 0b

y y (x x )a

− = ± −

• Eixo real vertical e C(x0, y0):

0 0a

y y (x x )b

− = ± −

Manual de Matemática

511

Exemplos:

1) Determine a equação da hipérbole abaixo:

F

1

F

2

A

2

A

1

x

y

4

2

–2

–4

Solução:

Temos:

a = 2 e c = 4

Pela relação fundamental, temos:c2 = a2 + b2

16 = 4 + b2

b2 = 12

Logo:2 2 2 2

2 2

y x y x1 1

a b 4 12− = ⇒ − =

2) Determine a equação da hipérbole de eixo real 2a = 4 horizontal, comcentro na origem e eixo imaginário 2b = 8.

Solução:2a = 4 (eixo real) 2b = 8 (eixo imaginário)a = 2 b = 4

Manual de Matemática

512

Equação:2 2 2 2

2 2

x y x y1 1

a b 4 16− = ⇒ − =

3) Determine a excentricidade, as assíntotas e a equação da hipérbole deeixo real horizontal medindo 8, centro na origem e foco F1(–5, 0).

Solução:2 2

2 2

x y1

a b− =

2a = 8

a = 4 e c = 5

c2 = a2 + b2

25 = 16 + b2

b2 = 25 – 16

b2 = 92 2x y

116 9

− =

Excentricidade:

ce

a5

e4

=

=

As assíntotas são:

b 3y x y x

a 4= ± ⇒ = ±

Parábola

Definimos como parábola o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dareta d(diretriz) e do ponto F(foco).

Manual de Matemática

513

y

0

x

0 x

d

D

P

eixo de

simetria

F

y

V

p

2

p

2

• F é o foco.• d é a diretriz.• V é o vértice.• a distância p entre o foco F e a diretriz d é o parâmetro.• V é o ponto médio do DF .

Equação• Eixo de simetria paralelo ao eixo x:

x

0

y

0

x

y d

0

F

P(x, y)

p

2

Concavidade para a direita:(y – y0)

2 = 2p(x – x0)

Se V (0, 0):(y – 0)2 = 2p(x – 0)y2 = 2px

Manual de Matemática

514

Concavidade voltada para a esquerda:(y – y0)

2 = – 2p(x – x0)Se V(0, 0):y2 = –2px

• Eixo de simetria paralelo ao eixo y:

x

0

y

0

x

y

0

F

eixo

de

sim

etria

• Concavidade voltada para cima:

(x – x0)2 = 2p(y – y0)

Se V(0, 0):

x2 = 2py

• Concavidade voltada para baixo:

(x – x0)2 = – 2p(y – y0)

Se V(0, 0):

x2 = –2py

Exemplo:

Dada a parábola de equação y2 = 12x, determine:

a) o vértice;

Manual de Matemática

515

b) o foco;

c) a diretriz.

a) vértice

y2 = 12x tem vértice na origem e concavidade voltada para a direita.V(0, 0):

b) foco

A parábola é do tipo y2 = 2px.

2p = 12 Então, p

32

=

p = 6

pF , 0 F(3, 0)

2 =

c) diretrizp

D , 02

− D(–3, 0) e a equação é x = –3.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS Geometria Analítica (ponto e reta)1) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G.

10

1

2

3

–4 –3 –2 –1–1

–2

2 3 4 x

y

A

B

C

D

E

F

G

Manual de Matemática

516

A EVOLUÇÃO DO ZERO

Desde os indianos até os árabes, aforma do zero mudou de um ponto paraum círculo.

O símbolo maia mais famoso para ozero era uma elipse com forma de olho.

MATEMÁTICA DO ABAJUR

Quando acendemos a luz de um abajur, podemosmostrar que a hipérbole aparece a partir da luz que oabajur projeta na parede.

2) Calcule a distância entre os pontos M(–3, 1) e N(5, –14).

3) Determine o ponto Q(0, a) eqüidistante dos pontos A(2, 0) e B(2, 4).

4) Classifique o triângulo cujos vértices são os pontos A(–2, 5), B(4, –3) eC(–2, –6). Calcule seu perímetro.

5) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:a) A(2, 0) e B(–4, 3) b) A(3, 2) e B(1, –2)

6) Dados A(2, 4), B(0, –6) e C(1, 3), vértices do triângulo ABC, determine amediana CM do triângulo.

7) Sabendo-se que as diagonais de um paralelogramo ABCD se intercep-tam num ponto M(1, 4), que é o ponto médio das diagonais, determine ascoordenadas dos vértices C e D, sendo A(1, 2) e B(3, 4).

8) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices sãoA(1, –1), B(3, 2) e C(4, –2).

Manual de Matemática

517

9) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos:a) A(0, 2), B(3, 0) e C(6, 0) b) A(2, 3), B(2, –4) e C(2, –1)

10) Determine o valor de a para que os pontos A(1, 3), B(2, a) e C(0, 1)formem vértices de um triângulo.

11) Determine o coeficiente angular dos seguintes pontos:a) A(2, 4) e B(–2, –4) b) A(–1, 3) e B(0, –1)

12) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, –4) e tem

coeficiente angular igual a 13

.

13) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontosA(–2, 0) e B(0, 6).

14) A reta s passa pelos pontos A(2, –3) e B(–4, 1). Determine:a) a equação geral;b) a equação reduzida;c) a equação segmentária.

15) Determine a área do triângulo definido pelos pontos A(–1, 0), B(3, 1) eC(0, –2).

16) (CESGRANRIO – RJ) As retas de equações y = 3x – 1 e y = mx + n sãoparalelas. Então:

a) –m = –3n c) n = –1 e) m=3

b) n = 3m d) 1

m3

= −

17) Determine o valor de K para que as retas (r) 2x + y – 4 = 0 e (s)(K – 1)x –2y + 8 = 0 sejam concorrentes.

18) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(3, –2) e é per-pendicular a r, de equação 4x –y + 3 = 0.

19) (FUVEST – SP) No plano cartesiano são dados os pontos A(–1, 2), B(1,3) e C(2, –1). Determine a equação:

Manual de Matemática

518

a) da reta AB;

b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB .

20) Calcule o ângulo formado pelas retas 5x – 2y = 0 e – 10x + 4y – 5 = 0.

21) (UFPR) A distância entre as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y –14 = 0 é igual a:

a) 2 b) 4 c) 5 d) 10 e) 18

22) (PUC – SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10?

a) 2 b) 3

2c) 10 d) 1 e) 2

23) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo P(4, –3) e (r) x – y + 1 = 0.

Geometria Analítica (circunferência e elipse)

24) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nosseguintes casos:

a) C(1, –2) e r = 3 c) 1C 2,

3

e r = 1

b) C(0, 4) e r = 5 d) C(0, 0) e r 3 3=

25) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r nos casos:

a) C(–1, 1) e r 2= b) C(–2, 2) e r = 2 c) 1 5

C 1, e r2 2− =

26) Determine a posição relativa de cada ponto em relação à circunferênciax2 + y2 – 6x – 2y – 3 = 0.

a) A(1, –2) b) B(–1, 0)

27) (CESCEM – SP) O raio da circunferência x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 é igual a:

a) 2 b) 3 c) 3 d) 4 e) 16

28) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades:a) (x – 2)2 + (y – 3)2 ≥ 1 b) x2 + y2 < 81

Manual de Matemática

519

29) (FEI – SP) O ponto ( )1, 2 em relação à circunferênciax2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0:

a) está situado no centro.

b) é interno à circunferência e fora do centro.

c) está situado na curva.

d) é externo à circunferência, mas está na reta y 2x− .

e) n.d.a.

30) Identifique a posição da reta r em relação à circunferência, em cadacaso:

a) x – y = 2x2 + y2 – 8x + 4y + 18 = 0

b) x – y + 1 = 0x2 + y2 – 10y + 15 = 0

c) x + 2y + 1 = 0(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

31) Determine a equação da elipse nos seguintes casos:

a) a = 5 e b = 2, C(0, 0), de eixo maior horizontal

b) a = 4 e b = 3, C(0, 0), de eixo maior vertical

c) a = 6, 1

e2

= C(0, 0), de eixo maior horizontal

32) Calcule a excentricidade da elipse de eixo maior 8 e eixo menor 6.

33) Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, ascoordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.

a) 2 2y x

125 16

+ = b) 2 2(x 6) x

125 16− + =

34) Determine o foco e a diretriz das parábolas abaixo:a) y2 = 12x b) x2 = 8y

Manual de Matemática

520

Respostas

1) A (1, 2), B (–3, 0), C (–4, 3), D (0, –2), E(0, 0), F(–1, –2) e G(4, 0)

2) 17 3) Q(0, 2) 4) Triângulo Escaleno

P 21 3 5= +

5) a) 3

M 1,2

− b) M(2,0) 6) CM = 4

7) C(1, 6) e D(–1, 4) 8) 8 1

G ,3 3

9) a) não estão alinhados b) estão alinhados

10) a 5 11) a) m = 2 b) m = –4

12) x – 3y – 15 = 0 13) x y

12 6

+ =−

14) a) 2x + 3y + 5 = 0 b) 2 5

y x3 3

−= − c) x y

15 5

2 3

+ =− −

15)9

A u2

= 16) e 17) K ≠ –3

18) x + 4y + 5 = 0

19) a) x – 2y + 5 =0 b) 2x + y – 3 = 0

20) 0° 21) a 22) e 23) 4 2

24) a) (x – 1)2 + (y +2)2 = 9 c) 2

2 1(x 2) y 1

3 − + − =

b) x2 + (y – 4)2 = 5 d) x2 + y2 = 27

25) a) x2 + y2 + 2x – 2y= 0 c) 2x2 + 2y2 – 4x + 2y = 0b) x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0

Manual de Matemática

521

26) a) pertence à circunferência b) externo à circunferência

27) d

28) a) b)

C

y

x2

1

2

3 r = 1

–9 9

y

x

r

29) b

30) a) r é exterior à circunferência.b) r é secante à circunferência.c) r é exterior à circunferência.

31) a) + =2 2x y

125 4

b) 2 2x y

19 16

+ = c) + =2 10y x

820 2

32)7

4

33) a) C (0, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,

distância focal 6, F1(0, –3), F2(0, 3) 3

e5

= e

b) C (6, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,

distância focal = 6, F1(3, 0), F2(9, 0) e 3

e5

= .

34) a) F(3, 0), x = –3 b) F(0, 2) y = –2