Parte I

Análise Combinatória

Prof. Marcela Monteiro e Joabe Miranda

Fatorial de um número

Chama-se fatorial dado um número n natural

qualquer ao produto de todos os números naturais

desde n até 1 para qualquer n > 1. Indicamos fatorial

de n por n!

Obs.

Se n = 0 0u n = 1 temos 0!=1 e 1!=1

Ex: 5! = 5.4.3.2.1 = 120 4! = 4.3.2.1

Ex1. Simplifique as Seguintes Expressões:

a) b) c)

d) e)

Ex2. Resolva as equações:

a) b)

c) d)

Análise Combinatória O objetivo principal da análise combinatória é a

determinação do número de possibilidades de um

dado evento ocorrer. O problema pode ser resolvido

descrevendo todas as possibilidades e a seguir

contando o número delas.

Ex.

Dado o conjunto B dos algarismos B ={1,2,3,4}.

Qual a quantidade de números naturais de 3 algarismos

distintos que podemos formar utilizando os elementos

do grupo B?

Nesse Exemplo foi possível

obter o número total de

possibilidades descrevendo

todas elas e depois contando-as.

Porém nem sempre isso é

possível e ás vezes se torna

impossível descrever todas as

possibilidades e logo não temos

como contá-las

Por isso se viu-se a necessidade

de desenvolver a análise para

processos mais rápidos de

contagem. Como o Princípio

Fundamental da Contagem.

Princípio fundamental da contagem

Princípio Fundamental da Contagem é o mesmo que a

Regra do Produto, um princípio combinatório que indica

quantas vezes e as diferentes formas que um

acontecimento pode ocorrer.

O acontecimento é formado por dois estágios (ou mais)

caracterizados como sucessivos e independentes:

• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.

• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.

Desse modo, podemos dizer que o número de formas

diferente que pode ocorrer em um acontecimento é

igual ao produto m . n.

Ex3.(Apostila 1º)Um cinema tem 12 portas. De quantas maneiras poderá ser aberto?

Ex4.(Apostila 2º) (COVEST) Num acidente automobilístico, após ouvir as testemunhas, concluí-se que o motorista culpado do acidente dirigia o veículo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes sendo que o algarismo das unidades era o dígito 2.

Assinale, então, a única alternativa correspondente ao número de veículos suspeitos.

a) 1080 b) 10880 c) 10080 d) 840 e) 60480

Ex5.(Apostila 10º) (UPE) Uma loja de departamento utiliza para identificar os cartões de seus clientes especiais, um código formado por duas vogais distintas seguidas de quatro dígitos diferentes, sendo que o dígito das unidades é sempre zero.

Representando por n o número de clientes especiais que a loja pode cadastrar com o código, determine o valor de n/120 ?

Técnicas de Contagem Arranjos Simples

Arranjo simples é o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. O número de arranjos simples de elementos em grupos de elementos é dado por:

A n , p =

Obs.

Arranjos com Repetição de n elementos agrupados k a k é A n

(k) = n k

Nas Questões tome Cuidado pois o Arranjos podem ser Simples ou com Repetição.

)!(

!

pn

n

Combinações Simples

Combinação simples é o tipo de agrupamento, sem

repetição em que um grupo é diferente de outro

apenas pela natureza dos elementos Componentes

( e não pela ordem).

O número de combinações de n elementos de p

grupos de elementos é igual ao número de arranjos

de n elementos tomados p a p dividido por p! , isto

é:

C n,p = )!(!

!

pnp

n

Ex6.(Apostila 4º)(FGV - SP) Uma empresa tem 3 diretores e

5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas podem ser

formadas contendo no mínimo um diretor?

Ex7. (Apostila 7º)(UPE) Há 7 pontos distintos em um plano.

se somente 3 deles são colineares, então existem n

triângulos com vértices naqueles pontos é:

a) n = 40 b) n = 35 c) n = 34 d) n = 30 e) n.d.a.

Ex8.(Apostila 8º)(COVEST) Considere duas retas paralelas

r e s sobre estas, respectivamente 10 pontos e 6 pontos. O

número de triângulos que podemos obter ligando três

quaisquer destes pontos é:

a) 150 b)420 c) 270 d) 120 e)4050

Ex9. (Apostila 12º)(COVEST-2011)

Permutações Simples

Permutações simples é o tipo de agrupamento

ordenado, sem repetição, em que entram todos os

elementos em cada grupo.

A permutação simples é um caso particular de

arranjo simples.

O número de permutações simples que se pode formar

com n elementos é igual ao fatorial de n , ou seja:

P n = n!

Ex10.(Apostila 5º)(UPE) Quantas anagramas da palavra canil

começam por vogal e terminam por consoante?

a) 288 b) 144 c) 12 d) 72 e) 36

Ex11.(Apostila 6º)(UPE) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5.

Podemos formar com eles um certo número n de números dotados de

5 algarismos diferentes entre si, de modo que fiquem sempre juntos

os algarismos 1 e 2. Então n é igual a:

a) 120 b) 26 c) 48 d) 118 e) 60

Ex12.(Apostila 16º)(SSA2-2011)

Permutações com elementos repetidos.

Esse tipo de permutação entre os n elementos um

deles está repetido α vezes, outro está repetido β

vezes, outro γ vezes... Logo o número de

permutações possíveis é dado:

P nα,β,γ...=

Permutação Circular

Nesse tipo de permutação os n elementos estão

dispostos na em uma circunferência. Logo o número

de permutações possíveis é dado:

!...!.!.

!

n

Soluções Inteiras não negativas de

uma Equação Linear O número de soluções inteiras não negativas (positivas ou nula)

de uma equação linear do tipo:

x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 +... x n = r

é:

Ex13.(Apostila17)(UPE-2011)

Parte II

Introdução a Geometria Plana

Ainda Não

Terminou?

Já to Ficando

Meio Tonto!!

Noções Primitivas As noções (conceitos) geométricas são estabelecidos por meio de

definição.

As noções primitivas são adotadas sem definição. Adotaremos

sem definição as noções de:

PONTO, RETA E PLANO.

Com as seguintes notações:

Ponto: letras maiúsculas latinas (A, B, C, D...).

Reta: letras minúsculas latinas (a, b, c, d...).

Plano: letras gregas minúsculas (α, β, γ, δ...).

Obs.

1. O ponto é adimensional.

2. O plano e a reta são conjuntos infinitos e ilimitados de pontos.

3. Pontos que pertencem a uma mesma reta são colineares entre

si, e que pertencem a um plano são coplanares entre si.

Proposições Primitivas As Proposições (propriedades, afirmações)

geométricas são aceitas mediante demonstrações.

As proposições primitivas ou postulados ou

axiomas são aceitos sem demonstração.

Iniciaremos com alguns postulados relacionando

ponto, reta e plano.

Postulado da existência

a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos

pontos.

b) Num plano há infinitos pontos.

Posições de dois pontos e um ponto e uma reta

Dados dois pontos A e B, de duas uma:

Ou A e B são coincidentes; Ou A e B são distintos.

Dados um ponto P e uma reta r, de duas uma:

Ou P está dentro de r; Ou P está fora de r.

Postulado da determinação

a) Da reta

Dois pontos distintos determinam uma única(uma, e uma

só) reta que passa por eles.

b) Do Plano

Três pontos distintos não colineares determinam um único

plano que passa por eles.

Obs. Há outras formas de determinar um plano:

1. Uma reta e um ponto fora dela;

2. Duas retas concorrentes;

3. Duas retas paralelas distintas.

Postulado da Inclusão

Se uma reta tem dois pontos distintos num plano, então a

reta está contida nesse mesmo plano.

Postulado da Concorrência

Por um ponto passam infinitas retas.

Por uma reta passam infinitos planos.

Postulado da divisão

Um ponto divide uma reta em duas semirretas.

Uma reta divide um plano em dois semiplanos.

Ex1.(Apostila 5º)(AFA) Quatro pontos não coplanares

determinam, exatamente quantos planos?

Ex2.(Apostila 2º)(UPE) Classifique em verdadeiro ou falso:

I II

0 0 Por um ponto passam infinitas retas.

1 1 Por dois pontos distintos passam uma reta.

2 2 Uma reta contém dois pontos distintos.

3 3 Dois pontos distintos determinam uma, e uma só, reta.

4 4 Por três pontos dados passa uma só reta.

Posições Relativas de duas Retas No espaço, duas retas distintas podem ser:

Retas Reversas: No Espaço duas retas são reversas entre

si, se não existir se quer um plano no espaço que as

contém simultaneamente.

Retas Concorrentes: Se duas retas coplanares que

tiverem um único ponto em comum.

Retas Paralelas: Se duas retas coplanares não forem

concorrentes serão ditas paralelas.

Em resumo:

Posições relativas entre Retas e Planos Uma reta e um Plano podem:

a) Apresentar dois pontos distintos em comum,

logo a reta está contida no plano.

b) Apresentar um único ponto em comum, logo

a reta e o plano são concorrentes ou secantes.

c) Apresentar nenhum ponto em comum, logo a

reta e o plano são paralelos.

Obs.1) Se a reta é paralela a um plano, ela é

paralelas a infinita retas no plano, mas não a

todas.

2) Se a reta é concorrente a um plano, ela é

concorrente a infinitas retas no plano, mas não

a todas.

Posições relativas entre dois Planos No espaço dois Planos podem ser:

Planos Coincidentes: As intersecções

dos planos são eles próprios.

Planos Concorrentes ou Secantes:

Dois planos são concorrentes, quando

a sua intersecção é uma reta.

Planos Paralelos: A intersecção dos

planos é o conjunto vazio.

Perpendicularismo entre Reta e Plano.

Uma reta é perpendicular a um plano, se, e somente se, a reta é

perpendicular às retas do plano que passam pelo ponto de

intersecção da reta e do plano.

Perpendicularismo entre Planos.

Dois planos são perpendiculares se, e somente se, existe uma

reta de um deles que é perpendicular ao outro.

Ex3.(Apostila 3º)(ESPCEX) Considere as seguintes proposições:

I. Toda reta paralela a uma plano é paralela a qualquer reta desse plano.

II. Uma reta e um ponto determinam sempre um único plano.

III. Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela é perpendicular a esse plano.

Pode-se afirmar que:

a) só I é verdadeira

b) só III é verdadeira

c) só I e III são verdadeiras

d) só III é falsa

e) só I e III são falsas.

Segmento de Reta e Semirreta. Dada uma reta:

Denomina-se segmento de reta

a toda porção de reta limitada

por dois pontos quaisquer. ( o

segmento de reta tem origem e

tem fim).

Denomina-se semirreta a união

de um ponto de uma reta com

uma das regiões da reta por ele

dividida (a semirreta tem

origem, mas não tem fim).

Se liga na notação:

Segmentos Consecutivos: Dois segmentos de reta são

consecutivos se uma extremidade de um coincide com uma

extremidade do outro.

Segmentos colineares: são aqueles que estão contidos numa

mesma reta.

Segmentos Adjacentes: Dois segmentos consecutivos e

colineares são adjacentes, se possuem em comum apenas

uma extremidade e não têm outros pontos em comum.

Ex4.(Apostila 1º)(UPE) Classifique em verdadeiro ou falso:

I II

0 0 Se dois segmentos são consecutivos, então eles são colineares.

1 1 Se dois segmentos são colineares, então eles são consecutivos.

2 2 Se dois segmentos são adjacentes, então eles são colineares.

3 3 Se dois segmentos são colineares, então eles são adjacentes.

4 4 Se dois segmentos são adjacentes, então eles são consecutivos.

Segmentos Congruentes: são aqueles que possuem a mesma medida, na mesma unidade de medida.

Divisão de um segmento numa razão dada

Um ponto D divide o segmento na razão r quando

AD : DB = r

Ex5.(Apostila 4º)(FUVEST – 03) No segmento AC, toma-se um ponto B de forma que AB : AC = 2(BC : AB). Então o valor de BC : AB é?

Quem abandona a luta não poderá

nunca

saborear o gosto de uma vitória.

(Textos Judaicos)