analiseb combinatoria

O princípio fundamental da contagem

“Se uma ação é constituída de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser realizada de m maneiras distintas e a segunda pode ser realizada de n maneiras distintas, então, o número de possibilidades de se efetuar a ação completa é dado por mn.”

Sucedendo-se o evento a outras etapas, o princípio continua válido.

O PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM

1) Existem 4 estradas unindo uma cidade A a uma cidade B e 5 estradas unindo a cidade B a outra cidade C. Quantos caminhos diferentes pode-se tomar de A até C, passando por B?

2) Quantos números naturais pares de dois algarismos podem ser formados de modo que a casa das dezenas seja ocupada por um número ímpar?

Resolução: A primeira etapa pode ocorrer de 4 maneiras distintas e a segunda, de 5 maneiras. Assim, a ação completa pode ocorrer de 4 x 5 = 20 maneiras.

Resposta: 20 caminhos.

Resolução: Há 5 maneiras de se escolher o primeiro algarismo (1, 3, 5, 7 e 9) e 5 de escolher o segundo (0, 2, 4, 6 e 8). Logo, são 5 x 5 = 25 os números.

Resposta: 25 números.

3) Flávio tem duas camisas, sendo uma azul e uma amarela e três calças de cores diferentes. De quantas maneiras distintas ele pode se vestir usando uma calça e uma camisa?

4) Quantos números de 3 algarismos, sem repetição, podem ser formados com os números 0, 1, 3, 4 e 7?

Resolução: Com cada camisa, ele pode usar as três calças. Como são duas camisas, ele tem 2 x 3 = 6 possibilidades.

Resposta: de 6 maneiras.

4 possibilidades (1, 3, 4 e 7)4 possibilidades (0 e 3 não usados na 1ª casa)

3 possibilidades (os 3 que restaram dos 5)

Total: 4 x 4 x 3 = 48. Resposta: 48 números.


5) Dispondo-se de 8 cores diferentes de tinta, deseja-se pintar um quadro usando exatamente duas dessas cores. De quantos modos distintos isso pode ser feito?

Resolução: A primeira cor pode ser escolhida de 8 maneiras diferentes e a segunda, de sete, totalizando 8 x 7 = 56. Acontece que estamos contando duas vezes o uso de duas dessas cores (por exemplo: branco e azul é o mesmo azul e branco); logo, devemos dividir o resultado encontrado por 2. Resposta: de 28 maneiras.

6) Nove pessoas concorrem a uma eleição para presidente e vice-presidente de uma comissão. Quantos são os resultados possíveis dessa eleição?

Resolução: O cargo de presidente pode ser preenchido de nove modos distintos e o de vice, de 8 modos. Assim, temos um total de 9 x 8 = 72. Resposta: são 72 os resultados possíveis.


7) Quantos subconjuntos tem um conjunto finito de n elementos?

Resolução: Temos uma ação constituída de n etapas, pois a escolha de cada elemento para o subconjunto constitui-se numa etapa. Cada etapa é constituída de duas possibilidades: o elemento está ou não está presente no subconjunto. Assim, pela extensão do PFC, temos 2 2 2 ... 2, com n fatores, ou seja 2n.

Resposta: 2n subconjuntos.

8) Uma prova de Verdadeiro ou Falso é constituída de 10 questões. Quantos são os possíveis gabaritos?

Resolução: Temos, aqui, dez etapas, cada uma com duas possibilidades. Assim, a quantidade de gabaritos é 210 = 1024.

Resposta: 1024 possíveis gabaritos.


9) Anagrama de uma palavra é outra palavra, com sentido ou não, escrita com as mesmas letras daquela, sem repetição. Exemplo: anagramas da palavra AMOR são AMRO, ROAM, ARMO etc.

Quantos anagramas tem a palavra URSO?

Resolução: temos uma ação constituída por quatro etapas.

1ª etapa: são 4 possibilidades, pois são 4 letras.

2ª etapa: são 3 possibilidades, pois 1 letra já foi usada.

3ª etapa: são 2 possibilidades, as duas letras que faltam.

4ª etapa: 1 só possibilidade: a última letra.

Assim são 4 x 3 x 2 x 1 = 24 anagramas.

Dica: o número de anagramas de uma palavra de n letras distintas é igual a 1 x 2 x 3 x ... x n, também representado por n!(lê-se “n fatorial” ou “fatorial de n”.)

Resposta: a palavra AMOR tem 24 anagramas.


10) Quantos são os anagramas da palavra LIVRO?

Resolução: usando a dica dada no exercício anterior, temos 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 anagramas.

Resposta: a palavra LIVRO tem 120 anagramas.

11) Quantos anagramas da palavra PINCEL começam com L e terminam com P?

Resolução: fixando a letra L no início e P no final, precisamos “permutar”as 4 letras restantes, num total de 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Resposta: 24 anagramas.

L P

4 x 3 x 2 x 1


EXERCÍCIOS:

1) Quantos subconjuntos de 2 elementos tem um conjunto de 6 elementos?

2) Quantos números naturais de três algarismos são múltiplos de 5?

3) Quantos códigos de identificação de funcionários de uma empresa pode-se obter com uma letra de um alfabeto de 26 e um número natural de 1 até 100? (Ex.: F – 13 e K – 76 são códigos.)

4) Quantos números pares de 3 algarismos, sem repetição, podemos formar com os números 0, 2, 4, 5 e 7?

5) Quantas comissões de 2 pessoas podemos formar a partir de um grupo de 9 pessoas?


6) Vinte pessoas presentes em uma sala cumprimentam-se mutuamente, uma única vez, com um aperto de mão. Quantos apertos de mão são dados?

7) Um espectador é sorteado num programa de televisão, podendo escolher dois entre cinco prêmios distintos. Quantas são as possibilidades desse espectador escolher sua premiação?

8) Quantos são os percursos distintos para se ir da cidade A até a cidade B, sempre se aproximando desta?

A B

9) ALEMANIC é um anagrama de que palavra da língua portuguesa?

10) Qual dos anagramas abaixo completa logicamente o conjunto de de anagramas {VPIREMARA, VIENORN, OREVÃ}

a)BLACHOA

b)ELORIGO

c)TUOOON

d) ORFAÇ

10) Uma lanchonete vende 3 tipos distintos de refrigerantes. De quantos modos podemos comprar 5 refrigerantes?

11) Uma lanchonete vende 3 tipos distintos de refrigerantes. De quantos modos podemos comprar 5 refrigerantes, nem todos iguais?

Dado um conjunto E de n elementos, chama-se arranjo simples dos n elementos de E, tomados p a p, qualquer seqüência formada de p elementos tomados dentre os n elementos de E.

ARRANJO SIMPLES

Dizemos arranjo simples significando que não há repetição de elemento em um mesmo tipo de arranjo. Mudando-se a ordem de dois elementos de uma das soluções obtemos outra solução.

O número destes arranjos é indicado por A n, p (“arranjo simples de n elementos tomados p a p”)

A n,p = n(n – 1)(n – 2) ... (n – p + 1)

Observe que o segundo membro tem p fatores.

Exemplos: A7, 2 = 7 × 6 = 42 (2 fatores)

A8, 3 = 8 ×7 × 6 = 336 (3 fatores)

ARRANJO SIMPLES

)!(

!, pn

nA pn

A fórmula do arranjo também pode ser expressa em termos de fatoriais.

6.n :Resposta

)(rejeitado 56

30,101530)1(

30

:

210567!4

!4567

!4

!7

)!37(

!7

2045!3

!345

!3

!5

)!25(

!5

:

2

2,

3,7

2,5

noun

produtosomannnn

A

Aplicações

A

A

Exemplos

n

Mais exemplos: Calcule os números:

5,56,35,2 A c) A b) A a)

.1201

!5

!0

!5

)!55(

!5c)A

.120!3

!3456

!3

!6

)!36(

!6b)A

.20!3

!345

!3

!5

)!25(

!5A a)

:Resolução

5 5,

3 6,

2 5,

De quantos modos distintos podem 2 pessoas ocuparem uma motocicleta escolhidas entre 8 pessoas?

Quantos são os números naturais de três algarismos diferentes?

Resolução:

Devemos arranjar 8 pessoas em 2 lugares.

A8,2 = 8 × 7 = 56. Resposta: de 56 modos.

Resolução:

Devemos arranjar 10 algarismos em 3 posições cuja ordem é importante. Mas isso conta com o zero na primeira posição, que deve ser descontado.

Temos, então: A10,3 – A9,2 = 10 × 9 × 8 – 9 × 8 = 648.


Uma cédula de votação tem espaço para escrever, ordenadamente, três nomes de candidatos escolhidos de um grupo de 10. Quantos são os possíveis votos em uma cédula?

Resolução:

Temos que arranjar 3 nomes de 10 possíveis, ou seja, A10, 3 = 10 × 9 × 8 = 720.

Resposta: 720.

O terceiro ano fará a eleição de representante e vice a partir de uma lista de 15 candidatos. Quantos são os possíveis resultados dessa eleição?

Resolução:

Temos que arranjar 2 nomes entre 15 possíveis, ou seja A15,2 = 15 × 14 = 210. Resposta: 210 possíveis resultados.

Quantos números de 5 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Quantas palavras de três letras, sem repetição, podemos formar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto?

Resolução:

Temos 9 algarismos para arranjar em 5 posições. O que se resume a A9,5 = 9 × 8 × 7 × 6 × 5 = 15.120

Resposta: 15.120 números.

Obs.: se o zero fosse um dos números apresentados, o resultado seria outro.

Resolução:

Temos 9 letras para arranjar em 3 posições. O que se resume a A9,3 = 9 × 8 × 7 = 504


Quantos números de três algarismos, sem repetição, podemos formar com os algarismo 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, incluindo sempre o algarismo 4?

Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por 5?

Resolução:

Se o 4 deve ser um deles, sobram dois algarismos para serem escolhidos dentre os 8 restantes, ou seja, A8,2 = 8 ×7 = 56 para cada uma das posições ocupadas pelo 4 (que são três). Façamos 56 × 3 = 168. Resposta: 168 números.

Resolução:

O último algarismo deve ser 5. Restam três posições, onde iremos arranjar os cinco algarismos restantes, o que nos dá A5,3 = 5 × 4 × 3 = 60. Resposta: 60 números.

Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000, formados por algarismos distintos escolhidos entre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Resolução:

Devemos ter A10,4 – A9,3 = 5040 – 504 = 4536.

Observe que consideramos todos os possíveis números (A10,3) e diminuímos destes aqueles que começam por zero (A9,3).


Resolução:

O primeiro algarismo só pode ser 2. Devemos, então, arranjar os oito restantes em três posições, dando A8,3 = 336.


Considere o conjunto A = {2, 4, 5, 6}.

a) Calcule quantos números com algarismos diferentes se podem formar com os elementos de A.

b) Dos números obtidos no item anterior, quantos são múltiplos de 5?

Resolução:

O último algarismo deve ser 5. Os três outros serão arranjados nas três posições restantes, ou seja A3,3 = 3! = 6.

Resposta: 6 números são múltiplos de 5.

Resolução:

Devemos encontrar A4,4 = 4! = 24.


Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os algarismos do sistema decimal, sem os repetir, de modo que:

a)Comecem com 1.

b)Comecem com 2 e terminem com 5.

Resolução:

Sendo 1 o primeiro algarismo, devemos arranjar os nove restantes nas duas posições que faltam, ou A9,2 = 72. Resposta: 72 números.

Resolução:

Se começam com 2 e terminam com 5, temos A8,1 = 8 possibilidades para ocupação da casa central.

Resposta: 8

Num campeonato de futebol, há dez equipes disputantes. Sabendo-se que duas quaisquer entre essas equipes se enfrentam duas vezes e que a renda média de cada jogo é R$ 20.000,00, determine o total de dinheiro arrecadado no final do campeonato.

Cinco homens e uma mulher pretendem utilizar um banco de cinco lugares. De quantas maneiras diferentes podem sentar-se, nunca ficando em pé a mulher?

Resolução:

Serão A10,2= 10 × 9 = 90 jogos, que darão renda total de 90 × R$ 20.000,00, ou seja, R$ 1.800.000,00.

Resolução:

Para cada uma das 5 posições que a mulher pode ocupar, arranjamos os 5 homens nos 4 lugares restantes, dando A5,4 = 120. Façamos 5 × 120 = 600.

Resposta: de 600 maneiras.

Um grande prêmio de F1 vai ser disputado por 24 pilotos, dos quais apenas 3 são brasileiros. Em quantos resultados possíveis dessa prova poderemos ter ao menos um piloto brasileiro figurando em uma das três primeiras colocações?

Resolução:

Devemos calcular:

Todas as possibilidades: A24,3 = 24 × 23 × 22 = 12.144

Nenhum brasileiro: A21,3 = 21 × 20 × 19 = 7.980

A diferença desses resultados contempla a presença de algum brasileiro em uma das três primeiras colocações, ou seja, 4.164.

Resposta: 4.164.

Observação: há outro modo de resolver essa questão.

Permutação simples é o tipo de agrupamento ordenado, sem repetição, em que entram todos os elementos de cada grupo.

Entendendo a permutação como um caso particular de arranjos, temos:

!

!0

!

)!(

!,

nP

n

nn

nAP

n

nnn

Quantos são os anagramas da palavra NOVA que começam por A?

Quantos são os anagramas da palavra NOVA que começam ou terminam por A?

Resolução:

Que começam com A, são P3 = 6. Que terminam por A, também. Temos, então 6 + 6 = 12.


Resolução:

Fixando a letra A no início, sobram 3 letras para serem permutadas. Temos, então P3 = 3! = 6.

Respostas: 6 anagramas.

(Fuvest) Quantos são os anagramas da palavra FUVEST que começam e terminam por vogal?

Correm 6 cavalos num páreo. Não havendo desclassificações nem empates, quantos são os possíveis resultados?

Resolução:

Devemos ter P6 = 6! = 720 possíveis resultados.

Resposta: 720.

Resolução:

Iniciando com U e terminando com E, temos P4 = 4! = 24.

Iniciando com E e terminando com U, temos P4 = 4! = 24.

O total é 24+24 = 48. Resposta: 48 anagramas.

(Fuvest) Considere os números obtidos do número 12 345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43 521?

Resolução:

Começando com 1, temos 4! = 24 números.




Começando com 42, temos 3! = 6 números (Até aqui, 84 números).

Os seguintes, são 43.125 (85º), 43.152 (86º), 43.215 (87º), 43.251 (88º), 43.512 (89º) e, finalmente, 43.531(90º).

Resposta: ocupa o 90º lugar.

Um grupo formado por 4 rapazes e uma senhorita, esta, namorada de um deles, Carlos, vai visitar uma exposição. De quantos modos esse grupo pode entrar no recinto, em fila, se Carlos não entra antes de sua namorada?

Todos os dias dez pessoas formam uma fila única em frente a uma Escola. Se não existe repetição na ordem das dez pessoas, qual o tempo necessário para que uma mesma formação se repita?

Resolução:

Eles podem entrar de P5 = 5! = 120 modos diferentes, sendo que em metade deles o rapaz entra antes e na outra metade, entra depois de sua namorada. Resposta: de 60 modos.

Resolução:

Serão P10 = 10! = 3.628.800 diferentes formações e dias, também.

Isso corresponde a 9941,917 anos, ou, aproximadamente, 99,4 séculos. Resposta: aproximadamente 99,4 séculos.

Escreva todos os anagramas da palavra CASA. Quantos são eles?

Quantos anagramas da palavra CASA começam com A?

Resolução:

Fixando a letra A no início, devemos permutar as três restantes, ou seja, P3 = 3! = 6.


Resolução:

São eles: CASA, CAAS, CSAA, ACAS, ACSA, AACS, ASCA, AASC, SCAA, SACA, SAAC e ASAC. SÃO 12 ANAGRAMAS.

Em quantos anagramas da palavra LIVRO as letras L e V estão juntas?

(Mauá – SP) De quantos modos podemos ordenar dois livros de Matemática, três de Português e quatro de Física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Física fiquem, entre si, sempre na mesma ordem?

Resolução:

Há P3 = 6 maneiras de dispor por matéria. Os de Matemática são colocados de P2 = 2 modos e os de Português, de P3 = 6 modos. Os de Física não devem permutar entre si.

Pelo PFC, temos 6 × 2 × 6 = 72 modos. Resposta: de 72 modos.

Resolução:

LV como uma só letra, são P4 = 4! = 24. Invertendo sua ordem em cada anagrama (VL) são mais 24. Resposta: 48 anagramas.

COMBINAÇÕES SIMPLESCombinações simples dos n elementos de um conjunto E, tomados p a p (p n), são todos os subconjuntos de E com p elementos. A diferença entre duas soluções é apenas na natureza dos seus elementos (e não na ordem).

O número de combinações de n elementos em grupos de p elementos cada é igual ao número de arranjos de n elementos tomados p a p, dividido por p!, isto é,

)!(!

!

!)!(

!

!,

, pnp

n

ppnn

p

AC pn

pn

)!(!

!, pnp

nC pn

Obs.: alternando a posição de dois elementos de uma solução, encontramos a mesma solução.

Quantos jogos de um campeonato com 24 clubes são dados se todos os times devem jogar entre si:

a)Em partidas de ida e volta?

24 × 23 = 552 jogos.

b)Em partida única?

Exemplo: Calcule C3, 2 + C5, 3.

13

1032!3

!3453

!2!3

!5

!1!2

!3

)!35(!3

!5

)!23(!2

!3

:Resolução

3,52,3

3,52,3

3,52,3

CC

CC

CC

2762

2324

!22!2

!24

)!224(!2

!242,24

C

De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão dispondo de 8 jogadores?

(IME – SP) Com dez espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentes, podem ser feitos?

Resolução:

Escolhendo os 5 jogadores e mudando a posição de dois deles, obtemos o mesmo time. Então, trata-se de um problema de combinação, não de arranjo. Façamos, então C8,5 = 56. Resposta: de 56 maneiras.

Resolução:

Devemos calcular C10,6 = 210.

Resposta: 210 tipos de salada.

Quantas comissões com 6 membros podemos formar com dez alunos?

Numa sala, temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos podemos formar de 2 rapazes e 3 moças?

Resolução:

Escolhendo os rapazes: C5,2 = 10.

Escolhendo as moças: C6,3 = 20.

Pelo PFC, devemos fazer C5,2 × C6,3 = 10 × 20 = 200.

Resposta: 200 grupos.

Resolução:

Basta calcularmos C10, 6 = 210.

Resposta: 210 comissões.

Em um congresso há 30 físicos e 20 matemáticos. Quantas comissões de 3 físicos e 4 matemáticos podemos formar?

Numa classe de 10 estudantes, um grupo de 4 será selecionado para uma excursão. De quantas maneiras o grupo poderá ser formado se 2 dos 10 são marido e mulher e só irão juntos?Resolução:

Se o casal não for: C8, 4 = 70 (contamos 8 pessoas para 4 vagas).

Se o casal for: C8,2 = 28 (contamos 8 pessoas para só 2 vagas).

Total: C8,4 + C8,2 = 70 + 28 = 98. Resposta: de 98 maneiras.

Resolução:

Escolhendo os 3 físicos: C30,3 = 4060.

Escolhendo os matemáticos; C20,4 = 4845

Pelo P.F.C. temos, C30,3 × C20,4 = 4060 × 4845 = 19.670.700.

Resposta: 19.670.700 comissões.

Seja A um conjunto de 10 pessoas; dessas, apenas 4 têm maioridade. Calcule o número de comissões de 3 elementos que podemos formar com elementos de A, tendo cada comissão pelo menos uma pessoa com maioridade.

Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses?

Temos C6,3 × C4,2 = 20 × 6 = 120. Resposta: de 120 modos.

Resolução:

Todas as comissões: C10, 3 = 120.

Comissões sem as pessoas de maioridade: C6,3 = 20.

Comissões com alguém de maioridade: C10, 3 – C6, 3 = 100.

Resposta: 100 comissões.

(Faap – SP) Num plano temos 16 pontos; nove deles pertencem a uma reta. Quantas circunferências podem passar por 3 quaisquer daqueles pontos?

Quantas soluções inteiras positivas tem a equação x + y + z = 6?

Resolução:

Não havendo colinearidade de 3 pontos, teríamos C16,3 = 560 circunferências. Havendo 9 pontos colineares, descontemos C9,3 = 84. Então, temos 560 – 84 = 476 circunferências.

Resolução:

Imagine 6 barras e dois sinais + para serem colocados entre elas.

++ representa a solução (2 , 2, 2). Temos 5 espaços para colocar os dois +. Isso pode ser feito de C5,2 = 10 modos.

Resposta: 10 soluções inteiras positivas.

Quantas são as soluções naturais da equação x + y + z = 10?

Resolução:

Temos 12 elementos, sendo 10 unidades e dois sinais +.

Escolhendo 10 lugares para colocar as unidades, sobram dois lugares para colocar os +. Isso pode ser feito de C12,10×C2,2 = 66 modos.

Resposta: 66 soluções.

Outro modo (permutação com repetição):

Tomemos a solução: + +, que representa a solução (2, 3, 5). Esses símbolos podem ser permutados de

modos.

Resposta: 66 soluções.

66!10!2

!1210,2

12 P

1. Quantas diagonais tem um polígono de n lados?

2. Quantos números naturais de 4 algarismos não têm algarismos vizinhos repetidos?

3. Quantos são os anagramas da palavra LIVRO em que as consoantes estão em ordem alfabética?

4. Sobre uma reta r marcam-se 5 pontos distintos e sobre uma reta s, paralela a r, marcam-se 8 pontos distintos. Quantos triângulos têm vértices em 3 desses pontos?

5. Quantos paralelogramos podem ser contados na figura abaixo, composta por dois feixes de paralelas?

6. Quantos são os divisores naturais de 60?

7. Quantos são os divisores inteiros de 60?

8. Dentre os divisores naturais de 8000:

a) Quantos são ímpares?

b) Quantos são pares?

9.Quantos são os anagramas da palavra CASACO?

10. Quantos são os anagramas da palavra PIRIPIRI?

11. Quantos são os anagramas da palavra CORAÇÃO?

12. De quantos modos podemos enfileirar 4 bolas brancas iguais entre si e 5 bolas pretas iguais entre si?

13. Quantos são os anagramas da palavra REVIVER?

analiseb combinatoria

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