exercicio de analise combinatoria

MATERIAL DISPONVEL NO SITE

www.estudanteolimpico.comDivulgue.

ASSUNTO - Exerccios de Combinatria1) Uma famlia com 5 pessoas possui um automvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem dirigir, de quantos modos podero se acomodar para uma viagem? 48 2) As retas r e s so distintas e paralelas entre si. So dados 5 pontos distintos na reta r e 4 pontos distintos sobre a reta s. Quantos so os tringulos determinados pelos pontos dados? 70 3) Formados e dispostos em ordem crescente todos os nmeros que se obtm permutando os algarismos 3,5,7,9, o nmero 7.953 ocupa a n-sima posio. O valor de n : 18 4) Consideram-se 7 pontos num plano, dos quais 3 quaisquer no colineares; consideram-se, ainda, dois outros pontos fora do plano, tais que a reta por eles definida no contenha qualquer dos 7 anteriores, e seja reversa com qualquer reta definida pelos mesmos 7 pontos. Quantos tetraedros distintos podemos formar com vrtices nos pontos considerados? 91 5) De quantas formas so disponveis 8 alunas numa mesa retangular, sendo as cabeceiras reservadas a duas alunas insuportveis, e as seis outras alunas ocupando, em nmero igual, os outros lados da mesa? 28800 6) Calcular as maneiras possveis de dividir 8 objetos em 4 grupos de 2 objetos. 8!/8.(2!)4

7) A guarnio de uma canoa deve ser tripulada por 8 marinheiros. Destes apenas um rema do lado esquerdo e dois remam somente do lado direito. Calcule os modos pelos quais tal guarnio pode ser organizada. 5760 8) Trs alunos e trs alunas pretendem jogar baralho utilizando uma mesa retangular cujas cadeiras esto dispostas 3 de cada lado. Calcular de quantas maneiras distintas, alunos e alunas podem sentar-se em torno de tal mesa de modo a no ficar aluna alguma de lado de um aluno? 72 9) Num colgio, 10 professores costumam tomar a refeio juntos, tanto no almoo como na janta. Usam uma mesa redonda para isso. A partir de certo dia decidem mudar de lugar diariamente na janta e no almoo. Determinar quantos dias so exigidos para cumprir totalmente tal propsito. 181.440 10) De quantas maneiras distintas podem tomar assento ao redor de uma mesa retangular de seis cadeiras, 3 de cada lado, 3 engenheiros e 3 mdicos, permanecendo os engenheiros e os mdicos sempre juntos? 72 11) De quantas formas distintas trs alunas e quatro alunos podem sentar-se ao redor de uma mesa, no ficando um aluno junto de uma aluna? 144 12) O presidente p de um grmio estudantil convida 7 membros da diretoria: a, b, c, d, e, f, g, para um almoo em mesa redonda. O presidente sabe que o membro a suporta b e c somente quando esses dois membros esto juntos; estando os membros separados, a no deve permanacer junto de nenhum deles. Determinar de quantas formas o presidente p pode tomar assento mesa com seus colaboradores. 2880 13) Das combinaes simples n a n de m elementos considerados: I) quantas contm k, sendo k n, determinados de tais elementos? II) quantas contm pelo menos um dos k elementos? I) Cm k, n k, II) Cm, n Cm k, n 14) Verificar em quantos zeros termina 1.000.000!. 249.998

15) De quantos modos podemos distribuir dez cartas de um baralho a dois parceiros, podendo receber quantidades desiguais de cartas, sendo que cada um deve receber ao menos uma carta? 1022

1



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria16) Quantos embrulhos possvel formar com cinco livros de matemtica, trs de fsica e dois de qumica, no sendo diferentes os livros da mesma matria? 71 17) De quantos modos n pessoas podem sentar-se em n cadeiras enfileiradas a) sem restries? b) ficando A e B sempre juntas? c) sem que A e B fiquem juntas? d) ficando A, B e C juntas? e) ficando A, B e C juntas, e D e E separadas uma da outra? a) n!, b) 2.(n 1)!, c) (n 2).(n 1)!, d) 6.(n 2)!, e) 6.(n 4)(n 3)! 18) Em uma urna h 2n bolas, numeradas de 1 a 2n. Sacam-se, uma a uma todas as bolas da urna. a) de quantos modos se pode esvaziar a urna? b) quantos so os casos em que os k ltimos nmeros (k < 2n) aparecem nas k ltimas sacadas? c) quantos so os casos em que as bolas de nmero mpar aparecem nas sacadas de ordem par? a) (2n)!, b) (2n k)!k!, c) (n!)2 19) De quantos modos se pode iluminar uma sala com n lmpadas. 2n 1

20) Em um congresso de professores h 30 professores de Fsica e 30 de Matemtica. Quantas comisses de oito professores podem ser formadas: a) sem restries; b) havendo pelo menos trs professores de Fsica e trs de Matemtica? a) C60, 8, b) 2.C30, 3.C30, 5 + (C30, 4)2 21) Dados n pontos distintos de uma circunferncia, quantos so os polgonos que podemos formar, convexos, cujos vrtices so escolhidos entre esses pontos? 2n (Cn, 0 + Cn, 1 + Cn, 2) 22) Dados n pontos de um plano, no havendo 3 colineares, quantos so: a) os segmentos de reta cujas extremidades so escolhidas entre esses pontos? b) os tringulos cujos vrtices so escolhidos entre esses pontos? c) os quadrilteros cujos vrtices so escolhidos entre esses pontos? d) os polgonos de n lados cujos vrtices so esses pontos? e) os pontos de interseo das retas formadas por esses pontos, excluindo desse nmero os n pontos dados? a) Cn, 2; b) Cn, 3; c) 3Cn, 4; d) (n 1)!/2; e) 3Cn, 4 23) Dados 7 pontos distintos de uma circunferncia, quantos so os polgonos que podemos formar cujos vrtices so escolhidos entre esses pontos? 1172 24) So dados n > 4 pontos coplanares, dos quais k > 1 esto sobre uma reta e (4 + k n), e entre os demais no h 3 alinhados entre si. Pede-se: a) o total de tringulos que podem ser formados com vrtices nesses pontos; b) o total de quadrilteros com vrtices nos pontos dados. a) (n k)Ck, 2 + kCn-k, 2 + Cn-k, 3 (= Cn, 3 Ck, 3 para n 3); b) 3[Cn-k, 4 + kCn-k, 3 + Ck, 2.Cn-k, 2] 25) So dados m > pontos distintos sobre uma reta r, e k > 1 pontos distintos sobre a reta s paralela a r. a) quantos tringulos podem ser formados com vrtices nestes pontos? b) quantos quadrilteros convexos podem ser formados com vrtices nestes pontos? a) mCk, 2 + kCm, 2; b) Ck, 2.Cm, 2 26) Um total de 28 apertos de mo foram trocados no fim de uma festa. Sabendo que cada pessoa cumprimentou todas as outras, pergunta-se o no de pessoas presentes festa. 8 27) De quantos modos se pode preencher um carto da loteria esportiva (13 jogos) com: a) 13 palpites simples; b) 2 palpites duplos e 11 simples; c) 3 palpites triplos e 10 simples; d) 3 palpites duplos e 10 simples; d) 3 palpites duplos, 2 triplos e 8 simples? a) 313; b) C13, 2.313; c) C13, 3.310; d) C13, 3.C10, 2.311

2



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria28) Num jogo de pquer, usa-se um baralho de 32 cartas, distribuindo-se cinco cartas a cada um dos quatro parceiros. Quantas distribuies diferentes podem ocorrer? 32!/(12!)(5!)4 29) De quantos modos diferentes podem ser colocados em fila m + h pessoas, sendo m mulheres de alturas diferentes e h homens tambm de alturas diferentes, de modo que as pessoas do mesmo sexo fiquem em ordem crescente de altura? (m + h)!/m!h! 30) A figura abaixo representa 17 ruas que se cortam perpendicularmente, sendo oito verticais. Quantos caminhos mnimos uma pessoa pode percorrer para ir do ponto A ao ponto B: a) sem restries? b) sem passar por C? c) sem passar por C e D? d) sem passar por c ou D? B

D C

A a) 6435; b) 3985; c) 5035; d) 2865. 31) De quantos modos seis casais podem sentar-se em torno de uma mesa circular: a) no sentando juntos dois homens?; b) no sentando juntos dois homens, mas cada homem sentando ao lado de sua esposa?; c) no sentando juntos dois homens e nem um homem com sua esposa? a) 5!6!; b) 2.5!; c) 80.5! 32) De quantos modos se pode pintar as faces de uma pirmide pentagonal regular, usando seis cores diferentes, sendo cada face de uma cor? 6.4! 33) De quantos modos se pode pintar as faces de uma pirmide pentagonal regular, usando sete cores diferentes, sendo cada face de uma cor? 4!.C7, 2 34) De quantos modos se pode pintar um: a) tetraedro regular, com 4 cores diferentes; b) octaedro regular, com 8 cores diferentes; c) dodecaedro regular, com 12 cores diferentes; d) icosaecaedro regular, com 20 cores diferentes. a) 2!; b) 7.2!.3!.C6, 3; c) 11.4!.5!.C10, 5; d) 19.2!.3!.(6!)2.C18, 3.C15, 3.C12, 6 35) Dada a equao x + y + z = 20: a) quantas so as solues inteiras positivas?; b) quantas so as solues inteiras nonegativas? a) C19, 2; b) C22, 2 36) Calcular o nmero de solues inteiras no negativas da inequao x + y + z < 5. C6, 2 + C5, 2 + C4, 2 + C3, 2 + C2, 2 = 35 37) Quantas solues inteiras da equaes

3



ASSUNTO - Exerccios de Combinatriax + y + z + w = 48 existem, satisfazendo as condies x > 5, y < 6, z > 7 e w > 8? 1330 38) Calcule o nmero de solues inteiras maiores que 4 da equao x1 + x2 + x3 + x4 = 1. 560 39) Uma sorveteria tem sorvetes de 11 sabores diferentes. De quantos modos uma pessoa pode escolher 6 sorvetes, no necessariamente de sabores diferentes? C10, 6 = 8008 40) Reduzidos os termos semelhantes, quantos termos existem no desenvolvimento de (a + b + c + d + e)17? 41) Quantos nmeros inteiros entre 1 e 1.000.000 tem soma de algarismos igual a 5? E soma menor do que 5? a) 252; b) 208. 42) De quantas formas 4 homens e 4 mulheres podem sentar-se ao redor de uma mesa redonda, se no devem existir 2 homens em assentos consecutivos? 3!.4! 43) De quantas formas 4 casais (4 homens e 4 mulheres) podem sentar-se ao redor de uma mesa redonda, se cada casal deve ficar junto e no devem existir 2 homens em assentos consecutivos? 3! 44) Quantos termos possui a expanso de (x + y + z)n? Cn + 2, 2 C21, 5 = 5985

45) Prove que o nmero de solues inteiras positivas de x1 + x2 + x3 + x4 = 9 igual ao nmero de solues inteiras positivas de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 9. C8, 3 = C8, 5 46) Qual o nmero de solues inteiras maiores do que 7 de x + y + z + w = 100? 47) Determine o nmero de solues inteiras positivas de x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 50 se: a) x5 > 12, b) x5 > 12 e x4 > 7. a) C37, 4, b) C30, 4 48) Determine o nmero de solues inteiras no-negativas de x + y + z + w = 20 se: a) x 6, b) x 6 e y 6. a) C17, 3, b) C11, 3 49) Determine a frmula para o nmero de soluo no-negativas de x + y + z + w = m satisfazendo: a) x c1, b) x c1 e y c2. a) Cm c1 + 3, 3, b) Cm c1 c2 + 3, 3 50) Das solues inteiras positivas de x + y + z + w = 26, quantas satisfazem x > y? (2300 144)/2 = 1078 C71, 3

51) Quantos inteiros entre 1 e 1.000.000 inclusive possuem a soma de seus dgitos igual a 13? C18, 5 6C8, 5 52) De quantas maneiras possvel separar n.j objetos distintos em n caixas contendo cada uma j objetos? (n.j)!/[(j!)nn!] 53) Quantos inteiros entre 1 e 1.000.000 inclusive possuem a propriedade de apresentarem pelo menos 2 dgitos consecutivos iguais? 1.000.000 (96 + 95 + 94 + 93 + 92 + 9) = 402130

4



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria54) Considere n retas num plano satisfazendo as seguintes condies: 1) no existem duas retas paralelas; 2) no existem trs retas concorrentes no mesmo ponto. Em quantas regies fica dividido o plano pelas n retas? (n2 + n + 2)/2 55) Considere n retas num plano, no existindo duas retas paralelas. Entretanto, existem trs retas, e somente trs, concorrentes num mesmo ponto. Em quantas regies fica dividido o plano pelas n retas? (n2 + n)/2 56) Um grupo de k retas paralelas intercepta outro grupo distinto de m retas paralelas. Em quantas regies fica dividido o plano? (m + 1)(k + 1) 57) Se n dados idnticos so jogados, quantos resultados distintos so possveis? (Um resultado considerado idntico a outro se apresenta o mesmo nmero de uns, o mesmo nmero de dois, , o mesmo nmero de seis). Cn + 5, 5 58) De quantas formas diferentes trs nmeros podem ser selecionados entre os nmeros 1, 2, 3, , 300 de tal modo que sua soma seja divisvel por 3? 3.C100, 3 + (100)3 59) Demonstre que: (n!)2/(n 1)! = (n + 1)! n! 60) Demonstre que:

1 1 n = . n! (n + 1)! ( n + 1)!

61) Demonstrar que:

1 2 3 n 1 + + + ... + = 1 2! 3! 4! (n + 1)! (n + 1)!

62) Permutam-se os algarismos 1, 3, 4, 5, 7 de todas as maneiras possveis. Qual a soma dos nmeros formados? 63) Sobre os lados de um tringulo marcam-se 3, 5 e 6 pontos, respectivamente. Quantos tringulos com vrtices nos pontos marcados podemos formar? 333 64) Quantos nmeros naturais pares que se escrevem (na base 10) com trs algarismos distintos? 328

65) O conjunto A possui 4 elementos e o conjunto B 7 elementos. a) Quantas so as funes f: AB? b) Quantas so as funes injetoras f: AB? a) 2401; b) 840 66) De quantos modos podemos arrumar 8 torres iguais em um tabuleiro de xadrez (8x8) de modo que no haja duas torres na mesma linha nem na mesma coluna? 40320 67) Em uma banca h 5 exemplares iguais da revista A, 6 exemplares iguais da revista B e 10 exemplares iguais da revista C. Quantas colees no-vazias de revistas dessa banca possvel formar? 461 68) De um baralho comum (52 cartas) sacam-se sucessivamente e sem reposio trs cartas. Quantas so as extraes nas quais a primeira carta de copas, a segunda um rei e a terceira no uma dama? 2350 69) Quantos nmeros diferentes podem ser formados multiplicando alguns (ou todos) dos nmeros 1, 5, 6, 7, 7, 9, 9, 9? 48

5



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria70) Um vago de metr tem 10 bancos individuais, sendo 5 na frente e 5 de costas. De 10 passageiros, 4 preferem sentar na frente, 3 preferem sentar de costas e os demais no tm preferncia. De quantos modos os passageiros podem se sentar, respeitando as preferncias? 43200 71) H duas estradas principais da cidade A at a cidade B, ligadas por 10 estradas secundrias, como mostra a figura abaixo. Quantas rotas livres de auto-intersees (que no passa por um ponto duas ou mais vezes) h entre A at B? 2048 A B

72) Em um concurso h trs candidatos e cinco examinadores, devendo cada examinador votar em um candidato. De quantos modos os votos podem ser distribudos? 243 73) O cdigo morse usa palavras contendo de 1 a 4 letras, as letras sendo ponto ou trao. Quantas palavras existem no cdigo morse? 30 74) Escrevem-se nmeros de cinco dgitos (inclusive os comeados por zero) em cartes. Como 0, 1 e 8 no se alteram de cabea para baixo e como 6 de cabea para baixo se transforma em 9, um s carto pode representar dois nmeros (por exemplo, 06198 e 86190). Qual o nmero mnimo de cartes para representar todos os nmeros de cinco dgitos? 98475 75) No Senado Federal, o Distrito Federal e os 26 estados da federao tm 3 representantes cada. Deve-se formar uma comisso de modo que todos os estados e o Distrito Federal estejam representados por 1 ou 2 senadores. De quantos modos essa comisso pode ser formada? 627 76) a) Qual a soma dos divisores inteiros e positivos de 720? b) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? c) De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de trs inteiros positivos? d) De quantos modos 144 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? a) 2418; b) 15; c) 48; d) 8 77) A figura abaixo mostra um mapa com 4 pases

a) De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada pas com uma cor, pases com uma linha fronteira comum no podem ter a mesma cor) se dispomos de cores diferentes? b) Qual o menor valor de que permite colorir o mapa? a) ( 3)(2 3 + 3); b) 2 78) Refaa o problema anterior para o mapa abaixo:

6



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria

a) ( 1)( 2)( 3); b) 4 79) a) De quantos modos possvel colocar um rei negro e um rei branco em casas no adjacentes de um tabuleiro de xadrez (8x8)? b) Qual seria a resposta se fossem dois reis brancos iguais? a) 3612; b) 1806 80) Se A um conjunto de n elementos, quantas so as funes f: AB bijetoras? n!

81) Quantas so as permutaes dos nmeros (1, 2, , 10) nas quais o 5 est situado direita do 2 e esquerda do 3, embora no necessariamente em lugares consecutivos? 604800 82) De quantos modos podemos dividir 12 pessoas: a) em dois grupos de 6? b) em trs grupos de 4? c) em um grupo de 5 e um grupo de 7? d) em seis grupos de 2? e) em dois grupos de 4 e dois grupos de 2? a) 462; b) 5775; c) 792; d) 51975 83) Delegados de 10 pases devem sentar-se em 10 cadeiras em fila. De quantos modos isso pode ser feito se os delegados do Brasil e de Portugal devem sentar juntos e do Iraque e dos Estados Unidos no podem sentar juntos? 564480 84) Um cubo de madeira tem uma face de cada cor. Quantos dados diferentes podemos formar gravando nmeros de 1 a 6 sobre essas faces? 720 85) Quantos dados diferentes podemos formar gravando nmeros de 1 a 6 sobre as faces indistinguveis de um cubo de madeira? 30 86) Resolva o problema anterior para: a) nmeros de 1 a 4, tetraedro regular; b) nmeros de 1 a 8, octaedro regular; c) nmeros de 1 a 12, dodecaedro regular; d) nmeros de 1 a 20, icosaedro regular; e) nmeros de 1 a 8, prisma hexagonal regular; f) nmeros de 1 a 5, prisma quadrangular regular. a) 2; b) 1680; c) 7983360; d) 20!/60; e) 3360; f) 30 87) Quantas so as permutaes simples dos nmeros 1, 2, , n nas quais o elemento que ocupa a k-sima posio inferior a k + 4, para todo k? 6.4n 3 88) Quantas so as permutaes simples dos nmeros 1, 2, , n nas quais o elemento que ocupa a k-sima posio maior que k 3, para todo k? 2.3n 2 89) Para a seleo brasileira foram convocados 2 goleiros, 6 zagueiros, 7 meios de campo e 4 atacantes. De quantos modos possvel escalar a seleo com 1 goleiro, 4 zagueiros, 4 meios de campo e 2 atacantes? 63007



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria90) Quantas diagonais possui um polgono de n lados? n(n 3)/2 Cn,

91) Sejam Im = {1, 2, , m} e In = {1, 2, , n}, com m n. Quantas so as funes f: ImIn estritamente crescentes?m

92) Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas? 267148 93) a) Quantos so os nmeros naturais de 7 dgitos nos quais o dgito 4 figura exatamente 3 vezes e o dgito 8 exatamente 2 vezes? b) Quantos so os nmeros naturais de 7 dgitos nos quais o dgito 4 figura pelo menos 3 vezes e o dgito 8 pelo menos 2 vezes? a) 12960 b) 14976 94) Quantos so os p-subconjuntos (isto , subconjuntos com p elementos) de {a1, a2, , an} nos quais: a) a1 figura; b) a1 no figura; c) a1 e a2 figuram; c) pelo menos um dos elementos a1, a2 figura; d) exatamente um dos elementos a1, a2 figura. a) Cn 1, p 1; b) Cn 1, p; c) Cn 2, p 2; d) 2Cp 1, n 2 + Cn 2, p 2 = Cn, p Cn 2, p; e) 2Cn 2, p 1 95) O conjunto A possui p elementos e o conjunto B possui n elementos. Determine o nmero de funes f: AB sobrejetoras para: a) p = n; b) p = n + 1; p = n + 2. a) n!; b) (n + 1)!n/2; c) (n + 2)!n(3n + 1)/24 96) Considere um conjunto C de 20 pontos de espao que tem um subconjunto C1 formado por 8 pontos coplanares. Sabe-se que toda vez que 4 pontos de C so coplanares, ento eles so pontos de C1. Quantos so os planos que contm pelo menos trs pontos de C? 1085 97) So dados, no plano, n pontos tais que entre as retas por eles determinadas no h duas retas paralelas nem trs retas concorrentes. Quantos so os pontos de interseo dessas retas que so distintos dos pontos dados? n(n 1)(n 2)(n 3)/8 98) Considere um polgono convexo de n lados e suponha que no h duas de suas diagonais que sejam paralelas nem trs que concorram em um mesmo ponto que no seja vrtice. a) Quantos so os pontos de interseo dessas diagonais? b) Quantos desses pontos de interseo so interiores ao polgono? Quantos so exteriores? a) n(n3 10n2 + 35n 34)/8; b) n(n 1)(n 2)(n 3)/8 interiores e n(n 3)(n 4)(n 5)/12 exteriores 99) Nove cientistas trabalham num projeto sigiloso. Por questes de segurana, os planos so guardados em um cofre protegido por muitos cadeados de modo que s possvel abr-los todos se houver pelo menos 5 cientistas presentes. a) Qual o nmero mnimo possvel de cadeados? b) Na situao de tem a, quantas chaves cada cientista deve ter? a) 126; b) 70 100) Depois de ter dado um curso, um professor resolve se despedir de seus 7 alunos oferecendo, durante 7 dias consecutivos, 7 jantares para 3 alunos cada. De quantos modos ele pode fazer os convites se ele no deseja que um mesmo par de alunos comparea a mais de um jantar? 151200 101) As casas lotricas costumam oferecer a seus clientes a oportunidade de participarem dos chamados jogos com sena fechada, que constituem na escolha de um certo nmero n de dezenas (6 < n 50) e na realizao de todos os Cn, 6 jogos8



ASSUNTO - Exerccios de Combinatriapossveis com essas n dezenas. Considere um apostador que participa de um jogo desse tipo realizado com 15 dezenas. Se as seis dezenas sorteadas estiverem entre essas 15, alm de acertar a sena, quantas quadras e quantas quinas esse apostador ir acertar? 54 quinas, 540 quadras 102) No quadro abaixo, de quantos modos possvel formar a palavra MATEMTICA, partindo de um M e indo sempre para a direita ou para baixo? M M A M A T M A T E M A T E M M A T E M A M A T E M A T M A T E M A T I M A T E M A T I C M A T E M A T I C A 512 103) Suponha que n carros esto em fila para entrar em um estacionamento que possui n vagas, lado a lado. Se o 1o carro pode escolher qualquer vaga e cada um dos outros carros ao estacionar deve justapor-se a um carro j estacionado, quantos so os modos possveis dos carros ocuparem as n vagas? 2n 1 104) Em uma escola, x professores se distribuem em 8 bancas examinadoras de modo que cada professor participa de exatamente duas bancas e cada duas bancas tm exatamente um professor em comum. a) Calcule x. b) Determine quantos professores h em cada banca. a) 28; b) 8 105) De quantos modos n crianas podem formar uma roda de ciranda de modo que duas dessas crianas permaneam juntas? E de modo que p (p < n) dessas crianas permaneam juntas? a) 2.(n 2)!; b) p!(n p)! 106) De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permanea ao lado de sua mulher? (n 1)!.2n 107) De quantos modos n casais podem formar uma roda de ciranda de modo que cada homem permanea ao lado de sua mulher e que pessoas de mesmo sexo no fiquem juntas? 2.(n 1)! 108) So dados n pontos em crculo. Quantos n-gonos (no necessariamente convexos) existem com vrtices nesses pontos? (n 1)!/2 109) Quantos dados existem se a soma das faces opostas deve ser 7? 2

110) Uma partcula estando no ponto (x, y), pode mover-se para o ponto (x + 1, y) ou para o ponto (x, y + 1). Quantos so os caminhos que a partcula pode tomar para, partindo do ponto (0, 0) , chegar ao ponto (a, b), onde a > 0 e b > 0? (a + b)!/a!b! 111) Uma partcula estando no ponto (x, y, z), pode mover-se para o ponto (x + 1, y, z) ou para o ponto (x, y + 1, z ) ou para o ponto (x, y, z + 1). Quantos so os caminhos que a partcula pode tomar para, partindo do ponto (0, 0, 0) , chegar ao ponto (a, b, c), onde a > 0, b > 0 e c > 0? (a + b + c)!/a!b!c!

9



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria112) Im = {1, 2, , m} e In = {1, 2, , n}. Quantas so as funes f: ImIn no decrescentes? (m + n 1)!/(n 1)!m! 113) Os nmeros inteiros compreendidos entre 1000000 e 999999 so divididos em classes de modo que dois nmeros diferentes esto na mesma classe se e s se eles tm os mesmos algarismos, diferindo apenas na ordem. Assim, por exemplo, 552221 e 125252 esto na mesma classe. Quantas classes so assim formadas? 5004 114) Quantas so as solues inteiras no-negativas de x + y + z + w = 20 nas quais x > y? 825 115) Quantos inteiros entre 1 e 1000000, inclusive, tm a propriedade: cada dgito menor ou igual ao seu sucessor? 2001 116) De quantos modos podemos escolher 3 nmeros, no necessariamente distintos, no conjunto {1, 2, , 150} de modo que a soma dos nmeros escolhidos seja divisvel por 3? E se os nmeros devessem ser distintos? a) 191300; b) 183800 117) Determine o nmero de permutaes de (1, 2, 3, 4, 5, 6) nas quais nem o 4 ocupa o 4o lugar nem o 6 ocupa o 6o lugar. 504 118) Quantos inteiros entre 1 e 1000000 no so nem quadrados perfeitos nem cubos perfeitos? 998910

119) Determine o nmero de permutaes de (1, 2, , n) nas quais no figuram (em posies consecutivas e na ordem dada) nem o par 12, nem o par 23, m nem o par (n 1), n.

(1)k =0

n 1

k

C n 1,k (n k )!

120) Suponha que o nmero de elementos do conjunto A n. Quantas so as funes f: AA para as quais a equao f(x) = x no possui soluo? Quantas so as funes f: AA bijetores para as quais a equao f(x) = x no possui soluo? a) (n 1)n; b) n![1/0! 1/1! + 1/2! + ( 1)n/n!] 121) Quantas so as permutaes de (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) que tm exatamente 3 elementos no seu lugar primitivo? 315

122) De quantos modos possvel colocar 8 torres brancas em um tabuleiro de xadrez 8x8 de modo que nenhuma torre fique na diagonal branca e no haja duas torres na mesma linha ou na mesma coluna? 14833 123) As trs provas de um vestibular devem ser realizadas na primeira semana do ano. De quantos modos possvel escolher os dias das provas de modo que no haja provas em dias consecutivos? 10 124) Hugo deve ter aula de tnis trs vezes por semana, durante um semestre. Quantos so os modos de escolher os dias de aula, se Hugo no deseja ter aulas em dias consecutivos? 7 125) 5 pessoas devem se sentar em 15 cadeiras colocadas em torno de uma mesa circular. De quantos modos isso pode ser feito se no deve haver ocupao simultnea de duas cadeiras adjacentes? 45360 126) Dado um decgono, quantos so os tringulos cujos vrtices so vrtices no consecutivos do decgono? 50

127) De quantos modos podemos formar uma seqncia de p elementos iguais a 1 e q elementos iguais a 0 se dois elementos iguais a zero no podem ser adjacentes?10



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria(p + 1)!q!(p q + 1)! 128) De quantos modos podemos formar uma seqncia de p elementos iguais a 12, q elementos iguais a 1 e r elementos iguais a 0 se dois elementos iguais a zero no podem ser adjacentes? Cp + q, p.Cp + q + 1, r 129) De quantos modos possvel formar uma roda de ciranda com 7 meninas e 12 meninos sem que haja duas meninas em posies adjacentes? (11!)2/10 130) Ns temos um quadrado formado por 4 fileiras cada uma com 4 pontos. Quantos tringulos existem com vrtices nos pontos? (Os trs vrtices no podem estar em uma mesma linha) 560 131) No esquema ao lado, de quantas formas H possvel formar a palavra HEXAGON, E E partindo do H e movendo-se de uma letra X X X somente para as letras diretamente abaixo A A A A na esquerda ou direita. 20 G G G O O N 132) Mostre que, em qualquer conjunto de 10 pontos interiores de um quadrado cujos lados medem 3 unidades, h dois pontos cuja distncia menor ou igual a 2 . 133) Dados 5 pontos sobre uma circunferncia de raio 1, prove que existe um par de pontos cuja distncia menor de que 2. 135) 63127 candidatos comparecem a uma prova do vestibular (25 questes de mltipla-escolha com 5 alternativas por questo). Considere a afirmao: Pelo menos dois candidatos responderam de modo idntico as k primeiras questes da prova. Qual o maior valor de k para o qual podemos garantir que a afirmao acima verdadeira? 6 137) Quinze cadeiras esto colocadas ao redor de uma mesa circular e sobre esta esto colocados, em frente a cada uma das cadeiras, o nome de 15 convidados. Ao chegarem, os convidados no percebem isto e nenhum senta-se em frente ao seu nome. Prove que a mesa pode ser girada de forma que pelo menos dois convidados fiquem corretamente sentados. 138) Determine o numero de permutaes das letras aabbccdd nas quais no h letras iguais adjacentes. 139) Quantas so as permutaes de (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10) nas quais os nmeros 1, 2, 3, 4, 5 ocupam em alguma ordem os cinco primeiros lugares . 140) Prove que, se n 3 , Dn = (n 1).(Dn 1 + Dn 2) 141) Quantas so as permutaes de (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) que exatamente 3 elementos no seu lugar primitivo? 142) Quantas so as permutaes de (1, 2, 3, ..., 2n) nas quais nenhum numero mpar ocupa o seu lugar primitivo.

11




Exerccios de Probabilidade1) Uma caixa contm 20 peas em boas condies e 15 em ms condies. Uma amostra de 10 peas extrada. Calcular a probabilidade de que ao menos uma pea na amostra seja defeituosa. 0,999 aproximadamente 2) Cinco dados so jogados simultaneamente e os resultados so classificados em: 2 A1: todos diferentes; A2: um par; A3: dois pares; A4: trs iguais; A5: trs iguais e dois iguais; A6: quatro iguais; A7: cinco iguais; A8: uma seqncia. Calcular as probabilidades de Ai, i = 1, 2, ..., 8. P(A1) = 5/54; P(A2) = 25/54; P(A3) = 25/108; P(A4) = 24/162; P(A5) = 25/648; P(A6) = 25/1296; P(A7) = 1/1296; P(A8) = 5/162 3) Uma cidade tem 30.000 habitantes de 3 jornais A, B e C. Uma pesquisa de opinio revela que: 1200 lem A; 8000 lem B; 7000 lem A e B; 6000 lem C; 4500 lem A e C; 1000 lem B e C; 500 lem A, B e C. Qual a probabilidade de que um habitante leia: a) pelo menos um jornal; b) s um jornal. a) 7/15 b) 1/12 4) Os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, so escritos em 5 cartes diferentes. Estes cartes so escolhidos (sem reposio) aleatoriamente e os algarismos que vo aparecendo so escritos da esquerda para a direita, formando um nmero de cinco algarismos. a) Calcular a probabilidade de que o nmero escrito seja par. b) Se a escolha fosse com reposio quel seria a probabilidade? a) 2/5 b) 2/5 5) Colocam-se aleatoriamente b bolas em b urnas. Calcular a probabilidade de que exatamente uma urna seja deixada desocupada. a) (b 1).(b 1)!/(2.bb 2) 6) Dez pessoas so separadas em dois grupos de 5 pessoas cada um. Qual a probabilidade de que duas pessoas determinadas A e B faam parte do mesmo grupo. 4/9 7) Cinco homens e cinco mulheres compram 10 cadeiras consecutivas na mesma fila de um teatro. Supondo que elas se sentarem aleatoriamente nas 10 cadeiras, calcular: a) A probabilidade de que se sentem em cadeiras alternadas;

12



ASSUNTO - Exerccios de Combinatriab) A probabilidade de que as mulheres se sentem juntas. a) 1/126 b) 1/42 8) Um nmero entre 1 e 200 escolhido aleatoriamente. Calcular a probabilidade de que seja divisvel por 5 ou por 7. 63/200 9) Em um armrio h n pares de sapatos. Retiram-se ao acaso p ps de sapatos desse armrio. Qual a probabilidade de haver n n k p 2 k k p 2k 2 entre esses ps exatamente k pares de sapatos? 2n p 10) Aos nmeros inteiros entre 1 e n so designadas probabilidades proporcionais aos seus valores. Calcular P(i) para 1 i n. 2i/n(n + 1) 11) Trs dados so jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter 12 como soma dos resultados dos 3 dados. 25/216 12) Dois dados so jogados simultaneamente. Calcular a probabilidade de obter 7 como soma dos resultados. 1/6

13) Consideremos uma urna contendo n bolas, das quais n1 1 so brancas e n2 1 so pretas com n = n1 + n2. Escolhe-se, ao acaso, uma amostra de r bolas, com r n1 e r n2. Qual a probabilidade de que exatamente k bolas nessa amostra sejam n 1 n 2 k r k brancas, se 0 k r. n r 14) Uma moeda equilibrada (probabilidade de cara = probabilidade de coroa) jogada n vezes. Calcular a probabilidade de obter-se exatamente k caras, 0 k n. n k 2n 15) Sejam A e B eventos tais que: P(A) = 1/2, P(B) = 1/4 e P(A B) = 1/5. Calcular: a) P(AA); b) P(A); c) P(B); d) P(AB); e) P(AB); f) P(AB); g) P(AB). a) 11/20; b) 1/2; c) 3/4; d) 3/10; e) 1/20; f) 9/20; g) 4/5

13



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria16) Uma urna contm 4 bolas brancas, 4 bolas pretas e 4 bolas vermelhas. Sacam-se 6 bolas dessa urna. Determine a probabilidade de serem sacadas 2 bolas de cada cor: a) supondo a extrao com reposio; b) supondo a estrao sem reposio. a) 10/81; b) 2/77 17) No jogo da Sena so sorteadas 6 dezenas distintas entre as dezenas 01-02-...-50. O apostador escolhe 6 dessas 50 dezenas e premiado se so sorteadas 4 (quadras), 5 (quinta), 6 (Sena Principal) das dezenas por ele escolhidas ou se as dezenas sorteadas so escolhidas aumentadas (Sena Anterior) ou diminudas (Sena Posterior) de uma unidade (50 + 1 = 01, 01 1 = 50). Determine a probabilidade de um apostador fazer: a) uma quadra; b) uma quina; c) A Sena Principal; d) a Sena Anterior ou Posterior. a) 66/264845 b) 22/1324225 c) 1/15890700 d) 1/7945350 18) Um carro estaciona entre n outros em fila e no numa ponta. Quando o dono retorna ainda esto estacionados m dos n carros. Qual a probabilidade das duas vagas adjacentes ao seu carro estarem vazias? (n m)(n m 1)/n(n 1) 19) Se n homens, entre os quais Joo e Pedro, so postos ao acaso em uma fila, qual a probabilidade de haver exatamente m pessoas entre Joo e Pedro? 2/n(n 1) 20) Em uma roda so colocadas, ao acaso, n pessoas. Qual a probabilidade de duas determinadas dessas pessoas ficarem juntas? 2/(n 1) 21) Escolhe-se ao acaso um nmero entre 1 e 50. Se o nmero primo qual a probabilidade de que seja mpar? 14/15

22) Uma moeda jogada 6 vezes. Sabendo-se que no primeiro lanamento deu coroa, calcular a probabilidade condicional de que o nmero de caras nos seis lanamentos supere o nmero de coroas. 3/16 23) Uma moeda jogada 4 vezes. Sabendo que no primeiro resultado foi cara, calcular a probabilidade condicional de obter pelo menos 2 caras. 7/8 24) Jogue um dado duas vezes. Calcule a probabilidade que no primeiro de obter 3 na primeira jogada, sabendo que a soma dos resultados foi 7. 1/6 25) Duas mquinas A e B produzem 3000 peas em um dia. A mquina A produz 1000 peas, das quais 3% so defeituosas. A mquina B produz as restantes 2000, das quais 1% so defeituosas. Da produo total de um dia uma pea escolhida ao acaso e, examinando-a, constata-se que defeituosa. Qual a probabilidade de que a pea tenha sido produzida pela mquina A? 3/5 26) Trs urnas I, II e III contm respectivamente 1 bola branca e 2 pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma urna escolhida ao acaso e dela retirada uma bola, que branca. Qual a probabilidade condicional de que a urna escolhida foi a II? 5/12

14



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria27) Um estudante resolve um teste com questes do tipo verdadeiro-falso. Ela sabe dar a soluo correta para 40% das questes. Quando ele responde uma questo cuja soluo conhece, d a resposta correta, e nos outros casos decide na cara ou coroa. Se uma questo foi respondida corretamente, qual a probabilidade de que ele saiba a resposta? 4/7 28) Se A e B so eventos independentes tais que P(A) = 1/3 e P(B) = 1/2. Calcule P(AB), P(AB) e P(AB). b) 5/6 29) Sejam A e B dois eventos independentes tais que P(A) = 1/4 e P(AB) = 1/3. Calcule P(B). 30) Uma moeda equilibrada jogada duas vezes. Sejam A e B os eventos: A: cara na primeira jogada; B: cara na segunda jogada. Verifique que A e B so independentes. 31) Determine a probabilidade de obter: a) ao menos um 6 em quatro lanamentos de um dado; b) ao menos um duplo 6 em 24 lanamentos de um dado. a) 671/1296 b) 1 (35/36)24 32) A probabilidade de um homem ser canhoto 1/10. Qual a probabilidade de, em um grupo de 10 homens, haver pelo menos um canhoto? 1 0,910 33) Um exame de laboratrio tem eficincia de 95% para detectar uma doena quando essa doena existe de fato. Entretanto o teste aponta um resultado falso positivo para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0,5% da populao tem a doena, qual a probabilidade de que uma pessoa ter a doena dado que o seu exame foi positivo? 95/294 34) 2n jogadores de tnis de igual habilidade disputam um torneio. Eles so divididos em grupos de 2, ao acaso, e jogadores de um mesmo grupo jogam entre si. Os perdedores so eliminados e os vencedores so divididos novamente em grupos de 2 e assim por diante at restar apenas um jogador que proclamado campeo. Qual a probabilidade de dois jogadores A e B se enfrentarem durante o torneio? Qual a probabilidade do jogador A jogar exatamente k partidas? a) 1/2n 1 b) 1/2k, se k < n; 1/2n 1 se k = n 35) Em um torneio como descrito no exerccio anterior, os jogadores tem habilidades diferentes e no h surpresas nos resultados (se A melhor que B, A vence B). Qual a probabilidade do segundo melhor jogador ser vice-campeo? 2n 1/2n 1 36) Dois adversrios A e B disputam uma srie de 10 partidas. A probabilidade de A ganhar uma partida 0,6 e no h empates. Qual a probabilidade de A ganhar a a srie? aproximadamente 0,63 37) Motores de avio funcionam independentemente e cada motor tem uma probabilidade p de falhar durante um vo. Um avio voa com segurana se a maioria de seus motores funciona. Para que valores de p um avio com 3 motores prefervel a um avio de 5 motores? p < 1/2. 38) Lana-se repetidamente um par de dados no tendenciosos. Qual a probabilidade de obtermos duas somas iguais a 7 antes de obtermos trs somas iguais a 3? 243/256 39) Uma moeda tem probabilidade 0,4 de dar cara. Lanando-a 12 vezes, qual o mais provvel valor do nmero de caras obtidas? 5 1/9 a) 2/3

15




Exerccios de Olimpadas de Matemtica1) Dezenove flechas so arremessadas sobre um alvo com o formato de um hexgono regular de lado 1. Mostre que duas 3 destas flechas esto a uma distncia de no mximo uma da outra. 3 2) Escolhem-se aleatoriamente 1985 pontos interiores a um cubo de aresta unitria. Mostre que sempre possvel selecionar 32 destes pontos de forma que o permetro do 32-gono, que eles determinam, menor que 8 3 . 3) Seja X real. Prove que dentre os nmeros X, 2X, 3X, ..., (n 1)X existe um que difere de um inteiro por no mximo 4) Prove que existem inteiros a, b e c, no todos iguais a zero e de valor absoluto menor do que um milho, tais que a + b 2 + c 3 < 10 11 . 5) Prove que, entre 7 reais y1, y2, ..., y7, podemos escolher yi e yj (i j), tais que 0 yi y j 1 + yi y j 1 3 1 . n

.

6) Dados trs inteiros distintos, provar que sempre possvel dois dentre eles, digamos a e b, tais que a3b ab3 um mltiplo de 10. 7) Prove que, dados m inteiros a1, a2, ..., am, existem k e l (1 k l m), tais que ak + 1 + ak + 2 + ... + al divisvel por m. 8) a) Dado um conjunto de 101 inteiros positivos, nenhum dos quais excede 200, mostre que pelo menos um membro deste conjunto deve dividir outro membro do conjunto. b) Construa um conjunto de 100 inteiros positivos, menores ou iguais a 200, tal que nenhum membro deste conjunto divida outro membro do conjunto. c) Prove que se escolhermos 100 elementos do conjunto {1, 2, ..., 200} e um deles for menor que 16, ento pelo menos um membro deste subconjunto deve dividir outro membro do conjunto. 9) As fatoraes de r + 1 inteiros positivos (r 1) envolvem, no total, somente r primos. Prove que h um subconjunto destes inteiros cujo produto um quadrado perfeito. 10) Um paciente deve tomar 48 plulas em 30 dias, tomando pelo menos uma plula por dia. Demonstre que existe uma seqncia de dias durante os quais ele toma exatamente 11 plulas. 11) Durante um treinamento um jogador de xadrez joga pelo menos uma vez por dia e no mais do que 12 dias por semana. Prove que h um perodo de dias consecutivos no qual ele joga exatamente 20 vezes. 12) Mostre que entre sete inteiros positivos distintos menores do que 127 podemos escolher um par, digamos x, y, tal que y 1< 2 . x 13) Dado um conjunto de dez naturais entre 1 e 99 inclusive, prove que h dois subconjuntos disjuntos no vazios cujas somas de seus elementos so iguais.16



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria14) Prove que qualquer conjunto formado por sete inteiros positivos menores ou iguais a 24 possui dois subconjuntos de mesma soma. 15) Vinte e oito equipes competem em um torneio de futebol de um turno (todos jogam contra todos, 2 pontos por cada vitria, 1 ponto por cada empate, 0 pontos por derrota). Mais de 75% dos jogos deste torneio terminaram empatados. Prove que existem duas equipes que encerram o torneio com o mesmo nmero de pontos. 16) Dados n pontos no plano, demonstre que existem 3 deles que determinam um ngulo menor ou igual a /n. 17) 63127 candidatos comparecem a uma prova do vestibular (25 questes de mltipla-escolha com 5 alternativas por questo). Considere a afirmao: Pelo menos dois candidatos responderam de modo idntico as k primeiras questes da prova. Qual o maior valor de k para o qual podemos garantir que a afirmao acima verdadeira? 6 18) Prove que em qualquer conjunto de 52 inteiros existe um par de inteiros cuja soma ou cuja diferena divisvel por 100. 19) Quinze cadeiras esto colocadas ao redor de uma mesa circular e sobre esta esto colocados, em frente a cada uma das cadeiras, o nome de 15 convidados. Ao chegarem, os convidados no percebem isto e nenhum senta-se em frente ao seu nome. Prove que a mesa pode ser girada de forma que pelo menos dois convidados fiquem corretamente sentados. Soluo: Temos no total 15 disposies distintas, todas podendo ser alcanadas girando a mesa 15 vezes. O nmero total de acertos pessoa-nome igual a 15, ou seja, girando a mesa 15 vezes teremos tambm 15 acertos. Como dado que na disposio inicial o nmero de acertos 0, ento sobram 15 acertos para 14 giros, implicando que em algum giro teremos dois acertos. 20) Uma caixa contem 10 livros de Francs, 20 livros de Espanhol, 8 livros de Alemo, 15 livros de Russo e 25 livros de Italiano. Quantos livros devem ser retirados da caixa (sem reposio) de modo que possamos garantir que foram retirados pelo menos 12 livros de uma mesma lngua. Resoluo: Pelo PCP, devemos ter 11 livros de cada lngua com mais de 12 livros (Espanhol, Russo e Italiano), e todos os livros das lnguas com menos de 12 livros (Francs e Alemo), mais 1 livro, que deve ser de uma das lnguas que ainda sobraram livros (Espanhol, Russo e Italiano), para garantir que saia o 12o livro de uma mesma lngua (lembremos que j temos 11 livros destas lnguas). Assim, n = 10 + 11 + 8 + 11 + 11 + 1 = 52 21) Um professor conta, a cada ano, 3 piadas em sala de aula. Depois de 12 anos, o professor ainda no repetiu o mesmo terno de piadas. Qual o menor nmero de piadas que o professor deve saber para poder realizar isto. 22) Prove que se existem 5 pontos no interior de um tringulo equiltero de 1, ento possvel escolher 2 de tal modo que a distncia entre eles menor que 1/2. Soluo: Notemos que podemos dividir um tringulo equiltero em 4 tringulos equilteros interiores da seguinte forma:

Onde cada lado dos tringulos vale 1/2. Como temos 4 tringulos e 5 pontos, temos que dois pontos devem estar em um mesmo tringulo. A maior distncia de dois pontos de tringulo de lado 1/2 igual a 1/2. 23) Suponha que temos 27 nmeros positivos mpares menores que 100. Mostre que existe um par de nmeros cuja soma 102.

17



ASSUNTO - Exerccios de CombinatriaSoluo: Podemos agrupar os nmero mpares de 1 at 99 da seguinte forma: {3, 99}, {5, 97}, {7, 93}, ..., {47, 55}, {49, 53}, 1, 53 Assim, temos 24 pares somando 102 mais os nmeros 1 e 53, somando ao todo 26 elementos. Como so dados 27 nmeros positivos mpares, ento teremos certamente dois nmeros de mesmo par (por mais que tenhamos ou no os nmeros 1 e/ou 53). 24) Os nmeros de 1 a 10 so escritos, de ordem aleatria, em torno de uma circunferncia. Mostre que existem 3 nmeros consecutivos cuja soma menor que 17. Soluo: 25) Um computador foi usado por 99 horas durante um perodo de 12 dias. Prove que algum par de dias consecutivos o computador foi usado ao menos 17 horas. 26) Mostre que dados 17 nmeros naturais possvel escolher 5 deles cuja soma seja divisvel por 5. 27) Prove que, para todo conjunto de 5 pontos no interior de um quadrado de lado 2, pode-se escolher 2 de modo que a distncia entre eles menor ou igual a 2 . 28) De uma fileira de n 12 inteiros positivos consecutivos, dois jogadores, primeiro A e ento B, retiram, alternadamente, o inteiro de sua escolha at restarem apenas dois nmeros, a e b. A vence se a e b so primos entre si, e B caso contrrio. Se n mpar, voc escolheria ser primeiro ou segundo? E se n par? 29) Um jogo disputado por dois adversrios, A e B, cada um dos quais dispes de dez fichas numeradas de 1 a 10. O tabuleiro do jogo consiste em duas filas numeradas de 1 a 1492, na primeira fila, e de 1989, na segunda fila. No n-simo lande (n = 1, 2, ..., 10), A coloca sua ficha de nmero n em qualquer casa vazia e B ento coloca sua ficha de nmero n em qualquer casa vazia da fila que no contm a ficha de nmero n de A. B ganha o jogo se, aps o dcimo lance, ambas as filas exibirem a mesma ordem relativa. Caso contrrio, A ganha o jogo. a) Qual dos jogadores tem uma estratgia vencedora? Justifique a resposta. b) Suponha agora que cada jogador dispes de k fichas numeradas de 1 a k. Qual jogador tem uma estratgia vencedora. Justifique a resposta. c) Suponha agora que, alm disso, as fichas so o conjunto Q dos nmeros racionais e o conjunto Z dos nmeros inteiros. Qual dos jogadores tem uma estratgia vencedora? Justifique a resposta. 30) Dado um inteiro n0 > 1, dos jogadores A e B escolhem alternadamente, inteiros n1, n2, n3, ... de acordo com as seguintes regras: Conhecendo-se n2k, A escolhe um inteiro n2k + 1 tal que n 2 k n 2 k +1 n 2 k . Conhecendo-se n2k + 1, B escolhe um 2 inteiro n2k + 2, tal que

n 2 k +1 seja um potncia com expoente inteiro e positivo de um primo. A ganha o jogo se conseguir n 2k +2

escolher o nmero 1990 e B ganha o jogo se conseguir escolher o nmero 1. Determine os valores de n0 para os quais: a) A tem uma estratgia vencedora; b) B tem uma estratgia vencedora; c) nenhum dos jogadores tem estratgia vencedora. 31) Este um jogo para dois jogadores, jogando com uma pilha de n palitos de fsforo sobre uma mesa. Cada jogador pode tirar da pilha 1, 2, 3, 4 ou 5 palitos, a seu critrio. Ganha quem tirar o ltimo fsforo. Para n = 1990, ter, o primeiro jogador, uma estratgia para vencer? Qual deve ser sua primeira jogada?

18



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria32) Este jogo semelhante ao anterior, exceto que h duas pilhas de fsforos e a cada jogada s permitido modificar uma das pilhas. Ganha quem tirar o ltimo fsforo. A partir de pilhas com 1990 e 1937 fsforos, ter, o primeiro jogador, uma estratgia vencedora para vencer? Qual deve ser a sua primeira jogada? 33) Uma pilha contm 1992 pedras. Dois jogadores brincam da seguinte maneira: os jogadores retiram, alternadamente, um nmero de pedras que divida o nmero de pedras retiradas pelo seu adversrio no movimento imediatamente anterior. O primeiro jogador em sua primeira jogada pode retirar um nmero arbitrrio de pedras, mas no todas. O jogador que retira a ltima pedra vence. Qual dos jogadores possui uma estratgia vencedora? 34) Considere o seguinte jogo do qual participam dois jogadores A e B: o jogador A recebe inicialmente o nmero 2. Cada jogada consiste em substituir o nmero recebido n por um nmero da forma n + d, onde d um divisor positivo de n, menor do que n, e entregar esse nmero ao adversrio. Ganha o jogo que entrega ao adversrio um nmero maior do que o milsimo primo. Determine qual dos jogadores possui uma estratgia ganhadora. 35) O proprietrio do Wohascum Puzzle, Game, and Computer Den inventou um jogo para duas pessoas, no qual os jogadores, alternadamente, pintam as arestas de um cubo. Trs cores (vermelho, verde e amarelo) so disponveis. Inicialmente todas as arestas do cubo so incolores e cada aresta pode ser pintada uma nica vez. Duas arestas com um vrtice em comum no podem ter a mesma cor. O ltimo jogador a pintar uma aresta vence o jogo. Qual dos jogadores possui uma estratgia vencedora? 36) Considere o seguinte jogo-de-ligar-os-pontos sobre um reticulado retangular mxn. Dois jogadores jogam alternadamente, uma jogada consiste em desenhar um segmento de reta entre dois pontos do reticulado nem segmentos previamente desenhados. O ltimo a jogar vence a partida. Qual dos jogadores tem a vantagem, e qual a estratgia vencedora? 37) Em uma partida dois jogadores escolhem nmeros alternadamente. Em cada rodada a diferena entre o nmero escolhido e o anterior deve ser maior do que zero, mas menor do que o nmero anterior. O nmero inicial 2. Vence o jogador que escolhe o nmero 1987. Qual dos jogadores possui uma estratgia vencedora? 38) (Eureka! 5) Numa gaveta h 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual o nmero mnimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que: a) As meias retiradas contenham um par da mesma cor? b) As meias retiradas contenham um para de cor branca? 39) (Eureka! 5) Sejam n um natural mpar e A uma matriz simtrica em que cada linha e coluna seja uma permutao dos inteiros 1, 2,, n. Mostre que cada um destes nmeros aparece uma vez na diagonal de A. 40) (Eureka! 5) Mostre que se um subconjunto com n + 1 elementos escolhido do conjunto {1, 2, 3,, 2n} ento este subconjunto necessariamente contm um par de nmeros primos entre si. 41) (Eureka! 5) Considere 9 pontos de coordenadas inteiras no R3. Mostre que o ponto mdio de um dos segmentos de reta definidos por estes pontos tambm tem coordenadas inteiras. 42) (Eureka! 5) Mostre que se n mpar e a1, a2,,an uma permutao de 1, 2,, n, ento o produto (a1 1) (a2 2)(an n) par. 43) (Eureka! 5) Mostre que em qualquer coleo de n inteiros h um subconjunto cuja soma dos elementos divisvel por n. 44) (Eureka! 5) Mostre que em qualquer coleo de n inteiros existe um par cuja soma ou diferena divisvel por n.

19



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria45) (Eureka! 5) Mostre que em toda reunio com 10 pessoas existem 3 que se conhecem mutuamente ou 4 que se desconhecem mutuamente. Mostre que, na realidade, o resultado vale mesmo que na reunio s existam 9 pessoas. 46) (Eureka! 5) Dados inteiros a, b 2, seja N (a, b) o menor nmero para o qual, dado um conjunto com N (a, b) pessoas, sempre existam a que se conheam mutuamente ou b que se desconheam mutuamente (se existir tal nmero). Os problemas anteriores implicam que N (3, 3) 6 e N (3, 4) 9. Mostre que: a) N(a, 2) = a; b) N(a, b) = N (b, a); c) N(a, b) N (a 1, b) + N (a, b 1); observe que, em conseqncia, N(a, b) existe para todo par (a, b). 47) (Eureka! 5) Dois discos A e B so divididos em 2n setores iguais. No disco A, n setores so pintados de azul e n de vermelho. No disco B, os setores so pintados de azul ou vermelho de forma completamente arbitrria. Mostre que A e B podem ser superpostos de modo que pelo menos n setores tenham cores coincidentes. 48) (Eureka! 5) Sejam A1, A2,, A100 subconjuntos distintos de um conjunto X satisfazendo a propriedade de que cada Ai possua mais da metade dos elementos de X. Mostre que existem 6 elementos x1, x2,x6 de X tais que cada Ai contenha pelo menos um destes 6 elementos. 49) (Eureka! 5) Considere um conjunto A com n elementos. Seja F uma famlia de subconjuntos de A tal que: Quaisquer dois elementos de F tm interseo no vazia. Nenhum outro subconjunto de A intersecta todos os elementos de F. a) D exemplo de uma famlia F satisfazendo a estas condies. b) Mostre que F possui 2n 1 elementos. 50) (Eureka! 5) Uma fbrica produz pelo menos uma unidade de um produto X por dia e no mximo 10 unidades deste produto por semana. Mostre que dado qualquer inteiro positivo n existe um conjunto de dias consecutivos em que a produo total igual a n [ Sugesto: mostre que existe um nmero k (dependente de n) suficientemente grande para o qual os conjuntos {S1, S2,Sk} e {S1 + n, S2 + n, , Sk + n} tem pelo menos um elemento comum, onde Si a soma das produes nos dias 1, 2, , i.]. 51) (Eureka! 5) Mostre que toda seqncia com n2 + 1 elementos possui uma subseqncia crescente com n + 1 elementos ou uma subseqncia decrescente com n + 1 elementos. 52) (Eureka! 5) Sejam mn + 1 elementos tais que a1 < a2 < < amn + 1. Mostre que ou existem m + 1 destes nmeros tais que nenhum divisor de um outro ou existem n + 1 deles tais que cada um divisor do seguinte. 53) (Eureka! 5) Prove que se o conjunto {1, 2, 3, , 1978} partido em 6 subconjuntos, em algum destes subconjuntos existe um elemento que igual soma de dois elementos, no necessariamente distintos, do mesmo subconjunto. 54) (Eureka! 5) Considere um conjunto com 2n pontos. a) Mostre que possvel conectar estes pontos com n2 segmentos de reta sem que um tringulo de vrtices nos pontos dados seja formado. b) Mostre que se os pontos so conectados por n2 + 1 segmentos de reta, ento pelo menos um tringulo formado. 55) (Eureka! 5) Considere um conjunto de n pontos 1, 2, , n. Para cada par de pontos escolhida uma orientao para o segmento de reta que os une. Se o segmento ij orientado de i para j dizemos que i j. Mostre que existe uma permutao a1, a2, an de 1, 2, , n tais que a1 a2 an.

20



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria56) (Eureka! 5) So dados n pontos azuis e n pontos vermelhos no plano. Mostre que possvel formar n pares de pontos (um azul e um vermelho em cada par) de modo que os n segmentos de reta definidos por estes pares no se cruzem. 57) (Eureka! 5) Mostre que dados 5 pontos do plano em posio geral h 4 que formam um quadriltero convexo. 58) (A arte de resolver problemas Polya) Jorlaine tem 10 bolsos e 44 moedas. Ele quer colocar as moedas nos bolsos mas de tal maneira distribudas que em cada bolso fique um nmero diferente de moedas. Ser possvel consegu-lo? Explicar. 59) (RPM-33). As equipes de futebol do Brasil e da Argentina jogam entre si, alternadamente, ora em um pas, ora em outro. J jogaram 13 partidas. Em 7 delas a equipe local ganhou. A equipe brasileira ganhou 9 partidas no total. No houve nenhum empate. possvel saber, a partir dessa informao, em que pas se jogar a prxima partida? Em caso afirmativo, diga em que pas ser. Em qualquer caso, justifique sua resposta. 60) (Sergipe-99) O professor Epaminondas, no primeiro dia de aula, apostou que, entre os alunos daquela classe, pelo menos dois fariam aniversrio no mesmo dia do ms. O professor tinha certeza de que ganharia a aposta, pois naquela classe o nmero de alunos era maior ou igual a: a) 15 b) 32 c) 28 d) 31 e) 30 61) (Sergipe-99) Um jogo consiste em partir da casa 1 casa 36 numa trilha com casas numeradas de 1 a 36. Os dois jogadores comeam na casa 1 e o avano de casas depende do lanamento de dois dados cbicos comuns. Se a soma dos pontos for par, o jogador avana 3 casas. Se a soma dos pontos for mpar, o jogador avana 1 casa. Se o jogador ultrapassar a ltima casa, retorna casa 1. A ordem com que os jogadores iniciam suas jogadas definida por alguma forma de sorteio. Ganha quem parar primeiro na casa 36. O menor nmero de jogadas que algum pode fazer e ganhar : a) 37 b) 13 c) 12 d) 14 e) 17 62) (Sergipe-99) Um menino joga trs dados e soma os nmeros que aparecem nas faces voltadas para cima. O nmero de diferentes resultados dessa adio : a) 12 b) 18 c) 216 d) 16 e) 15 63) (Sergipe-99) Numa gaveta h 6 meias pretas e 6 meias brancas. Qual o nmero mnimo de meias a se retirar (no escuro) para garantir que: a) As meias retiradas contenham um par da mesma cor? b) As meias retiradas contenham um par de cor branca? 64) (Gois) Determine a quantidade de nmeros naturais tais que nenhum de seus algarismos 1 e o produto de todos os seus algarismos 48. 65) (Gois) Um relgio digital mostra as horas e minutos desde 01:00 s 12:59. Determine o nmero de vezes que aparecem simultaneamente no visor os nmeros 1, 2 e 3 durante um dia completo. 66) (Gois) Determine a quantidade de nmeros inteiros que existem na lista 1,2,3,...., 10.000 e que contm exatamente um par de dgitos 9 consecutivos. 67) (Gois) Joo e Sheila comeam a trabalhar em seus novos empregos no mesmo dia. Joo tem o seguinte horrio: trabalha durante 3 dias e logo toma um dia de descanso. Sheila possui o horrio: trabalha durante 7 dias e depois folga 3 dias. Qual o nmero de dias que descansam Joo e Sheila no mesmo dia durante seus primeiros 1000 dias de emprego?

21



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria68) (Gois) Prope-se colorir cada uma das casas de um tabuleiro 4x4 com apenas uma das duas cores: ou preto ou branco, de modo que existam exatamente duas casas brancas em cada fila e em cada coluna. Determine o nmero de maneiras diferentes que se pode efetuar a colorao proposta. 69) (Gois) Em um torneio disputado por 6 clubes, no qual cada par de clubes se enfrenta uma nica vez, vitrias valem 3 pontos, empates valem 1 ponto e derrotas valem 0 ponto. Ao final do torneio os clubes tinham 15, 8, 7, 6, 4 e 1 pontos. Quantas partidas terminaram empatadas ? 70) (Gois) Temos doze moedas, todas rigorosamente iguais na sua aparncia exterior. No entanto, uma delas falsa, pois tem um peso diferente das outras. No sabemos, no entanto, se esse peso superior ou inferior ao das outras 11. Pretende-se, utilizando apenas uma balana de dois pratos, e com trs pesagens, determinar qual a moeda falsa e se mais leve ou mais pesada. 71) (Gois) Em um tabuleiro quadrado trs por trs (ou seja, com 9 casas) devem-se colocar nove elementos do conjunto C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, diferentes entre si, um em cada casa e cumprindo as condies seguintes: a) As somas dos nmeros da segunda e terceira linhas so, respectivamente, o dobro e o triplo da soma dos nmeros da primeira linha. b) As somas dos nmeros da segunda e terceira colunas so, respectivamente, o dobro e o triplo da soma dos nmeros da primeira coluna. Mostre todas as formas possveis de colocar elementos de C no tabuleiro, cumprindo as condies indicadas. 72) (Gois) Duas jarras iguais contm misturas de lcool e gua nas propores de 3:7 na primeira jarra e 3:5 na segunda jarra. Juntando-se os contedos das duas jarras, obteremos uma mistura de lcool e gua em que proporo ? 73) (Gois) Um quadrado mgico multiplicativo um quadrado tal que o produto dos nmeros de cada linha, coluna ou diagonal o mesmo. Se o quadrado da figura abaixo preenchido com inteiros positivos de forma a obtermos um quadrado mgico multiplicativo, qual o valor de x ? 5 4 1 74) (Gois) Considere o conjunto A de todas as combinaes simples de 10 elementos em grupos de 5. Duas combinaes distintas so escolhidas ao acaso no conjunto A. Determine as probabilidades de que elas: a) no tenham nenhum elemento em comum; b) tenham exatamente 4 elementos em comum. 75) (Gois) Em cada casa de um tabuleiro de xadrez mxm est inscrito um nmero de modo que se ele no est no bordo ele mdia aritmtica dos nmeros que esto nas casas vizinhas. Prove que existe um nmero no bordo que no superado por nenhum dos nmeros do tabuleiro. 76) (Gois-98) O aniversrio de Joo caiu no 2o domingo de maio, dia em que comemorado o Dia das Mes. Joo perguntou a sua me se esta coincidncia iria se repetir sempre. Sua me respondeu que s quando o Dia das Mes ocorrer o mais cedo possvel. Em que dia do ms o aniversrio de Joo? 77) (Gios-98) Escreva os nmeros de 2 a 40 com os seguintes critrios: i. Na primeira linha escreva os mpares em ordem crescente; ii. Na segunda linha escreva os nmeros que so obtidos multiplicando os nmeros da 1a linha por 2 = 21 e em ordem crescente; x

22



ASSUNTO - Exerccios de Combinatriaiii. Na terceira linha escreva os nmeros que so obtidos multiplicando os nmeros da 2a linha por 4 = 22 e em ordem crescente; iv. Continue at no encontrar mais nmeros que possam ser obtidos desta forma; v. Finalmente na ltima linha escreva os nmeros ausentes em ordem decrescente. 78) (Esprito Santo-97) As peas de um quebra-cabea retangular so 9 quadrados de lados 1, 4, 7, 8, 9, 10, 14, 15 e 18. Resolva o quebra-cabea. (Tente fazer um modelo concreto). 79) (Esprito Santo-97) Isabela, Gabriela e Hugo jogaram trs partidas de Baralho. Cada um tinha fichas para apostar. Na primeira partida Hugo perde, Gabriela duplica suas fichas e Isabela no perde nem ganha. Na segunda partida Isabela duplica suas fichas, Gabriela perde e Hugo no perde nem ganha. Na terceira partida Isabela perde, Gabriela duplica suas fichas e Hugo no perde nem ganha. No final, Hugo perdeu 9 fichas, Isabela tem uma ficha a mais que Gabriela. Com quantas fichas cada um comeou se o nmero total de fichas era 50? 80) (Rio Grande do Sul-98) De cada uma de trs varetas de mesmo comprimento l, quebrou-se um pedao. Calcular a probabilidade de que seja possvel construir um tringulo com esses trs pedaos. 81) (Rio Grande do Norte-95) Num tabuleiro 3 x 3, contando os retngulos existentes, em diversas posies, chegamos a um total que a) maior do que 40 b) menor do que 30 c) exatamente igual a 30 d) est entre 30 e 40 e) exatamente igual a 40 82) (Rio Grande do Norte-95) O gerente de um armazm queria pesar cinco sacos de farinha. No armazm havia uma balana que s fazia pesagens acima dos 100 kg. O gerente no se perturbou, e se ps a pesar os sacos de dois em dois. Com cinco sacos conseguiu formar 10 pares distintos, por isso teve de fazer 10 pesagens. O resultado das pesagens foram, em ordem crescente, os seguintes nmeros : 110, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 120, 121 Em ordem crescente dos pesos, o terceiro saco pesava : a) 54 kg b) 115,5 kg c) 56 kg d) 117 kg e) 58 kg 83) (Rio Grande do Norte-95) ) Qual o nmero mnimo de pessoas que deve haver num grupo para que possamos garantir que nele haja pelo menos 5 pessoas nascidas no mesmo ms ? a) 150 b) 50 c) 55 d) 49 e) 120 84) (Rio Grande do Norte-95) Nos festejos juninos, 20 casais de danarinos so colocados em crculo de tal maneira que um homem e uma mulher formando um par esto situados diametralmente opostos. Durante a dana, dois danarinos adjacentes trocam de lugar enquanto todos os outros permanecem na mesma posio. Essa mudana repetida com pares adjacentes at que, na posio final, os dois danarinos de cada par estejam novamente diametralmente opostos, mas na posio contrria da inicial. Ento o nmero mnimo de mudanas, de dois danarinos adjacentes, para acontecer isso : a) 20! b) 400 c)10! d) 19! e) 100 85) (Rio Grande do Norte-95) O nmero de maneiras distintas de cobrir um tabuleiro 2x5 com domins 2x1 : a) 8 b) 5 c) 20 d) 10 e) Nenhuma Correta 86) (Rio Grande do Norte-97) Em cada quadrado de um tabuleiro 8 x 8 se pode colocar uma ficha. Dizemos que uma ficha v a outra se ambos esto na mesma fila ou na mesma coluna e se nos quadrados intermedirios entre eles dessa fila ou coluna, se existem, estejam sem fichas (vazios). Qual o nmero mximo de fichas que se pode colocar de maneira tal que cada ficha veja exatamente duas fichas? a) 8 b) 16 c) 20 d) 46 e) 18

23



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria87) (Rio Grande do Norte-97) Considere o seguinte jogo. Existem trs pilhas de caroos de feijo: uma com 10 caroos, uma com 15 e uma com 20 feijes. Os jogadores jogam seqencialmente, um depois o outro. Cada jogada consiste em escolher uma das pilhas e dividi-la em duas pilhas menores. O perdedor aquele que no consegue fazer isso. Se eles jogam raciocinando corretamente, quem ganha: o primeiro a jogar ou o segundo? a) o primeiro b) o segundo c) nunca o segundo ganha d) o jogo sempre termina empatado e) impossvel dizer 88) (Rio Grande do Norte-97) Os nmeros 1, 2, 3, ...., 19, 20 so escritos no quadro negro. Apague quaisquer dois desses nmeros e escreva o novo nmero a + b + ab. Que nmero aparecer no quadro negro depois de 19 dessas operaes? a) 199.964 b) 210 c) 198.876 d) 105 e) Nda 89) (Rio Grande do Norte-97) Um tabuleiro 8 x 8 desenhado no plano cartesiano, de modo que os vrtices limites do tabuleiro so os pontos (0,0), (8,0), (0,8) e (8,8). Qual o nmero de retngulos existentes no tabuleiro, tais que no sejam quadrados e que tenham os vrtices em pontos cujas coordenadas so inteiras ? a) 640 b) 1000 c) 360 d) 1090 e) 1092 90) (Rio Grande do Norte-97) As entradas das casas de trs formiguinhas esto localizadas num terreno plano e no esto, as trs, em linha reta. No terreno plano, quantos caminhos retos podem ser construdos de modo que sejam eqidistantes das trs casas? a) Zero b) 1 c) 2 d) 3 e) infinitos 91) (Rio Grande do Norte-99) Escreva os nmeros naturais 1, 2, 3,, 98, 99, 100 numa linha, de modo que a diferena entre quaisquer dois adjacentes no seja menor do que 50. 92) (Rio Grande do Norte-99) A professora desafia Andr e Thiago com o seguinte jogo, em que eles jogam alternadamente. Ela escreve no quadro-negro os inteiros de 1 a 50. Uma jogada consiste em escolher dois dos nmeros escritos, apagar esses nmeros, substituindo-os pela soma (Por exemplo, se Andr escolheu 8 e 23, apaga-os e escreve 31). Depois de algum tempo, vai restar no quadro negro um nico nmero. Se esse nmero par, o ganhador Andr, caso contrrio, o ganhador Thiago. Quem vence o jogo: Andr ou Thiago? 93) (Rio Grande do Norte-99) Andr e Thiago disputam um jogo em que jogam alternadamente. Andr inicia escolhendo um nmero inteiro de 1 a 9. Em seguida, Thiago escolhe um nmero inteiro de 1 a 9 e soma ao nmero escolhido anteriormente pelo adversrio. A seguir, Andr escolhe um nmero inteiro de 1 a 9 e soma ao resultado anterior, e assim por diante. Aquele que atingir o nmero 100 vence. Imaginando que os dois jogam corretamente, quem vencer: Andr ou Thiago? Qual a estratgia para vencer? 94) (Rio Grande do Norte-99) Uma caixa contm 300 bolas de gude. Dois amigos participam de um desafio, removendo, alternadamente, bolas da caixa. Na sua vez de jogar, cada um pode remover qualquer quantidade de bolas que no seja maior que a metade das bolas existentes na caixa. Aquele que no puder remover perde. Imaginando que os dois jogam corretamente, quem vencer: o primeiro ou o segundo a jogar? Qual a estratgia para vencer? 95) (Minas Gerais) Prove que existem 2(2n 1 1) maneiras distintas de se distribuir n cartas para dois jogadores. (os jogadores devem receber o mesmo nmero de cartas) 96) (Minas Gerais) Uma urna contm bolas pretas e uma segunda urna contm bolas brancas. Toma-se um certo nmero de bolas da primeira urna e coloca-se na segunda; a seguir, retira-se o mesmo nmero de bolas da segunda e coloca-se na primeira. Pergunta-se se depois destas operaes o nmero de bolas brancas na primeira urna maior, menor ou igual ao nmero de bolas pretas na segunda. Justifique sua resposta.

24



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria97) (Minas Gerais) Mostre que, dados 52 inteiros quaisquer, entre eles existem dois cuja soma, ou diferena, divisvel por 100. 98) (Rio de Janeiro) Genilson e Geraldo so dois amigos muito estranhos. Genilson mente s 4as, 5as e 6as-feiras, dizendo a verdade no resto da semana. Geraldo mente aos domingos, 2as e 3as-feiras, dizendo a verdade nos outros dias. Certo dia ambos declaram: "amanh dia de mentir". Descubra o dia em que foi feita esta declarao. 99) (Rio de Janeiro-96) Mostre que, independente de como so pintados (com duas cores distintas) os vrtices de um polgono regular de 1995 lados, existem sempre trs vrtices da mesma cor que formam um tringulo issceles. 100) (Rio de Janeiro-98) Em um condomnio sero construdas 6 casas de uma mesmo lado de uma rua. As casas podem ser de tijolo ou de madeira, mas como medida de segurana contra incndio, duas casas de madeira no podem ser vizinhas. De quantas maneiras se pode planejar a construo das casas desse condomnio? 101) (Rio de Janeiro-98) 100 pessoas jogam a seguinte variao do jogo de bingo: Inicialmente, cada jogador escreve os nmeros de 1 a 100 na ordem que desejar. Em seguida, o diretor do jogo sorteia sucessivamente os nmeros de 1 a 100 em qualquer ordem. Cada jogador ganha 1 real por cada nmero de sua seqncia que aparea na mesma posio na seqncia sorteada. Sabendo que todos os participantes receberam quantias diferentes, prove que algum deles recebeu exatamente 100 reais. 102) (Rio de Janeiro-98) A Diretoria de um Banco composta por um Diretor, um Vice-Diretor e quatro Chefes de Setor. O Diretor resolve instalar um novo cofre. Manda fazer vrias fechaduras e distribui as chaves de modo que: Cada chave abre exatamente uma fechadura. O cofre s aberto se forem abertas todas as suas fechaduras. O Diretor possa abrir sozinho o cofre. O Vice-Diretor s possa abrir o cofre juntamente com um dos Chefes de Setor. Os Chefes de Setor s possam abrir o cofre em grupos de trs. a) Qual o nmero mnimo de fechaduras que se devem colocar no cofre para que este esquema seja possvel? b) Nesse caso, quantas chaves cada um deve ter? 103) (Rio de Janeiro-99) Gustavo, Eduardo e Augusto disputam uma srie de partidas de xadrez da seguinte maneira : dois deles jogam entre si e o vencedor joga com o que ficou de fora. Se o jogo terminar empatado, aquele que jogou com as peas brancas considerado o perdedor. Ao final da srie, Gustavo tinha jogado 15 partidas, Eduardo jogou 9 partidas e Augusto jogou 14 partidas. Quais foram os adversrios na partida de nmero 13 ? 104) (Nmero de Ouro-97) Em uma reunio de 20 pessoas existem exatamente 49 pares de pessoas que se conheciam entre si. Prove que alguma pessoa conhecia ao menos 4 dos convidados. 105) (USAMO-89) Os 20 membros de clube de tnis so distribudos em exatamente 14 jogos de duplas entre eles. com cada membro jogando ao menos um jogo. Prove que existe um conjunto de 6 jogos com 12 jogadores distintos. 106) (Mxico) Considere os 36 vrtices de um quadriculado perfeito de 6x6. Utilizando estes como vrtices de tringulos no degenerados, quantos tringulos distintos podem se formados? 107) (Mxico) Quantos nmeros de 1 at 10000 tem seus dgitos em ordem estritamente crescente? (Por exemplo, 1, 46, 1379 possuem esta propriedade e 280 ou 122 no possuem). 108) (Mxico) De todos os nmeros de 4 dgitos que so mltiplos de 9, quantos possuem todos os seus dgitos distintos de 0 e distintos entre si?

25



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria109) (Mxico) Dos seguintes 34 nmeros: 1, 4, 7, 10, 13, ..., 97, 100, elegem-se 19 deles. Demonstre que entre estes 19 sempre existem 2 cuja soma 104. 110) (Mxico) Considere um tabuleiro 10x13 e 3 cores com as quais deve-se pintar cada casa do tabuleiro. Demonstre que existem 4 casas de uma mesma cor que so vrtices de um retngulo de lados paralelos as linhas do tabuleiro. 111) (Mxico-88) De quantas formas podem ser acomodadas em linha reta sete bolas brancas e cinco negras, de tal maneira que no existam duas bolas negras juntas? 112) (Mxico-92) Considere 7 pontos dentro ou sobre um hexgono regular e prove que trs deles formam um tringulo cuja rea menor ou igual a 1/6 da rea do hexgono. 113) (Mxico-95) Consideram-se 6 pontos no plano com a propriedade de que 8 das distncias entre eles so iguais a 1. Mostre que ao menos trs dos pontos formam um tringulo equiltero de lado 1. 114) (Alicante-98) Dentro de um cubo de lado 15 unidades, existem 11.000 pontos situados de forma arbitrria. Prove que possvel encontrar uma esfera de raio um, que contenha em seu interior, ao menos 6 pontos dentre os 11.000 dados. 115) (Blgica-90) Uma prova de Olimpada de Matemtica consiste de 30 problemas. Sabe-se que so atribudos 4 pontos para cada resposta corte, 1 para uma resposta incorreta e 0 pontos para uma resposta em branco. Qual o menor nmero de participantes tal que possvel afirmar que existem duas pontuaes iguais na competio? a) 121 b) 145 c) 146 d) 151 e) 152 116) (Blgica-91) O alfabeto alemo consiste de 6 vogais e 20 consoantes. Assuma que uma palavra de 3 caracteres possui ao menos 1 vogal e ao menos 1 consoante. Determine o maior nmero de palavras de 3 caracteres que possvel escrever. a) 2880 b) 3120 c) 8640 d) 9360 e) 18000 117) (Blgica-91) Em uma urna existem 24 cartes: 2 vermelhos e 22 pretos. Joo fala um nmero n entre 1 e 24. Ricardo retira (sem olhar) n cartes, um por um. Se o n-simo carto for vermelho ento Joo ganha o jogo. Qual o nmero que Joo deve escolher para possuir a maior chance de ganhar o jogo? a) 1 b) 2 c) 12 d) 13 e) um nmero diferente de 24 118) (Bgica-92) Seja A = {1, 2, 3, 4}. Quando escolhida aleatoriamente uma das possveis funes f: A A, qual a probabilidade de que f seja bijetora? a) 1/4 b) 1/6 c) 1/16 d) 3/32 e) 1/64 119) (Blgica-92) Trs casais esto em uma festa. Na despedida, cada pessoa apertou a mo de outros convidados da festa, excetuando a de seu(sua) parceiro(a). Depois de todos os cumprimentos, o anfitrio perguntou a todos quantos apertos de mo cada um tinha dado, e ouviu 5 respostas diferentes. Quantas mos o anfitrio cumprimentou? a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 120) (Bgica-93) Um nmero inteiro no-negativo dito palndromo se ele lido da esquerda para a direita igual quando lido da direita para a esquerda. Por exemplo 121, 0, 2002 e 4 so palndromos. O nmero de palndromos que so menores que 1.000.000 : a) 900 b) 1991 c) 1993 d) 1999 e) 2220 121) (Blgica-93) Em dezembro, durante as frias escolares, 20 colegas de classe enviam 10 cartes de Natal para 10 diferentes colegas (diferentes deles mesmos). a) Mostre que pelo menos dois colegas de classe trocaram cartes.

26



ASSUNTO - Exerccios de Combinatriab) Suponha que a classe possua n estudantes, cada um enviando m cartes de Natal para m diferentes (diferentes deles mesmos). Qual a relao entre n e m para que ao menos 2 estudantes tenham trocado cartes. 122) (Blgica-94) Um pequena escola possui 4 alunos. Um professora coletou as provas resolvidas pelos alunos e imediatamente repassou para eles mesmos corrigirem. De quantas maneiras possvel fazer isto sem que um aluno receba a mesma prova que fez? a) 6 b) 9 c) 14 d) 23 e) 24 123) (Blgica-94) Cada lado de um cubo pintado de um cor (existem 6 disponveis). De quantas maneiras possvel fazer isto? Sabe-se que duas coloraes so idnticas se podem ser obtidas por rotao do cubo. a) 30 b) 60 c) 120 d) 360 e) 720 124) (Blgica-95) Quantos valores possveis existem na multiplicao de dois nmeros distintos do conjunto {4, 8, 9, 16, 27, 32, 64, 81, 243}? a) 72 b) 36 c) 32 d) 20 e) 12 125) (Blgica-95) Quantos tringulos podem ser construdos tais que o comprimento dos lados sejam 3 inteiros mpares consecutivos, e o permetro seja estritamente menor que 1000? a) 165 b) 166 c) 167 d) 331 e) 332 126) (Blgica-96) Cinco diferentes estradas ligam as cidades A e B, trs diferentes estradas ligam as cidades B e C e trs diferentes estradas ligam as cidades A e C, sem passar por B. De quantas formas diferentes possvel ir de A para C e voltar para A passando por B pela menos uma vez. a) 22 b) 90 c) 270 d) 315 e) 324 127) (Espanha-93) Em uma reunio existem 201 pessoas de 5 nacionalidades diferentes. Sabe-se que, em cada grupo de 6, ao menos duas tem a mesma idade. Demonstrar que existe ao menos 5 pessoas do mesmo pas, da mesma idade e do mesmo sexo. Soluo: Sendo 201 (201 = 5.40 + 1) pessoas de 5 nacionalidades diferentes, temos que uma nacionalidade possui pelo menos 41 pessoas. Entre 41 (41 = 2.20 + 1) pessoas, existem pelo menos 21 do mesmo sexo e da mesma nacionalidade. Como em cada grupo de 6 ao menos 2 tem a mesma idade, existem ento no mximo 5 idades diferentes. Assim, em um grupo de 21 (21 = 4.5 + 1) pessoas do mesmo sexo e nacionalidade, temos pelo menos 5 pessoas da mesma idade. 128) (Espanha-98) Determinar os valores de n para os quais possvel construir um quadrado n n encaixando peas do tipo:

129) (Espanha-99) Sobre um tabuleiro em forma de tringulo equiltero, como se indica na figura, coloca-se uma ficha sobre cada casa. Cada ficha branca por um lado e negra por outro. Inicialmente, somente uma ficha, que est situada em um vrtice, possui a cara negra virada para cima, o resto das fichas tem a cara branca virada para cima. Em cada movimento retira-se do tabuleiro uma nica ficha negra e vira-se o lado voltado para cima das fichas situadas em casas vizinhas. Casas vizinhas so as que esto unidas por um segmento. Depois de vrios movimentos ser possvel retirar todas as fichas do tabuleiro?

27




130) (Espanha-99) Uma caixa contem 900 bilhetes, numerados de 100 a 999. Retiram-se aleatoriamente (sem reposio) bilhetes da caixa e anota-se a soma dos dgitos de cada bilhete extrado. Qual a menor quantidade de bilhetes que devem ser retirados, para garantir que ao menos trs dessas somas sejam iguais? 131) (Inglaterra-90) Uma moeda viciada tal que a probabilidade de obter cara p, 0 < p < 1. Dos jogadores, A e B, jogam a moeda at uma das seqncias cara-cara-cara ou cara-coroa-cara ocorra. Se a seqncia cara-cara-cara ocorre primeiro, ento A vence. Se cara-coroa-cara ocorre primeiro, ento B vence. Para quais valores de p o jogo justo, ou seja, A e B possuem a mesma probabilidade de vencer. 132) (Inglaterra-83) Dados 10 pontos no interior de um crculo de dimetro 5, prove que a distncia entre todo par de pontos dados deve ser menor que 2. 133) (Inglaterra-80) Em um festa existem 10 pessoas, e sabe-se que em todo grupo de 3 pessoas existem pelo menos 2 que no conhecem a outra pessoa. Prove que a festa contem um grupo de 4 pessoas, onde nenhuma delas conhece as outras 3. 134) (Inglaterra-75) Use o Princpio das Gavetas de Dirichlet para resolver o seguinte problema. Dado um ponto O no plano, o disco S, com centro em O e raio 1, definido como o conjunto de todos os pontos P no plano tais que |OP| 1, onde OP a distncia de P a O. Prove que se S contem 7 pontos tais que a distncia entre quaisquer 2 pontos 1, ento um dos pontos deve ser o ponto O. [Nota: O Princpio das Gavetas de Dirichlet afirma que se mais do que n objetos devem ser colocados em n gavetas, ento alguma gaveta possui mais do que 1 objeto.] 135) (Inglaterra-73) Nove pontos esto no interior de um quadrado de rea 1. Prove que existe um tringulo de rea 1/8 tais que os vrtices so trs dos pontos. 136) (Inglaterra-71) dado um conjunto de n + 1 inteiros positivos, nenhum deles excedendo 2n. Prove que ao menos um dos membros do conjunto deve dividir outro membro do conjunto. 137) (Inglaterra-71) Dois nmeros reais so dados, tais que h > k > 0. Determine a probabilidade que 2 pontos escolhidos aleatoriamente em um segmento de reta de comprimento h, possua distncia menor que k. 138) (Inglaterra-68) Determine o maior nmero de pontos que podem ser colocados na superfcie de uma esfera de raio unitrio, de modo que a distncia entre 2 dos pontos: a) ao menos (2)1/2; b) maior que (2)1/2. 139) (Inglaterra-66) a) Prove que entre 52 inteiros, existem sempre 2 inteiros tais que a soma ou a diferena de 2 dos inteiros divisvel por 100. b) Prove que, dado todo conjunto de 100 inteiros, nenhum dos quais divisvel por 100, possvel escolher 2 ou mais de modo que a soma destes inteiros divisvel por 100. 140) (Rssia-61) Prove que entre 39 nmeros naturais consecutivos existem sempre um nmero cuja soma dos dgitos divisvel por 11.

28



ASSUNTO - Exerccios de Combinatria141) (Rssia-63) Uma tabuleiro 6x6 deve ser coberto com peas de domin 2x1. Prove que possvel cortar o tabuleiro em duas partes iguais de tal forma que a linha de corte no corte nenhuma pea de domin. 142) (Rssia-70) Prove que em todo conjunto de 200 inteiros, sempre possvel escolher um subconjunto de 100 com a soma total dos termos sendo divisvel por 100. 143) (Torneio Internacional das Cidades-94) Existem 20 garotos em uma escola onde cada 2 possuem um av em comum. Prove que existem 14 garotos tal que todos possuem um mesmo av em comum. 144) (Torneio Internacional das Cidades-94) 60 crianas participam de uma colnia de frias. Entre qualquer conjunto de 10 crianas existem 3 ou mais que vivem na mesma barraca. Prove que existem 15 ou mais crianas que vivem na mesma barraca. 145) (Torneio Internacional das Cidades-96) Oito estudantes foram convocados para resolver 8 problemas. a) Cada problema foi resolvido por 5 estudantes. Prove que possvel escolher dois estudantes tal que cada problema tenha sido resolvido por pelo menos um deles. b) Se cada problema tivesse sido resolvido por 2 estudantes, ento possvel no mais exista este par de estudantes. Prove isto. 146) (Torneio Internacional das Cidades-97) Quantos inteiros de 1 a 1997 possuem a soma dos dgitos divisvel por 5? 147) (Bltica-97) Prove que em toda seqncia de 79 inteiros positivos consecutivos escritos no sistema decimal, existe um inteiro positivo tal que a soma dos seus dgitos divisvel por 13. 148) (Bltica-98) Considere uma disputa de Tnis de Mesa entre dois times, cada um consistindo de 1000 jogadores. Cada jogador joga uma vez contra cada jogador do outro time (no existe empate em tnis de mesa). Prove que existem dez jogadores, todos do mesmo time, tais que todo membro do outro time foi derrotado no seu jogo, ao menos uma vez, contra cada um dos dez jogadores. 149) (IMO-72) Dado todo conjunto de dez nmeros distintos pertencentes ao intervalo 10, 11, ... , 99, prove que ns podemos sempre determinar dois subconjuntos disjuntos com a mesma soma.

29

exercicio de analise combinatoria

Documents