exercicio de analise combinatoria

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ASSUNTO - Exercícios de Combinatória

1) Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? 48

2) As retas r e s são distintas e paralelas entre si. São dados 5 pontos distintos na reta r e 4 pontos distintos sobre a reta s. Quantos são os triângulos determinados pelos pontos dados? 70

3) Formados e dispostos em ordem crescente todos os números que se obtêm permutando os algarismos 3,5,7,9, o número 7.953 ocupa a n-ésima posição. O valor de n é: 18

4) Consideram-se 7 pontos num plano, dos quais 3 quaisquer não colineares; consideram-se, ainda, dois outros pontos fora do plano, tais que a reta por eles definida não contenha qualquer dos 7 anteriores, e seja reversa com qualquer reta definida pelos mesmos 7 pontos. Quantos tetraedros distintos podemos formar com vértices nos pontos considerados? 91

5) De quantas formas são disponíveis 8 alunas numa mesa retangular, sendo as cabeceiras reservadas a duas alunas insuportáveis, e as seis outras alunas ocupando, em número igual, os outros lados da mesa? 28800

6) Calcular as maneiras possíveis de dividir 8 objetos em 4 grupos de 2 objetos. 8!/8.(2!)4

7) A guarnição de uma canoa deve ser tripulada por 8 marinheiros. Destes apenas um rema do lado esquerdo e dois remam somente do lado direito. Calcule os modos pelos quais tal guarnição pode ser organizada. 5760

8) Três alunos e três alunas pretendem jogar baralho utilizando uma mesa retangular cujas cadeiras estão dispostas 3 de cada lado. Calcular de quantas maneiras distintas, alunos e alunas podem sentar-se em torno de tal mesa de modo a não ficar aluna alguma de lado de um aluno? 72

9) Num colégio, 10 professores costumam tomar a refeição juntos, tanto no almoço como na janta. Usam uma mesa redonda para isso. A partir de certo dia decidem mudar de lugar diariamente na janta e no almoço. Determinar quantos dias são exigidos para cumprir totalmente tal propósito. 181.440

10) De quantas maneiras distintas podem tomar assento ao redor de uma mesa retangular de seis cadeiras, 3 de cada lado, 3 engenheiros e 3 médicos, permanecendo os engenheiros e os médicos sempre juntos? 72

11) De quantas formas distintas três alunas e quatro alunos podem sentar-se ao redor de uma mesa, não ficando um aluno junto de uma aluna? 144

12) O presidente p de um grêmio estudantil convida 7 membros da diretoria: a, b, c, d, e, f, g, para um almoço em mesa redonda. O presidente sabe que o membro a suporta b e c somente quando esses dois membros estão juntos; estando os membros separados, a não deve permanacer junto de nenhum deles. Determinar de quantas formas o presidente p pode tomar assento à mesa com seus colaboradores. 2880

13) Das combinações simples n a n de m elementos considerados: I) quantas contêm k, sendo k n, determinados de tais elementos? II) quantas contêm pelo menos um dos k elementos?I) Cm – k, n – k, II) Cm, n – Cm – k, n

14) Verificar em quantos zeros termina 1.000.000!. 249.998

15) De quantos modos podemos distribuir dez cartas de um baralho a dois parceiros, podendo receber quantidades desiguais de cartas, sendo que cada um deve receber ao menos uma carta? 1022

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16) Quantos embrulhos é possível formar com cinco livros de matemática, três de física e dois de química, não sendo diferentes os livros da mesma matéria? 71

17) De quantos modos n pessoas podem sentar-se em n cadeiras enfileiradas a) sem restrições? b) ficando A e B sempre juntas? c) sem que A e B fiquem juntas? d) ficando A, B e C juntas? e) ficando A, B e C juntas, e D e E separadas uma da outra? a) n!, b) 2.(n – 1)!, c) (n –2).(n –1)!, d) 6.(n – 2)!, e) 6.(n – 4)(n – 3)!

18) Em uma urna há 2n bolas, numeradas de 1 a 2n. Sacam-se, uma a uma todas as bolas da urna. a) de quantos modos se pode esvaziar a urna? b) quantos são os casos em que os k últimos números (k < 2n) aparecem nas k últimas sacadas? c) quantos são os casos em que as bolas de número ímpar aparecem nas sacadas de ordem par? a) (2n)!, b) (2n – k)!k!, c) (n!)2

19) De quantos modos se pode iluminar uma sala com n lâmpadas. 2n – 1

20) Em um congresso de professores há 30 professores de Física e 30 de Matemática. Quantas comissões de oito professores podem ser formadas: a) sem restrições; b) havendo pelo menos três professores de Física e três de Matemática? a) C60, 8, b) 2.C30, 3.C30, 5 + (C30, 4)2

21) Dados n pontos distintos de uma circunferência, quantos são os polígonos que podemos formar, convexos, cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? 2n – (Cn, 0 + Cn, 1 + Cn, 2)

22) Dados n pontos de um plano, não havendo 3 colineares, quantos são: a) os segmentos de reta cujas extremidades são escolhidas entre esses pontos? b) os triângulos cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? c) os quadriláteros cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? d) os polígonos de n lados cujos vértices são esses pontos? e) os pontos de interseção das retas formadas por esses pontos, excluindo desse número os n pontos dados? a) Cn, 2; b) Cn, 3; c) 3Cn, 4; d) (n – 1)!/2; e) 3Cn, 4

23) Dados 7 pontos distintos de uma circunferência, quantos são os polígonos que podemos formar cujos vértices são escolhidos entre esses pontos? 1172

24) São dados n > 4 pontos coplanares, dos quais k > 1 estão sobre uma reta e (4 + k n), e entre os demais não há 3 alinhados entre si. Pede-se: a) o total de triângulos que podem ser formados com vértices nesses pontos; b) o total de quadriláteros com vértices nos pontos dados. a) (n – k)Ck, 2 + kCn-k, 2 + Cn-k, 3 (= Cn, 3 – Ck, 3 para n 3); b) 3[Cn-k, 4 + kCn-k, 3 + Ck, 2.Cn-k, 2]

25) São dados m > pontos distintos sobre uma reta r, e k > 1 pontos distintos sobre a reta s paralela a r. a) quantos triângulos podem ser formados com vértices nestes pontos? b) quantos quadriláteros convexos podem ser formados com vértices nestes pontos? a) mCk, 2 + kCm, 2; b) Ck, 2.Cm, 2

26) Um total de 28 apertos de mão foram trocados no fim de uma festa. Sabendo que cada pessoa cumprimentou todas as outras, pergunta-se o no de pessoas presentes à festa. 8

27) De quantos modos se pode preencher um cartão da loteria esportiva (13 jogos) com: a) 13 palpites simples; b) 2 palpites duplos e 11 simples; c) 3 palpites triplos e 10 simples; d) 3 palpites duplos e 10 simples; d) 3 palpites duplos, 2 triplos e 8 simples? a) 313; b) C13, 2.313; c) C13, 3.310; d) C13, 3.C10, 2.311

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28) Num jogo de pôquer, usa-se um baralho de 32 cartas, distribuindo-se cinco cartas a cada um dos quatro parceiros. Quantas distribuições diferentes podem ocorrer? 32!/(12!)(5!)4

29) De quantos modos diferentes podem ser colocados em fila m + h pessoas, sendo m mulheres de alturas diferentes e h homens também de alturas diferentes, de modo que as pessoas do mesmo sexo fiquem em ordem crescente de altura? (m + h)!/m!h! 30) A figura abaixo representa 17 ruas que se cortam perpendicularmente, sendo oito verticais. Quantos caminhos mínimos uma pessoa pode percorrer para ir do ponto A ao ponto B: a) sem restrições? b) sem passar por C?c) sem passar por C e D? d) sem passar por c ou D? B

D C

Aa) 6435; b) 3985; c) 5035; d) 2865.

31) De quantos modos seis casais podem sentar-se em torno de uma mesa circular: a) não sentando juntos dois homens?; b) não sentando juntos dois homens, mas cada homem sentando ao lado de sua esposa?; c) não sentando juntos dois homens e nem um homem com sua esposa? a) 5!6!; b) 2.5!; c) 80.5!

32) De quantos modos se pode pintar as faces de uma pirâmide pentagonal regular, usando seis cores diferentes, sendo cada face de uma cor? 6.4!

33) De quantos modos se pode pintar as faces de uma pirâmide pentagonal regular, usando sete cores diferentes, sendo cada face de uma cor? 4!.C7, 2

34) De quantos modos se pode pintar um: a) tetraedro regular, com 4 cores diferentes; b) octaedro regular, com 8 cores diferentes; c) dodecaedro regular, com 12 cores diferentes; d) icosaecaedro regular, com 20 cores diferentes. a) 2!; b) 7.2!.3!.C6, 3; c) 11.4!.5!.C10, 5; d) 19.2!.3!.(6!)2.C18, 3.C15, 3.C12, 6

35) Dada a equação x + y + z = 20: a) quantas são as soluções inteiras positivas?; b) quantas são as soluções inteiras não-negativas? a) C19, 2; b) C22, 2

36) Calcular o número de soluções inteiras não negativas da inequação x + y + z < 5. C6, 2 + C5, 2 + C4, 2 + C3, 2 + C2, 2 = 35

37) Quantas soluções inteiras da equações

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x + y + z + w = 48 existem, satisfazendo as condições x > 5, y < 6, z > 7 e w > 8? 1330

38) Calcule o número de soluções inteiras maiores que – 4 da equação x1 + x2 + x3 + x4 = 1. 560

39) Uma sorveteria tem sorvetes de 11 sabores diferentes. De quantos modos uma pessoa pode escolher 6 sorvetes, não necessariamente de sabores diferentes? C10, 6 = 8008

40) Reduzidos os termos semelhantes, quantos termos existem no desenvolvimento de (a + b + c + d + e)17? C21, 5 = 5985

41) Quantos números inteiros entre 1 e 1.000.000 tem soma de algarismos igual a 5? E soma menor do que 5? a) 252; b) 208.

42) De quantas formas 4 homens e 4 mulheres podem sentar-se ao redor de uma mesa redonda, se não devem existir 2 homens em assentos consecutivos? 3!.4!

43) De quantas formas 4 casais (4 homens e 4 mulheres) podem sentar-se ao redor de uma mesa redonda, se cada casal deve ficar junto e não devem existir 2 homens em assentos consecutivos? 3!

44) Quantos termos possui a expansão de (x + y + z)n? Cn + 2, 2

45) Prove que o número de soluções inteiras positivas de x1 + x2 + x3 + x4 = 9 é igual ao número de soluções inteiras positivas de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 9. C8, 3 = C8, 5

46) Qual o número de soluções inteiras maiores do que 7 de x + y + z + w = 100? C71, 3

47) Determine o número de soluções inteiras positivas de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 50 se: a) x5 > 12, b) x5 > 12 e x4 > 7. a) C37, 4, b) C30, 4

48) Determine o número de soluções inteiras não-negativas de x + y + z + w = 20 se: a) x 6, b) x 6 e y 6. a) C17, 3, b) C11, 3

49) Determine a fórmula para o número de solução não-negativas de x + y + z + w = m satisfazendo: a) x c1, b) x c1 e y c2. a) Cm – c1 + 3, 3, b) Cm – c1 – c2 + 3, 3

50) Das soluções inteiras positivas de x + y + z + w = 26, quantas satisfazem x > y? (2300 – 144)/2 = 1078

51) Quantos inteiros entre 1 e 1.000.000 inclusive possuem a soma de seus dígitos igual a 13? C18, 5 – 6C8, 5

52) De quantas maneiras é possível separar n.j objetos distintos em n caixas contendo cada uma j objetos?(n.j)!/[(j!)nn!]

53) Quantos inteiros entre 1 e 1.000.000 inclusive possuem a propriedade de apresentarem pelo menos 2 dígitos consecutivos iguais? 1.000.000 – (96 + 95 + 94 + 93 + 92 + 9) = 402130

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54) Considere n retas num plano satisfazendo as seguintes condições: 1) não existem duas retas paralelas; 2) não existem três retas concorrentes no mesmo ponto. Em quantas regiões fica dividido o plano pelas n retas? (n2 + n + 2)/2

55) Considere n retas num plano, não existindo duas retas paralelas. Entretanto, existem três retas, e somente três, concorrentes num mesmo ponto. Em quantas regiões fica dividido o plano pelas n retas? (n2 + n)/2

56) Um grupo de k retas paralelas intercepta outro grupo distinto de m retas paralelas. Em quantas regiões fica dividido o plano? (m + 1)(k + 1)

57) Se n dados idênticos são jogados, quantos resultados distintos são possíveis? (Um resultado é considerado idêntico a outro se apresenta o mesmo número de uns, o mesmo número de dois, …, o mesmo número de seis). Cn + 5, 5

58) De quantas formas diferentes três números podem ser selecionados entre os números 1, 2, 3, …, 300 de tal modo que sua soma seja divisível por 3? 3.C100, 3 + (100)3

59) Demonstre que: (n!)2/(n – 1)! = (n + 1)! – n!

60) Demonstre que: .

61) Demonstrar que:

62) Permutam-se os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 de todas as maneiras possíveis. Qual a soma dos números formados?

63) Sobre os lados de um triângulo marcam-se 3, 5 e 6 pontos, respectivamente. Quantos triângulos com vértices nos pontos marcados podemos formar? 333

64) Quantos números naturais pares que se escrevem (na base 10) com três algarismos distintos? 328

65) O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B 7 elementos. a) Quantas são as funções f: AB? b) Quantas são as funções injetoras f: AB?a) 2401; b) 840

66) De quantos modos podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de xadrez (8x8) de modo que não haja duas torres na mesma linha nem na mesma coluna? 40320

67) Em uma banca há 5 exemplares iguais da revista A, 6 exemplares iguais da revista B e 10 exemplares iguais da revista C. Quantas coleções não-vazias de revistas dessa banca é possível formar? 461

68) De um baralho comum (52 cartas) sacam-se sucessivamente e sem reposição três cartas. Quantas são as extrações nas quais a primeira carta é de copas, a segunda é um rei e a terceira não é uma dama? 2350

69) Quantos números diferentes podem ser formados multiplicando alguns (ou todos) dos números 1, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9? 48

70) Um vagão de metrô tem 10 bancos individuais, sendo 5 na frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar na frente, 3 preferem sentar de costas e os demais não têm preferência. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando as preferências? 43200

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71) Há duas estradas principais da cidade A até a cidade B, ligadas por 10 estradas secundárias, como mostra a figura abaixo. Quantas rotas livres de auto-interseções (que não passa por um ponto duas ou mais vezes) há entre A até B? 2048

A B

72) Em um concurso há três candidatos e cinco examinadores, devendo cada examinador votar em um candidato. De quantos modos os votos podem ser distribuídos? 243

73) O código morse usa “palavras” contendo de 1 a 4 “letras”, as “letras” sendo ponto ou traço. Quantas “palavras” existem no código morse? 30

74) Escrevem-se números de cinco dígitos (inclusive os começados por zero) em cartões. Como 0, 1 e 8 não se alteram de cabeça para baixo e como 6 de cabeça para baixo se transforma em 9, um só cartão pode representar dois números (por exemplo, 06198 e 86190). Qual é o número mínimo de cartões para representar todos os números de cinco dígitos? 98475

75) No Senado Federal, o Distrito Federal e os 26 estados da federação têm 3 representantes cada. Deve-se formar uma comissão de modo que todos os estados e o Distrito Federal estejam representados por 1 ou 2 senadores. De quantos modos essa comissão pode ser formada? 627

76) a) Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de 720?b) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos?c) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de três inteiros positivos?d) De quantos modos 144 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos?a) 2418; b) 15; c) 48; d) 8

77) A figura abaixo mostra um mapa com 4 países

a) De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada país com uma cor, países com uma linha fronteira comum não podem ter a mesma cor) se dispomos de cores diferentes?b) Qual o menor valor de que permite colorir o mapa?a) ( – 3)(2 – 3 + 3); b) 2

78) Refaça o problema anterior para o mapa abaixo:

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a) ( – 1)( – 2)( – 3); b) 4

79) a) De quantos modos é possível colocar um rei negro e um rei branco em casas não adjacentes de um tabuleiro de xadrez (8x8)?b) Qual seria a resposta se fossem dois reis brancos iguais? a) 3612; b) 1806

80) Se A é um conjunto de n elementos, quantas são as funções f: AB bijetoras? n!

81) Quantas são as permutações dos números (1, 2, …, 10) nas quais o 5 está situado à direita do 2 e à esquerda do 3, embora não necessariamente em lugares consecutivos? 604800

82) De quantos modos podemos dividir 12 pessoas:a) em dois grupos de 6?b) em três grupos de 4?c) em um grupo de 5 e um grupo de 7?d) em seis grupos de 2?e) em dois grupos de 4 e dois grupos de 2?a) 462; b) 5775; c) 792; d) 51975

83) Delegados de 10 países devem sentar-se em 10 cadeiras em fila. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos e do Iraque e dos Estados Unidos não podem sentar juntos? 564480

84) Um cubo de madeira tem uma face de cada cor. Quantos dados diferentes podemos formar gravando números de 1 a 6 sobre essas faces? 720

85) Quantos dados diferentes podemos formar gravando números de 1 a 6 sobre as faces indistinguíveis de um cubo de madeira? 30

86) Resolva o problema anterior para:a) números de 1 a 4, tetraedro regular;b) números de 1 a 8, octaedro regular; c) números de 1 a 12, dodecaedro regular;d) números de 1 a 20, icosaedro regular;e) números de 1 a 8, prisma hexagonal regular;f) números de 1 a 5, prisma quadrangular regular.a) 2; b) 1680; c) 7983360; d) 20!/60; e) 3360; f) 30

87) Quantas são as permutações simples dos números 1, 2, …, n nas quais o elemento que ocupa a k-ésima posição é inferior a k + 4, para todo k? 6.4n – 3

88) Quantas são as permutações simples dos números 1, 2, …, n nas quais o elemento que ocupa a k-ésima posição é maior que k – 3, para todo k? 2.3n – 2

89) Para a seleção brasileira foram convocados 2 goleiros, 6 zagueiros, 7 meios de campo e 4 atacantes. De quantos modos é possível escalar a seleção com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de campo e 2 atacantes? 6300

90) Quantas diagonais possui um polígono de n lados? n(n – 3)/2

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91) Sejam Im = {1, 2, …, m} e In = {1, 2, …, n}, com m n. Quantas são as funções f: ImIn estritamente crescentes? Cn,

m

92) Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas? 267148

93) a) Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura exatamente 3 vezes e o dígito 8 exatamente 2 vezes? b) Quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 figura pelo menos 3 vezes e o dígito 8 pelo menos 2 vezes? a) 12960 b) 14976

94) Quantos são os p-subconjuntos (isto é, subconjuntos com p elementos) de {a1, a2, …, an} nos quais:a) a1 figura;b) a1 não figura;c) a1 e a2 figuram;c) pelo menos um dos elementos a1, a2 figura;d) exatamente um dos elementos a1, a2 figura.a) Cn – 1, p – 1; b) Cn – 1, p; c) Cn – 2, p – 2; d) 2Cp – 1, n – 2 + Cn – 2, p – 2 = Cn, p – Cn – 2, p; e) 2Cn – 2, p – 1

95) O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n elementos. Determine o número de funções f: AB sobrejetoras para: a) p = n; b) p = n + 1; p = n + 2. a) n!; b) (n + 1)!n/2; c) (n + 2)!n(3n + 1)/24

96) Considere um conjunto C de 20 pontos de espaço que tem um subconjunto C1 formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que 4 pontos de C são coplanares, então eles são pontos de C1. Quantos são os planos que contêm pelo menos três pontos de C? 1085

97) São dados, no plano, n pontos tais que entre as retas por eles determinadas não há duas retas paralelas nem três retas concorrentes. Quantos são os pontos de interseção dessas retas que são distintos dos pontos dados? n(n – 1)(n – 2)(n – 3)/8

98) Considere um polígono convexo de n lados e suponha que não há duas de suas diagonais que sejam paralelas nem três que concorram em um mesmo ponto que não seja vértice.a) Quantos são os pontos de interseção dessas diagonais?b) Quantos desses pontos de interseção são interiores ao polígono? Quantos são exteriores?a) n(n3 – 10n2 + 35n – 34)/8; b) n(n – 1)(n – 2)(n – 3)/8 interiores e n(n – 3)(n – 4)(n – 5)/12 exteriores

99) Nove cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questões de segurança, os planos são guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que só é possível abrí-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes.a) Qual é o número mínimo possível de cadeados?b) Na situação de ítem a, quantas chaves cada cientista deve ter? a) 126; b) 70

100) Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir de seus 7 alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jantares para 3 alunos cada. De quantos modos ele pode fazer os convites se ele não deseja que um mesmo par de alunos compareça a mais de um jantar? 151200

101) As casas lotéricas costumam oferecer a seus clientes a oportunidade de participarem dos chamados jogos com sena fechada, que constituem na escolha de um certo número n de dezenas (6 < n 50) e na realização de todos os Cn, 6 jogos possíveis com essas n dezenas. Considere um apostador que participa de um jogo desse tipo realizado com 15 dezenas. Se as seis dezenas sorteadas estiverem entre essas 15, além de acertar a sena, quantas quadras e quantas quinas esse apostador irá acertar? 54 quinas, 540 quadras

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102) No quadro abaixo, de quantos modos é possível formar a palavra “MATEMÁTICA”, partindo de um M e indo sempre para a direita ou para baixo? M M A M A T M A T E M A T E M M A T E M A M A T E M A T M A T E M A T I M A T E M A T I CM A T E M A T I C A 512

103) Suponha que n carros estão em fila para entrar em um estacionamento que possui n vagas, lado a lado. Se o 1o carro pode escolher qualquer vaga e cada um dos outros carros ao estacionar deve justapor-se a um carro já estacionado, quantos são os modos possíveis dos carros ocuparem as n vagas? 2n – 1

104) Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de exatamente duas bancas e cada duas bancas têm exatamente um professor em comum.a) Calcule x.b) Determine quantos professores há em cada banca.a) 28; b) 8

105) De quantos modos n crianças podem formar uma roda de ciranda de modo que duas dessas crianças permaneçam juntas? E de modo que p (p < n) dessas crianças permaneçam juntas? a) 2.(n – 2)!; b) p!(n – p)!

106) De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher? (n – 1)!.2n

107) De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permaneça ao lado de sua mulher e que pessoas de mesmo sexo não fiquem juntas? 2.(n – 1)!

108) São dados n pontos em círculo. Quantos n-ágonos (não necessariamente convexos) existem com vértices nesses pontos? (n – 1)!/2

109) Quantos dados existem se a soma das faces opostas deve ser 7? 2

110) Uma partícula estando no ponto (x, y), pode mover-se para o ponto (x + 1, y) ou para o ponto (x, y + 1). Quantos são os caminhos que a partícula pode tomar para, partindo do ponto (0, 0) , chegar ao ponto (a, b), onde a > 0 e b > 0? (a + b)!/a!b!

111) Uma partícula estando no ponto (x, y, z), pode mover-se para o ponto (x + 1, y, z) ou para o ponto (x, y + 1, z ) ou para o ponto (x, y, z + 1). Quantos são os caminhos que a partícula pode tomar para, partindo do ponto (0, 0, 0) , chegar ao ponto (a, b, c), onde a > 0, b > 0 e c > 0? (a + b + c)!/a!b!c!

112) Im = {1, 2, …, m} e In = {1, 2, …, n}. Quantas são as funções f: ImIn não decrescentes? (m + n – 1)!/(n – 1)!m!

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113) Os números inteiros compreendidos entre 1000000 e 999999 são divididos em classes de modo que dois números diferentes estão na mesma classe se e só se eles têm os mesmos algarismos, diferindo apenas na ordem. Assim, por exemplo, 552221 e 125252 estão na mesma classe. Quantas classes são assim formadas? 5004

114) Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x + y + z + w = 20 nas quais x > y? 825

115) Quantos inteiros entre 1 e 1000000, inclusive, têm a propriedade: “cada dígito é menor ou igual ao seu sucessor”? 2001

116) De quantos modos podemos escolher 3 números, não necessariamente distintos, no conjunto {1, 2, …, 150} de modo que a soma dos números escolhidos seja divisível por 3? E se os números devessem ser distintos? a) 191300; b) 183800

117) Determine o número de permutações de (1, 2, 3, 4, 5, 6) nas quais nem o 4 ocupa o 4o lugar nem o 6 ocupa o 6o lugar. 504

118) Quantos inteiros entre 1 e 1000000 não são nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos? 998910

119) Determine o número de permutações de (1, 2, …, n) nas quais não figuram (em posições consecutivas e na ordem dada) nem o par 12, nem o par 23, …m nem o par

(n – 1), n.

120) Suponha que o número de elementos do conjunto A é n. Quantas são as funções f: AA para as quais a equação f(x) = x não possui solução? Quantas são as funções f: AA bijetores para as quais a equação f(x) = x não possui solução? a) (n – 1)n; b) n![1/0! – 1/1! + 1/2! – … + (– 1)n/n!]

121) Quantas são as permutações de (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) que têm exatamente 3 elementos no seu lugar primitivo? 315

122) De quantos modos é possível colocar 8 torres brancas em um tabuleiro de xadrez 8x8 de modo que nenhuma torre fique na diagonal branca e não haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna? 14833

123) As três provas de um vestibular devem ser realizadas na primeira semana do ano. De quantos modos é possível escolher os dias das provas de modo que não haja provas em dias consecutivos? 10

124) Hugo deve ter aula de tênis três vezes por semana, durante um semestre. Quantos são os modos de escolher os dias de aula, se Hugo não deseja ter aulas em dias consecutivos? 7

125) 5 pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa circular. De quantos modos isso pode ser feito se não deve haver ocupação simultânea de duas cadeiras adjacentes? 45360

126) Dado um decágono, quantos são os triângulos cujos vértices são vértices não consecutivos do decágono? 50

127) De quantos modos podemos formar uma seqüência de p elementos iguais a 1 e q elementos iguais a 0 se dois elementos iguais a zero não podem ser adjacentes?(p + 1)!q!(p – q + 1)!

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128) De quantos modos podemos formar uma seqüência de p elementos iguais a 12, q elementos iguais a 1 e r elementos iguais a 0 se dois elementos iguais a zero não podem ser adjacentes? Cp + q, p.Cp + q + 1, r

129) De quantos modos é possível formar uma roda de ciranda com 7 meninas e 12 meninos sem que haja duas meninas em posições adjacentes? (11!)2/10

130) Nós temos um quadrado formado por 4 fileiras cada uma com 4 pontos. Quantos triângulos existem com vértices nos pontos? (Os três vértices não podem estar em uma mesma linha) 560

131) No esquema ao lado, de quantas formas Hé possível formar a palavra HEXAGON, E Epartindo do H e movendo-se de uma letra X X Xsomente para as letras diretamente abaixo A A A Ana esquerda ou direita. 20 G G G O O N

132) Mostre que, em qualquer conjunto de 10 pontos interiores de um quadrado cujos lados medem 3 unidades, há dois pontos cuja distância é menor ou igual a .

133) Dados 5 pontos sobre uma circunferência de raio 1, prove que existe um par de pontos cuja distância é menor de que .

135) 63127 candidatos comparecem a uma prova do vestibular (25 questões de múltipla-escolha com 5 alternativas por questão). Considere a afirmação: “Pelo menos dois candidatos responderam de modo idêntico as k primeiras questões da prova”. Qual é o maior valor de k para o qual podemos garantir que a afirmação acima é verdadeira? 6

137) Quinze cadeiras estão colocadas ao redor de uma mesa circular e sobre esta estão colocados, em frente a cada uma das cadeiras, o nome de 15 convidados. Ao chegarem, os convidados não percebem isto e nenhum senta-se em frente ao seu nome. Prove que a mesa pode ser girada de forma que pelo menos dois convidados fiquem corretamente sentados.

138) Determine o numero de permutações das letras aabbccdd nas quais não há letras iguais adjacentes.

139) Quantas são as permutações de (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10) nas quais os números 1, 2, 3, 4, 5 ocupam em alguma ordem os cinco primeiros lugares .

140) Prove que, se n 3 , Dn = (n – 1).(Dn – 1 + Dn – 2) 141) Quantas são as permutações de (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) que exatamente 3 elementos no seu lugar primitivo?

142) Quantas são as permutações de (1, 2, 3, ..., 2n) nas quais nenhum numero ímpar ocupa o seu lugar primitivo.

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Exercícios de Probabilidade1) Uma caixa contém 20 peças em boas condições e 15 em más condições. Uma amostra de 10 peças é extraída. Calcular a probabilidade de que ao menos uma peça na amostra seja defeituosa. 0,999 aproximadamente

2) Cinco dados são jogados simultaneamente e os resultados são classificados em: 2 A1: todos diferentes;A2: um par;A3: dois pares;A4: três iguais;A5: três iguais e dois iguais;A6: quatro iguais;A7: cinco iguais;A8: uma seqüência.Calcular as probabilidades de Ai, i = 1, 2, ..., 8.P(A1) = 5/54; P(A2) = 25/54; P(A3) = 25/108;P(A4) = 24/162; P(A5) = 25/648; P(A6) = 25/1296;P(A7) = 1/1296; P(A8) = 5/162

3) Uma cidade tem 30.000 habitantes de 3 jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinião revela que:1200 lêem A;8000 lêem B; 7000 lêem A e B; 6000 lêem C; 4500 lêem A e C; 1000 lêem B e C; 500 lêem A, B e C.Qual é a probabilidade de que um habitante leia:a) pelo menos um jornal;b) só um jornal. a) 7/15 b) 1/12

4) Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, são escritos em 5 cartões diferentes. Estes cartões são escolhidos (sem reposição) aleatoriamente e os algarismos que vão aparecendo são escritos da esquerda para a direita, formando um número de cinco algarismos.a) Calcular a probabilidade de que o número escrito seja par.b) Se a escolha fosse com reposição quel seria a probabilidade? a) 2/5 b) 2/5

5) Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada. a) (b – 1).(b – 1)!/(2.bb – 2)

6) Dez pessoas são separadas em dois grupos de 5 pessoas cada um. Qual é a probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B façam parte do mesmo grupo. 4/9

7) Cinco homens e cinco mulheres compram 10 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro. Supondo que elas se sentarem aleatoriamente nas 10 cadeiras, calcular:a) A probabilidade de que se sentem em cadeiras alternadas;b) A probabilidade de que as mulheres se sentem juntas.a) 1/126 b) 1/42

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8) Um número entre 1 e 200 é escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que seja divisível por 5 ou por 7. 63/200

9) Em um armário há n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso p pés de sapatos desse armário. Qual a probabilidade de haver

entre esses pés exatamente k pares de sapatos?

10) Aos números inteiros entre 1 e n são designadas probabilidades proporcionais aos seus valores. Calcular P(i) para 1 i n. 2i/n(n + 1)

11) Três dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter 12 como soma dos resultados dos 3 dados. 25/216

12) Dois dados são jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter 7 como soma dos resultados. 1/6

13) Consideremos uma urna contendo n bolas, das quais n1 1 são brancas e n2 1 são pretas com n = n1 + n2. Escolhe-se, ao acaso, uma amostra de r bolas, com r n1 e r n2. Qual a probabilidade de que exatamente k bolas nessa amostra sejam

brancas, se 0 k r.

14) Uma moeda equilibrada (probabilidade de cara = probabilidade de coroa) é jogada n vezes. Calcular a probabilidade de obter-se exatamente k caras, 0 k n.

15) Sejam A e B eventos tais que:P(A) = 1/2, P(B) = 1/4 e P(A B) = 1/5.Calcular:a) P(AA);b) P(A’);c) P(B’);d) P(AB’);e) P(A’B);f) P(A’B’);g) P(A’B’).a) 11/20; b) 1/2; c) 3/4; d) 3/10; e) 1/20; f) 9/20; g) 4/5

16) Uma urna contém 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Sacam-se 6 bolas dessa urna. Determine a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor:a) supondo a extração com reposição;b) supondo a estração sem reposição.

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a) 10/81; b) 2/77

17) No jogo da Sena são sorteadas 6 dezenas distintas entre as dezenas 01-02-...-50. O apostador escolhe 6 dessas 50 dezenas e é premiado se são sorteadas 4 (quadras), 5 (quinta), 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas ou se as dezenas sorteadas são escolhidas aumentadas (Sena Anterior) ou diminuídas (Sena Posterior) de uma unidade (50 + 1 = 01, 01 – 1 = 50). Determine a probabilidade de um apostador fazer:a) uma quadra;b) uma quina;c) A Sena Principal;d) a Sena Anterior ou Posterior.a) 66/264845 b) 22/1324225 c) 1/15890700 d) 1/7945350

18) Um carro estaciona entre n outros em fila e não numa ponta. Quando o dono retorna ainda estão estacionados m dos n carros. Qual é a probabilidade das duas vagas adjacentes ao seu carro estarem vazias? (n – m)(n – m – 1)/n(n – 1)

19) Se n homens, entre os quais João e Pedro, são postos ao acaso em uma fila, qual é a probabilidade de haver exatamente m pessoas entre João e Pedro? 2/n(n – 1)

20) Em uma roda são colocadas, ao acaso, n pessoas. Qual é a probabilidade de duas determinadas dessas pessoas ficarem juntas? 2/(n – 1)

21) Escolhe-se ao acaso um número entre 1 e 50. Se o número é primo qual é a probabilidade de que seja ímpar? 14/15

22) Uma moeda é jogada 6 vezes. Sabendo-se que no primeiro lançamento deu coroa, calcular a probabilidade condicional de que o número de caras nos seis lançamentos supere o número de coroas. 3/16

23) Uma moeda é jogada 4 vezes. Sabendo que no primeiro resultado foi cara, calcular a probabilidade condicional de obter pelo menos 2 caras. 7/8

24) Jogue um dado duas vezes. Calcule a probabilidade que no primeiro de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7. 1/6

25) Duas máquinas A e B produzem 3000 peças em um dia. A máquina A produz 1000 peças, das quais 3% são defeituosas. A máquina B produz as restantes 2000, das quais 1% são defeituosas. Da produção total de um dia uma peça é escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade de que a peça tenha sido produzida pela máquina A?3/5

26) Três urnas I, II e III contêm respectivamente 1 bola branca e 2 pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola, que é branca. Qual é a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II? 5/12

27) Um estudante resolve um teste com questões do tipo verdadeiro-falso. Ela sabe dar a solução correta para 40% das questões. Quando ele responde uma questão cuja solução conhece, dá a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questão foi respondida corretamente, qual é a probabilidade de que ele saiba a resposta? 4/7

28) Se A e B são eventos independentes tais que P(A) = 1/3 e P(B) = 1/2. Calcule P(AB), P(A’B’) e P(A’B). a) 2/3 b) 5/6

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29) Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A) = 1/4 e P(AB) = 1/3. Calcule P(B). 1/9

30) Uma moeda equilibrada é jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos:A: cara na primeira jogada;B: cara na segunda jogada. Verifique que A e B são independentes.

31) Determine a probabilidade de obter:a) ao menos um 6 em quatro lançamentos de um dado;b) ao menos um duplo 6 em 24 lançamentos de um dado.a) 671/1296 b) 1 – (35/36)24

32) A probabilidade de um homem ser canhoto é 1/10. Qual é a probabilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto? 1 – 0,910

33) Um exame de laboratório tem eficiência de 95% para detectar uma doença quando essa doença existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado “falso positivo” para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa ter a doença dado que o seu exame foi positivo? 95/294

34) 2n jogadores de tênis de igual habilidade disputam um torneio. Eles são divididos em grupos de 2, ao acaso, e jogadores de um mesmo grupo jogam entre si. Os perdedores são eliminados e os vencedores são divididos novamente em grupos de 2 e assim por diante até restar apenas um jogador que é proclamado campeão. Qual é a probabilidade de dois jogadores A e B se enfrentarem durante o torneio? Qual é a probabilidade do jogador A jogar exatamente k partidas? a) 1/2n – 1 b) 1/2k, se k < n; 1/2n – 1 se k = n

35) Em um torneio como descrito no exercício anterior, os jogadores tem habilidades diferentes e não há surpresas nos resultados (se A é melhor que B, A vence B). Qual é a probabilidade do segundo melhor jogador ser vice-campeão? 2n – 1/2n – 1

36) Dois adversários A e B disputam uma série de 10 partidas. A probabilidade de A ganhar uma partida é 0,6 e não há empates. Qual é a probabilidade de A ganhar a a série? aproximadamente 0,63

37) Motores de avião funcionam independentemente e cada motor tem uma probabilidade p de falhar durante um vôo. Um avião voa com segurança se a maioria de seus motores funciona. Para que valores de p um avião com 3 motores é preferível a um avião de 5 motores? p < 1/2.

38) Lança-se repetidamente um par de dados não tendenciosos. Qual é a probabilidade de obtermos duas somas iguais a 7 antes de obtermos três somas iguais a 3?243/256

39) Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Lançando-a 12 vezes, qual o mais provável valor do número de caras obtidas? 5

Exercícios de Olimpíadas de Matemática

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1) Dezenove flechas são arremessadas sobre um alvo com o formato de um hexágono regular de lado 1. Mostre que duas

destas flechas estão a uma distância de no máximo uma da outra.

2) Escolhem-se aleatoriamente 1985 pontos interiores a um cubo de aresta unitária. Mostre que é sempre possível selecionar 32 destes pontos de forma que o perímetro do 32-ágono, que eles determinam, é menor que .

3) Seja X real. Prove que dentre os números X, 2X, 3X, ..., (n – 1)X existe um que difere de um inteiro por no máximo .

4) Prove que existem inteiros a, b e c, não todos iguais a zero e de valor absoluto menor do que um milhão, tais que.

5) Prove que, entre 7 reais y1, y2, ..., y7, podemos escolher yi e yj (i j), tais que .

6) Dados três inteiros distintos, provar que sempre é possível dois dentre eles, digamos a e b, tais que a3b – ab3 é um múltiplo de 10.

7) Prove que, dados m inteiros a1, a2, ..., am, existem k e l (1 k l m), tais que ak + 1 + ak + 2 + ... + al é divisível por m.

8) a) Dado um conjunto de 101 inteiros positivos, nenhum dos quais excede 200, mostre que pelo menos um membro deste conjunto deve dividir outro membro do conjunto.b) Construa um conjunto de 100 inteiros positivos, menores ou iguais a 200, tal que nenhum membro deste conjunto divida outro membro do conjunto.c) Prove que se escolhermos 100 elementos do conjunto {1, 2, ..., 200} e um deles for menor que 16, então pelo menos um membro deste subconjunto deve dividir outro membro do conjunto.

9) As fatorações de r + 1 inteiros positivos (r 1) envolvem, no total, somente r primos. Prove que há um subconjunto destes inteiros cujo produto é um quadrado perfeito.

10) Um paciente deve tomar 48 pílulas em 30 dias, tomando pelo menos uma pílula por dia. Demonstre que existe uma seqüência de dias durante os quais ele toma exatamente 11 pílulas.

11) Durante um treinamento um jogador de xadrez joga pelo menos uma vez por dia e não mais do que 12 dias por semana. Prove que há um período de dias consecutivos no qual ele joga exatamente 20 vezes.

12) Mostre que entre sete inteiros positivos distintos menores do que 127 podemos escolher um par, digamos x, y, tal que

.

13) Dado um conjunto de dez naturais entre 1 e 99 inclusive, prove que há dois subconjuntos disjuntos não vazios cujas somas de seus elementos são iguais.

14) Prove que qualquer conjunto formado por sete inteiros positivos menores ou iguais a 24 possui dois subconjuntos de mesma soma.

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15) Vinte e oito equipes competem em um torneio de futebol de um turno (todos jogam contra todos, 2 pontos por cada vitória, 1 ponto por cada empate, 0 pontos por derrota). Mais de 75% dos jogos deste torneio terminaram empatados. Prove que existem duas equipes que encerram o torneio com o mesmo número de pontos.

16) Dados n pontos no plano, demonstre que existem 3 deles que determinam um ângulo menor ou igual a /n.

17) 63127 candidatos comparecem a uma prova do vestibular (25 questões de múltipla-escolha com 5 alternativas por questão). Considere a afirmação: “Pelo menos dois candidatos responderam de modo idêntico as k primeiras questões da prova”. Qual é o maior valor de k para o qual podemos garantir que a afirmação acima é verdadeira? 6

18) Prove que em qualquer conjunto de 52 inteiros existe um par de inteiros cuja soma ou cuja diferença é divisível por 100.

19) Quinze cadeiras estão colocadas ao redor de uma mesa circular e sobre esta estão colocados, em frente a cada uma das cadeiras, o nome de 15 convidados. Ao chegarem, os convidados não percebem isto e nenhum senta-se em frente ao seu nome. Prove que a mesa pode ser girada de forma que pelo menos dois convidados fiquem corretamente sentados.Solução:Temos no total 15 disposições distintas, todas podendo ser alcançadas girando a mesa 15 vezes. O número total de acertos pessoa-nome é igual a 15, ou seja, girando a mesa 15 vezes teremos também 15 acertos. Como é dado que na disposição inicial o número de acertos é 0, então sobram 15 acertos para 14 giros, implicando que em algum giro teremos dois acertos.

20) Uma caixa contem 10 livros de Francês, 20 livros de Espanhol, 8 livros de Alemão, 15 livros de Russo e 25 livros de Italiano. Quantos livros devem ser retirados da caixa (sem reposição) de modo que possamos garantir que foram retirados pelo menos 12 livros de uma mesma língua.Resolução:Pelo PCP, devemos ter 11 livros de cada língua com mais de 12 livros (Espanhol, Russo e Italiano), e todos os livros das línguas com menos de 12 livros (Francês e Alemão), mais 1 livro, que deve ser de uma das línguas que ainda sobraram livros (Espanhol, Russo e Italiano), para garantir que saia o 12o livro de uma mesma língua (lembremos que já temos 11 livros destas línguas). Assim, n = 10 + 11 + 8 + 11 + 11 + 1 = 52

21) Um professor conta, a cada ano, 3 piadas em sala de aula. Depois de 12 anos, o professor ainda não repetiu o mesmo terno de piadas. Qual é o menor número de piadas que o professor deve saber para poder realizar isto.

22) Prove que se existem 5 pontos no interior de um triângulo equilátero de 1, então é possível escolher 2 de tal modo que a distância entre eles é menor que 1/2.Solução:Notemos que podemos dividir um triângulo equilátero em 4 triângulos equiláteros interiores da seguinte forma:

Onde cada lado dos triângulos vale 1/2. Como temos 4 triângulos e 5 pontos, temos que dois pontos devem estar em um mesmo triângulo. A maior distância de dois pontos de triângulo de lado 1/2 é igual a 1/2.

23) Suponha que temos 27 números positivos ímpares menores que 100. Mostre que existe um par de números cuja soma é 102.Solução:Podemos agrupar os número ímpares de 1 até 99 da seguinte forma:{3, 99}, {5, 97}, {7, 93}, ..., {47, 55}, {49, 53}, 1, 53Assim, temos 24 pares somando 102 mais os números 1 e 53, somando ao todo 26 elementos. Como são dados 27 números

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positivos ímpares, então teremos certamente dois números de mesmo par (por mais que tenhamos ou não os números 1 e/ou 53).

24) Os números de 1 a 10 são escritos, de ordem aleatória, em torno de uma circunferência. Mostre que existem 3 números consecutivos cuja soma é menor que 17. Solução:

25) Um computador foi usado por 99 horas durante um período de 12 dias. Prove que algum par de dias consecutivos o computador foi usado ao menos 17 horas.

26) Mostre que dados 17 números naturais é possível escolher 5 deles cuja soma seja divisível por 5.

27) Prove que, para todo conjunto de 5 pontos no interior de um quadrado de lado 2, pode-se escolher 2 de modo que a distância entre eles é menor ou igual a .

28) De uma fileira de n 12 inteiros positivos consecutivos, dois jogadores, primeiro A e então B, retiram, alternadamente, o inteiro de sua escolha até restarem apenas dois números, a e b. A vence se a e b são primos entre si, e B caso contrário. Se n é ímpar, você escolheria ser primeiro ou segundo? E se n é par?

29) Um jogo é disputado por dois adversários, A e B, cada um dos quais dispões de dez fichas numeradas de 1 a 10. O tabuleiro do jogo consiste em duas filas numeradas de 1 a 1492, na primeira fila, e de 1989, na segunda fila. No n-ésimo lande (n = 1, 2, ..., 10), A coloca sua ficha de número n em qualquer casa vazia e B então coloca sua ficha de número n em qualquer casa vazia da fila que não contém a ficha de número n de A. B ganha o jogo se, após o décimo lance, ambas as filas exibirem a mesma ordem relativa. Caso contrário, A ganha o jogo.a) Qual dos jogadores tem uma estratégia vencedora? Justifique a resposta.b) Suponha agora que cada jogador dispões de k fichas numeradas de 1 a k. Qual jogador tem uma estratégia vencedora. Justifique a resposta.c) Suponha agora que, além disso, as fichas são o conjunto Q dos números racionais e o conjunto Z dos números inteiros. Qual dos jogadores tem uma estratégia vencedora? Justifique a resposta.

30) Dado um inteiro n0 > 1, dos jogadores A e B escolhem alternadamente, inteiros n1, n2, n3, ... de acordo com as seguintes regras: Conhecendo-se n2k, A escolhe um inteiro n2k + 1 tal que . Conhecendo-se n2k + 1, B escolhe um inteiro

n2k + 2, tal que seja um potência com expoente inteiro e positivo de um primo. A ganha o jogo se conseguir escolher o

número 1990 e B ganha o jogo se conseguir escolher o número 1. Determine os valores de n0 para os quais:a) A tem uma estratégia vencedora;b) B tem uma estratégia vencedora;c) nenhum dos jogadores tem estratégia vencedora.

31) Este é um jogo para dois jogadores, jogando com uma pilha de n palitos de fósforo sobre uma mesa. Cada jogador pode tirar da pilha 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos, a seu critério. Ganha quem tirar o último fósforo. Para n = 1990, terá, o primeiro jogador, uma estratégia para vencer? Qual deve ser sua primeira jogada?

32) Este jogo é semelhante ao anterior, exceto que há duas pilhas de fósforos e a cada jogada só é permitido modificar uma das pilhas. Ganha quem tirar o último fósforo. A partir de pilhas com 1990 e 1937 fósforos, terá, o primeiro jogador, uma estratégia vencedora para vencer? Qual deve ser a sua primeira jogada?

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33) Uma pilha contém 1992 pedras. Dois jogadores brincam da seguinte maneira: os jogadores retiram, alternadamente, um número de pedras que divida o número de pedras retiradas pelo seu adversário no movimento imediatamente anterior. O primeiro jogador em sua primeira jogada pode retirar um número arbitrário de pedras, mas não todas. O jogador que retira a última pedra vence. Qual dos jogadores possui uma estratégia vencedora?

34) Considere o seguinte jogo do qual participam dois jogadores A e B: o jogador A recebe inicialmente o número 2. Cada jogada consiste em substituir o número recebido n por um número da forma n + d, onde d é um divisor positivo de n, menor do que n, e entregar esse número ao adversário. Ganha o jogo que entrega ao adversário um número maior do que o milésimo primo. Determine qual dos jogadores possui uma estratégia ganhadora.

35) O proprietário do Wohascum Puzzle, Game, and Computer Den inventou um jogo para duas pessoas, no qual os jogadores, alternadamente, pintam as arestas de um cubo. Três cores (vermelho, verde e amarelo) são disponíveis. Inicialmente todas as arestas do cubo são incolores e cada aresta pode ser pintada uma única vez. Duas arestas com um vértice em comum não podem ter a mesma cor. O último jogador a pintar uma aresta vence o jogo. Qual dos jogadores possui uma estratégia vencedora?

36) Considere o seguinte jogo-de-ligar-os-pontos sobre um reticulado retangular mxn. Dois jogadores jogam alternadamente, uma jogada consiste em desenhar um segmento de reta entre dois pontos do reticulado nem segmentos previamente desenhados. O último a jogar vence a partida. Qual dos jogadores tem a vantagem, e qual a estratégia vencedora?

37) Em uma partida dois jogadores escolhem números alternadamente. Em cada rodada a diferença entre o número escolhido e o anterior deve ser maior do que zero, mas menor do que o número anterior. O número inicial é 2. Vence o jogador que escolhe o número 1987. Qual dos jogadores possui uma estratégia vencedora?

38) (Eureka! 5) Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual é o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que:a) As meias retiradas contenham um par da mesma cor?b) As meias retiradas contenham um para de cor branca?

39) (Eureka! 5) Sejam n um natural ímpar e A uma matriz simétrica em que cada linha e coluna seja uma permutação dos inteiros 1, 2,…, n. Mostre que cada um destes números aparece uma vez na diagonal de A.

40) (Eureka! 5) Mostre que se um subconjunto com n + 1 elementos é escolhido do conjunto {1, 2, 3,…, 2n} então este subconjunto necessariamente contém um par de números primos entre si.

41) (Eureka! 5) Considere 9 pontos de coordenadas inteiras no R3. Mostre que o ponto médio de um dos segmentos de reta definidos por estes pontos também tem coordenadas inteiras.

42) (Eureka! 5) Mostre que se n é ímpar e a1, a2,…,an é uma permutação de 1, 2,…, n, então o produto (a1 – 1) (a2 – 2)…(an – n) é par.

43) (Eureka! 5) Mostre que em qualquer coleção de n inteiros há um subconjunto cuja soma dos elementos é divisível por n.

44) (Eureka! 5) Mostre que em qualquer coleção de n inteiros existe um par cuja soma ou diferença é divisível por n.

45) (Eureka! 5) Mostre que em toda reunião com 10 pessoas existem 3 que se conhecem mutuamente ou 4 que se desconhecem mutuamente. Mostre que, na realidade, o resultado vale mesmo que na reunião só existam 9 pessoas.

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46) (Eureka! 5) Dados inteiros a, b 2, seja N (a, b) o menor número para o qual, dado um conjunto com N (a, b) pessoas, sempre existam a que se conheçam mutuamente ou b que se desconheçam mutuamente (se existir tal número). Os problemas anteriores implicam que N (3, 3) 6 e N (3, 4) 9. Mostre que:a) N(a, 2) = a;b) N(a, b) = N (b, a);c) N(a, b) N (a – 1, b) + N (a, b – 1); observe que, em conseqüência, N(a, b) existe para todo par (a, b).

47) (Eureka! 5) Dois discos A e B são divididos em 2n setores iguais. No disco A, n setores são pintados de azul e n de vermelho. No disco B, os setores são pintados de azul ou vermelho de forma completamente arbitrária.Mostre que A e B podem ser superpostos de modo que pelo menos n setores tenham cores coincidentes.

48) (Eureka! 5) Sejam A1, A2,…, A100 subconjuntos distintos de um conjunto X satisfazendo a propriedade de que cada Ai possua mais da metade dos elementos de X.Mostre que existem 6 elementos x1, x2,…x6 de X tais que cada Ai contenha pelo menos um destes 6 elementos.

49) (Eureka! 5) Considere um conjunto A com n elementos. Seja F uma família desubconjuntos de A tal que:– Quaisquer dois elementos de F têm interseção não vazia.– Nenhum outro subconjunto de A intersecta todos os elementos de F.a) Dê exemplo de uma família F satisfazendo a estas condições.b) Mostre que F possui 2n – 1 elementos.

50) (Eureka! 5) Uma fábrica produz pelo menos uma unidade de um produto X por dia e no máximo 10 unidades deste produto por semana. Mostre que dado qualquer inteiro positivo n existe um conjunto de dias consecutivos em que a produção total é igual a n [ Sugestão: mostre que existe um número k (dependente de n) suficientemente grande para o qual os conjuntos {S1, S2,…Sk} e {S1 + n, S2 + n, …, Sk + n} tem pelo menos um elemento comum, onde Si é a soma das produções nos dias 1, 2, …, i.].

51) (Eureka! 5) Mostre que toda seqüência com n2 + 1 elementos possui uma subseqüência crescente com n + 1 elementos ou uma subseqüência decrescente com n + 1 elementos.

52) (Eureka! 5) Sejam mn + 1 elementos tais que a1 < a2 < …< amn + 1. Mostre que ou existem m + 1 destes números tais que nenhum é divisor de um outro ou existem n + 1 deles tais que cada um é divisor do seguinte.

53) (Eureka! 5) Prove que se o conjunto {1, 2, 3, …, 1978} é partido em 6 subconjuntos, em algum destes subconjuntos existe um elemento que é igual à soma de dois elementos, não necessariamente distintos, do mesmo subconjunto.

54) (Eureka! 5) Considere um conjunto com 2n pontos.a) Mostre que é possível conectar estes pontos com n2 segmentos de reta sem que um triângulo de vértices nos pontos dados seja formado.b) Mostre que se os pontos são conectados por n2 + 1 segmentos de reta, então pelo menos um triângulo é formado.

55) (Eureka! 5) Considere um conjunto de n pontos 1, 2, …, n. Para cada par de pontos é escolhida uma orientação para o segmento de reta que os une. Se o segmento ij é orientado de i para j dizemos que i j. Mostre que existe uma permutação a1, a2, … an de 1, 2, …, n tais que a1 a2 … an.

56) (Eureka! 5) São dados n pontos azuis e n pontos vermelhos no plano. Mostre que é possível formar n pares de pontos (um azul e um vermelho em cada par) de modo que os n segmentos de reta definidos por estes pares não se cruzem.

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57) (Eureka! 5) Mostre que dados 5 pontos do plano em posição geral há 4 que formam um quadrilátero convexo.

58) (A arte de resolver problemas – Polya) Jorlaine tem 10 bolsos e 44 moedas. Ele quer colocar as moedas nos bolsos mas de tal maneira distribuídas que em cada bolso fique um número diferente de moedas. Será possível conseguí-lo? Explicar.

59) (RPM-33). As equipes de futebol do Brasil e da Argentina jogam entre si, alternadamente, ora em um país, ora em outro. Já jogaram 13 partidas. Em 7 delas a equipe local ganhou. A equipe brasileira ganhou 9 partidas no total. Não houve nenhum empate. É possível saber, a partir dessa informação, em que país se jogará a próxima partida? Em caso afirmativo, diga em que país será. Em qualquer caso, justifique sua resposta.

60) (Sergipe-99) O professor Epaminondas, no primeiro dia de aula, apostou que, entre os alunos daquela classe, pelo menos dois fariam aniversário no mesmo dia do mês. O professor tinha certeza de que ganharia a aposta, pois naquela classe o número de alunos era maior ou igual a:a) 15 b) 32 c) 28 d) 31 e) 30

61) (Sergipe-99) Um jogo consiste em partir da casa 1 à casa 36 numa trilha com casas numeradas de 1 a 36. Os dois jogadores começam na casa 1 e o avanço de casas depende do lançamento de dois dados cúbicos comuns.– Se a soma dos pontos for par, o jogador avança 3 casas.– Se a soma dos pontos for ímpar, o jogador avança 1 casa.– Se o jogador ultrapassar a última casa, retorna à casa 1.– A ordem com que os jogadores iniciam suas jogadas é definida por alguma forma de sorteio.– Ganha quem parar primeiro na casa 36.– O menor número de jogadas que alguém pode fazer e ganhar é:a) 37 b) 13 c) 12 d) 14 e) 17

62) (Sergipe-99) Um menino joga três dados e soma os números que aparecem nas faces voltadas para cima. O número de diferentes resultados dessa adição é:a) 12 b) 18 c) 216 d) 16 e) 15

63) (Sergipe-99) Numa gaveta há 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual o número mínimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que:a) As meias retiradas contenham um par da mesma cor?b) As meias retiradas contenham um par de cor branca?

64) (Goiás) Determine a quantidade de números naturais tais que nenhum de seus algarismos é 1 e o produto de todos os seus algarismos é 48.

65) (Goiás) Um relógio digital mostra as horas e minutos desde 01:00 às 12:59. Determine o número de vezes que aparecem simultaneamente no visor os números 1, 2 e 3 durante um dia completo.

66) (Goiás) Determine a quantidade de números inteiros que existem na lista 1,2,3,...., 10.000 e que contêm exatamente um par de dígitos 9 consecutivos.

67) (Goiás) João e Sheila começam a trabalhar em seus novos empregos no mesmo dia. João tem o seguinte horário: trabalha durante 3 dias e logo toma um dia de descanso. Sheila possui o horário: trabalha durante 7 dias e depois folga 3 dias. Qual o número de dias que descansam João e Sheila no mesmo dia durante seus primeiros 1000 dias de emprego?

68) (Goiás) Propõe-se colorir cada uma das casas de um tabuleiro 4x4 com apenas uma das duas cores: ou preto ou branco, de modo que existam exatamente duas casas brancas em cada fila e em cada coluna. Determine o número de maneiras diferentes que se pode efetuar a coloração proposta.

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69) (Goiás) Em um torneio disputado por 6 clubes, no qual cada par de clubes se enfrenta uma única vez, vitórias valem 3 pontos, empates valem 1 ponto e derrotas valem 0 ponto. Ao final do torneio os clubes tinham 15, 8, 7, 6, 4 e 1 pontos. Quantas partidas terminaram empatadas ?

70) (Goiás) Temos doze moedas, todas rigorosamente iguais na sua aparência exterior. No entanto, uma delas é falsa, pois tem um peso diferente das outras. Não sabemos, no entanto, se esse peso é superior ou inferior ao das outras 11. Pretende-se, utilizando apenas uma balança de dois pratos, e com três pesagens, determinar qual é a moeda falsa e se é mais leve ou mais pesada.

71) (Goiás) Em um tabuleiro quadrado três por três (ou seja, com 9 casas) devem-se colocar nove elementos do conjunto C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, diferentes entre si, um em cada casa e cumprindo as condições seguintes:a) As somas dos números da segunda e terceira linhas são, respectivamente, o dobro e o triplo da soma dos números da primeira linha.b) As somas dos números da segunda e terceira colunas são, respectivamente, o dobro e o triplo da soma dos números da primeira coluna.Mostre todas as formas possíveis de colocar elementos de C no tabuleiro, cumprindo as condições indicadas.

72) (Goiás) Duas jarras iguais contêm misturas de álcool e água nas proporções de 3:7 na primeira jarra e 3:5 na segunda jarra. Juntando-se os conteúdos das duas jarras, obteremos uma mistura de álcool e água em que proporção ?

73) (Goiás) Um quadrado mágico multiplicativo é um quadrado tal que o produto dos números de cada linha, coluna ou diagonal é o mesmo. Se o quadrado da figura abaixo é preenchido com inteiros positivos de forma a obtermos um quadrado mágico multiplicativo, qual é o valor de x ?

74) (Goiás) Considere o conjunto A de todas as combinações simples de 10 elementos em grupos de 5. Duas combinações distintas são escolhidas ao acaso no conjunto A. Determine as probabilidades de que elas: a) não tenham nenhum elemento em comum;b) tenham exatamente 4 elementos em comum.

75) (Goiás) Em cada casa de um tabuleiro de xadrez mxm está inscrito um número de modo que se ele não está no bordo ele é média aritmética dos números que estão nas casas vizinhas. Prove que existe um número no bordo que não é superado por nenhum dos números do tabuleiro. 76) (Goiás-98) O aniversário de João caiu no 2o domingo de maio, dia em que é comemorado o “Dia das Mães”. João perguntou a sua mãe se esta coincidência iria se repetir sempre. Sua mãe respondeu que só quando o “Dia das Mães” ocorrer o mais cedo possível. Em que dia do mês é o aniversário de João?

77) (Gioás-98) Escreva os números de 2 a 40 com os seguintes critérios:i. Na primeira linha escreva os ímpares em ordem crescente;ii. Na segunda linha escreva os números que são obtidos multiplicando os números da 1a linha por 2 = 21 e em ordem crescente;iii. Na terceira linha escreva os números que são obtidos multiplicando os números da 2a linha por 4 = 22 e em ordem crescente;iv. Continue até não encontrar mais números que possam ser obtidos desta forma;

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5

4

1

x




v. Finalmente na última linha escreva os números ausentes em ordem decrescente.

78) (Espírito Santo-97) As peças de um quebra-cabeça retangular são 9 quadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 e 18. Resolva o quebra-cabeça. (Tente fazer um modelo concreto).

79) (Espírito Santo-97) Isabela, Gabriela e Hugo jogaram três partidas de Baralho. Cada um tinha fichas para apostar. Na primeira partida Hugo perde, Gabriela duplica suas fichas e Isabela não perde nem ganha. Na segunda partida Isabela duplica suas fichas, Gabriela perde e Hugo não perde nem ganha. Na terceira partida Isabela perde, Gabriela duplica suas fichas e Hugo não perde nem ganha. No final, Hugo perdeu 9 fichas, Isabela tem uma ficha a mais que Gabriela. Com quantas fichas cada um começou se o número total de fichas era 50?

80) (Rio Grande do Sul-98) De cada uma de três varetas de mesmo comprimento l, quebrou-se um pedaço. Calcular a probabilidade de que seja possível construir um triângulo com esses três pedaços.

81) (Rio Grande do Norte-95) Num tabuleiro 3 x 3, contando os retângulos existentes, em diversas posições, chegamos a um total que a) é maior do que 40 b) é menor do que 30 c) é exatamente igual a 30 d) está entre 30 e 40e) é exatamente igual a 40

82) (Rio Grande do Norte-95) O gerente de um armazém queria pesar cinco sacos de farinha. No armazém havia uma balança que só fazia pesagens acima dos 100 kg. O gerente não se perturbou, e se pôs a pesar os sacos de dois em dois. Com cinco sacos conseguiu formar 10 pares distintos, por isso teve de fazer 10 pesagens. O resultado das pesagens foram, em ordem crescente, os seguintes números :110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120, 121Em ordem crescente dos pesos, o terceiro saco pesava : a) 54 kg b) 115,5 kg c) 56 kg d) 117 kg e) 58 kg

83) (Rio Grande do Norte-95) ) Qual é o número mínimo de pessoas que deve haver num grupo para que possamos garantir que nele haja pelo menos 5 pessoas nascidas no mesmo mês ?a) 150 b) 50 c) 55 d) 49 e) 120

84) (Rio Grande do Norte-95) Nos festejos juninos, 20 casais de dançarinos são colocados em círculo de tal maneira que um homem e uma mulher formando um par estão situados diametralmente opostos. Durante a dança, dois dançarinos adjacentes trocam de lugar enquanto todos os outros permanecem na mesma posição. Essa mudança é repetida com pares adjacentes até que, na posição final, os dois dançarinos de cada par estejam novamente diametralmente opostos, mas na posição contrária da inicial. Então o número mínimo de mudanças, de dois dançarinos adjacentes, para acontecer isso é :a) 20! b) 400 c)10! d) 19! e) 100

85) (Rio Grande do Norte-95) O número de maneiras distintas de cobrir um tabuleiro 2x5 com dominós 2x1 é:a) 8 b) 5 c) 20 d) 10 e) Nenhuma Correta

86) (Rio Grande do Norte-97) Em cada quadrado de um tabuleiro 8 x 8 se pode colocar uma ficha. Dizemos que uma ficha vê a outra se ambos estão na mesma fila ou na mesma coluna e se nos quadrados intermediários entre eles dessa fila ou coluna, se existem, estejam sem fichas (vazios). Qual é o número máximo de fichas que se pode colocar de maneira tal que cada ficha veja exatamente duas fichas?a) 8 b) 16 c) 20 d) 46 e) 18

87) (Rio Grande do Norte-97) Considere o seguinte jogo. Existem três pilhas de caroços de feijão: uma com 10 caroços, uma com 15 e uma com 20 feijões. Os jogadores jogam seqüencialmente, um depois o outro. Cada jogada consiste em escolher

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uma das pilhas e dividi-la em duas pilhas menores. O perdedor é aquele que não consegue fazer isso. Se eles jogam raciocinando corretamente, quem ganha: o primeiro a jogar ou o segundo?a) o primeiro b) o segundo c) nunca o segundo ganhad) o jogo sempre termina empatado e) impossível dizer

88) (Rio Grande do Norte-97) Os números 1, 2, 3, ...., 19, 20 são escritos no quadro negro. Apague quaisquer dois desses números e escreva o novo número a + b + ab. Que número aparecerá no quadro negro depois de 19 dessas operações?a) 199.964 b) 210 c) 198.876 d) 105 e) Nda

89) (Rio Grande do Norte-97) Um tabuleiro 8 x 8 é desenhado no plano cartesiano, de modo que os vértices limites do tabuleiro são os pontos (0,0), (8,0), (0,8) e (8,8). Qual é o número de retângulos existentes no tabuleiro, tais que não sejam quadrados e que tenham os vértices em pontos cujas coordenadas são inteiras ?a) 640 b) 1000 c) 360 d) 1090 e) 1092

90) (Rio Grande do Norte-97) As entradas das casas de três formiguinhas estão localizadas num terreno plano e não estão, as três, em linha reta. No terreno plano, quantos caminhos retos podem ser construídos de modo que sejam eqüidistantes das três casas?a) Zero b) 1 c) 2 d) 3 e) infinitos

91) (Rio Grande do Norte-99) Escreva os números naturais 1, 2, 3,…, 98, 99, 100 numa linha, de modo que a diferença entre quaisquer dois adjacentes não seja menor do que 50.

92) (Rio Grande do Norte-99) A professora desafia André e Thiago com o seguinte jogo, em que eles jogam alternadamente. Ela escreve no quadro-negro os inteiros de 1 a 50. Uma jogada consiste em escolher dois dos números escritos, apagar esses números, substituindo-os pela soma (Por exemplo, se André escolheu 8 e 23, apaga-os e escreve 31). Depois de algum tempo, vai restar no quadro negro um único número. Se esse número é par, o ganhador é André, caso contrário, o ganhador é Thiago. Quem vence o jogo: André ou Thiago?

93) (Rio Grande do Norte-99) André e Thiago disputam um jogo em que jogam alternadamente. André inicia escolhendo um número inteiro de 1 a 9. Em seguida, Thiago escolhe um número inteiro de 1 a 9 e soma ao número escolhido anteriormente pelo adversário. A seguir, André escolhe um número inteiro de 1 a 9 e soma ao resultado anterior, e assim por diante. Aquele que atingir o número 100 vence. Imaginando que os dois jogam corretamente, quem vencerá: André ou Thiago? Qual é a estratégia para vencer?

94) (Rio Grande do Norte-99) Uma caixa contém 300 bolas de gude. Dois amigos participam de um desafio, removendo, alternadamente, bolas da caixa. Na sua vez de jogar, cada um pode remover qualquer quantidade de bolas que não seja maior que a metade das bolas existentes na caixa. Aquele que não puder remover perde. Imaginando que os dois jogam corretamente, quem vencerá: o primeiro ou o segundo a jogar? Qual é a estratégia para vencer?

95) (Minas Gerais) Prove que existem 2(2n – 1 – 1) maneiras distintas de se distribuir n cartas para dois jogadores. (os jogadores devem receber o mesmo número de cartas)

96) (Minas Gerais) Uma urna contém bolas pretas e uma segunda urna contém bolas brancas. Toma-se um certo número de bolas da primeira urna e coloca-se na segunda; a seguir, retira-se o mesmo número de bolas da segunda e coloca-se na primeira. Pergunta-se se depois destas operações o número de bolas brancas na primeira urna é maior, menor ou igual ao número de bolas pretas na segunda. Justifique sua resposta.

97) (Minas Gerais) Mostre que, dados 52 inteiros quaisquer, entre eles existem dois cuja soma, ou diferença, é divisível por 100.

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98) (Rio de Janeiro) Genilson e Geraldo são dois amigos muito estranhos. Genilson mente às 4as, 5as e 6as-feiras, dizendo a verdade no resto da semana. Geraldo mente aos domingos, 2as e 3as-feiras, dizendo a verdade nos outros dias. Certo dia ambos declaram: "amanhã é dia de mentir". Descubra o dia em que foi feita esta declaração.

99) (Rio de Janeiro-96) Mostre que, independente de como são pintados (com duas cores distintas) os vértices de um polígono regular de 1995 lados, existem sempre três vértices da mesma cor que formam um triângulo isósceles.

100) (Rio de Janeiro-98) Em um condomínio serão construídas 6 casas de uma mesmo lado de uma rua. As casas podem ser de tijolo ou de madeira, mas como medida de segurança contra incêndio, duas casas de madeira não podem ser vizinhas. De quantas maneiras se pode planejar a construção das casas desse condomínio?

101) (Rio de Janeiro-98) 100 pessoas jogam a seguinte variação do jogo de bingo: Inicialmente, cada jogador escreve os números de 1 a 100 na ordem que desejar. Em seguida, o diretor do jogo sorteia sucessivamente os números de 1 a 100 em qualquer ordem. Cada jogador ganha 1 real por cada número de sua seqüência que apareça na mesma posição na seqüência sorteada. Sabendo que todos os participantes receberam quantias diferentes, prove que algum deles recebeu exatamente 100 reais.

102) (Rio de Janeiro-98) A Diretoria de um Banco é composta por um Diretor, um Vice-Diretor e quatro Chefes de Setor. O Diretor resolve instalar um novo cofre. Manda fazer várias fechaduras e distribui as chaves de modo que:

Cada chave abre exatamente uma fechadura. O cofre só é aberto se forem abertas todas as suas fechaduras. O Diretor possa abrir sozinho o cofre. O Vice-Diretor só possa abrir o cofre juntamente com um dos Chefes de Setor. Os Chefes de Setor só possam abrir o cofre em grupos de três.

a) Qual o número mínimo de fechaduras que se devem colocar no cofre para que este esquema seja possível?b) Nesse caso, quantas chaves cada um deve ter?

103) (Rio de Janeiro-99) Gustavo, Eduardo e Augusto disputam uma série de partidas de xadrez da seguinte maneira : dois deles jogam entre si e o vencedor joga com o que ficou de fora. Se o jogo terminar empatado, aquele que jogou com as peças brancas é considerado o perdedor. Ao final da série, Gustavo tinha jogado 15 partidas, Eduardo jogou 9 partidas e Augusto jogou 14 partidas. Quais foram os adversários na partida de número 13 ?

104) (Número de Ouro-97) Em uma reunião de 20 pessoas existem exatamente 49 pares de pessoas que se conheciam entre si. Prove que alguma pessoa conhecia ao menos 4 dos convidados.

105) (USAMO-89) Os 20 membros de clube de tênis são distribuídos em exatamente 14 jogos de duplas entre eles. com cada membro jogando ao menos um jogo. Prove que existe um conjunto de 6 jogos com 12 jogadores distintos.

106) (México) Considere os 36 vértices de um quadriculado perfeito de 6x6. Utilizando estes como vértices de triângulos não degenerados, quantos triângulos distintos podem se formados?

107) (México) Quantos números de 1 até 10000 tem seus dígitos em ordem estritamente crescente? (Por exemplo, 1, 46, 1379 possuem esta propriedade e 280 ou 122 não possuem).

108) (México) De todos os números de 4 dígitos que são múltiplos de 9, quantos possuem todos os seus dígitos distintos de 0 e distintos entre si?

109) (México) Dos seguintes 34 números: 1, 4, 7, 10, 13, ..., 97, 100, elegem-se 19 deles. Demonstre que entre estes 19 sempre existem 2 cuja soma é 104.

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110) (México) Considere um tabuleiro 10x13 e 3 cores com as quais deve-se pintar cada casa do tabuleiro. Demonstre que existem 4 casas de uma mesma cor que são vértices de um retângulo de lados paralelos as linhas do tabuleiro.

111) (México-88) De quantas formas podem ser acomodadas em linha reta sete bolas brancas e cinco negras, de tal maneira que não existam duas bolas negras juntas?

112) (México-92) Considere 7 pontos dentro ou sobre um hexágono regular e prove que três deles formam um triângulo cuja área é menor ou igual a 1/6 da área do hexágono.

113) (México-95) Consideram-se 6 pontos no plano com a propriedade de que 8 das distâncias entre eles são iguais a 1. Mostre que ao menos três dos pontos formam um triângulo equilátero de lado 1.

114) (Alicante-98) Dentro de um cubo de lado 15 unidades, existem 11.000 pontos situados de forma arbitrária. Prove que é possível encontrar uma esfera de raio um, que contenha em seu interior, ao menos 6 pontos dentre os 11.000 dados.

115) (Bélgica-90) Uma prova de Olimpíada de Matemática consiste de 30 problemas. Sabe-se que são atribuídos 4 pontos para cada resposta corte, – 1 para uma resposta incorreta e 0 pontos para uma resposta em branco. Qual é o menor número de participantes tal que é possível afirmar que existem duas pontuações iguais na competição?a) 121 b) 145 c) 146 d) 151 e) 152

116) (Bélgica-91) O alfabeto alemão consiste de 6 vogais e 20 consoantes. Assuma que uma palavra de 3 caracteres possui ao menos 1 vogal e ao menos 1 consoante. Determine o maior número de palavras de 3 caracteres que é possível escrever.a) 2880 b) 3120 c) 8640 d) 9360 e) 18000

117) (Bélgica-91) Em uma urna existem 24 cartões: 2 vermelhos e 22 pretos. João fala um número n entre 1 e 24. Ricardo retira (sem olhar) n cartões, um por um. Se o n-ésimo cartão for vermelho então João ganha o jogo. Qual é o número que João deve escolher para possuir a maior chance de ganhar o jogo?a) 1 b) 2 c) 12 d) 13 e) um número diferente de 24

118) (Bégica-92) Seja A = {1, 2, 3, 4}. Quando é escolhida aleatoriamente uma das possíveis funções f: A A, qual é a probabilidade de que f seja bijetora?a) 1/4 b) 1/6 c) 1/16 d) 3/32 e) 1/64

119) (Bélgica-92) Três casais estão em uma festa. Na despedida, cada pessoa apertou a mão de outros convidados da festa, excetuando a de seu(sua) parceiro(a). Depois de todos os cumprimentos, o anfitrião perguntou a todos quantos apertos de mão cada um tinha dado, e ouviu 5 respostas diferentes. Quantas mãos o anfitrião cumprimentou?a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

120) (Bégica-93) Um número inteiro não-negativo é dito palíndromo se ele lido da esquerda para a direita é igual quando lido da direita para a esquerda. Por exemplo 121, 0, 2002 e 4 são palíndromos. O número de palíndromos que são menores que 1.000.000 é:a) 900 b) 1991 c) 1993 d) 1999 e) 2220

121) (Bélgica-93) Em dezembro, durante as férias escolares, 20 colegas de classe enviam 10 cartões de Natal para 10 diferentes colegas (diferentes deles mesmos).a) Mostre que pelo menos dois colegas de classe trocaram cartões. b) Suponha que a classe possua n estudantes, cada um enviando m cartões de Natal para m diferentes (diferentes deles mesmos). Qual a relação entre n e m para que ao menos 2 estudantes tenham trocado cartões.

122) (Bélgica-94) Um pequena escola possui 4 alunos. Um professora coletou as provas resolvidas pelos alunos e

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imediatamente repassou para eles mesmos corrigirem. De quantas maneiras é possível fazer isto sem que um aluno receba a mesma prova que fez?a) 6 b) 9 c) 14 d) 23 e) 24

123) (Bélgica-94) Cada lado de um cubo é pintado de um cor (existem 6 disponíveis). De quantas maneiras é possível fazer isto? Sabe-se que duas colorações são idênticas se podem ser obtidas por rotação do cubo.a) 30 b) 60 c) 120 d) 360 e) 720

124) (Bélgica-95) Quantos valores possíveis existem na multiplicação de dois números distintos do conjunto {4, 8, 9, 16, 27, 32, 64, 81, 243}?a) 72 b) 36 c) 32 d) 20 e) 12

125) (Bélgica-95) Quantos triângulos podem ser construídos tais que o comprimento dos lados sejam 3 inteiros ímpares consecutivos, e o perímetro seja estritamente menor que 1000?a) 165 b) 166 c) 167 d) 331 e) 332

126) (Bélgica-96) Cinco diferentes estradas ligam as cidades A e B, três diferentes estradas ligam as cidades B e C e três diferentes estradas ligam as cidades A e C, sem passar por B. De quantas formas diferentes é possível ir de A para C e voltar para A passando por B pela menos uma vez.a) 22 b) 90 c) 270 d) 315 e) 324

127) (Espanha-93) Em uma reunião existem 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que, em cada grupo de 6, ao menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existe ao menos 5 pessoas do mesmo país, da mesma idade e do mesmo sexo.Solução:Sendo 201 (201 = 5.40 + 1) pessoas de 5 nacionalidades diferentes, temos que uma nacionalidade possui pelo menos 41 pessoas. Entre 41 (41 = 2.20 + 1) pessoas, existem pelo menos 21 do mesmo sexo e da mesma nacionalidade. Como em cada grupo de 6 ao menos 2 tem a mesma idade, existem então no máximo 5 idades diferentes. Assim, em um grupo de 21 (21 = 4.5 + 1) pessoas do mesmo sexo e nacionalidade, temos pelo menos 5 pessoas da mesma idade.

128) (Espanha-98) Determinar os valores de n para os quais é possível construir um quadrado nn encaixando peças do tipo:

129) (Espanha-99) Sobre um tabuleiro em forma de triângulo equilátero, como se indica na figura, coloca-se uma ficha sobre cada casa. Cada ficha é branca por um lado e negra por outro. Inicialmente, somente uma ficha, que está situada em um vértice, possui a cara negra virada para cima, o resto das fichas tem a cara branca virada para cima. Em cada movimento retira-se do tabuleiro uma única ficha negra e vira-se o lado voltado para cima das fichas situadas em casas vizinhas. Casas vizinhas são as que estão unidas por um segmento. Depois de vários movimentos será possível retirar todas as fichas do tabuleiro?

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130) (Espanha-99) Uma caixa contem 900 bilhetes, numerados de 100 a 999. Retiram-se aleatoriamente (sem reposição) bilhetes da caixa e anota-se a soma dos dígitos de cada bilhete extraído. Qual é a menor quantidade de bilhetes que devem ser retirados, para garantir que ao menos três dessas somas sejam iguais?

131) (Inglaterra-90) Uma moeda viciada é tal que a probabilidade de obter cara é p, 0 < p < 1. Dos jogadores, A e B, jogam a moeda até uma das seqüências cara-cara-cara ou cara-coroa-cara ocorra. Se a seqüência cara-cara-cara ocorre primeiro, então A vence. Se cara-coroa-cara ocorre primeiro, então B vence. Para quais valores de p o jogo é justo, ou seja, A e B possuem a mesma probabilidade de vencer.

132) (Inglaterra-83) Dados 10 pontos no interior de um círculo de diâmetro 5, prove que a distância entre todo par de pontos dados deve ser menor que 2.

133) (Inglaterra-80) Em um festa existem 10 pessoas, e sabe-se que em todo grupo de 3 pessoas existem pelo menos 2 que não conhecem a outra pessoa. Prove que a festa contem um grupo de 4 pessoas, onde nenhuma delas conhece as outras 3.

134) (Inglaterra-75) Use o Princípio das Gavetas de Dirichlet para resolver o seguinte problema. Dado um ponto O no plano, o disco S, com centro em O e raio 1, é definido como o conjunto de todos os pontos P no plano tais que |OP| 1, onde OP é a distância de P a O. Prove que se S contem 7 pontos tais que a distância entre quaisquer 2 pontos é 1, então um dos pontos deve ser o ponto O. [Nota: O Princípio das Gavetas de Dirichlet afirma que se mais do que n objetos devem ser colocados em n gavetas, então alguma gaveta possui mais do que 1 objeto.]

135) (Inglaterra-73) Nove pontos estão no interior de um quadrado de área 1. Prove que existe um triângulo de área 1/8 tais que os vértices são três dos pontos.

136) (Inglaterra-71) É dado um conjunto de n + 1 inteiros positivos, nenhum deles excedendo 2n. Prove que ao menos um dos membros do conjunto deve dividir outro membro do conjunto.

137) (Inglaterra-71) Dois números reais são dados, tais que h > k > 0. Determine a probabilidade que 2 pontos escolhidos aleatoriamente em um segmento de reta de comprimento h, possua distância menor que k.

138) (Inglaterra-68) Determine o maior número de pontos que podem ser colocados na superfície de uma esfera de raio unitário, de modo que a distância entre 2 dos pontos:a) ao menos (2)1/2; b) maior que (2)1/2.

139) (Inglaterra-66) a) Prove que entre 52 inteiros, existem sempre 2 inteiros tais que a soma ou a diferença de 2 dos inteiros é divisível por 100.b) Prove que, dado todo conjunto de 100 inteiros, nenhum dos quais é divisível por 100, é possível escolher 2 ou mais de modo que a soma destes inteiros é divisível por 100.

140) (Rússia-61) Prove que entre 39 números naturais consecutivos existem sempre um número cuja soma dos dígitos é divisível por 11.

141) (Rússia-63) Uma tabuleiro 6x6 deve ser coberto com peças de dominó 2x1. Prove que é possível cortar o tabuleiro em duas partes iguais de tal forma que a linha de corte não corte nenhuma peça de dominó.

142) (Rússia-70) Prove que em todo conjunto de 200 inteiros, sempre é possível escolher um subconjunto de 100 com a soma total dos termos sendo divisível por 100.

143) (Torneio Internacional das Cidades-94) Existem 20 garotos em uma escola onde cada 2 possuem um avô em comum. Prove que existem 14 garotos tal que todos possuem um mesmo avô em comum.

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144) (Torneio Internacional das Cidades-94) 60 crianças participam de uma colônia de férias. Entre qualquer conjunto de 10 crianças existem 3 ou mais que vivem na mesma barraca. Prove que existem 15 ou mais crianças que vivem na mesma barraca.

145) (Torneio Internacional das Cidades-96) Oito estudantes foram convocados para resolver 8 problemas. a) Cada problema foi resolvido por 5 estudantes. Prove que é possível escolher dois estudantes tal que cada problema tenha sido resolvido por pelo menos um deles.b) Se cada problema tivesse sido resolvido por 2 estudantes, então é possível não mais exista este par de estudantes. Prove isto.

146) (Torneio Internacional das Cidades-97) Quantos inteiros de 1 a 1997 possuem a soma dos dígitos divisível por 5?

147) (Báltica-97) Prove que em toda seqüência de 79 inteiros positivos consecutivos escritos no sistema decimal, existe um inteiro positivo tal que a soma dos seus dígitos é divisível por 13.

148) (Báltica-98) Considere uma disputa de Tênis de Mesa entre dois times, cada um consistindo de 1000 jogadores. Cada jogador joga uma vez contra cada jogador do outro time (não existe empate em tênis de mesa). Prove que existem dez jogadores, todos do mesmo time, tais que todo membro do outro time foi derrotado no seu jogo, ao menos uma vez, contra cada um dos dez jogadores.

149) (IMO-72) Dado todo conjunto de dez números distintos pertencentes ao intervalo 10, 11, ... , 99, prove que nós podemos sempre determinar dois subconjuntos disjuntos com a mesma soma.

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exercicio de analise combinatoria

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