aula 5 analise combinatoria

Curso: Ciência da Computação Turma: 3º Semestre

Matemática Discreta

Aula 5

Análise CombinatóriaCombinações com elementos repetidos e

Permutações circulares


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Notas de Aula✔ O conteúdo da aula de hoje está no capítulo 3 do livro

do Gersting.


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Resumo

Combinações

– Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.

Permutações

– Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.

Arranjos

– Dado um conjunto com n elementos, chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos.


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Fórmulas

Combinações

C(n,k) = n!/(n-k)!k!

Permutações

P(n) = n!

Arranjos

P(n,k) = n!/(n-k)!


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Exemplo

Quando anagramas temos da palavra caminhao?


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Exemplo

...e os anagramas da palavra ANA?

P(3) = 3! = 3.2.1 = 6

Vamos ver: {ANA, AAN, NAA}

Portanto a conta está errada. Porque?


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Eliminando Duplicidades

a. Quantas permutações distintas existem na palavra LOUSA? 5!

b. Quantas permutações distintas existem na palavra ANA.

– A princípio podemos pensar que é 3! No entanto existem letras repetidas. Portanto precisamos eliminar as palavras que são repetidas.

– Como fazemos isso?

– Tente descobrir uma fórmula para eliminar as repetições.


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Chegou em uma fórmula? Teste para as palavras:

a. ALUNA

b. JOAO

c. MISSISSIPI


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Para eliminar duplicidades precisamos dividir a permutação da palavra total pelo fatorial de cada letra que é repetida.

Portanto a fórmula seria n!/n1!n

2!n

3!...n

n!

Onde n é o tamanho da palavra total e os n1 até n

n

são as repetições das letras.


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Chegou em uma fórmula? Teste para as palavras:

a. ALUNA

5!/(2!) = 5.4.3.2!/2! = 60

b. JOAO = 4!/2! = 4.3.2!/2! = 12

c. MISSISSIPI = 11!/4!4! = 11.10.9.8.7.6.5.4!/4!.4.3.2.1 = 110.9.2.7.6.5/6 = 990.18.7.5


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Um comitê de duas pessoas precisa ser escolhido dentre quatro matemáticos e três físicos, e precisa incluir pelo menos um matemático. Compute os dois valores a seguir

a. C(7, 2) — C(3, 2) (a solução correta — todos os comitês menos os sem matemáticos)

b. C(4, 1) . C(6,1) (a solução errada — escolhe um matemático e depois seleciona o outro integrante do comitê)

Perceba que C(4, 1) . C(6, 1) — C(4, 2) nos dá a resposta correta, porque C(4, 2) é o número de comitês com dois matemáticos, e esses comitês foram contados duas vezes em C(4, 1) • C(6, 1).


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Permutações e Combinações com Repetições

Nossas fórmulas para P(n, r) e C(n, r) assumem que arranjamos ou escolhemos r objetos dentre n objetos disponíveis usando cada objeto apenas uma vez.

Suponha, no entanto, que podemos reutilizar os n objetos tantas vezes quantas desejarmos.

Por exemplo, construímos palavras usando as 26 letras do alfabeto; as palavras podem ser tão grandes quanto quisermos, e as letras podem ser repetidas.

Ou desejamos sortear cartas de um baralho, repondo-as após cada sorteio; poderemos sortear quantas cartas desejarmos com cartas sendo sorteadas repetidamente.

Podemos continuar falando de permutações e combinações de r objetos n a n, mas com a possibilidade de repetições, r pode ser maior que n.


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Contar o número de permutações de r objetos n a n objetos distintos com repetições (ou reposição) é simples. Temos n opções para a escolha do primeiro objeto e, uma vez que podemos repetir esse objeto, n opções para a escolha do segundo objeto, n opções para o terceiro e assim por diante. Portanto, o número de permutações de r objetos n a n com a possibilidade de repetições é nr.

Para determinar o número de combinações de r objetos n a n com a possibilidade de repetições, usamos uma ideia um pouco mais elaborada.


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Um joalheiro, ao projetar um broche, decidiu usar cinco pedras escolhidas entre diamantes, rubis e esmeraldas. De quantas maneiras as pedras podem ser escolhidas?

5 minutos para pensar.


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Um joalheiro, ao projetar um broche, decidiu usar cinco pedras escolhidas entre diamantes, rubis e esmeraldas. De quantas maneiras as pedras podem ser escolhidas?

Como não estamos interessados na ordem em que as pedras serão arranjadas, este é um problema de combinação, e não um problema de permutação. Desejamos obter o número de combinações de cinco objetos três a três, permitindo repetições. O broche pode ser formado de um diamante, três rubis e uma esmeralda, por exemplo, ou cinco diamantes.

Podemos representar essas possibilidades representando as pedras escolhidas com asteriscos e a inclusão de separadores entre elas a fim de representar a distribuição entre os três tipos de pedras. Por exemplo, podemos representar a escolha de um diamante, três rubis e uma esmeralda por

*|***|*

enquanto que a escolha de cinco diamantes, nenhum rubi e nenhuma esmeralda pode ser representada por

*****||

Estamos, portanto, trabalhando com sete posições (para as cinco pedras e os dois separadores), e as diferentes escolhas são determinadas por quais posições são ocupadas por asteriscos. Estamos contando, portanto, o número de maneiras de escolher cinco itens dentre sete, que é C(7, 5) ou

7!/5!2!

Em geral, se usarmos o mesmo esquema para representarmos uma combinação de r objetos dentre n objetos distintos com a possibilidade de repetições, existirão n — 1 separadores para indicar o número de cópias de cada um dos n objetos. Isto nos dá r + (n — 1) posições a ser preenchidas, e desejamos obter o número de maneiras de selecionar r dessas posições. Portanto, o valor que desejamos é

C(r+n-1,r) = (r+n-1)!/(r+n-1-r)!r! = (r+n-1)!/(n-1)!r!


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Combinações com RepetiçõesConsidere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes

elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças

(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø

(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#

(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ

Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são preenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:

Crep

(5,6) = C(5+6-1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Crep

(m,p) = C(m+p-1,p)


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Exemplo: Combinações com Repetições

Determinar o número de combinações com 4 elementos tomados com repetição de 7 livros.

Auxílio: Crep=C

rep(m,p)=C(m+p-1,p), m=7, p=4

Resposta: Crep=C

rep(7,4)=C(7+4-1,4)=C(10,4)=210


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Exemplo: Combinações com Repetições

Determinar o número de combinações com repetição de 4 objetos tomados 2 a 2.

Auxílio: Crep=C

rep(m,p)=C(m+p-1,p), m=4, p=2

Resposta: Crep=C

rep(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=10


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Permutações Circulares

Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

Pc(m) = P(m-1) = (m-1)!


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Exemplo: Permutações CircularesExemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos

distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teríamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc={ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB,BACD,BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA, CDAB,CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

– ABCD=BCDA=CDAB=DABC

– ABDC=BDCA=DCAB=CABD

– ACBD=CBDA=BDAC=DACB

– ACDB=CDBA=DBAC=BACD

– ADBC=DBCA=BCAD=CADB

– ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB}


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Lista de Exercícios1.Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra:

ARARA?

2.Seis crianças escolhem um pirulito cada, dentre pirulitos vermelhos, amarelos e verdes. De quantas maneiras essa escolha pode ser feita?

3.Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMA?

4.Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: MATEMATICA?

5.De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular?

6.Determinar o número de combinações com repetição de 6 objetos tomados 1.

7.Determinar o número de combinações com repetição de 4 objetos tomados 3 a 3.

8.Calcule as fronteiras das fórmulas de permutação com repetição, combinação com repetição e permutação circular.

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