geometria analitica
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XPPPPPor que apror que apror que apror que apror que aprender ender ender ender ender GeometriaGeometriaGeometriaGeometriaGeometriaAnalíticaAnalíticaAnalíticaAnalíticaAnalítica?????
Onde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentOnde usar os conhecimentososososossobrsobrsobrsobrsobre e e e e Geometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria AnalíticaGeometria Analítica?????
A Geometria Analítica estabelece relações entrea álgebra e a geometria por meio de equaçõese inequações. Isso permite transformar questõesde geometria em questões de análise e vice-versa.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A Geometria Analítica, por meio de representaçõescartesianas, pode ser usada para indicar atemperatura do corpo, as oscilações da Bolsa deValores, efeitos da natureza etc.
– GEOMETRIA ANALÍTICA
Manual de Matemática
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Capítulo 1
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica é o estudo da geometria euclidiana por meio do mé-todo das coordenadas.
Podemos dar significado algébrico às figuras geométricas, como reta, cir-cunferência, elipse, hipérbole, parábola, pelas equações matemáticas expres-sas nas variáveis x e y, analisando essas equações por meio de gráficos.
Estudo do Ponto
Sistema Cartesiano
Duas retas orientadas, uma horizontal x ( )OX , chamada eixo das abscissas,
e outra vertical y ( )OX , eixo das ordenadas, são denominadas sistemacartesiano ortogonal.
• O ponto 0 é a intersecção das retas xe y, chamado origem.• O par ordenado (x, y) é chamadocoordenada do ponto A.
Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes.
y
x
2º 1º
3º 4º
Manual de Matemática
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Exemplo:Represente no plano cartesiano os pontos:A (2, 3), B(–1, 2), C (3, –2), D (4, 0) e E (0, –3).
Distância entre Dois PontosDados dois pontos, A(xA, yA) e B(xB, yB), definimos dA, B a distância entre A e
B, como mostra a figura:
A
B
C
y
y
B
y
A
y
B – y
A
x
B – x
A
x
A x
B x
Manual de Matemática
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Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:2 2 2AB AC BC
2 2B A B A
d d d ou
d(AB) (x x ) (y y )
= +
= − + −
Exemplos:
1) Calcule a distância entre os pontos A(–2, 3) e B(1, –3). Represente ospontos no plano cartesiano.
Solução:
2 2B A B A
2 2
d(A, B) (x x ) (y y )
d(A, B) (1 2) ( 3 3)
d(A, B) 9 36
d(A, B) 45
d(A, B) 3 5
= − + −
= + + − −
= +
=
= 1
1
2
3
–2 –1–1
–2
–3
x
y
B
A
2) (UFES) Sendo A(3, 1), B(–2, 2) e C(4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:a) eqüilátero. d) retângulo e não isósceles.b) retângulo e isósceles. e) n.d.a.c) isósceles e não retângulo.
Solução:Calculando as distâncias d(A, B), d(B, C) e d(A, C), podemos classificar o
triângulo.2 2d(A, B) (3 2) (1 2)
d(A, B) 25 1
d(A, B) 26
= + + −
= +
=
Manual de Matemática
477
2 2d(B, C) (4 2) ( 4 2)
d(B, C) 36 36
d(B, C) 72
d(B, C) 6 2
= + + − −
= +
=
=2 2d(A, C) (4 3) ( 4 1)
d(A, C) 1 25
d(A, C) 26
= − + − −
= +
=
Como d(A, B) = d(A, C), o triângulo é isósceles.
Vamos verificar se o triângulo é retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras.
( ) ( ) ( )2 2 272 26 26= +
72 = 26 + 26
72 = 52 (F)
Portanto, o triângulo não é retângulo.
Resposta: c
Ponto Médio
Sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) e M(xM, yM), o ponto que divide AB ao meio échamado ponto médio.
A
M
B
y
y
B
y
A
y
M
x
A x
B xx
M
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M(xM, yM) é o ponto médio do segmento AB .
A B A BM M
x x y yx e y
2 2+ += =
Exemplos:
1) Determine as coordenadas de M, ponto médio de A(4, 3) eB(2, –1).
Solução:
Substituindo os dados na fórmula:A B A B
M M
M M
M M
x x y yx y
2 24 2 3 1
x y2 2
x 3 y 1
+ += =
+ −= =
= =Portanto, M(3, 1).
2) Sendo M(6, –1) o ponto médio de AB e A(0, 3), determine as coordena-das de B.
Solução:Aplicando a fórmula:
A B A BM M
B B
B B
B
x x y yx y
2 20 x 3 y
6 12 2
x 12 2 3 y
y 5
+ += =
+ += − =
= − = += −
B(12, –5)
3) Dados os pontos A(–1, 4), B(0, 2) e C(4, 6), determine o comprimento damediana referente ao vértice A.
Solução:
Obs.:Mediana é o segmento que vai de um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.
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Sendo o triângulo ABC:A
M CB
Devemos calcular o comprimento AM .
Calculando o ponto médio de BC .
B C B CM M
M M
M M
x x y yx y
2 20 4 2 6
x y2 2
x 2 y 4
+ += =
+ += =
= =
M(2, 4)
A mediana é dada pela d(A, M). Assim:2 2d(A, M) ( 1 2) (4 4)
d(A, M) 9
d(A, M) 3
= − − + −
==
Baricentro de um Triângulo
Baricentro é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo.
A
M
a
M
c M
b
CB
G
Sendo G(xG, yG), podemos definir
A B CG
A B CG
x x xx e
3y y y
y3
+ +=
+ +=
Manual de Matemática
480
Exemplo:
Seja o triângulo cujos vértices são: A(3, 1), B(–1, 2) e o baricentro G(6, –8).Determine o vértice C.
Solução:
A B C A B CG G
C C
C C
C C
x x x y y yx y
3 33 1 x 1 2 y
6 83 3
18 2 x 24 3 y
x 16 y 27
+ + + += =
− + + += − =
= + − = += = −
Portanto, C(16, –27).
Condição de Alinhamento de Três PontosPara que três pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) sejam alinhados ou
colineares, é necessário que:
A A
B B
C C
x y 1D x y 1 0
x y 1= =
Obs.:Se D ≠ 0, os pontos formam vértices de um triângulo.
Exemplos:
1) Verifique se os pontos A(–2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) estão alinhados.
Solução:
D =− −2 6 1
4 8 1
1 7 1
2
4
1
6
8
7
D = –16 + 6 + 28 – 8 +14 – 24
D = 0
Manual de Matemática
481
Como D = 0, os pontos estão alinhados.
2) Determine o valor de m para que os pontos A(3, –1), B(4, 2) e C(m, –2)sejam vértices de um triângulo.
Solução:
A condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triânguloé D ≠ 0.
D
m m
=
–
–
–
–
≠3 1 1
4 2 1
2 1
3
4
1
2
2
0
6 – m – 8 – 2m + 6 + 4 ≠ 0–3m ≠ –8
3m ≠ 8
8m
3≠
Área de um TriânguloSendo os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) vértices de um triângulo,
podemos calcular a área do triângulo pela fórmula:
Exemplos:1) Calcule a área do triângulo formado pelos pontosA(2, 0), B(–1, 3) e C(4, 5).
Solução:
Calculando o determinante:
D = − −2 0 1
1 3 1
4 5 1
2
1
4
0
3
5
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D = 6 + 0 – 5 – 12 – 10 – 0D = – 21
2) Determine o valor de a, sendo A(3, 1), B(2a, –1) e C(–2, –3) e a área dotriângulo determinada pelos pontos ABC é igual a 6.
Solução:
D a a= −− − −
−−
3 1 1
2 1 1
2 3 1
3
2
2
1
1
3
D = – 3 – 2 – 6a – 2a + 9 – 2D = – 8a + 2
1A D
2
16 8a 2
2
8a 2 12
8a 2 12 8a 2 12
8a 10 8a 14
8a 148a 10
14 710 a aa 8 48
5a
4
=
= − +
− + =
− + = − + = −
− = − = −
== −
− = ⇒ ==
−=
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A Reta
Equação Geral da Reta
Dados os pontos A(xA, yA) e B(xB, yB) e um ponto qualquer P(xP, yP) quepertença à reta r( AB ).
Sabendo que A,B e P são colineares, então:
A A
B B
P P
x y 1x y 1 0x y 1
=
A equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equaçãoax + by + c = 0.
Exemplo:Determine a equação geral da reta que passa pelos pontosA(4, –2) e B(3, 6).Solução:Substituindo em:
D
x y x y
=− −
=4 2 1
3 6 1
1
4
3
2
6 0
24 – 2x + 3y – 6x – 4y + 6 = 0–8x – y + 30 = 08x + y – 30 = 0
Portanto, 8x + y – 30 = 0 é a equação geral da reta que passa pelo pontoA e B.
Intersecção de Retas
Para calcularmos a intersecção de duas retas concorrentes, devemos resol-ver o sistema formado pelas equações dessas retas.
Manual de Matemática
484
Exemplo:Determine o ponto de intersecção da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e
B(–4, 2) e s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).Solução:Calculando a equação da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B(–4, 2):
0 3 1
4 2 1
1
0
4
3
2 0− − =x y x y
0 + 3x – 4y – 2x + 12 = 0x – 4y + 12 = 0reta s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
−5 2
− −− =
1 2 1
1
1
1
5
2
2 0
x y x y
2 + 2x + 5y + 2x + y – 10 = 04x + 6y – 8 = 0Formando um sistema, temos:
x 4y 12 0 ( 4)
4x 6y 8 0
4x
− + = − + − =
− 16y 48 0
4x
+ − =
6y 8 0
22y 56
56 28y y
22 11
+ − =
=
= ⇒ =
Substituindo y = 2811
em x – 4y + 12 = 0, temos:
x – 4y + 12 = 0
x – 4 . 2811
+12 = 0
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x – 11211
+12 = 0
x = 11211
– 12
x = 20
11−
O ponto de intersecção é 20 28
,11 11
−
.
Equação ReduzidaDada a equação geral ax + by + c = 0 da reta, podemos colocá-la na
forma reduzida, isolando o valor de y.
= + →↓
y mx b coeficiente linear
coeficiente angular
Em que m é o coeficiente angular da reta e b é a ordenada do ponto em quea reta corta o eixo y.
Coeficiente Angular
É a tangente do ângulo α formado pela reta r com o eixo das abscissas,medido sempre no sentido anti-horário.
y
r
αx
B A
B A
y ym tg ou m
x x−= α =−
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486
y
r
αx
y
r α
x
m > 0 m < 0
y
r
x
y
x
r
m = 0 m não é definidoExemplos:1) Determine o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A(–2, 6) e
B(1, 4).Solução:Aplicando a fórmula, temos:
B A
B A
y ym
x x−=−
4 6m
1 22
m3
−=+
−=
2) Dê a equação reduzida da reta 3x + 6y – 4 = 0
Solução:
Isolando o valor de y, temos:
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487
3x + 6y – 4 = 0
6y = –3x + 4
3x 4y
6 61x 2
y2 3
−= +
−= +
em que 1
m2
= − (coeficiente angular) e 2
b3
= (coeficiente linear).
3) Escreva a equação reduzida determinada pelos pontos A(5, –2) eB(0, –3).
Quando olhamos uma montanha, observamos que podemos aplicara definição de coeficiente angular.
Qual será a inclinação da montanha?Ela será dada pela tangente do ângulo formado pelo solo e a
montanha.
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Solução:
Como a reta é formada por dois pontos, devemos calcular o determinante.
–15 – 2x + 3x – 5y = 0x – 5y – 15 = 0–5y = –x + 155y = x – 15
1y x 3
5= −
Equação Segmentária
A equação segmentária da reta r é dada pela fórmula x y
1p q
+ = , em que p
é onde a reta corta o eixo x(p, o) e q é onde a reta corta o eixo y(o, q).
yr
x
(0, q)
(p, 0)
Exemplo:
Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–3, 0)e B(0, 4).
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Solução:
Aplicando a fórmula:x y
1p q
x y x y1 ou 1
3 4 3 4
+ =
−+ = + =−
Equação da reta que passa pelo ponto P(xp, y
p) e tem
coeficiente angular mDetermine a equação da reta r, dados o ponto P(–2, 3) e o coeficiente angu-
lar 1
m2
= − .
Solução:Seja P(xp, yp) um ponto qualquer da reta.
Então p
p pp
y ym y y m(x x )
x x
−= ⇒ − = −
−(equação da reta)
y – yp = m(x – xp)
y – 3 = 1
2−
(x + 2)
2y – 6 = –x – 2x + 2y – 4 = 0 (equação da reta)
Posições Relativas entre Duas Retas
Retas Paralelas
Duas retas são paralelas se, e somente se, os coeficientes angulares foremiguais.
y
s
αx
r
α
mr = ms
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Retas Concorrentes
Duas retas são concorrentes se, e somente se, os coeficientes angularesforem diferentes.
y
s
α
x
r
βmr ≠ ms
Retas Perpendiculares
Duas retas são perpendiculares se, e somente se, mr . ms = – 1 foremcoeficientes angulares inversos e contrários.
y
s
x
r
mr . ms = – 1
Exemplos:
1) Verifique se as retas (r): 3x – y + 2 = 0 e (s): –9x + 3y – 1 = 0 sãoparalelas.
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Solução:
Determinando a equação reduzida das retas r e s, temos:
3x – y + 2 = 0
–y = –3x – 2
y = 3x + 2 ⇒ mr = 3
–9x + 3y – 1 = 0
3y = 9x + 1
y = 3x + 13
⇒ ms= 3
Como mr = ms, as retas são paralelas.
2) Determine K, para que as retas l1: (K + 2)x + y + 2 = 0 e
l2: 3x + ky – 1 = 0 sejam perpendiculares.
Solução:
Reduzindo as retas l1 e l2, temos:
(l1) (K + 2)x + y + 2 = 0
y = –(K+2)x – 21
m (K 2)= − +l
(l2) 3x + Ky – 1 = 0Ky = –3x + 1
2
3 1 3y m
K k K− −= + =l
Como as retas l1 e l2 são perpendiculares, 21m m⋅l l =-1
–(K+2) .3
K−
=–1
3K+6=–K
3K+K=–6
4K=–6
K=6
4−
=3
2−
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492
3) Determine a equação da reta (s), paralela à reta (r) x – 2y + 3 = 0 e quepassa pelo ponto A(–1, 2).
Solução:
Sendo a equação x – 2y + 3 = 0, devemos colocar na forma reduzida:x – 2y + 3 = 0–2y = – x – 3
2y = x + 3 ⇒ r1
m2
=
1x 3y
2 2= +
Como as retas r e s são paralelas, mr = ms =12
.
y – yA = ms(x – xA)
y – 2 = 12
(x + 1)
2y – 4 = x + 1–x + 2y – 5 = 0x – 2y + 5 = 0
Ângulo entre Duas Retas
Dadas duas retas r e s concorrentes e não perpendiculares entre si:
ys
x
r
θ
1
θ
2
θDefinimos:
r s
r s
m mtg
1 m m−θ=
+ ⋅
Exemplo:
Determine o ângulo formado pelas retas:
(r) 2x – y + 1 = 0 e (s) 3x + y – 2 = 0.
Manual de Matemática
493
Solução:
Reduzindo as equações, temos:(r) 2x – y + 1 = 0 (s) 3x + y – 2 = 0–y = –2x – 1 y = –3x+2y = 2x +1 ms = –3mr= 2
Aplicando a fórmula:
Distância entre Ponto e Reta
A distância entre a reta (r) ax + by + c = 0 e o ponto P(xp, yp) é dada pelafórmula:
p pP, r 2 2
ax by cd
a b
+ +=
+
Exemplos:
1) Determine a distância entre a reta (r) 3x + 2y – 1 = 0 e o ponto P(–1, 1).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:
Manual de Matemática
494
2) Determine a distância entre as retas (r) 2x + y – 3 = 0 e (s) 4x – 3y + 1 = 0
Solução:
Devemos achar um ponto em r ou em s para podermos calcular a distância.
Tomando a reta r, determinamos o ponto:p/x = 02 . 0 + y – 3 = 0y = 3 P(0, 3)
Temos P(0, 3) e a reta (s) 4x – 3y + 1 = 0.
3) Calcule a altura do triângulo ABC, relativo ao vértice A, dados os pontosA (5, –1), B(2, 0) e C(–3, 3).
Solução:
Determinamos inicialmente a equação da reta r, suporte do lado BC dotriângulo.
B
A
CH
h
r
6 – 3 y – 3x – 2y = 0–3x – 5y + 6 = 0
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495
Determinamos a distância entre o vértice A e a reta r.
Circunferência
DefiniçãoCircunferência Circunferência Circunferência Circunferência Circunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de C (centro da
circunferência).
r
r
r
r
r
C
A distância de C a qualquer pontoda circunferência é chamada raio.
Equação da Circunferência
C
y
y
b
a
r
P(x, y)
x x
C(a, b) é o centro da circunferência e P(x, y) pertence à circunferência.
Manual de Matemática
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A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Se o centro da circunferência for a origem C(0, 0), a equação é dada porx2 + y2 = r2.
Equação Geral da Circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida de raio r e centro C(a, b), chegamos àequação geral da circunferência:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 – r2 = 02 2 2 2 2
F
x y 2ax 2by a b r 0+ − − + + − =
Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que:• o coeficiente de x2 e y2 seja igual a 1;• não exista termo na variável x y;• o raio 2 2r a b F= + − , sendo r >0.
Exemplos:
1) Determine o raio e o centro da circunferência cuja equação reduzida é:(x – 2)2 + (x + 1)2 = 9.
Solução:
Comparando as equações:(x – a)2 + (y – b)2 = r2 e (x – 2)2 + (x + 1)2 = 9, obtemos:
a = 2, b = –1 e r = 3C(2, –1) e r = 3
2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio igual a 5 eC(–3, 4).
Solução:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 52
(x + 3)2 + (y – 4)2 = 25
Manual de Matemática
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3) Determine a equação da circunferência com centro C(–2, 1) que passapelo ponto P(3, 0).
Solução:O ponto P pertence à circunferência.
r
C
P
2 2
d(C, P) r
r ( 2 3) (1 0)
r 25 1
r 26
=
= − − + −
= +
=
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x + 2)2 + (y – 1)2 = ( )226
(x + 2)2 + (y – 1)2 = 26
4) Ache a equação da circunferência cujas extremidades do diâmetro sãoos pontos A (4, 2) e B(–2, 6).
Solução:C(a, b) é o ponto médio de AB .
4 2 2 6a b
2 2a 1 b 4
− += =
= =C(1, 4)r é dado por r = d(C, A).
2 2r (1 4) (4 2)
r 9 4
r 13
= − + −
= +
=A equação será (x – 1)2 + (y – 4)2 = 13.
5) Determine a equação geral da circunferência com centro emC(–1, 3) e r = 4.
Solução:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Manual de Matemática
498
Substituindo C(–1, 3) e r = 4 na equação reduzida:
(x+1)2 + (y – 3)2 = 42
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 – 16 = 0
x2 + y2 + 2x – 6y – 6 = 0
6) Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação geral éx2 + y2 – 4x – 10y – 7 = 0.
Solução:Comparando as equações,x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 ex2 + y2 – 4x – 10y – 7 = 0, temos:–2a = –4 –2b = –102a = 4 2b = 10a = 2 b = 5 ⇒ C(2, 5)a2 + b2 – r2 = –722 + 52 – r2 = –7–r2 = –7 – 29r2 = 36r=6
Posições Relativas entre Circunferência e Ponto
Observe a circunferência e os pontos:
C
yP
3
P
1
P
2
x
Se d(P1, C) < r, P é interno.
Se d(P2, C) = r, P ∈ à circunferência.
Se d(P3, C) >r, P é externo.
Manual de Matemática
499
Exemplos:
1) Determine a posição dos pontos P(1, –1), Q(3, 4) em relação à circunfe-rência x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0.
Solução:
x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0
Substituindo P(1, –1), x = 1 e y = –1 na equação,
12+(–1)2 –2 . 1+4(–1)–10=0
–14 < 0 P é interior à circunferência.
x2 + y2 – 2x + 4y – 10 = 0 Q(3,4)
32 + 42 – 2 . 3 + 4 . 4 – 10 = 0
25> 0 Q é exterior à circunferência.
2) Determine o valor de a, para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferên-cia x2 + y2 + 3x – 6y – a = 0.
Solução:
Para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferência, devemos ter:
12 + 22 + 3 . 1 – 6 . 2 +a = 0
a = 4
Posições Relativas entre Reta e Circunferência
Observe as retas a, b e c e a circunferência a seguir:
C
y
x
a
b
c • a é secante à circunferência, pois a
intercepta em dois pontos d(C, a) < r.
• b é tangente à circunferência, pois
b a intercepta em um ponto d(C, b) = r.
• c é exterior à circunferência, poisnão tem ponto em comum com acircunferência d(C, c) > r.
Manual de Matemática
500
Exemplos:
1) Qual a posição da reta (r) 2x – 4y + 3 = 0 em relação à circunferênciax2 + y2 – 6x – 2y + 1= 0?
Solução:
Inicialmente determinamos o centro e o raio da circunferência:x2 + y2 – 6x – 2y + 1= 0–2a = –6 –2b = –22a = 6 2b = 2a = 3 b = 1
C(3, 1)a2 + b2 – r2 = 132 + 12 – r2 = 1
–r2 = –9r2 = 9r = 3
Calculando a distância de C à reta r, temos:
Como d(C,r) < r, a reta é secante à circunferência.
2) (MACK – SP) A reta s: y = kx é tangente à circunferênciax2 + (y – 2)2 = 4.
Determine k.
Solução:x2 + (y – 2)2 = 4 C(0, 2) e r = 2Kx – y = 0
Se a reta é tangente àcircunferência, d(C, s) = r.
Manual de Matemática
501
2
2
2
2
2
2
22
K 1
2 K 1 2
K 1 1
K 1 1
K 1 1
K 0 K 0
=+
+ =
+ =
+ =
+ =
= ⇒ =
Posições Relativas de Duas Circunferências
Dados r1 e r2, os raios das circunferências de centros C1 e C2 e d, a distânciaentre os centros, podemos identificar as posições relativas entre duas circun-ferências:
d
C
1 r
1 r
2
C
2
As circunferências sãoexteriores:d > r1 + r2
dC
1 r
1 r
2
C
2
As circunferências sãotangentes exteriores:d = r1 + r2
dC
1 r
1 r
2
C
2
As circunferências sãosecantes:d < r1 + r2
Manual de Matemática
502
dC
1r
1
r
2
C
2
As circunferências sãotangentes interiores:d = |r1 – r2|
dC
1 r
1
r
2
C
2
As circunferências são interiores:d < |r1 – r2|
Exemplo:Verifique a posição relativa entre as circunferências(x – 2)2 + (y +1)2 = 25 e (x – 3)2 + (y +2)2 = 9:(x – 2)2 + (y +1)2 = 25C(2, –1) e r1 = 5(x – 3)2 + (y +2)2 = 9C(3, –2) e r2 = 3
2 2d (3 2) ( 2 1)
d 2
= − + − +
=|r1 – r2|=|5 – 3|=|2|=2r1 + r2 = 5 + 3 = 8Portanto, d < |r1 – r2| e as circunferências são interiores.
Estudo das CônicasAs figuras parábola, hipérbole e elipse recebem o nome de cônicas, pois
são obtidas pela intersecção de um plano e um cone.
Elipse Hipérbole Parábola
Manual de Matemática
503
Elipse
Elipse é o conjunto dos pontos de um plano, em que a soma das distânciasde F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
a a
aa
c c
b
b
B
1
B
2
F
2F
1
A
1 A
2
Elementos:A1, A2, B1 e B2 são os vérticesa é o semi-eixo maiorb é o semi-eixo menorc é a semidistância focalF1 e F2 são os focos
1 2F F = 2c (distância focal)
1 2A A = 2a (eixo maior)
1 2B B = 2b (eixo menor)
A MATEMÁTICA E A ASTRONOMIA
ESTÃO INTERAGINDO
Podemos observar que a elipseestá presente na trajetória dasórbitas dos planetas em torno doSol, e o Sol está posicionado numdos focos da elipse.
Todos os planetas, com exce-ção de Plutão, descrevem elipses.
Sol
Planeta
trajetória elíptica
Manual de Matemática
504
Equações
• Elipse com o centro na origem e eixo maior horizontal:
P(x, y)
A
1 A
2F
1 (–c, 0) F
2 (c, 0) x
y
2 2
2 2
x y1
a b+ =
• Elipse com o centro na origem e eixo maior vertical:
F
1
B
1 B
2
A
1
F
2
A
2
x
y
2 2
2 2
y x1
a b+ =
• Elipse de centro fora da origem C(x0, y0) e eixo maior horizontal:
P
F
1
B
1
F
2
B
2
A
2A
1
x
0
y
0
x
y
c c
C2 2
0 02 2
1 0 0
2 0 0
(x x ) (y y )1,
a bem que F(x c, y ) e
F (x c, y )
− −+ =
−+
Manual de Matemática
505
• Elipse de centro fora da origem C(x0, y0) e eixo maior vertical:
F
1
A
1
B
1
x
0
y
0
F
2
B
2
A
2
x
y
Cc
c
Relação Fundamental
a2 = b2 + c2
ExcentricidadeDefinimos como excentricidade o quociente entre a semidistância focal e
o semi-eixo maior.
ce=
a, em que 0 < e < 1.
Exemplos:1) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizon-
tal, sendo 2a = 12 e 2c = 6.Solução:2a = 12 2c = 6a = 6 c = 3Aplicando a relação fundamental a2 = b2 + c2.62 = b2 + 32
b2 = 27
b 27 b 3 3= ⇒ =
Se o eixo maior é horizontal, a equação é do tipo 2 2
2 2
x y1
a b+ = .
2 2x y1
36 27+ =
Manual de Matemática
506
2) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos e aexcentricidade de cada uma das elipses abaixo:
a) x2 + 5y2 = 20Solução:Dividindo a equação por 20, temos:
2 2
2 2
x 5y 2020 20 20
x y1
20 4
+ =
+ =
a2 = 20a =
a = eixo maior: 4 5
b2 = 4b = 2 eixo menor: 2b=4a2 = b2 + c2
20 = 4 + c2
c2 = 16c = ±4distância focal: 2c = 8focos F1(4, 0) e F2(–4, 0) – eixo maior horizontal.
b) 2 2(y 4) (x 2)
19 4− ++ =
Solução:
A elipse é de centro fora de origem C(–2, 4) e eixo maior vertical.2 2
0 02 2
(y y ) (x x )1
a b− −+ =
Manual de Matemática
507
a2 = 9
a 9=a = 3 eixo maior: 2a = 6
b2 = 4
b = 2 eixo menor: 2b = 4
a2 = b2 + c2
9 = 4 + c2
c2 = 5
c 5= ± distância focal: 2c 2 5=
Os focos têm coordenadas F1 (x0, y0 + c) e F2(x0, y0 – c). Substitutivo:
F1 (–2, 4 + 5 ) e F2 (–2, 4 – 5 ).
c 5e e
a 3= ⇒ =
Hipérbole
Definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o móduloda diferença das distâncias desses pontos a F1 e F2 seja sempre igual a 2a.
Manual de Matemática
508
Elementos:A1 e A2 são os vérticesF1 e F2 são os focosa é o semi-eixo realb é o semi-eixo imaginárioc é a semidistância focal
1 2F F = 2c (distância focal)
1 2A A = 2a (eixo real)
1 2B B = 2b (eixo imaginário)
Equações
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo x:
F
1 A
1 A
2F
2
a a
x
2 2
2 2
x y1
a b− =
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y:
F
1
A
1
A
2
F
2
a
c
x 2 2
2 2
y x1
a b− =
Manual de Matemática
509
• Hipérbole de centro C(x0, y0) e eixo real horizontal:
F
1
y
0
x
0
F
2
x
y
2 20 0
2 2
(x x ) (y y )1
a b− −− =
• Hipérbole de centro C(x0, y0) e eixo real vertical:
F
1
F
2
x
y
2 20 0
2 2
(y y ) (x x )1
a b− −− =
Relação Fundamental
c2 = a2 + b2
Excentricidade
ce
a= , com e > 1
Manual de Matemática
510
Hipérbole Eqüilátera
Define-se como hipérbole eqüilátera a hipérbole que possui os semi-eixosreal e imaginário iguais, ou seja, a = b.
Equações das Assíntotas da Hipérbole
Define-se como assíntota as retas que contêm as diagonais do retângulode lados 2a e 2b.
F
1 F
2 x
y
b
a a
b
Equações
• Eixo real horizontal e centro na origem:b
y xa
= ±
• Eixo real vertical e centro na origem:a
y xb
= ±
• Eixo real horizontal e C(x0, y0):
0 0b
y y (x x )a
− = ± −
• Eixo real vertical e C(x0, y0):
0 0a
y y (x x )b
− = ± −
Manual de Matemática
511
Exemplos:
1) Determine a equação da hipérbole abaixo:
F
1
F
2
A
2
A
1
x
y
4
2
–2
–4
Solução:
Temos:
a = 2 e c = 4
Pela relação fundamental, temos:c2 = a2 + b2
16 = 4 + b2
b2 = 12
Logo:2 2 2 2
2 2
y x y x1 1
a b 4 12− = ⇒ − =
2) Determine a equação da hipérbole de eixo real 2a = 4 horizontal, comcentro na origem e eixo imaginário 2b = 8.
Solução:2a = 4 (eixo real) 2b = 8 (eixo imaginário)a = 2 b = 4
Manual de Matemática
512
Equação:2 2 2 2
2 2
x y x y1 1
a b 4 16− = ⇒ − =
3) Determine a excentricidade, as assíntotas e a equação da hipérbole deeixo real horizontal medindo 8, centro na origem e foco F1(–5, 0).
Solução:2 2
2 2
x y1
a b− =
2a = 8
a = 4 e c = 5
c2 = a2 + b2
25 = 16 + b2
b2 = 25 – 16
b2 = 92 2x y
116 9
− =
Excentricidade:
ce
a5
e4
=
=
As assíntotas são:
b 3y x y x
a 4= ± ⇒ = ±
Parábola
Definimos como parábola o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dareta d(diretriz) e do ponto F(foco).
Manual de Matemática
513
y
0
x
0 x
d
D
P
eixo de
simetria
F
y
V
p
2
p
2
• F é o foco.• d é a diretriz.• V é o vértice.• a distância p entre o foco F e a diretriz d é o parâmetro.• V é o ponto médio do DF .
Equação• Eixo de simetria paralelo ao eixo x:
x
0
y
0
x
y d
0
F
P(x, y)
p
2
Concavidade para a direita:(y – y0)
2 = 2p(x – x0)
Se V (0, 0):(y – 0)2 = 2p(x – 0)y2 = 2px
Manual de Matemática
514
Concavidade voltada para a esquerda:(y – y0)
2 = – 2p(x – x0)Se V(0, 0):y2 = –2px
• Eixo de simetria paralelo ao eixo y:
x
0
y
0
x
y
0
F
eixo
de
sim
etria
• Concavidade voltada para cima:
(x – x0)2 = 2p(y – y0)
Se V(0, 0):
x2 = 2py
• Concavidade voltada para baixo:
(x – x0)2 = – 2p(y – y0)
Se V(0, 0):
x2 = –2py
Exemplo:
Dada a parábola de equação y2 = 12x, determine:
a) o vértice;
Manual de Matemática
515
b) o foco;
c) a diretriz.
a) vértice
y2 = 12x tem vértice na origem e concavidade voltada para a direita.V(0, 0):
b) foco
A parábola é do tipo y2 = 2px.
2p = 12 Então, p
32
=
p = 6
pF , 0 F(3, 0)
2 =
c) diretrizp
D , 02
− D(–3, 0) e a equação é x = –3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS Geometria Analítica (ponto e reta)1) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G.
10
1
2
3
–4 –3 –2 –1–1
–2
2 3 4 x
y
A
B
C
D
E
F
G
Manual de Matemática
516
A EVOLUÇÃO DO ZERO
Desde os indianos até os árabes, aforma do zero mudou de um ponto paraum círculo.
O símbolo maia mais famoso para ozero era uma elipse com forma de olho.
MATEMÁTICA DO ABAJUR
Quando acendemos a luz de um abajur, podemosmostrar que a hipérbole aparece a partir da luz que oabajur projeta na parede.
2) Calcule a distância entre os pontos M(–3, 1) e N(5, –14).
3) Determine o ponto Q(0, a) eqüidistante dos pontos A(2, 0) e B(2, 4).
4) Classifique o triângulo cujos vértices são os pontos A(–2, 5), B(4, –3) eC(–2, –6). Calcule seu perímetro.
5) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:a) A(2, 0) e B(–4, 3) b) A(3, 2) e B(1, –2)
6) Dados A(2, 4), B(0, –6) e C(1, 3), vértices do triângulo ABC, determine amediana CM do triângulo.
7) Sabendo-se que as diagonais de um paralelogramo ABCD se intercep-tam num ponto M(1, 4), que é o ponto médio das diagonais, determine ascoordenadas dos vértices C e D, sendo A(1, 2) e B(3, 4).
8) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices sãoA(1, –1), B(3, 2) e C(4, –2).
Manual de Matemática
517
9) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos:a) A(0, 2), B(3, 0) e C(6, 0) b) A(2, 3), B(2, –4) e C(2, –1)
10) Determine o valor de a para que os pontos A(1, 3), B(2, a) e C(0, 1)formem vértices de um triângulo.
11) Determine o coeficiente angular dos seguintes pontos:a) A(2, 4) e B(–2, –4) b) A(–1, 3) e B(0, –1)
12) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, –4) e tem
coeficiente angular igual a 13
.
13) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontosA(–2, 0) e B(0, 6).
14) A reta s passa pelos pontos A(2, –3) e B(–4, 1). Determine:a) a equação geral;b) a equação reduzida;c) a equação segmentária.
15) Determine a área do triângulo definido pelos pontos A(–1, 0), B(3, 1) eC(0, –2).
16) (CESGRANRIO – RJ) As retas de equações y = 3x – 1 e y = mx + n sãoparalelas. Então:
a) –m = –3n c) n = –1 e) m=3
b) n = 3m d) 1
m3
= −
17) Determine o valor de K para que as retas (r) 2x + y – 4 = 0 e (s)(K – 1)x –2y + 8 = 0 sejam concorrentes.
18) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(3, –2) e é per-pendicular a r, de equação 4x –y + 3 = 0.
19) (FUVEST – SP) No plano cartesiano são dados os pontos A(–1, 2), B(1,3) e C(2, –1). Determine a equação:
Manual de Matemática
518
a) da reta AB;
b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB .
20) Calcule o ângulo formado pelas retas 5x – 2y = 0 e – 10x + 4y – 5 = 0.
21) (UFPR) A distância entre as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y –14 = 0 é igual a:
a) 2 b) 4 c) 5 d) 10 e) 18
22) (PUC – SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10?
a) 2 b) 3
2c) 10 d) 1 e) 2
23) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo P(4, –3) e (r) x – y + 1 = 0.
Geometria Analítica (circunferência e elipse)
24) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nosseguintes casos:
a) C(1, –2) e r = 3 c) 1C 2,
3
e r = 1
b) C(0, 4) e r = 5 d) C(0, 0) e r 3 3=
25) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r nos casos:
a) C(–1, 1) e r 2= b) C(–2, 2) e r = 2 c) 1 5
C 1, e r2 2− =
26) Determine a posição relativa de cada ponto em relação à circunferênciax2 + y2 – 6x – 2y – 3 = 0.
a) A(1, –2) b) B(–1, 0)
27) (CESCEM – SP) O raio da circunferência x2 + y2 – 4x + 6y – 3 = 0 é igual a:
a) 2 b) 3 c) 3 d) 4 e) 16
28) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades:a) (x – 2)2 + (y – 3)2 ≥ 1 b) x2 + y2 < 81
Manual de Matemática
519
29) (FEI – SP) O ponto ( )1, 2 em relação à circunferênciax2 + y2 – 4x – 4y + 4 = 0:
a) está situado no centro.
b) é interno à circunferência e fora do centro.
c) está situado na curva.
d) é externo à circunferência, mas está na reta y 2x− .
e) n.d.a.
30) Identifique a posição da reta r em relação à circunferência, em cadacaso:
a) x – y = 2x2 + y2 – 8x + 4y + 18 = 0
b) x – y + 1 = 0x2 + y2 – 10y + 15 = 0
c) x + 2y + 1 = 0(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25
31) Determine a equação da elipse nos seguintes casos:
a) a = 5 e b = 2, C(0, 0), de eixo maior horizontal
b) a = 4 e b = 3, C(0, 0), de eixo maior vertical
c) a = 6, 1
e2
= C(0, 0), de eixo maior horizontal
32) Calcule a excentricidade da elipse de eixo maior 8 e eixo menor 6.
33) Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, ascoordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
a) 2 2y x
125 16
+ = b) 2 2(x 6) x
125 16− + =
34) Determine o foco e a diretriz das parábolas abaixo:a) y2 = 12x b) x2 = 8y
Manual de Matemática
520
Respostas
1) A (1, 2), B (–3, 0), C (–4, 3), D (0, –2), E(0, 0), F(–1, –2) e G(4, 0)
2) 17 3) Q(0, 2) 4) Triângulo Escaleno
P 21 3 5= +
5) a) 3
M 1,2
− b) M(2,0) 6) CM = 4
7) C(1, 6) e D(–1, 4) 8) 8 1
G ,3 3
−
9) a) não estão alinhados b) estão alinhados
10) a 5 11) a) m = 2 b) m = –4
12) x – 3y – 15 = 0 13) x y
12 6
+ =−
14) a) 2x + 3y + 5 = 0 b) 2 5
y x3 3
−= − c) x y
15 5
2 3
+ =− −
15)9
A u2
= 16) e 17) K ≠ –3
18) x + 4y + 5 = 0
19) a) x – 2y + 5 =0 b) 2x + y – 3 = 0
20) 0° 21) a 22) e 23) 4 2
24) a) (x – 1)2 + (y +2)2 = 9 c) 2
2 1(x 2) y 1
3 − + − =
b) x2 + (y – 4)2 = 5 d) x2 + y2 = 27
25) a) x2 + y2 + 2x – 2y= 0 c) 2x2 + 2y2 – 4x + 2y = 0b) x2 + y2 + 4x – 4y + 4 = 0
Manual de Matemática
521
26) a) pertence à circunferência b) externo à circunferência
27) d
28) a) b)
C
y
x2
1
2
3 r = 1
–9 9
y
x
r
29) b
30) a) r é exterior à circunferência.b) r é secante à circunferência.c) r é exterior à circunferência.
31) a) + =2 2x y
125 4
b) 2 2x y
19 16
+ = c) + =2 10y x
820 2
32)7
4
33) a) C (0, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
distância focal 6, F1(0, –3), F2(0, 3) 3
e5
= e
b) C (6, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
distância focal = 6, F1(3, 0), F2(9, 0) e 3
e5
= .
34) a) F(3, 0), x = –3 b) F(0, 2) y = –2