geometria analitica-gaia

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GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANAL ÍÍTICATICA

ESTUDO DO PONTOESTUDO DO PONTO

B

AM

xBxMxA

yB

yM

yA

x

y

xM =xA + xB

2yM =

yA + yB

2e

0

PONTO MÉDIO

x

y

xC

yAA

B

C

xA xB

yB

yC

BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO

MM11

MM22

MM33GG

xG =xA + xB + xC

3yM =

yA + yB + yC

3e

Calcule as coordenadas do baricentro de um triângul o ABC, Calcule as coordenadas do baricentro de um triângul o ABC, sabendo que AD sabendo que AD éé uma de suas medianas e que A(uma de suas medianas e que A( --5, 8) e D(1, 5, 8) e D(1, --1). 1).

a) (0, 2) b) (a) (0, 2) b) (--1, 2) c) (2, 1, 2) c) (2, --1) d) (1) d) (--1, 1) e) (2, 1, 1) e) (2, --2)2)

x

y

xC

yAA

B

C

xA xB

yB

yC

ÁREA DE UM TRIÂNGULO

1yCxC

1yBxB

1yAxA

A = 1

2

x

y

4

1 A

B

C

2 6

3

5

③③③③

①①①① ②②②②

M

NP

AT = AMNP – (AT1 + AT2 + AT3)

( UFPR – 2012 ) Calcule a área do quadrilátero P 1P2P3P4 , cujas coordenadas cartesianas são dadas na figura abaixo.

( FURG-RS ) Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano estão alinhados se e somente se:

a) k = 15 b) k = 11c) k = 14d) k = 12e) k = 13



DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOSDISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

B

AM

xBxMxA

yB

yM

yA

x

y

xM =xA + xB

2yM =

yA + yB

2e

0

PONTO MÉDIO

x

y

xC

yAA

B

C

xA xB

yB

yC

ÁREA DE UM TRIÂNGULO

1yCxC

1yBxB

1yAxA

A = 1

2

DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

(dAB)2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2

2AB

2ABAB )y(y)x(xd −+−=

( UFRGS ) Sendo os pontos A (– 1, 5) e B(2, 1) vér tices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado é

x

yB – yA

A

B

xA xB

yA

yB

y

0

xB – xA

ESTUDO DO PONTO

2AB


xx x

MA B=

+2

yy y

MA B=

+2

( UFPEL ) Na arquitetura, a matem( UFPEL ) Na arquitetura, a matem áática tica éé usada a usada a todo momento. A geometria todo momento. A geometria éé especialmente especialmente necessnecess áária no desejo de projetos. Essa parte da ria no desejo de projetos. Essa parte da MatemMatem áática ajuda a definir a forma dos espatica ajuda a definir a forma dos espa çços, os, usando as propriedades de figuras planas e usando as propriedades de figuras planas e ssóólidas. Ajuda tamblidas. Ajuda tamb éém a definir a medidas desses m a definir a medidas desses espaespa çços. Uma arquiteta os. Uma arquiteta éé contratada para fazer o contratada para fazer o jardim de uma residência, que deve ter o formato jardim de uma residência, que deve ter o formato triangular. Analisando a planta baixa, verificatriangular. Analisando a planta baixa, verifica --se se que os vque os v éértices possuem coordenadas rtices possuem coordenadas A(8,4); A(8,4); B(4,6); C(2,4). No ponto mB(4,6); C(2,4). No ponto m éédio do lado formado dio do lado formado pelos pontos A e C pelos pontos A e C éé colocado um suporte para colocado um suporte para luminlumin áárias. Considerando o texto e seus rias. Considerando o texto e seus conhecimentos, conhecimentos, éé correto afirmar que a distância correto afirmar que a distância do suporte atdo suporte at éé o ponto B mede, em unidades de o ponto B mede, em unidades de comprimento.comprimento.

17e)

13d)

5c)

3b)

37a)

ESTUDO DO PONTO

2AB


xx x

MA B=

+2

yy y

MA B=

+2

( UFPR ( UFPR –– 2011 ) Durante um passeio, uma 2011 ) Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um certo ponto, caminhou 3 km no sentido norte, certo ponto, caminhou 3 km no sentido norte, em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no sentido norte novamente, e então caminhou 2 sentido norte novamente, e então caminhou 2 km no sentido oeste. Apkm no sentido oeste. Ap óós esse percurso, a s esse percurso, a que distância a pessoa se encontra do ponto que distância a pessoa se encontra do ponto de onde iniciou o trajeto?de onde iniciou o trajeto?

ESTUDO DO PONTO

2AB


xx x

MA B=

+2

yy y

MA B=

+2

( UFRGS ( UFRGS –– 2013 ) Considere os gr2013 ) Considere os gr ááficos das ficos das funfun çções f e g, definidas por f(x) = xões f e g, definidas por f(x) = x 22 + x + x –– 2 e 2 e g(x) = 6 g(x) = 6 –– x, representadas no mesmo sistema x, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, intersecintersec çção dos grão dos gr ááficos das funficos das fun çções f e g, ões f e g, como na figura abaixo. como na figura abaixo.

A distância entre os A distância entre os pontos A e B pontos A e B éé: :

26e)

25d)

24c)

23b)

22a)

ESTUDO DO PONTO

2AB


xx x

MA B=

+2

yy y

MA B=

+2

Seja uma circunferência cujo centro pertence Seja uma circunferência cujo centro pertence ao eixo das abscissas e os pontos (2, 2) e (8,4) ao eixo das abscissas e os pontos (2, 2) e (8,4) as extremidades de uma de suas cordas. A as extremidades de uma de suas cordas. A áárea da superfrea da superf íície limitada por essa cie limitada por essa circunferência mede: circunferência mede:



ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA

ESTUDO DA RETA

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear

FORMAS DE OBTENÇÃO

0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos

x

y

O 3

1

r

2

3

A

BP(x, y)

133

121

1yx= 0

x + 3y + 6 – 3 – 3x – 2y = 0– 2x + y + 3 = 0 geraly = 2x – 3 reduzida

Coef. angular

Coef. linear

ESTUDO DA RETA

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos

( UDESC ) A soma do coeficiente angular ( UDESC ) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta que com o coeficiente linear da reta que passa pelos pontos passa pelos pontos A(A(1,5) e 1,5) e B( B( 4,14) 4,14) éé::

ESTUDO DA RETA

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos

CÁLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR

B

x

y

O

yB

yA

xBxA

A

αααα

(0, n)

αααα

yB– yA

xB– xA

r

AB

AB

xx

yym

−−

=

m = tg α

∆x∆y

m =

Conhecendo 2 pontos

Conhecendo a inclinação


B

x

y

O

yB

yA

xBxA

A

αααα

(0, n)

αααα

yB– yA

xB– xA

r

AB

AB

xx

yym

−−

=

m = tg α

∆x∆y

m =

Conhecendo 2 pontos


x

y

Oα

A

B

–2 1

3

5

2)(135

m−−

−=

AB

AB

xx

yym

−−

=

32

m =


B

x

y

O

yB

yA

xBxA

A

αααα

(0, n)

αααα

yB– yA

xB– xA

r

AB

AB

xx

yym

−−

=

m = tg α

∆x∆y

m =

Conhecendo 2 pontos


x

y

Oα

A

B–2

3

3

–1

2)331-m

−−−=(

AB

AB

xx

yym

−−

=

54

m −=


B

x

y

O

yB

yA

xBxA

A

αααα

(0, n)

αααα

yB– yA

xB– xA

r

AB

AB

xx

yym

−−

=

m = tg α

∆x∆y

m =

Conhecendo 2 pontos


x

y

O120º45º

rt

� mr = tg 45º = 1

� mt = tg 120º – √3= – tg 60º =

60º


B

x

y

O

yB

yA

xBxA

A

αααα

(0, n)

αααα

yB– yA

xB– xA

r

AB

AB

xx

yym

−−

=

m = tg α

∆x∆y

m =

Conhecendo 2 pontos


CASOS PARTICULARES

x

y

O

A B

–1 3

3

m = tg α

m = tg 0°

m = 0

EQUAÇÃO

y = 3

x

y

O

M

N

–12

3

m = tg α

m = tg 90°

m (não existe)

EQUAÇÃO

x = 2

( UFRGS ( UFRGS –– 2012 ) As equa2012 ) As equa çções das retas representadas no sistema de ões das retas representadas no sistema de coordenadas cartesianas abaixo são: coordenadas cartesianas abaixo são:

2x + y 2x + y –– 3 = 0, 5x 3 = 0, 5x –– 4y 4y –– 8 = 0 e x 8 = 0 e x –– 3y + 3 = 0. 3y + 3 = 0.

As equaAs equa çções de ões de r r e e s s são, respectivamente, são, respectivamente,

a) 2x + y a) 2x + y –– 3 = 0 e x 3 = 0 e x –– 3y + 3 = 0. 3y + 3 = 0. b) 2x + y b) 2x + y –– 3 = 0 e 5x 3 = 0 e 5x –– 4y 4y –– 8 = 0. 8 = 0. c) 5x c) 5x –– 4y 4y –– 8 = 0 e x 8 = 0 e x –– 3y + 3 = 0. 3y + 3 = 0. d) x d) x –– 3y + 3 = 0 e 2x + y 3y + 3 = 0 e 2x + y –– 3 = 0. 3 = 0. e) x e) x –– 3y + 3 = 0 e 5x 3y + 3 = 0 e 5x –– 4y 4y –– 8 = 0.8 = 0.

ESTUDO DA RETA

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos


AxBxAyBy

m−

−=m = tg α

Dados 1 ponto e o coef. angular

y – yo = m(x – xo)

( UFPR ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (−2,0) e P = (0,1) e que a reta s é paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4,2). Se B é o ponto em que a reta s intercepta o eixo das absciss as e C é o ponto de interseção das retas r e s, então o perímetro do tr iângulo ABC é:

)3(5e)

)33(3d)

)5(3c)

)33(5b)

)53(3a)

+

+

+

+

+

5

5

( UFSC ) Calcular a área da região limitada pelas retas y = 5, 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0.

GABARITO: 90



POSIPOSIÇÇÕES DE 2 RETASÕES DE 2 RETAS

ESTUDO DA RETA

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos



y – yo = m(x – xo)

B

x

y

O

yB

yA

xBxA

A

αααα

(0, n)

αααα

yB– yA

xB– xA

r

AB

AB

xx

yym

−−

=m = tg α

POSIÇÕES RELATIVAS

PARALELAS: mr = ms

CONCORRENTES: mr ≠ ms

PERPENDICULARES: mr . ms = – 1

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos



y – yo = m(x – xo)

AB

AB

xx

yym

−−

=m = tg α


PARALELAS: mr = ms


( UFRGS ) Os pontos A(-1,3) e B(5,- 1) são extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A equação da reta suporte da outra diagonal é:

a) 2x - 3y - 1 = 0b) 2x + 3y - 7 = 0 c) 3x + 2y - 8 = 0 d) 3x - 2y - 4 = 0

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos



y – yo = m(x – xo)

AB

AB

xx

yym

−−

=m = tg α


PARALELAS: mr = ms


( UFPR – 2011 ) Um balão de ar quente foi lançado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura ao lado descreve a situação de maneira simplificada. Ao ser lançado, o balão esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, são, então:

a) (21,7). b) (22,8). c) (24,12).d) (25,13). e) (26,15).



DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETADISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos



y – yo = m(x – xo)

AB

AB

xx

yym

−−

=m = tg α


PARALELAS: mr = ms


x

y

O

yp

xp

P(xp, yP)

r: r: aax + x + bby + y + cc = 0= 0

d =√a2 + b2

|a.xP + b.yP + c|

DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos



y – yo = m(x – xo)

AB

AB

xx

yym

−−

=m = tg α


Paralelas: mr = ms

Perpendiculares: mr . ms = – 1

x

y

P(xp, yP)

r: r: aax + x + bby + y + cc = 0= 0

d =√a2 + b2

|a.xP + b.yP + c|


( UFSC – 2010 ) Em um mapa de um deserto, localizado sobre um sistema de eixos cartesianos ortogonal, o faminto Coiote, cuja posição é dada pelo ponto P(1,2), vai tentar capturar o Papa-léguas, que se aproxima do Coiote descrevendo uma trajetória retilínea segundo a equação 3x + 4y = 31. A menor distância que o Coiote deve percorrer para capturar o Papa-léguas é de:

RESPOSTA: 04

EQUAÇÕES DA RETA

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

Coef. angular

Coef. linear


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos



y – yo = m(x – xo)

AB

AB

xx

yym

−−

=m = tg α


Paralelas: mr = ms

Perpendiculares: mr . ms = – 1

x

y

P(xp, yP)

r: r: aax + x + bby + y + cc = 0= 0

d =√a2 + b2

|a.xP + b.yP + c|


( UFSC ) Dados os pontos A(1, −−−−1), B(−−−−1, 3) e C(2, 7), determine a medida da altura do triângulo ABC relativa ao lado BC.

RESPOSTA: 04



ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIAESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

x

y

C

αααα x

y P

ββββ x - αααα

y - ββββR

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO REDUZIDA

(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2

EQUAÇÃO GERAL

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

A = - 2αααα B = - 2 ββββ C = αααα2 + ββββ2 – R2

Determine as coordenadas do centro e o raio das circunferências:

a) x2 + y2 – 4x – 6y - 12 = 0b) x2 + y2 – 8x – 2y + 1 = 0

a) C (2, 3); R = 5b) C (4, 1); R = 4

EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA

EQUAÇÃO REDUZIDA

(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2

EQUAÇÃO GERAL

x2 + y2 + Ax + By + C = 0


Resposta: 12

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n

RETA - FORMAS DE OBTENÇÃO

0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos

AxBxAyBy

m−

−=

m = tg α


y – yo = m(x – xo)

2222bbbb2222aaaa

||||ccccPPPPb.y

b.y

b.y

b.y

PPPPa.x

a.x

a.x

a.x

|||| dddd

+

++=


CIRCUNFERÊNCIA

(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2

x2+y2+Ax+By+C = 0

A = - 2αααα

B = - 2 ββββ

C = αααα2 + ββββ2 – R2

RESPOSTA: 03

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos

AxBxAyBy

m−

−=

m = tg α


y – yo = m(x – xo)

2222bbbb2222aaaa

||||ccccPPPPb.y

b.y

b.y

b.y

PPPPa.x

a.x

a.x

a.x

|||| dddd

+

++=


CIRCUNFERÊNCIA

(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2

x2+y2+Ax+By+C = 0

A = - 2αααα

B = - 2 ββββ


RESPOSTA: 18

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDA

y = mx + n


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos

AxBxAyBy

m−

−=

m = tg α


y – yo = m(x – xo)

2222bbbb2222aaaa

||||ccccPPPPb.y

b.y

b.y

b.y

PPPPa.x

a.x

a.x

a.x

|||| dddd

+

++=


CIRCUNFERÊNCIA

(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2

x2+y2+Ax+By+C = 0

A = - 2αααα

B = - 2 ββββ


( FGV-SP ) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na circunferência x 2 + y2 – 2x – 4y + 1 = 0 uma corda de comprimento igual a:

EQUAÇÃO GERAL

ax + by + c = 0

EQUAÇÃO REDUZIDAy = mx + n


0

1yx

1yx

1yx

BB

AA =

Dados 2 pontos

AxBxAyBy

m−

−= m = tg α


y – yo = m(x – xo)

2222bbbb2222aaaa

||||ccccPPPPb.y

b.y

b.y

b.y

PPPPa.x

a.x

a.x

a.x

|||| dddd

+

++=


CIRCUNFERÊNCIA

(x – αααα)2 + (y – ββββ )2 = R2

x2+y2+Ax+By+C = 0


2AB


x

y

C

αααα x

y P

ββββ x - αααα

y - ββββR

DISTÂNCIA ENTRE 2 PONTOS

EQUAÇÃO REDUZIDA

EQUAÇÃO GERAL

POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS ( R > r)

TANGENTES

C1 C2C1 C2

R rR

d(C1, C2) = R + r

r

d(C1, C2) = R – r

SECANTES

C1 C2

R

R – r < d(C1, C2) < R + r

r

NÃO SE INTERCEPTAM

C1 C2

d(C1, C2) > R + r

C1

C2

d(C1, C2) < R – r

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