Geometria analitica-gaia

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<ul><li> 1. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANALTICATICA ESTUDO DO PONTOESTUDO DO PONTO </li></ul><p> 2. B A M xBxMxA yB yM yA x y xM = xA + xB 2 yM = yA + yB 2 e 0 PONTO MDIO 3. x y xC yA A B C xA xB yB yC BARICENTRO DE UM TRINGULO MM11 MM22 MM33 GG xG = xA + xB + xC 3 yM = yA + yB + yC 3 e Calcule as coordenadas do baricentro de um tringulo ABC,Calcule as coordenadas do baricentro de um tringulo ABC, sabendo que ADsabendo que AD uma de suas medianas e que A(uma de suas medianas e que A(--5, 8) e D(1,5, 8) e D(1, --1).1). a) (0, 2) b) (a) (0, 2) b) (--1, 2) c) (2,1, 2) c) (2, --1) d) (1) d) (--1, 1) e) (2,1, 1) e) (2, --2)2) 4. x y xC yA A B C xA xB yB yC REA DE UM TRINGULO 1yCxC 1yBxB 1yAxA A = 1 2 x y 4 1 A B C 2 6 3 5 M NP AT = AMNP (AT1 + AT2 + AT3) 5. ( UFPR 2012 ) Calcule a rea do quadriltero P1P2P3P4 , cujas coordenadas cartesianas so dadas na figura abaixo. 6. ( FURG-RS ) Os pontos (1,3), (2,7) e (4,k) do plano cartesiano esto alinhados se e somente se: a) k = 15 b) k = 11 c) k = 14 d) k = 12 e) k = 13 7. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANALTICATICA DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOSDISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS 8. B A M xBxMxA yB yM yA x y xM = xA + xB 2 yM = yA + yB 2 e 0 PONTO MDIO x y xC yA A B C xA xB yB yC REA DE UM TRINGULO 1yCxC 1yBxB 1yAxA A = 1 2 9. DISTNCIA ENTRE DOIS PONTOS (dAB)2 = (xB xA)2 + (yB yA)2 2 AB 2 ABAB )y(y)x(xd += ( UFRGS ) Sendo os pontos A ( 1, 5) e B(2, 1) vrtices consecutivos de um quadrado, o comprimento da diagonal desse quadrado x yB yA A B xA xB yA yB y 0 xB xA 10. ESTUDO DO PONTO 2 AB 2 ABAB )y(y)x(xd += x x x M A B = + 2 y y y M A B = + 2 ( UFPEL ) Na arquitetura, a matem( UFPEL ) Na arquitetura, a matemticatica usada ausada a todo momento. A geometriatodo momento. A geometria especialmenteespecialmente necessnecessria no desejo de projetos. Essa parte daria no desejo de projetos. Essa parte da MatemMatemtica ajuda a definir a forma dos espatica ajuda a definir a forma dos espaos,os, usando as propriedades de figuras planas eusando as propriedades de figuras planas e sslidas. Ajuda tamblidas. Ajuda tambm a definir a medidas dessesm a definir a medidas desses espaespaos. Uma arquitetaos. Uma arquiteta contratada para fazer ocontratada para fazer o jardim de uma residncia, que deve ter o formatojardim de uma residncia, que deve ter o formato triangular. Analisando a planta baixa, verificatriangular. Analisando a planta baixa, verifica--sese que os vque os vrtices possuem coordenadasrtices possuem coordenadas A(8,4);A(8,4); B(4,6); C(2,4). No ponto mB(4,6); C(2,4). No ponto mdio do lado formadodio do lado formado pelos pontos A e Cpelos pontos A e C colocado um suporte paracolocado um suporte para luminluminrias. Considerando o texto e seusrias. Considerando o texto e seus conhecimentos,conhecimentos, correto afirmar que a distnciacorreto afirmar que a distncia do suporte atdo suporte at o ponto B mede, em unidades deo ponto B mede, em unidades de comprimento.comprimento. 17e) 13d) 5c) 3b) 37a) 11. ESTUDO DO PONTO 2 AB 2 ABAB )y(y)x(xd += x x x M A B = + 2 y y y M A B = + 2 ( UFPR( UFPR 2011 ) Durante um passeio, uma2011 ) Durante um passeio, uma pessoa fez o seguinte trajeto: partindo de umpessoa fez o seguinte trajeto: partindo de um certo ponto, caminhou 3 km no sentido norte,certo ponto, caminhou 3 km no sentido norte, em seguida 4 km para o oeste, depois 1 km noem seguida 4 km para o oeste, depois 1 km no sentido norte novamente, e ento caminhou 2sentido norte novamente, e ento caminhou 2 km no sentido oeste. Apkm no sentido oeste. Aps esse percurso, as esse percurso, a que distncia a pessoa se encontra do pontoque distncia a pessoa se encontra do ponto de onde iniciou o trajeto?de onde iniciou o trajeto? 12. ESTUDO DO PONTO 2 AB 2 ABAB )y(y)x(xd += x x x M A B = + 2 y y y M A B = + 2 ( UFRGS( UFRGS 2013 ) Considere os gr2013 ) Considere os grficos dasficos das funfunes f e g, definidas por f(x) = xes f e g, definidas por f(x) = x22 + x+ x 2 e2 e g(x) = 6g(x) = 6 x, representadas no mesmo sistemax, representadas no mesmo sistema de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B,de coordenadas cartesianas, e os pontos A e B, intersecinterseco dos gro dos grficos das funficos das funes f e g,es f e g, como na figura abaixo.como na figura abaixo. A distncia entre osA distncia entre os pontos A e Bpontos A e B :: 26e) 25d) 24c) 23b) 22a) 13. ESTUDO DO PONTO 2 AB 2 ABAB )y(y)x(xd += x x x M A B = + 2 y y y M A B = + 2 Seja uma circunferncia cujo centro pertenceSeja uma circunferncia cujo centro pertence ao eixo das abscissas e os pontos (2, 2) e (8,4)ao eixo das abscissas e os pontos (2, 2) e (8,4) as extremidades de uma de suas cordas. Aas extremidades de uma de suas cordas. A rea da superfrea da superfcie limitada por essacie limitada por essa circunferncia mede:circunferncia mede: 14. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANALTICATICA ESTUDO DA RETAESTUDO DA RETA 15. ESTUDO DA RETA EQUAES DA RETA EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos x y O 3 1 r 2 3 A B P(x, y) 133 121 1yx = 0 x + 3y + 6 3 3x 2y = 0 2x + y + 3 = 0 geral y = 2x 3 reduzida Coef. angular Coef. linear 16. ESTUDO DA RETA EQUAES DA RETA EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos ( UDESC ) A soma do coeficiente angular( UDESC ) A soma do coeficiente angular com o coeficiente linear da reta quecom o coeficiente linear da reta que passa pelos pontospassa pelos pontos A(A(1,5) e1,5) e B(B( 4,14)4,14) :: 17. ESTUDO DA RETA EQUAES DA RETA EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR B x y O yB yA xBxA A (0, n) yB yA xB xA r AB AB xx yy m = m = tg x y m = Conhecendo 2 pontos Conhecendo a inclinao 18. CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR B x y O yB yA xBxA A (0, n) yB yA xB xA r AB AB xx yy m = m = tg x y m = Conhecendo 2 pontos Conhecendo a inclinao x y O A B 2 1 3 5 2)(1 35 m = AB AB xx yy m = 3 2 m = 19. CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR B x y O yB yA xBxA A (0, n) yB yA xB xA r AB AB xx yy m = m = tg x y m = Conhecendo 2 pontos Conhecendo a inclinao x y O A B 2 3 3 1 2)3 31- m = ( AB AB xx yy m = 5 4 m = 20. CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR B x y O yB yA xBxA A (0, n) yB yA xB xA r AB AB xx yy m = m = tg x y m = Conhecendo 2 pontos Conhecendo a inclinao x y O 12045 rt mr = tg 45 = 1 mt = tg 120 3= tg 60 = 60 21. CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR B x y O yB yA xBxA A (0, n) yB yA xB xA r AB AB xx yy m = m = tg x y m = Conhecendo 2 pontos Conhecendo a inclinao CASOS PARTICULARES x y O A B 1 3 3 m = tg m = tg 0 m = 0 EQUAO y = 3 x y O M N 1 2 3 m = tg m = tg 90 m (no existe) EQUAO x = 2 22. ( UFRGS( UFRGS 2012 ) As equa2012 ) As equaes das retas representadas no sistema dees das retas representadas no sistema de coordenadas cartesianas abaixo so:coordenadas cartesianas abaixo so: 2x + y2x + y 3 = 0, 5x3 = 0, 5x 4y4y 8 = 0 e x8 = 0 e x 3y + 3 = 0.3y + 3 = 0. As equaAs equaes dees de rr ee ss so, respectivamente,so, respectivamente, a) 2x + ya) 2x + y 3 = 0 e x3 = 0 e x 3y + 3 = 0.3y + 3 = 0. b) 2x + yb) 2x + y 3 = 0 e 5x3 = 0 e 5x 4y4y 8 = 0.8 = 0. c) 5xc) 5x 4y4y 8 = 0 e x8 = 0 e x 3y + 3 = 0.3y + 3 = 0. d) xd) x 3y + 3 = 0 e 2x + y3y + 3 = 0 e 2x + y 3 = 0.3 = 0. e) xe) x 3y + 3 = 0 e 5x3y + 3 = 0 e 5x 4y4y 8 = 0.8 = 0. 23. ESTUDO DA RETA EQUAES DA RETA EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR AxBx AyBy m =m = tg Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) 24. ( UFPR ) Sabe-se que a reta r passa pelos pontos A = (2,0) e P = (0,1) e que a reta s paralela ao eixo das ordenadas e passa pelo ponto Q = (4,2). Se B o ponto em que a reta s intercepta o eixo das abscissas e C o ponto de interseo das retas r e s, ento o permetro do tringulo ABC : )3(5e) )33(3d) )5(3c) )33(5b) )53(3a) + + + + + 5 5 ( UFSC ) Calcular a rea da regio limitada pelas retas y = 5, 5x + 2y - 95 = 0, x = 0 e y = 0. GABARITO: 90 25. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANALTICATICA POSIPOSIES DE 2 RETASES DE 2 RETAS 26. ESTUDO DA RETA EQUAES DA RETA EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) B x y O yB yA xBxA A (0, n) yB yA xB xA r AB AB xx yy m = m = tg POSIES RELATIVAS PARALELAS: mr = ms CONCORRENTES: mr ms PERPENDICULARES: mr . ms = 1 27. EQUAES DA RETA EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) AB AB xx yy m =m = tg POSIES RELATIVAS PARALELAS: mr = ms PERPENDICULARES: mr . ms = 1 ( UFRGS ) Os pontos A(-1,3) e B(5,-1) so extremidades de uma das diagonais de um quadrado. A equao da reta suporte da outra diagonal : a) 2x - 3y - 1 = 0 b) 2x + 3y - 7 = 0 c) 3x + 2y - 8 = 0 d) 3x - 2y - 4 = 0 28. EQUAES DA RETA EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) AB AB xx yy m =m = tg POSIES RELATIVAS PARALELAS: mr = ms PERPENDICULARES: mr . ms = 1 ( UFPR 2011 ) Um balo de ar quente foi lanado de uma rampa inclinada. Utilizando o plano cartesiano, a figura ao lado descreve a situao de maneira simplificada. Ao ser lanado, o balo esticou uma corda presa aos pontos P e Q, mantendo-se fixo no ar. As coordenadas do ponto P, indicado na figura, so, ento: a) (21,7). b) (22,8). c) (24,12). d) (25,13). e) (26,15). 29. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANALTICATICA DISTNCIA ENTRE PONTO E RETADISTNCIA ENTRE PONTO E RETA 30. EQUAES DA RETA EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) AB AB xx yy m =m = tg POSIES RELATIVAS PARALELAS: mr = ms PERPENDICULARES: mr . ms = 1 x y O yp xp P(xp, yP) r:r: aax +x + bby +y + cc = 0= 0 d = a2 + b2 |a.xP + b.yP + c| DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA 31. EQUAES DA RETA EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) AB AB xx yy m =m = tg POSIES RELATIVAS Paralelas: mr = ms Perpendiculares: mr . ms = 1 x y P(xp, yP) r:r: aax +x + bby +y + cc = 0= 0 d = a2 + b2 |a.xP + b.yP + c| DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA ( UFSC 2010 ) Em um mapa de um deserto, localizado sobre um sistema de eixos cartesianos ortogonal, o faminto Coiote, cuja posio dada pelo ponto P(1,2), vai tentar capturar o Papa-lguas, que se aproxima do Coiote descrevendo uma trajetria retilnea segundo a equao 3x + 4y = 31. A menor distncia que o Coiote deve percorrer para capturar o Papa-lguas de: RESPOSTA: 04 32. EQUAES DA RETA EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n Coef. angular Coef. linear FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos CLCULO DO COEFICIENTE ANGULAR Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) AB AB xx yy m =m = tg POSIES RELATIVAS Paralelas: mr = ms Perpendiculares: mr . ms = 1 x y P(xp, yP) r:r: aax +x + bby +y + cc = 0= 0 d = a2 + b2 |a.xP + b.yP + c| DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA ( UFSC ) Dados os pontos A(1, 1), B(1, 3) e C(2, 7), determine a medida da altura do tringulo ABC relativa ao lado BC. RESPOSTA: 04 33. www.ricardinhomatematica.com.brwww.ricardinhomatematica.com.br GEOMETRIA ANALGEOMETRIA ANALTICATICA ESTUDO DA CIRCUNFERNCIAESTUDO DA CIRCUNFERNCIA 34. ESTUDO DA CIRCUNFERNCIA x y C x y P x - y - R EQUAO DA CIRCUNFERNCIA EQUAO REDUZIDA (x )2 + (y )2 = R2 EQUAO GERAL x2 + y2 + Ax + By + C = 0 A = - 2 B = - 2 C = 2 + 2 R2 Determine as coordenadas do centro e o raio das circunferncias: a) x2 + y2 4x 6y - 12 = 0 b) x2 + y2 8x 2y + 1 = 0 a) C (2, 3); R = 5 b) C (4, 1); R = 4 35. EQUAO DA CIRCUNFERNCIA EQUAO REDUZIDA (x )2 + (y )2 = R2 EQUAO GERAL x2 + y2 + Ax + By + C = 0 A = - 2 B = - 2 C = 2 + 2 R2 Resposta: 12 36. EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n RETA - FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos AxBx AyBy m = m = tg Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) 2222bbbb2222aaaa ||||cccc PPPP b . y b . y b . y b . y PPPP a . x a . x a . x a . x |||| dddd + ++ = DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA CIRCUNFERNCIA (x )2 + (y )2 = R2 x2+y2+Ax+By+C = 0 A = - 2 B = - 2 C = 2 + 2 R2 RESPOSTA: 03 37. EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n RETA - FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos AxBx AyBy m = m = tg Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) 2222bbbb2222aaaa ||||cccc PPPP b . y b . y b . y b . y PPPP a . x a . x a . x a . x |||| dddd + ++ = DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA CIRCUNFERNCIA (x )2 + (y )2 = R2 x2+y2+Ax+By+C = 0 A = - 2 B = - 2 C = 2 + 2 R2 RESPOSTA: 18 38. EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n RETA - FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos AxBx AyBy m = m = tg Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) 2222bbbb2222aaaa ||||cccc PPPP b . y b . y b . y b . y PPPP a . x a . x a . x a . x |||| dddd + ++ = DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA CIRCUNFERNCIA (x )2 + (y )2 = R2 x2+y2+Ax+By+C = 0 A = - 2 B = - 2 C = 2 + 2 R2 ( FGV-SP ) A reta 3x + 4y - 6 = 0 determina na circunferncia x2 + y2 2x 4y + 1 = 0 uma corda de comprimento igual a: 39. EQUAO GERAL ax + by + c = 0 EQUAO REDUZIDA y = mx + n RETA - FORMAS DE OBTENO 0 1yx 1yx 1yx BB AA = Dados 2 pontos AxBx AyBy m = m = tg Dados 1 ponto e o coef. angular y yo = m(x xo) 2222bbbb2222aaaa ||||cccc PPPP b . y b . y b . y b . y PPPP a . x a . x a . x a . x |||| dddd + ++ = DISTNCIA ENTRE PONTO E RETA CIRCUNFERNCIA (x )2 + (y )2 = R2 x2+y2+Ax+By+C = 0 A = - 2 B = - 2 C = 2 + 2 R2 2 AB 2 ABAB )y(y)x(xd += x y C x y P x - y - R DISTNCIA ENTRE 2 PONTOS EQUAO REDUZIDA EQUAO GERAL 40. POSIES RELATIVAS ENTRE DUAS CIRCUNFERNCIAS ( R &gt; r) TANGENTES C1 C2 C1 C2 R rR d(C1, C2) = R + r r d(C1, C2) = R r SECANTES C1 C2 R R r &lt; d(C1, C2) &lt; R + r r NO SE INTERCEPTAM C1 C2 d(C1, C2) &gt; R + r C1 C2 d(C1, C2) &lt; R r </p>